Escape Velocity and Escape Energy Questions in Hindi

(C) पृथ्वी की सतह और अधिकतम ऊँचाई $h$ के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
सतह पर कुल ऊर्जा = अधिकतम ऊँचाई पर कुल ऊर्जा
$-\frac{G M m}{R_E} + \frac{1}{2} m v^2 = -\frac{G M m}{R_E + h} + 0$
दिया गया है $h = \frac{4}{5} R_E$,इसलिए $R_E + h = R_E + \frac{4}{5} R_E = \frac{9}{5} R_E$.
$GM = g R_E^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$-\frac{g R_E^2 m}{R_E} + \frac{1}{2} m v^2 = -\frac{g R_E^2 m}{\frac{9}{5} R_E}$
$-g R_E + \frac{v^2}{2} = -\frac{5}{9} g R_E$
$\frac{v^2}{2} = g R_E - \frac{5}{9} g R_E = \frac{4}{9} g R_E$
$v^2 = \frac{8}{9} g R_E$
$v = \sqrt{\frac{8}{9} g R_E} = \frac{2}{3} \sqrt{2 g R_E}$
चूँकि पलायन वेग $v_E = \sqrt{2 g R_E}$ है,इसलिए $v = \frac{2}{3} v_E$.
अतः,$\frac{v}{v_E} = \frac{2}{3}$.

(B) माना पृथ्वी की सतह पर वस्तु की पलायन चाल $V_e = V$ है। पलायन चाल का सूत्र $V = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,सतह पर कुल ऊर्जा अनंत पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$\frac{1}{2}m(4V)^2 - \frac{GMm}{R} = \frac{1}{2}mV_0^2 + 0$
चूंकि $V^2 = \frac{2GM}{R}$,इसलिए $\frac{GM}{R} = \frac{V^2}{2}$ है।
इस मान को ऊर्जा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2}m(16V^2) - m(\frac{V^2}{2}) = \frac{1}{2}mV_0^2$
$8mV^2 - 0.5mV^2 = 0.5mV_0^2$
$7.5V^2 = 0.5V_0^2$
$V_0^2 = 15V^2$
$V_0 = \sqrt{15}V$

(B) पलायन वेग $v_e$ का सूत्र इस प्रकार है:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
चूंकि ग्रह का द्रव्यमान $M$ को उसके घनत्व $d$ और त्रिज्या $R$ के पदों में $M = d \times \frac{4}{3} \pi R^3$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$v_e = \sqrt{\frac{2G}{R} \times \frac{4}{3} \pi R^3 d} = \sqrt{\frac{8}{3} G \pi R^2 d} = R \sqrt{\frac{8}{3} G \pi d}$
पहले ग्रह $(A)$ के लिए:
$v_1 = 16 \ km/s = R \sqrt{\frac{8}{3} G \pi d}$
दूसरे ग्रह $(B)$ के लिए जिसकी त्रिज्या $R' = 3R$ और घनत्व $d' = 2d$ है:
$v_2 = (3R) \sqrt{\frac{8}{3} G \pi (2d)} = 3R \sqrt{2} \sqrt{\frac{8}{3} G \pi d} = 3 \sqrt{2} \times v_1$
$v_1 = 16 \ km/s$ रखने पर:
$v_2 = 3 \sqrt{2} \times 16 = 48 \sqrt{2} \ km/s$
दिया गया है कि $v_2 = v \sqrt{2} \ km/s$,इसलिए:
$v = 48$

(C) दिया गया है:
ग्रह की त्रिज्या,$R = 1.7 \times 10^6 \ m$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 1.7 \ m s^{-2}$
ग्रह की सतह पर पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{2gR}$ है।
मान रखने पर:
$v_e = \sqrt{2 \times 1.7 \times (1.7 \times 10^6)}$
$v_e = \sqrt{2 \times (1.7)^2 \times 10^6}$
$v_e = 1.7 \times \sqrt{2} \times 10^3 \ m s^{-1}$
चूंकि $10^3 \ m s^{-1} = 1 \ km s^{-1}$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$v_e = 1.7 \sqrt{2} \ km s^{-1}$.

(A) ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,सतह पर कुल ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
सतह पर: $E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर: $E_f = K_f + U_f = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
चूँकि $E_i = E_f$,इसलिए $\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
दिया गया है $v = \frac{v_e}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2GM}{R}}$,इसलिए $v^2 = \frac{GM}{2R}$।
$v^2$ का मान ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{2}m(\frac{GM}{2R}) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{GMm}{4R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{3GMm}{4R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{3}{4R} = \frac{1}{R+h} \Rightarrow 3(R+h) = 4R \Rightarrow 3R + 3h = 4R \Rightarrow 3h = R \Rightarrow h = \frac{R}{3}$

(C) दिया गया है कि पृथ्वी की सतह पर पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}} = 11.2 \ km/s$ है।
ऊँचाई $h = \frac{R_e}{3}$ पर,पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = R_e + h = R_e + \frac{R_e}{3} = \frac{4R_e}{3}$ है।
इस बिंदु से पलायन करने के लिए,रॉकेट की गतिज ऊर्जा उस दूरी पर गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा के परिमाण के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{1}{2}mv_{e1}^2 = \frac{GM_em}{r} = \frac{GM_em}{4R_e/3} = \frac{3GM_em}{4R_e}$.
चूँकि $v_e^2 = \frac{2GM_e}{R_e}$,इसलिए $\frac{GM_e}{R_e} = \frac{v_e^2}{2}$ है।
इस मान को ऊर्जा समीकरण में रखने पर: $\frac{1}{2}v_{e1}^2 = \frac{3}{4} \left(\frac{v_e^2}{2}\right) = \frac{3}{8}v_e^2$.
$v_{e1}^2 = \frac{3}{4}v_e^2 \Rightarrow v_{e1} = \frac{\sqrt{3}}{2}v_e$.
चूँकि $v_e = 11.2 \ km/s$ दिया गया है,$v_{e1} = \frac{1.732}{2} \times 11.2 = 0.866 \times 11.2 \approx 9.7 \ km/s$।

(B) पृथ्वी की सतह पर पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
माना वस्तु को $v = x \cdot v_e$ के प्रारंभिक वेग से फेंका जाता है।
माना सतह से प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $h$ है। इस अधिकतम ऊँचाई पर पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = R + h$ है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
सतह पर कुल ऊर्जा = अधिकतम ऊँचाई पर कुल ऊर्जा
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$v = x \cdot v_e = x \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ रखने पर:
$\frac{1}{2}m \left(x^2 \cdot \frac{2GM}{R}\right) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{GMm x^2}{R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$GMm$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x^2}{R} - \frac{1}{R} = - \frac{1}{R+h}$
$\frac{1-x^2}{R} = \frac{1}{R+h}$
$R+h = \frac{R}{1-x^2}$
$h = \frac{R}{1-x^2} - R = \frac{Rx^2}{1-x^2}$
पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = R + h = \frac{R}{1-x^2}$ है। प्रश्न में पृथ्वी के केंद्र से ऊँचाई पूछी गई है,लेकिन दिए गए विकल्पों के अनुसार,विकल्प $B$ सतह से ऊँचाई $h$ को दर्शाता है।

(D) $r$ दूरी पर स्थित $M$ द्रव्यमान के ग्रह के कारण $m$ द्रव्यमान की वस्तु की बिंदु $P$ पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
पलायन चाल $v_e$ इस शर्त से प्राप्त होती है कि कुल ऊर्जा कम से कम शून्य होनी चाहिए,अर्थात $\frac{1}{2}mv_e^2 + U = 0$,जिसका अर्थ है $v_e = \sqrt{\frac{2|U|}{m}} = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$।
दिया गया है कि केवल ग्रह $B$ के कारण पलायन चाल $v_{eB} = \sqrt{\frac{2GM}{r}} = 5 \ km/s$ है।
जब दोनों ग्रहों $B$ और $C$ पर विचार किया जाता है,तो बिंदु $P$ पर कुल गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_{total} = U_B + U_C = -\frac{GMm}{r} - \frac{G(6M)m}{2r} = -\frac{GMm}{r} - 3\frac{GMm}{r} = -4\frac{GMm}{r}$ होती है।
दोनों ग्रहों के कारण पलायन चाल $v_{total}$ को $\frac{1}{2}mv_{total}^2 = |U_{total}| = 4\frac{GMm}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$v_{total} = \sqrt{\frac{8GM}{r}} = 2 \sqrt{\frac{2GM}{r}}$।
$v_{eB} = 5 \ km/s$ का मान रखने पर,हमें $v_{total} = 2 \times 5 \ km/s = 10 \ km/s$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए द्रव्यमान $M_1 = M$ और $M_2 = 2M$ हैं। उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d = 10R$ है। $m = \frac{M}{10}$ द्रव्यमान का कण मध्य-बिंदु से प्रक्षेपित किया जाता है,जो $M_1$ से $r_1 = 5R$ और $M_2$ से $r_2 = 5R$ की दूरी पर है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,मध्य-बिंदु पर कुल ऊर्जा अनंत पर कुल ऊर्जा (जहाँ स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा शून्य है) के बराबर होनी चाहिए।
प्रारंभिक ऊर्जा $E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GM_1m}{r_1} - \frac{GM_2m}{r_2}$.
मान रखने पर: $E_i = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{5R} - \frac{G(2M)m}{5R} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{3GMm}{5R}$.
अंतिम ऊर्जा $E_f = 0$.
$E_i = E_f$ रखने पर: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{3GMm}{5R}$.
$v$ के लिए हल करने पर: $v^2 = \frac{6GM}{5R}$,इसलिए $v = \sqrt{\frac{6GM}{5R}}$.

(C) उपग्रह का कक्षीय वेग $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ द्वारा दिया जाता है।
उपग्रह का पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,पलायन वेग और कक्षीय वेग के बीच संबंध $v_e = \sqrt{2} v_0$ है।
पलायन के लिए आवश्यक अतिरिक्त वेग $\Delta v = v_e - v_0$ है।
मान रखने पर: $\Delta v = \sqrt{2} v_0 - v_0 = v_0(\sqrt{2} - 1)$।
दिया गया है $v_0 = 10 \ km/s$ और $\sqrt{2} \approx 1.414$,तो:
$\Delta v = 10 \times (1.414 - 1) = 10 \times 0.414 = 4.14 \ km/s$।

(C) पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
मान लीजिए $M_e$ और $R_e$ पृथ्वी का द्रव्यमान और त्रिज्या हैं,और $M_p$ और $R_p$ ग्रह का द्रव्यमान और त्रिज्या हैं।
दिया गया है: $M_p = \frac{M_e}{2}$ और $R_p = \frac{R_e}{4}$।
पलायन वेग का अनुपात $\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{\frac{M_p}{M_e} \times \frac{R_e}{R_p}}$ है।
मान रखने पर: $\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{\frac{M_e/2}{M_e} \times \frac{R_e}{R_e/4}} = \sqrt{\frac{1}{2} \times 4} = \sqrt{2}$।
अतः,$v_p = v_e \times \sqrt{2} = 11 \times 1.414 = 15.55 \ km \ s^{-1}$।

(B) प्रक्षेपण वेग $v = \frac{3}{4} v_e$ है,जहाँ $v_e = \sqrt{2gR}$ पलायन वेग है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$v = \frac{3}{4} \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ का मान रखने पर:
$\frac{1}{2}m(\frac{9}{16} \cdot \frac{2GM}{R}) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{9GMm}{16R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{7GMm}{16R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{7}{16R} = \frac{1}{R+h}$
$16R = 7(R+h) = 7R + 7h$
$7h = 9R$
$h = \frac{9}{7}R$

(D) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा अनंत दूरी पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
$K_{i} + U_{i} = K_{f} + U_{f}$
दिया गया प्रारंभिक वेग $v_{i} = 2 v_{e}$,जहाँ $v_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R_{E}}}$ पलायन वेग है।
सतह पर: $K_{i} = \frac{1}{2} m(2 v_{e})^2 = 2 m v_{e}^2$ और $U_{i} = -\frac{GMm}{R_{E}} = -m v_{e}^2$।
अनंत पर: $U_{f} = 0$ और $K_{f} = \frac{1}{2} m v^2$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$2 m v_{e}^2 - m v_{e}^2 = \frac{1}{2} m v^2$
$m v_{e}^2 = \frac{1}{2} m v^2$
$v^2 = 2 v_{e}^2$
$v = \sqrt{2} v_{e}$

(A) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा अनंत पर कुल ऊर्जा के बराबर होनी चाहिए।
माना पिंड का द्रव्यमान $m$ है और पृथ्वी का द्रव्यमान $M$ है।
प्रारंभिक वेग $v = \sqrt{5} V_{e}$ है, जहाँ $V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
कुल प्रारंभिक ऊर्जा $E_{i} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$ है।
$v = \sqrt{5} V_{e}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है $E_{i} = \frac{1}{2}m(5 V_{e}^2) - \frac{GMm}{R} = \frac{5}{2}m(\frac{2GM}{R}) - \frac{GMm}{R} = \frac{5GMm}{R} - \frac{GMm}{R} = \frac{4GMm}{R}$।
अनंत पर, स्थितिज ऊर्जा $0$ होती है। माना अंतिम वेग $v_{f}$ है।
कुल अंतिम ऊर्जा $E_{f} = \frac{1}{2}mv_{f}^2 + 0$ है।
$E_{i} = E_{f}$ को बराबर करने पर, हमें मिलता है $\frac{4GMm}{R} = \frac{1}{2}mv_{f}^2$।
$v_{f}^2 = \frac{8GM}{R} = 4 \times (\frac{2GM}{R}) = 4 V_{e}^2$।
अतः, $v_{f} = 2 V_{e}$।

(A) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,अनंत पर उल्कापिंड की कुल ऊर्जा पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
अनंत पर स्थितिज ऊर्जा $0$ है और गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2}mv^2$ है।
पृथ्वी की सतह पर स्थितिज ऊर्जा $-\frac{GMm}{R}$ है और गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2}mv_f^2$ है,जहाँ $v_f$ अंतिम चाल है।
अतः,$\frac{1}{2}mv^2 + 0 = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{GMm}{R}$।
हम जानते हैं कि पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,जिसका अर्थ है $v_e^2 = \frac{2GM}{R}$,या $\frac{GM}{R} = \frac{v_e^2}{2}$।
इस मान को ऊर्जा समीकरण में रखने पर: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_f^2 - m(\frac{v_e^2}{2})$।
$\frac{m}{2}$ से भाग देने पर हमें $v^2 = v_f^2 - v_e^2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$v_f^2 = v^2 + v_e^2$,जिसका अर्थ है $v_f = \sqrt{v^2 + v_e^2}$।

(C) किसी ग्रह का पलायन वेग $v$ सूत्र $v = \sqrt{2gR}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि दो ग्रहों की त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = r$ है।
दिया गया है कि दो ग्रहों पर गुरुत्वीय त्वरण का अनुपात $\frac{g_1}{g_2} = x$ है।
पलायन वेग का अनुपात $\frac{v_1}{v_2}$ इस प्रकार होगा:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{2g_1R_1}{2g_2R_2}} = \sqrt{\left(\frac{g_1}{g_2}\right) \left(\frac{R_1}{R_2}\right)}$.
दिए गए अनुपातों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{x \cdot r} = \sqrt{rx}$.
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(A) $M$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाले ग्रह की सतह के निकट एक पिंड का कक्षीय वेग $(v_o)$ इस प्रकार है: $v_o = \sqrt{\frac{GM}{r}}$.
उसी ग्रह की सतह से पिंड का पलायन वेग $(v_e)$ इस प्रकार है: $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$.
कक्षीय वेग और पलायन वेग का अनुपात: $\frac{v_o}{v_e} = \frac{\sqrt{\frac{GM}{r}}}{\sqrt{\frac{2GM}{r}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,अनुपात $1 : \sqrt{2}$ है।

(B) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए, सतह पर कुल ऊर्जा रॉकेट द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊंचाई $h$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
सतह पर कुल ऊर्जा = $h$ ऊंचाई पर कुल ऊर्जा
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mu^2 = -\frac{GMm}{R+h} + 0$
$m$ से विभाजित करने पर और $GM = gR^2$ का उपयोग करने पर:
$-\frac{gR^2}{R} + \frac{1}{2}u^2 = -\frac{gR^2}{R+h}$
$-gR + \frac{1}{2}u^2 = -\frac{gR^2}{R+h}$
यहाँ $u = 4000 \ m/s$, $R = 6.4 \times 10^6 \ m$, और $g = 10 \ m/s^2$ दिया गया है:
$-(10)(6.4 \times 10^6) + \frac{1}{2}(4000)^2 = -\frac{10 \times (6.4 \times 10^6)^2}{6.4 \times 10^6 + h}$
$-6.4 \times 10^7 + 8 \times 10^6 = -\frac{4.096 \times 10^{14}}{6.4 \times 10^6 + h}$
$-5.6 \times 10^7 = -\frac{4.096 \times 10^{14}}{6.4 \times 10^6 + h}$
$6.4 \times 10^6 + h = \frac{4.096 \times 10^{14}}{5.6 \times 10^7} = 0.7314 \times 10^7 = 7.314 \times 10^6 \ m$
$h = 7.314 \times 10^6 - 6.4 \times 10^6 = 0.914 \times 10^6 \ m = 914 \ km$.
अतः, सही विकल्प $914.28 \ km$ है।

(A) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा पृथ्वी से बहुत दूर के बिंदु पर कुल ऊर्जा (जहाँ स्थितिज ऊर्जा शून्य है) के बराबर होनी चाहिए।
मान लीजिए वस्तु का द्रव्यमान $m$ है और पृथ्वी का द्रव्यमान $M$ है।
पलायन चाल $V_0 = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है। इसलिए,$V_0^2 = \frac{2GM}{R}$।
सतह पर: $E_i = \frac{1}{2} m(5V_0)^2 - \frac{GMm}{R}$।
बहुत दूर: $E_f = \frac{1}{2} mV^2 + 0$।
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर:
$\frac{1}{2} m(25V_0^2) - \frac{GMm}{R} = \frac{1}{2} mV^2$।
$\frac{GM}{R} = \frac{V_0^2}{2}$ रखने पर:
$\frac{25}{2} mV_0^2 - m(\frac{V_0^2}{2}) = \frac{1}{2} mV^2$।
$12 mV_0^2 = \frac{1}{2} mV^2$।
$V^2 = 24 V_0^2$।
$V = \sqrt{24} V_0 = 2\sqrt{6} V_0$।

(A) किसी ग्रह पर वस्तु का पलायन वेग $v_e$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
इससे हम देख सकते हैं कि $v_e \propto \sqrt{\frac{M}{R}}$.
मान लीजिए $M_1$ और $R_1$ पृथ्वी का द्रव्यमान और त्रिज्या हैं, और $M_2$ और $R_2$ दूसरे ग्रह का द्रव्यमान और त्रिज्या हैं।
दिया गया है: $M_2 = 8M_1$ और $R_2 = 2R_1$.
पलायन वेग का अनुपात लेने पर:
$\frac{(v_e)_1}{(v_e)_2} = \sqrt{\frac{M_1}{M_2} \times \frac{R_2}{R_1}}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{11.2}{(v_e)_2} = \sqrt{\frac{M_1}{8M_1} \times \frac{2R_1}{R_1}}$
$\frac{11.2}{(v_e)_2} = \sqrt{\frac{1}{8} \times 2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
$(v_e)_2 = 2 \times 11.2 = 22.4 \text{ km/s}$.

(C) ग्रह की सतह से पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$ होता है। अतः,$v_e = \sqrt{2gR}$।
ध्रुवों पर,गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g_P = g$ है (जहाँ $g$ घूर्णन के बिना गुरुत्वाकर्षण त्वरण है)।
भूमध्य रेखा पर,गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g_E = g - \omega^2 R$ है,जहाँ $\omega$ ग्रह का कोणीय वेग है।
दिया गया है कि $g_E = \frac{1}{3} g_P$,इसलिए $g_E = \frac{1}{3} g_P \implies g_P = 3g_E$।
भूमध्य रेखा पर एक बिंदु की गति $v = \omega R$ है। भूमध्य रेखा पर पलायन वेग $v_{e,E} = \sqrt{2g_E R}$ है।
ध्रुव पर पलायन वेग $v_{e,P} = \sqrt{2g_P R}$ है।
$g_P = 3g_E$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $v_{e,P} = \sqrt{2(3g_E)R} = \sqrt{3} \sqrt{2g_E R}$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रश्न में भूमध्य रेखा पर बिंदु की गति को $v$ के रूप में परिभाषित किया गया है,इसलिए ध्रुव पर पलायन वेग $\sqrt{3}v$ है।

(B) किसी ग्रह का पलायन वेग $v_e$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$v_e^2 = \frac{2GM}{R}$
त्रिज्या $R$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$R = \frac{2GM}{v_e^2}$
दिए गए मान:
$M = 6.4 \times 10^{23} \ kg$
$v_e = 8 \times 10^4 \ m/s$
$G = 6.67 \times 10^{-11} \ N \cdot m^2/kg^2$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$R = \frac{2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 6.4 \times 10^{23}}{(8 \times 10^4)^2}$
$R = \frac{85.376 \times 10^{12}}{64 \times 10^8}$
$R = 1.334 \times 10^4 \ m \approx 13.3 \times 10^3 \ m = 13.3 \ km$
दिए गए विकल्पों में प्रयुक्त सन्निकटन को ध्यान में रखते हुए,निकटतम मान $13.2 \ km$ है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{2gR}$ है।
दिए गए प्रारंभिक मान: $g = 10 \ m/s^2$ और $R = 6400 \ km = 6.4 \times 10^6 \ m$ हैं।
प्रारंभिक पलायन वेग $v_e = \sqrt{2 \times 10 \times 6.4 \times 10^6} = \sqrt{128 \times 10^6} \approx 11.3 \times 10^3 \ m/s = 11.3 \ km/s$ है।
प्रश्न के अनुसार,नया गुरुत्वीय त्वरण $g' = 2g$ और नई त्रिज्या $R' = R/2$ है।
नया पलायन वेग $v_e'$ इस प्रकार है:
$v_e' = \sqrt{2g'R'} = \sqrt{2(2g)(R/2)} = \sqrt{2gR} = v_e$.
अतः,नया पलायन वेग प्रारंभिक मान के समान ही रहता है,जो लगभग $11.3 \ km/s$ है,जिसे $12 \ km/s$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,सतह पर कुल ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
सतह पर: $E_i = K + U = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर: $E_f = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
दिया गया है $v = \frac{v_e}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{\frac{GM}{2R}}$.
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर:
$\frac{1}{2}m \left(\frac{GM}{2R}\right) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{GMm}{4R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{3GMm}{4R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{3}{4R} = \frac{1}{R+h}$
$3(R+h) = 4R$
$3R + 3h = 4R$
$3h = R$
$h = \frac{R}{3}$

(D) ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा और अनंत दूरी पर कुल ऊर्जा समान होनी चाहिए।
मान लीजिए पिंड का द्रव्यमान $m$ है और पृथ्वी का द्रव्यमान $M$ है।
सतह पर: $E_i = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_e^2$ (क्योंकि $v_e^2 = \frac{2GM}{R}$)।
अनंत दूरी पर: $E_f = \frac{1}{2}mv'^2 - 0 = \frac{1}{2}mv'^2$।
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर: $\frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_e^2 = \frac{1}{2}mv'^2$।
अतः,$v'^2 = v^2 - v_e^2$।
दिया गया है कि $v = \sqrt{5}v_e$,इसलिए $v'^2 = (\sqrt{5}v_e)^2 - v_e^2 = 5v_e^2 - v_e^2 = 4v_e^2$।
अतः,$v' = \sqrt{4v_e^2} = 2v_e$।

(C) किसी ग्रह की सतह से पलायन वेग $v_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $g = \frac{GM}{R^{2}}$,इसलिए $v_{e} = \sqrt{2gR}$ होता है।
गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^{2}} = \frac{G}{R^{2}} \cdot \frac{4}{3}\pi R^{3}\rho = \frac{4}{3}G\pi R\rho$ है।
अतः,त्रिज्या $R$ का मान $\frac{g}{\rho}$ के समानुपाती है,यानी $R \propto \frac{g}{\rho}$।
इसे $v_{e}$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$v_{e} = \sqrt{2g \cdot \left(\frac{3g}{4\pi G\rho}\right)} = \sqrt{\frac{3g^{2}}{2\pi G\rho}} \propto \frac{g}{\sqrt{\rho}}$।
दिया गया है कि $\frac{g_{1}}{g_{2}} = \frac{5}{2}$ और $\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}} = \frac{2}{1}$,अतः पलायन वेग का अनुपात:
$\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{g_{1}}{g_{2}} \cdot \sqrt{\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}}} = \frac{5}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{5}{2\sqrt{2}}$।
अतः,अनुपात $5:2\sqrt{2}$ है।

(D) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा अनंत पर (जहाँ स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है) कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
सतह पर कुल ऊर्जा: $E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2} m(\sqrt{3} v_e)^2 - \frac{GMm}{R}$.
हम जानते हैं कि पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,इसलिए $v_e^2 = \frac{2GM}{R}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{GM}{R} = \frac{v_e^2}{2}$.
इस मान को ऊर्जा समीकरण में रखने पर: $E_i = \frac{1}{2} m(3 v_e^2) - m(\frac{v_e^2}{2}) = \frac{3}{2} m v_e^2 - \frac{1}{2} m v_e^2 = m v_e^2$.
बहुत अधिक दूरी पर,स्थितिज ऊर्जा $0$ होती है,इसलिए अंतिम ऊर्जा $E_f = \frac{1}{2} m v^2$ है।
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर: $m v_e^2 = \frac{1}{2} m v^2$.
$v^2 = 2 v_e^2 \implies v = \sqrt{2} v_e$.

(C) पलायन वेग का सूत्र $V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है। द्रव्यमान $M = \rho \times \frac{4}{3}\pi R^{3}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $V_{e} = \sqrt{\frac{2G \times \rho \times 4\pi R^{3}}{3R}} = R \sqrt{\frac{8\pi G \rho}{3}}$.
अतः,$V_{e} \propto R\sqrt{\rho}$.
दिया गया है कि ग्रह $B$ के लिए,$\rho_{B} = 0.1 \rho_{A}$ और $R_{B} = 0.1 R_{A}$.
पलायन वेग का अनुपात $\frac{(V_{e})_{B}}{(V_{e})_{A}} = \frac{R_{B}}{R_{A}} \times \sqrt{\frac{\rho_{B}}{\rho_{A}}} = (0.1) \times \sqrt{0.1} = \frac{1}{10} \times \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{1}{10\sqrt{10}}$.
दिया गया है $(V_{e})_{A} = 10 \ km/s = 10000 \ m/s$.
इसलिए,$(V_{e})_{B} = 10000 \times \frac{1}{10\sqrt{10}} = \frac{1000}{\sqrt{10}} = 100\sqrt{10} \ m/s$.

(A) अनंत से पृथ्वी की सतह पर गिरने वाले पिंड का वेग पलायन वेग के बराबर होता है,$v_e = \sqrt{2gR}$।
यहाँ $g = 9.8\text{ m/s}^2$ और $R = 6400\text{ km} = 6.4 \times 10^6\text{ m}$ दिया गया है।
$v_e = \sqrt{2 \times 9.8 \times 6.4 \times 10^6} = \sqrt{125.44 \times 10^6} = 11.2 \times 10^3\text{ m/s} = 11.2\text{ km/s}$।
गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{1}{2}mv^2$ है।
$m = 1\text{ kg}$ और $v = 11.2 \times 10^3\text{ m/s}$ रखने पर:
$K = \frac{1}{2} \times 1 \times (11.2 \times 10^3)^2 = 0.5 \times 125.44 \times 10^6 = 62.72 \times 10^6\text{ J} = 6.27 \times 10^7\text{ J}$।