Newton's Law of Viscosity Questions in Gujarati

(C) નદીના સ્થિર પ્રવાહમાં,તળિયેથી $y$ ઊંચાઈએ રહેલા સ્તરનો વેગ $v$ એ સંબંધ $v \propto y$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (લેમિનર પ્રવાહ ધારતા).
તેથી,$\frac{v_A}{y_A} = \frac{v_B}{y_B}$.
આપેલ છે: $v_A = 12 \ cm/s$,$y_A = 40 \ cm$,અને $y_B = 90 \ cm$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{12}{40} = \frac{v_B}{90}$.
$v_B = \frac{12 \times 90}{40} = \frac{1080}{40} = 27 \ cm/s$.
તેથી,સ્તર $B$ નો વેગ $27 \ cm/s$ છે.

(C) ન્યૂટનના સ્નિગ્ધતાના નિયમ મુજબ,$A$ ક્ષેત્રફળ પર લાગતું સ્નિગ્ધ બળ $F$ એ $\tau = \frac{F}{A} = -\eta \frac{dv}{dz}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્નિગ્ધ બળ એ પ્રવાહીના નજીકના સ્તરો વચ્ચે આંતરિક ઘર્ષણ તરીકે કાર્ય કરે છે જે અલગ-અલગ વેગ સાથે ગતિ કરે છે.
આ બળ સ્તરો વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિનો વિરોધ કરે છે,જેના કારણે શીયરિંગ (shearing) ક્રિયા થાય છે.
શીયર બળ હંમેશા પ્રવાહીના સ્તરોના સમતલને સ્પર્શક (tangential) દિશામાં કાર્ય કરે છે.
તેથી,સ્નિગ્ધ બળ પ્રવાહીની સપાટીને સ્પર્શક હોય છે.

(B) પ્રવાહીની સ્નિગ્ધતા એ તેના વહેવાના અવરોધનું માપ છે.
પ્રવાહી માટે,સ્નિગ્ધતા મુખ્યત્વે અણુઓ વચ્ચેના આકર્ષણ બળોને કારણે હોય છે. જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ અણુઓની ગતિ ઊર્જા વધે છે,જે આ આકર્ષણ બળોને દૂર કરે છે,જેના કારણે પ્રવાહીની સ્નિગ્ધતા ઘટે છે.
વાયુઓ માટે,સ્નિગ્ધતા મુખ્યત્વે અણુઓની યાદચ્છિક ઉષ્મીય ગતિને કારણે વાયુના સ્તરો વચ્ચે વેગમાનના સ્થાનાંતરણને કારણે હોય છે. જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ વાયુના અણુઓની યાદચ્છિક ગતિ વધે છે,જેનાથી અથડામણો વધુ વારંવાર થાય છે અને વેગમાનના સ્થાનાંતરણનો દર વધે છે,જેના કારણે વાયુઓની સ્નિગ્ધતા વધે છે.
તેથી,જ્યારે તાપમાન વધે છે,ત્યારે વાયુઓની સ્નિગ્ધતા વધે છે અને પ્રવાહીઓની સ્નિગ્ધતા ઘટે છે.

(B) સ્નિગ્ધતા બળનું સૂત્ર $F = \eta A \frac{dv}{dx}$ છે.
બોક્સ અચળ વેગથી ગતિ કરતું હોવાથી,લગાડવામાં આવેલું બળ $F$ એ સ્નિગ્ધતા બળ જેટલું જ હશે.
અહીં,$F = \frac{1}{3} \ N$,$A = 0.01 \ m^2$,$dv = 0.09 \ m/s$,અને $dx = 0.3 \ mm = 0.3 \times 10^{-3} \ m$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\eta = \frac{F \cdot dx}{A \cdot dv}$
$\eta = \frac{(1/3) \times (0.3 \times 10^{-3})}{0.01 \times 0.09}$
$\eta = \frac{0.1 \times 10^{-3}}{0.0009} = \frac{10^{-4}}{9 \times 10^{-4}} = \frac{1}{9} \approx 0.11 \ Pa \cdot s$.
આમ,$\eta \approx 1.1 \times 10^{-1} \ Pa \cdot s$.

(B) આદર્શ પ્રવાહી એટલે એવું પ્રવાહી જે અદબનીય (incompressible) અને સ્નિગ્ધતા રહિત (non-viscous) હોય છે.
આદર્શ પ્રવાહી સ્નિગ્ધતા રહિત હોવાથી,તે તેના સ્તરો વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિમાં કોઈ અવરોધ પેદા કરતું નથી.
તેથી,આદર્શ પ્રવાહી માટે સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $0$ હોય છે.

$(A)$ આપેલ છે:
ઘનની બાજુ, $L = 10 \,cm = 0.1 \,m$.
પાયાનું ક્ષેત્રફળ, $A = L^2 = (0.1 \,m)^2 = 0.01 \,m^2$.
પ્રવાહીના સ્તરની જાડાઈ, $dx = 0.2 \,mm = 0.2 \times 10^{-3} \,m$.
લગાડેલ બળ, $F = 0.1 \,N$.
અચળ વેગ, $v = 0.08 \,m/s$.
ઘન અચળ ઝડપે ગતિ કરતો હોવાથી, ચોખ્ખું બળ શૂન્ય છે, જેનો અર્થ છે કે લગાડેલ બળ એ શ્યાનતા બળ (વિસ્કસ ડ્રેગ ફોર્સ) જેટલું છે: $F = F_{drag}$.
ન્યૂટનના શ્યાનતાના નિયમ મુજબ, $F = \eta A \frac{dv}{dx}$.
કિંમતો મૂકતા: $0.1 = \eta \times 0.01 \times \frac{0.08}{0.2 \times 10^{-3}}$.
$0.1 = \eta \times 0.01 \times 400$.
$0.1 = \eta \times 4$.
$\eta = \frac{0.1}{4} = 0.025 \,Ns/m^2 = 2.5 \times 10^{-2} \,Ns/m^2$.

(D) શીયરિંગ સ્ટ્રેસ $\tau$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tau = \eta \left( \frac{dv}{dx} \right)$.
અહીં,$\eta = 10^{-3} \ SI \ units$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે.
વેગ પ્રચલન $\frac{dv}{dx}$ એ વેગ $v$ ને ઊંડાઈ $x$ વડે ભાગવાથી મળે છે.
આપેલ છે કે $v = 10 \ ms^{-1}$ અને $x = 20 \ m$,તેથી $\frac{dv}{dx} = \frac{10}{20} = 0.5 \ s^{-1}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tau = 10^{-3} \times 0.5 = 0.5 \times 10^{-3} \ Nm^{-2}$.

(B) શીયરિંગ સ્ટ્રેસને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ સ્નિગ્ધ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેનું સૂત્ર છે: $\text{Shearing Stress} = \frac{F}{A} = \eta \frac{dv}{dx}$.
નદીમાં,વેગ $v$ સપાટી પર $V$ થી બદલાઈને તળિયે (ઊંડાઈ $H$) $0$ થાય છે.
આમ,વેગ પ્રચલન (velocity gradient) $\frac{dv}{dx} = \frac{V}{H}$ છે.
આ કિંમતને સ્ટ્રેસના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $\text{Shearing Stress} = \eta \frac{V}{H}$.

(B) પ્લેટ પર લાગતું સ્નિગ્ધ બળ $F$ ન્યૂટનના સ્નિગ્ધતાના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = \eta A \frac{dv}{dx}$.
અહીં,$\eta = 1.55 \,Ns\, m^{-2}$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે,$A = 10^{-2} \,m^2$ એ પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ છે,$v = 3 \times 10^{-2} \,ms^{-1}$ એ વેગ છે,અને $h = dx = 2 \times 10^{-3} \,m$ એ તેલના સ્તરની જાડાઈ છે.
કિંમતો મૂકતા: $F = 1.55 \times 10^{-2} \times \frac{3 \times 10^{-2}}{2 \times 10^{-3}}$.
$F = 1.55 \times 10^{-2} \times 1.5 \times 10^1$.
$F = 1.55 \times 1.5 \times 10^{-1} = 2.325 \times 10^{-1} = 0.2325 \,N$.