चित्र में दिखाए अनुसार,$R$ त्रिज्या के एक समान ठोस गोले में दो गोलाकार गुहिकाएं (cavities) बनाई गई हैं। गुहिकाओं की सीमाएं गोले के केंद्र पर स्पर्श करती हैं। गुहिकाओं के केंद्र और गोले का केंद्र $X$-अक्ष पर स्थित हैं। गुहिकाएं बनाने से पहले ठोस गोले का द्रव्यमान $M$ था। ठोस गोले के केंद्र से $d$ दूरी पर स्थित बिंदु द्रव्यमान $m$ पर गुरुत्वाकर्षण बल क्या होगा?

  • A
    $\frac{G M m}{d^2}\left[1-\frac{1}{8} \frac{1}{\left(1+\frac{R}{2 d}\right)^2}-\frac{1}{8} \frac{1}{\left(1-\frac{R}{2 d}\right)^2}\right]$
  • B
    $\frac{G M m}{d^2}\left[1-\frac{1}{8} \frac{1}{\left(1+\frac{R}{d}\right)^2}-\frac{1}{8} \frac{1}{\left(1-\frac{R}{d}\right)^2}\right]$
  • C
    $\frac{G M m}{d^2}\left[1-\frac{1}{8} \frac{1}{\left(1+\frac{d}{R}\right)^2}-\frac{1}{8} \frac{1}{\left(1-\frac{d}{R}\right)^2}\right]$
  • D
    $\frac{G M m}{d^2}\left[1-\frac{1}{8} \frac{1}{\left(1+\frac{d}{R}\right)^2}+\frac{1}{8} \frac{1}{\left(1-\frac{d}{R}\right)^2}\right]$

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निम्नलिखित चार आवर्तकालों में:
$(i)$ पृथ्वी की सतह के ठीक ऊपर उपग्रह के परिक्रमण का समय $({T_{st}})$
$(ii)$ पृथ्वी के व्यास के अनुदिश खोदी गई सुरंग के अंदर द्रव्यमान के दोलन का आवर्तकाल $({T_{ma}})$
$(iii)$ $9.8 \; N/kg$ के एकसमान क्षेत्र में पृथ्वी की त्रिज्या के बराबर लंबाई वाले सरल लोलक का आवर्तकाल $({T_{sp}})$
$(iv)$ पृथ्वी के वास्तविक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में अनंत लंबाई के सरल लोलक का आवर्तकाल $({T_{is}})$

Difficult
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$m$ द्रव्यमान का एक कण पृथ्वी की त्रिज्या $R$ के बराबर ऊँचाई से पृथ्वी के आर-पार खोदी गई सुरंग के ऊपर से गिराया जाता है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। अतः सही कथन है

Difficult
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$V_0$ चाल से एक सीधी रेखा में दूर से आ रहा $m$ द्रव्यमान का एक पिंड,जब $M$ द्रव्यमान वाले ब्लैक होल के पास से गुजरता है,तो वह विक्षेपित हो जाता है। ब्लैक होल मूल उड़ान पथ से $R$ लंबवत दूरी पर है। पिंड और ब्लैक होल के बीच निकटतम पहुंच की दूरी $a$ को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:

माध्य सौर दिवस दो क्रमिक दोपहरों के बीच का समय अंतराल है जब सूर्य ज़ेनिथ बिंदु (मेरिडियन) से होकर गुजरता है। नक्षत्र दिवस (Sidereal day) एक दूरस्थ तारे के ज़ेनिथ बिंदु (मेरिडियन) से दो क्रमिक पारगमन के बीच का समय अंतराल है। पृथ्वी के चक्रण और कक्षीय गति को दर्शाने वाला एक उपयुक्त आरेख बनाकर,यह दिखाएं कि माध्य सौर दिवस नक्षत्र दिवस से $4\,\text{min}$ लंबा होता है। दूसरे शब्दों में,दूरस्थ तारे हर क्रमिक दिन $4\,\text{min}$ जल्दी उदय होंगे।

$m$ द्रव्यमान का एक उपग्रह $M$ द्रव्यमान के एक तारे से $a$ दूरी पर है। उपग्रह की गति $u$ है। मान लीजिए कि सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण का नियम $F = -G \frac{Mm}{r^2}$ के बजाय $F = -G \frac{Mm}{r^{2.1}}$ है। जब उपग्रह तारे से $b$ दूरी पर हो,तो उसकी गति ज्ञात कीजिए।

Difficult
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