Motion of Satellites in Circular Orbits and Planets in Elliptical Orbits Questions in Hindi

(A) सूर्य से $r$ दूरी पर स्थित ग्रह की कक्षीय चाल का सूत्र: $v_{\text{orb}} = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ है।
ग्रह $A$ के लिए,कक्षीय चाल $v_A = v = \sqrt{\frac{GM}{r_A}}$ है।
ग्रह $B$ के लिए,कक्षीय चाल $v_B = \sqrt{\frac{GM}{r_B}}$ है।
$v_B$ के व्यंजक में $r_B = 100 r_A$ रखने पर:
$v_B = \sqrt{\frac{GM}{100 r_A}} = \frac{1}{\sqrt{100}} \sqrt{\frac{GM}{r_A}} = \frac{1}{10} \sqrt{\frac{GM}{r_A}}$.
चूंकि $v = \sqrt{\frac{GM}{r_A}}$,इसलिए $v_B = \frac{v}{10}$ प्राप्त होता है।

(C) केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ होता है।
चूंकि उपग्रह ग्रह की सतह के बहुत करीब परिक्रमा कर रहा है,इसलिए हम कक्षीय त्रिज्या $r = R$ लेंगे।
अतः,$T = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}} \dots (i)$.
ग्रह का द्रव्यमान $M$ उसके घनत्व $\rho$ और त्रिज्या $R$ के संदर्भ में $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \dots (ii)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
समीकरण $(ii)$ से $M$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{G \times \frac{4}{3} \pi R^3 \rho}}$
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{3}{4 \pi G \rho}}$
$T = 2 \pi \times \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{\pi G \rho}}$
$T = \sqrt{\frac{4 \pi^2 \times 3}{4 \pi G \rho}} = \sqrt{\frac{3 \pi}{\rho G}}$.

(D) किसी ग्रह के तारे के चारों ओर वृत्ताकार कक्षा में घूमने के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
दिया गया है कि गुरुत्वाकर्षण बल $F_G \propto R^{-5/2}$ है।
अभिकेंद्री बल $F_c = m \omega^2 R$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है।
अतः,$F_c = m \left(\frac{4\pi^2}{T^2}\right) R$.
बलों की तुलना करने पर: $m \left(\frac{4\pi^2}{T^2}\right) R \propto R^{-5/2}$.
चूंकि $m$ और $4\pi^2$ स्थिरांक हैं,इसलिए $\frac{R}{T^2} \propto R^{-5/2}$.
$T^2$ के लिए हल करने पर: $T^2 \propto R \cdot R^{5/2} = R^{7/2}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $T \propto R^{7/4}$.

(C) उपग्रह को वृत्ताकार कक्षा में घूमने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है:
$\frac{mv^2}{r} = \frac{GMm}{r^2}$
कक्षीय वेग $v$ के लिए हल करने पर:
$v^2 = \frac{GM}{r} \implies v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
उपग्रह का कोणीय संवेग $L$,$L = mvr$ के रूप में परिभाषित है।
$v$ का मान रखने पर:
$L = m \left( \sqrt{\frac{GM}{r}} \right) r$
$L = m \sqrt{GM} \cdot \sqrt{r} = m(GMr)^{1/2}$

(D) $R$ त्रिज्या और $\rho$ घनत्व वाले ग्रह की सतह के निकट परिक्रमा करने वाले उपग्रह के लिए,आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $g = \frac{GM}{R^2}$ और $M = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$,इसलिए $g = \frac{G \cdot \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3}{R^2} = \frac{4}{3} G \pi \rho R$ होता है।
इस मान को आवर्तकाल के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{\frac{4}{3} G \pi \rho R}} = 2\pi \sqrt{\frac{3}{4 G \pi \rho}}$।
अतः,$T \propto \rho^{-1/2}$ प्राप्त होता है।

(D) अवधारणा: कोणीय संवेग $(L)$ संरक्षित रहता है क्योंकि सूर्य द्वारा ग्रह पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल एक केंद्रीय बल है, जिसके परिणामस्वरूप सूर्य के सापेक्ष टॉर्क शून्य होता है।
$L = mvr \sin(\theta) = \text{स्थिरांक}$.
पेरिहेलियन (सूर्य के सबसे निकटतम बिंदु) पर, दूरी $r$ न्यूनतम होती है।
चूंकि $L = mvr$ (जहां $v$ पेरिहेलियन पर त्रिज्या वेक्टर के लंबवत कक्षीय वेग है), एक स्थिर $L$ के लिए, जब $r$ न्यूनतम होता है तो वेग $v$ अधिकतम होना चाहिए।
गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ है।
इसलिए, जब वेग $v$ अधिकतम होता है, तो गतिज ऊर्जा भी अधिकतम होती है।
आरेख को देखने पर, बिंदु $C$ सूर्य के सबसे निकट है (पेरिहेलियन)।
अतः, ग्रह की गतिज ऊर्जा स्थिति $C$ पर अधिकतम होगी।

(A) उपग्रह के पृथ्वी के चारों ओर घूमने के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
$m r \omega^{2} = \frac{G M m}{r^{2}}$
यहाँ,$r$ कक्षीय त्रिज्या है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है,और $\omega$ कोणीय वेग है।
समीकरण को सरल करने पर,हमें $r^{3} = \frac{G M}{\omega^{2}}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{G M}{R^{2}}$ है,जिसका अर्थ है कि $G M = g R^{2}$।
$r^{3}$ के व्यंजक में $G M$ का मान रखने पर,हमें $r^{3} = \frac{g R^{2}}{\omega^{2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,कक्षा की त्रिज्या $r = \left(\frac{g R^{2}}{\omega^{2}}\right)^{1 / 3}$ है।

(C) उपग्रह की कक्षीय गति $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $r$ कक्षा की त्रिज्या है।
चूंकि दोनों उपग्रह एक ही कक्षा में हैं,इसलिए दोनों के लिए $r$ समान है।
अतः,कक्षीय गति $v$ उपग्रह के द्रव्यमान से स्वतंत्र है।
इस प्रकार,$S_{1}$ और $S_{2}$ समान गति से चलते हैं।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi r}{v}$ द्वारा दिया जाता है,जो उपग्रह के द्रव्यमान से भी स्वतंत्र है।
स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ और गतिज ऊर्जा $K = \frac{GMm}{2r}$ दोनों उपग्रह के द्रव्यमान $m$ पर निर्भर करती हैं,इसलिए वे $S_{1}$ और $S_{2}$ के लिए समान नहीं हैं।

(A) $m$ द्रव्यमान के दो कण $r$ त्रिज्या के वृत्त में गति कर रहे हैं। उनके बीच की दूरी वृत्त का व्यास यानी $2r$ है।
दोनों कणों के बीच लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
गुरुत्वाकर्षण बल $F_g = \frac{G m m}{(2r)^2} = \frac{G m^2}{4r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ त्रिज्या के वृत्त में $v$ चाल से गति कर रहे $m$ द्रव्यमान के कण के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{m v^2}{r}$ है।
दोनों बलों को बराबर करने पर: $\frac{m v^2}{r} = \frac{G m^2}{4r^2}$।
$v^2$ के लिए हल करने पर: $v^2 = \frac{G m}{4r}$।
वर्गमूल लेने पर,हमें $v = \sqrt{\frac{G m}{4r}}$ प्राप्त होता है।

(A) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित उपग्रह की कक्षीय चाल $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$।
माना $v_A$ और $v_B$ उपग्रहों $A$ और $B$ की चाल हैं,जिनकी कक्षीय त्रिज्याएँ क्रमशः $r_A = 4R$ और $r_B = R$ हैं।
अनुपात लेने पर,हमें $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{r_B}{r_A}}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{v_A}{6V} = \sqrt{\frac{R}{4R}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$।
अतः,$v_A = 6V \times \frac{1}{2} = 3V$।

(A) $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के चारों ओर $r$ दूरी पर परिक्रमा करने वाले उपग्रह की कक्षीय चाल $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ है।
इसका अर्थ है कि $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$.
यहाँ कक्षाओं की त्रिज्याएँ $r_P = 3R$ और $r_Q = R$ दी गई हैं।
माना उपग्रहों $P$ और $Q$ की कक्षीय चालें क्रमशः $v_P$ और $v_Q$ हैं।
अतः,$\frac{v_Q}{v_P} = \sqrt{\frac{r_P}{r_Q}}$.
दिए गए मान रखने पर: $\frac{v_Q}{2V} = \sqrt{\frac{3R}{R}} = \sqrt{3}$.
इसलिए,$v_Q = 2V \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}V$.

(D) उपग्रह को $h$ ऊँचाई तक ले जाने के लिए आवश्यक ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन है: $E_1 = U_f - U_i = -\frac{GMm}{R+h} - (-\frac{GMm}{R}) = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right) = \frac{GMmh}{R(R+h)}$.
$g = \frac{GM}{R^2}$ का उपयोग करने पर,$GM = gR^2$ प्राप्त होता है। इसे प्रतिस्थापित करने पर,$E_1 = \frac{gR^2mh}{R(R+h)} = \frac{mgh}{1 + h/R}$.
$h$ ऊँचाई पर उपग्रह को कक्षा में स्थापित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा गतिज ऊर्जा है $E_2 = \frac{1}{2}mv_0^2$. चूँकि $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$,इसलिए $E_2 = \frac{1}{2}m \left( \frac{GM}{R+h} \right) = \frac{GMm}{2(R+h)}$.
$GM = gR^2$ रखने पर,$E_2 = \frac{gR^2m}{2(R+h)} = \frac{mgR}{2(1 + h/R)}$.
अनुपात लेने पर: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{mgh / (1 + h/R)}{mgR / (2(1 + h/R))} = \frac{h}{R/2} = \frac{2h}{R}$.

(D) $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के चारों ओर $r$ त्रिज्या की कक्षा में घूम रहे $m$ द्रव्यमान वाले उपग्रह की कुल ऊर्जा $E = -\frac{GMm}{2r}$ द्वारा दी जाती है।
इस व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि $E \propto \frac{m}{r}$ है।
यहाँ द्रव्यमान का अनुपात $\frac{m_A}{m_B} = \frac{3}{1}$ और त्रिज्या का अनुपात $\frac{r_A}{r_B} = \frac{r}{4r} = \frac{1}{4}$ दिया गया है।
इसलिए,कुल ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_A}{E_B} = \frac{m_A}{m_B} \times \frac{r_B}{r_A}$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{E_A}{E_B} = \frac{3}{1} \times \frac{4r}{r} = \frac{12}{1}$।
अतः,अनुपात $12: 1$ है।

(B) मान लीजिए $M_e$ पृथ्वी का द्रव्यमान है,$m$ उपग्रह का द्रव्यमान है,और $r = R_e + h$ कक्षीय त्रिज्या है।
उपग्रह की स्थितिज ऊर्जा $U$ का मान $U = -\frac{GM_e m}{r}$ होता है।
उपग्रह का कक्षीय वेग $v$ का मान $v = \sqrt{\frac{GM_e}{r}}$ होता है।
गतिज ऊर्जा $K$ का मान $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m \left(\frac{GM_e}{r}\right) = \frac{GM_e m}{2r}$ होता है।
परिमाणों की तुलना करने पर,हमें $K = \frac{1}{2} |U|$ प्राप्त होता है।
अतः,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा के परिमाण का अनुपात $K : |U| = 1 : 2$ है।

(C) $R$ त्रिज्या वाले ग्रह की सतह के ठीक ऊपर परिक्रमा करने वाले उपग्रह का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$T^2 = 4 \pi^2 \frac{R}{g}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है।
चूंकि ग्रह का द्रव्यमान $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ है,इसलिए $M$ का मान $g$ के समीकरण में रखने पर:
$g = \frac{G}{R^2} \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \right) = \frac{4}{3} \pi \rho G R$.
अब,$g$ का यह मान $T^2$ के समीकरण में रखने पर:
$T^2 = 4 \pi^2 \frac{R}{\frac{4}{3} \pi \rho G R} = 4 \pi^2 \times \frac{3}{4 \pi \rho G} = \frac{3 \pi}{\rho G}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $T^2 \rho = \frac{3 \pi}{G}$ प्राप्त होता है।

(B) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर स्थित उपग्रह के आवर्तकाल का सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{(R+h)^3}{GM}}$ है।
हम जानते हैं कि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$ होता है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,$T = 2 \pi \sqrt{\frac{(R+h)^3}{gR^2}}$ प्राप्त होता है।
यहाँ ऊँचाई $h = R$ दी गई है,इसलिए $h$ के स्थान पर $R$ रखने पर:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{(R+R)^3}{gR^2}} = 2 \pi \sqrt{\frac{(2R)^3}{gR^2}}$.
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{8R^3}{gR^2}} = 2 \pi \sqrt{\frac{8R}{g}}$.
इस व्यंजक को सरल करने पर,$T = 2 \pi \cdot 2 \sqrt{\frac{2R}{g}} = 4 \pi \sqrt{\frac{2R}{g}}$ प्राप्त होता है।

(A) एक भूस्थिर उपग्रह के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
$m r \omega^2 = \frac{G M m}{r^2}$
जहाँ $m$ उपग्रह का द्रव्यमान है,$r$ कक्षा की त्रिज्या है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $\omega$ कोणीय वेग है।
समीकरण को सरल करने पर: $\omega^2 = \frac{G M}{r^3}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{G M}{R^2}$ है,जिसका अर्थ है $G M = g R^2$।
$\omega^2$ के व्यंजक में $G M$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\omega^2 = \frac{g R^2}{r^3}$
$r$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$r^3 = \frac{g R^2}{\omega^2}$
$r = \left(\frac{g R^2}{\omega^2}\right)^{\frac{1}{3}}$

(D) सही विकल्प $D$ है।
कक्षा में बल संतुलन पर विचार करने पर:
$\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$
यहाँ,गुरुत्वाकर्षण बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
कक्षीय वेग $v$ के लिए हल करने पर:
$v^2 = \frac{GM}{r} \implies v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
उपग्रह का कोणीय संवेग $L$,सूत्र $L = mvr$ द्वारा दिया जाता है।
$v$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$L = m \times \sqrt{\frac{GM}{r}} \times r$
$L = \sqrt{m^2 \times \frac{GM}{r} \times r^2}$
$L = \sqrt{GMm^2 r}$

(D) ग्रह के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित उपग्रह की कक्षीय गति $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$.
उपग्रह $A$ के लिए दिया गया है: $r_A = 4R$ और $v_A = 3V$.
उपग्रह $B$ के लिए दिया गया है: $r_B = R$.
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{v_B}{v_A} = \sqrt{\frac{r_A}{r_B}}$.
मान रखने पर: $\frac{v_B}{3V} = \sqrt{\frac{4R}{R}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$v_B = 2 \times 3V = 6V$.
सही विकल्प $D$ है।

(C) मान लीजिए कि उपग्रह $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में $v$ रैखिक वेग के साथ घूम रहा है।
उपग्रह पर कार्य करने वाला अभिकेंद्र बल पृथ्वी के कारण गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
$\therefore F_{\text{centripetal}} = F_{\text{gravitational}}$
$\Rightarrow \frac{mv^2}{r} = \frac{GMm}{r^2}$
$\Rightarrow v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
कक्षा के केंद्र के परितः उपग्रह का कोणीय संवेग $L = mvr$ है।
$v$ का मान रखने पर:
$L = m \left(\sqrt{\frac{GM}{r}}\right) r$
$L = m \sqrt{GM} \cdot \sqrt{r} = \sqrt{GMm^2r}$
$L = (GMm^2r)^{1/2}$

(D) एक भूस्थिर उपग्रह के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल उसकी वृत्ताकार कक्षा के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
मान लीजिए कि उपग्रह की कक्षा की त्रिज्या $r$ है और पृथ्वी का द्रव्यमान $M$ है।
वृत्ताकार गति के लिए शर्त है: $m \omega^2 r = \frac{GMm}{r^2}$।
इसे सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है: $r^3 = \frac{GM}{\omega^2}$।
हम जानते हैं कि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $GM = gR^2$।
$GM = gR^2$ को $r^3$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है: $r^3 = \frac{gR^2}{\omega^2}$।
अतः,कक्षा की त्रिज्या $r = \left[\frac{R^2 g}{\omega^2}\right]^{1/3}$ होगी।

(C) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित उपग्रह का कक्षीय वेग $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी की सतह के ठीक ऊपर उपग्रह के लिए,कक्षीय त्रिज्या $r = R$ है,इसलिए वेग $V = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ है।
$h = \frac{R}{2}$ की ऊंचाई पर स्थित उपग्रह के लिए,कक्षीय त्रिज्या $r' = R + h = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$ है।
नया कक्षीय वेग $V'$ इस प्रकार है: $V' = \sqrt{\frac{GM}{r'}} = \sqrt{\frac{GM}{3R/2}} = \sqrt{\frac{2GM}{3R}}$।
इस व्यंजक में $V = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V' = \sqrt{\frac{2}{3}} V$ प्राप्त होता है।

(B) $m$ द्रव्यमान वाले उपग्रह की $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के चारों ओर $r$ दूरी पर गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{GMm}{2r}$ है।
यहाँ,$r$ पृथ्वी के केंद्र से दूरी है,इसलिए $r = R_{earth} + h$.
पहले उपग्रह के लिए $h_1 = R$ ऊँचाई पर,कक्षीय त्रिज्या $r_1 = R + R = 2R$ होगी।
दूसरे उपग्रह के लिए $h_2 = 2R$ ऊँचाई पर,कक्षीय त्रिज्या $r_2 = R + 2R = 3R$ होगी।
चूँकि दोनों उपग्रहों का द्रव्यमान $m$ समान है,गतिज ऊर्जा कक्षीय त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $K.E. \propto \frac{1}{r}$.
अतः,उनकी गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{(K.E.)_1}{(K.E.)_2} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{3R}{2R} = \frac{3}{2}$ होगा।

(D) उपग्रह की गति उसके क्षैतिज वेग $(v)$ पर निर्भर करती है,जो क्रांतिक वेग $(v_c)$ और पलायन वेग $(v_e)$ के सापेक्ष होता है।
यदि $v < v_c$ है,तो उपग्रह पृथ्वी पर वापस गिर जाएगा।
यदि $v = v_c$ है,तो उपग्रह एक वृत्ताकार कक्षा में परिक्रमा करेगा।
यदि $v_c < v < v_e$ है,तो उपग्रह पृथ्वी को एक फोकस के रूप में रखते हुए दीर्घवृत्ताकार कक्षा में परिक्रमा करेगा।
यदि $v = v_e$ है,तो उपग्रह पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकल जाएगा।
इसलिए,यदि क्षैतिज वेग क्रांतिक वेग से अधिक लेकिन पलायन वेग से कम है,तो उपग्रह दीर्घवृत्ताकार कक्षा में परिक्रमा करेगा।

(B) पृथ्वी के चारों ओर '$r$' दूरी पर घूम रहे उपग्रह का क्रांतिक वेग (कक्षीय वेग) निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
जहाँ '$G$' गुरुत्वाकर्षण नियतांक है और '$M$' पृथ्वी का द्रव्यमान है।
'$R$' त्रिज्या वाले उपग्रह '$A$' के लिए:
$v_{A} = \sqrt{\frac{GM}{R}}$
'$2R$' त्रिज्या वाले उपग्रह '$B$' के लिए:
$v_{B} = \sqrt{\frac{GM}{2R}}$
दोनों वेगों का अनुपात लेने पर:
$\frac{v_{A}}{v_{B}} = \frac{\sqrt{\frac{GM}{R}}}{\sqrt{\frac{GM}{2R}}} = \sqrt{\frac{GM}{R} \times \frac{2R}{GM}} = \sqrt{2}$
अतः,अनुपात $\frac{v_{A}}{v_{B}}$ का मान $\sqrt{2}: 1$ है।

(C) उपग्रह का कक्षीय वेग $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दिया जाता है।
परिक्रमण का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ है।
परिक्रमण की आवृत्ति $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{GM}{r^3}}$ है।
जैसा कि देखा जा सकता है,आवृत्ति '$f$' केवल पृथ्वी के द्रव्यमान '$M$' और कक्षा की त्रिज्या '$r$' पर निर्भर करती है।
यह उपग्रह के द्रव्यमान '$m$' से स्वतंत्र है।
इसलिए,उनकी आवृत्तियों का अनुपात $1:1$ होगा।

(A) ग्रह के चारों ओर परिक्रमा करने वाले उपग्रह का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ कक्षीय त्रिज्या है,$G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है और $M$ ग्रह का द्रव्यमान है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि आवर्तकाल $T$ केवल ग्रह के द्रव्यमान $M$ और कक्षीय त्रिज्या $r$ पर निर्भर करता है।
यह उपग्रह के द्रव्यमान $m$ पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,परिक्रमण काल उपग्रह के द्रव्यमान से स्वतंत्र होता है।

(D) $m$ द्रव्यमान के उपग्रह की पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = \frac{GMm}{2r}$ होता है।
यहाँ,$r = R + h$,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $h$ सतह से ऊँचाई है।
उपग्रह '$A$' के लिए,$h_A = 2R$,इसलिए $r_A = R + 2R = 3R$ है।
उपग्रह '$B$' के लिए,$h_B = 3R$,इसलिए $r_B = R + 3R = 4R$ है।
गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{K_A}{K_B} = \frac{r_B}{r_A} = \frac{4R}{3R} = \frac{4}{3}$ होगा।

(D) पृथ्वी के चारों ओर परिक्रमा कर रहे उपग्रह का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ कक्षा की त्रिज्या है,$G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है और $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है।
चूंकि दोनों उपग्रह एक ही कक्षा में परिक्रमा कर रहे हैं,इसलिए उनकी कक्षा की त्रिज्या $r$ समान है।
चूंकि $T$ केवल कक्षा की त्रिज्या $r$ और पृथ्वी के द्रव्यमान $M$ पर निर्भर करता है,न कि उपग्रह के द्रव्यमान $m$ पर,इसलिए दोनों उपग्रहों का आवर्तकाल समान होगा।
अतः,सही कथन यह है कि उनका आवर्तकाल समान है।

(C) ग्रह की सतह के निकट परिक्रमा करने वाले उपग्रह का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$R$ ग्रह की त्रिज्या है और $M$ इसका द्रव्यमान है।
ग्रह के द्रव्यमान $M$ को उसके घनत्व $\rho$ के पदों में $M = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
$M$ के इस मान को आवर्तकाल के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{G \cdot (\frac{4}{3} \pi R^3 \rho)}}$
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3 \cdot 3}{4 \pi G R^3 \rho}}$
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{3}{4 \pi G \rho}}$
$T = \sqrt{\frac{4 \pi^2 \cdot 3}{4 \pi G \rho}}$
$T = \sqrt{\frac{3 \pi}{G \rho}}$

(D) हम जानते हैं कि कोणीय संवेग $L = m v R$ ... $(i)$
सूर्य के चारों ओर घूमने वाले ग्रह के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है:
$\frac{m v^2}{R} = \frac{G M m}{R^2}$
$v^2 = \frac{G M}{R}$
$v = \sqrt{\frac{G M}{R}}$ ... (ii)
समीकरण (ii) को $(i)$ में रखने पर:
$L = m \times \sqrt{\frac{G M}{R}} \times R$
$L = m \sqrt{G M R}$
चूंकि $m$,$G$,और $M$ स्थिरांक हैं,इसलिए:
$L \propto \sqrt{R}$
$L \propto R^{1/2}$
अतः,$L \propto R^n$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = 0.5$ प्राप्त होता है।

(B) न्यूटन के गति के नियमों के अनुसार,एक वृत्ताकार पथ में गति करने वाली वस्तु को अपनी गति बनाए रखने के लिए वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित एक अभिकेंद्र बल की आवश्यकता होती है।
चूंकि पृथ्वी सूर्य के चारों ओर लगभग वृत्ताकार कक्षा में परिक्रमण करती है,इसलिए पृथ्वी पर सूर्य की ओर निर्देशित एक अभिकेंद्र बल कार्य करना चाहिए।
यह बल सूर्य और पृथ्वी के बीच गुरुत्वाकर्षण आकर्षण द्वारा प्रदान किया जाता है।
इसलिए,पृथ्वी का सूर्य के चारों ओर परिक्रमण ही इस बात का प्रमाण है कि ऐसा बल मौजूद है।

(C) वृत्ताकार कक्षा में गति करने वाले कण के लिए,अभिकेंद्र बल केंद्रीय आकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
दिया गया है $F = \frac{k}{r}$,अभिकेंद्र बल का परिमाण $F_c = m r \omega^2$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $m r \omega^2 = \frac{k}{r}$।
कोणीय वेग $\omega$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $\omega^2 = \frac{k}{m r^2}$।
वर्गमूल लेने पर: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \cdot \frac{1}{r}$।
चूंकि आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega}$ होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \cdot r$।
अतः,$T \propto r$।

(D) वृत्ताकार कक्षा में गतिमान कण का कोणीय संवेग $L = mvr$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$v$ कक्षीय वेग है,और $r$ त्रिज्या है।
सूर्य के चारों ओर परिक्रमा करने वाले ग्रह के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है:
$\frac{GMm}{R^2} = \frac{mv^2}{R}$
$v$ के लिए हल करने पर,हमें $v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ प्राप्त होता है।
इस मान को कोणीय संवेग के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$L = m \times \sqrt{\frac{GM}{R}} \times R$
$L = m \sqrt{GM} \times \sqrt{R}$
चूँकि $m$,$G$,और $M$ स्थिरांक हैं,हम पाते हैं कि $L \propto \sqrt{R}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) वृत्ताकार गति में किसी कण का कोणीय संवेग $L = mvr$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ पृथ्वी का द्रव्यमान है,$v$ इसका कक्षीय वेग है और $r$ कक्षा की त्रिज्या $R$ है।
सूर्य के चारों ओर घूमने वाले ग्रह के लिए,अभिकेंद्री बल गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है:
$\frac{mv^2}{R} = \frac{GMm}{R^2}$
$v$ के लिए हल करने पर,हमें $v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ प्राप्त होता है।
इस मान को कोणीय संवेग के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$L = m \times \sqrt{\frac{GM}{R}} \times R$
$L = m \sqrt{GM} \times \frac{R}{\sqrt{R}}$
$L = m \sqrt{GM} \times \sqrt{R}$
चूंकि $m$,$G$ और $M$ स्थिरांक हैं,इसलिए हम पाते हैं कि $L \propto \sqrt{R}$।

(B) $r$ दूरी पर पृथ्वी के चारों ओर घूम रहे उपग्रह का कक्षीय वेग $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दिया जाता है।
कोणीय संवेग $L$ को $L = mvr$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$L$ के समीकरण में $v$ का मान रखने पर:
$L = m \left(\sqrt{\frac{GM}{r}}\right) r$
$L = m \sqrt{GM} \cdot \sqrt{r}$
$L = m \sqrt{GMr}$
$L = m(GMr)^{1/2}$.

(C) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,उपग्रह के आवर्तकाल $T$ का वर्ग उसकी कक्षा की त्रिज्या $R$ के घन के समानुपाती होता है,जिसे $T^2 \propto R^3$ द्वारा दर्शाया जाता है।
इसका अर्थ है कि $T = 2\pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}$,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है और $M$ ग्रह का द्रव्यमान है।
ध्यान दें कि आवर्तकाल $T$ केवल कक्षा की त्रिज्या $R$ और केंद्रीय ग्रह के द्रव्यमान $M$ पर निर्भर करता है।
यह उपग्रह के द्रव्यमान $m$ से स्वतंत्र है।
चूंकि दोनों उपग्रह एक ही ग्रह के चारों ओर समान त्रिज्या $R$ पर परिक्रमा कर रहे हैं,इसलिए उनके आवर्तकाल समान होंगे।
अतः,उनके परिक्रमण काल का अनुपात $1: 1$ है।

(C) केंद्रीय बल गति में,पिंड का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
कोणीय संवेग $L = \vec{r} \times \vec{p} = mvr \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $A$ और $B$ पर,वेग सदिश स्थिति सदिश के लंबवत होता है,इसलिए $\theta = 90^\circ$ और $\sin 90^\circ = 1$ होता है।
अतः,$L = mvr$।
मान लीजिए कि $v_A$ और $v_B$ क्रमशः $A$ और $B$ पर पृथ्वी की गति हैं,और $r_A = OA$ तथा $r_B = OB$ सूर्य से दूरियां हैं।
कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम से:
$m v_A r_A = m v_B r_B$
$\Rightarrow \frac{v_A}{v_B} = \frac{r_B}{r_A} = \frac{OB}{OA}$
दिया गया है कि $\frac{OB}{OA} = R$,इसलिए $\frac{v_A}{v_B} = R$।
अतः,$A$ और $B$ पर पृथ्वी के वेगों का अनुपात $R$ है।

(C) पृथ्वी की सतह के बहुत करीब परिक्रमा करने वाले उपग्रह का परिक्रमण काल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{R_E}{g}}$
दिए गए मान:
$R_E = 6400 \ km = 6.4 \times 10^6 \ m$
$g = 10 \ ms^{-2}$
$\pi = 3.14$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{6.4 \times 10^6}{10}}$
$T = 6.28 \times \sqrt{6.4 \times 10^5} = 6.28 \times \sqrt{64 \times 10^4}$
$T = 6.28 \times 800 = 5024 \ s$
समय को मिनट में बदलने के लिए:
$T = \frac{5024}{60} \ min \approx 83.73 \ min$
अतः, परिक्रमण काल $83.73$ मिनट है।

(A) एक भूस्थिर उपग्रह पृथ्वी के भूमध्य रेखा के ऊपर इस प्रकार परिक्रमा करता है कि पृथ्वी से देखने पर वह स्थिर दिखाई देता है।
इसका अर्थ यह है कि उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर एक चक्कर पूरा करने में उतना ही समय लेता है जितना समय पृथ्वी को अपनी धुरी पर एक घूर्णन पूरा करने में लगता है।
पृथ्वी का घूर्णन काल $24 \text{ h}$ है।
अतः,एक भूस्थिर उपग्रह का आवर्तकाल $24 \text{ h}$ होता है।

(D) पृथ्वी की सतह से पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = 11.2 \,km \,s^{-1}$ द्वारा दिया जाता है।
सतह से $h$ ऊंचाई पर एक उपग्रह का कक्षीय वेग $v_o = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$ होता है।
चूंकि ऊंचाई $h = R$ दी गई है, इसलिए कक्षीय वेग $v_o = \sqrt{\frac{GM}{R+R}} = \sqrt{\frac{GM}{2R}}$ होगा।
हम $v_o$ को $v_e$ के पदों में इस प्रकार लिख सकते हैं:
$v_o = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{2GM}{R}} = \frac{v_e}{2}$.
$v_e = 11.2 \,km \,s^{-1}$ का मान रखने पर:
$v_o = \frac{11.2}{2} = 5.6 \,km \,s^{-1}$।

(B) जब किसी पिंड का वेग $(v)$,कक्षीय वेग $(v_o)$ से अधिक लेकिन पलायन वेग $(v_e)$ से कम होता है,अर्थात $v_o < v < v_e$,तो पिंड की कुल ऊर्जा ऋणात्मक होती है।
केंद्रीय गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में ऋणात्मक कुल ऊर्जा के लिए,पिंड का प्रक्षेप पथ एक दीर्घवृत्त (ellipse) होता है,जिसमें पृथ्वी का केंद्र एक फोकस पर स्थित होता है।
यदि $v = v_e$ है,तो कुल ऊर्जा शून्य होती है और पथ परवलयाकार हो जाता है।
यदि $v > v_e$ है,तो कुल ऊर्जा धनात्मक होती है और पथ अतिपरवलयाकार हो जाता है।

(D) केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार,$a$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह का परिक्रमण काल $T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{GM}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ ग्रह का द्रव्यमान है।
हम जानते हैं कि ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है,जिसका अर्थ है $GM = gR^2$।
$GM$ का मान परिक्रमण काल के सूत्र में रखने पर: $T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{gR^2}} = 2\pi a^{3/2} g^{-1/2} R^{-1}$।
इसे दिए गए व्यंजक $T \propto a^{3/2} g^x R^y$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = -1/2$ और $y = -1$ प्राप्त होता है।

(B) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार, परिक्रमण काल $(T)$ का वर्ग कक्षीय त्रिज्या $(r)$ के घन के समानुपाती होता है:
$T^2 \propto r^3$
पहले उपग्रह के लिए, कक्षीय त्रिज्या $r_1 = R$ है (जहाँ $R$ ग्रह की त्रिज्या है)।
दूसरे उपग्रह के लिए, ऊंचाई $h = 3R$ है, इसलिए कक्षीय त्रिज्या $r_2 = R + 3R = 4R$ होगी।
अनुपात का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^3$
$\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 = \left(\frac{4R}{R}\right)^3 = 4^3 = 64$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{64} = 8$
दिया गया है कि $T_1 = 80 \text{ मिनट}$, इसलिए:
$T_2 = 8 \times 80 \text{ मिनट} = 640 \text{ मिनट}$।

(B) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,ग्रह का कोणीय संवेग $(L)$ स्थिर रहता है।
$L = mvr \sin \phi$,जहाँ $\phi$ वेग सदिश और त्रिज्या सदिश के बीच का कोण है।
कोणीय संवेग संरक्षण के अनुसार: $m v_A r_A \sin \phi_A = m v_B r_B \sin \phi_B$
यहाँ $r_A = 90 \times 10^6 \text{ km}$,$r_B = 60 \times 10^6 \text{ km}$,$\phi_A = 30^{\circ}$,और $\phi_B = 60^{\circ}$ दिया गया है।
$\frac{v_A}{v_B} = \frac{r_B}{r_A} \times \frac{\sin \phi_B}{\sin \phi_A}$
$\frac{v_A}{v_B} = \frac{60 \times 10^6}{90 \times 10^6} \times \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}$
$\frac{v_A}{v_B} = \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \frac{2}{3} \times \sqrt{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(A) एक स्थिर उपग्रह के लिए,उसका कक्षीय आवर्तकाल $T$ ग्रह के अपनी धुरी पर घूर्णन काल के बराबर होना चाहिए। ग्रह का कोणीय वेग $\omega = 2\pi / T$ है।
चूंकि कोणीय वेग आधा हो जाता है $(\omega' = \omega / 2)$,नया आवर्तकाल $T' = 2T$ हो जाता है क्योंकि $T = 2\pi / \omega$।
केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार,कक्षीय आवर्तकाल का वर्ग कक्षीय त्रिज्या के घन के समानुपाती होता है: $T^2 \propto r^3$।
इसलिए,$(T'/T)^2 = (r'/r)^3$।
$T' = 2T$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(2)^2 = (r'/r)^3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $4 = (r'/r)^3$।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$r'/r = 4^{1/3} = (2^2)^{1/3} = 2^{2/3}$।
इसकी तुलना $r'/r = 2^n$ से करने पर,हमें $n = 2/3$ प्राप्त होता है।

(D) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित उपग्रह की कक्षीय चाल $v = \sqrt{\frac{GM_E}{r}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $r = R_E + h$ है।
उपग्रह $A$ के लिए,ऊँचाई $h_A = 1.25 R_E$ है,इसलिए केंद्र से दूरी $r_A = R_E + 1.25 R_E = 2.25 R_E$ है।
उपग्रह $B$ के लिए,ऊँचाई $h_B = 19.25 R_E$ है,इसलिए केंद्र से दूरी $r_B = R_E + 19.25 R_E = 20.25 R_E$ है।
कक्षीय चालों का अनुपात $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{r_B}{r_A}} = \sqrt{\frac{20.25 R_E}{2.25 R_E}} = \sqrt{\frac{2025}{225}} = \sqrt{9} = 3$ है।
अतः,अनुपात $3: 1$ है।

(B) जिस उपग्रह का आवर्तकाल पृथ्वी के घूर्णन काल $(T = 24 \,h)$ के बराबर होता है,उसे भूस्थिर उपग्रह कहा जाता है।
भूस्थिर उपग्रह के लिए,कक्षीय त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \left( \frac{T^2 GM_e}{4 \pi^2} \right)^{1/3}$ है।
मान $T = 86,400 \,s$,$G = 6.67 \times 10^{-11} \,Nm^2/kg^2$,और $M_e = 5.97 \times 10^{24} \,kg$ रखने पर,हमें $r \approx 42,200 \,km$ प्राप्त होता है।
ऊँचाई $h$ का मान $h = r - R_e$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_e \approx 6,400 \,km$ है।
अतः,$h = 42,200 \,km - 6,400 \,km = 35,800 \,km$।
इसलिए,ऊँचाई लगभग $35,840 \,km$ है।

(B) ध्रुवीय उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर उत्तर-दक्षिण दिशा में परिक्रमा करते हैं,जबकि पृथ्वी उनके नीचे घूमती है। यह उन्हें पूरी पृथ्वी को स्कैन करने की अनुमति देता है,जो उन्हें रिमोट सेंसिंग,मौसम विज्ञान और पर्यावरणीय निगरानी के लिए आदर्श बनाता है।