Energy consideration in Planetary and Satellite motion Questions in Hindi

(C) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,परिक्रमण काल $T$ का वर्ग कक्षीय त्रिज्या $r$ के घन के समानुपाती होता है:
$T^2 \propto r^3$
इसका अर्थ है $r \propto T^{2/3}$।
$M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के चारों ओर $r$ दूरी पर परिक्रमा कर रहे $m$ द्रव्यमान वाले उपग्रह की स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ इस प्रकार है:
$PE = -\frac{GMm}{r}$
चूंकि $G, M,$ और $m$ स्थिरांक हैं,इसलिए $PE \propto \frac{1}{r}$।
स्थितिज ऊर्जा के व्यंजक में $r \propto T^{2/3}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$PE \propto \frac{1}{T^{2/3}}$
$PE \propto T^{-2/3}$
अतः,स्थितिज ऊर्जा $T^{-2/3}$ के समानुपाती है।

(B) $R$ त्रिज्या की कक्षा में उपग्रह की कुल ऊर्जा $E = -\frac{GMm}{2R}$ द्वारा दी जाती है।
उपग्रह की स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{R}$ द्वारा दी जाती है।
इनकी तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $U = 2E$ है। अतः,कथन $I$ गलत है।
उपग्रह की गतिज ऊर्जा $K = \frac{GMm}{2R}$ द्वारा दी जाती है।
इसकी तुलना कुल ऊर्जा $E$ से करने पर,हम देखते हैं कि $K = -E$ है,जिसका अर्थ है कि गतिज ऊर्जा का परिमाण $|K|$ कुल ऊर्जा के परिमाण $|E|$ के बराबर है।
इस प्रकार,कथन $II$ भी गलत है।

(A) पृथ्वी की सतह पर गेंद की प्रारंभिक कुल यांत्रिक ऊर्जा $TE_i = -\frac{GM_e m}{R_e}$ है।
दी गई ऊंचाई $h = 318.5 \ km$ और $R_e = 6370 \ km$ है,जिससे $h = \frac{R_e}{20}$ प्राप्त होता है।
$h$ ऊंचाई पर वृत्ताकार कक्षा में गेंद की अंतिम कुल यांत्रिक ऊर्जा $TE_f = -\frac{GM_e m}{2(R_e + h)}$ है।
$h = \frac{R_e}{20}$ रखने पर,$TE_f = -\frac{GM_e m}{2(R_e + R_e/20)} = -\frac{GM_e m}{2(21R_e/20)} = -\frac{10 GM_e m}{21 R_e}$ प्राप्त होता है।
कुल यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta TE = TE_f - TE_i = -\frac{10 GM_e m}{21 R_e} - (-\frac{GM_e m}{R_e})$ है।
$\Delta TE = \frac{GM_e m}{R_e} (1 - \frac{10}{21}) = \frac{11 GM_e m}{21 R_e}$ होता है।
इसे $x \frac{GM_e m}{21 R_e}$ के साथ तुलना करने पर,$x = 11$ प्राप्त होता है।

(D) $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह की कुल ऊर्जा $E = -\frac{GMm}{2r}$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,उपग्रह $r_1 = 2R$ त्रिज्या की कक्षा में है। इसकी प्रारंभिक ऊर्जा $E_1 = -\frac{GMm}{2(2R)} = -\frac{GMm}{4R}$ है।
दिया गया है कि उपग्रह को $\Delta E = \frac{10^4 R}{6} \text{ J}$ ऊर्जा दी जाती है,इसलिए नई कुल ऊर्जा $E_2 = E_1 + \Delta E$ होगी।
$E_2 = -\frac{GMm}{4R} + \frac{10^4 R}{6}$.
मान लीजिए कि नई त्रिज्या $r_2$ है। तो $E_2 = -\frac{GMm}{2r_2}$.
$E_2$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$-\frac{GMm}{4R} + \frac{10^4 R}{6} = -\frac{GMm}{2r_2}$.
$g = \frac{GM}{R^2}$ का उपयोग करते हुए,हमें $GM = gR^2$ प्राप्त होता है। इस मान को समीकरण में रखने पर:
$-\frac{mgR^2}{4R} + \frac{10^4 R}{6} = -\frac{mgR^2}{2r_2}$.
दिया गया है $m = 10^3 \text{ kg}$ और $g = 10 \text{ m/s}^2$,इसलिए $mg = 10^4 \text{ N}$.
$-\frac{10^4 R}{4} + \frac{10^4 R}{6} = -\frac{10^4 R^2}{2r_2}$.
$10^4 R$ से विभाजित करने पर:
$-\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = -\frac{R}{2r_2}$.
$-\frac{3-2}{12} = -\frac{R}{2r_2} \implies -\frac{1}{12} = -\frac{R}{2r_2}$.
$\frac{1}{12} = \frac{R}{2r_2} \implies 2r_2 = 12R \implies r_2 = 6R$.

(D) पृथ्वी की सतह पर उपग्रह की कुल ऊर्जा $E_i = K_i + U_i = K_i - \frac{G M m}{R}$ है।
सतह से $2R$ की ऊँचाई पर,पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = R + 2R = 3R$ है।
$r = 3R$ की दूरी पर कक्षीय वेग $v = \sqrt{\frac{G M}{3R}}$ है।
कक्षा में कुल ऊर्जा $E_f = K_f + U_f = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{G M m}{3R} = \frac{1}{2} m \left(\frac{G M}{3R}\right) - \frac{G M m}{3R} = \frac{G M m}{6R} - \frac{G M m}{3R} = -\frac{G M m}{6R}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$E_i = E_f$:
$K_i - \frac{G M m}{R} = -\frac{G M m}{6R}$.
$K_i = \frac{G M m}{R} - \frac{G M m}{6R} = \frac{5 G M m}{6R}$.

(B) $h$ ऊंचाई पर परिक्रमा कर रहे उपग्रह की कुल ऊर्जा $E = -\frac{GMm}{2(R+h)}$ द्वारा दी जाती है।
हम जानते हैं कि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है,जिसका अर्थ है $GM = gR^2$।
यहाँ ऊंचाई $h = R$ दी गई है,इसलिए कक्षीय त्रिज्या $r = R + h = R + R = 2R$ होगी।
$GM = gR^2$ और $r = 2R$ का मान ऊर्जा के सूत्र में रखने पर:
$E = -\frac{(gR^2)m}{2(2R)}$
$E = -\frac{gR^2m}{4R}$
$E = -\frac{mgR}{4}$.

(D) $M$ द्रव्यमान वाली पृथ्वी के चारों ओर $r$ दूरी पर परिक्रमा कर रहे $m$ द्रव्यमान वाले उपग्रह की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ है: $K.E. = \frac{GMm}{2r}$.
उसी दूरी पर उपग्रह की स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ है: $P.E. = -\frac{GMm}{r}$.
हमें स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का अनुपात ज्ञात करना है.
अनुपात: $\frac{P.E.}{K.E.} = \frac{-GMm/r}{GMm/2r} = -2$.
चूँकि स्थितिज ऊर्जा ऋणात्मक होती है,इसलिए अनुपात $-2$ है। यदि केवल परिमाण की बात की जाए,तो यह $2$ होगा।

(B) उपग्रह की बंधन ऊर्जा $(BE)$ को उस न्यूनतम ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है जो उपग्रह को उसकी कक्षा से अनंत तक ले जाने के लिए आवश्यक होती है।
पृथ्वी के केंद्र से $r = R + h$ दूरी पर $m$ द्रव्यमान वाले उपग्रह के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ होती है।
उपग्रह की कुल ऊर्जा $E = K + U = -\frac{GMm}{2r}$ होती है।
बंधन ऊर्जा कुल ऊर्जा का ऋणात्मक मान है: $BE = -E = \frac{GMm}{2r}$।
$BE$ और $U$ की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $U = -2 \times BE$।
दिया गया है कि $BE = 3.5 \times 10^8 \ J$,इसलिए स्थितिज ऊर्जा $U = -2 \times (3.5 \times 10^8 \ J) = -7 \times 10^8 \ J$ है।

(B) उपग्रह की बंधन ऊर्जा $(BE)$ को कुल यांत्रिक ऊर्जा $(E)$ के ऋणात्मक मान के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$BE = -E = - (K.E. + P.E.) = - (\frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r}) = \frac{GMm}{2r}$.
उपग्रह की स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ का सूत्र $P.E. = -\frac{GMm}{r}$ है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर, हम देख सकते हैं कि $P.E. = -2 \times BE$.
दिया गया है कि $BE = 3.5 \times 10^{8} \,J$.
इसलिए, $P.E. = -2 \times (3.5 \times 10^{8} \,J) = -7.0 \times 10^{8} \,J$.

(C) पृथ्वी की सतह पर स्थिर उपग्रह की बंधन ऊर्जा $E_1 = \frac{GMm}{2R}$ द्वारा दी जाती है।
पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर वृत्ताकार कक्षा में परिक्रमा कर रहे $m$ द्रव्यमान के उपग्रह की बंधन ऊर्जा $E_2 = \frac{GMm}{2(R+h)}$ है।
दोनों ऊर्जाओं का अनुपात लेने पर:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{\frac{GMm}{2R}}{\frac{GMm}{2(R+h)}} = \frac{R+h}{R}$.

(B) $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के चारों ओर $r$ दूरी पर परिक्रमा कर रहे $m$ द्रव्यमान वाले उपग्रह के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ है।
वृत्ताकार कक्षा के लिए आवश्यक गतिज ऊर्जा $K = \frac{GMm}{2r}$ है।
कुल ऊर्जा $E$ गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग है: $E = K + U = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r}$।
$E$ और $K$ की तुलना करने पर: $E = -K$,जिसका अर्थ है कि कुल ऊर्जा गतिज ऊर्जा के ऋणात्मक मान के बराबर है।
$E$ और $U$ की तुलना करने पर: $E = \frac{1}{2} U$,जिसका अर्थ है कि कुल ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा की आधी होती है।

(A) ग्रह के केंद्र से $r = R + h$ दूरी पर वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह की कुल ऊर्जा $E_0 = -\frac{GMm}{2r}$ द्वारा दी जाती है।
दी गई ऊँचाई $h = 2R$ है,इसलिए कक्षीय त्रिज्या $r = R + 2R = 3R$ होगी।
अतः,कक्षीय ऊर्जा $E_0 = -\frac{GMm}{2(3R)} = -\frac{GMm}{6R}$ है।
ग्रह की सतह पर उपग्रह की स्थितिज ऊर्जा $E_i = -\frac{GMm}{R}$ है।
उपग्रह को प्रक्षेपित करने के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा अंतिम कक्षीय ऊर्जा और प्रारंभिक सतह ऊर्जा के बीच का अंतर है:
$\Delta E = E_0 - E_i = -\frac{GMm}{6R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{6R} = \frac{5GMm}{6R}$.

(A) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर $m$ द्रव्यमान के उपग्रह को ले जाने के लिए आवश्यक ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन है:
$E_1 = U_h - U_R = -\frac{GMm}{R+h} - (-\frac{GMm}{R}) = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right) = \frac{GMmh}{R(R+h)}$.
$GM = gR^2$ का उपयोग करने पर,$E_1 = \frac{mgR^2h}{R(R+h)} = \frac{mghR}{R+h}$.
$h$ ऊँचाई पर वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह की कुल ऊर्जा $E_{orbit} = -\frac{GMm}{2(R+h)}$ है।
उस ऊँचाई पर उसे कक्षा में स्थापित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा,कक्षा की ऊर्जा और सतह पर ऊर्जा के बीच का अंतर है:
$E_2 = E_{orbit} - U_R = -\frac{GMm}{2(R+h)} + \frac{GMm}{R} = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{2(R+h)} \right) = GMm \left( \frac{2R+2h-R}{2R(R+h)} \right) = \frac{GMm(R+2h)}{2R(R+h)}$.
$GM = gR^2$ का उपयोग करने पर,$E_2 = \frac{mgR^2(R+2h)}{2R(R+h)} = \frac{mgR(R+2h)}{2(R+h)}$.
अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{mghR}{R+h} \times \frac{2(R+h)}{mgR(R+2h)} = \frac{2h}{R+2h}$.
जब $h \ll R$ हो,तो $R+2h \approx R$,इसलिए अनुपात $\frac{2h}{R}$ है।

(D) $m$ द्रव्यमान के उपग्रह को पृथ्वी की सतह से '$h$' ऊँचाई तक ले जाने के लिए आवश्यक ऊर्जा उसकी गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होती है:
$W = U_f - U_i = -\frac{GMm}{R+h} - (-\frac{GMm}{R}) = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right) = \frac{GMmh}{R(R+h)}$.
'$h$' ऊँचाई पर वृत्ताकार कक्षा में घूम रहे '$m$' द्रव्यमान के उपग्रह की कुल ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है:
$E = \frac{GMm}{2(R+h)}$.
अब,उपग्रह को ऊँचाई तक ले जाने के लिए आवश्यक ऊर्जा और उसे कक्षा में स्थापित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा का अनुपात है:
$\frac{W}{E} = \frac{\frac{GMmh}{R(R+h)}}{\frac{GMm}{2(R+h)}} = \frac{GMmh}{R(R+h)} \times \frac{2(R+h)}{GMm} = \frac{2h}{R}$.

(D) उपग्रह का कक्षीय वेग $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $KE = \frac{1}{2}mv^2$ है,इसलिए $KE \propto v^2 \propto \frac{1}{r}$ होता है।
केप्लर के ग्रहों की गति के तीसरे नियम के अनुसार,परिक्रमण काल का वर्ग कक्षीय त्रिज्या के घन के समानुपाती होता है: $T^2 \propto r^3$,जिसका अर्थ है कि $r \propto T^{2/3}$।
इसे गतिज ऊर्जा के समानुपाती संबंध में रखने पर: $KE \propto \frac{1}{r} \propto \frac{1}{T^{2/3}} = T^{-2/3}$।

(C) उपग्रह की गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv^{2}$ द्वारा दी जाती है।
इससे,हम वेग $v$ को $v = \sqrt{\frac{2E}{m}}$ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
$r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में गति कर रहे कण का कोणीय संवेग $L$ को $L = mvr$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$L$ के सूत्र में $v$ का मान रखने पर:
$L = m \cdot \sqrt{\frac{2E}{m}} \cdot r$
$L = \sqrt{m^{2} \cdot \frac{2E}{m} \cdot r^{2}}$
$L = \sqrt{2mEr^{2}}$
$L = (2mEr^{2})^{\frac{1}{2}}$.

(A) वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह की कुल ऊर्जा $(E)$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$E = -\frac{GMm}{2r}$
जहाँ:
- $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है।
- $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है।
- $m$ उपग्रह का द्रव्यमान है।
- $r = R + h$ पृथ्वी के केंद्र से दूरी है।
ऊर्जा के समीकरण में $r = R + h$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E = -\frac{GMm}{2(R+h)}$
चूंकि $G, M, m,$ और $2$ नियतांक हैं,इसलिए कुल ऊर्जा $E$ का मान $-\frac{1}{R+h}$ के समानुपाती है।
अतः,कुल ऊर्जा $-\frac{1}{R+h}$ के अनुसार परिवर्तित होती है।

(D) पृथ्वी के केंद्र से $h$ दूरी पर स्थित उपग्रह की स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{h}$ द्वारा दी जाती है।
वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह की कुल ऊर्जा $E_0 = -\frac{GMm}{2h}$ होती है।
इन दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि $U = 2 \times (-\frac{GMm}{2h})$.
अतः,स्थितिज ऊर्जा $U = 2 E_0$ होगी।

(D) $r$ त्रिज्या की कक्षा में उपग्रह की कुल ऊर्जा $E = -\frac{GMm}{2r}$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभिक ऊर्जा $E_1 = -\frac{GMm}{2r}$ है।
$r' = \frac{3r}{2}$ त्रिज्या की कक्षा में अंतिम ऊर्जा $E_2 = -\frac{GMm}{2(3r/2)} = -\frac{GMm}{3r}$ है।
ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta E = E_2 - E_1 = -\frac{GMm}{3r} - (-\frac{GMm}{2r}) = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{3r} = \frac{GMm}{6r}$ है।
प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta E}{|E_1|} \times 100$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिशत वृद्धि $= \frac{GMm/6r}{GMm/2r} \times 100 = \frac{2}{6} \times 100 = \frac{1}{3} \times 100 = 33.33 \%$।

(D) $R$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में परिक्रमण कर रहे उपग्रह का आवर्तकाल $T$,केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार $T = 2\pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $T^2 = \frac{4\pi^2 R^3}{GM}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $R^3 \propto T^2$,या $R \propto T^{2/3}$।
वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह की गतिज ऊर्जा $K = \frac{GMm}{2R}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $G$,$M$,और $m$ स्थिरांक हैं,इसलिए $K \propto \frac{1}{R}$ होता है।
संबंध $R \propto T^{2/3}$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $K \propto \frac{1}{T^{2/3}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$K \propto T^{-2/3}$।

(B) '$r$' त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में स्थित उपग्रह के लिए,गतिज ऊर्जा $K = \frac{GMm}{2r}$ और स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ होती है।
अतः,कुल यांत्रिक ऊर्जा $E_{total} = K + U = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r} = -K = -E$ होती है।
पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से पलायन करने के लिए,उपग्रह की अंतिम कुल ऊर्जा कम से कम $0$ होनी चाहिए।
माना कि जोड़ी जाने वाली ऊर्जा $\Delta E$ है।
$E_{final} = E_{initial} + \Delta E = 0$.
$-E + \Delta E = 0$.
$\Delta E = E$.

(A) $m$ द्रव्यमान वाले उपग्रह की $M_e$ द्रव्यमान वाली पृथ्वी के चारों ओर $r$ दूरी पर कुल ऊर्जा $E$ इस प्रकार दी जाती है:
$E = -\frac{G M_e m}{2r}$
यह दर्शाता है कि $E \propto \frac{1}{r}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक त्रिज्या $r_1$ है और प्रारंभिक ऊर्जा $E_1 = -\frac{G M_e m}{2r_1}$ है।
जब त्रिज्या को आधा कर दिया जाता है,तो $r_2 = \frac{r_1}{2}$ हो जाता है।
नई ऊर्जा $E_2 = -\frac{G M_e m}{2r_2} = -\frac{G M_e m}{2(r_1/2)} = -\frac{G M_e m}{r_1} = 2 E_1$ है।
कुल ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta E = E_2 - E_1 = 2E_1 - E_1 = E_1$ है।
प्रतिशत परिवर्तन $\frac{|\Delta E|}{|E_1|} \times 100\% = \frac{|E_1|}{|E_1|} \times 100\% = 100\%$ होगा।

(A) $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के चारों ओर $R$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में घूम रहे $m$ द्रव्यमान वाले उपग्रह की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$KE = \frac{G M m}{2 R}$
यहाँ,$G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ ग्रह का द्रव्यमान है और $m$ उपग्रह का द्रव्यमान है।
चूंकि किसी दिए गए निकाय के लिए $G$,$M$ और $m$ स्थिरांक हैं,इसलिए हम देख सकते हैं कि:
$KE \propto \frac{1}{R}$
अतः,उपग्रह की गतिज ऊर्जा कक्षा की त्रिज्या $R$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

(A) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित उपग्रह की स्थितिज ऊर्जा $(U)$ $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि गुरुत्वाकर्षण बल आकर्षण प्रकृति का होता है,इसलिए स्थितिज ऊर्जा हमेशा ऋणात्मक होती है।
उपग्रह की गतिज ऊर्जा $(K)$ $K = \frac{GMm}{2r}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $G, M, m,$ और $r$ सभी धनात्मक हैं,इसलिए गतिज ऊर्जा हमेशा धनात्मक होती है।
उपग्रह की कुल ऊर्जा $(TE)$ उसकी गतिज और स्थितिज ऊर्जा का योग है:
$TE = K + U = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r}$.
अतः,कुल ऊर्जा हमेशा ऋणात्मक होती है।
अनंत पर $(r = \infty)$ उपग्रह की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा:
$U = -\frac{GMm}{\infty} = 0$.
इन परिणामों की तुलना दिए गए स्तंभों से करने पर:
$A$ (स्थितिज ऊर्जा) $\rightarrow II$ (ऋणात्मक)
$B$ (कुल ऊर्जा) $\rightarrow II$ (ऋणात्मक)
$C$ (गतिज ऊर्जा) $\rightarrow I$ (धनात्मक)
$D$ (अनंत पर स्थितिज ऊर्जा) $\rightarrow III$ (शून्य)
सही मिलान $A-II, B-II, C-I, D-III$ है।

(B) पृथ्वी की सतह पर उपग्रह की कुल ऊर्जा उसकी स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का योग है। चूंकि यह सतह पर स्थिर है,इसलिए इसकी गतिज ऊर्जा $0$ है। अतः,$E_1 = -\frac{GMm}{R}$.
जब उपग्रह $r = 7R$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में होता है,तो उसकी कुल ऊर्जा $E_2 = -\frac{GMm}{2r}$ द्वारा दी जाती है।
$r = 7R$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E_2 = -\frac{GMm}{2(7R)} = -\frac{GMm}{14R}$ प्राप्त होता है।
प्रक्षेपण यान द्वारा खर्च की जाने वाली न्यूनतम ऊर्जा अंतिम ऊर्जा और प्रारंभिक ऊर्जा के बीच का अंतर है: $\Delta E = E_2 - E_1$.
$\Delta E = -\frac{GMm}{14R} - (-\frac{GMm}{R}) = -\frac{GMm}{14R} + \frac{GMm}{R}$.
$\Delta E = \frac{-GMm + 14GMm}{14R} = \frac{13GMm}{14R}$.

(B) पृथ्वी के केंद्र से $R$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान के उपग्रह का जड़त्व आघूर्ण $I = m R^2$ होता है।
कोणीय संवेग $(J)$ के पदों में उपग्रह की गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = \frac{J^2}{2 I}$ है।
$I = m R^2$ रखने पर,हमें $K = \frac{J^2}{2 m R^2}$ प्राप्त होता है।
वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह के लिए,कुल ऊर्जा $(E)$ और गतिज ऊर्जा $(K)$ के बीच संबंध $E = -K$ होता है।
अतः,$E = -\frac{J^2}{2 m R^2}$ होगा।
इस प्रकार,सही विकल्प $B$ है।

(A) $m$ द्रव्यमान का एक उपग्रह जो $M$ द्रव्यमान के ग्रह के चारों ओर $a$ (कक्षीय त्रिज्या) की दूरी पर परिक्रमा कर रहा है,उसकी ऊर्जाएं इस प्रकार हैं:
गतिज ऊर्जा,$K = \frac{GMm}{2a}$
स्थितिज ऊर्जा,$V = -\frac{GMm}{a}$
कुल ऊर्जा,$E = K + V = \frac{GMm}{2a} - \frac{GMm}{a} = -\frac{GMm}{2a}$
इन व्यंजकों की तुलना करने पर:
$V = -\frac{GMm}{a} = -2 \left( \frac{GMm}{2a} \right) = -2K$
अतः,$K = -V / 2$.

(B) पृथ्वी के द्रव्यमान $M$ के चारों ओर $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{G M m}{r}$ होती है।
उपग्रह की गतिज ऊर्जा $K = \frac{G M m}{2 r}$ होती है।
कुल ऊर्जा $E$ स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का योग है:
$E = U + K = -\frac{G M m}{r} + \frac{G M m}{2 r} = -\frac{G M m}{2 r}$.
$U$ और $E$ के व्यंजकों की तुलना करने पर:
$U = -\frac{G M m}{r}$
$E = -\frac{G M m}{2 r}$
अतः,$U = 2 \times (-\frac{G M m}{2 r}) = 2 E$.

(D) वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह की ऊर्जा $E = -\frac{GM_E m}{2r}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $r$ वृत्ताकार कक्षा की त्रिज्या है।
दी जाने वाली आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = E_f - E_i$ है।
$\Delta E = \left( -\frac{GM_E m}{2(3R_E)} \right) - \left( -\frac{GM_E m}{2(1.5R_E)} \right)$
$\Delta E = \frac{GM_E m}{2R_E} \left( \frac{1}{1.5} - \frac{1}{3} \right) = \frac{GM_E m}{2R_E} \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \right) = \frac{GM_E m}{6R_E}$.
संबंध $g = \frac{GM_E}{R_E^2}$ का उपयोग करते हुए,हमें $GM_E = gR_E^2$ प्राप्त होता है।
इस मान को $\Delta E$ के व्यंजक में रखने पर:
$\Delta E = \frac{gR_E^2 m}{6R_E} = \frac{1}{6} mgR_E$.
यहाँ $m = 100 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,और $R_E = 6 \times 10^6 \ m$ दिया गया है:
$\Delta E = \frac{1}{6} \times 100 \times 10 \times 6 \times 10^6 = 1000 \times 10^6 \ J$.
इसे $\alpha \times 10^6 \ J$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 1000$ प्राप्त होता है।