Energy consideration in Planetary and Satellite motion Questions in Hindi

(A) अभिकेंद्री बल $F = \frac{mv^2}{r} = \frac{k}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
इससे हमें $mv^2 = \frac{k}{r}$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ $K.E. = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{k}{2r}$ है।
स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ बल के समाकलन द्वारा प्राप्त होती है: $P.E. = -\int F dr = -\int \frac{k}{r^2} dr = -\frac{k}{r}$।
कुल ऊर्जा $(E)$ गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग है: $E = K.E. + P.E. = \frac{k}{2r} - \frac{k}{r} = -\frac{k}{2r}$।

(A) $R$ दूरी पर $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के चारों ओर परिक्रमा कर रहे $m$ द्रव्यमान वाले उपग्रह की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$K.E. = \frac{GMm}{2R}$
यहाँ,$G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $m$ उपग्रह का द्रव्यमान है।
चूंकि किसी दिए गए सिस्टम के लिए $G$,$M$ और $m$ स्थिर हैं,इसलिए गतिज ऊर्जा कक्षा की त्रिज्या $R$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
अतः,$K.E. \propto \frac{1}{R}$.

(B) पृथ्वी $(M)$ के केंद्र से $r$ दूरी पर कक्षा में घूम रहे $m$ द्रव्यमान वाले उपग्रह की गतिज ऊर्जा $(K)$ $K = \frac{GMm}{2r}$ द्वारा दी जाती है।
उपग्रह की स्थितिज ऊर्जा $(U)$ $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K}{U} = \frac{GMm/2r}{-GMm/r} = -\frac{1}{2}$ है।
नोट: परिमाण का अनुपात $1/2$ है,लेकिन चिह्न को ध्यान में रखते हुए,अनुपात $-1/2$ है।

(D) वृत्ताकार कक्षा में एक उपग्रह की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = -\frac{GMm}{2r}$ होता है।
यहाँ,$G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ ग्रह का द्रव्यमान है,$m$ उपग्रह का द्रव्यमान है,और $r$ कक्षा की त्रिज्या है।
उपग्रहों $A$ और $B$ के लिए,उनकी कुल यांत्रिक ऊर्जा का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{E_A}{E_B} = \frac{-\frac{GMm_A}{2r_A}}{-\frac{GMm_B}{2r_B}} = \frac{m_A}{m_B} \times \frac{r_B}{r_A}$.
दिया गया द्रव्यमान अनुपात $\frac{m_A}{m_B} = \frac{3}{1}$ है और त्रिज्या का अनुपात $\frac{r_A}{r_B} = \frac{r}{4r} = \frac{1}{4}$ है,इसलिए $\frac{r_B}{r_A} = \frac{4}{1}$ होगा।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{E_A}{E_B} = \frac{3}{1} \times \frac{4}{1} = \frac{12}{1}$.
अतः,अनुपात $12:1$ है।

(A) वृत्ताकार कक्षा में गतिमान उपग्रह के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $\frac{GMm}{r^2} = \frac{Mv^2}{r}$।
इसका अर्थ है कि स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r} = -Mv^2$ है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}Mv^2$ है।
कुल ऊर्जा $E$,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग है: $E = K + U = \frac{1}{2}Mv^2 - Mv^2 = -\frac{1}{2}Mv^2$।

(C) $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में एक उपग्रह की कुल ऊर्जा $(E)$ $E = -\frac{GMm}{2r}$ द्वारा दी जाती है।
जब उपग्रह ऊर्जा खो देता है,तो उसकी कुल ऊर्जा अधिक ऋणात्मक हो जाती है (अर्थात,बंधन ऊर्जा का परिमाण बढ़ता है,लेकिन कुल ऊर्जा घटती है)।
चूंकि $E = -\frac{GMm}{2r}$,इसलिए $E$ के घटने (अधिक ऋणात्मक होने) के लिए,त्रिज्या $r$ को घटना चाहिए।
उपग्रह की कक्षीय चाल $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दी जाती है।
जैसे-जैसे त्रिज्या $r$ घटती है,कक्षीय चाल $v$ बढ़नी चाहिए।
अतः,$r$ घटेगा और $v$ बढ़ेगा।

(D) उपग्रह की कुल यांत्रिक ऊर्जा $(E)$ उसकी गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ और स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का योग है।
पृथ्वी (द्रव्यमान $M$) के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान के उपग्रह की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह के लिए,अभिकेंद्र बल गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है:
$\frac{mv^2}{r} = \frac{GMm}{r^2} \implies mv^2 = \frac{GMm}{r}$.
गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{GMm}{r} \right) = \frac{GMm}{2r}$ है।
कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = K.E. + U = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r}$ है।

(C) वृत्ताकार कक्षा में एक उपग्रह के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U$ का मान $U = -\frac{GMm}{r}$ होता है।
कुल ऊर्जा $E_0$ गतिज ऊर्जा $K$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ का योग है,जो $E_0 = K + U = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r}$ है।
$U$ और $E_0$ के व्यंजकों की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि $U = 2 \times (-\frac{GMm}{2r}) = 2 E_0$ है।
अतः,उपग्रह की स्थितिज ऊर्जा $2 E_0$ है।

(D) वृत्ताकार पथ में गति कर रहे कण के लिए,अभिकेंद्री बल दिए गए बल द्वारा प्रदान किया जाता है: $mv^2/r = k/r^2$
इससे,गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ होगी: $K.E. = 1/2 mv^2 = k/(2r)$
स्थितिज ऊर्जा $(U)$ बल के समाकलन द्वारा प्राप्त की जाती है: $U = -\int_{\infty}^{r} F \, dr = -\int_{\infty}^{r} (-k/r^2) \, dr = -k/r$
कुल ऊर्जा $(E)$ गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग है: $E = K.E. + U = k/(2r) - k/r = -k/(2r)$
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि कण एक बद्ध अवस्था में है।

(D) $r$ त्रिज्या की कक्षा में उपग्रह की स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
पहली कक्षा में $(r_1 = 2R)$ स्थितिज ऊर्जा $U_1 = -\frac{GMm}{2R}$ है।
दूसरी कक्षा में $(r_2 = 3R)$ स्थितिज ऊर्जा $U_2 = -\frac{GMm}{3R}$ है।
ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_2 - U_1$ है।
$\Delta U = \left( -\frac{GMm}{3R} \right) - \left( -\frac{GMm}{2R} \right)$.
$\Delta U = \frac{GMm}{2R} - \frac{GMm}{3R} = \frac{3GMm - 2GMm}{6R} = \frac{GMm}{6R}$.

(A) पृथ्वी के केंद्र से उपग्रह की दूरी $r = R + h$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $h$ सतह से ऊँचाई है।
पहले उपग्रह के लिए $h_1 = R$ है,इसलिए दूरी $r_1 = R + R = 2R$ होगी।
दूसरे उपग्रह के लिए $h_2 = 3R$ है,इसलिए दूरी $r_2 = R + 3R = 4R$ होगी।
वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह की गतिज ऊर्जा $K = \frac{GMm}{2r}$ होती है,जिसका अर्थ है कि $K \propto \frac{1}{r}$।
अतः,गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_1}{K_2} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{4R}{2R} = \frac{2}{1} = 2$ होगा।

(D) मान लीजिए $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है,$R$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $r$ उपग्रह की कक्षीय त्रिज्या है।
$r$ दूरी पर उपग्रह की कुल ऊर्जा $E_i = -\frac{GMm}{r}$ है।
जब यह $R$ दूरी पर पृथ्वी की सतह से टकराता है,तो इसकी स्थितिज ऊर्जा $U_f = -\frac{GMm}{R}$ और गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}mv^2$ होती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार: $E_i = K_f + U_f$.
$-\frac{GMm}{r} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$.
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{r}$.
$v^2 = \frac{2GM}{R} - \frac{2GM}{r}$.
चूंकि $v_e^2 = \frac{2GM}{R}$ और $v_0^2 = \frac{GM}{r}$,इसलिए $\frac{2GM}{r} = 2v_0^2$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$v^2 = v_e^2 - 2v_0^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$v = \sqrt{v_e^2 - 2v_0^2}$।

(B) $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह की कुल ऊर्जा $E = -\frac{GMm}{2r}$ द्वारा दी जाती है।
$R_1$ कक्षा में प्रारंभिक ऊर्जा $E_1 = -\frac{GMm}{2R_1}$ है।
$R_2$ कक्षा में अंतिम ऊर्जा $E_2 = -\frac{GMm}{2R_2}$ है।
कुल ऊर्जा में आवश्यक परिवर्तन $\Delta E = E_2 - E_1 = -\frac{GMm}{2R_2} - (-\frac{GMm}{2R_1}) = \frac{GMm}{2} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ है।
अतः,आवश्यक अतिरिक्त गतिज ऊर्जा $\frac{GMm}{2} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ है।

(D) उपग्रह की कुल ऊर्जा $E$,उसकी स्थितिज ऊर्जा $PE$ और गतिज ऊर्जा $KE$ का योग है।
$E = PE + KE = -\frac{GMm}{R + h} + \frac{1}{2}mv^2$
वृत्ताकार कक्षा में परिक्रमा कर रहे उपग्रह के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$\frac{mv^2}{R + h} = \frac{GMm}{(R + h)^2} \implies v^2 = \frac{GM}{R + h}$
ऊर्जा समीकरण में $v^2$ का मान रखने पर:
$E = -\frac{GMm}{R + h} + \frac{1}{2}m\left(\frac{GM}{R + h}\right) = -\frac{GMm}{2(R + h)}$
चूँकि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g_0 = \frac{GM}{R^2}$ है,इसलिए $GM = g_0 R^2$ होगा।
इस मान को $E$ के व्यंजक में रखने पर:
$E = -\frac{m g_0 R^2}{2(R + h)}$

(C) $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह की कुल ऊर्जा $E = -\frac{G M_E m}{2r}$ द्वारा दी जाती है।
$r_i = 3 R_E$ पर प्रारंभिक कुल ऊर्जा $E_i = -\frac{G M_E m}{2(3 R_E)} = -\frac{G M_E m}{6 R_E}$ है।
$r_f = 9 R_E$ पर अंतिम कुल ऊर्जा $E_f = -\frac{G M_E m}{2(9 R_E)} = -\frac{G M_E m}{18 R_E}$ है।
आवश्यक अतिरिक्त ऊर्जा $\Delta E = E_f - E_i$ है।
$\Delta E = -\frac{G M_E m}{18 R_E} - (-\frac{G M_E m}{6 R_E})$.
$\Delta E = -\frac{G M_E m}{18 R_E} + \frac{3 G M_E m}{18 R_E} = \frac{2 G M_E m}{18 R_E} = \frac{G M_E m}{9 R_E}$.

(D) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर परिक्रमा कर रहे $m$ द्रव्यमान वाले उपग्रह की गतिज ऊर्जा $K = \frac{GMm}{2r}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$r = R + h$,जहाँ $h$ पृथ्वी की सतह से ऊँचाई है।
उपग्रह $A$ के लिए,कक्षीय त्रिज्या $r_A = R + R = 2R$ है।
उपग्रह $B$ के लिए,कक्षीय त्रिज्या $r_B = R + 2R = 3R$ है।
गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_A}{K_B} = \frac{GMm / (2r_A)}{GMm / (2r_B)} = \frac{r_B}{r_A}$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{K_A}{K_B} = \frac{3R}{2R} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) वृत्ताकार ग्रहीय गति में एक पिंड के लिए,द्रव्यमान केंद्र से $r$ दूरी पर:
$1$. गतिज ऊर्जा $K = \frac{GMm}{2r}$ है,जो हमेशा धनात्मक होती है और $r$ बढ़ने पर घटती है। यह वक्र $A$ के अनुरूप है।
$2$. स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ है,जो हमेशा ऋणात्मक होती है और $r$ बढ़ने पर बढ़ती है (कम ऋणात्मक हो जाती है)। यह वक्र $B$ के अनुरूप है।
$3$. कुल ऊर्जा $E = K + U = -\frac{GMm}{2r}$ है,जो हमेशा ऋणात्मक होती है और $r$ बढ़ने पर बढ़ती है। यह वक्र $C$ के अनुरूप है।
ग्राफ के साथ तुलना करने पर,$A$ गतिज ऊर्जा है,$B$ स्थितिज ऊर्जा है,और $C$ कुल ऊर्जा है। इसलिए,सही कथन यह है कि $A$ और $B$ गतिज और स्थितिज ऊर्जा हैं और $C$ निकाय की कुल ऊर्जा है।

(B) ग्रह की सतह पर उपग्रह की कुल ऊर्जा $E_i = K_i + U_i = K_i - \frac{GmM}{R}$ है,जहाँ $K_i$ सतह पर दी गई गतिज ऊर्जा है।
$h = 2R$ की ऊँचाई पर अंतिम वृत्ताकार कक्षा में,केंद्र से दूरी $r = R + h = 3R$ है।
कक्षीय वेग $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{3R}}$ द्वारा दिया जाता है।
कक्षा में कुल ऊर्जा $E_f = K_f + U_f = \frac{1}{2}mv_0^2 - \frac{GmM}{3R} = \frac{1}{2}m\left(\frac{GM}{3R}\right) - \frac{GmM}{3R} = \frac{GmM}{6R} - \frac{2GmM}{6R} = -\frac{GmM}{6R}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$E_i = E_f$:
$K_i - \frac{GmM}{R} = -\frac{GmM}{6R}$.
$K_i = \frac{GmM}{R} - \frac{GmM}{6R} = \frac{5GmM}{6R}$.

(B) $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = -\frac{GMm}{2r}$ द्वारा दी जाती है।
$r_1 = 3R$ पर प्रारंभिक ऊर्जा $E_1 = -\frac{GMm}{2(3R)} = -\frac{GMm}{6R}$ है।
$r_2 = 5R$ पर अंतिम ऊर्जा $E_2 = -\frac{GMm}{2(5R)} = -\frac{GMm}{10R}$ है।
किया गया कार्य $W$ यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = E_2 - E_1$.
$W = -\frac{GMm}{10R} - (-\frac{GMm}{6R}) = GMm \left( \frac{1}{6R} - \frac{1}{10R} \right)$.
$W = GMm \left( \frac{5 - 3}{30R} \right) = GMm \left( \frac{2}{30R} \right) = \frac{1}{15} \frac{GMm}{R}$.

(B) उपग्रह को $h$ ऊँचाई तक ले जाने के लिए आवश्यक ऊर्जा $E_1$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन है: $E_1 = U_f - U_i = -\frac{GMm}{R+h} - (-\frac{GMm}{R}) = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right) = \frac{GMmh}{R(R+h)}$.
$h$ ऊँचाई पर वृत्ताकार कक्षा के लिए आवश्यक गतिज ऊर्जा $E_2 = \frac{1}{2}mv^2$ है। कक्षीय वेग $v = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$ होने के कारण,$E_2 = \frac{1}{2}m \left( \frac{GM}{R+h} \right) = \frac{GMm}{2(R+h)}$.
$E_1 = E_2$ रखने पर:
$\frac{GMmh}{R(R+h)} = \frac{GMm}{2(R+h)}$.
दोनों पक्षों से $GMm$ और $(R+h)$ को हटाने पर:
$\frac{h}{R} = \frac{1}{2} \implies h = \frac{R}{2}$.
चूँकि $R = 6.4 \times 10^3 \, km$ दिया गया है,इसलिए $h = \frac{6.4 \times 10^3}{2} = 3.2 \times 10^3 \, km$ प्राप्त होता है।

(B) दीर्घवृत्ताकार कक्षा में उपग्रह की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = -\frac{GMm}{2a}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $M$ ग्रह का द्रव्यमान है,$m$ उपग्रह का द्रव्यमान है और $a$ अर्ध-दीर्घ अक्ष है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,कक्षा में किसी भी बिंदु पर कुल ऊर्जा गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग होती है:
$E = K + U = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r}$
ग्रह से $r = a/2$ की दूरी पर,समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$-\frac{GMm}{2a} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{a/2}$
$-\frac{GMm}{2a} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{2GMm}{a}$
$v^2$ के लिए हल करने पर:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{2GMm}{a} - \frac{GMm}{2a}$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{a} \left( 2 - \frac{1}{2} \right) = \frac{GMm}{a} \left( \frac{3}{2} \right)$
$v^2 = \frac{3GM}{a}$
$v = \sqrt{\frac{3GM}{a}}$

(D) पृथ्वी की सतह पर उपग्रह की प्रारंभिक कुल ऊर्जा $E_i = -\frac{GMm}{R}$ है।
उपग्रह को $h = R$ ऊंचाई पर एक वृत्ताकार कक्षा में प्रक्षेपित किया जाता है,इसलिए कक्षीय त्रिज्या $r = R + h = 2R$ होगी।
वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह की कुल ऊर्जा $E_f = -\frac{GMm}{2r} = -\frac{GMm}{2(2R)} = -\frac{GMm}{4R}$ है।
आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा कुल ऊर्जा में परिवर्तन है: $\Delta E = E_f - E_i$.
$\Delta E = -\frac{GMm}{4R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{4R} = \frac{3GMm}{4R}$.
चूंकि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$ है। इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\Delta E = \frac{3(gR^2)m}{4R} = \frac{3}{4} mgR$.

(A) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित उपग्रह की स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ $PE = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
दो उपग्रहों के लिए,केंद्र से दूरियाँ $r_1 = R + R = 2R$ और $r_2 = R + 7R = 8R$ हैं।
स्थितिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{PE_1}{PE_2} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{8R}{2R} = 4$ है।
गतिज ऊर्जा $(KE)$ $KE = \frac{GMm}{2r}$ द्वारा दी जाती है,इसलिए अनुपात $\frac{KE_1}{KE_2} = \frac{r_2}{r_1} = 4$ है।
कुल ऊर्जा $(TE)$ $TE = -\frac{GMm}{2r}$ द्वारा दी जाती है,इसलिए अनुपात $\frac{TE_1}{TE_2} = \frac{r_2}{r_1} = 4$ है।
चूँकि कुल ऊर्जा का अनुपात $4$ है,इसलिए विकल्प $A$ में दिया गया कथन (अनुपात $5$ है) गलत है। इसके अलावा,स्थितिज ऊर्जा के परिमाण और गतिज ऊर्जा का अनुपात $|PE|/KE = |-\frac{GMm}{r}| / (\frac{GMm}{2r}) = 2$ है।

(C) $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह की कुल ऊर्जा $TE = -\frac{GM_Em}{2r}$ द्वारा दी जाती है।
$r_i = 2R_E$ पर प्रारंभिक कुल ऊर्जा $(TE)_i = -\frac{GM_Em}{2(2R_E)} = -\frac{GM_Em}{4R_E}$ है।
$r_f = 4R_E$ पर अंतिम कुल ऊर्जा $(TE)_f = -\frac{GM_Em}{2(4R_E)} = -\frac{GM_Em}{8R_E}$ है।
उपग्रह को स्थानांतरित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = (TE)_f - (TE)_i$ है।
$\Delta E = -\frac{GM_Em}{8R_E} - (-\frac{GM_Em}{4R_E}) = \frac{GM_Em}{4R_E} - \frac{GM_Em}{8R_E} = \frac{GM_Em}{8R_E}$.

(B) $r$ कक्षीय त्रिज्या पर $m$ द्रव्यमान के उपग्रह की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$,उसकी गतिज ऊर्जा और गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा का योग है।
$E = K.E. + P.E. = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r}$
चूंकि अभिकेंद्र बल गुरुत्वाकर्षण द्वारा प्रदान किया जाता है,$\frac{mv^2}{r} = \frac{GMm}{r^2}$,जिसका अर्थ है $v^2 = \frac{GM}{r}$।
इसे ऊर्जा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $E = \frac{1}{2}m(\frac{GM}{r}) - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r}$।
किया गया कार्य $W$ कुल ऊर्जा में परिवर्तन है: $W = E_{final} - E_{initial}$।
$W = \left(-\frac{GMm}{2(3R)}\right) - \left(-\frac{GMm}{2(2R)}\right) = \frac{GMm}{4R} - \frac{GMm}{6R}$।
$W = \frac{GMm}{R} \left(\frac{3-2}{12}\right) = \frac{GMm}{12R}$।

(D) $1$. दीर्घवृत्ताकार कक्षा में,सूर्य से ग्रह की दूरी बदलती रहती है,जिससे गति बदलती है। इसलिए,गतिज ऊर्जा $T$ संरक्षित नहीं रहती है।
$2$. गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $V$ को $V = -GMm/r$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जो बद्ध अवस्थाओं के लिए हमेशा ऋणात्मक होती है।
$3$. कोणीय संवेग $L$ परिमाण और दिशा में संरक्षित रहता है क्योंकि गुरुत्वाकर्षण बल एक केंद्रीय बल है,जिसका अर्थ है कि बल आघूर्ण $\tau = r \times F = 0$ है। चूंकि गति एक समतल तक सीमित है,इसलिए कोणीय संवेग सदिश की दिशा स्थिर रहती है।
$4$. एक बद्ध कक्षा (दीर्घवृत्ताकार) के लिए,कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = T + V$ हमेशा ऋणात्मक होती है,जो गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकलने के लिए आवश्यक ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करती है।

(D) वृत्ताकार कक्षा में एक उपग्रह की कुल ऊर्जा $E = -\frac{GMm}{2r}$ द्वारा दी जाती है।
जब उपग्रह ऊर्जा खो देता है,तो उसकी कुल ऊर्जा $E$ अधिक ऋणात्मक हो जाती है (अर्थात घट जाती है)।
चूंकि $E = -\frac{GMm}{2r}$,इसलिए $E$ के घटने (अधिक ऋणात्मक होने) के लिए,त्रिज्या $r$ को कम होना चाहिए।
जैसे-जैसे उपग्रह निचली कक्षा (छोटी $r$) में जाता है,गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा घटती है,और कक्षीय वेग की शर्त $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ को पूरा करने के लिए गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है।
इसलिए,जैसे-जैसे $r$ घटता है,कक्षीय चाल $v$ बढ़ती है।

(D) $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के चारों ओर $r$ दूरी पर परिक्रमा कर रहे $m$ द्रव्यमान वाले उपग्रह की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{GMm}{2r}$ है।
केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,परिक्रमण काल $T$ का वर्ग कक्षा की त्रिज्या $r$ के घन के समानुपाती होता है,अर्थात $T^2 \propto r^3$.
इसका अर्थ है कि $r \propto T^{2/3}$.
इस मान को गतिज ऊर्जा के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $K.E. \propto \frac{1}{r} \propto \frac{1}{T^{2/3}}$.
अतः,$K.E. \propto T^{-2/3}$.

(B) $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह की कुल ऊर्जा $E = -\frac{GMm}{2r}$ द्वारा दी जाती है।
पहली कक्षा $(r_1 = 2R)$ में ऊर्जा $E_1 = -\frac{GMm}{2(2R)} = -\frac{GMm}{4R}$ है।
दूसरी कक्षा $(r_2 = 3R)$ में ऊर्जा $E_2 = -\frac{GMm}{2(3R)} = -\frac{GMm}{6R}$ है।
लैब को स्थानांतरित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1$ है।
$\Delta E = -\frac{GMm}{6R} - (-\frac{GMm}{4R}) = \frac{GMm}{4R} - \frac{GMm}{6R} = \frac{3GMm - 2GMm}{12R} = \frac{GMm}{12R}$.
चूंकि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है,इसलिए $GM = gR^2$ होता है।
$GM = gR^2$ को $\Delta E$ के व्यंजक में रखने पर:
$\Delta E = \frac{(gR^2)m}{12R} = \frac{mgR}{12}$.

(D) मान लीजिए $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है,$R$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $r$ उपग्रह की कक्षीय त्रिज्या है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,कक्षीय स्थिति पर कुल ऊर्जा पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
$r$ दूरी पर प्रारंभिक ऊर्जा: $E_i = -\frac{GMm}{r}$.
सतह पर अंतिम ऊर्जा $(r=R)$: $E_f = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$.
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर: $-\frac{GMm}{r} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$.
$v^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $v^2 = \frac{2GM}{R} - \frac{2GM}{r}$.
हम जानते हैं कि पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,इसलिए $v_e^2 = \frac{2GM}{R}$.
हम कक्षीय गति $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ भी जानते हैं,इसलिए $v_0^2 = \frac{GM}{r}$,जिसका अर्थ है $2v_0^2 = \frac{2GM}{r}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v^2 = v_e^2 - 2v_0^2$.
अतः,$v = \sqrt{v_e^2 - 2v_0^2}$.

(C) $m$ द्रव्यमान के उपग्रह की कक्षीय वेग $v$ के साथ गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है।
इससे,हम वेग को $v = \sqrt{\frac{2E}{m}}$ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
उपग्रह का कोणीय संवेग $L$ को $L = mvr$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$L$ के सूत्र में $v$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$L = m \left( \sqrt{\frac{2E}{m}} \right) r$
$L = \sqrt{m^2 \cdot \frac{2E}{m} \cdot r^2}$
$L = \sqrt{2Emr^2}$.

(D) उपग्रह का कक्षीय वेग $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ है,इसलिए $K.E. \propto v^2 \propto \frac{1}{r}$ होता है।
केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,परिक्रमण काल का वर्ग कक्षीय त्रिज्या के घन के समानुपाती होता है: $T^2 \propto r^3$,जिसका अर्थ है कि $r \propto T^{2/3}$।
इस मान को गतिज ऊर्जा के समानुपाती संबंध में रखने पर: $K.E. \propto \frac{1}{r} \propto \frac{1}{T^{2/3}} = T^{-2/3}$।

(B) $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के चारों ओर $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में स्थित $m$ द्रव्यमान वाले उपग्रह की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$ का सूत्र है: $E = -\frac{GMm}{2r}$।
यहाँ द्रव्यमानों का अनुपात $m_A : m_B = 3 : 1$ और त्रिज्याएँ $r_A = r$,$r_B = 4r$ दी गई हैं।
कुल यांत्रिक ऊर्जा का अनुपात:
$\frac{E_A}{E_B} = \frac{-\frac{GMm_A}{2r_A}}{-\frac{GMm_B}{2r_B}} = \frac{m_A}{m_B} \times \frac{r_B}{r_A}$।
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{E_A}{E_B} = \frac{3}{1} \times \frac{4r}{r} = \frac{3}{1} \times 4 = \frac{12}{1}$।
अतः,$A$ और $B$ की कुल यांत्रिक ऊर्जा का अनुपात $12 : 1$ है।

(C) $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह की कुल ऊर्जा $(TE)$ का सूत्र $TE = -\frac{GmM}{2r}$ होता है।
उपग्रह को $R_1$ कक्षा से $R_2$ कक्षा में स्थानांतरित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा परिवर्तन $\Delta E = TE_2 - TE_1$ है।
$\Delta E = \left( -\frac{GmM}{2R_2} \right) - \left( -\frac{GmM}{2R_1} \right)$.
$\Delta E = \frac{GmM}{2R_1} - \frac{GmM}{2R_2}$.
$\Delta E = \frac{1}{2}GmM \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.

(N/A) $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह की कुल ऊर्जा $E = -\frac{G M_{E} m}{2r}$ द्वारा दी जाती है।
$r_{i} = 2 R_{E}$ पर प्रारंभिक कुल ऊर्जा $E_{i} = -\frac{G M_{E} m}{4 R_{E}}$ है।
$r_{f} = 4 R_{E}$ पर अंतिम कुल ऊर्जा $E_{f} = -\frac{G M_{E} m}{8 R_{E}}$ है।
आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = E_{f} - E_{i} = -\frac{G M_{E} m}{8 R_{E}} - (-\frac{G M_{E} m}{4 R_{E}}) = \frac{G M_{E} m}{8 R_{E}}$ है।
$g = \frac{G M_{E}}{R_{E}^{2}}$ का उपयोग करते हुए,हमें $\Delta E = \frac{g m R_{E}}{8} = \frac{9.8 \times 400 \times 6.37 \times 10^{6}}{8} \approx 3.12 \times 10^{9} \; J$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{G M_{E} m}{2r}$ है,इसलिए $\Delta K = K_{f} - K_{i} = \frac{G M_{E} m}{8 R_{E}} - \frac{G M_{E} m}{4 R_{E}} = -\frac{G M_{E} m}{8 R_{E}} = -3.12 \times 10^{9} \; J$ है।
स्थितिज ऊर्जा $V = -\frac{G M_{E} m}{r}$ है,इसलिए $\Delta V = V_{f} - V_{i} = -\frac{G M_{E} m}{4 R_{E}} - (-\frac{G M_{E} m}{2 R_{E}}) = \frac{G M_{E} m}{4 R_{E}} = 6.24 \times 10^{9} \; J$ है।

(A) गतिज ऊर्जा
$(b)$ कम
व्याख्या:
$(a)$ उपग्रह की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$,उसकी गतिज ऊर्जा $K$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ का योग है। वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह के लिए,$E = -K = U/2$ होता है। चूंकि $K$ हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए कुल ऊर्जा ऋणात्मक होती है,जो उसकी गतिज ऊर्जा के ऋणात्मक मान के बराबर होती है।
$(b)$ परिक्रमा करते उपग्रह के पास अपने कक्षीय वेग के कारण पहले से ही गतिज ऊर्जा होती है। पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकलने के लिए,उसे कुल ऊर्जा को शून्य तक पहुँचाना होता है। चूंकि उसके पास पहले से ही कुछ ऊर्जा है,इसलिए शून्य तक पहुँचने के लिए आवश्यक अतिरिक्त ऊर्जा,उसी ऊंचाई पर स्थित एक स्थिर वस्तु के लिए आवश्यक ऊर्जा से कम होती है,क्योंकि स्थिर वस्तु के पास शुरुआत में कोई गतिज ऊर्जा नहीं होती है।

(N/A) कक्षा में एक उपग्रह की कुल ऊर्जा उसकी गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग होती है।
कुल ऊर्जा $E = K + U = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{G M m}{R_{e} + h}$.
चूंकि कक्षीय वेग $v = \sqrt{\frac{G M}{R_{e} + h}}$ है,इसलिए गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m \left( \frac{G M}{R_{e} + h} \right)$ है।
अतः,$E = \frac{G M m}{2(R_{e} + h)} - \frac{G M m}{R_{e} + h} = -\frac{G M m}{2(R_{e} + h)}$.
गुरुत्वाकर्षण प्रभाव से बचने के लिए आवश्यक ऊर्जा कुल ऊर्जा का ऋणात्मक मान है: $E_{req} = -E = \frac{G M m}{2(R_{e} + h)}$.
दिया है: $G = 6.67 \times 10^{-11} \; N m^{2} kg^{-2}$,$M = 6.0 \times 10^{24} \; kg$,$m = 200 \; kg$,$R_{e} = 6.4 \times 10^{6} \; m$,$h = 0.4 \times 10^{6} \; m$.
$R_{e} + h = 6.8 \times 10^{6} \; m$.
$E_{req} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.0 \times 10^{24} \times 200}{2 \times 6.8 \times 10^{6}} = \frac{80.04 \times 10^{14}}{13.6 \times 10^{6}} \approx 5.885 \times 10^{8} \; J \approx 5.9 \times 10^{8} \; J$.

(N/A) मान लीजिए कि $m$ द्रव्यमान का एक उपग्रह पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर पृथ्वी के चारों ओर परिक्रमा कर रहा है। इसका कक्षीय वेग $v_{0}$ है।
गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में उपग्रह की स्थितिज ऊर्जा इस प्रकार है:
$V = -\frac{GM_{E}m}{r}$
उपग्रह की गतिज ऊर्जा:
$K = \frac{1}{2}mv_{0}^{2}$
चूंकि कक्षीय वेग $v_{0} = \sqrt{\frac{GM_{E}}{r}}$ है,इसलिए गतिज ऊर्जा के व्यंजक में मान रखने पर:
$K = \frac{1}{2}m\left(\sqrt{\frac{GM_{E}}{r}}\right)^{2} = \frac{GM_{E}m}{2r}$
उपग्रह की कुल ऊर्जा $E$ उसकी स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का योग है:
$E = V + K = -\frac{GM_{E}m}{r} + \frac{GM_{E}m}{2r}$
अतः,कुल ऊर्जा:
$E = -\frac{GM_{E}m}{2r}$,जहाँ $r = R_{E} + h$ है।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि उपग्रह पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में बद्ध अवस्था (bound state) में है। इस कक्षा से पलायन करने के लिए,उपग्रह को उसकी कुल ऊर्जा के परिमाण के बराबर ऊर्जा प्रदान की जानी चाहिए।

(N/A) किसी उपग्रह को उसकी कक्षा से बाहर निकालने और उसे अनंत दूरी तक ले जाने के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा,जहाँ वह पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के प्रभाव में न रहे,उसे उपग्रह की बंधन ऊर्जा कहा जाता है।
पृथ्वी (द्रव्यमान $M_E$) के केंद्र से $r$ दूरी पर परिक्रमा कर रहे $m$ द्रव्यमान के उपग्रह की कुल ऊर्जा $(E)$ इस प्रकार है: $E = -\frac{GM_E m}{2r}$।
पृथ्वी से अनंत दूरी पर,उपग्रह की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा दोनों शून्य होती हैं,जिसका अर्थ है कि अनंत पर कुल ऊर्जा शून्य है।
उपग्रह को उसकी कक्षा से अनंत तक ले जाने के लिए,हमें उसकी कुल ऊर्जा के ऋणात्मक मान के बराबर बाहरी ऊर्जा प्रदान करनी होगी। अतः,बंधन ऊर्जा $(BE)$:
$BE = -E = \frac{GM_E m}{2r}$
जहाँ $r = R_E + h$,जिसमें $R_E$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $h$ पृथ्वी की सतह से उपग्रह की ऊँचाई है।

(N/A) $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के चारों ओर $r$ दूरी पर परिक्रमा कर रहे $m$ द्रव्यमान वाले उपग्रह की कुल ऊर्जा $(E)$,उसकी गतिज ऊर्जा $(K)$ और स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का योग है।
$K = \frac{GMm}{2r}$
$U = -\frac{GMm}{r}$
$E = K + U = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r}$
कुल ऊर्जा ऋणात्मक होती है क्योंकि उपग्रह ग्रह के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में 'बद्ध अवस्था' (bound state) में होता है। ऋणात्मक कुल ऊर्जा यह दर्शाती है कि उपग्रह के पास ग्रह के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव से मुक्त होकर अनंत तक पहुँचने के लिए पर्याप्त ऊर्जा नहीं है। कुल ऊर्जा को शून्य (पलायन के लिए आवश्यक शर्त) बनाने के लिए,उपग्रह को $+\frac{GMm}{2r}$ के बराबर बाहरी ऊर्जा प्रदान करनी होगी।

(A) वृत्ताकार कक्षा में परिक्रमा कर रहे उपग्रह के लिए,गतिज ऊर्जा $(K)$,स्थितिज ऊर्जा $(U)$ और कुल ऊर्जा $(E)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$K = -E$
$U = 2E = -2K$
यहाँ गतिज ऊर्जा $K = 6 \times 10^9 \ J$ दी गई है।
अतः,स्थितिज ऊर्जा $U = -2 \times (6 \times 10^9 \ J) = -12 \times 10^9 \ J$ होगी।
कुल ऊर्जा $E = -K = -6 \times 10^9 \ J$ होगी।

(N/A) मान लीजिए कि $m$ द्रव्यमान का एक उपग्रह $R$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में पृथ्वी के चारों ओर घूम रहा है। कक्षीय चाल $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है।
$(a)$ गतिज ऊर्जा $(KE)$: $K = \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{GMm}{2R}$. अतः,$K \propto \frac{1}{R}$. ग्राफ प्रथम चतुर्थांश में एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) है,जो दर्शाता है कि $R$ बढ़ने पर $KE$ घटती है।
$(b)$ स्थितिज ऊर्जा $(PE)$: $U = -\frac{GMm}{R}$. अतः,$U \propto -\frac{1}{R}$. ग्राफ चौथे चतुर्थांश में स्थित है,जहाँ $U$ ऋणात्मक है और $R$ बढ़ने पर इसका परिमाण घटता है और यह नीचे से शून्य की ओर अग्रसर होता है।
$(c)$ कुल ऊर्जा $(TE)$: $E = K + U = \frac{GMm}{2R} - \frac{GMm}{R} = -\frac{GMm}{2R}$. अतः,$E \propto -\frac{1}{R}$. $PE$ की तरह,यह ग्राफ भी चौथे चतुर्थांश में स्थित है,जो एक बद्ध अवस्था को दर्शाता है जहाँ कुल ऊर्जा ऋणात्मक होती है।

(N/A) $M$ द्रव्यमान वाले तारे के चारों ओर $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में परिक्रमा कर रहे $m$ द्रव्यमान वाले पिंड के लिए:
$1$. रैखिक वेग: $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$. जैसे $r$ बढ़ता है,$v$ घटता है।
$2$. कोणीय वेग: $\omega = \frac{v}{r} = \sqrt{\frac{GM}{r^3}}$. जैसे $r$ बढ़ता है,$\omega$ घटता है।
$3$. गतिज ऊर्जा: $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2r}$. जैसे $r$ बढ़ता है,$K$ घटता है।
$4$. गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा: $U = -\frac{GMm}{r}$. जैसे $r$ बढ़ता है,$U$ बढ़ता है (कम ऋणात्मक हो जाता है)।
$5$. कुल ऊर्जा: $E = K + U = -\frac{GMm}{2r}$. जैसे $r$ बढ़ता है,$E$ बढ़ता है (कम ऋणात्मक हो जाता है)।
$6$. कोणीय संवेग: $l = mvr = m\sqrt{GMr}$. जैसे $r$ बढ़ता है,$l$ बढ़ता है।

(B) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर परिक्रमा कर रहे $m$ द्रव्यमान वाले उपग्रह की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = -\frac{GMm}{2r}$ द्वारा दी जाती है।
इस व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि $E \propto \frac{m}{r}$ है।
द्रव्यमान का अनुपात $\frac{m_A}{m_B} = \frac{4}{3}$ और त्रिज्या का अनुपात $\frac{r_A}{r_B} = \frac{3r}{4r} = \frac{3}{4}$ दिया गया है।
इसलिए,$A$ और $B$ की कुल यांत्रिक ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_A}{E_B} = \frac{m_A}{m_B} \times \frac{r_B}{r_A}$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{E_A}{E_B} = \frac{4}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{16}{9}$।

(B) $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के चारों ओर $r$ दूरी पर परिक्रमा कर रहे $m$ द्रव्यमान वाले उपग्रह की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ $K.E. = \frac{GMm}{2r}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $K.E. = x$,अतः $x = \frac{GMm}{2r}$।
इसका अर्थ है कि $r = \frac{GMm}{2x}$।
चूंकि $GMm/2$ एक स्थिरांक है,हम लिख सकते हैं कि $r \propto \frac{1}{x}$।
केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,परिक्रमण काल $T$ का वर्ग कक्षा की त्रिज्या $r$ के घन के समानुपाती होता है,अर्थात $T^2 \propto r^3$।
इस संबंध में $r \propto x^{-1}$ रखने पर,हमें $T^2 \propto (x^{-1})^3 = x^{-3}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$T \propto (x^{-3})^{1/2} = x^{-3/2}$ प्राप्त होता है।
अतः,परिक्रमण काल $T$,$x^{-3/2}$ के समानुपाती है।

(A) वृत्ताकार कक्षा में एक उपग्रह की बंधन ऊर्जा वह न्यूनतम ऊर्जा है जो उपग्रह को अनंत तक ले जाने के लिए आवश्यक होती है। यह उपग्रह की कुल यांत्रिक ऊर्जा के ऋणात्मक मान के बराबर होती है।
कुल ऊर्जा $E = -\frac{GMm}{2r}$.
बंधन ऊर्जा $BE = -E = \frac{GMm}{2r}$.
दिया गया है:
$G = 6.67 \times 10^{-11} \,N \cdot m^2/kg^2$
$M = 5 \times 10^{30} \,kg$
$m = 200 \,kg$
$r = 6.6 \times 10^6 \,m$
मान रखने पर:
$BE = \frac{(6.67 \times 10^{-11}) \times (5 \times 10^{30}) \times 200}{2 \times 6.6 \times 10^6}$
$BE = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 10^{33}}{13.2 \times 10^6}$
$BE \approx \frac{6.67 \times 10^{22}}{13.2 \times 10^6} \approx 0.505 \times 10^{16} \approx 5 \times 10^{15} \,J$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) वृत्ताकार कक्षा में एक उपग्रह की स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ और गतिज ऊर्जा $(KE)$ के बीच का संबंध है: $PE = -2 \times KE$.
हम जानते हैं कि गतिज ऊर्जा का सूत्र $KE = \frac{1}{2} m v^2$ होता है।
$PE$ के सूत्र में $KE$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $PE = -2 \times (\frac{1}{2} m v^2) = -m v^2$.
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 400 \, kg$
गति $v = 200 \, m/s$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$PE = -(400 \, kg) \times (200 \, m/s)^2$
$PE = -400 \times 40,000 \, J$
$PE = -16,000,000 \, J$
चूंकि $1 \, MJ = 10^6 \, J$,इसलिए:
$PE = -16 \, MJ$.

(C) $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान वाले उपग्रह की स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ $PE = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,परिक्रमण काल $(T)$ का वर्ग कक्षा की त्रिज्या $(r)$ के घन के समानुपाती होता है: $T^2 \propto r^3$,जिसका अर्थ है $r \propto T^{2/3}$।
स्थितिज ऊर्जा के सूत्र में $r$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$PE \propto -\frac{1}{r}$
चूंकि $r \propto T^{2/3}$,इसलिए $PE \propto -\frac{1}{T^{2/3}}$।
अतः,स्थितिज ऊर्जा का परिमाण $T^{-2/3}$ के समानुपाती होता है।

(D) $r$ त्रिज्या की कक्षा में एक उपग्रह की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{G M m}{2 r}$ है।
जैसे-जैसे $r$ कम होता है,हर (denominator) कम हो जाता है,जिससे गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ बढ़ जाती है।
उपग्रह की स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ का सूत्र $P.E. = -\frac{G M m}{r}$ है।
जैसे-जैसे $r$ कम होता है,ऋणात्मक मान का परिमाण बढ़ जाता है,जिसका अर्थ है कि स्थितिज ऊर्जा अधिक ऋणात्मक हो जाती है,जो स्थितिज ऊर्जा में कमी को दर्शाता है।
अतः,गतिज ऊर्जा बढ़ती है और स्थितिज ऊर्जा घटती है।