Pressure and Density (of Mixure) Questions in Gujarati

(B) સ્થિર પ્રવાહીમાં $h$ ઊંડાઈએ દબાણનું સૂત્ર $P = P_0 + \rho gh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P_0$ એ સપાટી પરનું દબાણ છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
સતત સ્થિર પ્રવાહીમાં,સમાન આડા સ્તરે આવેલા તમામ બિંદુઓ પર દબાણ સમાન હોય છે.
આકૃતિ જોતા,બિંદુઓ $B$,$C$ અને $D$ સતત પારાના સ્તંભમાં સમાન આડા સ્તરે આવેલા છે. તેથી,આ બિંદુઓ પરનું દબાણ સમાન છે: $P_B = P_C = P_D$.
બિંદુ $A$ એ બિંદુઓ $B$,$C$ અને $D$ કરતા ઊંચા સ્થાને આવેલું છે. પ્રવાહીના સ્તંભમાં ઊંચાઈ સાથે દબાણ ઘટતું હોવાથી,$A$ પરનું દબાણ $B$,$C$ અને $D$ ના સ્તર કરતા ઓછું હોવું જોઈએ.
આમ,સાચો સંબંધ $P_B = P_C = P_D > P_A$ છે.

(B) ધારો કે પાણીની ઘનતા $\rho_w = 1 \,g/cm^3$ અને મર્ક્યુરીની ઘનતા $\rho_m = 13.6 \,g/cm^3$ છે.
જ્યારે એક બાજુમાં $h_w = 13.6 \,cm$ ઊંચાઈનું પાણી રેડવામાં આવે છે,ત્યારે તે બાજુમાં મર્ક્યુરીનું સ્તર $y$ જેટલું નીચે જાય છે અને બીજી બાજુમાં $y$ જેટલું ઉપર આવે છે.
બંને બાજુઓ વચ્ચે મર્ક્યુરીના સ્તરનો તફાવત $2y$ થાય છે.
સમાન સમક્ષિતિજ સ્તરે હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણના સિદ્ધાંત મુજબ:
$P_{\text{water}} = P_{\text{mercury}}$
$\rho_w \cdot g \cdot h_w = \rho_m \cdot g \cdot (2y)$
કિંમતો મૂકતા:
$1 \cdot g \cdot 13.6 = 13.6 \cdot g \cdot (2y)$
$13.6 = 13.6 \cdot 2y$
$2y = 1$
$y = 0.5 \,cm$
તેથી,બીજી બાજુમાં મર્ક્યુરી $0.5 \,cm$ જેટલું ઉપર ચઢશે.

(D) 'Fluid' (પ્રવાહી) શબ્દ એવા કોઈપણ પદાર્થ માટે વપરાય છે જે વહી શકવાની ક્ષમતા ધરાવે છે અને જેનો આકાર નિશ્ચિત હોતો નથી.
પ્રવાહી અને વાયુ બંને બાહ્ય બળની અસર હેઠળ વહી શકે છે,તેથી તેમને સામૂહિક રીતે 'fluid' તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) સાચો જવાબ $D$ છે.
$1$. દબાણ એ અદિશ રાશિ છે કારણ કે તે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે અને સદિશ સરવાળાના નિયમોનું પાલન કરતી નથી.
$2$. દબાણ હંમેશા સંકોચનકારી (compressive) સ્વભાવનું હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તે જે પ્રવાહી કે પદાર્થ પર લાગે છે તેને સંકોચવાનું કાર્ય કરે છે.
$3$. પાસ્કલના નિયમ મુજબ,સ્થિર પ્રવાહીમાં કોઈ બિંદુ પર દબાણ બધી દિશાઓમાં સમાન હોય છે.
આમ,આપેલા તમામ વિધાનો ($A$,$B$,અને $C$) સાચા હોવાથી,ખોટું વિધાન 'આમાંથી કોઈ પણ નહીં' છે.

(D) ગેજ દબાણ એ નિરપેક્ષ દબાણ $(P)$ અને વાતાવરણીય દબાણ $(P_{atm})$ વચ્ચેનો તફાવત છે,જે સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P_g = P - P_{atm}$.
કારણ કે નિરપેક્ષ દબાણ $(P)$ એ વાતાવરણીય દબાણ $(P_{atm})$ કરતા વધારે,ઓછું અથવા તેના જેટલું હોઈ શકે છે,તેથી ગેજ દબાણ $(P_g)$ અનુક્રમે ધન,ઋણ અથવા શૂન્ય હોઈ શકે છે.
તેથી,આપેલા તમામ વિકલ્પો સાચા છે.

(B) ધારો કે બે પ્રવાહી સ્તરો વચ્ચેનો ઊંચાઈનો તફાવત $h$ છે.
હાઇડ્રોસ્ટેટિક્સના સિદ્ધાંત મુજબ,સતત સ્થિર પ્રવાહીમાં સમાન આડા સ્તરે દબાણ સમાન હોય છે.
નીચલા પ્રવાહી સપાટી પરના આડા સ્તરને ધ્યાનમાં લેતા,ડાબી બાજુનું દબાણ $P + \rho g h$ છે,જ્યાં $\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
જમણી બાજુનું દબાણ $p$ છે.
બંનેને સરખાવતા,આપણને $P + \rho g h = p$ મળે છે.
કારણ કે $\rho, g, h > 0$,તેથી $P + \rho g h > P$ થાય છે.
તેથી,$p > P$,જેનો અર્થ છે કે $P < p$.

(C) સ્થિર પ્રવાહીમાં સમાન સમક્ષિતિજ સ્તરે આવેલા બિંદુઓ પર દબાણ સમાન હોય છે. અલગ-અલગ ઊંડાઈએ આવેલા બિંદુઓ માટે દબાણનો તફાવત $\Delta p = \rho g \Delta h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મુક્ત સપાટીથી બિંદુ $A$ ની ઊંડાઈ $h$ છે. ધારો કે $p_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે.
બિંદુઓ પર નિરપેક્ષ દબાણ નીચે મુજબ છે:
$p_A = p_0 + h \rho g$
$p_B = p_D = p_0 + (h + r) \rho g$
$p_C = p_0 + (h + 2r) \rho g$
હવે,વિકલ્પોમાં આપેલા સમીકરણો ચકાસીએ:
$1$. $p_D = p_B$ સાચું છે કારણ કે તેઓ સમાન સમક્ષિતિજ સ્તરે છે.
$2$. $h < h+r < h+2r$ હોવાથી,$p_A < p_B = p_D < p_C$ સાચું છે.
$3$. $p_A$ અને $p_C$ ની સરેરાશ ગણતા:
$\frac{p_C + p_A}{2} = \frac{(p_0 + h \rho g + 2r \rho g) + (p_0 + h \rho g)}{2} = \frac{2p_0 + 2h \rho g + 2r \rho g}{2} = p_0 + (h + r) \rho g = p_B = p_D$.
આમ,$p_D = p_B = \frac{p_C + p_A}{2}$ વિધાન સાચું છે,અને $p_D = p_B = \frac{p_C - p_A}{2}$ વિધાન ખોટું છે.
તેથી,વિકલ્પ $(c)$ એ ખોટું વિધાન છે.

(A) ધારો કે તળાવના તળિયે હવાના પરપોટાનું પ્રારંભિક કદ $V$ છે અને સપાટી પર તેનું કદ $2V$ છે.
ધારો કે વાતાવરણીય દબાણ $P_0$ છે અને તળાવની ઊંડાઈ $h$ છે.
બોઈલના નિયમ મુજબ,તાપમાન અચળ રહેતું હોવાથી,$P_1 V_1 = P_2 V_2$.
સપાટી પર,દબાણ $P_2 = P_0$ છે.
તળિયે,દબાણ $P_1 = P_0 + \rho_w g h$ છે,જ્યાં $\rho_w$ એ પાણીની ઘનતા છે.
આપેલ છે કે $P_1 V = P_2 (2V) \Rightarrow P_1 = 2 P_0$.
$P_1$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $P_0 + \rho_w g h = 2 P_0 \Rightarrow \rho_w g h = P_0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P_0 = h_m \rho_m g$,જ્યાં $h_m = 0.75 \, m$ અને $\rho_m$ એ પારાની ઘનતા છે.
તેથી,$\rho_w g h = h_m \rho_m g \Rightarrow h = h_m \left( \frac{\rho_m}{\rho_w} \right)$.
આપેલ છે કે $\frac{\rho_m}{\rho_w} = \frac{40}{3}$ અને $h_m = 0.75 \, m = \frac{3}{4} \, m$.
$h = \frac{3}{4} \times \frac{40}{3} = 10 \, m$.

(B) ધારો કે ગ્લિસરીન સ્તંભની ઊંચાઈ $h = 10 \, cm$ છે અને તેની સાપેક્ષ ઘનતા $\rho_g = 1.2 \, g/cm^3$ છે. પાણીની ઘનતા $\rho_w = 1.0 \, g/cm^3$ છે.
ધારો કે બંને પ્રવાહીની મુક્ત સપાટીઓના સ્તર વચ્ચેનો તફાવત $x$ છે.
$U$-ટ્યુબમાં ગ્લિસરીન અને પાણીના સંપર્ક સપાટી પર,સમાન આડા સ્તરે દબાણ સમાન હોવું જોઈએ.
ગ્લિસરીન સ્તંભના તળિયે દબાણ $P$ ધારો.
ડાબી બાજુ આ સ્તરે દબાણ = $P_{atm} + \rho_g \cdot g \cdot h$.
જમણી બાજુ આ જ સ્તરે દબાણ = $P_{atm} + \rho_w \cdot g \cdot (h - x)$.
દબાણને સરખાવતા:
$\rho_g \cdot g \cdot h = \rho_w \cdot g \cdot (h - x)$
$1.2 \times 10 = 1.0 \times (10 - x)$
અહીં,પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ જે ગ્લિસરીનને સંતુલિત કરે છે તે $h_{water} = h \times (\rho_g / \rho_w) = 10 \times 1.2 = 12 \, cm$ છે.
સ્તર વચ્ચેનો તફાવત $x = h_{water} - h = 12 - 10 = 2 \, cm$ છે.

(C) ધારો કે $\alpha$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીનું દળ $M_1$ છે અને $\beta$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીનું દળ $M_2$ છે.
કુલ કદ $= V$.
મિશ્રણની કુલ ઘનતા $= \sigma$.
કુલ દળ $= M_1 + M_2 = V\sigma$.
તેથી,$M_2 = V\sigma - M_1 \dots (1)$.
મિશ્રણની ઘનતાનું સૂત્ર $\sigma = \frac{\text{કુલ દળ}}{\text{કુલ કદ}} = \frac{M_1 + M_2}{\frac{M_1}{\alpha} + \frac{M_2}{\beta}} \dots (2)$.
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$\sigma = \frac{V\sigma}{\frac{M_1}{\alpha} + \frac{V\sigma - M_1}{\beta}}$.
$\frac{M_1}{\alpha} + \frac{V\sigma - M_1}{\beta} = \frac{V\sigma}{\sigma} = V$.
$\frac{M_1}{\alpha} - \frac{M_1}{\beta} = V - \frac{V\sigma}{\beta}$.
$M_1 \left( \frac{\beta - \alpha}{\alpha\beta} \right) = V \left( \frac{\beta - \sigma}{\beta} \right)$.
$M_1 = \frac{V(\beta - \sigma)}{\beta} \times \frac{\alpha\beta}{\beta - \alpha} = \frac{\alpha V(\beta - \sigma)}{\beta - \alpha}$.

(D) ધારો કે દરેક પ્રવાહીનું દળ $M$ છે.
ઘનતાનું સૂત્ર $\text{ઘનતા} = \frac{\text{દળ}}{\text{કદ}}$ છે,તેથી દરેક પ્રવાહીનું કદ $V_1 = \frac{M}{d_1}$ અને $V_2 = \frac{M}{d_2}$ થશે.
મિશ્રણનું કુલ દળ $M_{\text{mix}} = M + M = 2M$ થશે.
મિશ્રણનું કુલ કદ $V_{\text{mix}} = V_1 + V_2 = \frac{M}{d_1} + \frac{M}{d_2} = M \left( \frac{d_1 + d_2}{d_1 d_2} \right)$ થશે.
મિશ્રણની ઘનતા $d_{\text{mix}} = \frac{M_{\text{mix}}}{V_{\text{mix}}} = \frac{2M}{M \left( \frac{d_1 + d_2}{d_1 d_2} \right)} = \frac{2 d_1 d_2}{d_1 + d_2}$ થશે.

(C) ધારો કે દરવાજાની ઊંચાઈ $H = 1\,m$ અને પહોળાઈ $W = 1\,m$ છે. મિજાગરો મધ્યબિંદુ પર છે,એટલે કે દરવાજાની ઉપરની ધારથી $0.5\,m$ ની ઊંડાઈએ છે. ધારો કે $y$ એ દરવાજાની ઉપરથી ઊંડાઈ છે.
$y$ ઊંડાઈએ દબાણ $P = \rho g y$ છે.
$y$ ઊંડાઈએ $dy$ ઊંચાઈની એક નાની પટ્ટી પર લાગતું બળ $dF_p = P \times W \times dy = \rho g y \times 1 \times dy = \rho g y dy$ છે.
મિજાગરા (જે $y = 0.5\,m$ પર છે) ની સાપેક્ષે આ બળને કારણે ટોર્ક $d\tau = dF_p \times (0.5 - y) = \rho g y (0.5 - y) dy$ છે.
દરવાજાને સ્થિર રાખવા માટે,મિજાગરાની સાપેક્ષે કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ. બળ $F$ નીચેની ધાર $(y = 1\,m)$ પર લગાડવામાં આવે છે,તેથી મિજાગરાથી તેનું અંતર $0.5\,m$ છે.
$\int_0^1 \rho g y (0.5 - y) dy - F \times 0.5 = 0$
$\rho g \int_0^1 (0.5y - y^2) dy = 0.5 F$
$\rho g [0.5 \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3}]_0^1 = 0.5 F$
$\rho g [0.25 - 0.333] = 0.5 F$
$\rho g [\frac{1}{4} - \frac{1}{3}] = 0.5 F$
$\rho g [-\frac{1}{12}] = 0.5 F$
મૂલ્ય લેતા,$F = \frac{\rho g}{12 \times 0.5} = \frac{\rho g}{6}$.

(B) ધારો કે દરેક ભુજામાં પાણીની પ્રારંભિક ઊંચાઈ $H = 0.29 \ m$ છે. પાણીનું કુલ કદ અચળ રહે છે. જ્યારે ડાબી ભુજામાં $h_k = 0.1 \ m$ ઊંચાઈનું કેરોસીન ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે ડાબી ભુજામાં પાણીનું સ્તર $x$ જેટલું નીચે જાય છે અને જમણી ભુજામાં $x$ જેટલું ઉપર આવે છે.
ડાબી ભુજામાં પ્રવાહીની કુલ ઊંચાઈ: $h_1 = (H - x) + h_k = 0.29 - x + 0.1 = 0.39 - x$.
જમણી ભુજામાં પ્રવાહીની ઊંચાઈ: $h_2 = H + x = 0.29 + x$.
$U$-ટ્યુબના તળિયે દબાણ સમાન કરતા:
$P_{left} = P_{right}$
$P_0 + \rho_k g h_k + \rho_w g (h_1 - h_k) = P_0 + \rho_w g h_2$
$\rho_k h_k + \rho_w (h_1 - h_k) = \rho_w h_2$
$800 \times 0.1 + 1000 \times (h_1 - 0.1) = 1000 \times h_2$
$80 + 1000 h_1 - 100 = 1000 h_2$
$1000 (h_1 - h_2) = 20 \implies h_1 - h_2 = 0.02 \ m$.
આપણી પાસે સમીકરણોની સિસ્ટમ છે:
$1$) $h_1 + h_2 = (0.29 - x + 0.1) + (0.29 + x) = 0.68 \ m$.
$2$) $h_1 - h_2 = 0.02 \ m$.
સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2h_1 = 0.70 \implies h_1 = 0.35 \ m$.
સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $2h_2 = 0.66 \implies h_2 = 0.33 \ m$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{h_1}{h_2} = \frac{0.35}{0.33} = \frac{35}{33}$.

(A) $3 \ m$ ની ઊંડાઈ $h$ પર પાણીની બાજુએ દબાણ $P_w = P_0 + \rho_w gh$ છે અને પ્રવાહીની બાજુએ દબાણ $P_{\ell} = P_0 + \rho_{\ell} gh$ છે.
પાણી દ્વારા દરવાજા પર લાગતું બળ $F_w = P_w A = (P_0 + \rho_w gh) A$ છે.
પ્રવાહી દ્વારા દરવાજા પર લાગતું બળ $F_{\ell} = P_{\ell} A = (P_0 + \rho_{\ell} gh) A$ છે.
દરવાજો બંધ રહે તે માટે,પાણીની બાજુએ લગાડવામાં આવતું બાહ્ય બળ $F_{ext}$ એ $F_{ext} + F_w = F_{\ell}$ શરતનું પાલન કરવું જોઈએ.
તેથી,$F_{ext} = F_{\ell} - F_w = (P_0 + \rho_{\ell} gh) A - (P_0 + \rho_w gh) A = (\rho_{\ell} - \rho_w) ghA$.
આપેલ છે: $\rho_{\ell} = 1500 \ kg/m^3$,$\rho_w = 1000 \ kg/m^3$,$g = 10 \ m/s^2$,$h = 3 \ m$,અને $A = 100 \ cm^2 = 0.01 \ m^2$.
કિંમતો મૂકતા: $F_{ext} = (1500 - 1000) \times 10 \times 3 \times 0.01 = 500 \times 30 \times 0.01 = 150 \ N$.

(A) વાતાવરણમાં પાણીની વરાળ માત્ર તેના સૌથી નીચેના સ્તર એટલે કે ક્ષોભમંડળ (Troposphere) સુધી જ મર્યાદિત છે.
આ જ કારણ છે કે તમામ હવામાનની ઘટનાઓ,જેમ કે વાદળોનું નિર્માણ,વરસાદ અને વાવાઝોડા,ફક્ત આ સ્તરમાં જ થાય છે.

(C) ધારો કે $U$-ટ્યુબમાં પારાનું સ્તર શરૂઆતમાં બંને બાજુ સમાન ઊંચાઈએ છે. જ્યારે ડાબી બાજુમાં $11.2 \,cm$ પાણી રેડવામાં આવે છે, ત્યારે ડાબી બાજુમાં પારાનું સ્તર $x \,cm$ નીચે જાય છે અને જમણી બાજુમાં $x \,cm$ ઉપર આવે છે. બંને બાજુઓ વચ્ચે પારાના સ્તરનો કુલ તફાવત $2x \,cm$ થાય છે.
સમાન સમક્ષિતિજ સ્તરે (ડાબી બાજુમાં પાણી અને પારાનું સંગમ સ્થાન, બિંદુ $A$, અને જમણી બાજુમાં તે જ સ્તર, બિંદુ $B$) દબાણને સરખાવતા:
$p_A = p_B$
$h_{water} \times \rho_{water} \times g = h_{Hg} \times \rho_{Hg} \times g$
અહીં $h_{water} = 11.2 \,cm = 0.112 \,m$, $\rho_{water} = 1000 \,kg/m^3$, અને $\rho_{Hg} = 13600 \,kg/m^3$ છે।
$0.112 \times 1000 = 2x \times 13600$
$112 = 27200x$
$x = \frac{112}{27200} \,m \approx 0.004117 \,m = 0.41 \,cm$.
આમ, બીજી બાજુમાં પારો $0.41 \,cm$ જેટલો ઊંચે આવશે.

(C) પાત્રના તળિયે પ્રવાહી દ્વારા લાગતું બળ તે પાત્રમાં રહેલા પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે,જો પાત્રની દીવાલો શિરોલંબ હોય (જેમ કે ઘનાકાર પાત્ર).
બળ $F$ એ $F = mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રણેય પાત્રોમાં પ્રવાહીનું દળ સમાન હોવાથી $(m_{A} = m_{B} = m_{C} = m)$,દરેક પાત્રના તળિયે લાગતું બળ $F_{A} = F_{B} = F_{C} = mg$ થશે.
તેથી,પ્રવાહી દ્વારા પાત્રના તળિયે લાગતું બળ બધા પાત્રોમાં સમાન છે.

(A) પાણી જેવા પ્રવાહીથી ભરેલા પાત્રના તળિયે $h$ ઊંચાઈએ દબાણનું સૂત્ર $P = P_0 + \rho gh$ છે,જ્યાં $P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે.
બંને પાત્રો સમાન ઊંચાઈ $h$ સુધી પાણી (સમાન ઘનતા $\rho$) થી ભરેલા છે અને સમાન આડા સમતલ પર રાખેલા હોવાથી (સમાન વાતાવરણીય દબાણ $P_0$),બંને પાત્રોના તળિયે દબાણ માત્ર ઊંચાઈ $h$ અને ઘનતા $\rho$ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,પાત્ર $A$ ના તળિયે દબાણ $P_A = P_0 + \rho gh$ અને પાત્ર $B$ ના તળિયે દબાણ $P_B = P_0 + \rho gh$ છે.
આમ,$P_A = P_B$.
પાત્રો $A$ અને $B$ ના તળિયે દબાણનો ગુણોત્તર $P_A : P_B = 1 : 1$ છે.

(A) માથા અને પગ વચ્ચેનો દબાણનો તફાવત $\Delta P = \rho gh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
અહીં, $\rho = 1.1 \times 10^3 \,kg \,m^{-3}$, $g = 10 \,ms^{-2}$, અને $h = 1.65 \,m$ છે।
$\Delta P = 1.1 \times 10^3 \times 10 \times 1.65 = 1.815 \times 10^4 \,Pa$.
રક્તવાહિની પર આ દબાણને સંતુલિત કરવા માટે જરૂરી બળ $F = \Delta P \times A$ છે, જ્યાં $A$ એ રક્તવાહિનીનું પૃષ્ઠફળ છે।
રક્તવાહિની એ $L = 1 \,cm = 10^{-2} \,m$ લંબાઈ અને $d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$ વ્યાસ (ત્રિજ્યા $r = 0.5 \times 10^{-3} \,m$) ધરાવતો નળાકાર છે।
પૃષ્ઠફળ $A$ (પાર્શ્વીય પૃષ્ઠફળ) $A = 2 \pi r L$ છે।
$A = 2 \times 3.14159 \times 0.5 \times 10^{-3} \times 10^{-2} = 3.14159 \times 10^{-5} \,m^2$.
$F = (1.815 \times 10^4) \times (3.14159 \times 10^{-5}) \approx 0.57 \,N$.

(B) સ્થિર સંતુલનમાં,સળંગ પ્રવાહીમાં સમાન આડા સ્તરે દબાણ સમાન હોય છે.
ધારો કે ડાબી બાજુની નળીમાં પ્રવાહી $A$ અને પ્રવાહી $B$ ના સંપર્ક સપાટી પરનું દબાણ $P$ છે.
ડાબી બાજુની નળી માટે,આ સ્તરે દબાણ $P_0 + \rho_A g h_A$ છે,જ્યાં $P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે.
જમણી બાજુની નળી માટે,સમાન આડા સ્તરે દબાણ $P_0 + \rho_B g h_B$ છે.
દબાણને સરખાવતા:
$P_0 + \rho_A g h_A = P_0 + \rho_B g h_B$
$\rho_A h_A = \rho_B h_B$
આપેલ છે કે પ્રવાહી $A$ ની ઘનતા પ્રવાહી $B$ ની ઘનતા કરતા બમણી છે,એટલે કે $\rho_A = 2\rho_B$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2\rho_B) h_A = \rho_B h_B$
$2 h_A = h_B$
$h_A = \frac{h_B}{2}$

(C) જ્યારે $\rho$ ઘનતા ધરાવતું પ્રવાહી $h$ ઊંચાઈ સુધી ભરેલું હોય તેવું પાત્ર $a_0$ પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરતું હોય,ત્યારે પ્રવાહી પર લાગતો અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ નીચે મુજબ મળે છે:
$g^{\prime} = g - a_0$ ...$(i)$
પાત્રના તળિયે લાગતું દબાણ $p$ એ વાતાવરણીય દબાણ $p_0$ અને અસરકારક ગુરુત્વ હેઠળ પ્રવાહીના સ્તંભને કારણે ઉદ્ભવતા ગેજ દબાણનો સરવાળો છે:
$p = p_0 + \rho g^{\prime} h$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $g^{\prime}$ ની કિંમત મૂકતા:
$p = p_0 + \rho(g - a_0)h$

(C) ધારો કે તળાવની ઊંડાઈ $h$ છે. વાતાવરણનું દબાણ $P_0$ એ $10 \ m$ પાણીના સ્તંભ જેટલું છે,તેથી $P_0 = 10 \rho g$.
તળાવના તળિયે દબાણ $P_1$ એ વાતાવરણનું દબાણ અને $h$ ઊંડાઈના પાણીના સ્તંભના દબાણનો સરવાળો છે:
$P_1 = P_0 + h \rho g = 10 \rho g + h \rho g = \rho g(10 + h)$.
તળિયે પરપોટાનું કદ $V_1 = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
સપાટી પર દબાણ $P_2$ એ વાતાવરણના દબાણ જેટલું છે:
$P_2 = P_0 = 10 \rho g$.
સપાટી પર પરપોટાનું કદ $V_2 = \frac{4}{3} \pi (\frac{5r}{4})^3$ છે.
તાપમાન અચળ હોવાથી,આપણે બોઈલનો નિયમ $(P_1 V_1 = P_2 V_2)$ લાગુ કરીએ છીએ:
$\rho g(10 + h) \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = 10 \rho g \cdot \frac{4}{3} \pi (\frac{5r}{4})^3$.
$(10 + h) = 10 \cdot \frac{125}{64}$.
$10 + h = \frac{1250}{64} = 19.53125$.
$h = 19.53125 - 10 = 9.53125 \ m$.
આમ,તળાવની ઊંડાઈ આશરે $9.53 \ m$ છે.

(B) આપેલ છે: ઊંડાઈ $h = 100 \ m$,સંકોચનક્ષમતા $k = 0.5 \times 10^{-9} \ N^{-1} \ m^2$,પાણીની ઘનતા $\rho = 10^3 \ kg/m^3$,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$.
નદીના તળિયે દબાણ $P = \rho gh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P = 10^3 \times 10 \times 100 = 10^6 \ N/m^2$.
સંકોચનક્ષમતા $k$ એ બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $k = \frac{1}{B} = \frac{(\Delta V / V)}{P}$.
તેથી,આંશિક સંકોચન (કદમાં આંશિક ફેરફાર) $\frac{\Delta V}{V} = k \times P$ છે.
$\frac{\Delta V}{V} = (0.5 \times 10^{-9}) \times 10^6 = 0.5 \times 10^{-3}$.

(D) ધારો કે ચેમ્બર $B$ નું દળ $M$ છે અને દરેક દડાનું દળ $m$ છે. ચેમ્બર અને દડાઓ દ્વારા વાયુ પર લાગતું કુલ અધોદિશાનું બળ $F = (M + nm)g$ છે.
જો $A$ એ ચેમ્બરનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ હોય,તો વાયુનું દબાણ $P = F/A = (M + nm)g / A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે એક દડો દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું બળ $F^{\prime} = (M + (n-1)m)g$ થાય છે.
નવું દબાણ $P^{\prime} = F^{\prime} / A = (M + (n-1)m)g / A$ છે.
દબાણમાં તફાવત $P - P^{\prime} = (M + nm)g/A - (M + nm - m)g/A = mg/A$ છે.
આમ,$(P - P^{\prime}) / P = (mg/A) / ((M + nm)g/A) = m / (M + nm)$.
જો આપણે ધારીએ કે ચેમ્બરનું દળ $M$ એ દડાઓના કુલ દળની સરખામણીમાં નગણ્ય છે (અથવા પ્રશ્ન સૂચવે છે કે વજન મુખ્યત્વે દડાઓને કારણે છે),તો $M \approx 0$ મળે છે.
તેથી,$(P - P^{\prime}) / P = m / (nm) = 1/n$.

(D) પ્રવાહીની ઘનતા $\rho$ અને ઊંચાઈ $h$ ધરાવતા પાત્રના તળિયે દબાણ $P$ નું સૂત્ર $P = \rho g h$ છે.
અહીં ત્રણેય પાત્રો માટે ઊંચાઈ $h$ સમાન છે અને $g$ અચળ છે,તેથી દબાણ $P$ એ પ્રવાહીની ઘનતા $\rho$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(P \propto \rho)$.
આપેલ છે કે ઘનતા $\rho_A > \rho_B > \rho_C$ છે,તેથી પાત્રોના તળિયે દબાણ $P_A > P_B > P_C$ થશે.
આમ,પ્રવાહી $A$ ધરાવતા પાત્રમાં દબાણ મહત્તમ હશે.

(A) પ્રવાહીના સ્તંભને કારણે પાત્રના તળિયે લાગતું દબાણ $P = h \rho g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈ છે,$\rho$ એ ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
પાત્રો સમાન હોવાથી,તેમનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન છે.
પ્રવાહીનું દળ $m$ એ $m = \rho V = \rho A h$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે દળ સમાન છે $(m_A = m_B = m_C = M)$,તેથી:
$M = \rho_A A h_A = \rho_B A h_B = \rho_C A h_C$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\rho_A h_A = \rho_B h_B = \rho_C h_C = \frac{M}{A} = \text{અચળ}$.
તળિયે દબાણ $P = \rho g h = g (\rho h)$ છે.
કારણ કે ત્રણેય પ્રવાહી માટે $\rho h$ નો ગુણાકાર અચળ છે,તેથી દરેક પાત્રના તળિયે દબાણ $P$ સમાન રહેશે.

(D) ધારો કે સમઘન બ્લોકની બાજુની લંબાઈ $L = 10 \,cm = 0.1 \,m$ છે.
બ્લોક આંતર સપાટી પર તરે છે। ધારો કે $h_w = 1.5 \,cm = 0.015 \,m$ એ પાણીમાં બ્લોકની ઊંડાઈ છે અને $h_o = 10 \,cm - 1.5 \,cm = 8.5 \,cm = 0.085 \,m$ એ તેલમાં બ્લોકની ઊંચાઈ છે.
નીચેની સપાટી પરનું દબાણ (પાણીમાં) $P_{lower} = P_{interface} + \rho_w g h_w$ છે.
ઉપરની સપાટી પરનું દબાણ (તેલમાં) $P_{upper} = P_{interface} - \rho_o g h_o$ છે.
નીચેની અને ઉપરની સપાટી વચ્ચેના દબાણનો તફાવત $\Delta P = P_{lower} - P_{upper} = (P_{interface} + \rho_w g h_w) - (P_{interface} - \rho_o g h_o) = \rho_w g h_w + \rho_o g h_o$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta P = (1000 \,kg/m^3 \times 10 \,m/s^2 \times 0.015 \,m) + (800 \,kg/m^3 \times 10 \,m/s^2 \times 0.085 \,m)$
$\Delta P = 150 \,Pa + 680 \,Pa = 830 \,Pa$.

(D) બદલાતી ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં દબાણનો ફેરફાર હાઇડ્રોસ્ટેટિક નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $dP = -\rho(z) g dz$.
તળિયેથી ($z=0$,$P=P_1$) ઉપરની સપાટી સુધી ($z=H$,$P=P_2$) સંકલન કરતા:
$\int_{P_1}^{P_2} dP = -\int_{0}^{H} \rho(z) g dz$
$P_2 - P_1 = -g \int_{0}^{H} \rho_0 \left[ 2 - \left( \frac{z}{H} \right)^2 \right] dz$
$P_1 - P_2 = g \rho_0 \int_{0}^{H} \left( 2 - \frac{z^2}{H^2} \right) dz$
$P_1 - P_2 = g \rho_0 \left[ 2z - \frac{z^3}{3H^2} \right]_{0}^{H}$
$P_1 - P_2 = g \rho_0 \left( 2H - \frac{H^3}{3H^2} \right)$
$P_1 - P_2 = g \rho_0 \left( 2H - \frac{H}{3} \right)$
$P_1 - P_2 = g \rho_0 \left( \frac{5H}{3} \right) = \frac{5}{3} \rho_0 g H$.

(C) ડાબી બાજુની ભુજામાં $\rho_3$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીના તળિયે સમક્ષિતિજ સ્તરને ધ્યાનમાં લો. બંને ભુજાઓમાં આ સ્તરે દબાણ સમાન હોવું જોઈએ.
ડાબી બાજુની ભુજામાં,દબાણ $\rho_1$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહી (ઊંચાઈ $h$) અને $\rho_3$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહી (ઊંચાઈ $h/2$) ને કારણે છે.
$P_{left} = P_{atm} + \rho_1 gh + \rho_3 g(h/2)$
જમણી બાજુની ભુજામાં,સમાન સમક્ષિતિજ સ્તરે દબાણ $\rho_2$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહી (ઊંચાઈ $h$) ને કારણે છે.
$P_{right} = P_{atm} + \rho_2 gh$
દબાણને સરખાવતા: $P_{atm} + \rho_1 gh + \rho_3 g(h/2) = P_{atm} + \rho_2 gh$
$gh$ વડે ભાગતા: $\rho_1 + \frac{\rho_3}{2} = \rho_2$
$\rho_3$ માટે ગોઠવતા: $\frac{\rho_3}{2} = \rho_2 - \rho_1 \implies \rho_3 = 2(\rho_2 - \rho_1)$

(A) ધારો કે કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા સંદર્ભ છે. બે પ્રવાહીઓ વચ્ચેનું સંપર્કબિંદુ શિરોલંબથી $\theta$ ખૂણે છે.
નળી શિરોલંબ સમતલમાં હોવાથી,સૌથી નીચેના બિંદુએ બંને બાજુથી દબાણ સમાન હોવું જોઈએ.
ધારો કે ડાબી બાજુના પ્રવાહીની ઘનતા $\delta$ છે અને જમણી બાજુના પ્રવાહીની ઘનતા $\rho$ છે.
સૌથી નીચેના બિંદુથી $\delta$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહી સ્તંભના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની શિરોલંબ ઊંચાઈ $h_1 = R(1 - \cos \theta)$ છે.
સૌથી નીચેના બિંદુથી $\rho$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહી સ્તંભના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની શિરોલંબ ઊંચાઈ $h_2 = R(1 - \cos \theta)$ છે.
સંતુલન માટે,નળીના સૌથી નીચેના બિંદુએ બંને બાજુથી દબાણ સમાન હોવું જોઈએ.
વર્તુળાકાર નળીમાં પ્રવાહી સ્તંભ દ્વારા લાગતું દબાણ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની શિરોલંબ ઊંડાઈના પ્રમાણમાં હોય છે.
સંતુલન માટેની શરત નીચે મુજબ છે:
$\delta g R(\cos \theta + \sin \theta) = \rho g R(\cos \theta - \sin \theta)$
બંને બાજુ $gR$ વડે ભાગતા:
$\delta(\cos \theta + \sin \theta) = \rho(\cos \theta - \sin \theta)$
$\delta \cos \theta + \delta \sin \theta = \rho \cos \theta - \rho \sin \theta$
$\sin \theta(\rho + \delta) = \cos \theta(\rho - \delta)$
$\tan \theta = \frac{\rho - \delta}{\rho + \delta}$
$\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{\rho - \delta}{\rho + \delta}\right)$