Motion of Satellites in Circular Orbits and Planets in Elliptical Orbits Questions in Hindi

(B) गुरुत्वाकर्षण बल कण को वृत्ताकार कक्षा में गति करने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
वृत्ताकार कक्षा के लिए,अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{mv^2}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,गुरुत्वाकर्षण बल $F_g \propto \frac{1}{R}$ है,जिसे किसी नियतांक $K$ के लिए $F_g = \frac{K}{R}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों बलों को बराबर करने पर: $\frac{mv^2}{R} = \frac{K}{R}$।
दोनों पक्षों से $R$ को हटाने पर,हमें $mv^2 = K$ प्राप्त होता है।
चूंकि $m$ और $K$ नियतांक हैं,इसलिए $v^2$ नियत रहता है,जिसका अर्थ है कि $v$ नियत है।
अतः,$v \propto R^0$।

(B) ग्रह की परिक्रमा कर रहे उपग्रह के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल ग्रह के केंद्र की ओर कार्य करने वाला एक केंद्रीय बल है।
चूंकि केंद्रीय बल द्वारा ग्रह के केंद्र के परितः लगाया गया बल आघूर्ण शून्य होता है $(\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = 0)$,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार उपग्रह का कोणीय संवेग $(\vec{L})$ नियत रहता है।
दीर्घवृत्ताकार कक्षा में वेग,स्थितिज ऊर्जा और त्वरण ग्रह से दूरी के आधार पर बदलते रहते हैं।

(B) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,उपग्रह के आवर्तकाल $(T)$ का वर्ग उसकी कक्षा की त्रिज्या $(r)$ के घन के समानुपाती होता है।
गणितीय रूप से,$T^2 \propto r^3$ या $T \propto r^{3/2}$।
जब उपग्रह को पृथ्वी की ओर स्थानांतरित किया जाता है,तो कक्षीय त्रिज्या $(r)$ कम हो जाती है।
चूंकि $T \propto r^{3/2}$ है,इसलिए $r$ में कमी आने से आवर्तकाल $(T)$ में भी कमी आएगी।

(C) उपग्रह में,कुर्सी और व्यक्ति दोनों पृथ्वी की ओर मुक्त पतन (free fall) की स्थिति में होते हैं। चूंकि दोनों का त्वरण समान (उस ऊंचाई पर गुरुत्वीय त्वरण के बराबर) होता है,इसलिए उनके बीच कोई सापेक्ष गति नहीं होती है। परिणामस्वरूप,कुर्सी व्यक्ति पर कोई संपर्क बल (अभिलंब बल) नहीं लगाती है। चूंकि भार का अनुभव सतह द्वारा लगाए गए अभिलंब बल के कारण होता है,इसलिए इस बल की अनुपस्थिति के कारण व्यक्ति भारहीनता महसूस करता है।

(C) वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह की कक्षीय चाल का सूत्र $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ ग्रह का द्रव्यमान है और $r$ कक्षा की त्रिज्या है।
इस संबंध से,हम देखते हैं कि $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$ है।
अतः,उपग्रहों $A$ और $B$ की चालों का अनुपात $\frac{v_B}{v_A} = \sqrt{\frac{r_A}{r_B}}$ होगा।
दिया गया है कि $r_A = 4R$ और $r_B = R$,इसलिए $\frac{v_B}{v_A} = \sqrt{\frac{4R}{R}} = \sqrt{4} = 2$ है।
चूंकि उपग्रह $A$ की चाल $v_A = 3v$ है,इसलिए उपग्रह $B$ की चाल $v_B = 2 \times v_A = 2 \times 3v = 6v$ होगी।

(B) उपग्रह को पृथ्वी के चारों ओर घूमने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल,गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
गुरुत्वाकर्षण बल $F_g = m g$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ दी गई शर्त के अनुसार $g = \frac{GM}{R^3}$ है।
अभिकेंद्र बल को गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर रखने पर:
$m \omega^2 R = m g$
$m \left( \frac{4\pi^2}{T^2} \right) R = m \left( \frac{GM}{R^3} \right)$
समीकरण को सरल करने पर:
$\frac{4\pi^2}{T^2} R = \frac{GM}{R^3}$
$\frac{1}{T^2} = \frac{GM}{4\pi^2 R^4}$
अतः,$T^2 \propto R^4$,जिसका अर्थ है कि $T \propto R^2$।

(B) सूर्य से $r$ दूरी पर स्थित किसी ग्रह की कक्षीय गति $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है और $M$ सूर्य का द्रव्यमान है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$।
चूंकि बृहस्पति की कक्षीय त्रिज्या $(r_J)$ पृथ्वी की कक्षीय त्रिज्या $(r_e)$ से अधिक है,इसलिए बृहस्पति की कक्षीय गति $(v_J)$ पृथ्वी की कक्षीय गति $(v_e)$ से कम होनी चाहिए।
अतः,$v_J < v_e$।

(C) पृथ्वी सूर्य के चारों ओर एक दीर्घवृत्ताकार पथ में घूमती है। दीर्घवृत्त के गुणों के अनुसार:
${r_1} = a(1 + e)$ (अधिकतम दूरी)
${r_2} = a(1 - e)$ (न्यूनतम दूरी)
इनका योग करने पर,${r_1} + {r_2} = 2a$,इसलिए $a = \frac{{{r_1} + {r_2}}}{2}$.
इनका गुणनफल करने पर,${r_1}{r_2} = a^2(1 - e^2)$.
चूंकि $b^2 = a^2(1 - e^2)$,इसलिए ${r_1}{r_2} = b^2$.
जब पृथ्वी मुख्य अक्ष के लंबवत होती है,तो सूर्य से उसकी दूरी दीर्घवृत्त का अर्ध-लेटस रेक्टम $(l)$ होती है।
अर्ध-लेटस रेक्टम का सूत्र $l = \frac{{{b^2}}}{a}$ है।
मान रखने पर,$l = \frac{{{r_1}{r_2}}}{({r_1} + {r_2})/2} = \frac{{2{r_1}{r_2}}}{{{r_1} + {r_2}}}$.

(C) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,परिक्रमण काल $T$ का वर्ग कक्षीय त्रिज्या $r$ के घन के समानुपाती होता है,अर्थात $T^2 \propto r^3$ या $T \propto r^{3/2}$।
पहले उपग्रह के लिए,पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r_1 = R$ है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है। इसका परिक्रमण काल $T_1 = 83 \text{ minutes}$ है।
दूसरे उपग्रह के लिए,कक्षा सतह से $3R$ की दूरी पर है,इसलिए पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r_2 = R + 3R = 4R$ होगी।
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{3/2}$।
मान रखने पर: $\frac{T_2}{83} = \left( \frac{4R}{R} \right)^{3/2} = (4)^{3/2}$।
गणना करने पर: $(4)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$।
अतः,$T_2 = 83 \times 8 = 664 \text{ minutes}$।

(A) पृथ्वी के केंद्र से $R_0$ दूरी पर स्थित उपग्रह का कक्षीय वेग $v = \sqrt{\frac{GM}{R_0}}$ द्वारा दिया जाता है।
कोणीय संवेग $L$ को $L = mvr$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $L = m \times \sqrt{\frac{GM}{R_0}} \times R_0$.
व्यंजक को सरल करने पर,$L = m \sqrt{GM R_0}$ प्राप्त होता है।

(C) सूर्य द्वारा किसी ग्रह पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल एक केंद्रीय बल होता है।
केंद्रीय बल हमेशा एक निश्चित बिंदु (सूर्य का केंद्र) की ओर या उससे दूर की दिशा में कार्य करता है।
बल के केंद्र के परितः केंद्रीय बल द्वारा लगाया गया टॉर्क $\vec{\tau}$ का मान $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ होता है।
चूंकि बल $\vec{F}$ स्थिति सदिश $\vec{r}$ के समानांतर है,इसलिए सदिश गुणनफल $\vec{r} \times \vec{F} = 0$ होता है।
टॉर्क शून्य होने के कारण,ग्रह का कोणीय संवेग $\vec{L}$ समय के साथ स्थिर रहता है।
अतः,सौर मंडल में ग्रहों की गति कोणीय संवेग संरक्षण के नियम द्वारा शासित होती है।

(B) केप्लर के ग्रहों की गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल $(T)$ का वर्ग कक्षा की अर्ध-दीर्घ अक्ष $(r)$ के घन के समानुपाती होता है: $T^2 \propto r^3$.
इस संबंध को $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $M$ केंद्रीय पिंड (जैसे पृथ्वी) का द्रव्यमान है।
ध्यान दें कि उपग्रह का द्रव्यमान $(m)$ आवर्तकाल के सूत्र में नहीं आता है।
चूंकि आवर्तकाल $(T)$ स्थिर रहता है और केंद्रीय पिंड का द्रव्यमान $(M)$ अपरिवर्तित रहता है,इसलिए कक्षीय त्रिज्या $(r)$ भी स्थिर रहनी चाहिए।
अतः,दोनों स्थितियों में कक्षीय त्रिज्या का अनुपात $1:1$ है।

(A) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,धूमकेतु का कोणीय संवेग उसकी कक्षा में स्थिर रहता है।
$L = mvr \sin(\theta) = \text{स्थिरांक}$.
पेरिहेलियन (निकटतम) और एफेलियन (दूरस्थ) बिंदुओं पर,वेग सदिश त्रिज्या सदिश के लंबवत होता है,इसलिए $\theta = 90^{\circ}$।
अतः,$m v_{\text{near}} r_{\text{near}} = m v_{\text{far}} r_{\text{far}}$।
दिया गया है:
$r_{\text{near}} = 1.6 \times 10^{12} \, m$
$r_{\text{far}} = 8 \times 10^{12} \, m$
$v_{\text{near}} = 60 \, m/s$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$60 \times 1.6 \times 10^{12} = v_{\text{far}} \times 8 \times 10^{12}$
$v_{\text{far}} = \frac{60 \times 1.6}{8} = \frac{96}{8} = 12 \, m/s$.

(D) किसी ग्रह के चारों ओर चक्कर लगाने वाले उपग्रह की समयावधि $T$ को इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$, जहाँ $r$ कक्षा की त्रिज्या है, $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है, और $M$ ग्रह (पृथ्वी) का द्रव्यमान है।
ध्यान दें कि उपग्रह (चंद्रमा) का द्रव्यमान इस सूत्र में नहीं आता है।
चूंकि समयावधि उपग्रह के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करती है, इसलिए चंद्रमा के द्रव्यमान को बदलने से उसकी कक्षीय अवधि पर कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा।
अतः, अवधि $29$ दिन ही रहेगी।

(D) $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के केंद्र से $r$ दूरी पर परिक्रमा कर रहे $m$ द्रव्यमान के उपग्रह का कक्षीय कोणीय संवेग $L = mvr$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कक्षीय वेग $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ होता है,इसलिए हम इसे $L$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$L = m \sqrt{\frac{GM}{r}} \cdot r = m \sqrt{GMr}$.
इस व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि $L \propto \sqrt{r}$ है।
मान लीजिए $r_1 = r$ दूरी पर $L_1 = L$ है और $r_2 = 16r$ दूरी पर नया कोणीय संवेग $L_2$ है।
अतः,$\frac{L_2}{L_1} = \sqrt{\frac{r_2}{r_1}} = \sqrt{\frac{16r}{r}} = \sqrt{16} = 4$.
इसलिए,$L_2 = 4L_1 = 4L$.

(A) ग्रह के चारों ओर वृत्ताकार कक्षा में घूमने वाले चंद्रमा के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
मान लीजिए $M$ ग्रह का द्रव्यमान है और $m$ चंद्रमा का द्रव्यमान है।
गुरुत्वाकर्षण बल $F_g = \frac{GMm}{R^2}$ है।
अभिकेंद्री बल $F_c = m\omega^2 R$ है,जहाँ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है।
दोनों बलों को बराबर करने पर: $m\omega^2 R = \frac{GMm}{R^2}$।
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ प्रतिस्थापित करने पर: $m \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 R = \frac{GMm}{R^2}$।
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{4\pi^2}{T^2} R = \frac{GM}{R^2}$।
$M$ के लिए हल करने पर: $M = \frac{4\pi^2 R^3}{GT^2} = 4\pi^2 R^3 G^{-1} T^{-2}$।

(C) पृथ्वी के चारों ओर $r$ दूरी पर परिक्रमा कर रहे उपग्रह का कक्षीय वेग निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$,जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है और $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि कक्षीय वेग $v$,त्रिज्या $r$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$.
यह दिया गया है कि $r_1 > r_2$,इसलिए $\sqrt{r_1} > \sqrt{r_2}$ होगा।
अतः,$\frac{1}{\sqrt{r_1}} < \frac{1}{\sqrt{r_2}}$,जिसका अर्थ है कि $v_1 < v_2$।

(B) ग्रह की वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल,गुरुत्वाकर्षण आकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
गुरुत्वाकर्षण बल $F_g \propto R^{-5/2}$ के रूप में दिया गया है।
अभिकेंद्र बल $F_c = m \omega^2 R = m \left( \frac{2\pi}{T} \right)^2 R = \frac{4\pi^2 m R}{T^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों बलों को बराबर करने पर: $\frac{m R}{T^2} \propto R^{-5/2}$.
$T^2$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{T^2} \propto \frac{R^{-5/2}}{R} = R^{-7/2}$.
अतः,$T^2 \propto R^{7/2}$.

(A) पृथ्वी द्वारा उपग्रह पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल हमेशा पृथ्वी के केंद्र की ओर कार्य करता है। न्यूटन के दूसरे नियम $F = ma$ के अनुसार,उपग्रह का त्वरण हमेशा पृथ्वी के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
चूंकि गुरुत्वाकर्षण बल एक केंद्रीय बल है,इसलिए पृथ्वी के केंद्र के परितः उपग्रह पर कार्य करने वाला टॉर्क शून्य होता है। अतः,उपग्रह का कोणीय संवेग $L$ परिमाण और दिशा दोनों में स्थिर रहता है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,गैर-संरक्षी बलों की अनुपस्थिति में,उपग्रह की कुल यांत्रिक ऊर्जा अपनी कक्षा के दौरान स्थिर रहती है।
चूंकि दीर्घवृत्ताकार कक्षा में पृथ्वी से उपग्रह की दूरी $r$ बदलती रहती है,इसलिए कोणीय संवेग $(L = mvr \sin \theta)$ को संरक्षित रखने के लिए कक्षीय वेग $v$ को बदलना पड़ता है। परिणामस्वरूप,रैखिक संवेग $p = mv$ स्थिर नहीं रहता है।

(A) गुरुत्वाकर्षण बल $F$ को $F \propto \frac{1}{R^n}$ के रूप में दिया गया है।
वृत्तातीय कक्षा में घूम रहे ग्रह के लिए,यह बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$F = m\omega^2 R = m\left( \frac{4\pi^2}{T^2} \right) R$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$m\left( \frac{4\pi^2}{T^2} \right) R \propto \frac{1}{R^n}$.
चूंकि $m$ और $4\pi^2$ स्थिरांक हैं,इसलिए:
$\frac{R}{T^2} \propto \frac{1}{R^n}$.
$T^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$T^2 \propto R \cdot R^n = R^{n+1}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$T \propto R^{\left( \frac{n+1}{2} \right)}$.

(C) केपलर के तीसरे नियम के अनुसार,वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह का आवर्तकाल $T$,कक्षीय त्रिज्या $r$ के साथ $T \propto r^{3/2}$ संबंध द्वारा संबंधित है।
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर: $\ln T = \frac{3}{2} \ln r$.
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें आंशिक परिवर्तन प्राप्त होता है: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{3}{2} \frac{\Delta r}{r}$.
यहाँ त्रिज्या $R$ से बढ़कर $(1.01)R$ हो जाती है,इसलिए त्रिज्या में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta r}{r} \times 100 = 1\%$ है।
अतः,आवर्तकाल में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = \frac{3}{2} \times (1\%) = 1.5\%$ है।
इस प्रकार,दूसरे उपग्रह का आवर्तकाल लगभग $1.5\%$ अधिक है।

(C) केपलर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल $T$ का वर्ग कक्षीय त्रिज्या $r$ के घन के समानुपाती होता है,अर्थात $T^2 \propto r^3$।
भूस्थिर उपग्रह के लिए,$T_1 = 24\, h$ और $r_1 = 36000\, km$ है।
पृथ्वी की सतह के निकट परिक्रमा करने वाले उपग्रह के लिए,$r_2 \approx R_{\text{Earth}} = 6400\, km$ है।
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{3/2}$।
मान रखने पर: $T_2 = 24 \times \left( \frac{6400}{36000} \right)^{3/2}$।
$T_2 = 24 \times \left( \frac{64}{360} \right)^{3/2} \approx 24 \times 0.075 \approx 1.8\, h$।
निकटतम पूर्णांक में,आवर्तकाल लगभग $2\, hours$ है।

(A) ग्रह और उपग्रह के बीच का गुरुत्वाकर्षण बल वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
$F_g = F_c$
$\frac{G M m}{r^2} = m r \omega^2$
चूंकि कोणीय वेग $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{G M m}{r^2} = m r \left( \frac{2\pi}{T} \right)^2$
$\frac{G M}{r^2} = r \frac{4\pi^2}{T^2}$
$M$ के लिए हल करने पर:
$M = \frac{4\pi^2 r^3}{G T^2}$

(B) सौर मंडल में कुल $8$ ग्रह हैं। बुध सूर्य के सबसे निकटतम ग्रह है,उसके बाद शुक्र,पृथ्वी,मंगल,बृहस्पति,शनि,अरुण और वरुण आते हैं। इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(D) मान लीजिए कि दो तारों के द्रव्यमान $m_1 = m$ और $m_2 = 2m$ हैं,जो $l$ दूरी पर स्थित हैं।
द्रव्यमान $m$ वाले तारे से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $r_1 = \frac{m_2 l}{m_1 + m_2} = \frac{2ml}{3m} = \frac{2l}{3}$ है।
तारों के बीच का गुरुत्वाकर्षण बल घूर्णन के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
$\frac{G(m)(2m)}{l^2} = m \omega^2 r_1 = m \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 \left(\frac{2l}{3}\right)$.
$\frac{2Gm^2}{l^2} = m \frac{4\pi^2}{T^2} \frac{2l}{3}$.
$\frac{Gm}{l^2} = \frac{4\pi^2 l}{3T^2}$.
$T^2 = \frac{4\pi^2 l^3}{3Gm}$.
$T = \sqrt{\frac{4\pi^2 l^3}{3Gm}} = 2\pi \sqrt{\frac{l^3}{3Gm}}$.
अतः,$T \propto m^{-1/2}$.

(B) आकाशगंगा का द्रव्यमान $M$ ज्ञात करने का सूत्र: $M = \frac{v^2 r}{G}$ है।
दिया गया है:
गति $v = 250 \, km/s = 2.5 \times 10^5 \, m/s$.
त्रिज्या $r = 3 \times 10^4 \, \text{light years}$.
चूंकि $1 \, \text{light year} \approx 9.46 \times 10^{15} \, m$, इसलिए $r = 3 \times 10^4 \times 9.46 \times 10^{15} \, m \approx 2.84 \times 10^{20} \, m \approx 3 \times 10^{20} \, m$.
गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G = 6.67 \times 10^{-11} \, N \cdot m^2/kg^2$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$M = \frac{(2.5 \times 10^5)^2 \times (3 \times 10^{20})}{6.67 \times 10^{-11}}$
$M = \frac{6.25 \times 10^{10} \times 3 \times 10^{20}}{6.67 \times 10^{-11}}$
$M = \frac{18.75 \times 10^{30}}{6.67 \times 10^{-11}} \approx 2.81 \times 10^{41} \, kg$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार, $M \approx 3 \times 10^{41} \, kg$ प्राप्त होता है।

(B) बाइनरी स्टार सिस्टम के लिए, सौर द्रव्यमान, खगोलीय इकाइयों और वर्षों की इकाइयों में केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार द्रव्यमान का योग $M_1 + M_2 = \frac{r^3}{T^2}$ होता है।
यहाँ $r = 30 \text{ AU}$ और $T = 30 \text{ years}$ दिया गया है, इसलिए $M_1 + M_2 = \frac{30^3}{30^2} = 30 \text{ solar masses}$ .....$(i)$.
द्रव्यमान केंद्र की परिभाषा के अनुसार, $M_1 r_1 = M_2 r_2$ होता है। दिया गया है कि एक तारा दूसरे की तुलना में द्रव्यमान केंद्र से $5$ गुना अधिक दूर है, इसलिए $r_2 = 5r_1$ लें। इस प्रकार, $M_1 r_1 = M_2 (5r_1)$, जिसका अर्थ है $M_1 = 5M_2$ .....$(ii)$.
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ में रखने पर: $5M_2 + M_2 = 30 \Rightarrow 6M_2 = 30 \Rightarrow M_2 = 5 \text{ solar masses}$.
अतः $M_1 = 5(5) = 25 \text{ solar masses}$.
इस प्रकार, दोनों तारों के द्रव्यमान $25$ और $5$ सौर द्रव्यमान हैं।

(B) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,उपसौर (perihelion) और अपसौर (aphelion) पर कुल ऊर्जा समान होती है:
$\frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{GM_Sm}{r_1} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{GM_Sm}{r_2}$
कोणीय संवेग संरक्षित रहता है,इसलिए $L = mv_1r_1 = mv_2r_2$,जिसका अर्थ है $v_2 = v_1\frac{r_1}{r_2}$।
ऊर्जा समीकरण में $v_2$ का मान रखने पर:
$\frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{GM_Sm}{r_1} = \frac{1}{2}m\left(v_1\frac{r_1}{r_2}\right)^2 - \frac{GM_Sm}{r_2}$
$v_1$ के लिए हल करने पर:
$v_1^2 \left(1 - \frac{r_1^2}{r_2^2}\right) = 2GM_S \left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$
$v_1^2 \left(\frac{r_2^2 - r_1^2}{r_2^2}\right) = 2GM_S \left(\frac{r_2 - r_1}{r_1r_2}\right)$
$v_1 = \sqrt{\frac{2GM_Sr_2}{r_1(r_1 + r_2)}}$
अंत में,कोणीय संवेग $L = mv_1r_1 = m \sqrt{\frac{2GM_Sr_2}{r_1(r_1 + r_2)}} \cdot r_1 = \sqrt{\frac{2GM_Sm^2r_1r_2}{r_1 + r_2}}$।

(A) $m$ द्रव्यमान वाले उपग्रह के लिए क्षेत्रीय वेग $(\frac{dA}{dt})$ और कोणीय संवेग $(L)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$.
दिया गया है:
द्रव्यमान $(m) = 500 \ kg$
क्षेत्रीय वेग $(\frac{dA}{dt}) = 4 \times 10^4 \ m^2s^{-1}$.
कोणीय संवेग $(L)$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$L = 2m \times \frac{dA}{dt}$.
मान रखने पर:
$L = 2 \times 500 \times (4 \times 10^4)$.
$L = 1000 \times 4 \times 10^4$.
$L = 4 \times 10^7 \ kg \ m^2s^{-1}$.
अतः,कोणीय संवेग $4 \times 10^7 \ kg \ m^2s^{-1}$ है।

(A) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,ग्रह का कोणीय संवेग उसकी कक्षा के सभी बिंदुओं पर स्थिर रहता है।
$L = mvr \sin \theta = \text{स्थिरांक}$.
पेरिहेलियन (निकटतम) और एफेलियन (दूरस्थ) बिंदुओं पर,वेग सदिश त्रिज्या सदिश के लंबवत होता है,इसलिए $\theta = 90^\circ$ है।
अतः,$m v_{\max} r_{\min} = m v_{\min} r_{\max}$।
दिया गया है:
$r_{\min} = 1.6 \times 10^{12} \ m$
$v_{\max} = 60 \ m/s$
$r_{\max} = 8 \times 10^{12} \ m$
मान रखने पर:
$60 \times (1.6 \times 10^{12}) = v_{\min} \times (8 \times 10^{12})$
$v_{\min} = \frac{60 \times 1.6 \times 10^{12}}{8 \times 10^{12}}$
$v_{\min} = 60 \times 0.2 = 12 \ m/s$।

(D) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल का वर्ग $(T^2)$ कक्षा की त्रिज्या के घन $(r^3)$ के समानुपाती होता है: $T^2 \propto r^3$.
इसलिए,आवर्तकाल का अनुपात $\frac{T_A}{T_B} = \left( \frac{r_A}{r_B} \right)^{3/2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $r_A = r$ और $r_B = 2r$ दिया गया है,इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{T_A}{T_B} = \left( \frac{r}{2r} \right)^{3/2} = \left( \frac{1}{2} \right)^{3/2} = \frac{1}{2^{3/2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
अतः,आवर्तकाल का अनुपात $1 : 2\sqrt{2}$ है।

(C) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,ग्रह का कोणीय संवेग उसकी पूरी कक्षा में स्थिर रहता है।
निकटतम बिंदु (पेरिहेलियन) पर,वेग सदिश स्थिति सदिश के लंबवत होता है,इसलिए कोणीय संवेग $L_1 = m v_1 d_1$ है।
सबसे दूर के बिंदु (एफेलियन) पर,वेग सदिश भी स्थिति सदिश के लंबवत होता है,इसलिए कोणीय संवेग $L_2 = m v_2 d_2$ है।
चूंकि $L_1 = L_2$,इसलिए हमारे पास $m v_1 d_1 = m v_2 d_2$ है।
इस समीकरण को सरल करने पर,हमें $v_1 d_1 = v_2 d_2$ प्राप्त होता है।
अतः,सबसे दूर के बिंदु पर वेग $v_2 = \frac{d_1 v_1}{d_2}$ है।

(B) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित उपग्रह का कक्षीय वेग $v$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$.
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$.
इसलिए,उपग्रह $B$ और $A$ के वेगों का अनुपात: $\frac{v_B}{v_A} = \sqrt{\frac{r_A}{r_B}}$ होगा।
यहाँ $r_A = 4R$,$r_B = R$ और $v_A = 3V$ दिया गया है,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{v_B}{3V} = \sqrt{\frac{4R}{R}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$v_B = 2 \times 3V = 6V$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्ताकार कक्षा के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
$F = \frac{mv^2}{R}$
दिया गया है कि $F \propto \frac{1}{R}$,इसलिए हम किसी स्थिरांक $k$ के लिए $F = \frac{k}{R}$ लिख सकते हैं।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{mv^2}{R} = \frac{k}{R}$
$mv^2 = k$
$v^2 = \frac{k}{m}$
चूंकि $k$ और $m$ स्थिरांक हैं,इसलिए $v^2$ स्थिर है,जिसका अर्थ है कि $v$ का मान $R$ पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,$v \propto R^0$.

(B) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर स्थित उपग्रह का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2\pi \sqrt {\frac{{(R + h)^3}}{{GM}}}$
यहाँ दी गई ऊँचाई $h = R$ है,इसलिए इस मान को सूत्र में रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt {\frac{{(R + R)^3}}{{GM}}}$
चूँकि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है,हम $GM = gR^2$ लिख सकते हैं:
$T = 2\pi \sqrt {\frac{{(2R)^3}}{{gR^2}}}$
$T = 2\pi \sqrt {\frac{{8R^3}}{{gR^2}}}$
$T = 2\pi \sqrt {\frac{{8R}}{g}}$
$T = 2\pi \cdot 2\sqrt{2} \sqrt {\frac{R}{g}}$
$T = 4\sqrt{2} \pi \sqrt {\frac{R}{g}}$

(D) $m$ द्रव्यमान का उपग्रह जो $M$ द्रव्यमान के ग्रह के चारों ओर $r$ दूरी पर परिक्रमा कर रहा है,उसका कोणीय संवेग $L = mvr$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कक्षीय वेग $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ है,इसलिए $L = m \sqrt{\frac{GM}{r}} \cdot r = \sqrt{m^2 GMr}$ होता है।
यह दर्शाता है कि $L \propto \sqrt{r}$ है।
प्रारंभिक दूरी $r_1 = r$ और अंतिम दूरी $r_2 = 16r$ दी गई है,इसलिए कोणीय संवेग का अनुपात इस प्रकार होगा:
$\frac{L_2}{L_1} = \sqrt{\frac{r_2}{r_1}} = \sqrt{\frac{16r}{r}} = \sqrt{16} = 4$.
अतः,नया कोणीय संवेग $L_2 = 4L_1 = 4L$ होगा।

(B) पृथ्वी के चारों ओर उपग्रह की कक्षीय चाल $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दी जाती है।
उपग्रह $A$ के लिए,त्रिज्या $r_A = 4R$ और चाल $v_A = 3V$ है।
अतः,$v_A = \sqrt{\frac{GM}{4R}} = 3V$ ... $(i)$
उपग्रह $B$ के लिए,त्रिज्या $r_B = R$ और चाल $v_B$ है।
अतः,$v_B = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ ... (ii)
समीकरण (ii) को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{v_B}{v_A} = \frac{\sqrt{GM/R}}{\sqrt{GM/4R}} = \sqrt{\frac{4R}{R}} = \sqrt{4} = 2$.
इसलिए,$v_B = 2 \times v_A = 2 \times 3V = 6V$.
अतः,उपग्रह $B$ की चाल $6V$ है।

(C) केप्लर के ग्रहीय गति के दूसरे नियम के अनुसार,ग्रह का क्षेत्रीय वेग नियत रहता है। यह कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम के समतुल्य है।
चूंकि गुरुत्वाकर्षण बल एक केंद्रीय बल है,इसलिए सूर्य के सापेक्ष ग्रह पर कार्य करने वाला टॉर्क शून्य है।
अतः,कोणीय संवेग $L$ संरक्षित रहता है: $L = m v_1 d_1 = m v_2 d_2$।
यहाँ,$m$ ग्रह का द्रव्यमान है।
दोनों पक्षों से $m$ को हटाने पर,हमें $v_1 d_1 = v_2 d_2$ प्राप्त होता है।
$v_2$ के लिए हल करने पर,हमें $v_2 = \frac{d_1 v_1}{d_2}$ प्राप्त होता है।

(C) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल $T$ का वर्ग कक्षीय त्रिज्या $r$ के घन के समानुपाती होता है,अर्थात $T^2 \propto r^3$ या $T \propto r^{3/2}$।
कक्षीय त्रिज्या $r$ पृथ्वी के केंद्र से दूरी है,जिसे $r = R + h$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ सतह से ऊँचाई है।
भूस्थिर उपग्रह के लिए,$h_1 = 5R$,इसलिए $r_1 = R + 5R = 6R$। इसका आवर्तकाल $T_1 = 24 \, hr$ है।
दूसरे उपग्रह के लिए,$h_2 = 2R$,इसलिए $r_2 = R + 2R = 3R$।
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{3/2}$।
मान रखने पर: $\frac{T_2}{24} = \left( \frac{3R}{6R} \right)^{3/2} = \left( \frac{1}{2} \right)^{3/2} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$।
अतः,$T_2 = \frac{24}{2\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2} \, hr$।

(A) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,ग्रह का कोणीय संवेग उसकी पूरी कक्षा में स्थिर रहता है।
निकटतम बिंदु (उपसौर) पर,वेग सदिश स्थिति सदिश के लंबवत होता है,इसलिए कोणीय संवेग $L_1 = m v_1 r_1$ है।
सबसे दूर के बिंदु (अपसौर) पर,वेग सदिश भी स्थिति सदिश के लंबवत होता है,इसलिए कोणीय संवेग $L_2 = m v_2 r_2$ है।
चूंकि $L_1 = L_2$,इसलिए हमें $m v_1 r_1 = m v_2 r_2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से द्रव्यमान $m$ को हटाने पर,हमें $v_1 r_1 = v_2 r_2$ मिलता है।
अतः,वेगों का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \frac{r_2}{r_1}$ है।

(B) उपग्रह की कक्षीय गति का सूत्र $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$ है।
हम जानते हैं कि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$.
इस मान को सूत्र में रखने पर,$v_0 = \sqrt{\frac{gR^2}{R+h}} = R \sqrt{\frac{g}{R+h}}$.
दिए गए मान: $R = 6.38 \times 10^6 \, m$,$h = 0.25 \times 10^6 \, m$,और $g = 9.8 \, m s^{-2}$.
कुल कक्षीय त्रिज्या $r = R + h = (6.38 + 0.25) \times 10^6 \, m = 6.63 \times 10^6 \, m$.
अब,$v_0 = \sqrt{\frac{9.8 \times (6.38 \times 10^6)^2}{6.63 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{9.8 \times 40.7044 \times 10^{12}}{6.63 \times 10^6}} = \sqrt{60.16 \times 10^6} \approx 7.756 \times 10^3 \, m s^{-1}$.
अतः,$v_0 \approx 7.76 \, km s^{-1}$.

(A) गुरुत्वाकर्षण बल के माध्यम से परस्पर क्रिया करने वाले दो खगोलीय पिंड एक बाइनरी स्टार सिस्टम बनाते हैं।
यांत्रिकी के नियमों के अनुसार,दो-पिंड प्रणाली में,दोनों पिंड अपने सामान्य द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर परिक्रमा करते हैं।
उनके बीच का गुरुत्वाकर्षण बल दोनों पिंडों को उनकी संबंधित कक्षाओं को बनाए रखने के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(A) ग्रह के बहुत निकट परिक्रमा करने वाले उपग्रह का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}$
चूंकि ग्रह का द्रव्यमान $M = \rho V = \rho \left( \frac{4}{3}\pi R^3 \right)$ है,इसलिए इस मान को सूत्र में रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{R^3}{G \cdot \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{3}{4\pi G \rho}}$
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि आवर्तकाल $T$ केवल ग्रह के घनत्व $\rho$ पर निर्भर करता है और ग्रह की त्रिज्या $R$ पर निर्भर नहीं करता है।
चूंकि दोनों ग्रहों का घनत्व समान है,इसलिए उपग्रह का आवर्तकाल समान रहेगा,अर्थात $T$।

(B) पृथ्वी की सतह के निकट परिक्रमा करने वाले उपग्रह का कक्षीय वेग $v_o = \sqrt{gR_e}$ द्वारा दिया जाता है।
यदि उपग्रह का वेग इस मान से अधिक हो जाता है,तो वह स्थिर वृत्ताकार कक्षा में नहीं रह पाएगा।
विशेष रूप से,यदि वेग पलायन वेग $v_e = \sqrt{2gR_e}$ तक पहुँच जाता है,तो उपग्रह पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव से बाहर निकल जाएगा।
इसलिए,एक स्थिर वृत्ताकार कक्षा के लिए,अधिकतम वेग उस स्थिति द्वारा सीमित होता है जहाँ गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
अतः,स्थिर कक्षा के लिए अधिकतम संभावित वेग $v = \sqrt{gR_e}$ है।

(C) एक कृत्रिम उपग्रह के अंदर,उपग्रह और व्यक्ति दोनों पृथ्वी की ओर मुक्त पतन (free fall) की स्थिति में होते हैं। पृथ्वी द्वारा व्यक्ति पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल उसे कक्षा में घूमने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है। चूंकि व्यक्ति और उपग्रह दोनों पृथ्वी की ओर समान त्वरण से गति कर रहे हैं,इसलिए उपग्रह के फर्श द्वारा व्यक्ति पर लगाया गया अभिलंब बल (normal reaction) शून्य होता है। इस स्थिति को भारहीनता के रूप में महसूस किया जाता है। अतः,गुरुत्वाकर्षण बल कक्षा के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल के बराबर होता है।

(D) वृत्तीय गति में किसी कण का कोणीय संवेग $L = mvr$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $v = r\omega$ और $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए $L = m(r\omega)r = m\omega r^2 = m \left( \frac{2\pi}{T} \right) r^2$ है।
दिया गया है: $m = 6 \times 10^{24} \ kg$,$r = 1.5 \times 10^8 \ km = 1.5 \times 10^{11} \ m$,$T = 3.14 \times 10^7 \ s$।
मान रखने पर:
$L = \frac{6 \times 10^{24} \times 2 \times 3.14 \times (1.5 \times 10^{11})^2}{3.14 \times 10^7}$
$L = \frac{6 \times 10^{24} \times 2 \times 2.25 \times 10^{22}}{10^7}$
$L = 27 \times 10^{39} = 2.7 \times 10^{40} \ kg \ m^2/s$।

(B) उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर घूम रहा है क्योंकि आवश्यक अभिकेंद्र बल पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव द्वारा प्रदान किया जाता है।
यदि गुरुत्वाकर्षण बल अचानक गायब हो जाता है,तो उपग्रह पर अब कोई अभिकेंद्र बल कार्य नहीं करता है।
न्यूटन के गति के पहले नियम के अनुसार,गति में कोई वस्तु तब तक सीधी रेखा में निरंतर वेग के साथ चलती रहेगी जब तक कि उस पर कोई बाहरी बल कार्य न करे।
इसलिए,उपग्रह अपने तात्कालिक वेग $V$ के साथ उस बिंदु पर वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखीय दिशा में गति करना जारी रखेगा जहाँ बल गायब हो गया था।

(D) गुरुत्वाकर्षण बल उपग्रह की वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$\frac{GMm}{r^2} = m\omega_0^2 r$
इससे,हम गुरुत्वाकर्षण नियतांक और ग्रह के द्रव्यमान का गुणनफल ज्ञात कर सकते हैं:
$GM = \omega_0^2 r^3$
ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का मान इस प्रकार दिया जाता है:
$g = \frac{GM}{R^2}$
$GM$ का मान $g$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$g = \frac{\omega_0^2 r^3}{R^2}$