Basic Maths Questions in Gujarati

(D) $x$ ની સાપેક્ષમાં $\cos 4x^2$ નું વિકલન શોધવા માટે,આપણે સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $u = 4x^2$,તો $\frac{d}{dx} (\cos u) = -\sin u \cdot \frac{du}{dx}$ થાય.
તેથી,$\frac{d}{dx} (\cos 4x^2) = -\sin(4x^2) \cdot \frac{d}{dx}(4x^2)$.
અહીં $\frac{d}{dx}(4x^2) = 4 \cdot 2x = 8x$ હોવાથી,
આપણને $\frac{d}{dx} (\cos 4x^2) = -\sin(4x^2) \cdot 8x = -8x \sin 4x^2$ મળે છે.

(D) સંકલન $I = \int_{0}^{\pi/4} \sin(2x) \, dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \sin(ax) \, dx = -\frac{\cos(ax)}{a} + C$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ નિશ્ચિત સંકલન માટે:
$I = \left[ -\frac{\cos(2x)}{2} \right]_{0}^{\pi/4}$
ઉપરની અને નીચેની સીમાઓ મૂકતા:
$I = -\frac{1}{2} \left[ \cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) - \cos(2 \cdot 0) \right]$
$I = -\frac{1}{2} \left[ \cos(\frac{\pi}{2}) - \cos(0) \right]$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ અને $\cos(0) = 1$:
$I = -\frac{1}{2} [0 - 1]$
$I = -\frac{1}{2} [-1] = \frac{1}{2}$.

(A) પ્રાકૃતિક લઘુગણક વિધેય $\log_e x$ (જેને $\ln x$ તરીકે પણ લખવામાં આવે છે) નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન એ કેલ્ક્યુલસનું એક પ્રમાણિત પરિણામ છે.
વિકલનના નિયમ મુજબ,$\frac{d}{dx}(\log_e x) = \frac{1}{x}$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) $\theta = 120^{\circ}$ માટે ત્રિકોણમિતીય વિધેય $\cos\, \theta$ નું મૂલ્ય નિત્યસમ $\cos(180^{\circ} - \theta) = -\cos\, \theta$ નો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે.
અહીં,$\cos\, 120^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 60^{\circ})$ છે.
આ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,તે $-\cos\, 60^{\circ}$ થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos\, 60^{\circ} = 0.5$,તેથી $\cos\, 120^{\circ} = -0.5$ મળે છે.

(B) ધારો કે $f(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x + 1$.
પ્રથમ વિકલન: $\frac{d}{dx} (4x^3 - 3x^2 + 2x + 1) = 12x^2 - 6x + 2$.
દ્વિતીય વિકલન: $\frac{d}{dx} (12x^2 - 6x + 2) = 24x - 6$.

(A) આપેલ સંકલન $I = \int_{-1}^{+1} t^{-3} \, dt$ છે.
સંકલનના ઘાત નિયમ મુજબ,$\int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}$,તેથી:
$I = \left[ \frac{t^{-2}}{-2} \right]_{-1}^{+1} = \left[ -\frac{1}{2t^2} \right]_{-1}^{+1}$.
સીમાઓ મૂકતા:
$I = \left( -\frac{1}{2(1)^2} \right) - \left( -\frac{1}{2(-1)^2} \right)$.
$I = -\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$.
નોંધ: વિધેય $f(t) = \frac{1}{t^3}$ એ $t = 0$ આગળ અનંત અસતતતા ધરાવે છે,જે $[-1, 1]$ અંતરાલની અંદર આવે છે. તેથી,ગાણિતિક રીતે આ સંકલન અપસારી (divergent) છે.

(C) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{dx}{\sqrt{2ax - x^2}}$ છે.
છેદમાં પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $2ax - x^2 = -(x^2 - 2ax) = -(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) = a^2 - (x - a)^2$.
તેથી,$I = \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - (x - a)^2}} = \int \frac{dx}{a \sqrt{1 - (\frac{x-a}{a})^2}}$.
ધારો કે $u = \frac{x-a}{a} = \frac{x}{a} - 1$,તો $du = \frac{dx}{a}$,એટલે કે $dx = a \, du$.
આ કિંમતો મૂકતા,$I = \int \frac{a \, du}{a \sqrt{1 - u^2}} = \int \frac{du}{\sqrt{1 - u^2}} = \sin^{-1}(u) + C = \sin^{-1} \left( \frac{x}{a} - 1 \right) + C$.
આને આપેલ સૂત્ર $a^n \sin^{-1} \left( \frac{x}{a} - 1 \right)$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $a^n = 1$,જેનો અર્થ છે કે $a^n = a^0$.
તેથી,$n = 0$.

(A) અપૂર્ણાંક $\frac{1}{2}$ એ બે સમાન ભાગોમાંથી એક ભાગ દર્શાવે છે.
આ અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે અંશ $(1)$ ને છેદ $(2)$ વડે ભાગીએ છીએ.
$1 \div 2 = 0.5$.
તેથી,તેનું મૂલ્ય $0.5$ છે.

(C) આપેલ લઘુગણક સમીકરણ: $log_{10} (xy) = 2$.
લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ,જો $log_b (a) = c$ હોય,તો $a = b^c$ થાય.
આ વ્યાખ્યાને આપેલ સમીકરણમાં લાગુ પાડતા,જ્યાં આધાર $b = 10$,$a = xy$,અને $c = 2$ છે:
$xy = 10^2$.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $xy = 100$.

(C) પદ $\sin 30^\circ$ એ એક અચળ કિંમત દર્શાવે છે,જેની કિંમત $\frac{1}{2}$ છે.
કોઈપણ અચળ પદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન $0$ થાય છે,તેથી $\frac{d}{dx}(\sin 30^\circ) = 0$ થાય.

(C) ધારો કે $y = {\left( \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \right)}^2$.
નિત્યસમ ${(a+b)}^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ નો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરતા:
$y = {(\sqrt{x})}^2 + {\left( \frac{1}{\sqrt{x}} \right)}^2 + 2(\sqrt{x})\left( \frac{1}{\sqrt{x}} \right)$
$y = x + \frac{1}{x} + 2$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(x^{-1}) + \frac{d}{dx}(2)$
$\frac{dy}{dx} = 1 + (-1)x^{-2} + 0$
$\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{x^2}$.

(C) આપણે નિશ્ચિત સંકલન $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} \sin 2x \,dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સંકલનના સૂત્ર $\int \sin(ax) \,dx = -\frac{1}{a} \cos(ax) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \left[ -\frac{\cos 2x}{2} \right]_0^{\frac{\pi }{4}}$
સીમાઓ લાગુ પાડતા:
$I = -\frac{1}{2} \left[ \cos(2 \cdot \frac{\pi }{4}) - \cos(2 \cdot 0) \right]$
$I = -\frac{1}{2} \left[ \cos(\frac{\pi }{2}) - \cos(0) \right]$
કારણ કે $\cos(\frac{\pi }{2}) = 0$ અને $\cos(0) = 1$ છે:
$I = -\frac{1}{2} [0 - 1] = -\frac{1}{2} (-1) = 0.5$.

(D) આપેલ સમીકરણ $xy = c^2$ છે,જ્યાં $c$ અચળાંક છે.
આપણે $y$ ને $x$ ના સ્વરૂપમાં $y = c^2 x^{-1}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
હવે,ઘાતના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = c^2 \cdot (-1) \cdot x^{-2} = -\frac{c^2}{x^2}$.
કારણ કે $c^2 = xy$,આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{xy}{x^2} = -\frac{y}{x}$.

(B) આ પદ $a\, \sin\, \theta + b\, \cos\, \theta$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = -5$ અને $b = 12$ છે.
વિધેય $f(\theta) = a\, \sin\, \theta + b\, \cos\, \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવાનું સૂત્ર $\sqrt{a^2 + b^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
મહત્તમ મૂલ્ય $= \sqrt{(-5)^2 + (12)^2}$
મહત્તમ મૂલ્ય $= \sqrt{25 + 144}$
મહત્તમ મૂલ્ય $= \sqrt{169}$
મહત્તમ મૂલ્ય $= 13$.

(A) આપેલ છે કે $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}}$.
ધારો કે સામેની બાજુ $1$ છે અને પાસેની બાજુ $\sqrt{5}$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,કર્ણ = $\sqrt{1^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{1 + 5} = \sqrt{6}$ થાય.
કારણ કે $\theta$ પ્રથમ ચરણમાં છે,તેથી બધા ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર ધન હશે.
તેથી,$\cos \theta = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{5}{6}}$.

(A) વક્ર $y = f(x)$ ના સ્પર્શકનો ઢાળ વિકલન $\frac{dy}{dx}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ વિધેય $y = \ln(\cos x)$ છે.
સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{d}{dx}(\cos x)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x$.
હવે,$x = \frac{3\pi}{4}$ આગળ વિકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x = 3\pi/4} = -\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1$,તેથી:
$-\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -(-1) = 1$.
આમ,સ્પર્શકનો ઢાળ $1$ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $y = \frac{10}{\sin x + \sqrt{3} \cos x}$ છે.
$y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત મેળવવા માટે,આપણે છેદ $t = \sin x + \sqrt{3} \cos x$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવી પડશે.
પદાવલિ $a \sin x + b \cos x$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{a^2 + b^2}$ થાય છે.
અહીં,$a = 1$ અને $b = \sqrt{3}$ છે.
તેથી,$t_{\max} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.
આમ,$y_{\min} = \frac{10}{t_{\max}} = \frac{10}{2} = 5$.

(A) આપેલ આલેખ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે વક્ર $(0, 6)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે $x = 0$ હોય,ત્યારે $y = 6$ થાય છે.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણ $y = 2 + ae^{-x}$ માં મૂકતા:
$6 = 2 + ae^{-0}$
કારણ કે $e^0 = 1$,તેથી આપણને મળે છે:
$6 = 2 + a(1)$
$6 = 2 + a$
$a = 6 - 2$
$a = 4$
તેથી,$a$ નું મૂલ્ય $4$ છે.

(A) વિકલન $\frac{dy}{dx}$ એ આપેલ બિંદુએ વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ દર્શાવે છે.
બિંદુ $P$ આગળ,જે પરવલય જેવા વક્રનું ન્યૂનતમ બિંદુ છે,ત્યાં સ્પર્શક એક આડી રેખા છે.
આડી રેખાનો ઢાળ $0$ હોય છે.
તેથી,બિંદુ $P$ આગળ,$\frac{dy}{dx}$ નું મૂલ્ય $0$ છે.

(C) છેદમાં રહેલું પદ $f(\theta) = \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$ છે.
આપણે તેને $f(\theta) = 2 \left( \frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta \right) = 2 \sin(\theta + 60^\circ)$ તરીકે લખી શકીએ.
$\sin(\theta + 60^\circ)$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે.
તેથી,છેદ $f(\theta)$ નો વિસ્તાર $[-2, 2]$ છે.
$F$ ન્યૂનતમ બને તે માટે,છેદ તેના મહત્તમ ધન મૂલ્ય પર હોવો જોઈએ,જે $2$ છે.
આમ,$F_{\min} = \frac{2}{2} = 1$.

(B) સંકલન $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{{2\omega }}} {5\,\sin \omega t} \,dt$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે નીચે મુજબ આગળ વધીએ:
સૌ પ્રથમ,અચળાંક $5$ ને સંકલનની બહાર કાઢો:
$I = 5 \int\limits_0^{\frac{\pi }{{2\omega }}} \sin \omega t \,dt$
યાદ રાખો કે $\sin \omega t$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન $-\frac{\cos \omega t}{\omega}$ થાય છે:
$I = 5 \left[ -\frac{\cos \omega t}{\omega} \right]_0^{\frac{\pi }{{2\omega }}}$
$I = -\frac{5}{\omega} \left[ \cos \omega t \right]_0^{\frac{\pi }{{2\omega }}}$
હવે,સીમાઓ (limits) મૂકો:
$I = -\frac{5}{\omega} \left[ \cos \left( \omega \cdot \frac{\pi}{2\omega} \right) - \cos(0) \right]$
$I = -\frac{5}{\omega} \left[ \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) - \cos(0) \right]$
કારણ કે $\cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$ અને $\cos(0) = 1$:
$I = -\frac{5}{\omega} [0 - 1]$
$I = -\frac{5}{\omega} [-1]$
$I = \frac{5}{\omega}$

(B) આપેલ સમીકરણ $\alpha = \frac{25}{50}$ છે.
$\alpha$ નું મૂલ્ય શોધવા માટે,અંશને છેદ વડે ભાગો.
$\alpha = \frac{25}{50} = \frac{1}{2} = 0.5$.
તેથી,$\alpha$ નું મૂલ્ય $0.5$ છે.

(C) $x$ ની સાપેક્ષમાં $\log(\log x)$ નું વિકલન શોધવા માટે,આપણે ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $u = \log x$. તો પદ $\frac{d}{dx} \log(u)$ બને છે.
ચેઈન રૂલ મુજબ,$\frac{d}{dx} \log(u) = \frac{d}{du} \log(u) \cdot \frac{du}{dx}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{d}{du} \log(u) = \frac{1}{u}$ અને $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} \log x = \frac{1}{x}$.
આ કિંમતો પાછી મૂકતા,આપણને $\frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \log x}$ મળે છે.
આને $(x \log x)^{-1}$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ છે $y = x + \frac{1}{x}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(x^{-1})$
$\frac{dy}{dx} = 1 - x^{-2} = 1 - \frac{1}{x^2}$.
હવે,બંને બાજુ $x^2$ વડે ગુણતા:
$x^2 \frac{dy}{dx} = x^2(1 - \frac{1}{x^2}) = x^2 - 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $y = x + \frac{1}{x}$,તેથી $xy = x(x + \frac{1}{x}) = x^2 + 1$.
આના પરથી,$x^2 = xy - 1$.
$x^2$ ની કિંમત $x^2 \frac{dy}{dx} = x^2 - 1$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2 \frac{dy}{dx} = (xy - 1) - 1$
$x^2 \frac{dy}{dx} = xy - 2$
$x^2 \frac{dy}{dx} - xy + 2 = 0$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{\sec x} = \cos x$ થાય છે.
તેથી,પદાવલિ $\frac{d}{dx}\left( \frac{\cos x}{x^4} \right)$ બને છે.
ભાગાકારના નિયમ $\frac{d}{dx}\left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = \cos x$ અને $v = x^4$ છે:
$\frac{d}{dx}\left( \frac{\cos x}{x^4} \right) = \frac{x^4(-\sin x) - \cos x(4x^3)}{(x^4)^2}$
$= \frac{-x^4 \sin x - 4x^3 \cos x}{x^8}$
$= \frac{-x^3(x \sin x + 4 \cos x)}{x^8}$
$= \frac{-(x \sin x + 4 \cos x)}{x^5}$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $y = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!}$.
$\frac{dy}{dx}$ શોધવા માટે,આપણે દરેક પદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(1) + \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2!}\right) + \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3!}\right) + \dots + \frac{d}{dx}\left(\frac{x^n}{n!}\right)$.
ઘાતનો નિયમ $\frac{d}{dx}(x^k) = kx^{k-1}$ વાપરતા:
$\frac{dy}{dx} = 0 + 1 + \frac{2x}{2!} + \frac{3x^2}{3!} + \dots + \frac{nx^{n-1}}{n!}$.
કારણ કે $k! = k \times (k-1)!$,તેથી $\frac{k}{k!} = \frac{1}{(k-1)!}$ થાય:
$\frac{dy}{dx} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$.
આને $y$ ની મૂળ પદાવલિ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આ સરવાળો $y$ માંથી મૂળ શ્રેણીનું છેલ્લું પદ બાદ કરવા બરાબર છે:
$\frac{dy}{dx} = y - \frac{x^n}{n!}$.

(A) આપેલ શ્રેણી એ ઘાતાંકીય વિધેય $e^x$ માટેનું મેકલોરિન શ્રેણી વિસ્તરણ છે.
તેથી,$y = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + .....\infty = e^x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^x)$ મળે છે.
$e^x$ નું વિકલન $e^x$ હોવાથી,$\frac{dy}{dx} = e^x$ થાય.
$y$ માટેનું મૂળ પદ મૂકતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = y$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $y = \frac{1}{a - z}$ છે.
$\frac{dz}{dy}$ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ $z$ ની સાપેક્ષે $y$ નું વિકલન કરીશું.
$y = (a - z)^{-1}$.
$z$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dz} = -1 \cdot (a - z)^{-2} \cdot \frac{d}{dz}(a - z)$.
$\frac{dy}{dz} = -1 \cdot (a - z)^{-2} \cdot (-1) = (a - z)^{-2} = \frac{1}{(a - z)^2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{dz}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dz}}$,તેથી:
$\frac{dz}{dy} = (a - z)^2$.
કારણ કે $(a - z)^2 = (z - a)^2$,તેથી અંતિમ જવાબ $\frac{dz}{dy} = (z - a)^2$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $y = x \sin x$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $\ln y = \ln(x \sin x)$.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln y = \ln x + \ln(\sin x)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{d}{dx}(\ln x) + \frac{d}{dx}(\ln(\sin x))$.
ચેઈન રૂલ (chain rule) લાગુ કરતા: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} + \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x$.
પદને સરળ બનાવતા: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} + \cot x$.

(A) ત્રણ વિધેયોના ગુણાકારનું વિકલન શોધવા માટે,આપણે પ્રોડક્ટ રૂલનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\frac{d}{dx}(uvw) = u'vw + uv'w + uvw'$.
ધારો કે $u = x^2$,$v = e^x$,અને $w = \sin x$.
તેથી $u' = 2x$,$v' = e^x$,અને $w' = \cos x$.
નિયમ લાગુ પાડતા:
$\frac{d}{dx}(x^2 e^x \sin x) = (2x)(e^x \sin x) + (x^2)(e^x \sin x) + (x^2)(e^x \cos x)$.
પદમાંથી $x e^x$ સામાન્ય લેતા:
$= x e^x (2 \sin x + x \sin x + x \cos x)$.

(B) કોસાઇન વિધેય,$\cos \theta$,એ એક ત્રિકોણમિતીય વિધેય છે જે કાટકોણ ત્રિકોણમાં પાસેની બાજુ અને કર્ણના ગુણોત્તરને દર્શાવે છે.
$\theta = 0^{\circ}$ પર,$\cos 0^{\circ} = 1$ થાય છે.
$\theta = 90^{\circ}$ પર,$\cos 90^{\circ} = 0$ થાય છે.
જેમ ખૂણો $\theta$ એ $0^{\circ}$ થી $90^{\circ}$ સુધી વધે છે,તેમ $\cos \theta$ નું મૂલ્ય $1$ થી ઘટીને $0$ થાય છે.
આમ,આ અંતરાલમાં $\theta$ વધવાની સાથે $\cos \theta$ નું મૂલ્ય ઘટે છે.

(B) આ પદાવલિ $a \sin \theta + b \cos \theta$ ના સ્વરૂપમાં છે.
આ પદાવલિનું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવાનું સૂત્ર $\sqrt{a^2 + b^2}$ છે.
અહીં,$a = -5$ અને $b = 12$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
મહત્તમ મૂલ્ય $= \sqrt{(-5)^2 + (12)^2}$
$= \sqrt{25 + 144}$
$= \sqrt{169}$
$= 13$.
તેથી,મહત્તમ મૂલ્ય $13$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,કર્ણ = $\sqrt{1^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{1 + 5} = \sqrt{6}$ મળે.
$\theta$ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,તમામ ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર ધન હોય છે.
તેથી,$\cos \theta = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{5}{6}}$.

(B) કોઈપણ બિંદુએ વક્રનો ઢાળ એ બિંદુએ દોરેલ સ્પર્શક $x$-અક્ષની ધન દિશા સાથે જે ખૂણો $\theta$ બનાવે છે તેના ટેન્જન્ટ (tangent) દ્વારા આપવામાં આવે છે,એટલે કે $m = \tan \theta$.
જેમ આપણે વક્ર પર બિંદુ $1$ થી બિંદુ $3$ તરફ જઈએ છીએ,તેમ સ્પર્શક વધુ તીવ્ર (steep) બનતો જાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે સ્પર્શક $x$-અક્ષની ધન દિશા સાથે જે ખૂણો $\theta$ બનાવે છે તે બિંદુ $1$ થી $3$ તરફ જતાં વધે છે (એટલે કે $\theta_1 < \theta_2 < \theta_3$).
કારણ કે વિધેય $\tan \theta$ એ $0^\circ < \theta < 90^\circ$ માટે વધતું વિધેય છે,તેથી $\tan \theta_1 < \tan \theta_2 < \tan \theta_3$ થાય.
તેથી,$m_1 < m_2 < m_3$.

(A) કોઈપણ બિંદુએ આલેખનો ઢાળ $\tan \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ તે બિંદુએ દોરેલા સ્પર્શકે ધન $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
$1$. $A$ થી $B$ સુધી: સ્પર્શક $x$-અક્ષ સાથે લઘુકોણ બનાવે છે. જેમ આપણે $A$ થી $B$ તરફ જઈએ છીએ,તેમ ખૂણો $\theta$ ધન મૂલ્યથી ઘટીને ટોચના બિંદુ $B$ પર $0$ થાય છે. આ અંતરાલમાં $\tan \theta$ ધન છે અને ઘટે છે,તેથી ઢાળનું મૂલ્ય ઘટે છે.
$2$. બિંદુ $B$ પર: સ્પર્શક સમક્ષિતિજ છે,તેથી $\theta = 0^\circ$ અને ઢાળ $0$ છે.
$3$. $B$ થી $C$ સુધી: સ્પર્શક $x$-અક્ષ સાથે ગુરુકોણ બનાવે છે. જેમ આપણે $B$ થી $C$ તરફ જઈએ છીએ,તેમ ખૂણો $\theta$ $0^\circ$ થી વધીને $90^\circ$ તરફ જાય છે. ઢાળ $(\tan \theta)$ ઋણ છે,પરંતુ જેમ ખૂણો વધુ ગુરુકોણ બને છે તેમ તેનું મૂલ્ય $|\tan \theta|$ વધે છે.
તેથી,ઢાળનું મૂલ્ય પહેલા ઘટે છે ($A$ થી $B$) અને પછી વધે છે ($B$ થી $C$).
સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) વક્ર $x$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $y = 0$ લઈએ છીએ.
આપેલ સમીકરણ: $x^2 - 3x + 2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવો પાડતા: $x^2 - 2x - x + 2 = 0$.
$x(x - 2) - 1(x - 2) = 0$.
$(x - 1)(x - 2) = 0$.
આનાથી આપણને $x = 1$ અને $x = 2$ ઉકેલ મળે છે.
તેથી,વક્ર $x$-અક્ષને $(1, 0)$ અને $(2, 0)$ બિંદુઓ પર છેદે છે.

(A) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાનું સમીકરણ $y = mx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ઢાળ છે.
ધારો કે બિંદુના યામ $(x, y)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,એક્સ-યામ $(x)$ એ વાય-યામ $(y)$ કરતા બમણો છે.
તેથી,$x = 2y$.
આ સમીકરણને $y$ માટે ગોઠવતા,આપણને $y = \frac{x}{2}$ મળે છે.
આમ,રેખાનું સમીકરણ $y = \frac{x}{2}$ છે.

(D) ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે. ચોરસની પરિમિતિ $P$ એ $P = 4a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં પરિમિતિમાં થતો વધારો શોધવા માટે,આપણે $P$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dP}{dt} = \frac{d}{dt}(4a) = 4 \left( \frac{da}{dt} \right)$.
આપેલ છે કે બાજુમાં થતો વધારો $\frac{da}{dt} = 0.2\,cm/s$ છે.
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dP}{dt} = 4 \times 0.2 = 0.8\,cm/s$.
તેથી,પરિમિતિમાં થતો વધારો $0.8\,cm/s$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણી એ અનંત ભૌમિતિક શ્રેણી $(GP)$ છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{4}$ છે.
અહીં $|r| < 1$ હોવાથી,અનંત ભૌમિતિક શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $S_{\infty} = \frac{1}{1 - 1/4}$.
$S_{\infty} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.

(C) પ્રથમ ફંક્શન મશીન ઇનપુટ $x$ લે છે,તેને બમણું કરે છે અને તેમાં $3$ ઉમેરે છે. આના પરિણામે મધ્યવર્તી કિંમત $2x + 3$ મળે છે.
બીજું ફંક્શન મશીન આ મધ્યવર્તી કિંમતને તેના ઇનપુટ તરીકે લે છે અને તેનું વર્ગમૂળ શોધે છે.
તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $z$ એ $z = \sqrt{2x + 3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x^3+3xy+y^3=1$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(3xy) + \frac{d}{dx}(y^3) = \frac{d}{dx}(1)$
$3x^2 + 3(y + x\frac{dy}{dx}) + 3y^2\frac{dy}{dx} = 0$
$3$ વડે ભાગતા: $x^2 + y + x\frac{dy}{dx} + y^2\frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}(x + y^2) = -(x^2 + y)$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x^2+y}{x+y^2}$
બિંદુ $(1,1)$ પર: $\frac{dy}{dx} = -\frac{1^2+1}{1+1^2} = -\frac{2}{2} = -1$. (વિકલ્પ $A$ સાચો છે).
બિંદુ $(1,0)$ પર: $\frac{dy}{dx} = -\frac{1^2+0}{1+0^2} = -\frac{1}{1} = -1$. (વિકલ્પ $C$ સાચો છે).
આમ,વિકલ્પ $A$ અને $C$ સાચા છે.

(A) આપેલ આકૃતિ પરથી,$\angle P$ અને $\angle Q$ એક સીધી રેખા પર રૈખિક જોડ બનાવે છે.
તેથી,$\angle P + \angle Q = 180^{\circ}$.
આપણને આપેલ છે કે $\angle P - \angle Q = 50^{\circ}$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(\angle P + \angle Q) + (\angle P - \angle Q) = 180^{\circ} + 50^{\circ}$
$2\angle P = 230^{\circ}$
$\angle P = 115^{\circ}$.
$\angle P$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$115^{\circ} + \angle Q = 180^{\circ}$
$\angle Q = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ}$.
આમ,$\angle P = 115^{\circ}$ અને $\angle Q = 65^{\circ}$.

(B) ચાલો ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને દરેક સંબંધનું મૂલ્યાંકન કરીએ:
$(A)\ \sin (90^{\circ}+\theta) = \cos \theta$ અને $\cos (-\theta) = \cos \theta$. તેથી,$\cos \theta = \cos \theta$. આ સાચું છે.
$(B)\ \sin (180^{\circ}-\theta) = \sin \theta$ અને $\cos (90^{\circ}-\theta) = \sin \theta$. તેથી,$\sin \theta = \sin \theta$. આ સાચું છે.
$(C)\ \sin (360^{\circ}-\theta) = -\sin \theta$ અને $\cos (360^{\circ}-\theta) = \cos \theta$. કારણ કે $-\sin \theta \neq \cos \theta$,આ ખોટું છે.
$(D)\ \sin (180^{\circ}+\theta) = -\sin \theta$ અને $\cos (90^{\circ}-\theta) = \sin \theta$. કારણ કે $-\sin \theta \neq \sin \theta$,આ ખોટું છે.
તેથી,માત્ર સંબંધ $(A)$ અને $(B)$ સાચા છે.

(B) આપેલ શ્રેણી એ અનંત ભૌમિતિક શ્રેણી $(GP)$ છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{4}$ છે.
અહીં $|r| < 1$ હોવાથી,અનંત પદોનો સરવાળો $S_{\infty}$ શોધવાનું સૂત્ર $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $S_{\infty} = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.

(B) $\sqrt{\sin 2x}$ નું વિકલન શોધવા માટે,આપણે ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીશું.
ધારો કે $y = \sqrt{\sin 2x} = (\sin 2x)^{1/2}$.
ચેઈન રૂલ લાગુ પાડતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{d(\sin 2x)} (\sin 2x)^{1/2} \cdot \frac{d}{dx} (\sin 2x)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(\sin 2x)^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}(\sin 2x)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{d}{dx}(\sin 2x) = \cos 2x \cdot 2$,તેથી આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(\sin 2x)^{-1/2} \cdot (2 \cos 2x)$.
અંશ અને છેદમાં રહેલા $2$ ઉડી જશે.
$\frac{dy}{dx} = \cos 2x(\sin 2x)^{-1/2}$.

(A) સંકલન $\int \frac{3}{(2-x)^2} \, dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $t = 2-x$.
તેથી,$dt = -dx$,જેનો અર્થ છે કે $dx = -dt$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{3}{t^2} (-dt) = -3 \int t^{-2} \, dt$.
ઘાતનો નિયમ $\int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$ વાપરતા:
$-3 \left( \frac{t^{-2+1}}{-2+1} \right) + C = -3 \left( \frac{t^{-1}}{-1} \right) + C$.
$= 3t^{-1} + C = \frac{3}{t} + C$.
$t = 2-x$ પાછું મૂકતા,આપણને $\frac{3}{2-x} + C$ મળે છે.