$m$ द्रव्यमान का एक उपग्रह,जो प्रारंभ में पृथ्वी पर स्थिर है,को पृथ्वी की त्रिज्या के बराबर ऊंचाई पर एक वृत्ताकार कक्षा में प्रक्षेपित किया जाता है। आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा है

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$(a)$ यदि स्थितिज ऊर्जा का शून्य अनंत पर है,तो एक परिक्रमा करते उपग्रह की कुल ऊर्जा उसकी गतिज ऊर्जा/स्थितिज ऊर्जा की ऋणात्मक होती है।
$(b)$ एक परिक्रमा करते उपग्रह को पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण प्रभाव से बाहर निकालने के लिए आवश्यक ऊर्जा,उसी ऊंचाई पर स्थित एक स्थिर वस्तु को पृथ्वी के प्रभाव से बाहर निकालने के लिए आवश्यक ऊर्जा से अधिक/कम होती है।

$m$ द्रव्यमान के पृथ्वी के एक उपग्रह को $2R$ की कक्षीय त्रिज्या से $3R$ तक ले जाया जाता है। किया गया न्यूनतम कार्य ज्ञात कीजिए।

$M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के चारों ओर घूम रहे $m$ द्रव्यमान के उपग्रह को $R_1$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा से $R_2$ $(R_2 > R_1)$ त्रिज्या की दूसरी कक्षा में स्थानांतरित करने के लिए आवश्यक अतिरिक्त गतिज ऊर्जा क्या है?

$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली पृथ्वी की सतह से $m$ द्रव्यमान के उपग्रह को पृथ्वी की सतह से $2R$ की ऊँचाई पर वृत्ताकार कक्षा में प्रक्षेपित करने के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा क्या है?

सूर्य जैसे तारे के चारों ओर विभिन्न दूरियों पर कई पिंड गति कर रहे हैं। मान लीजिए कि वे सभी वृत्ताकार कक्षाओं में गति कर रहे हैं। मान लीजिए $r$ तारे के केंद्र से पिंड की दूरी है और उसका रैखिक वेग $v$,कोणीय वेग $\omega$,गतिज ऊर्जा $K$,गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U$,कुल ऊर्जा $E$ और कोणीय संवेग $l$ है। जैसे-जैसे कक्षा की त्रिज्या $r$ बढ़ती है,निर्धारित करें कि उपरोक्त में से कौन सी राशियाँ बढ़ती हैं और कौन सी घटती हैं।