Non-uniform Circular Motion (Centrifugal/Centripetal and tangential Accelaration) Questions in Gujarati

(C) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,કણની ઝડપ અચળ રહે છે,પરંતુ વેગની દિશા માર્ગના દરેક બિંદુએ સતત બદલાતી રહે છે.
પ્રવેગને વેગમાં થતા ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તેથી દિશામાં થતો આ ફેરફાર પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે છે.
આ પ્રવેગ વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ હોય છે અને તેને કેન્દ્રગામી અથવા ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
તેથી,પ્રવેગ એ કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત આંતરિક ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગ છે.

(A) કોઈ પદાર્થને સમાન વર્તુળાકાર ગતિમાં રાખવા માટે,તેણે સતત તેના વેગની દિશા બદલવી પડે છે.
ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ,પદાર્થને તેની ગતિની સ્થિતિ (દિશા) બદલવા માટે બાહ્ય બળની જરૂર પડે છે.
આ બળ,જે વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે અને વેગ સદિશને લંબ હોય છે,તેને કેન્દ્રગામી બળ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો જવાબ $A$ છે.

(B) $m$ દળ ધરાવતો પદાર્થ જ્યારે $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $v$ જેટલી અચળ ઝડપથી ગતિ કરતો હોય,ત્યારે કેન્દ્ર તરફ લાગતા પ્રવેગને કેન્દ્રગામી પ્રવેગ કહેવામાં આવે છે,જેનું સૂત્ર $a_c = v^2/r$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $F$ એ દળ અને પ્રવેગનો ગુણાકાર છે $(F = ma)$.
તેથી,કેન્દ્રગામી બળનું મૂલ્ય $F_c = m \cdot a_c = m(v^2/r) = mv^2/r$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $(a_c)$ એ વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતા પદાર્થનો પ્રવેગ છે જે વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
જ્યારે કોઈ પદાર્થ $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગ પર $v$ જેટલી અચળ ઝડપથી ગતિ કરતો હોય,ત્યારે કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું મૂલ્ય નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a_c = \frac{v^2}{r}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(A) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 50\, cm$,પરિભ્રમણની સંખ્યા $N = 10$,સમય $t = 20\, s$.
આવૃત્તિ $n = \frac{N}{t} = \frac{10}{20} = 0.5\, Hz = \frac{1}{2}\, Hz$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a$ નું સૂત્ર $a = \omega^2 r = (2\pi n)^2 r = 4\pi^2 n^2 r$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $a = 4 \times (3.14)^2 \times (0.5)^2 \times 50$.
$a = 4 \times 9.8596 \times 0.25 \times 50$.
$a = 492.98\, cm/s^2 \approx 493\, cm/s^2$.

(A) વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતા પદાર્થનો પ્રવેગ એ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ છે,જેનું સૂત્ર $a = \frac{v^2}{r}$ છે.
અહીં,ઝડપ $v = 400 \, m/s$ અને ત્રિજ્યા $r = 160 \, m$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$a = \frac{(400)^2}{160} = \frac{160000}{160} = 1000 \, m/s^2$.
કારણ કે $1000 \, m/s^2 = 1 \, km/s^2$ થાય,તેથી સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a$ નું સૂત્ર $a = v\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ભ્રમણકક્ષાની ઝડપ છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
આપેલ છે કે નવી ઝડપ $v' = 2v$ અને નવો કોણીય વેગ $\omega' = \frac{\omega}{2}$ છે.
નવો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a'$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$a' = v' \times \omega' = (2v) \times \left( \frac{\omega}{2} \right) = v\omega = a$.
તેથી,કેન્દ્રગામી પ્રવેગ બદલાતો નથી.

(B) કેન્દ્રગામી બળનું સૂત્ર $F = \frac{mv^2}{R}$ છે.
અહીં દળ $m$ અને ઝડપ $v$ અચળ હોવાથી,કેન્દ્રગામી બળ $F$ એ ત્રિજ્યા $R$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $F \propto \frac{1}{R}$.
જો ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે $(R' = 2R)$,તો નવું બળ $F'$ એ $F' = \frac{mv^2}{2R} = \frac{1}{2} F$ થશે.
તેથી,કેન્દ્રગામી બળ અડધું થઈ જશે.

(B) કાર અનિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરી રહી છે.
પ્રવેગના બે ઘટકો છે:
$1$. સ્પર્શકીય પ્રવેગ $(a_t)$: આ ઝડપમાં થતો ફેરફાર છે,જે $a_t = 2 \ m/s^2$ આપેલ છે.
$2$. કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $(a_c)$: આ વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ હોય છે,જે $a_c = \frac{v^2}{r}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $a_c = \frac{(30)^2}{500} = \frac{900}{500} = 1.8 \ m/s^2$.
કુલ પ્રવેગ $(a)$ એ આ બે લંબ ઘટકોનો સદિશ સરવાળો છે:
$a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2} = \sqrt{(2)^2 + (1.8)^2} = \sqrt{4 + 3.24} = \sqrt{7.24} \approx 2.69 \ m/s^2$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,પ્રવેગ $2.7 \ m/s^2$ મળે છે.

(D) વર્તુળાકાર ગતિમાં,વેગ સદિશ હંમેશા વર્તુળાકાર પથને સ્પર્શક હોય છે,જેને સ્પર્શકીય દિશા કહેવામાં આવે છે.
અનિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,કણ પ્રવેગના બે ઘટકો અનુભવે છે:
$1$. કેન્દ્રગામી (ત્રિજ્યાવર્તી) પ્રવેગ $(a_r = v^2/r)$,જે વેગની દિશા બદલે છે.
$2$. સ્પર્શકીય પ્રવેગ $(a_t = dv/dt)$,જે વેગનું મૂલ્ય બદલે છે.
આમ,પ્રવેગ ત્રિજ્યાવર્તી અને સ્પર્શકીય બંને ઘટકો ધરાવે છે,જ્યારે વેગ સ્પર્શકીય રહે છે.

(D) કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $(a_c = v^2/r)$ એ વેગ સદિશની દિશા બદલવા માટે કોઈપણ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી છે.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $(a_t = dv/dt)$ એ વેગનું મૂલ્ય બદલવા માટે જવાબદાર છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ એ ઝડપ અને ત્રિજ્યા પર આધાર રાખે છે,અને સ્પર્શકીય પ્રવેગ એ ઝડપના ફેરફારના દર પર આધાર રાખે છે,તેથી તેમની વચ્ચે કોઈ નિશ્ચિત સંબંધ નથી.
અચળ વર્તુળાકાર ગતિમાં,$a_t = 0$ હોય છે જ્યારે $a_c \neq 0$ હોય છે.
અનિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,કણની ગતિશાસ્ત્રના આધારે બંનેના મૂલ્યો ગમે તે હોઈ શકે છે.
તેથી,કેન્દ્રગામી પ્રવેગ એ સ્પર્શકીય પ્રવેગ કરતા વધારે,ઓછો અથવા તેના જેટલો પણ હોઈ શકે છે.

(D) $1$. વર્તુળાકાર ગતિમાં,કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2$. વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતા કણ માટે,સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને વેગ સદિશ $\vec{v}$ વર્તુળના સમતલમાં હોય છે.
$3$. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,કોણીય વેગમાન સદિશ $\vec{L}$ વર્તુળના સમતલને લંબ (ભ્રમણાક્ષની દિશામાં) હોય છે.
$4$. ભલે ઝડપ $v$ ઘટતી હોય,પણ ભ્રમણાક્ષની દિશા વર્તુળાકાર પથના સમતલને લંબ સ્થિર રહે છે.
$5$. તેથી,કોણીય વેગમાન સદિશની દિશા અચળ રહે છે,જોકે ઝડપ બદલાતા તેનું મૂલ્ય બદલાય છે.

(D) જ્યારે કણ વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે,ત્યારે તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને વેગ સદિશ $\vec{v}$ વર્તુળના સમતલમાં હોય છે.
કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિ એક નિશ્ચિત સમતલમાં (વર્તુળના સમતલમાં) મર્યાદિત હોવાથી,જમણા હાથના નિયમ મુજબ સદિશ ગુણાકાર $\vec{r} \times \vec{v}$ હંમેશા સમતલને લંબ દિશામાં હોય છે.
ભલે કણની ઝડપ બદલાતી હોય,કોણીય વેગમાન સદિશની દિશા અચળ (ગતિના સમતલને લંબ) રહે છે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે કોણીય વેગમાનની દિશા અચળ રહે છે.

(D) પરિણામી પ્રવેગ $a$ નું સૂત્ર $a = \sqrt{a_T^2 + a_r^2}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $a = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \ m/s^2$.
સદિશ ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગ $a_r$ એ પાસેની બાજુ છે અને પરિણામી પ્રવેગ $a$ એ ખૂણા $\theta$ માટે કર્ણ છે.
તેથી,$\cos \theta = \frac{a_r}{a} = \frac{3}{5}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$,તેથી $\sec \theta = \frac{5}{3}$.

(B) કેન્દ્રગામી બળનું સૂત્ર $F = \frac{mv^2}{r}$ છે.
અહીં દળ $m$,ઝડપ $v$ અને ત્રિજ્યા $r$ માં $50\%$ નો વધારો થતો હોવાથી,નવા મૂલ્યો $m' = 1.5m$,$v' = 1.5v$ અને $r' = 1.5r$ થશે.
નવું કેન્દ્રગામી બળ $F'$ નીચે મુજબ મળે:
$F' = \frac{m' (v')^2}{r'} = \frac{(1.5m)(1.5v)^2}{1.5r} = \frac{1.5 \times 2.25}{1.5} \frac{mv^2}{r} = 2.25 F$.
બળમાં થતો ટકાવારી વધારો:
$\frac{F' - F}{F} \times 100\% = \frac{2.25F - F}{F} \times 100\% = 1.25 \times 100\% = 125\%$.

(B) કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = \frac{v^2}{r} = k^2 r t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,આપણે વેગ $v$ શોધી શકીએ છીએ:
$v^2 = k^2 r^2 t^2 \implies v = k r t$.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t$ એ ઝડપમાં થતો ફેરફાર છે:
$a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(k r t) = k r$.
બળ દ્વારા મળતો પાવર $P = F_t v$ છે,જ્યાં $F_t = m a_t$ એ સ્પર્શકીય બળ છે.
$P = (m a_t) v = m(k r)(k r t) = m k^2 r^2 t$.

(C) આપેલ છે,વેગ $v = 1.0t$ અને ત્રિજ્યા $r = 0.1 \ m$.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(1.0t) = 1.0 \ m/s^2$.
$t = 5 \ s$ સમયે,વેગ $v = 1.0 \times 5 = 5 \ m/s$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{5^2}{0.1} = \frac{25}{0.1} = 250 \ m/s^2$.
કુલ પ્રવેગ $a_{net} = \sqrt{a_c^2 + a_t^2} = \sqrt{250^2 + 1^2} = \sqrt{62500 + 1} = \sqrt{62501} \approx 250 \ m/s^2$.

(C) કાર વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે,તેથી તે બે પ્રકારના પ્રવેગ અનુભવે છે:
$1$. કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $(a_c)$,જે કેન્દ્ર તરફ હોય છે: $a_c = \frac{v^2}{r}$.
$2$. સ્પર્શક પ્રવેગ $(a_t)$,જે $a_t = g$ આપેલ છે.
આ બંને પ્રવેગ એકબીજાને લંબ હોવાથી,કુલ પ્રવેગ $(a_{net})$ એ બંનેનો સદિશ સરવાળો થશે:
$a_{net} = \sqrt{a_c^2 + a_t^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$a_{net} = \sqrt{(\frac{v^2}{r})^2 + g^2}$
$a_{net} = \sqrt{\frac{v^4}{r^2} + g^2} = [\frac{v^4}{r^2} + g^2]^{1/2}$.

(B) આપેલ છે: સ્પર્શક પ્રવેગ $a_t = 2 \, m/s^2$,વેગ $v = 30 \, m/s$,અને ત્રિજ્યા $r = 500 \, m$.
સૌ પ્રથમ,કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c$ ની ગણતરી $a_c = \frac{v^2}{r}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરો.
$a_c = \frac{30^2}{500} = \frac{900}{500} = 1.8 \, m/s^2$.
કુલ પ્રવેગ $a$ એ સ્પર્શક અને કેન્દ્રગામી પ્રવેગનો સદિશ સરવાળો છે,જે $a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2}$ દ્વારા મળે છે.
$a = \sqrt{2^2 + 1.8^2} = \sqrt{4 + 3.24} = \sqrt{7.24}$.
$a \approx 2.69 \, m/s^2$,જેનું મૂલ્ય આશરે $2.7 \, m/s^2$ થાય છે.

(B) આપેલ સ્થાનાંતર $S = \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3}$ છે.
વેગ $v = \frac{dS}{dt} = t + t^2$.
$t = 2 \, s$ સમયે,$v = 2 + (2)^2 = 6 \, m/s$.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t = \frac{dv}{dt} = 1 + 2t$.
$t = 2 \, s$ સમયે,$a_t = 1 + 2(2) = 5 \, m/s^2$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{6^2}{3} = \frac{36}{3} = 12 \, m/s^2$.
કુલ પ્રવેગ $a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, m/s^2$.

(A) આપેલ છે:
કુલ પ્રવેગ $a = 15 \, m s^{-2}$
ત્રિજ્યા $R = 2.5 \, m$
કુલ પ્રવેગ અને કેન્દ્રગામી પ્રવેગ વચ્ચેનો ખૂણો $30^{\circ}$ છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c$ એ કુલ પ્રવેગ $a$ નો વર્તુળના કેન્દ્ર તરફનો ઘટક છે.
આકૃતિ પરથી,$a_c = a \cos(30^{\circ})$.
$a_c = 15 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 15 \times 0.866 = 12.99 \, m s^{-2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = \frac{v^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ કણની ઝડપ છે.
તેથી,$v = \sqrt{a_c R}$.
$v = \sqrt{12.99 \times 2.5} = \sqrt{32.475} \approx 5.698 \, m/s$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $v \approx 5.7 \, m/s$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 50\, cm = 0.5\, m$,કોણીય પ્રવેગ $\alpha = 2.0\, rad\, s^{-2}$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$,અને સમય $t = 2.0\, s$.
સૌ પ્રથમ,$t = 2.0\, s$ સમયે કોણીય વેગ $\omega$ ની ગણતરી કરીએ: $\omega = \omega_0 + \alpha t = 0 + (2.0)(2.0) = 4.0\, rad\, s^{-1}$.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t = r\alpha = 0.5 \times 2.0 = 1.0\, m\, s^{-2}$ છે.
ત્રિજ્યાવર્તી (કેન્દ્રગામી) પ્રવેગ $a_r = \omega^2 r = (4.0)^2 \times 0.5 = 16 \times 0.5 = 8.0\, m\, s^{-2}$ છે.
કુલ પ્રવેગ $a = \sqrt{a_t^2 + a_r^2} = \sqrt{1.0^2 + 8.0^2} = \sqrt{1 + 64} = \sqrt{65} \approx 8.06\, m\, s^{-2}$.
નજીકના મૂલ્યને ધ્યાનમાં લેતા,કુલ પ્રવેગ આશરે $8.0\, m\, s^{-2}$ થાય છે.

(B) વર્તુળાકાર ગતિમાં,કાર બે પ્રકારના પ્રવેગ અનુભવે છે:
$1$. ત્રિજ્યાવર્તી (કેન્દ્રગામી) પ્રવેગ: $a_r = \frac{v^2}{r}$
$2$. સ્પર્શકીય પ્રવેગ: $a_t = a$ (ઝડપમાં થતા ફેરફારનો દર)
આ બંને પ્રવેગ એકબીજાને લંબ હોવાથી,પરિણામી પ્રવેગ $a_{net}$ નીચે મુજબ મળે:
$a_{net} = \sqrt{a_r^2 + a_t^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$a_{net} = \sqrt{\left(\frac{v^2}{r}\right)^2 + a^2} = \sqrt{\frac{v^4}{r^2} + a^2}$

(C) આપેલ આલેખ પરથી,સ્પર્શક પ્રવેગ $a_T$ એ સમય $t$ નું સુરેખ વિધેય છે જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે. રેખાનો ઢાળ $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ છે.
તેથી,$a_T = \sqrt{3} t$.
$a_T = \frac{dv}{dt}$ હોવાથી,$\frac{dv}{dt} = \sqrt{3} t$.
પ્રારંભિક વેગ $v(0) = 0$ સાથે સમયની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$v = \int_0^t \sqrt{3} t \ dt = \frac{\sqrt{3} t^2}{2}$ મળે.
કેન્દ્રગામી (ત્રિજ્યાવર્તી) પ્રવેગ $a_c = \frac{v^2}{r}$ છે. $r = 1 \ m$ આપેલ હોવાથી,$a_c = \frac{(\sqrt{3} t^2 / 2)^2}{1} = \frac{3 t^4}{4}$.
કુલ પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}$ એ ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}_c$ સાથે $\theta = 30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. $\vec{a}_c$ અને $\vec{a}_T$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$\tan \theta = \frac{a_T}{a_c}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3} t}{3 t^4 / 4} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4 \sqrt{3} t}{3 t^4} = \frac{4}{\sqrt{3} t^3}$.
તેથી,$t^3 = 4 \Rightarrow t = 4^{1/3} = 2^{2/3} \ s$.

(C) આપેલ આલેખ પરથી,સ્પર્શક પ્રવેગ $a_T$ એ સમય $t$ નું સુરેખ વિધેય છે જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ છે.
તેથી,$a_T = \sqrt{3} t$.
$a_T = \frac{dv}{dt}$ હોવાથી,$\frac{dv}{dt} = \sqrt{3} t$.
સમયની સાપેક્ષે સંકલન કરતા (પ્રારંભિક વેગ $v=0$ અને $t=0$ લેતા): $v = \int_{0}^{t} \sqrt{3} t \, dt = \frac{\sqrt{3}}{2} t^2$.
કેન્દ્રગામી (ત્રિજ્યાવર્તી) પ્રવેગ $a_c = \frac{v^2}{r}$ છે. $r = 1 \, m$ આપેલ હોવાથી,$a_c = \frac{(\frac{\sqrt{3}}{2} t^2)^2}{1} = \frac{3}{4} t^4$.
કુલ પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}$ એ ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગ $\vec{a}_c$ અને સ્પર્શક પ્રવેગ $\vec{a}_T$ નો સદિશ સરવાળો છે. $\vec{a}_c$ અને $\vec{a}_T$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,કુલ પ્રવેગ ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગ $\vec{a}_c$ સાથે જે ખૂણો $\theta$ બનાવે છે તે $\tan \theta = \frac{a_T}{a_c}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $\theta = 30^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\tan 30^{\circ} = \frac{a_T}{a_c}$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} t}{\frac{3}{4} t^4} = \frac{4 \sqrt{3} t}{3 t^4} = \frac{4}{\sqrt{3} t^3}$.
$t^3 = \frac{4 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4$.
$t = 4^{1/3} = (2^2)^{1/3} = 2^{2/3} \, s$.

(D) આપેલ છે કે ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગ $(a_r = v^2/R)$ અને સ્પર્શકીય પ્રવેગ $(a_t = dv/dt)$ ના મૂલ્યો સમાન છે:
$dv/dt = v^2/R$
સંકલન માટે પદોને ગોઠવતા:
$\int_{V_0}^{v} \frac{dv}{v^2} = \int_{0}^{t} \frac{dt}{R}$
$[-1/v]_{V_0}^{v} = t/R \Rightarrow 1/V_0 - 1/v = t/R \Rightarrow t = R(1/V_0 - 1/v) \dots(1)$
વળી,$a_t = v(dv/ds) = v^2/R$,જે સૂચવે છે કે $dv/v = ds/R$.
એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ માટે સંકલન કરતા ($s = 0$ થી $s = 2\pi R$):
$\int_{V_0}^{v} \frac{dv}{v} = \int_{0}^{2\pi R} \frac{ds}{R}$
$\ln(v/V_0) = 2\pi \Rightarrow v = V_0 e^{2\pi} \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $v$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$t = R/V_0 (1 - 1/e^{2\pi}) = R/V_0 (1 - e^{-2\pi})$.

(A) આપેલ છે કે,પથની લંબાઈ $s = t^3 + 5$.
વેગ $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 + 5) = 3t^2 \ m/s$.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2) = 6t \ m/s^2$.
ત્રિજ્યાવર્તી (કેન્દ્રગામી) પ્રવેગ $a_c = \frac{v^2}{R} = \frac{(3t^2)^2}{R} = \frac{9t^4}{R} \ m/s^2$.
$t = 2 \ s$ સમયે:
$a_t = 6 \times 2 = 12 \ m/s^2$.
$a_c = \frac{9 \times (2)^4}{20} = \frac{9 \times 16}{20} = \frac{144}{20} = 7.2 \ m/s^2$.
પરિણામી પ્રવેગ $a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2}$.
$a = \sqrt{(12)^2 + (7.2)^2} = \sqrt{144 + 51.84} = \sqrt{195.84} \approx 14 \ m/s^2$.

(C) ડિસ્કના ફરતા ફ્રેમમાં,જીવડું બે આભાસી બળો અનુભવે છે: કેન્દ્રત્યાગી બળ $F_c = m\omega^2r$ જે ત્રિજ્યાવર્તી બહારની તરફ લાગે છે અને કોરિઓલિસ બળ $F_{cor} = 2m(\vec{v} \times \vec{\omega})$ જે ત્રિજ્યાવર્તી વેગને લંબ લાગે છે.
ગ્રાઉન્ડ ફ્રેમમાં,જીવડાનો પ્રવેગ એ ત્રિજ્યાવર્તી અને સ્પર્શકીય ઘટકોનો સદિશ સરવાળો છે.
ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગ $a_r = -r\omega^2$ (કેન્દ્રગામી પ્રવેગ) છે.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t = 2v\omega$ છે (જેમ જીવડું ત્રિજ્યાવર્તી ગતિ કરે છે તેમ સ્પર્શકીય વેગમાં ફેરફારને કારણે).
કુલ પ્રવેગનું મૂલ્ય $a = \sqrt{a_r^2 + a_t^2} = \sqrt{(r\omega^2)^2 + (2v\omega)^2}$ છે.
કારણ કે $(2v\omega)^2 > 0$,તેથી મૂલ્ય $a = \sqrt{r^2\omega^4 + 4v^2\omega^2}$ એ સ્પષ્ટપણે $r\omega^2$ કરતા વધારે છે.

(B) પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}$ ને સ્પર્શકીય પ્રવેગ $\vec{a}_t$ અને કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $\vec{a}_c$ માં વિભાજિત કરી શકાય છે.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $\vec{a}_t$ એ વેગ સદિશ $\vec{v}$ (અને તેથી વેગમાન $\vec{p}$) ને સમાંતર હોય છે,જ્યારે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $\vec{a}_c$ એ $\vec{v}$ ને લંબ હોય છે.
ઝડપમાં થતા ફેરફારની પ્રકૃતિ નક્કી કરવા માટે આપણે $\vec{a}$ અને $\vec{p}$ નો અદિશ ગુણાકાર કરીએ:
$\vec{a} \cdot \vec{p} = (4\hat{i} + 3\hat{j}) \cdot (8\hat{i} - 6\hat{j}) = (4 \times 8) + (3 \times -6) = 32 - 18 = 14$.
અહીં $\vec{a} \cdot \vec{p} > 0$ હોવાથી,$\vec{a}$ અને $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો લઘુકોણ છે.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રવેગનો સ્પર્શકીય ઘટક વેગની દિશામાં છે,જેના કારણે કણની ઝડપમાં વધારો થાય છે.
તેથી,આ ગતિ પ્રવેગી વર્તુળાકાર ગતિ છે.

(B) આપેલ છે,$v = a\sqrt{s}$.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t = v \frac{dv}{ds}$.
અહીં $\frac{dv}{ds} = a \cdot \frac{1}{2\sqrt{s}} = \frac{a}{2\sqrt{s}}$ હોવાથી,$a_t = (a\sqrt{s}) \cdot (\frac{a}{2\sqrt{s}}) = \frac{a^2}{2}$ મળે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = \frac{v^2}{R} = \frac{(a\sqrt{s})^2}{R} = \frac{a^2 s}{R}$.
કુલ પ્રવેગ સદિશ અને વેગ સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ એ $\tan \alpha = \frac{a_c}{a_t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \alpha = \frac{a^2 s / R}{a^2 / 2} = \frac{2s}{R}$.

(B) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,પદાર્થ અચળ ઝડપે વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે.
ઝડપ અચળ હોવા છતાં,વેગની દિશા દરેક બિંદુએ બદલાય છે,જેનો અર્થ છે કે પદાર્થ પ્રવેગી ગતિ કરે છે.
આ પ્રવેગને કેન્દ્રગામી પ્રવેગ કહેવામાં આવે છે,જે વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $(F = ma)$ મુજબ,પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ પ્રવેગની દિશામાં જ હોવું જોઈએ.
તેથી,પરિણામી બળ (કેન્દ્રગામી બળ) વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે,જે હંમેશા તાત્કાલિક વેગ (ગતિની દિશા) ને લંબ હોય છે.
ઝડપ $(v)$ અને ત્રિજ્યા $(r)$ અચળ હોવાથી,કેન્દ્રગામી બળનું મૂલ્ય $(F = mv^2/r)$ અચળ રહે છે.

(C) સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t = 2 \ m/s^2$ આપેલ છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું સૂત્ર $a_c = \frac{v^2}{r}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$a_c = \frac{30^2}{500} = \frac{900}{500} = 1.8 \ m/s^2$.
પરિણામી પ્રવેગ $a_{net}$ એ સ્પર્શકીય અને કેન્દ્રગામી પ્રવેગનો સદિશ સરવાળો છે,જે $a_{net} = \sqrt{a_t^2 + a_c^2}$ દ્વારા મળે છે.
$a_{net} = \sqrt{2^2 + 1.8^2} = \sqrt{4 + 3.24} = \sqrt{7.24} \approx 2.69 \ m/s^2$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,પરિણામી પ્રવેગ $2.7 \ m/s^2$ મળે છે.

(B) આપેલ ગતિઊર્જા $k = \frac{1}{2}mv^2 = as^2$ છે.
આના પરથી,વેગ $v = s\sqrt{\frac{2a}{m}}$ મળે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_R = \frac{v^2}{R} = \frac{2as^2}{mR}$ છે.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t = \frac{dv}{dt} = v\frac{dv}{ds}$ છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા,$a_t = \left(s\sqrt{\frac{2a}{m}}\right) \frac{d}{ds}\left(s\sqrt{\frac{2a}{m}}\right) = s\left(\frac{2a}{m}\right) = \frac{2as}{m}$ મળે.
કુલ પ્રવેગ $a_{net} = \sqrt{a_R^2 + a_t^2} = \sqrt{\left(\frac{2as^2}{mR}\right)^2 + \left(\frac{2as}{m}\right)^2}$ છે.
સાદુરૂપ આપતા,$a_{net} = \frac{2as}{m} \sqrt{\frac{s^2}{R^2} + 1}$ મળે.
કુલ બળ $F = m \cdot a_{net} = 2as \sqrt{1 + \frac{s^2}{R^2}}$ થાય.

(C) વર્તુળાકાર ગતિમાં,સ્પર્શકીય પ્રવેગ $\vec a_t$ એ પથના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે,અને કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $\vec a_c$ એ ત્રિજ્યાની દિશામાં વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
સ્પર્શક એ ત્રિજ્યાને લંબ હોવાથી,$\vec a_t$ અને $\vec a_c$ એકબીજાને લંબ છે. તેથી,$\vec a_t \cdot \vec a_c = 0$.
વેગ સદિશ $\vec v$ હંમેશા પથના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે. કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $\vec a_c$ એ કેન્દ્ર તરફ (ત્રિજ્યાની દિશામાં) હોવાથી,$\vec a_c$ હંમેશા $\vec v$ ને લંબ હોય છે. તેથી,$\vec a_c \cdot \vec v = 0$.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $\vec a_t$ એ વેગ સદિશ $\vec v$ ને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોય છે. જો ઝડપ વધતી હોય,તો $\vec a_t$ અને $\vec v$ સમાન દિશામાં હોય છે,તેથી $\vec a_t \cdot \vec v > 0$. જો ઝડપ ઘટતી હોય,તો $\vec a_t$ અને $\vec v$ વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે,તેથી $\vec a_t \cdot \vec v < 0$. આમ,$\vec a_t \cdot \vec v$ ધન અથવા ઋણ હોઈ શકે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિધાન $\vec a_c \cdot \vec v$ ધન અથવા ઋણ હોઈ શકે છે તે ખોટું છે કારણ કે $\vec a_c \cdot \vec v$ હંમેશા શૂન્ય હોય છે.

(B) કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c$ નું સૂત્ર $a_c = v^2/r$ છે.
આપેલ છે કે $a_c = 4/r^2$,તેથી બંને પદોને સરખાવતા:
$v^2/r = 4/r^2$
$v^2 = 4/r$
$v = 2/\sqrt{r}$
કણનું વેગમાન $P$ એ $P = mv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા:
$P = m \times (2/\sqrt{r}) = 2m/\sqrt{r}$.

(D) આપેલ સ્પર્શક પ્રવેગ $a_t = K^2rt^2$ છે.
$a_t = \frac{dv}{dt}$ હોવાથી,$dv = K^2rt^2 dt$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int dv = \int K^2rt^2 dt$,જે $v = \frac{K^2rt^3}{3}$ આપે છે.
વેગ $v$ સમય સાથે બદલાતો હોવાથી,કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = \frac{v^2}{r}$ અચળ નથી.
કોઈ બળ $\vec{F}$ દ્વારા અપાતો પાવર $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રગામી બળ $\vec{F}_c$ હંમેશા વર્તુળાકાર પથના કેન્દ્ર તરફ હોય છે,જ્યારે વેગ સદિશ $\vec{v}$ હંમેશા પથને સ્પર્શક હોય છે.
તેથી,$\vec{F}_c$ અને $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો હંમેશા $90^\circ$ હોય છે.
આમ,કેન્દ્રગામી બળ દ્વારા અપાતો પાવર $P_c = \vec{F}_c \cdot \vec{v} = F_c v \cos(90^\circ) = 0$ થાય છે.

(C) કાર અનિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરી રહી છે,તેથી તેના પ્રવેગના બે ઘટકો છે: સ્પર્શકીય પ્રવેગ $(a_t)$ અને કેન્દ્રગામી (ત્રિજ્યાવર્તી) પ્રવેગ $(a_c)$.
આપેલ છે: ઝડપ $v = 40\,m/s$,ત્રિજ્યા $r = 400\,m$,અને સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t = 3\,m/s^2$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગની ગણતરી આ મુજબ થાય છે: $a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{40^2}{400} = \frac{1600}{400} = 4\,m/s^2$.
કુલ પ્રવેગ $a$ એ આ લંબ ઘટકોનો સદિશ સરવાળો છે: $a = \sqrt{a_c^2 + a_t^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $a = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\,m/s^2$.

(D) વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતા કણનો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_{cp} = \frac{v^2}{r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,ઝડપ $v$ છે,તેથી પ્રારંભિક કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_1 = \frac{v^2}{r}$ છે.
અંતમાં,ઝડપ $2v$ છે,તેથી અંતિમ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_2 = \frac{(2v)^2}{r} = \frac{4v^2}{r}$ છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $a_2 = 4 \times \left(\frac{v^2}{r}\right) = 4a_1$ મળે છે.
તેથી,કેન્દ્રગામી પ્રવેગમાં $4$ ગણો ફેરફાર થયો છે.

(B) વર્તુળાકાર ગતિમાં,વેગ સદિશ $\vec{v}$,કોણીય વેગ સદિશ $\vec{\omega}$ અને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ છે.
પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}$ એ વેગ સદિશનું સમયની સાપેક્ષ વિકલન છે: $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec{\omega} \times \vec{r})$.
વિકલનના ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\vec{a} = \frac{d\vec{\omega}}{dt} \times \vec{r} + \vec{\omega} \times \frac{d\vec{r}}{dt}$.
અહીં $\frac{d\vec{\omega}}{dt} = \vec{\alpha}$ (કોણીય પ્રવેગ) અને $\frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{v}$ હોવાથી,$\vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r} + \vec{\omega} \times \vec{v}$ થાય.
નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ માટે,કોણીય પ્રવેગ $\vec{\alpha} = 0$ હોય છે,તેથી પ્રવેગ સંપૂર્ણપણે કેન્દ્રગામી હોય છે: $\vec{a}_c = \vec{\omega} \times \vec{v}$.

(D) કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d}{dt}(a - bt) = -b$ છે.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t = R\alpha = -Rb$ છે.
$t = \frac{2a}{b}$ સમયે,કોણીય વેગ $\omega = a - b(\frac{2a}{b}) = a - 2a = -a$ થાય છે.
ત્રિજ્યાવર્તી (કેન્દ્રગામી) પ્રવેગ $a_r = R\omega^2 = R(-a)^2 = Ra^2$ છે.
કુલ પ્રવેગનું મૂલ્ય $a = \sqrt{a_t^2 + a_r^2} = \sqrt{(-Rb)^2 + (Ra^2)^2} = \sqrt{R^2b^2 + R^2a^4} = R\sqrt{a^4 + b^2}$ થાય છે.

(C) પદાર્થ અનિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે,તેથી તેની પાસે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $(a_c)$ અને સ્પર્શકીય પ્રવેગ $(a_t)$ બંને છે.
આપેલ છે: વેગ $v = 30\, m/s$,ત્રિજ્યા $r = 450\, m$,અને સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t = 2\, m/s^2$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{30^2}{450} = \frac{900}{450} = 2\, m/s^2$.
પરિણામી પ્રવેગ $a = \sqrt{a_c^2 + a_t^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $a = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} \approx 2.828\, m/s^2$.
આમ,પ્રવેગ આશરે $2.8\, m/s^2$ છે.

(A) અનિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,કુલ પ્રવેગ $a$ એ ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગ $a_r$ અને સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t$ નો સદિશ સરવાળો છે. આ બંને ઘટકો એકબીજાને લંબ હોવાથી,પરિણામી પ્રવેગનું મૂલ્ય $a = \sqrt{a_r^2 + a_t^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $a = 5\, ms^{-2}$.
વિકલ્પ $A$ તપાસતા: $a_r = 3\, ms^{-2}$ અને $a_t = 4\, ms^{-2}$.
$a = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\, ms^{-2}$.
આ આપેલ કુલ પ્રવેગ સાથે મેળ ખાય છે. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) વર્તુળાકાર ગતિમાં,વેગ સદિશ હંમેશા વર્તુળાકાર પથના સ્પર્શક દિશામાં હોય છે,જેને સ્પર્શકીય (transverse) દિશા પણ કહેવામાં આવે છે.
સમાન પ્રવેગી વર્તુળાકાર ગતિ માટે,કણ બે પ્રકારના પ્રવેગ અનુભવે છે:
$1$. ત્રિજ્યાવર્તી (કેન્દ્રગામી) પ્રવેગ $(a_r = v^2/r)$,જે વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
$2$. સ્પર્શકીય પ્રવેગ $(a_t = dv/dt)$,જે સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
આમ,બંને ત્રિજ્યાવર્તી અને સ્પર્શકીય પ્રવેગ હાજર હોવાથી,કુલ પ્રવેગ ત્રિજ્યાવર્તી અને સ્પર્શકીય બંને ઘટકો ધરાવે છે.

(B) કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કણ વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતો હોવાથી,સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને વેગ સદિશ $\vec{v}$ હંમેશા પરસ્પર લંબ હોય છે. કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય $L = mvr$ છે. રેખીય ઝડપ $v$ ઘટતી હોવાથી,કોણીય વેગમાન $L$ નું મૂલ્ય સંરક્ષિત રહેતું નથી.
જોકે,સમતલમાં વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતા કણ માટે,કોણીય વેગમાન સદિશ $\vec{L}$ ની દિશા ગતિના સમતલને લંબ હોય છે (જમણા હાથના નિયમ દ્વારા નક્કી થાય છે). જ્યાં સુધી કણ તે જ વર્તુળાકાર માર્ગ પર રહે છે,ત્યાં સુધી $\vec{L}$ ની દિશા અચળ રહે છે.
કણ વર્તુળાકાર માર્ગ પર મર્યાદિત હોવાથી,તે કેન્દ્ર તરફ સર્પાકાર ગતિ કરી શકતો નથી. ઝડપ બદલાતી હોવાથી,કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c$ ઉપરાંત સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t$ પણ હોય છે. તેથી,પરિણામી પ્રવેગ કેન્દ્ર તરફ હોતો નથી. આમ,માત્ર કોણીય વેગમાનની દિશા જ સંરક્ષિત રહે છે.

(A) દોરીની લંબાઈ,$r = 80\; cm = 0.8\; m$.
પરિભ્રમણની સંખ્યા $= 14$,લીધેલ સમય $= 25\; s$.
આવૃત્તિ,$\nu = \frac{\text{પરિભ્રમણની સંખ્યા}}{\text{લીધેલ સમય}} = \frac{14}{25}\; Hz$.
કોણીય આવૃત્તિ,$\omega = 2\pi\nu = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{14}{25} = \frac{88}{25}\; rad/s = 3.52\; rad/s$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ,$a_c = \omega^2 r = (3.52)^2 \times 0.8$.
$a_c = 12.3904 \times 0.8 = 9.91232\; m/s^2 \approx 9.91\; m/s^2$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગની દિશા હંમેશા વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ ત્રિજ્યાની દિશામાં હોય છે.

(N/A) સાયકલ સવારની ઝડપ,$v = 27 \; km/h = 7.5 \; m/s$.
વર્તુળાકાર વળાંકની ત્રિજ્યા,$r = 80 \; m$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ નીચે મુજબ મળે છે:
$a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{(7.5)^2}{80} = 0.703 \; m/s^2 \approx 0.7 \; m/s^2$.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_T = 0.5 \; m/s^2$ આપેલ છે.
$a_c$ અને $a_T$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,પરિણામી પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ મળે:
$a = \sqrt{a_c^2 + a_T^2} = \sqrt{(0.7)^2 + (0.5)^2} = \sqrt{0.49 + 0.25} = \sqrt{0.74} \approx 0.86 \; m/s^2$.
ધારો કે $\theta$ એ પરિણામી પ્રવેગ અને કેન્દ્રગામી પ્રવેગની દિશા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\tan \theta = \frac{a_T}{a_c} = \frac{0.5}{0.7} = 0.714$.
$\theta = \tan^{-1}(0.714) \approx 35.5^{\circ}$ કેન્દ્રગામી પ્રવેગની દિશા સાથે.

(A) વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતા પદાર્થનો પ્રવેગ એ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ છે,જેનું સૂત્ર $a_c = \frac{v^2}{r}$ છે.
આપેલ છે:
ઝડપ $v = 50\, m s^{-1}$
ત્રિજ્યા $r = 250\, m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$a_c = \frac{(50)^2}{250} = \frac{2500}{250} = 10\, m s^{-2}$.
આમ,પ્રવેગ $10\, m s^{-2}$ છે.

(A) દ્રઢ પદાર્થમાં,તમામ કણો કોઈપણ ક્ષણે સમાન કોણીય વેગ $\omega$ સાથે સમાન પરિભ્રમણ અક્ષની આસપાસ ફરે છે. જો દ્રઢ પદાર્થનો કોણીય વેગ $\omega$ અચળ ન હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે પદાર્થ પાસે કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{d\omega}{dt} \neq 0$ છે. કણ દ્રઢ પદાર્થનો ભાગ હોવાથી,તે અક્ષની આસપાસ ફરતો હોવો જોઈએ. બદલાતા કોણીય વેગ $\omega$ સાથે ફરતો કણ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $(a_c = \omega^2 r)$ અને સ્પર્શકીય પ્રવેગ $(a_t = \alpha r)$ બંને અનુભવે છે. પ્રવેગનું આ સંયોજન અનિયમિત વર્તુળાકાર ગતિને દર્શાવે છે.

(C) વર્તુળાકાર ગતિમાં,રેખીય પ્રવેગ $\vec{a}$ ના બે ઘટકો હોય છે:
$1$. સ્પર્શીય પ્રવેગ $\vec{a}_t$,જે વર્તુળાકાર પથના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
$2$. ત્રિજ્યાવર્તી (કેન્દ્રગામી) પ્રવેગ $\vec{a}_r$,જે ત્રિજ્યાની દિશામાં વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
કોઈપણ બિંદુએ વર્તુળનો સ્પર્શક તે બિંદુએ ત્રિજ્યાને હંમેશા લંબ હોવાથી,સ્પર્શીય ઘટક $\vec{a}_t$ અને ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક $\vec{a}_r$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય છે.

(N/A) પ્રવેગનો ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક,જેને કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $(a_r = v^2/r)$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે કણના રેખીય વેગની દિશા બદલવા માટે જવાબદાર છે.
પ્રવેગનો સ્પર્શીય ઘટક $(a_t = dv/dt)$ એ કણના રેખીય વેગના મૂલ્ય (ઝડપ) માં ફેરફાર કરવા માટે જવાબદાર છે.