समान घनत्व और R त्रिज्या वाले एक ठोस गोले के | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए ठोस गोले का द्रव्यमान $M$ है और कण का द्रव्यमान $m$ है। गोले के केंद्र से $3R$ की दूरी पर स्थित कण पर ठोस गोले के कारण लगने वाला गुरुत्व

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{50}{41}$

Vedclass · Answer

(A) मान लीजिए ठोस गोले का द्रव्यमान $M$ है और कण का द्रव्यमान $m$ है। गोले के केंद्र से $3R$ की दूरी पर स्थित कण पर ठोस गोले के कारण लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल है:$F_1 = \frac{G M m}{(3 R)^2} = \frac{G M m}{9 R^2}$जब $r = R/2$ त्रिज्या का एक गोलाकार छेद किया जाता है,तो इसका द्रव्यमान $M'$ इसके आयतन के समानुपाती होता है। चूंकि घनत्व $\rho$ समान है,$M' = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi (R/2)^3 = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{M}{8}$।छेद का केंद्र मूल गोले के केंद्र से $R/2$ की दूरी पर है। कण मूल गोले के केंद्र से $3R$ की दूरी पर है,इसलिए यह छेद के केंद्र से $(3R - R/2) = 2.5R = 5R/2$ की दूरी पर है।छेद वाले गोले द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $F_2$,ठोस गोले के बल में से हटाए गए गोलाकार भाग द्वारा लगाए जाने वाले बल को घटाने पर प्राप्त होता है:$F_2 = F_1 - F_{hole} = \frac{G M m}{9 R^2} - \frac{G (M/8) m}{(5R/2)^2}$$F_2 = \frac{G M m}{R^2} \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{25} \right] = \frac{G M m}{R^2} \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{50} \right]$$F_2 = \frac{G M m}{R^2} \left[ \frac{50 - 9}{450} \right] = \frac{G M m}{R^2} \left[ \frac{41}{450} \right]$अब,$F_1 / F_2$ का अनुपात है:$\frac{F_1}{F_2} = \frac{G M m / 9 R^2}{41 G M m / 450 R^2} = \frac{1}{9} \cdot \frac{450}{41} = \frac{50}{41}$

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