R त्रिज्या का एक गोलाकार पिंड अचर घनत्व rho क | vedclass

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Question

(B) अपने स्वयं के गुरुत्वाकर्षण के तहत संतुलन में अचर घनत्व $\rho$ के एक तरल गोले के लिए,केंद्र से $r$ दूरी पर दबाव $P(r)$ हाइड्रोस्टेटिक संतुलन समीकर

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$(B, C)$

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(B) अपने स्वयं के गुरुत्वाकर्षण के तहत संतुलन में अचर घनत्व $ho$ के एक तरल गोले के लिए,केंद्र से $r$ दूरी पर दबाव $P(r)$ हाइड्रोस्टेटिक संतुलन समीकरण द्वारा दिया जाता है: $\frac{dP}{dr} = -ho g(r)$.$r$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $g(r) = \frac{G M(r)}{r^2} = \frac{G (\frac{4}{3}\pi r^3 ho)}{r^2} = \frac{4}{3}\pi G ho r$ है।इसे संतुलन समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dP}{dr} = -\frac{4}{3}\pi G ho^2 r$.$r$ से $R$ तक समाकलन करने पर (जहाँ $P(R) = 0$): $\int_{P(r)}^{0} dP = -\int_{r}^{R} \frac{4}{3}\pi G ho^2 r dr$.$0 - P(r) = -\frac{4}{3}\pi G ho^2 [\frac{r^2}{2}]_r^R = -\frac{2}{3}\pi G ho^2 (R^2 - r^2)$.अतः,$P(r) = \frac{2}{3}\pi G ho^2 R^2 (1 - \frac{r^2}{R^2}) = P_c (1 - \frac{r^2}{R^2})$.अनुपातों की जाँच करने पर:$(B) \frac{P(3R/4)}{P(2R/3)} = \frac{1 - (3/4)^2}{1 - (2/3)^2} = \frac{1 - 9/16}{1 - 4/9} = \frac{7/16}{5/9} = \frac{63}{80}$. (सही)$(C) \frac{P(3R/5)}{P(2R/5)} = \frac{1 - 9/25}{1 - 4/25} = \frac{16/25}{21/25} = \frac{16}{21}$. (सही)$(D) \frac{P(R/2)}{P(R/3)} = \frac{1 - 1/4}{1 - 1/9} = \frac{3/4}{8/9} = \frac{27}{32} 
eq \frac{20}{27}$. (गलत)इसलिए,सही विकल्प $(B)$ और $(C)$ हैं।

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