यहाँ कई वक्र [चित्र $(a)$,$(b)$,$(c)$,$(d)$,$(e)$,$(f)$] दिखाए गए हैं। कारण सहित समझाइए कि इनमें से कौन से प्रक्षेप्य (projectile) द्वारा अनुरेखित संभावित प्रक्षेपपथ हो सकते हैं (वायु घर्षण की उपेक्षा करें)।

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(C) केप्लर के ग्रहों की गति के नियमों और न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,पृथ्वी जैसे केंद्रीय गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में गति करने वाले कण का प्रक्षेपपथ एक शांकव परिच्छेद (कोनिक सेक्शन - दीर्घवृत्त,परवलय या अतिपरवलय) होना चाहिए,जिसमें पृथ्वी का केंद्र उसकी एक नाभि (focus) पर स्थित हो।
$1$. चित्र $(a)$ एक शांकव परिच्छेद नहीं है।
$2$. चित्र $(b)$ में पृथ्वी नाभि पर स्थित नहीं है।
$3$. चित्र $(c)$ एक दीर्घवृत्ताकार पथ दिखाता है जिसमें पृथ्वी उसकी एक नाभि पर है,जो एक वैध प्रक्षेपपथ है।
$4$. चित्र $(d)$ एक सर्पिल (spiral) है,जो शांकव परिच्छेद नहीं है।
$5$. चित्र $(e)$ में पृथ्वी नाभि पर स्थित नहीं है।
$6$. चित्र $(f)$ एक जटिल पथ है जो मानक शांकव परिच्छेद का प्रतिनिधित्व नहीं करता है।
अतः,केवल चित्र $(c)$ ही एक प्रक्षेप्य के लिए संभावित प्रक्षेपपथ का प्रतिनिधित्व करता है।

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एक कृत्रिम उपग्रह $R$ त्रिज्या वाले ग्रह के चारों ओर $a$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में परिक्रमा कर रहा है। यदि उपग्रह का परिक्रमण काल $T \propto a^{3/2} g^x R^y$ है,तो $x$ और $y$ के मान क्रमशः क्या होंगे? [नोट: $g$ ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है।]

$M$ द्रव्यमान वाले एक ग्रह के दो प्राकृतिक उपग्रह हैं जिनका द्रव्यमान $m_1$ और $m_2$ है। उनकी वृत्ताकार कक्षाओं की त्रिज्याएँ क्रमशः $R_1$ और $R_2$ हैं। उपग्रहों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल की उपेक्षा करें। $v_1, L_1, K_1$ और $T_1$ को क्रमशः उपग्रह $1$ की कक्षीय गति,कोणीय संवेग,गतिज ऊर्जा और परिक्रमण काल के रूप में परिभाषित करें; और $v_2, L_2, K_2$ और $T_2$ को उपग्रह $2$ की संबंधित राशियाँ मानें। यदि $m_1/m_2 = 2$ और $R_1/R_2 = 1/4$ दिया गया है,तो List-$I$ के अनुपातों को List-$II$ की संख्याओं से सुमेलित करें।
List-$I$List-$II$
$P. \frac{v_1}{v_2}$$1. \frac{1}{8}$
$Q. \frac{L_1}{L_2}$$2. 1$
$R. \frac{K_1}{K_2}$$3. 2$
$S. \frac{T_1}{T_2}$$4. 8$

दो उपग्रहों,$A$ और $B$ के द्रव्यमान क्रमशः $m$ और $2m$ हैं। $A$ त्रिज्या $R$ की एक वृत्ताकार कक्षा में है और $B$ पृथ्वी के चारों ओर $2R$ त्रिज्या की एक वृत्ताकार कक्षा में है। उनकी गतिज ऊर्जाओं का अनुपात,$K.E._A / K.E._B ,$ है

नीचे दो कथन दिए गए हैं:
कथन $I$: एक उपग्रह पृथ्वी की सतह के बहुत करीब कक्षा में पृथ्वी के चारों ओर घूम रहा है। उपग्रह के परिक्रमण का समय काल पृथ्वी के घनत्व पर निर्भर करता है।
कथन $II$: उपग्रह के परिक्रमण का समय काल $T = 2\pi\sqrt{\frac{R_e}{g}}$ है (पृथ्वी की सतह के बहुत करीब उपग्रह के लिए),जहाँ $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
उपरोक्त कथनों के आलोक में,नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:

$3 M_S$ और $6 M_S$ द्रव्यमान वाले दो तारों के बीच की दूरी $9 R$ है। यहाँ $R$ पृथ्वी और सूर्य के केंद्रों के बीच की औसत दूरी है,और $M_S$ सूर्य का द्रव्यमान है। दोनों तारे अपने सामान्य द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर $n T$ आवर्तकाल के साथ वृत्ताकार कक्षाओं में घूमते हैं,जहाँ $T$ पृथ्वी का सूर्य के चारों ओर परिक्रमण काल है। $n$ का मान क्या है?

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