एक उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर एक दीर्घवृत्ताकार कक्षा में है,जिसका अपसौर (aphelion) $6R$ और उपसौर (perihelion) $2R$ है,जहाँ $R = 6400 \, km$ पृथ्वी की त्रिज्या है। कक्षा की उत्केंद्रता (eccentricity) ज्ञात कीजिए। अपोजी (apogee) और पेरिजी (perigee) पर उपग्रह का वेग ज्ञात कीजिए। यदि इस उपग्रह को $6R$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में स्थानांतरित करना हो,तो क्या किया जाना चाहिए? $(G = 6.67 \times 10^{-11} \, SI \text{ इकाई और } M = 6 \times 10^{24} \, kg)$

(A) दिया गया है: $r_p = 2R$ और $r_a = 6R$.
दीर्घवृत्त के गुणों का उपयोग करते हुए: $r_a = a(1+e) = 6R$ और $r_p = a(1-e) = 2R$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{1+e}{1-e} = \frac{6R}{2R} = 3 \implies 1+e = 3 - 3e \implies 4e = 2 \implies e = 0.5$.
कोणीय संवेग संरक्षण का उपयोग करते हुए: $m v_p r_p = m v_a r_a \implies v_a = v_p \frac{r_p}{r_a} = v_p \frac{2R}{6R} = \frac{v_p}{3}$.
ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{2} m v_p^2 - \frac{GMm}{r_p} = \frac{1}{2} m v_a^2 - \frac{GMm}{r_a}$.
$v_a = v_p/3$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} v_p^2 (1 - 1/9) = GM (\frac{1}{2R} - \frac{1}{6R}) = GM (\frac{2}{6R}) = \frac{GM}{3R}$.
$\frac{4}{9} v_p^2 = \frac{GM}{3R} \implies v_p^2 = \frac{3GM}{4R} \implies v_p = \sqrt{\frac{3 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{4 \times 6400 \times 10^3}} \approx 5.59 \, km/s$.
अतः $v_a = v_p/3 \approx 1.86 \, km/s$.
$6R$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में स्थानांतरित करने के लिए,उपग्रह को अपोजी पर होना चाहिए और उसके वेग को बढ़ाकर कक्षीय वेग $v_c = \sqrt{\frac{GM}{6R}} \approx 2.64 \, km/s$ करना होगा।