Motion of Satellites in Circular Orbits and Planets in Elliptical Orbits Questions in Hindi

(C) भूस्थिर कक्षा के लिए,कक्षीय अवधि $T = 24 \text{ hrs}$ है। उपग्रह का कोणीय वेग $\omega_{s} = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{24} = \frac{\pi}{12} \text{ rad/hr}$ है।
चूंकि पृथ्वी पश्चिम से पूर्व की ओर $\omega_{e} = \frac{2\pi}{24} = \frac{\pi}{12} \text{ rad/hr}$ के कोणीय वेग से घूमती है,और उपग्रह विपरीत दिशा (पूर्व से पश्चिम) में चलता है,इसलिए उनका सापेक्ष कोणीय वेग $\omega_{r} = \omega_{e} + \omega_{s} = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6} \text{ rad/hr}$ है।
भूमध्य रेखा पर एक ही बिंदु के ऊपर से लगातार गुजरने के बीच का समय अंतराल सापेक्ष समय अवधि $T_{r} = \frac{2\pi}{\omega_{r}} = \frac{2\pi}{\pi/6} = 12 \text{ hrs}$ है।

(C) भूस्थिर कक्षा के लिए,उपग्रह का कोणीय वेग ग्रह के कोणीय वेग के बराबर होना चाहिए,$\omega_s = \omega_p$।
केप्लर के तीसरे नियम से,कक्षीय त्रिज्या $r$ और कोणीय वेग $\omega$ के बीच संबंध $G M = \omega^2 r^3$ है,जिसका अर्थ है $r^3 \propto \omega^{-2}$ या $r \propto \omega^{-2/3}$।
मान लीजिए प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega$ है और नया कोणीय वेग $\omega' = 2\omega$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक त्रिज्या $r$ है और नई त्रिज्या $r'$ है।
तब,$\frac{r'}{r} = \left( \frac{\omega'}{\omega} \right)^{-2/3} = (2)^{-2/3} = \frac{1}{(2^2)^{1/3}} = \frac{1}{4^{1/3}}$।
अतः,$r' = \frac{r}{4^{1/3}}$।

(B) $m$ द्रव्यमान वाले दो कणों के बीच की दूरी $d = 2R$ है,क्योंकि वे अपने सामान्य द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर $R$ त्रिज्या के वृत्त में घूमते हैं।
उनके बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F_G = \frac{G m^2}{(2R)^2} = \frac{G m^2}{4R^2}$ है।
यह गुरुत्वाकर्षण बल प्रत्येक कण को $R$ त्रिज्या के वृत्त में घूमने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है। अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{m v^2}{R}$ है।
दोनों बलों को बराबर करने पर: $\frac{m v^2}{R} = \frac{G m^2}{4R^2}$।
$v$ के लिए हल करने पर: $v^2 = \frac{G m^2}{4R^2} \cdot \frac{R}{m} = \frac{Gm}{4R}$।
अतः,$v = \sqrt{\frac{Gm}{4R}}$।

(A) दीर्घवृत्ताकार कक्षा में उपग्रह का कोणीय संवेग $L = mvr \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है। $a$ अर्ध-दीर्घ अक्ष वाली कक्षा में $m$ द्रव्यमान के उपग्रह के लिए,कोणीय संवेग $L = m \sqrt{GMa(1-e^2)}$ होता है,जहाँ $M$ ग्रह का द्रव्यमान है और $e$ उत्केंद्रता है।
वैकल्पिक रूप से,वृत्ताकार कक्षा के लिए,$L = m \sqrt{GMr}$ होता है। दीर्घवृत्ताकार कक्षा के लिए,कोणीय संवेग अर्ध-दीर्घ अक्ष $a$ के वर्गमूल के समानुपाती होता है,अर्थात $L \propto \sqrt{a}$।
चित्र से,उपग्रह $A$ का अर्ध-दीर्घ अक्ष $a_A$ सबसे बड़ा है,उसके बाद उपग्रह $B$ का अर्ध-दीर्घ अक्ष $a_B$ है,और उपग्रह $C$ का अर्ध-दीर्घ अक्ष $a_C$ सबसे छोटा है।
इसलिए,$a_A > a_B > a_C$ है।
चूंकि $L \propto \sqrt{a}$ है,इसलिए $L_A > L_B > L_C$ प्राप्त होता है।

(A) उपग्रह का कोणीय वेग $\omega = \sqrt{\frac{GM_e}{r^3}}$ द्वारा दिया जाता है।
$R$ त्रिज्या वाले पहले उपग्रह के लिए,$\omega_1 = \sqrt{\frac{GM_e}{R^3}}$.
$4R$ त्रिज्या वाले दूसरे उपग्रह के लिए,$\omega_2 = \sqrt{\frac{GM_e}{(4R)^3}} = \sqrt{\frac{GM_e}{64R^3}} = \frac{1}{8}\sqrt{\frac{GM_e}{R^3}} = \frac{\omega_1}{8}$.
चूंकि वे एक ही त्रिज्यीय रेखा से शुरू होते हैं,इसलिए उनके बीच अधिकतम दूरी तब होती है जब उनकी कोणीय स्थितियों के बीच का अंतर $\pi$ रेडियन हो।
मान लीजिए $\theta_1 = \omega_1 t$ और $\theta_2 = \omega_2 t$ है। अधिकतम दूरी के लिए शर्त $\theta_1 - \theta_2 = \pi$ है।
मान रखने पर: $(\omega_1 - \omega_2)t = \pi$.
$t = \frac{\pi}{\omega_1 - \omega_2} = \frac{\pi}{\omega_1 - \frac{\omega_1}{8}} = \frac{\pi}{\frac{7\omega_1}{8}} = \frac{8\pi}{7\omega_1}$.
$\omega_1 = \sqrt{\frac{GM_e}{R^3}}$ रखने पर,हमें $t = \frac{8\pi}{7}\sqrt{\frac{R^3}{GM_e}}$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह से $R - l/2$ और $R + l/2$ की दूरी पर दो द्रव्यमान $m$ हैं,जहाँ $R$ द्रव्यमान केंद्र की कक्षीय त्रिज्या है और $l$ छड़ की लंबाई है।
छड़ के लंबवत बने रहने के लिए,इसे $\omega = \sqrt{GM/R^3}$ कोणीय वेग के साथ घूमना चाहिए।
आंतरिक द्रव्यमान पर गुरुत्वाकर्षण बल $F_1 = GMm/(R - l/2)^2$ है और बाहरी द्रव्यमान पर $F_2 = GMm/(R + l/2)^2$ है।
आंतरिक द्रव्यमान के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल $m(R - l/2)\omega^2 = GMm(R - l/2)/R^3$ है और बाहरी द्रव्यमान के लिए $m(R + l/2)\omega^2 = GMm(R + l/2)/R^3$ है।
आंतरिक द्रव्यमान पर शुद्ध बल (ग्रह की ओर) $F_1 - F_{c1} = GMm [1/(R - l/2)^2 - (R - l/2)/R^3] > 0$ है,जिसका अर्थ है कि आंतरिक द्रव्यमान छड़ के घूर्णन की अनुमति से अधिक तेजी से गिरना चाहता है,जो छड़ को अंदर की ओर खींचता है।
बाहरी द्रव्यमान पर शुद्ध बल (ग्रह से दूर) $F_{c2} - F_2 = GMm [(R + l/2)/R^3 - 1/(R + l/2)^2] > 0$ है,जिसका अर्थ है कि बाहरी द्रव्यमान दूर जाना चाहता है,जो छड़ को बाहर की ओर खींचता है।
इस प्रकार,छड़ तनाव (tension) में है।
स्थिरता के लिए,एक छोटा कोणीय विस्थापन $\theta$ गुरुत्वाकर्षण प्रवणता (gravity gradient) के कारण एक पुनर्स्थापना टॉर्क बनाता है,जो छड़ को लंबवत स्थिति में वापस लाने के लिए कार्य करता है। यह एक क्लासिक गुरुत्वाकर्षण-प्रवणता स्थिरीकरण समस्या है,और लंबवत अभिविन्यास स्थिर संतुलन स्थिति है।

(D) $R$ दूरी पर वृत्ताकार कक्षा के लिए,कक्षीय वेग $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ है।
दूसरे उपग्रह के लिए,प्रारंभिक कुल ऊर्जा $E = KE + PE = \frac{1}{2}m(\frac{v_0}{2})^2 - \frac{GMm}{R}$ है।
$GM = v_0^2 R$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E = \frac{1}{8}mv_0^2 - mv_0^2 = -\frac{7}{8}mv_0^2$ प्राप्त होता है।
प्रक्षेपण बिंदु $(R)$ और न्यूनतम दूरी के बिंदु $(R_1)$ पर कोणीय संवेग के संरक्षण द्वारा,जहाँ वेग $v_1$ है: $m(\frac{v_0}{2})R = mv_1 R_1$,अतः $v_1 = \frac{v_0 R}{2 R_1}$।
ऊर्जा संरक्षण द्वारा: $E = \frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{GMm}{R_1}$।
$-\frac{7}{8}mv_0^2 = \frac{1}{2}m(\frac{v_0 R}{2 R_1})^2 - \frac{mv_0^2 R}{R_1}$।
$mv_0^2$ से विभाजित करने पर: $-\frac{7}{8} = \frac{R^2}{8 R_1^2} - \frac{R}{R_1}$।
मान लीजिए $x = \frac{R}{R_1}$,तो $-\frac{7}{8} = \frac{1}{8}x^2 - x$।
$x^2 - 8x + 7 = 0$।
$(x-7)(x-1) = 0$।
चूंकि $R_1 < R$,इसलिए $x = 7$,अतः $R_1 = \frac{R}{7}$।

(D) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,उपग्रह का कोणीय संवेग उसकी कक्षा के सभी बिंदुओं पर स्थिर रहता है।
$L_a = L_b$
$m v_a r_a = m v_b r_b$
चित्र से दिया गया है कि ग्रह $P$ से बिंदु $a$ की दूरी $r_a = r$ है और ग्रह $P$ से बिंदु $b$ की दूरी $r_b = 3r$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$m v_a r = m v_b (3r)$
$v_a = 3 v_b$
अतः,बिंदु $a$ पर गति और बिंदु $b$ पर गति का अनुपात है:
$\frac{v_a}{v_b} = \frac{3}{1} = 3 : 1$

(D) $r$ त्रिज्या वाली कक्षा में उपग्रह की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा का परिमाण $E = \frac{GMm}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,ऊर्जा क्वांटाइज्ड है ताकि $E_n = n \cdot k$,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है और $k$ एक स्थिर ऊर्जा है।
$R$ त्रिज्या वाली पहली कक्षा के लिए,हमारे पास $\frac{GMm}{2R} = n \cdot k$ है।
$\frac{3R}{2}$ त्रिज्या वाली अगली क्रमिक कक्षा के लिए,ऊर्जा $(n-1) \cdot k$ होनी चाहिए (क्योंकि त्रिज्या बढ़ने पर ऊर्जा का परिमाण घटता है),इसलिए $\frac{GMm}{2(3R/2)} = (n-1) \cdot k$,जो सरल होकर $\frac{GMm}{3R} = (n-1) \cdot k$ हो जाता है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{GMm/2R}{GMm/3R} = \frac{n}{n-1} \Rightarrow \frac{3}{2} = \frac{n}{n-1}$.
$n$ के लिए हल करने पर: $3n - 3 = 2n \Rightarrow n = 3$.
$n=3$ को पहले समीकरण में रखने पर: $\frac{GMm}{2R} = 3k \Rightarrow k = \frac{GMm}{6R}$.
अधिकतम त्रिज्या $R_{\text{max}}$ सबसे निचले ऊर्जा स्तर के अनुरूप है,जो $n=1$ है।
अतः,$\frac{GMm}{2R_{\text{max}}} = 1 \cdot k = \frac{GMm}{6R}$.
$R_{\text{max}}$ के लिए हल करने पर $R_{\text{max}} = 3R$ प्राप्त होता है।

(A) $2R$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा के लिए,कक्षीय गति $v = \sqrt{\frac{GM}{2R}}$ द्वारा दी जाती है।
दीर्घवृत्ताकार कक्षा के लिए,अर्ध-दीर्घ अक्ष $a$,पेरिऐप्सिस और एपोऐप्सिस दूरियों का औसत है: $a = \frac{R + 2R}{2} = \frac{3R}{2}$.
एपोऐप्सिस ($2R$ दूरी) पर दीर्घवृत्ताकार कक्षा के लिए ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{2}mv_0^2 - \frac{GMm}{2R} = -\frac{GMm}{2a} = -\frac{GMm}{3R}$.
ऊर्जा समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{2}v_0^2 = \frac{GM}{2R} - \frac{GM}{3R} = \frac{GM}{6R}$.
अतः,$\frac{GM}{R} = 3v_0^2$.
इस मान को वृत्ताकार कक्षा की गति के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $v = \sqrt{\frac{GM}{2R}} = \sqrt{\frac{3v_0^2}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} v_0$.

(D) किसी गोलाकार पिंड की सतह के पास घूमने वाले उपग्रह का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि क्षुद्रग्रह के द्रव्यमान $M$ को उसके घनत्व $\rho$ और त्रिज्या $R$ के संदर्भ में $M = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{R^3}{G (\rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3)}} = 2\pi \sqrt{\frac{3}{4 \pi G \rho}} = \sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}}$.
यह दर्शाता है कि आवर्तकाल केवल पिंड के घनत्व $\rho$ पर निर्भर करता है।
चूंकि क्षुद्रग्रह का घनत्व पृथ्वी के समान है,इसलिए इसकी सतह के पास घूमने वाले कंकड़ का आवर्तकाल पृथ्वी की सतह के पास घूमने वाले उपग्रह के आवर्तकाल के समान होगा।
यह मान लगभग $84 \ \text{min}$ है,जो $1 \ \text{hr} \ 24 \ \text{min}$ के बराबर है।

(B) केप्लर के दूसरे नियम के अनुसार,ग्रह का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है क्योंकि गुरुत्वाकर्षण बल एक केंद्रीय बल है।
स्थान $A$ और $B$ पर कोणीय संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$L_A = L_B$
$m v_A r_A = m v_B r_B$
जहाँ $r_A = OA$ और $r_B = OB$ है।
चालों का अनुपात ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{v_B}{v_A} = \frac{r_A}{r_B} = \frac{OA}{OB}$
यह दिया गया है कि $\frac{OA}{OB} = x$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\frac{v_B}{v_A} = x$

(B) $m$ द्रव्यमान का एक ग्रह जो $R$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में $\omega$ कोणीय वेग के साथ घूम रहा है,उसके लिए अभिकेंद्री बल गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
दिया गया है कि गुरुत्वाकर्षण बल $F \propto R^{-5/2}$,इसलिए हम लिख सकते हैं $F = k R^{-5/2}$ जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
अभिकेंद्री बल $F = m R \omega^2$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों की तुलना करने पर,हमें मिलता है $m R \omega^2 \propto R^{-5/2}$।
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,हम इस मान को समीकरण में रखते हैं: $m R (\frac{2\pi}{T})^2 \propto R^{-5/2}$।
इसे सरल करने पर $\frac{R}{T^2} \propto R^{-5/2}$ प्राप्त होता है।
$T^2$ के लिए व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $T^2 \propto R \cdot R^{5/2} = R^{1 + 5/2} = R^{7/2}$।
अतः,$T^2 \propto R^{7/2}$।

(A) किसी खगोलीय पिंड के केंद्र से $R$ दूरी पर परवलयाकार पथ पर गतिमान वस्तु की गति उस बिंदु पर पलायन वेग (escape velocity) के बराबर होती है।
$V_{p} = V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
अंतरिक्ष यान को $R$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह के रूप में बदलने के लिए,इसकी गति को कम करके उस दूरी पर कक्षीय वेग $V_{0}$ के बराबर करना होगा।
$V_{0} = \sqrt{\frac{GM}{R}}$
गति में आवश्यक परिवर्तन $\Delta V = V_{p} - V_{0}$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta V = \sqrt{\frac{2GM}{R}} - \sqrt{\frac{GM}{R}}$
$\Delta V = \sqrt{\frac{GM}{R}} (\sqrt{2} - 1)$

(C) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर एक उपग्रह का कक्षीय वेग $V_{0} = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$ द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी की सतह से पलायन वेग $V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,कक्षीय गति पलायन वेग की आधी है: $V_{0} = \frac{V_{e}}{2}$।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{\frac{GM}{R+h}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2GM}{R}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{GM}{R+h} = \frac{1}{4} \times \frac{2GM}{R}$।
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{1}{R+h} = \frac{1}{2R}$।
अतः,$R+h = 2R$,जिससे हमें $h = R$ प्राप्त होता है।

(A) क्षेत्रीय गति $v_a$ को त्रिज्या सदिश द्वारा तय किए गए क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है,जो $v_a = \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r v$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $v_a^2 = \frac{1}{4} r^2 v^2$ प्राप्त होता है।
वृत्ताकार कक्षा में एक उपग्रह के लिए,कक्षीय वेग $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ होता है। चूंकि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$ है। अतः,$v^2 = \frac{gR^2}{r}$।
$v^2$ का मान क्षेत्रीय गति के समीकरण में रखने पर: $v_a^2 = \frac{1}{4} r^2 \left( \frac{gR^2}{r} \right) = \frac{1}{4} r g R^2$।
कक्षीय त्रिज्या $r$ के लिए हल करने पर: $r = \frac{4v_a^2}{gR^2}$।
पृथ्वी की सतह से ऊँचाई $h = r - R$ है।
अतः,$h = \frac{4v_a^2}{gR^2} - R$।

(D) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,ग्रह का कोणीय संवेग $L$ अपनी कक्षा में स्थिर रहता है।
कोणीय संवेग $L = I\omega = mr^2\omega$ द्वारा दिया जाता है।
निकटतम बिंदु (पेरिहेलियन) पर,$L = m r_{min}^2 \omega$ है।
सबसे दूर के बिंदु (एफेलियन) पर,$L = m r_{max}^2 \omega'$ है,जहाँ $\omega'$ सबसे दूर की दूरी पर कोणीय वेग है।
दोनों को बराबर करने पर,हमें $m r_{min}^2 \omega = m r_{max}^2 \omega'$ प्राप्त होता है।
$\omega'$ के लिए हल करने पर,हमें $\omega' = \frac{r_{min}^2}{r_{max}^2} \omega$ प्राप्त होता है।

(A) उपग्रह की कक्षीय चाल $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दी जाती है।
इसका अर्थ है कि $v \propto r^{-1/2}$ है।
लघुगणकीय अवकलन लेने पर,हमें $\frac{\Delta v}{v} = -\frac{1}{2} \frac{\Delta r}{r}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि त्रिज्या में $2\%$ की कमी होती है,इसलिए $\frac{\Delta r}{r} = -0.02$ है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{\Delta v}{v} = -\frac{1}{2} \times (-0.02) = 0.01$ प्राप्त होता है।
अतः,चाल में $1\%$ की वृद्धि होगी।

(C) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित उपग्रह का कक्षीय वेग $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी की सतह के ठीक ऊपर उपग्रह के लिए,कक्षीय त्रिज्या $r_1 = R$ है,इसलिए $v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$।
सतह से $h = R/2$ की ऊंचाई पर स्थित उपग्रह के लिए,कक्षीय त्रिज्या $r_2 = R + R/2 = \frac{3R}{2}$ है।
नया कक्षीय वेग $v'$ इस प्रकार है: $v' = \sqrt{\frac{GM}{r_2}} = \sqrt{\frac{GM}{3R/2}} = \sqrt{\frac{2GM}{3R}}$।
दोनों वेगों की तुलना करने पर: $\frac{v'}{v} = \frac{\sqrt{\frac{2GM}{3R}}}{\sqrt{\frac{GM}{R}}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$।
अतः,$v' = \sqrt{2/3} v$।

(B) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल $T$ का वर्ग कक्षा की त्रिज्या $R$ के घन के समानुपाती होता है,अर्थात $T^2 \propto R^3$.
यहाँ $T_1 = 2 \, days$,$R_1 = R$,$T_2 = 16 \, days$,और $R_2 = ?$.
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{T_2^2}{T_1^2} = \frac{R_2^3}{R_1^3} \Rightarrow \frac{16^2}{2^2} = \left(\frac{R_2}{R}\right)^3$.
$\frac{256}{4} = 64 = \left(\frac{R_2}{R}\right)^3$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $\frac{R_2}{R} = 4$,अतः $R_2 = 4R$.
कक्षीय वेग $v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ के लिए,$v \propto \frac{1}{\sqrt{R}}$ होता है।
इसलिए,$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{R_1}{R_2}} = \sqrt{\frac{R}{4R}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
अतः,$v_2 = \frac{v_1}{2} = \frac{v_0}{2}$.

(D) $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में पृथ्वी $(M_e)$ के चारों ओर परिक्रमा कर रहे $m$ द्रव्यमान के उपग्रह के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है:
$\frac{GM_e m}{r^2} = \frac{mv^2}{r} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{GM_e}{r}}$
$1$. गतिज ऊर्जा $(K.E.)$: $K.E. = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{GM_e m}{2r}$. अतः,$K.E. \propto \frac{1}{r}$.
$2$. कोणीय संवेग $(L)$: $L = mvr = m \sqrt{\frac{GM_e}{r}} \cdot r = m\sqrt{GM_e r}$. अतः,$L \propto r^{1/2}$.
$3$. रेखीय संवेग $(P)$: $P = mv = m\sqrt{\frac{GM_e}{r}}$. अतः,$P \propto r^{-1/2}$.
$4$. परिक्रमण की आवृत्ति $(f)$: केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार,$T^2 \propto r^3$,इसलिए $T \propto r^{3/2}$. चूंकि $f = \frac{1}{T}$,इसलिए $f \propto r^{-3/2}$ या $f \propto \frac{1}{r^{3/2}}$.
अतः,विकल्प $D$ सही है.

(B) $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में परिक्रमा कर रहे $m$ द्रव्यमान के उपग्रह का कोणीय संवेग $L = mvr$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कक्षीय वेग $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ होता है,इसलिए हम इसे $L$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$L = m \sqrt{\frac{GM}{r}} \cdot r = m \sqrt{GMr}$।
यह दर्शाता है कि $L \propto \sqrt{r}$ है।
माना प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_1 = L$ है जब दूरी $r_1 = r$ है।
माना नया कोणीय संवेग $L_2$ है जब दूरी $r_2 = 4r$ है।
समानुपातिकता $L \propto \sqrt{r}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{L_2}{L_1} = \sqrt{\frac{r_2}{r_1}} = \sqrt{\frac{4r}{r}} = \sqrt{4} = 2$।
अतः,$L_2 = 2L_1 = 2L$।

(B) जब दो पिंड अपने सामान्य द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर घूमते हैं,तो गुरुत्वाकर्षण बल दोनों कणों के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
चूंकि सिस्टम के संतुलन को बनाए रखने के लिए कणों को हमेशा द्रव्यमान केंद्र के विपरीत दिशाओं में रहना चाहिए,इसलिए उन्हें समान समयावधि $T$ में अपनी वृत्ताकार कक्षा पूरी करनी होगी।
कोणीय वेग को $\omega = \frac{2\pi}{T}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि दोनों कणों की समयावधि $T$ समान है,इसलिए उनके कोणीय वेग समान होने चाहिए,अर्थात $\omega_1 = \omega_2$।
यह कोणीय वेग दो द्रव्यमानों के बीच गुरुत्वाकर्षण संपर्क द्वारा निर्धारित होता है और कक्षीय गति की गतिशीलता के संदर्भ में यह अंश $f$ से स्वतंत्र है।

(B) मान लीजिए कि उपग्रह स्पर्शरेखीय दिशा में (मान लीजिए $y$-अक्ष के अनुदिश) $v$ वेग से गति कर रहा है और उल्कापिंड पृथ्वी की ओर ($x$-अक्ष के अनुदिश) $v$ वेग से गति कर रहा है। पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर के बाद,संयुक्त द्रव्यमान $2M$ एक नए वेग सदिश $\vec{V}$ के साथ गति करता है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$x$-अक्ष के अनुदिश: $Mv = (2M)v_x \Rightarrow v_x = v/2$.
$y$-अक्ष के अनुदिश: $Mv = (2M)v_y \Rightarrow v_y = v/2$.
नए वेग का परिमाण $V = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(v/2)^2 + (v/2)^2} = v/\sqrt{2}$ है।
चूंकि उपग्रह एक वृत्ताकार कक्षा में था,उसका प्रारंभिक वेग $v = \sqrt{GM/R}$ था। नया वेग $V = v/\sqrt{2} < v$ है। इसके अलावा,वेग की दिशा अब पूरी तरह से स्पर्शरेखीय नहीं है। समान कक्षीय त्रिज्या $R$ पर चाल और दिशा दोनों में परिवर्तन के परिणामस्वरूप गति दीर्घवृत्ताकार कक्षा में होगी।

(B) $M$ द्रव्यमान वाली पृथ्वी के चारों ओर $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में घूम रहे $m$ द्रव्यमान के उपग्रह की गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{GMm}{2r}$ द्वारा दी जाती है।
उपग्रह $A$ के लिए: द्रव्यमान $= m$,त्रिज्या $= R$. अतः,$K.E._A = \frac{GMm}{2R}$.
उपग्रह $B$ के लिए: द्रव्यमान $= 2m$,त्रिज्या $= 2R$. अतः,$K.E._B = \frac{GM(2m)}{2(2R)} = \frac{GMm}{2R}$.
अनुपात लेने पर: $\frac{K.E._A}{K.E._B} = \frac{GMm/2R}{GMm/2R} = 1$.

(D) $r$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $E = \frac{GM(r)}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M(r)$ त्रिज्या $r$ के भीतर निहित द्रव्यमान है।
दिया गया है $\rho(r) = \frac{K}{r^2}$,इसलिए द्रव्यमान $M(r)$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$M(r) = \int_0^r \rho(x) \cdot 4\pi x^2 dx = \int_0^r \frac{K}{x^2} \cdot 4\pi x^2 dx = \int_0^r 4\pi K dx = 4\pi Kr$.
गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के समीकरण में $M(r)$ का मान रखने पर:
$E = \frac{G(4\pi Kr)}{r^2} = \frac{4\pi GK}{r}$.
$R$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में $m$ द्रव्यमान के कण के लिए,अभिकेंद्र बल गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है:
$\frac{mV^2}{R} = mE = m \left( \frac{4\pi GK}{R} \right)$.
इससे $V^2 = 4\pi GK$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि कक्षीय गति $V$ एक स्थिरांक है।
कक्षा का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi R}{V}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $V$ स्थिर है,इसलिए $T \propto R$,जिसका अर्थ है कि $\frac{T}{R} = \text{स्थिरांक}$।

(B) ग्रह के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित उपग्रह का कक्षीय वेग $V$, $\frac{mV^2}{r} = \frac{GMm}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है, जो सरल होकर $V = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ हो जाता है。
यहाँ, $r = R + h = 2 \times 10^6 \, m + 20 \times 10^3 \, m = 2.02 \times 10^6 \, m$ है。
एक चक्कर का आवर्तकाल $T_p = \frac{2\pi r}{V} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ है。
$T = 24 \, \text{घंटे }= 24 \times 3600 \, \text{सेकंड}$ समय में चक्करों की संख्या $n = \frac{T}{T_p} = \frac{T}{2\pi} \sqrt{\frac{GM}{r^3}}$ है。
मान रखने पर: $n = \frac{24 \times 3600}{2 \times 3.14} \sqrt{\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 8 \times 10^{22}}{(2.02 \times 10^6)^3}}$.
$n = \frac{86400}{6.28} \sqrt{\frac{53.36 \times 10^{11}}{8.2424 \times 10^{18}}} = 13758 \times \sqrt{6.47 \times 10^{-7}} = 13758 \times 8.04 \times 10^{-4} \approx 11.06$.
अतः, पूर्ण चक्करों की संख्या $11$ है।

(C) $R$ त्रिज्या के वृत्त में अंकित एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर रखे $M$ द्रव्यमान के तीन पिंडों पर विचार करें। मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई $L$ है।
केंद्र $O$ से किसी भी शीर्ष की दूरी $R$ है। एक समबाहु त्रिभुज में,केंद्र से शीर्ष की दूरी भुजा की लंबाई $L$ से $R = \frac{L}{\sqrt{3}}$ द्वारा संबंधित है,जिसका अर्थ है $L = \sqrt{3}R$।
अन्य दो पिंडों द्वारा एक पिंड पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल दो बलों का सदिश योग है,जिनमें से प्रत्येक का परिमाण $F = \frac{GM^2}{L^2}$ है। इन दो बलों के बीच का कोण $60^{\circ}$ है।
परिणामी गुरुत्वाकर्षण बल $F_{net}$ इस प्रकार है:
$F_{net} = 2F \cos(30^{\circ}) = 2 \left( \frac{GM^2}{L^2} \right) \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}GM^2}{L^2}$।
यह परिणामी बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$\frac{Mv^2}{R} = \frac{\sqrt{3}GM^2}{L^2}$।
$L^2 = 3R^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{Mv^2}{R} = \frac{\sqrt{3}GM^2}{3R^2} = \frac{GM^2}{\sqrt{3}R^2}$।
$v$ के लिए हल करने पर:
$v^2 = \frac{GM}{\sqrt{3}R} \implies v = \sqrt{\frac{GM}{\sqrt{3}R}}$।

(B) गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{k}{R^n}$ द्वारा दिया जाता है।
वृत्तातीय कक्षा में एक ग्रह के लिए,यह बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $\frac{mv^2}{R} = \frac{k}{R^n}$.
कक्षीय वेग $v$ के लिए हल करने पर,हमें मिलता है $v^2 = \frac{k}{mR^{n-1}}$,जिसका अर्थ है $v \propto R^{-(n-1)/2}$.
कक्षा का आवर्तकाल $T$,$T = \frac{2\pi R}{v}$ द्वारा दिया जाता है।
$v$ के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $T \propto \frac{R}{R^{-(n-1)/2}} = R^{1 + (n-1)/2} = R^{(2+n-1)/2} = R^{(n+1)/2}$.
अतः,$T \propto R^{(n+1)/2}$.

(D) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,ग्रह का कोणीय संवेग $L$ अपनी पूरी कक्षा में स्थिर रहता है।
कोणीय संवेग $L = I\omega = mr^2\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ ग्रह का द्रव्यमान है,$r$ सूर्य से दूरी है और $\omega$ कोणीय वेग है।
निकटतम बिंदु (पेरिहेलियन) पर,$L = mr_{min}^2\omega$.
अधिकतम दूरी वाले बिंदु (एफेलियन) पर,$L = mr_{max}^2\omega'$,जहाँ $\omega'$ अधिकतम दूरी पर कोणीय वेग है।
चूंकि कोणीय संवेग संरक्षित रहता है,इसलिए $mr_{min}^2\omega = mr_{max}^2\omega'$.
$\omega'$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है $\omega' = \frac{r_{min}^2}{r_{max}^2}\omega$.

(D) $1$. पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर $m$ द्रव्यमान के उपग्रह के लिए,कुल ऊर्जा $E = -\frac{GMm}{2r}$ है। पलायन के लिए आवश्यक ऊर्जा $E_{escape} = -E = \frac{GMm}{2r}$ है।
$2$. समान ऊंचाई $r$ पर स्थित एक स्थिर वस्तु के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ है। पलायन के लिए आवश्यक ऊर्जा $E'_{escape} = -U = \frac{GMm}{r}$ है।
$3$. चूंकि $\frac{GMm}{r} > \frac{GMm}{2r}$,विकल्प $A$ गलत है।
$4$. कुल ऊर्जा $E = K + U$ होती है। उपग्रह के लिए,$K = -\frac{1}{2}U$ होता है। अतः,$E = -\frac{1}{2}U + U = \frac{1}{2}U$। विकल्प $B$ गलत है।
$5$. स्पुतनिक $I$ वर्ष $1957$ में लॉन्च किया गया था,$1950$ में नहीं। विकल्प $C$ गलत है।
$6$. भूस्थिर उपग्रह की कक्षीय गति $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ होती है। $r \approx 42200 \ km$ के लिए,$v \approx 3.07 \times 10^3 \ m \ s^{-1}$ प्राप्त होता है। विकल्प $D$ सही है।

(A) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो बिंदु द्रव्यमानों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
बाइनरी तारा प्रणाली में,दोनों तारे अपने सामान्य द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ के चारों ओर घूमते हैं।
दोनों तारों के बीच की दूरी द्रव्यमान केंद्र से उनकी कक्षीय त्रिज्याओं का योग है,जो $r = r_1 + r_2$ है।
इस दूरी को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें गुरुत्वाकर्षण बल का परिमाण $F = \frac{G m_1 m_2}{(r_1 + r_2)^2}$ प्राप्त होता है।

(D) उपग्रह की वृत्ताकार कक्षा के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है: $\frac{GMm}{(R+h)^{2}} = m \omega^{2}(R+h)$.
यहाँ,$G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है,$m$ उपग्रह का द्रव्यमान है,$R$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $h$ सतह से उपग्रह की ऊँचाई है।
कोणीय वेग $\omega$ के लिए सरल करने पर: $\omega = \sqrt{\frac{GM}{(R+h)^{3}}}$.
चूँकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{(R+h)^{3}}{GM}}$.
कक्षा की त्रिज्या $r = R+h$ है।
अतः,$T = 2\pi \sqrt{\frac{r^{3}}{GM}}$.
इस समीकरण से,$T$ पृथ्वी के द्रव्यमान $(M)$,कक्षा की त्रिज्या $(r)$ और ऊँचाई $(h)$ (चूँकि $r = R+h$) पर निर्भर करता है। यह उपग्रह के द्रव्यमान $(m)$ पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,सही कारक $(ii), (iii)$ और $(iv)$ हैं।

(C) ध्रुवीय उपग्रह कम ऊंचाई वाले उपग्रह होते हैं,जो आमतौर पर पृथ्वी की सतह से $500 \, \text{km}$ से $800 \, \text{km}$ की ऊंचाई पर परिक्रमा करते हैं।
इसलिए,यह कथन कि ध्रुवीय उपग्रह एक उच्च ऊंचाई वाला उपग्रह है,गलत है।
विकल्प $(C)$ सही उत्तर है।

(A) $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह का कोणीय संवेग $L = mvr$ द्वारा दिया जाता है।
वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह के लिए,कक्षीय वेग $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ होता है।
इस मान को कोणीय संवेग के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $L = m \sqrt{\frac{GM}{r}} \cdot r = m \sqrt{GMr}$।
जब त्रिज्या $r$ से बढ़कर $r^{\prime} = 2r$ हो जाती है,तो नया कोणीय संवेग $L^{\prime}$ इस प्रकार होगा:
$L^{\prime} = m \sqrt{GM(2r)} = \sqrt{2} \cdot m \sqrt{GMr} = \sqrt{2} L$।
चूंकि $\sqrt{2} > 1$ है,इसलिए कोणीय संवेग में वृद्धि होती है।

(A) उपग्रह का कक्षीय वेग $v = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{GM} \cdot R^{-1/2}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का $R$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dv}{dR} = \sqrt{GM} \cdot (-\frac{1}{2}) R^{-3/2} = -\frac{1}{2} \frac{\sqrt{GM}}{R \sqrt{R}} = -\frac{1}{2R} \sqrt{\frac{GM}{R}}$.
छोटे परिवर्तनों के लिए,$\Delta v \approx \frac{dv}{dR} \Delta R$ होता है।
चूंकि त्रिज्या में कमी $\Delta R$ है,इसलिए त्रिज्या में परिवर्तन $-\Delta R$ है।
अतः,$\Delta v = (-\frac{1}{2R} \sqrt{\frac{GM}{R}}) \cdot (-\Delta R) = \frac{\Delta R}{2R} \sqrt{\frac{GM}{R}} = \frac{\Delta R}{2} \sqrt{\frac{GM}{R^3}}$.
इस प्रकार,कक्षीय वेग में परिवर्तन $\frac{\Delta R}{2} \sqrt{\frac{GM}{R^3}}$ है।

(C) उपग्रह का कक्षीय वेग $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ पृथ्वी के केंद्र से दूरी है।
इसका अर्थ है $v_0 \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$।
पृथ्वी की सतह के बहुत निकट उपग्रह के लिए,कक्षीय त्रिज्या $r_1 \approx R$ है और उसका वेग $v_1 = v$ है।
$3R$ की ऊँचाई पर स्थित उपग्रह के लिए,कक्षीय त्रिज्या $r_2 = R + 3R = 4R$ है।
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{r_2}{r_1}}$।
मान रखने पर: $\frac{v}{v_2} = \sqrt{\frac{4R}{R}} = \sqrt{4} = 2$।
अतः,$v_2 = \frac{v}{2}$।

(A) केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार,उपग्रह का आवर्तकाल $T$ उसकी कक्षीय त्रिज्या $r$ से $T \propto r^{3/2}$ द्वारा संबंधित है।
यहाँ,कक्षीय त्रिज्या $r$ पृथ्वी के केंद्र से दूरी है,इसलिए $r = R_{earth} + h$.
भू-स्थिर उपग्रह के लिए: $r_1 = R + 5R = 6R$. इसका आवर्तकाल $T_1 = 24$ घंटे है।
दूसरे उपग्रह के लिए: $r_2 = R + 2R = 3R$.
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{T_1}{T_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^{3/2}$.
मान रखने पर: $\frac{24}{T_2} = \left( \frac{6R}{3R} \right)^{3/2} = (2)^{3/2} = 2\sqrt{2}$.
अतः,$T_2 = \frac{24}{2\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$ घंटे।

(D) $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के चारों ओर $r$ दूरी पर परिक्रमा कर रहे $m$ द्रव्यमान के उपग्रह के लिए:
गतिज ऊर्जा $(KE)$ = $\frac{GMm}{2r}$
स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ = $-\frac{GMm}{r}$
कुल ऊर्जा $(E)$ = $-\frac{GMm}{2r}$
यदि त्रिज्या $r$ को कम किया जाता है:
$1$. चूंकि $KE = \frac{GMm}{2r}$,इसलिए जैसे-जैसे $r$ कम होता है,$KE$ बढ़ता है।
$2$. चूंकि $PE = -\frac{GMm}{r}$,इसलिए जैसे-जैसे $r$ कम होता है,$\frac{GMm}{r}$ का परिमाण बढ़ता है,जिससे ऋणात्मक मान और अधिक ऋणात्मक हो जाता है। अतः $PE$ घटता है।
इसलिए,कथन $(A)$ और $(B)$ दोनों गलत हैं,जिससे विकल्प $(D)$ सही उत्तर है।

(C) पृथ्वी के केंद्र से $r = R + x$ की दूरी पर एक उपग्रह की कक्षीय गति $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{GM}{R + x}}$ द्वारा दी जाती है।
हम जानते हैं कि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है,जिसका अर्थ है $GM = gR^2$।
$v_0$ के व्यंजक में $GM = gR^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$v_0 = \sqrt{\frac{gR^2}{R + x}} = \left( \frac{gR^2}{R + x} \right)^{1/2}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) सूर्य के चारों ओर वृत्ताकार कक्षा में घूमने वाले ग्रह के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
$\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$
कक्षीय वेग $v$ के लिए हल करने पर:
$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
कोणीय संवेग $L$ का सूत्र $L = mvr$ है।
$v$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$L = m \left( \sqrt{\frac{GM}{r}} \right) r$
$L = m \sqrt{GM} \sqrt{r}$
चूंकि $m$,$G$ और $M$ स्थिरांक हैं,इसलिए हम पाते हैं कि $L \propto \sqrt{r}$।

(C) पार्किंग कक्षा (भूस्थिर कक्षा) में स्थित एक उपग्रह पृथ्वी के घूर्णन के समान कक्षीय वेग के साथ चलता है। जब ऐसे उपग्रह से किसी पिंड को गिराया जाता है,तो वह उस क्षण उपग्रह के समान ही कक्षीय वेग बनाए रखता है। इसलिए,पिंड उपग्रह की तरह ही उसी कक्षा में गति करना जारी रखेगा। परिणामस्वरूप,यह पृथ्वी की सतह पर किसी बिंदु के सापेक्ष स्थिर दिखाई देगा और $24$ घंटे की समयावधि के साथ पृथ्वी की धुरी के चारों ओर घूमेगा।

(C) $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के चारों ओर $r$ दूरी पर वृत्ताकार कक्षा में परिक्रमा करने वाले उपग्रह का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ द्वारा दिया जाता है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि आवर्तकाल $T$,ग्रह के द्रव्यमान $M$ और कक्षीय त्रिज्या $r$ पर निर्भर करता है।
कक्षीय त्रिज्या $r$,ग्रह की त्रिज्या $R$ और सतह से ऊंचाई $h$ से संबंधित है $(r = R + h)$।
इसलिए,आवर्तकाल ग्रह के द्रव्यमान और ग्रह की त्रिज्या पर निर्भर करता है।
हालाँकि,उपग्रह का द्रव्यमान $m$ सूत्र में नहीं आता है,जिसका अर्थ है कि आवर्तकाल उपग्रह के द्रव्यमान से स्वतंत्र है।

(B) पृथ्वी के चारों ओर $r$ दूरी पर परिक्रमा करने वाले उपग्रह का कक्षीय वेग $v_0$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_0 = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि कक्षीय वेग,कक्षीय त्रिज्या के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है:
$v_0 \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$
चूंकि दोनों उपग्रहों की त्रिज्याएँ $r_1 = 9R$ और $r_2 = 16R$ दी गई हैं,इसलिए उनकी चालों $v_1$ और $v_2$ का अनुपात होगा:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{r_2}{r_1}}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{16R}{9R}} = \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}$
अतः,चालों का अनुपात $4/3$ है।

(D) उपग्रह पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल उसकी वृत्ताकार कक्षा के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
माना पृथ्वी का द्रव्यमान $M_e$ है। गुरुत्वाकर्षण बल $F_g = \frac{G M_e m}{(R + x)^2}$ है।
आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{m v_0^2}{R + x}$ है।
इन दोनों को बराबर करने पर,$\frac{G M_e m}{(R + x)^2} = \frac{m v_0^2}{R + x}$,जिसे सरल करने पर $v_0^2 = \frac{G M_e}{R + x}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{G M_e}{R^2}$ है,जिसका अर्थ है कि $G M_e = g R^2$ है।
इस मान को $v_0^2$ के व्यंजक में रखने पर,$v_0^2 = \frac{g R^2}{R + x}$ प्राप्त होता है।
अतः,कक्षीय चाल $v_0 = \sqrt{\frac{g R^2}{R + x}} = \left( \frac{g R^2}{R + x} \right)^{1/2}$ है।

(C) सूर्य द्वारा किसी ग्रह पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल सूर्य और ग्रह को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करता है।
यह बल एक केंद्रीय बल है,जिसका अर्थ है कि सूर्य के परितः इसका आघूर्ण (टॉर्क) शून्य है।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य आघूर्ण शून्य है,तो निकाय का कोणीय संवेग स्थिर रहता है।
इसलिए,सौर मंडल में ग्रहों की गति कोणीय संवेग के संरक्षण का एक उदाहरण है।

(D) एक भूस्थिर उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर $T = 24 \, \text{घंटे} = 86400 \, \text{सेकंड}$ के आवर्तकाल के साथ परिक्रमा करता है。
उपग्रह की कक्षीय त्रिज्या $r$ के लिए सूत्र: $r = \left( \frac{G M T^2}{4 \pi^2} \right)^{1/3}$ है。
यहाँ $GM = g R^2$ का उपयोग करने पर,जहाँ $g = 9.8 \, \text{m/s}^2$ और $R = 6.4 \times 10^6 \, \text{m}$ है,कक्षीय त्रिज्या $r$ लगभग $42200 \, \text{km}$ प्राप्त होती है。
पृथ्वी की सतह से ऊँचाई $h = r - R$ होती है。
$h = 42200 \, \text{km} - 6400 \, \text{km} = 35800 \, \text{km}$。
अतः,मानक मान के अनुसार ऊँचाई लगभग $36000 \, \text{km}$ है。

(A) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,समय अवधि का वर्ग $(T^2)$ कक्षा की त्रिज्या के घन $(r^3)$ के समानुपाती होता है: $T^2 \propto r^3$.
कक्षीय त्रिज्या $r$ पृथ्वी के केंद्र से दूरी है,जिसे $r = R + h$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ सतह से ऊंचाई है।
भूस्थिर उपग्रह $(S_1)$ के लिए: $h_1 = 6R$,इसलिए $r_1 = R + 6R = 7R$. समय अवधि $T_1 = 24 \text{ घंटे}$.
दूसरे उपग्रह $(S_2)$ के लिए: $h_2 = 2.5R$,इसलिए $r_2 = R + 2.5R = 3.5R$.
अनुपात का उपयोग करते हुए: $\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^3$.
$\left(\frac{T_2}{24}\right)^2 = \left(\frac{3.5R}{7R}\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$.
$\frac{T_2}{24} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
$T_2 = \frac{24}{2\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2} \text{ घंटे}$.

(C) $Assertion$ सही है क्योंकि उपग्रह में एक अंतरिक्ष यात्री पृथ्वी की ओर मुक्त पतन (free fall) की स्थिति में होता है,जिसके परिणामस्वरूप वह भारहीनता का अनुभव करता है।
$Reason$ गलत है क्योंकि मुक्त रूप से गिरता हुआ पिंड गुरुत्वाकर्षण का अनुभव करता है (गुरुत्वाकर्षण बल के कारण ही त्वरण $g$ उत्पन्न होता है)। भारहीनता का अनुभव इसलिए होता है क्योंकि पिंड और उपग्रह दोनों समान त्वरण $g$ के साथ एक साथ गिर रहे होते हैं,जिससे अभिलंब बल (आभासी भार) शून्य हो जाता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) $1$. सतह से $R$ ऊँचाई (केंद्र से $2R$ दूरी) तक ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$\frac{1}{2}mu^2 - \frac{GMm}{R} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{2R}$
$\frac{1}{2}v^2 = \frac{1}{2}u^2 - \frac{GM}{2R} \Rightarrow v = \sqrt{u^2 - \frac{GM}{R}}$
$2$. $R$ ऊँचाई पर, उपग्रह ($m$ द्रव्यमान) रॉकेट ($m/10$ द्रव्यमान) को बाहर निकालता है। शेष उपग्रह ($9m/10$ द्रव्यमान) $2R$ दूरी पर वृत्ताकार कक्षा में प्रवेश करता है। कक्षीय वेग $v_o = \sqrt{\frac{GM}{2R}}$ है।
$3$. त्रिज्यीय और स्पर्शरेखीय दिशाओं में संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
त्रिज्यीय: $\frac{m}{10} v_r = m v = m \sqrt{u^2 - \frac{GM}{R}} \Rightarrow v_r = 10 \sqrt{u^2 - \frac{GM}{R}}$
स्पर्शरेखीय: $\frac{m}{10} v_T = \frac{9m}{10} v_o = \frac{9m}{10} \sqrt{\frac{GM}{2R}} \Rightarrow v_T = 9 \sqrt{\frac{GM}{2R}}$
$4$. रॉकेट की गतिज ऊर्जा $(K_r = \frac{1}{2} (m/10) (v_r^2 + v_T^2))$:
$K_r = \frac{m}{20} \left( 100(u^2 - \frac{GM}{R}) + 81(\frac{GM}{2R}) \right)$
$K_r = \frac{m}{20} \left( 100u^2 - 100\frac{GM}{R} + 40.5\frac{GM}{R} \right) = \frac{m}{20} \left( 100u^2 - 59.5\frac{GM}{R} \right)$
$K_r = 5m \left( u^2 - 0.595 \frac{GM}{R} \right) = 5m \left( u^2 - \frac{119}{200} \frac{GM}{R} \right)$.