Basic Maths Questions in Hindi

(D) $x$ के सापेक्ष $\cos 4x^2$ का अवकलन ज्ञात करने के लिए,हम श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हैं।
मान लीजिए $u = 4x^2$,तो $\frac{d}{dx} (\cos u) = -\sin u \cdot \frac{du}{dx}$ होता है।
अतः,$\frac{d}{dx} (\cos 4x^2) = -\sin(4x^2) \cdot \frac{d}{dx}(4x^2)$।
चूंकि $\frac{d}{dx}(4x^2) = 4 \cdot 2x = 8x$ है,
इसलिए हमें $\frac{d}{dx} (\cos 4x^2) = -\sin(4x^2) \cdot 8x = -8x \sin 4x^2$ प्राप्त होता है।

(D) समाकलन $I = \int_{0}^{\pi/4} \sin(2x) \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम मानक समाकलन सूत्र $\int \sin(ax) \, dx = -\frac{\cos(ax)}{a} + C$ का उपयोग करते हैं।
दिए गए निश्चित समाकलन के लिए:
$I = \left[ -\frac{\cos(2x)}{2} \right]_{0}^{\pi/4}$
ऊपरी और निचली सीमाएँ रखने पर:
$I = -\frac{1}{2} \left[ \cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) - \cos(2 \cdot 0) \right]$
$I = -\frac{1}{2} \left[ \cos(\frac{\pi}{2}) - \cos(0) \right]$
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ और $\cos(0) = 1$:
$I = -\frac{1}{2} [0 - 1]$
$I = -\frac{1}{2} [-1] = \frac{1}{2}$.

(A) प्राकृतिक लघुगणक फलन $\log_e x$ (जिसे $\ln x$ के रूप में भी लिखा जाता है) का $x$ के सापेक्ष अवकलन कलन (calculus) का एक मानक परिणाम है।
अवकलन के नियम के अनुसार,$\frac{d}{dx}(\log_e x) = \frac{1}{x}$ होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) $\theta = 120^{\circ}$ पर त्रिकोणमितीय फलन $\cos\, \theta$ का मान सर्वसमिका $\cos(180^{\circ} - \theta) = -\cos\, \theta$ का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है।
यहाँ,$\cos\, 120^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 60^{\circ})$ है।
इस सर्वसमिका का उपयोग करने पर,यह $-\cos\, 60^{\circ}$ हो जाता है।
चूंकि $\cos\, 60^{\circ} = 0.5$ होता है,इसलिए $\cos\, 120^{\circ} = -0.5$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए $f(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x + 1$ है।
प्रथम अवकलन: $\frac{d}{dx} (4x^3 - 3x^2 + 2x + 1) = 12x^2 - 6x + 2$ है।
द्वितीय अवकलन: $\frac{d}{dx} (12x^2 - 6x + 2) = 24x - 6$ है।

(A) दिया गया समाकलन $I = \int_{-1}^{+1} t^{-3} \, dt$ है।
समाकलन के घात नियम के अनुसार,$\int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}$,हमें प्राप्त होता है:
$I = \left[ \frac{t^{-2}}{-2} \right]_{-1}^{+1} = \left[ -\frac{1}{2t^2} \right]_{-1}^{+1}$.
सीमाओं का मान रखने पर:
$I = \left( -\frac{1}{2(1)^2} \right) - \left( -\frac{1}{2(-1)^2} \right)$.
$I = -\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$.
ध्यान दें: फलन $f(t) = \frac{1}{t^3}$ में $t = 0$ पर एक अनंत असंततता (infinite discontinuity) है,जो $[-1, 1]$ अंतराल के भीतर स्थित है। इसलिए,गणितीय रूप से यह समाकलन अपसारी (divergent) है।

(C) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{dx}{\sqrt{2ax - x^2}}$ है।
हर में पूर्ण वर्ग बनाने पर: $2ax - x^2 = -(x^2 - 2ax) = -(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) = a^2 - (x - a)^2$।
अतः,$I = \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - (x - a)^2}} = \int \frac{dx}{a \sqrt{1 - (\frac{x-a}{a})^2}}$।
माना $u = \frac{x-a}{a} = \frac{x}{a} - 1$,तो $du = \frac{dx}{a}$,अर्थात $dx = a \, du$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$I = \int \frac{a \, du}{a \sqrt{1 - u^2}} = \int \frac{du}{\sqrt{1 - u^2}} = \sin^{-1}(u) + C = \sin^{-1} \left( \frac{x}{a} - 1 \right) + C$।
इसकी तुलना दिए गए सूत्र $a^n \sin^{-1} \left( \frac{x}{a} - 1 \right)$ से करने पर,हम देखते हैं कि $a^n = 1$,जिसका अर्थ है कि $a^n = a^0$।
अतः,$n = 0$।

(A) भिन्न $\frac{1}{2}$ दो समान भागों में से एक भाग को दर्शाता है।
इस भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए,हम अंश $(1)$ को हर $(2)$ से विभाजित करते हैं।
$1 \div 2 = 0.5$.
अतः,इसका मान $0.5$ है।

(C) दिया गया लघुगणक समीकरण: $log_{10} (xy) = 2$ है।
लघुगणक की परिभाषा के अनुसार,यदि $log_b (a) = c$ है,तो $a = b^c$ होता है।
इस परिभाषा को दिए गए समीकरण में लागू करने पर,जहाँ आधार $b = 10$,$a = xy$,और $c = 2$ है:
$xy = 10^2$।
मान की गणना करने पर: $xy = 100$।

(C) व्यंजक $\sin 30^\circ$ एक अचर मान को दर्शाता है,जिसका मान $\frac{1}{2}$ होता है।
चूंकि किसी भी अचर का $x$ के सापेक्ष अवकलन $0$ होता है,इसलिए $\frac{d}{dx}(\sin 30^\circ) = 0$ होगा।

(C) माना $y = {\left( \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \right)}^2$.
सर्वसमिका ${(a+b)}^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ का उपयोग करके विस्तार करने पर:
$y = {(\sqrt{x})}^2 + {\left( \frac{1}{\sqrt{x}} \right)}^2 + 2(\sqrt{x})\left( \frac{1}{\sqrt{x}} \right)$
$y = x + \frac{1}{x} + 2$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(x^{-1}) + \frac{d}{dx}(2)$
$\frac{dy}{dx} = 1 + (-1)x^{-2} + 0$
$\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{x^2}$.

(C) हमें निश्चित समाकल $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} \sin 2x \,dx$ का मान ज्ञात करना है।
समाकलन के सूत्र $\int \sin(ax) \,dx = -\frac{1}{a} \cos(ax) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \left[ -\frac{\cos 2x}{2} \right]_0^{\frac{\pi }{4}}$
सीमाओं को लागू करने पर:
$I = -\frac{1}{2} \left[ \cos(2 \cdot \frac{\pi }{4}) - \cos(2 \cdot 0) \right]$
$I = -\frac{1}{2} \left[ \cos(\frac{\pi }{2}) - \cos(0) \right]$
चूंकि $\cos(\frac{\pi }{2}) = 0$ और $\cos(0) = 1$ है:
$I = -\frac{1}{2} [0 - 1] = -\frac{1}{2} (-1) = 0.5$.

(D) दिया गया समीकरण $xy = c^2$ है,जहाँ $c$ एक स्थिरांक है।
हम $y$ को $x$ के पदों में $y = c^2 x^{-1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अब,घात नियम का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = c^2 \cdot (-1) \cdot x^{-2} = -\frac{c^2}{x^2}$.
चूंकि $c^2 = xy$,इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{xy}{x^2} = -\frac{y}{x}$.

(B) यह व्यंजक $a\, \sin\, \theta + b\, \cos\, \theta$ के रूप में है,जहाँ $a = -5$ और $b = 12$ है।
फलन $f(\theta) = a\, \sin\, \theta + b\, \cos\, \theta$ का अधिकतम मान ज्ञात करने का सूत्र $\sqrt{a^2 + b^2}$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
अधिकतम मान $= \sqrt{(-5)^2 + (12)^2}$
अधिकतम मान $= \sqrt{25 + 144}$
अधिकतम मान $= \sqrt{169}$
अधिकतम मान $= 13$.

(A) दिया गया है कि $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
हम जानते हैं कि $\tan \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}}$.
मान लीजिए लंब $1$ है और आधार $\sqrt{5}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,कर्ण = $\sqrt{1^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{1 + 5} = \sqrt{6}$ होगा।
चूंकि $\theta$ प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए सभी त्रिकोणमितीय अनुपात धनात्मक होंगे।
अतः,$\cos \theta = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{5}{6}}$।

(A) वक्र $y = f(x)$ की स्पर्श रेखा की ढाल अवकलज $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया फलन $y = \ln(\cos x)$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{d}{dx}(\cos x)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x$.
अब,$x = \frac{3\pi}{4}$ पर अवकलज का मान ज्ञात करने पर:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x = 3\pi/4} = -\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right)$.
चूंकि $\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1$,इसलिए:
$-\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -(-1) = 1$.
अतः,स्पर्श रेखा की ढाल $1$ है।

(C) दिया गया व्यंजक $y = \frac{10}{\sin x + \sqrt{3} \cos x}$ है।
$y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हमें हर $t = \sin x + \sqrt{3} \cos x$ का अधिकतम मान ज्ञात करना होगा।
व्यंजक $a \sin x + b \cos x$ का अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2}$ होता है।
यहाँ,$a = 1$ और $b = \sqrt{3}$ है।
अतः,$t_{\max} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$।
इसलिए,$y_{\min} = \frac{10}{t_{\max}} = \frac{10}{2} = 5$।

(A) दिए गए ग्राफ से,हम देख सकते हैं कि वक्र बिंदु $(0, 6)$ से होकर गुजरता है।
इसका अर्थ है कि जब $x = 0$ है,तो $y = 6$ है।
इन मानों को दिए गए समीकरण $y = 2 + ae^{-x}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$6 = 2 + ae^{-0}$
चूंकि $e^0 = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$6 = 2 + a(1)$
$6 = 2 + a$
$a = 6 - 2$
$a = 4$
अतः,$a$ का मान $4$ है।

(A) अवकलन $\frac{dy}{dx}$ किसी दिए गए बिंदु पर वक्र की स्पर्श रेखा की ढाल को दर्शाता है।
बिंदु $P$ पर,जो परवलय जैसे वक्र का न्यूनतम बिंदु है,स्पर्श रेखा एक क्षैतिज रेखा है।
एक क्षैतिज रेखा की ढाल $0$ होती है।
इसलिए,बिंदु $P$ पर,$\frac{dy}{dx}$ का मान $0$ है।

(C) हर में दिया गया व्यंजक $f(\theta) = \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$ है।
हम इसे $f(\theta) = 2 \left( \frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta \right) = 2 \sin(\theta + 60^\circ)$ के रूप में लिख सकते हैं।
$\sin(\theta + 60^\circ)$ का परिसर $[-1, 1]$ है।
इसलिए,हर $f(\theta)$ का परिसर $[-2, 2]$ है।
$F$ को न्यूनतम होने के लिए,हर को अपने अधिकतम धनात्मक मान पर होना चाहिए,जो कि $2$ है।
अतः,$F_{\min} = \frac{2}{2} = 1$.

(B) समाकलन $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{{2\omega }}} {5\,\sin \omega t} \,dt$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम इस प्रकार आगे बढ़ते हैं:
सबसे पहले,स्थिरांक $5$ को समाकलन से बाहर निकालें:
$I = 5 \int\limits_0^{\frac{\pi }{{2\omega }}} \sin \omega t \,dt$
याद रखें कि $\sin \omega t$ का $t$ के सापेक्ष समाकलन $-\frac{\cos \omega t}{\omega}$ होता है:
$I = 5 \left[ -\frac{\cos \omega t}{\omega} \right]_0^{\frac{\pi }{{2\omega }}}$
$I = -\frac{5}{\omega} \left[ \cos \omega t \right]_0^{\frac{\pi }{{2\omega }}}$
अब,सीमाओं (limits) को प्रतिस्थापित करें:
$I = -\frac{5}{\omega} \left[ \cos \left( \omega \cdot \frac{\pi}{2\omega} \right) - \cos(0) \right]$
$I = -\frac{5}{\omega} \left[ \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) - \cos(0) \right]$
चूंकि $\cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$ और $\cos(0) = 1$:
$I = -\frac{5}{\omega} [0 - 1]$
$I = -\frac{5}{\omega} [-1]$
$I = \frac{5}{\omega}$

(B) दिया गया समीकरण $\alpha = \frac{25}{50}$ है।
$\alpha$ का मान ज्ञात करने के लिए,अंश को हर से विभाजित करें।
$\alpha = \frac{25}{50} = \frac{1}{2} = 0.5$.
अतः,$\alpha$ का मान $0.5$ है।

(C) $x$ के सापेक्ष $\log(\log x)$ का अवकलन ज्ञात करने के लिए,हम श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हैं।
मान लीजिए $u = \log x$ है। तब व्यंजक $\frac{d}{dx} \log(u)$ हो जाता है।
श्रृंखला नियम के अनुसार,$\frac{d}{dx} \log(u) = \frac{d}{du} \log(u) \cdot \frac{du}{dx}$ होता है।
हम जानते हैं कि $\frac{d}{du} \log(u) = \frac{1}{u}$ और $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} \log x = \frac{1}{x}$ होता है।
इन मानों को वापस रखने पर,हमें $\frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \log x}$ प्राप्त होता है।
इसे $(x \log x)^{-1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया है $y = x + \frac{1}{x}$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(x^{-1})$
$\frac{dy}{dx} = 1 - x^{-2} = 1 - \frac{1}{x^2}$।
अब,दोनों पक्षों को $x^2$ से गुणा करने पर:
$x^2 \frac{dy}{dx} = x^2(1 - \frac{1}{x^2}) = x^2 - 1$।
हम जानते हैं कि $y = x + \frac{1}{x}$,इसलिए $xy = x(x + \frac{1}{x}) = x^2 + 1$।
इससे,$x^2 = xy - 1$।
$x^2$ का मान समीकरण $x^2 \frac{dy}{dx} = x^2 - 1$ में रखने पर:
$x^2 \frac{dy}{dx} = (xy - 1) - 1$
$x^2 \frac{dy}{dx} = xy - 2$
$x^2 \frac{dy}{dx} - xy + 2 = 0$।

(B) हम जानते हैं कि $\frac{1}{\sec x} = \cos x$ होता है।
अतः,व्यंजक $\frac{d}{dx}\left( \frac{\cos x}{x^4} \right)$ बन जाता है।
भागफल नियम $\frac{d}{dx}\left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = \cos x$ और $v = x^4$ है:
$\frac{d}{dx}\left( \frac{\cos x}{x^4} \right) = \frac{x^4(-\sin x) - \cos x(4x^3)}{(x^4)^2}$
$= \frac{-x^4 \sin x - 4x^3 \cos x}{x^8}$
$= \frac{-x^3(x \sin x + 4 \cos x)}{x^8}$
$= \frac{-(x \sin x + 4 \cos x)}{x^5}$.

(C) दी गई अभिव्यक्ति: $y = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!}$ है।
$\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष प्रत्येक पद का अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(1) + \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2!}\right) + \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3!}\right) + \dots + \frac{d}{dx}\left(\frac{x^n}{n!}\right)$।
घात नियम $\frac{d}{dx}(x^k) = kx^{k-1}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 0 + 1 + \frac{2x}{2!} + \frac{3x^2}{3!} + \dots + \frac{nx^{n-1}}{n!}$।
चूंकि $k! = k \times (k-1)!$,इसलिए $\frac{k}{k!} = \frac{1}{(k-1)!}$ होता है:
$\frac{dy}{dx} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$।
इसे $y$ की मूल अभिव्यक्ति के साथ तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि यह योग $y$ में से मूल श्रृंखला के अंतिम पद को घटाने के बराबर है:
$\frac{dy}{dx} = y - \frac{x^n}{n!}$।

(A) दी गई श्रेणी घातांकीय फलन $e^x$ का मैकलॉरिन श्रेणी विस्तार है।
अतः,$y = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + .....\infty = e^x$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^x)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $e^x$ का अवकलज $e^x$ होता है,इसलिए $\frac{dy}{dx} = e^x$ है।
$y$ के मूल व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = y$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $y = \frac{1}{a - z}$ है।
$\frac{dz}{dy}$ ज्ञात करने के लिए,हम पहले $z$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करेंगे।
$y = (a - z)^{-1}$.
$z$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dz} = -1 \cdot (a - z)^{-2} \cdot \frac{d}{dz}(a - z)$.
$\frac{dy}{dz} = -1 \cdot (a - z)^{-2} \cdot (-1) = (a - z)^{-2} = \frac{1}{(a - z)^2}$.
चूंकि $\frac{dz}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dz}}$,इसलिए:
$\frac{dz}{dy} = (a - z)^2$.
चूंकि $(a - z)^2 = (z - a)^2$,इसलिए अंतिम परिणाम $\frac{dz}{dy} = (z - a)^2$ है।

(A) दिया गया फलन $y = x \sin x$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\ln y = \ln(x \sin x)$।
लघुगणक के गुणधर्म $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ का उपयोग करने पर: $\ln y = \ln x + \ln(\sin x)$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{d}{dx}(\ln x) + \frac{d}{dx}(\ln(\sin x))$।
श्रृंखला नियम (chain rule) लागू करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} + \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x$।
व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} + \cot x$।

(A) तीन फलनों के गुणनफल का अवकलन ज्ञात करने के लिए,हम गुणन नियम (product rule) का उपयोग करते हैं: $\frac{d}{dx}(uvw) = u'vw + uv'w + uvw'$.
मान लीजिए $u = x^2$,$v = e^x$,और $w = \sin x$.
तब $u' = 2x$,$v' = e^x$,और $w' = \cos x$.
नियम लागू करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^2 e^x \sin x) = (2x)(e^x \sin x) + (x^2)(e^x \sin x) + (x^2)(e^x \cos x)$.
व्यंजक से $x e^x$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$= x e^x (2 \sin x + x \sin x + x \cos x)$.

(B) कोसाइन फलन,$\cos \theta$,एक त्रिकोणमितीय फलन है जो समकोण त्रिभुज में आसन्न भुजा और कर्ण के अनुपात को दर्शाता है।
$\theta = 0^{\circ}$ पर,$\cos 0^{\circ} = 1$ होता है।
$\theta = 90^{\circ}$ पर,$\cos 90^{\circ} = 0$ होता है।
जैसे-जैसे कोण $\theta$,$0^{\circ}$ से $90^{\circ}$ तक बढ़ता है,$\cos \theta$ का मान $1$ से घटकर $0$ हो जाता है।
अतः,इस अंतराल में $\theta$ के बढ़ने पर $\cos \theta$ का मान घटता है।

(B) यह व्यंजक $a \sin \theta + b \cos \theta$ के रूप में है।
इस व्यंजक का अधिकतम मान ज्ञात करने का सूत्र $\sqrt{a^2 + b^2}$ है।
यहाँ,$a = -5$ और $b = 12$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
अधिकतम मान $= \sqrt{(-5)^2 + (12)^2}$
$= \sqrt{25 + 144}$
$= \sqrt{169}$
$= 13$.
अतः,अधिकतम मान $13$ है।

(A) दिया गया है कि $\tan \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,कर्ण = $\sqrt{1^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{1 + 5} = \sqrt{6}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\theta$ प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए सभी त्रिकोणमितीय अनुपात धनात्मक होते हैं।
अतः,$\cos \theta = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{5}{6}}$.

(B) किसी बिंदु पर वक्र का ढाल उस बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा द्वारा $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बनाए गए कोण $\theta$ के टेंजेंट (tangent) द्वारा दिया जाता है,अर्थात $m = \tan \theta$।
जैसे-जैसे हम वक्र पर बिंदु $1$ से बिंदु $3$ की ओर बढ़ते हैं,स्पर्श रेखा अधिक खड़ी (steep) होती जाती है।
इसका अर्थ है कि स्पर्श रेखा द्वारा $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बनाया गया कोण $\theta$ बिंदु $1$ से $3$ तक जाने पर बढ़ता है (अर्थात $\theta_1 < \theta_2 < \theta_3$)।
चूंकि फलन $\tan \theta$,$0^\circ < \theta < 90^\circ$ के लिए एक वर्धमान फलन है,इसलिए $\tan \theta_1 < \tan \theta_2 < \tan \theta_3$ होगा।
अतः,$m_1 < m_2 < m_3$।

(A) किसी भी बिंदु पर ग्राफ का ढाल $\tan \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ उस बिंदु पर स्पर्शरेखा द्वारा धनात्मक $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।
$1$. $A$ से $B$ तक: स्पर्शरेखा $x$-अक्ष के साथ न्यून कोण बनाती है। जैसे-जैसे हम $A$ से $B$ की ओर बढ़ते हैं,कोण $\theta$ धनात्मक मान से घटकर शीर्ष बिंदु $B$ पर $0$ हो जाता है। इस अंतराल में $\tan \theta$ धनात्मक है और घट रहा है,इसलिए ढाल का परिमाण घटता है।
$2$. बिंदु $B$ पर: स्पर्शरेखा क्षैतिज है,इसलिए $\theta = 0^\circ$ और ढाल $0$ है।
$3$. $B$ से $C$ तक: स्पर्शरेखा $x$-अक्ष के साथ अधिक कोण (obtuse angle) बनाती है। जैसे-जैसे हम $B$ से $C$ की ओर बढ़ते हैं,कोण $\theta$ $0^\circ$ से बढ़कर $90^\circ$ की ओर जाता है। ढाल $(\tan \theta)$ ऋणात्मक है,लेकिन जैसे-जैसे कोण अधिक होता जाता है,उसका परिमाण $|\tan \theta|$ बढ़ता जाता है।
अतः,ढाल का परिमाण पहले घटता है ($A$ से $B$) और फिर बढ़ता है ($B$ से $C$)।
सही विकल्प $A$ है।

(C) उन बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए जहाँ वक्र $x$-अक्ष को काटता है,हम $y = 0$ रखते हैं।
दिया गया समीकरण: $x^2 - 3x + 2 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2 - 2x - x + 2 = 0$.
$x(x - 2) - 1(x - 2) = 0$.
$(x - 1)(x - 2) = 0$.
इससे हमें $x = 1$ और $x = 2$ मूल प्राप्त होते हैं।
अतः,वक्र $x$-अक्ष को $(1, 0)$ और $(2, 0)$ बिंदुओं पर काटता है।

(A) मूल बिंदु से होकर गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण $y = mx$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ ढाल है।
मान लीजिए कि बिंदु के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,भुज $(x)$ कोटि $(y)$ का दोगुना है।
इसलिए,$x = 2y$ है।
इस समीकरण को $y$ के लिए व्यवस्थित करने पर,हमें $y = \frac{x}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखा का समीकरण $y = \frac{x}{2}$ है।

(D) माना वर्ग की भुजा $a$ है। वर्ग का परिमाप $P$,$P = 4a$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष परिमाप में वृद्धि की दर ज्ञात करने के लिए,हम $P$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dP}{dt} = \frac{d}{dt}(4a) = 4 \left( \frac{da}{dt} \right)$.
दिया गया है कि भुजा में वृद्धि की दर $\frac{da}{dt} = 0.2\,cm/s$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{dP}{dt} = 4 \times 0.2 = 0.8\,cm/s$.
अतः,परिमाप में वृद्धि की दर $0.8\,cm/s$ है।

(D) दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ है,जिसमें प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{4}$ है।
चूंकि $|r| < 1$,इसलिए अनंत $GP$ के योग का सूत्र $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $S_{\infty} = \frac{1}{1 - 1/4}$।
$S_{\infty} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$।

(C) पहली फंक्शन मशीन इनपुट $x$ लेती है,उसे दोगुना करती है और उसमें $3$ जोड़ती है। इससे मध्यवर्ती मान $2x + 3$ प्राप्त होता है।
दूसरी फंक्शन मशीन इस मध्यवर्ती मान को अपने इनपुट के रूप में लेती है और उसका वर्गमूल निकालती है।
इसलिए,अंतिम आउटपुट $z$,$z = \sqrt{2x + 3}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(C) दिया गया समीकरण: $x^3+3xy+y^3=1$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(3xy) + \frac{d}{dx}(y^3) = \frac{d}{dx}(1)$
$3x^2 + 3(y + x\frac{dy}{dx}) + 3y^2\frac{dy}{dx} = 0$
$3$ से भाग देने पर: $x^2 + y + x\frac{dy}{dx} + y^2\frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}(x + y^2) = -(x^2 + y)$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x^2+y}{x+y^2}$
बिंदु $(1,1)$ पर: $\frac{dy}{dx} = -\frac{1^2+1}{1+1^2} = -\frac{2}{2} = -1$. (विकल्प $A$ सही है).
बिंदु $(1,0)$ पर: $\frac{dy}{dx} = -\frac{1^2+0}{1+0^2} = -\frac{1}{1} = -1$. (विकल्प $C$ सही है).
अतः,विकल्प $A$ और $C$ सही हैं.

(A) दी गई आकृति से,$\angle P$ और $\angle Q$ एक सीधी रेखा पर रैखिक युग्म बनाते हैं।
इसलिए,$\angle P + \angle Q = 180^{\circ}$।
हमें दिया गया है कि $\angle P - \angle Q = 50^{\circ}$।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(\angle P + \angle Q) + (\angle P - \angle Q) = 180^{\circ} + 50^{\circ}$
$2\angle P = 230^{\circ}$
$\angle P = 115^{\circ}$।
$\angle P$ का मान पहले समीकरण में रखने पर:
$115^{\circ} + \angle Q = 180^{\circ}$
$\angle Q = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ}$।
अतः,$\angle P = 115^{\circ}$ और $\angle Q = 65^{\circ}$।

(B) आइए त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके प्रत्येक संबंध का मूल्यांकन करें:
$(A)\ \sin (90^{\circ}+\theta) = \cos \theta$ और $\cos (-\theta) = \cos \theta$. अतः,$\cos \theta = \cos \theta$. यह सही है।
$(B)\ \sin (180^{\circ}-\theta) = \sin \theta$ और $\cos (90^{\circ}-\theta) = \sin \theta$. अतः,$\sin \theta = \sin \theta$. यह सही है।
$(C)\ \sin (360^{\circ}-\theta) = -\sin \theta$ और $\cos (360^{\circ}-\theta) = \cos \theta$. चूँकि $-\sin \theta \neq \cos \theta$,यह गलत है।
$(D)\ \sin (180^{\circ}+\theta) = -\sin \theta$ और $\cos (90^{\circ}-\theta) = \sin \theta$. चूँकि $-\sin \theta \neq \sin \theta$,यह गलत है।
इसलिए,केवल संबंध $(A)$ और $(B)$ सही हैं।

(B) दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ है,जिसमें प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{4}$ है।
चूंकि $|r| < 1$,अनंत तक योग $S_{\infty}$ का सूत्र $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $S_{\infty} = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.

(B) $\sqrt{\sin 2x}$ का अवकलन ज्ञात करने के लिए,हम चेन रूल का उपयोग करेंगे।
माना $y = \sqrt{\sin 2x} = (\sin 2x)^{1/2}$ है।
चेन रूल लागू करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{d(\sin 2x)} (\sin 2x)^{1/2} \cdot \frac{d}{dx} (\sin 2x)$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(\sin 2x)^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}(\sin 2x)$।
चूंकि $\frac{d}{dx}(\sin 2x) = \cos 2x \cdot 2$ होता है,इसलिए यह मान रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(\sin 2x)^{-1/2} \cdot (2 \cos 2x)$।
अंश और हर में मौजूद $2$ आपस में कट जाएंगे।
$\frac{dy}{dx} = \cos 2x(\sin 2x)^{-1/2}$।

(A) समाकलन $\int \frac{3}{(2-x)^2} \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं।
माना $t = 2-x$ है।
तब,$dt = -dx$,जिसका अर्थ है कि $dx = -dt$ है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$\int \frac{3}{t^2} (-dt) = -3 \int t^{-2} \, dt$ प्राप्त होता है।
घात नियम $\int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$ का उपयोग करने पर:
$-3 \left( \frac{t^{-2+1}}{-2+1} \right) + C = -3 \left( \frac{t^{-1}}{-1} \right) + C$ प्राप्त होता है।
$= 3t^{-1} + C = \frac{3}{t} + C$ है।
$t = 2-x$ वापस रखने पर,हमें $\frac{3}{2-x} + C$ प्राप्त होता है।