Motion of Satellites in Circular Orbits and Planets in Elliptical Orbits Questions in Hindi

(A) एक द्वि-तारा निकाय में,दोनों तारे अपने सामान्य द्रव्यमान केंद्र (center of mass) के चारों ओर परिक्रमा करते हैं।
निकाय के स्थिर रहने के लिए,दोनों तारों को हर समय समान कोणीय वेग $\omega$ बनाए रखना आवश्यक है।
चूंकि कोणीय वेग $\omega$ और आवर्तकाल $T$ के बीच संबंध $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है,यदि $\omega_{A} = \omega_{B}$ है,तो $T_{A} = T_{B}$ होगा।
अतः,दोनों तारे समान समय में एक चक्कर पूरा करते हैं।

(C) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,सूर्य के चारों ओर चक्कर लगाने वाले ग्रह का कोणीय संवेग अपनी कक्षा के सभी बिंदुओं पर स्थिर रहता है।
$L = mvr \sin(\theta)$
पेरिहेलियन (न्यूनतम दूरी $x_{1}$) और एपहेलियन (अधिकतम दूरी $x_{2}$) पर,वेग सदिश त्रिज्या सदिश के लंबवत होता है,इसलिए $\sin(\theta) = 1$ होता है।
अतः,$m v_{max} x_{1} = m v_{min} x_{2}$।
यह दिया गया है कि न्यूनतम चाल $v_{0}$ है (जो अधिकतम दूरी $x_{2}$ पर होती है),इसलिए $v_{min} = v_{0}$।
इन मानों को संरक्षण समीकरण में रखने पर:
$v_{max} x_{1} = v_{0} x_{2}$
$v_{max} = \frac{v_{0} x_{2}}{x_{1}}$।

(D) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार, कक्षीय आवर्तकाल $T$ का वर्ग कक्षीय त्रिज्या $r$ के घन के समानुपाती होता है:
$T^{2} = \frac{4 \pi^{2}}{G M} \cdot r^{3}$
मंगल के द्रव्यमान $M$ को ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$M = \frac{4 \pi^{2}}{G} \cdot \frac{r^{3}}{T^{2}}$
दी गई मान:
$T = 7\, \text{घंटे}, 30\, \text{मिनट} = 7.5\, \text{घंटे} = 7.5 \times 3600\, \text{s} = 2.7 \times 10^{4}\, \text{s}$
$r = 9.0 \times 10^{3}\, \text{km} = 9.0 \times 10^{6}\, \text{m}$
$\frac{4 \pi^{2}}{G} = 6 \times 10^{11}\, \text{N}^{-1} \text{m}^{-2} \text{kg}^{2}$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$M = (6 \times 10^{11}) \cdot \frac{(9.0 \times 10^{6})^{3}}{(2.7 \times 10^{4})^{2}}$
$M = (6 \times 10^{11}) \cdot \frac{729 \times 10^{18}}{7.29 \times 10^{8}}$
$M = (6 \times 10^{11}) \cdot (100 \times 10^{10}) = 6 \times 10^{23}\, \text{kg}$

(A) $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के चारों ओर $r$ दूरी पर परिक्रमा करने वाले उपग्रह की कक्षीय चाल $V$ का सूत्र $V = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ है।
यहाँ कक्षाओं की त्रिज्याएँ $R_{1} = 3200 \, km$ और $R_{2} = 800 \, km$ दी गई हैं।
चालों का अनुपात $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{\sqrt{\frac{GM}{R_{1}}}}{\sqrt{\frac{GM}{R_{2}}}} = \sqrt{\frac{R_{2}}{R_{1}}}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \sqrt{\frac{800}{3200}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$।
इसे $\frac{1}{x}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 2$ प्राप्त होता है।

(D) केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार,$T^{2} \propto R^{3}$ होता है।
उपग्रहों $S_{1}$ और $S_{2}$ के लिए,$\left(\frac{T_{1}}{T_{2}}\right)^{2} = \left(\frac{R_{1}}{R_{2}}\right)^{3}$ होता है।
दिया गया है $T_{1} = 3 \,h$,$T_{2} = 24 \,h$,और $R_{1} = 3 \times 10^{4} \,km$।
उपग्रह $S_{2}$ की कक्षा की त्रिज्या $R_{2} = R_{1} \left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)^{2/3} = 3 \times 10^{4} \times \left(\frac{24}{3}\right)^{2/3} = 3 \times 10^{4} \times (8)^{2/3} = 3 \times 10^{4} \times 4 = 12 \times 10^{4} \,km$ है।
चूंकि उपग्रह विपरीत दिशाओं में घूम रहे हैं,जब वे एक-दूसरे के सबसे निकट होते हैं,तो उनके वेग सदिश ग्रह के सापेक्ष विपरीत दिशाओं में होते हैं,जिसका अर्थ है कि उनकी सापेक्ष गति उनकी कक्षीय गति का योग है।
कक्षीय गति $v_{1} = \frac{2 \pi R_{1}}{T_{1}} = \frac{2 \pi \times 3 \times 10^{4}}{3} = 2 \pi \times 10^{4} \,km \,h^{-1}$ और $v_{2} = \frac{2 \pi R_{2}}{T_{2}} = \frac{2 \pi \times 12 \times 10^{4}}{24} = \pi \times 10^{4} \,km \,h^{-1}$ है।
$S_{1}$ के सापेक्ष $S_{2}$ की सापेक्ष गति $v_{rel} = v_{1} + v_{2} = 2 \pi \times 10^{4} + \pi \times 10^{4} = 3 \pi \times 10^{4} \,km \,h^{-1}$ है।

(A) कण पर लगने वाला बल विभव के ऋणात्मक प्रवणता द्वारा दिया जाता है:
$F = -\frac{dV}{dr} = -\frac{d}{dr}(kr) = -k$.
बल का परिमाण लेने पर,हमें $F = k$ प्राप्त होता है।
वृत्तीय गति के लिए,यह बल अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है:
$F = mR\omega^2 = k$.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$mR\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 = k$.
$mR \cdot \frac{4\pi^2}{T^2} = k$.
$T^2$ के लिए व्यवस्थित करने पर:
$T^2 = \frac{4\pi^2 m}{k} \cdot R$.
चूंकि $\frac{4\pi^2 m}{k}$ एक स्थिरांक है,इसलिए $T^2 \propto R$,जिसका अर्थ है कि $T \propto R^{1/2}$।

(A) दिया गया विभव $V(r) = K r^{-n}$ है।
कण पर कार्य करने वाला बल $F$,विभव के ऋणात्मक प्रवणता द्वारा दिया जाता है:
$F = -\frac{dV}{dr} = -\frac{d}{dr}(K r^{-n}) = -K(-n)r^{-n-1} = \frac{nK}{r^{n+1}}$.
$m$ द्रव्यमान का कण जब $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में $v$ चाल से गति करता है,तो अभिकेंद्र बल इस केंद्रीय बल द्वारा प्रदान किया जाता है:
$\frac{mv^2}{r} = F = \frac{nK}{r^{n+1}}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$v^2 = \frac{nK}{m} \cdot \frac{r}{r^{n+1}} = \frac{nK}{m} \cdot r^{-n}$.
अतः,$v^2 r^n = \frac{nK}{m}$.
चूंकि $n$,$K$ और $m$ नियतांक हैं,इसलिए $v^2 r^n$ का मान स्थिर रहेगा।
अतः,$v_1^2 r_1^n = v_2^2 r_2^n$.

(D) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊंचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2}$ है।
चूंकि ऊंचाई $h$,पृथ्वी की त्रिज्या $R$ की तुलना में बहुत कम है $(h << R)$,इसलिए $g_h$ का मान पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g \approx 9.8 \, m/s^2$ के लगभग बराबर होता है।
चूंकि अंतरिक्ष यात्री अंतरिक्ष स्टेशन के अंदर है,वह मुक्त पतन (free fall) की स्थिति में है। अंतरिक्ष यात्री पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल उसे कक्षा में बनाए रखने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र त्वरण प्रदान करता है।
अतः,पृथ्वी से मापे जाने पर अंतरिक्ष यात्री का त्वरण लगभग $g$ होता है और यह पृथ्वी के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।

(D) सही उत्तर $D$ है।
जब कोई तारा अपना द्रव्यमान खोए बिना सिकुड़ता है,तो उसकी सतह पर गुरुत्वीय त्वरण बढ़ जाता है,लेकिन ग्रह जैसी दूर की वस्तु पर उस तारे द्वारा लगाए गए गुरुत्वाकर्षण बल में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
तारे द्वारा ग्रह पर लगाए गए गुरुत्वाकर्षण बल का सूत्र है:
$F = \frac{G M m}{r^2}$
जहाँ $M$ तारे का द्रव्यमान है,$m$ ग्रह का द्रव्यमान है और $r$ ग्रह की कक्षीय त्रिज्या है।
चूंकि तारे का द्रव्यमान $(M)$,ग्रह का द्रव्यमान $(m)$ और उनके बीच की दूरी $(r)$ अपरिवर्तित रहती है,इसलिए गुरुत्वाकर्षण बल $F$ स्थिर रहता है।
वृत्तातीय कक्षा को बनाए रखने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल केवल तारे के द्रव्यमान और दूरी $r$ पर निर्भर करता है,और इनमें से किसी में भी कोई बदलाव नहीं हुआ है,इसलिए ग्रह की कक्षीय त्रिज्या में कोई परिवर्तन नहीं होगा।

(D) वृत्ताकार कक्षा के लिए,$v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R_0}}$,इसलिए $GM = v_0^2 R_0$ है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम से,$r_1 v_{max} = r_2 v_{min}$,जहाँ $v_{max} = \beta v_0$ और $v_{min} = \alpha v_0$ है। अतः,$r_1 \beta v_0 = r_2 \alpha v_0 \Rightarrow r_2 = \frac{\beta}{\alpha} r_1$ है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम से,$\frac{1}{2} m(\beta v_0)^2 - \frac{GMm}{r_1} = \frac{1}{2} m(\alpha v_0)^2 - \frac{GMm}{r_2}$ है।
$GM = v_0^2 R_0$ और $r_2 = \frac{\beta}{\alpha} r_1$ प्रतिस्थापित करने पर,हम अर्ध-दीर्घ अक्ष $a = \frac{r_1 + r_2}{2}$ के लिए हल करते हैं।
ऊर्जा समीकरण से,$\frac{1}{2} v_0^2 (\beta^2 - \alpha^2) = GM(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}) = GM(\frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2})$ है।
$GM = v_0^2 R_0$ रखने पर,हमें $\frac{1}{2} (\beta^2 - \alpha^2) = \frac{R_0}{r_1 r_2} (r_2 - r_1)$ प्राप्त होता है।
$r_2 = \frac{\beta}{\alpha} r_1$ का उपयोग करके,हमें $r_1 = \frac{2 R_0 \alpha}{\beta(\alpha + \beta)}$ और $r_2 = \frac{2 R_0 \beta}{\alpha(\alpha + \beta)}$ प्राप्त होता है।
अर्ध-दीर्घ अक्ष $a = \frac{r_1 + r_2}{2} = R_0 \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta (\alpha + \beta)}$ है।
केप्लर के तीसरे नियम $T^2 = \frac{4 \pi^2 a^3}{GM}$ का उपयोग करके और मान रखने पर,हमें $T = \frac{2 \pi R_0}{v_0} (\alpha \beta)^{-\frac{3}{2}}$ प्राप्त होता है।

(C) पृथ्वी की सतह से पलायन वेग $v_e = \sqrt{2gR}$ द्वारा दिया जाता है।
कक्षा में उपग्रह की गति $v_o = \frac{v_e}{4} = \frac{\sqrt{2gR}}{4}$ दी गई है।
पृथ्वी के केंद्र से $x$ दूरी पर एक वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह के लिए,अभिकेंद्री बल गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है:
$\frac{GMm}{x^2} = \frac{mv_o^2}{x}$.
$v_o^2 = \frac{2gR}{16} = \frac{gR}{8}$ और $GM = gR^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{gR^2}{x^2} = \frac{gR/8}{x}$.
$x$ के लिए हल करने पर:
$x = \frac{gR^2}{gR/8} = 8R$.
पृथ्वी की सतह से उपग्रह की ऊँचाई $h = x - R = 8R - R = 7R$ है।

(B) $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह की कक्षीय चाल $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है और $M$ ग्रह का द्रव्यमान है।
इसका अर्थ है कि $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$.
उपग्रह $A$ के लिए दिया गया है: त्रिज्या $r_A = 4 R$ और चाल $v_A = 3 v$.
उपग्रह $B$ के लिए दिया गया है: त्रिज्या $r_B = R$.
समानुपातिकता $v_A \sqrt{r_A} = v_B \sqrt{r_B}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(3 v) \sqrt{4 R} = v_B \sqrt{R}$.
$(3 v) (2 \sqrt{R}) = v_B \sqrt{R}$.
$6 v \sqrt{R} = v_B \sqrt{R}$.
अतः,$v_B = 6 v$.

(B) उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर $v$ की स्थिर चाल से घूम रहा है। पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण खिंचाव उपग्रह को वृत्ताकार कक्षा में बनाए रखने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
न्यूटन के गति के प्रथम नियम के अनुसार,कोई वस्तु तब तक एक सीधी रेखा में स्थिर वेग से चलती रहेगी जब तक कि उस पर कोई बाहरी बल न लगाया जाए।
यदि गुरुत्वाकर्षण बल अचानक गायब हो जाता है,तो उपग्रह की दिशा बदलने के लिए कोई अभिकेंद्र बल नहीं बचेगा। परिणामस्वरूप,उपग्रह अपनी मूल कक्षा के स्पर्शरेखीय दिशा में $v$ की समान चाल से एक सीधी रेखा में गति करना जारी रखेगा।
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(D) $R$ त्रिज्या और $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह की सतह के निकट परिक्रमा करने वाले उपग्रह का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $T^2 = \frac{4 \pi^2 R^3}{GM}$ प्राप्त होता है।
ग्रह का द्रव्यमान $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi R^3 d$ है।
$M$ का मान आवर्तकाल के समीकरण में रखने पर:
$T^2 = \frac{4 \pi^2 R^3}{G (\frac{4}{3} \pi R^3 d)}$.
$R^3$ को काटने और व्यंजक को सरल करने पर:
$T^2 = \frac{4 \pi^2}{G \cdot \frac{4}{3} \pi d} = \frac{3 \pi}{G d}$.
$G$ के लिए हल करने पर:
$G = \frac{3 \pi}{d T^2}$.

(B) वृत्ताकार कक्षा में एक उपग्रह की कक्षीय चाल $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दी जाती है।
यदि चाल में $10 \%$ की वृद्धि की जाती है,तो नई चाल $v = 1.10 v_0$ हो जाती है।
उपग्रह के वृत्ताकार कक्षा में बने रहने के लिए,उसकी चाल सटीक रूप से $v_0$ होनी चाहिए। यदि चाल को इस प्रकार बढ़ाया जाता है कि $v_0 < v < v_e$ हो (जहाँ $v_e = \sqrt{2} v_0 \approx 1.414 v_0$ पलायन वेग है),तो उपग्रह अब वृत्ताकार पथ का अनुसरण नहीं करेगा।
इसके बजाय,उपग्रह एक दीर्घवृत्ताकार कक्षा का अनुसरण करेगा जिसमें ग्रह एक फोकस पर स्थित होगा।
चूंकि $1.10 v_0 < 1.414 v_0$ है,इसलिए उपग्रह पलायन नहीं करता है लेकिन उसका पथ बदलकर दीर्घवृत्ताकार हो जाता है।

(C) $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में $v$ चाल से घूम रहे $m$ द्रव्यमान के उपग्रह का कोणीय संवेग $L = mvr$ द्वारा दिया जाता है।
उपग्रह की कक्षीय चाल $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ होती है,जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है और $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है।
$v$ का मान कोणीय संवेग के सूत्र में रखने पर:
$L = m \left( \sqrt{\frac{GM}{r}} \right) r$
$L = m \sqrt{GM} \cdot \frac{r}{\sqrt{r}}$
$L = m \sqrt{GM} \cdot \sqrt{r}$
चूंकि $m$,$G$ और $M$ नियतांक हैं,इसलिए $L \propto \sqrt{r}$ प्राप्त होता है।

(C) $3R$ की ऊँचाई पर,पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = R + 3R = 4R$ है।
पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर वृत्ताकार कक्षा के लिए आवश्यक कक्षीय वेग $V_o = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ होता है।
यहाँ $r = 4R$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$V_o = \sqrt{\frac{GM}{4R}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{GM}{R}}$.
चूँकि वस्तु को इसी गति से क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित किया गया है,इसलिए यह पृथ्वी के चारों ओर एक वृत्ताकार कक्षा में घूमना शुरू कर देगी।
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(B) ध्रुवीय उपग्रहों का आवर्तकाल लगभग $100$ मिनट होता है।
ध्रुवीय उपग्रह कम ऊंचाई वाले उपग्रह होते हैं जो पृथ्वी के ध्रुवों के ऊपर से गुजरते हैं।
ये आमतौर पर पृथ्वी की सतह से $500 \,km$ से $800 \,km$ की ऊंचाई पर परिक्रमा करते हैं।
अपनी कम ऊंचाई के कारण,इनका कक्षीय आवर्तकाल भूस्थिर उपग्रहों की तुलना में बहुत कम होता है।

(B) गुरुत्वाकर्षण बल $(F)$ उपग्रह को उसकी कक्षा में बनाए रखने के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
अभिकेंद्री बल $F_c = \frac{m v_0^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,गुरुत्वाकर्षण बल $F \propto r^2$ है।
अभिकेंद्री बल को गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर रखने पर:
$\frac{m v_0^2}{r} \propto r^2$
चूंकि द्रव्यमान $(m)$ स्थिर है,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{v_0^2}{r} \propto r^2$
$v_0^2 \propto r^3$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$v_0 \propto r^{3/2}$

(B) एक भूस्थिर उपग्रह के लिए,आवर्तकाल $T$ पृथ्वी के घूर्णन के आवर्तकाल के बराबर होना चाहिए,जो $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।
पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित उपग्रह का आवर्तकाल केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ होता है।
हम जानते हैं कि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है,जिसका अर्थ है $GM = gR^2$।
इस मान को आवर्तकाल के सूत्र में रखने पर: $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{gR^2}} = \frac{2\pi r^{3/2}}{R\sqrt{g}}$।
$T$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi r^{3/2}}{R\sqrt{g}}$।
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{1}{\omega} = \frac{r^{3/2}}{R\sqrt{g}} \Rightarrow r^{3/2} = \frac{R\sqrt{g}}{\omega}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $r^3 = \frac{R^2 g}{\omega^2}$।
अतः,कक्षा की त्रिज्या $r = \left(\frac{R^2 g}{\omega^2}\right)^{1/3}$ होगी।

(D) सही विकल्प $D$ है।
एक रिले उपग्रह,जिसे आमतौर पर भूस्थिर उपग्रह (geostationary satellite) के रूप में जाना जाता है,को निरंतर सिग्नल ट्रांसमिशन प्रदान करने के लिए पृथ्वी की सतह पर एक बिंदु के सापेक्ष स्थिर रहना चाहिए।
ऐसा होने के लिए,उपग्रह का कक्षीय आवर्तकाल पृथ्वी के अपनी धुरी पर घूर्णन काल के बिल्कुल बराबर होना चाहिए,जो कि $24$ घंटे है।
यदि आवर्तकाल समान नहीं होते,तो उपग्रह आकाश में गति करता हुआ दिखाई देता,जिससे निरंतर संचार असंभव हो जाता।

(C) ग्रह की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2} m v^2$ है।
मान लीजिए कि पेरिजी पर वेग $v_P$ है और एपोजी पर वेग $v_A$ है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,पेरिजी पर कोणीय संवेग $(L_P)$ और एपोजी पर कोणीय संवेग $(L_A)$ बराबर होते हैं:
$m v_P r_P = m v_A r_A$
इसका अर्थ है:
$\frac{v_P}{v_A} = \frac{r_A}{r_P}$
अर्ध-दीर्घ अक्ष $a$ और उत्केंद्रता $e$ वाली दीर्घवृत्ताकार कक्षा के लिए,पेरिजी पर दूरी $r_P = a(1-e)$ और एपोजी पर दूरी $r_A = a(1+e)$ होती है।
इन मानों को रखने पर:
$\frac{v_P}{v_A} = \frac{a(1+e)}{a(1-e)} = \frac{1+e}{1-e}$
गतिज ऊर्जा का अनुपात:
$\frac{K.E._P}{K.E._A} = \frac{\frac{1}{2} m v_P^2}{\frac{1}{2} m v_A^2} = \left(\frac{v_P}{v_A}\right)^2 = \left(\frac{1+e}{1-e}\right)^2$

(A) उपग्रह का क्षेत्रीय वेग इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$,जहाँ $L$ कोणीय संवेग है और $m$ उपग्रह का द्रव्यमान है।
चूंकि दोनों उपग्रहों के द्रव्यमान समान हैं $(m_1 = m_2 = m)$,इसलिए उनके क्षेत्रीय वेग का अनुपात उनके कोणीय संवेग के अनुपात के सीधे समानुपाती होता है।
$\frac{(dA/dt)_1}{(dA/dt)_2} = \frac{L_1 / 2m}{L_2 / 2m} = \frac{L_1}{L_2}$.
दिया गया है कि कोणीय संवेग का अनुपात $L_1 : L_2 = 3 : 4$ है,अतः उनके क्षेत्रीय वेग का अनुपात $3/4$ होगा।

(A) परिक्रमा कर रहे अंतरिक्ष स्टेशन के अंदर का अंतरिक्ष यात्री पृथ्वी की ओर निरंतर मुक्त पतन की स्थिति में होता है क्योंकि उन पर कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण है।
चूंकि अंतरिक्ष स्टेशन और अंतरिक्ष यात्री दोनों समान त्वरण (उस ऊंचाई पर गुरुत्वीय त्वरण) के साथ गिर रहे हैं,इसलिए फर्श द्वारा अंतरिक्ष यात्री पर लगाया गया अभिलंब बल शून्य होता है।
इस स्थिति को भारहीनता के रूप में महसूस किया जाता है।
अतः,कथन $(A)$ और कारण $(R)$ दोनों सत्य हैं,और कारण $(R)$,कथन $(A)$ की सही व्याख्या है।

(D) दो कणों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है।
दोनों कणों के बीच की दूरी $2r$ है।
गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G \cdot m \cdot m}{(2r)^2} = \frac{Gm^2}{4r^2}$ है।
'$m$' द्रव्यमान वाले कण के लिए जो '$r$' त्रिज्या के वृत्त में '$v$' चाल से गति कर रहा है,आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{mv^2}{r}$ है।
दोनों बलों को बराबर करने पर: $\frac{Gm^2}{4r^2} = \frac{mv^2}{r}$.
'$v$' के लिए हल करने पर: $v^2 = \frac{Gm^2}{4r^2} \cdot \frac{r}{m} = \frac{Gm}{4r}$.
अतः,$v = \sqrt{\frac{Gm}{4r}}$.

(D) $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में घूम रहे $m$ द्रव्यमान के उपग्रह का कोणीय संवेग $L = mvr$ द्वारा दिया जाता है।
कक्षीय वेग $v = \sqrt{\frac{GM_e}{r}}$ है,जहाँ $M_e$ पृथ्वी का द्रव्यमान है।
$L$ के व्यंजक में $v$ का मान रखने पर:
$L = m \sqrt{\frac{GM_e}{r}} \cdot r = m \sqrt{GM_e} \cdot r^{1/2}$.
यह दर्शाता है कि $L \propto r^{1/2}$.
मान लीजिए कि पृथ्वी के केंद्र से प्रारंभिक दूरी $r_1 = r$ है। पृथ्वी के केंद्र से नई दूरी को उसके प्रारंभिक मान से आठ गुना बढ़ा दिया जाता है,जिसका अर्थ है कि नई दूरी $r_2 = r + 8r = 9r$ है।
अब,नए कोणीय संवेग $L'$ और प्रारंभिक कोणीय संवेग $L$ का अनुपात:
$\frac{L'}{L} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{1/2} = \left( \frac{9r}{r} \right)^{1/2} = (9)^{1/2} = 3$.
अतः,नया कोणीय संवेग $L' = 3L$ होगा।

(C) पृथ्वी के चारों ओर $r$ दूरी पर घूमने वाले उपग्रह की कक्षीय चाल $v$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है और $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है।
सूत्र से यह स्पष्ट है कि कक्षीय चाल उपग्रह के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करती है और यह कक्षीय त्रिज्या के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है:
$v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$
दिया गया है:
पहले उपग्रह की त्रिज्या,$r_1 = r$
दूसरे उपग्रह की त्रिज्या,$r_2 = 3r$
कक्षीय चालों $v_1$ और $v_2$ का अनुपात:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{r_2}{r_1}}$
मान रखने पर:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{3r}{r}} = \sqrt{3}$
अतः,कक्षीय चालों का अनुपात $\sqrt{3}: 1$ है।

(C) उपग्रह की कक्षीय त्रिज्या $r = R + h = R + R = 2R$ है।
कक्षीय वेग $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{GM}{2R}}$ है।
हम जानते हैं कि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$। इस मान को वेग के समीकरण में रखने पर:
$v = \sqrt{\frac{gR^2}{2R}} = \sqrt{\frac{gR}{2}}$।
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2\pi r}{v}$ है।
$r = 2R$ और $v = \sqrt{\frac{gR}{2}}$ रखने पर:
$T = \frac{2\pi(2R)}{\sqrt{\frac{gR}{2}}} = \frac{4\pi R}{\sqrt{\frac{gR}{2}}} = 4\pi R \sqrt{\frac{2}{gR}} = 4\pi \sqrt{\frac{2R}{g}}$।
दिया गया है कि $g = \pi^2 \ m/s^2$,इसलिए $\pi = \sqrt{g}$ रखने पर:
$T = 4\sqrt{g} \sqrt{\frac{2R}{g}} = 4\sqrt{2R} = \sqrt{16 \times 2R} = \sqrt{32R}$।

(D) मान लीजिए $M_p$ पृथ्वी का द्रव्यमान है,$m$ उपग्रह का द्रव्यमान है और $R$ कक्षा की त्रिज्या है।
स्थितिज ऊर्जा $(U)$ $= -\frac{G M_p m}{R}$। चूंकि $m_A = 2m_B$,इसलिए $U_A \neq U_B$।
गतिज ऊर्जा $(K)$ $= \frac{G M_p m}{2R}$। चूंकि $m_A = 2m_B$,इसलिए $K_A \neq K_B$।
कुल ऊर्जा $(E)$ $= U + K = -\frac{G M_p m}{2R}$। चूंकि $m_A = 2m_B$,इसलिए $E_A \neq E_B$।
कक्षीय चाल $(v)$ $= \sqrt{\frac{G M_p}{R}}$।
सूत्र से देखा जा सकता है कि कक्षीय चाल उपग्रह के द्रव्यमान $(m)$ पर निर्भर नहीं करती है। इसलिए,दोनों उपग्रहों की चाल समान होगी।

(B) पृथ्वी की सतह के ठीक ऊपर परिक्रमा करने वाले उपग्रह का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
हम जानते हैं कि $g = \frac{GM}{R^2}$,जहाँ $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है।
पृथ्वी के द्रव्यमान को उसके घनत्व $d$ के पदों में $M = \frac{4}{3} \pi R^3 d$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
$g$ के व्यंजक में $M$ का मान रखने पर,हमें $g = \frac{G (\frac{4}{3} \pi R^3 d)}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G R d$ प्राप्त होता है।
अब,$g$ का मान आवर्तकाल के सूत्र में रखने पर: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{R}{\frac{4}{3} \pi G R d}} = 2 \pi \sqrt{\frac{3}{4 \pi G d}} = \sqrt{\frac{4 \pi^2 \cdot 3}{4 \pi G d}} = \sqrt{\frac{3 \pi}{G d}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $T^2 = \frac{3 \pi}{G d}$ प्राप्त होता है।

(A) गुरुत्वाकर्षण बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
$F = \frac{k}{R^{3/2}} = m \omega^2 R$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
कोणीय वेग $\omega$ के लिए व्यवस्थित करने पर:
$\omega^2 = \frac{k}{m R^{5/2}} \implies \omega^2 \propto R^{-5/2}$।
चूंकि आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है,इसलिए $T^2 = \frac{4\pi^2}{\omega^2}$ होगा।
$\omega^2 \propto R^{-5/2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$T^2 \propto \frac{1}{R^{-5/2}} \implies T^2 \propto R^{5/2}$।

(A) $m$ द्रव्यमान वाले उपग्रह के लिए जो पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर परिक्रमा कर रहा है,गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है:
$\frac{GMm}{(R+h)^2} = \frac{mv^2}{(R+h)}$
$\Rightarrow \frac{GM}{(R+h)} = v^2 \quad \dots(1)$
चूँकि $v = (R+h)\omega = (R+h)\frac{2\pi}{T}$,इसलिए $v^2 = (R+h)^2 \frac{4\pi^2}{T^2} \quad \dots(2)$
साथ ही,पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है,इसलिए $GM = gR^2 \quad \dots(3)$
$(2)$ और $(3)$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$\frac{gR^2}{(R+h)} = (R+h)^2 \frac{4\pi^2}{T^2}$
$\Rightarrow (R+h)^3 = \frac{gR^2 T^2}{4\pi^2}$
$\Rightarrow R+h = \left(\frac{gR^2 T^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}$
$\Rightarrow h = \left(\frac{T^2 R^2 g}{4\pi^2}\right)^{1/3} - R$

(D) उपग्रह का समय अंतराल $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ द्वारा दिया जाता है।
इससे,हमें प्राप्त होता है $T \propto \sqrt{\frac{r^3}{M}}$,जिसका अर्थ है $\frac{T_1}{T_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^{3/2} \left(\frac{M_2}{M_1}\right)^{1/2}$.
यहाँ,$T_1 = 6 \text{ घंटे}$,$T_2 = 24 \text{ घंटे}$ (पृथ्वी की भू-स्थिर कक्षा के लिए)।
$M_1 = \frac{M_e}{4}$ और $M_2 = M_e$.
$r_2 = 4.2 \times 10^4 \text{ km}$.
मान रखने पर: $\frac{6}{24} = \left(\frac{r_1}{4.2 \times 10^4}\right)^{3/2} \left(\frac{M_e}{M_e/4}\right)^{1/2}$.
$\frac{1}{4} = \left(\frac{r_1}{4.2 \times 10^4}\right)^{3/2} \times (4)^{1/2}$.
$\frac{1}{4} = \left(\frac{r_1}{4.2 \times 10^4}\right)^{3/2} \times 2$.
$\frac{1}{8} = \left(\frac{r_1}{4.2 \times 10^4}\right)^{3/2}$.
दोनों पक्षों की घात $2/3$ लेने पर: $\left(\frac{1}{8}\right)^{2/3} = \frac{r_1}{4.2 \times 10^4}$.
$\frac{1}{4} = \frac{r_1}{4.2 \times 10^4}$.
$r_1 = \frac{4.2 \times 10^4}{4} = 1.05 \times 10^4 \text{ km}$.

(C) $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित उपग्रह की कक्षीय चाल $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ कक्षाओं की त्रिज्याएँ $R_A = 4R$ और $R_B = R$ दी गई हैं।
चालों का अनुपात $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{R_B}{R_A}} = \sqrt{\frac{R}{4R}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ होता है।
दिया गया है कि $v_A = 3v$,इसलिए $\frac{3v}{v_B} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$v_B = 2 \times 3v = 6v$ होगा।

(A) परिक्रमा कर रहे अंतरिक्ष स्टेशन में एक अंतरिक्ष यात्री गुरुत्वाकर्षण के कारण पृथ्वी की ओर निरंतर मुक्त-पतन की स्थिति में होता है,जो कक्षीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
चूंकि अंतरिक्ष यात्री और अंतरिक्ष स्टेशन दोनों समान त्वरण (उस ऊंचाई पर गुरुत्वीय त्वरण) के साथ गिर रहे हैं,इसलिए उनके बीच कोई अभिलंब प्रतिक्रिया बल (normal reaction force) नहीं होता है।
इस अभिलंब प्रतिक्रिया बल की अनुपस्थिति को भारहीनता के रूप में महसूस किया जाता है।
इसलिए,$STATEMENT-1$ सत्य है।
पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में पृथ्वी के चारों ओर गति करने वाली वस्तु वास्तव में 'मुक्त-पतन' की स्थिति में होती है,क्योंकि वह पृथ्वी के केंद्र की ओर त्वरित हो रही होती है।
इसलिए,$STATEMENT-2$ सत्य है।
चूंकि मुक्त-पतन की स्थिति अंतरिक्ष यात्री द्वारा महसूस की जाने वाली भारहीनता का प्रत्यक्ष भौतिक कारण है,इसलिए $STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या है।

(B) दिया गया है: $\frac{m_1}{m_2} = 2$ और $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{4}$.
$(P)$ कक्षीय गति $v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ के लिए:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{R_2}{R_1}} = \sqrt{4} = 2$. अतः,$P \rightarrow 3$.
$(Q)$ कोणीय संवेग $L = mvr = m\sqrt{GMR}$ के लिए:
$\frac{L_1}{L_2} = \frac{m_1}{m_2} \sqrt{\frac{R_1}{R_2}} = 2 \times \sqrt{\frac{1}{4}} = 2 \times \frac{1}{2} = 1$. अतः,$Q \rightarrow 2$.
$(R)$ गतिज ऊर्जा $K = \frac{GMm}{2R}$ के लिए:
$\frac{K_1}{K_2} = \frac{m_1}{m_2} \times \frac{R_2}{R_1} = 2 \times 4 = 8$. अतः,$R \rightarrow 4$.
$(S)$ परिक्रमण काल $T = 2\pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}$ के लिए:
$\frac{T_1}{T_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^{3/2} = \left(\frac{1}{4}\right)^{3/2} = \frac{1}{8}$. अतः,$S \rightarrow 1$.
अतः,सही मिलान $P \rightarrow 3, Q \rightarrow 2, R \rightarrow 4, S \rightarrow 1$ है।

(D) सूर्य के चारों ओर पृथ्वी के परिक्रमण के लिए,केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{G M_S}}$ होता है।
$m_1 = 3 M_S$ और $m_2 = 6 M_S$ द्रव्यमान वाले दो तारे जो $d = 9 R$ की दूरी पर हैं,अपने सामान्य द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर $T'$ आवर्तकाल के साथ घूमते हैं: $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{d^3}{G(m_1 + m_2)}}$।
दिए गए मानों को रखने पर: $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{(9 R)^3}{G(3 M_S + 6 M_S)}} = 2 \pi \sqrt{\frac{729 R^3}{G(9 M_S)}} = 2 \pi \sqrt{\frac{81 R^3}{G M_S}} = 9 \times 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{G M_S}}$।
चूंकि $T' = n T$,इसलिए $n T = 9 T$,जिसका अर्थ है कि $n = 9$।

(A) प्रारंभिक वृत्ताकार कक्षा के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $F_0 = \frac{GMm}{r_0^2} = m \omega_0^2 r_0$,जहाँ $\omega_0 = \frac{2\pi}{T_0}$.
अतः,$\omega_0^2 = \frac{GM}{r_0^3}$.
जब अतिरिक्त विभव $V_c(r) = \frac{m \alpha}{r^3}$ पेश किया जाता है,तो अतिरिक्त बल $F_c = -\frac{dV_c}{dr} = -\frac{d}{dr} (m \alpha r^{-3}) = 3m \alpha r^{-4}$ होता है।
कण पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{total} = \frac{GMm}{r_0^2} + \frac{3m \alpha}{r_0^4} = m \omega_1^2 r_0$ है,जहाँ $\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1}$.
$m r_0$ से विभाजित करने पर,हमें $\omega_1^2 = \frac{GM}{r_0^3} + \frac{3 \alpha}{r_0^5}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\omega^2 = \frac{4\pi^2}{T^2}$,इसलिए $\frac{4\pi^2}{T_1^2} = \frac{GM}{r_0^3} + \frac{3 \alpha}{r_0^5} = \frac{GM}{r_0^3} \left( 1 + \frac{3 \alpha}{G M r_0^2} \right)$.
$\frac{4\pi^2}{T_0^2} = \frac{GM}{r_0^3}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{T_1^2} = \frac{1}{T_0^2} \left( 1 + \frac{3 \alpha}{G M r_0^2} \right)$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{T_0^2}{T_1^2} = 1 + \frac{3 \alpha}{G M r_0^2}$.
अतः,$1 - \frac{T_0^2}{T_1^2} = -\frac{3 \alpha}{G M r_0^2}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{T_1^2 - T_0^2}{T_1^2} = \frac{3 \alpha}{G M r_0^2}$.

(B) उपग्रह की कक्षीय त्रिज्या $r = R + h = R + R/3 = 4R/3$ है।
कक्षीय वेग $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{GM}{4R/3}} = \sqrt{\frac{3GM}{4R}}$ द्वारा दिया जाता है।
उपग्रह का कोणीय संवेग $L = m v_0 r$ है,जहाँ $m = M/2$ उपग्रह का द्रव्यमान है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$L = (M/2) \cdot \sqrt{\frac{3GM}{4R}} \cdot (4R/3)$
$L = (M/2) \cdot \sqrt{\frac{3GM}{4R}} \cdot \sqrt{\frac{16R^2}{9}}$
$L = (M/2) \cdot \sqrt{\frac{3GM}{4R} \cdot \frac{16R^2}{9}}$
$L = (M/2) \cdot \sqrt{\frac{4GMR}{3}}$
$L = M \cdot \sqrt{\frac{4GMR}{3 \cdot 4}} = M \sqrt{\frac{GMR}{3}}$.
इसे दिए गए व्यंजक $M \sqrt{\frac{GMR}{x}}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 3$ प्राप्त होता है।

(D) $M$ द्रव्यमान वाले तारे के चारों ओर $R$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में $m$ द्रव्यमान वाले ग्रह का कोणीय संवेग $L = mvr$ द्वारा दिया जाता है।
वृत्ताकार कक्षा के लिए,कक्षीय वेग $v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ होता है।
कोणीय संवेग के व्यंजक में इसका मान रखने पर,$L = m \sqrt{\frac{GM}{R}} R = m \sqrt{GMR}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $R_B = 2 R_A$ और $m_B = 4 \sqrt{2} m_A$ है।
कोणीय संवेग का अनुपात $\frac{L_B}{L_A} = \frac{m_B \sqrt{GM R_B}}{m_A \sqrt{GM R_A}} = \frac{m_B}{m_A} \sqrt{\frac{R_B}{R_A}}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{L_B}{L_A} = (4 \sqrt{2}) \sqrt{\frac{2 R_A}{R_A}} = 4 \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 4 \times 2 = 8$।
अतः,अनुपात $8$ है।

(A) वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र है: $KE = \frac{GM_e m}{2r}$,जहाँ $r = R_E + h$ है।
दिया गया है: $M_e = 6 \times 10^{24} \ kg$,$m = 1000 \ kg$,$R_E = 6.4 \times 10^6 \ m$,$h = 270 \ km = 0.27 \times 10^6 \ m$,$G = 6.67 \times 10^{-11} \ Nm^2 \ kg^{-2}$।
$r$ की गणना: $r = 6.4 \times 10^6 + 0.27 \times 10^6 = 6.67 \times 10^6 \ m$।
सूत्र में मान रखने पर:
$KE = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24} \times 1000}{2 \times 6.67 \times 10^6}$
$KE = \frac{6.67 \times 6 \times 10^{16}}{2 \times 6.67 \times 10^6} = 3 \times 10^{10} \ J$।
अतः,गतिज ऊर्जा $3 \times 10^{10} \ J$ है।

(B) वृत्ताकार कक्षा में गति करने वाले कण के लिए,अभिकेंद्र बल केंद्रीय आकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
$F_c = \frac{k}{r^2} = m \omega^2 r$
कोणीय वेग $\omega$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\omega^2 = \frac{k}{mr^3}$
$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \cdot r^{-3/2}$
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।
$\omega$ का मान रखने पर:
$T = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{k}{m}} \cdot r^{-3/2}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \cdot r^{3/2}$
अतः,$T \propto r^{3/2}$।

(C) कक्षीय त्रिज्या $r = R_{planet} + \text{altitude}$ द्वारा दी जाती है। यदि ग्रह की त्रिज्या $R$ है,तो $r_A = R + 3R = 4R$ और $r_B = R + 5R = 6R$ होगा।
स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$
गतिज ऊर्जा $K = \frac{GMm}{2r}$
कुल ऊर्जा $T = -\frac{GMm}{2r}$
उपग्रह $A$ के लिए $(r_A = 4R)$: $T_A = -\frac{GMm}{8R}$
उपग्रह $B$ के लिए $(r_B = 6R)$: $T_B = -\frac{GMm}{12R}$
अनुपात $\frac{T_A}{T_B} = \frac{12R}{8R} = \frac{3}{2}$
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(D) उपग्रह का कक्षीय वेग $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है।
$1$. गतिज ऊर्जा $(K)$: $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2r}$. अतः,$K \propto \frac{1}{r}$.
$2$. कोणीय संवेग $(L)$: $L = mvr = m \sqrt{\frac{GM}{r}} \cdot r = m\sqrt{GMr}$. अतः,$L \propto \sqrt{r}$.
$3$. रैखिक संवेग $(p)$: $p = mv = m\sqrt{\frac{GM}{r}}$. अतः,$p \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$.
$4$. परिक्रमण की आवृत्ति $(n)$: आवर्तकाल $T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$. आवृत्ति $n = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{GM}{r^3}}$. अतः,$n \propto \frac{1}{r^{3/2}}$.

(B) केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार,$T^2 \propto R^3$।
दिया गया है कि $T_1 = 2 \text{ दिन}$,$R_1 = R$,$v_{01} = v_0$,और $T_2 = 16 \text{ दिन}$।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^{3/2}$।
$\frac{16}{2} = \left(\frac{R_2}{R}\right)^{3/2} \implies 8 = \left(\frac{R_2}{R}\right)^{3/2}$।
दोनों पक्षों की घात $2/3$ लेने पर: $8^{2/3} = \frac{R_2}{R} \implies 4 = \frac{R_2}{R} \implies R_2 = 4R$।
कक्षीय वेग का सूत्र $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ है।
अतः,$\frac{v_{02}}{v_{01}} = \sqrt{\frac{R_1}{R_2}} = \sqrt{\frac{R}{4R}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$।
इस प्रकार,$v_{02} = \frac{v_0}{2}$।

(D) गुरुत्वाकर्षण बल अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $m_2 \omega^2 r = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$.
यह सरल होकर $\omega = \sqrt{\frac{G m_1}{r^3}}$ हो जाता है।
हल्के तारे का कोणीय संवेग $L = m_2 \omega r^2 = m_2 \sqrt{G m_1 r}$ है।
चूंकि कोई बाहरी टॉर्क नहीं है,$L$ स्थिर है: $L^2 = m_2^2 G m_1 r = \text{स्थिरांक}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $2 \ln m_2 + \ln G + \ln m_1 + \ln r = \text{स्थिरांक}$.
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2 \frac{1}{m_2} \frac{dm_2}{dt} + \frac{1}{m_1} \frac{dm_1}{dt} + \frac{1}{r} \frac{dr}{dt} = 0$.
दिया गया है कि $\frac{dm_2}{dt} = -\gamma$ और $\frac{dm_1}{dt} = \gamma$,इसलिए: $2 \frac{(-\gamma)}{m_2} + \frac{\gamma}{m_1} + \frac{1}{r} \frac{dr}{dt} = 0$.
चूंकि $m_1 \gg m_2$,पद $\frac{\gamma}{m_1}$ को $\frac{2\gamma}{m_2}$ की तुलना में नगण्य माना जा सकता है।
अतः,$\frac{1}{r} \frac{dr}{dt} = \frac{2\gamma}{m_2} - \frac{\gamma}{m_1} \approx \frac{2\gamma}{m_2}$.

(D) केपलर के तीसरे नियम के अनुसार,उपग्रह की समयावधि $T$ उसकी कक्षीय त्रिज्या $r$ से $T \propto r^{3/2}$ द्वारा संबंधित है।
$r_1$ त्रिज्या और $T_1 = 24 \text{ घंटे}$ समयावधि वाले भूस्थिर उपग्रह $(GSS)$ के लिए,और $r_2$ त्रिज्या तथा $T_2$ समयावधि वाले दूसरे उपग्रह के लिए:
$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^{3/2} = \left(\frac{1}{1.21}\right)^{3/2} = \left(\frac{1}{1.1^2}\right)^{3/2} = \frac{1}{1.1^3} = \frac{1}{1.331} \approx \frac{1}{1.33} = \frac{3}{4}$.
अतः,$T_2 = \frac{3}{4} T_1 = \frac{3}{4} \times 24 = 18 \text{ घंटे}$.
$GSS$ का कोणीय वेग $\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1}$ है और दूसरे उपग्रह का कोणीय वेग $\omega_2 = \frac{2\pi}{T_2}$ है।
चूंकि दूसरा उपग्रह विपरीत दिशा में गति कर रहा है,इसलिए उनका सापेक्ष कोणीय वेग $\omega_{rel} = \omega_1 + \omega_2$ होगा।
$GSS$ से मापा गया समयावधि $t_0 = \frac{2\pi}{\omega_1 + \omega_2} = \frac{2\pi}{\frac{2\pi}{T_1} + \frac{2\pi}{T_2}} = \frac{T_1 T_2}{T_1 + T_2}$.
मान रखने पर: $t_0 = \frac{24 \times 18}{24 + 18} = \frac{432}{42} = \frac{72}{7} \text{ घंटे}$.
दिया गया है कि $t_0 = \frac{24}{p}$,इसलिए $\frac{24}{p} = \frac{72}{7}$,जिससे $p = \frac{24 \times 7}{72} = \frac{7}{3} \approx 2.33$ प्राप्त होता है।

(C) किसी उपग्रह के लिए पृथ्वी के चारों ओर एक स्थिर वृत्ताकार कक्षा बनाए रखने के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल को आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करना चाहिए।
यह स्थिति तब पूरी होती है जब उपग्रह का क्षैतिज वेग $(V_{H})$ क्रांतिक वेग $(V_{c})$ के बराबर होता है,जिसे कक्षीय वेग भी कहा जाता है।
यदि $V_{H} < V_{c}$ है,तो उपग्रह पृथ्वी की ओर गिर जाएगा।
यदि $V_{H} > V_{c}$ है लेकिन $V_{e}$ से कम है,तो कक्षा दीर्घवृत्ताकार हो जाती है।
यदि $V_{H} = V_{e}$ है,तो उपग्रह पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव से बाहर निकल जाता है।
इसलिए,एक स्थिर वृत्ताकार कक्षा के लिए सही स्थिति $V_{H} = V_{c}$ है।

(A) ग्रह को तारे के चारों ओर घूमने के लिए,आवश्यक अभिकेंद्र बल गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाना चाहिए।
मान लीजिए गुरुत्वाकर्षण बल $F_g \propto r^{-7/2}$ है।
वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = m \omega^2 r$ है,जहाँ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है।
बलों की तुलना करने पर,हमें $m \omega^2 r \propto r^{-7/2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $m$ स्थिर है,इसलिए $\omega^2 r \propto r^{-7/2}$।
$r$ से भाग देने पर,हमें $\omega^2 \propto r^{-9/2}$ प्राप्त होता है।
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 \propto r^{-9/2}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\frac{1}{T^2} \propto r^{-9/2}$।
अतः,$T^2 \propto r^{9/2}$ होगा।

(A) पृथ्वी के केंद्र से $r = R + h$ दूरी पर परिक्रमा कर रहे उपग्रह की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{G M m}{2r}$ है।
यहाँ ऊँचाई $h = 3R$ दी गई है,इसलिए कक्षीय त्रिज्या $r = R + 3R = 4R$ होगी।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $K.E. = \frac{G M m}{2(4R)} = \frac{G M m}{8R}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{G M}{R^2}$ होता है,जिसका अर्थ है $G M = g R^2$.
अब $G M = g R^2$ को गतिज ऊर्जा के व्यंजक में रखने पर: $K.E. = \frac{(g R^2) m}{8R} = \frac{m g R}{8}$।