Non-uniform Circular Motion (Centrifugal/Centripetal and tangential Accelaration) Questions in Gujarati

(N/A) ના,સ્પર્શીય પ્રવેગ હંમેશા શૂન્ય હોતો નથી. સ્પર્શીય પ્રવેગ $a_t$ એ વેગના મૂલ્યમાં થતા ફેરફારનો દર છે,જે $a_t = \frac{dv}{dt} = r \alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે.
જો કણ અચળ ઝડપથી ગતિ કરતો હોય (નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ),તો $\frac{dv}{dt} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $a_t = 0$.
જો કણ બદલાતી ઝડપ સાથે ગતિ કરતો હોય (અનિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ),તો $\alpha \neq 0$ થાય અને સ્પર્શીય પ્રવેગ શૂન્ય હોતો નથી.

(A) વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતા પદાર્થનો પ્રવેગ કેન્દ્રગામી પ્રવેગના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a = \frac{v^2}{r}$
આપેલ છે:
ઝડપ $v = 4 \, m/s$
ત્રિજ્યા $r = 2 \, m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$a = \frac{(4)^2}{2} = \frac{16}{2} = 8 \, m/s^2$
આમ,ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવેગ $8 \, m/s^2$ છે.

(A) વર્તુળાકાર ગતિમાં,પ્રવેગ સદિશ $\overrightarrow{a}$ ને બે ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $\overrightarrow{a}_c$ (વેગને લંબ) અને સ્પર્શકીય પ્રવેગ $\overrightarrow{a}_t$ (વેગને સમાંતર).
આપેલ છે કે $\overrightarrow{v} = 2 \hat{i} \text{ m/s}$ અને $\overrightarrow{a} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} \text{ m/s}^2$.
વેગને લંબ પ્રવેગનો ઘટક એ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c$ છે.
અહીં $\overrightarrow{v}$ એ $\hat{i}$ દિશામાં હોવાથી,$\overrightarrow{v}$ ને લંબ પ્રવેગનો ઘટક એ $\hat{j}$ ઘટક છે,જે $a_c = 4 \text{ m/s}^2$ છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું સૂત્ર $a_c = \frac{v^2}{R}$ છે,જ્યાં $R$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
$R$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$R = \frac{v^2}{a_c}$.
કિંમતો મૂકતા: $R = \frac{(2)^2}{4} = \frac{4}{4} = 1 \text{ m}$.

(A) બળ દ્વારા આપવામાં આવતો પાવર $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
કણની ઝડપ વધી રહી હોવાથી,કણ પર લાગતા કુલ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય ધન હોવું જોઈએ.
વર્તુળાકાર ગતિમાં,કુલ બળ $\vec{F}$ ને બે ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: કેન્દ્રગામી બળ $\vec{F}_c$ (કેન્દ્ર તરફ) અને સ્પર્શકીય બળ $\vec{F}_t$ (સ્પર્શકની દિશામાં).
કેન્દ્રગામી બળ $\vec{F}_c$ હંમેશા વેગ $\vec{v}$ ને લંબ હોય છે,તેથી $\vec{F}_c \cdot \vec{v} = 0$.
સ્પર્શકીય બળ $\vec{F}_t$ એ ઝડપમાં થતા ફેરફાર માટે જવાબદાર છે. ઝડપ વધી રહી હોવાથી,$\vec{F}_t$ એ વેગ $\vec{v}$ ની દિશામાં જ હોવું જોઈએ.
તેથી,$\vec{F} \cdot \vec{v} = (\vec{F}_c + \vec{F}_t) \cdot \vec{v} = \vec{F}_c \cdot \vec{v} + \vec{F}_t \cdot \vec{v} = 0 + F_t v = F_t v > 0$.
આમ,$\vec{F} \cdot \vec{v} > 0$.

(C) કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{20^2}{80} = \frac{400}{80} = 5 \, m/s^2$ છે.
ઝડપ ઘટી રહી હોવાથી,સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t$ વેગ સદિશની વિરુદ્ધ દિશામાં છે,તેથી $a_t = -5 \, m/s^2$.
કુલ પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}$ એ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $\vec{a}_c$ (કેન્દ્ર તરફ) અને સ્પર્શકીય પ્રવેગ $\vec{a}_t$ (વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં) નો સદિશ સરવાળો છે.
કુલ પ્રવેગ $\vec{a}$ અને સ્પર્શકીય પ્રવેગ $\vec{a}_t$ વચ્ચેનો ખૂણો $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{a_c}{|a_t|} = \frac{5}{5} = 1$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\phi = 45^{\circ}$.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $\vec{a}_t$ એ વેગ $\vec{v}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,$\vec{a}_t$ અને $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ}$ છે.
તેથી,કુલ પ્રવેગ $\vec{a}$ અને વેગ $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$ થાય.

(B) આપેલ છે,$s = 2t^3$ અને ત્રિજ્યા $R = 12 \, m$.
વેગ $v$ એ પથ પરના અંતરના ફેરફારનો દર છે: $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^3) = 6t^2$.
$t = 2 \, s$ સમયે,વેગ $v = 6(2)^2 = 24 \, m/s$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = \frac{v^2}{R} = \frac{24^2}{12} = \frac{576}{12} = 48 \, m/s^2$.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t$ એ ઝડપના ફેરફારનો દર છે: $a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(6t^2) = 12t$.
$t = 2 \, s$ સમયે,સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t = 12(2) = 24 \, m/s^2$.
સ્પર્શકીય અને કેન્દ્રગામી પ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{a_t}{a_c} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$,એટલે કે $1: 2$ છે.

(C) અનિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,કુલ પ્રવેગ $\vec{a}$ એ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $\vec{a}_c$ અને સ્પર્શકીય પ્રવેગ $\vec{a}_T$ નો સદિશ સરવાળો છે,એટલે કે $\vec{a} = \vec{a}_c + \vec{a}_T$.
$1$. કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $\vec{a}_c$ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે,જે વેગ સદિશ $\vec{v}$ સાથે $90^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
$2$. સ્પર્શકીય પ્રવેગ $\vec{a}_T$ સ્પર્શકની દિશામાં કાર્ય કરે છે. ઝડપ ઘટતી હોવાથી,$\vec{a}_T$ એ વેગ સદિશ $\vec{v}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે,જે તેની સાથે $180^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
$3$. પરિણામી પ્રવેગ $\vec{a}$ એ $\vec{a}_c$ અને $\vec{a}_T$ ની દિશાઓની વચ્ચે હોય છે. તેથી,વેગ $\vec{v}$ અને કુલ પ્રવેગ $\vec{a}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $90^{\circ}$ કરતા વધારે ($\vec{a}_c$ ને કારણે) અને $180^{\circ}$ કરતા ઓછો ($\vec{a}_T$ ને કારણે) હોવો જોઈએ.
આમ,$90^{\circ} < \theta < 180^{\circ}$.

(B) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $R = 600\,m$,પ્રારંભિક ઝડપ $u = 54\,km/h = 15\,m/s$.
સ્પર્શક પ્રવેગ $a_t = \frac{dv}{dt} = v\frac{dv}{ds}$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = \frac{v^2}{R}$.
આપેલ છે કે $a_t = a_c$,તેથી $v\frac{dv}{ds} = \frac{v^2}{R} \Rightarrow \frac{dv}{v} = \frac{ds}{R}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int_{15}^{v} \frac{dv}{v} = \int_{0}^{s} \frac{ds}{R} \Rightarrow \ln(\frac{v}{15}) = \frac{s}{R} \Rightarrow v = 15e^{s/R}$.
કારણ કે $v = \frac{ds}{dt}$,આપણી પાસે $\frac{ds}{dt} = 15e^{s/R} \Rightarrow e^{-s/R} ds = 15 dt$ છે.
પ્રથમ ચતુર્થાંશ પરિભ્રમણ માટે સમય $T$ શોધવા માટે,$s$ ની કિંમત $0$ થી $\frac{\pi R}{2}$ સુધી લેવી.
$\int_{0}^{\pi R/2} e^{-s/R} ds = \int_{0}^{T} 15 dt$.
$[-R e^{-s/R}]_{0}^{\pi R/2} = 15T$.
$-R(e^{-\pi/2} - 1) = 15T \Rightarrow R(1 - e^{-\pi/2}) = 15T$.
$T = \frac{600}{15}(1 - e^{-\pi/2}) = 40(1 - e^{-\pi/2})$.
$t(1 - e^{-\pi/2})$ સાથે સરખાવતા,આપણને $t = 40$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $R = 180 \, cm = 1.8 \, m$. આવૃત્તિ $f = \frac{28}{60} \, Hz$. કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi f = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{28}{60} = \frac{44}{15} \, rad/s$. કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a = \omega^2 R$ છે. કિંમતો મૂકતા: $a = \left(\frac{44}{15}\right)^2 \times 1.8 = \frac{1936}{225} \times 1.8$. સાદું રૂપ આપતા: $a = \frac{1936 \times 1.8}{225} = \frac{1936}{125} \, m s^{-2}$. આને $\frac{1936}{x} \, m s^{-2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 125$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે બંને કણોના દળ સમાન છે,તેથી $m_1 = m_2 = m$.
તેમની વક્રતા ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{4}$ આપેલ છે.
કણ પર લાગતું કેન્દ્રગામી બળ $F$ નું સૂત્ર $F = \frac{mv^2}{r}$ છે.
કેન્દ્રગામી બળ બંને કણો માટે અચળ હોવાથી,$F_1 = F_2$ થાય.
સૂત્ર મૂકતા,આપણને મળે $\frac{m_1 v_1^2}{r_1} = \frac{m_2 v_2^2}{r_2}$.
$m_1 = m_2$ હોવાથી,સમીકરણ $\frac{v_1^2}{r_1} = \frac{v_2^2}{r_2}$ માં પરિણમે છે.
વેગનો ગુણોત્તર શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા,$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{r_1}{r_2}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{r_1}{r_2}}$ મળે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{4}$ મૂકતા,$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે.
તેથી,તેમના વેગનો ગુણોત્તર $\sqrt{3}:2$ છે.

(A) આપેલ છે કે લંબ પ્રવેગ $a_c = \frac{v^2}{r}$ અને સ્પર્શક પ્રવેગ $a_t = \frac{dv}{dt}$ સમાન છે:
$\frac{v^2}{r} = \frac{dv}{dt}$
$t=0$ $(v=4 \ m/s)$ થી $t$ સમય સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{4}^{v} \frac{dv}{v^2} = \int_{0}^{t} \frac{dt}{r}$
$\left[ -\frac{1}{v} \right]_{4}^{v} = \frac{t}{r}$
$-\frac{1}{v} + \frac{1}{4} = \frac{t}{0.5} = 2t$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{4} - 2t = \frac{1-8t}{4} \implies v = \frac{4}{1-8t}$
કારણ કે $v = \frac{ds}{dt}$,એક પરિભ્રમણ માટે અંતર $s$ $(s = 2\pi r = 2\pi(0.5) = \pi \ m)$ શોધવા માટે સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{\pi} ds = \int_{0}^{t} \frac{4}{1-8t} dt$
$\pi = 4 \left[ \frac{\ln(1-8t)}{-8} \right]_{0}^{t}$
$\pi = -\frac{1}{2} \ln(1-8t)$
$-2\pi = \ln(1-8t)$
$e^{-2\pi} = 1-8t$
$8t = 1 - e^{-2\pi}$
$t = \frac{1}{8} [1 - e^{-2\pi}] \ s$
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 8$.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 0$,સ્પર્શક પ્રવેગ $a_t = 12 \ m/s^2$,અને ત્રિજ્યા $r = 3 \ m$.
કુલ પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}$ એ ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગ $\vec{a}_c$ અને સ્પર્શક પ્રવેગ $\vec{a}_t$ નો સદિશ સરવાળો છે.
કુલ પ્રવેગ અને ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{a_t}{a_c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\tan 45^{\circ} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $a_t = a_c$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a_c = \frac{v^2}{r}$,જ્યાં $v$ એ તત્કાલીન વેગ છે.
$a_t = 12 \ m/s^2$ અને $a_c = \frac{v^2}{3}$ હોવાથી,$12 = \frac{v^2}{3} \Rightarrow v^2 = 36 \Rightarrow v = 6 \ m/s$.
ગતિના સમીકરણ $v = u + a_t t$ નો ઉપયોગ કરતા,$6 = 0 + 12 \times t$ મળે છે.
તેથી,$t = \frac{6}{12} = 0.5 \ s$ અથવા $(1/2) \ s$.

(A) કુલ પ્રવેગ સદિશ ધન $x$-અક્ષ (સ્પર્શકની દિશા) સાથે $135^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c$ કેન્દ્ર તરફ (ઋણ $x$-દિશામાં) હોય છે.
ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં કુલ પ્રવેગ $a = 8\sqrt{2} \ m/s^2$ નો ઘટક $a_c = a \cos(180^{\circ} - 135^{\circ}) = 8\sqrt{2} \cos(45^{\circ}) = 8\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 8 \ m/s^2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = \frac{v^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$8 = \frac{v^2}{2}$.
$v^2 = 16$.
$v = 4 \ m/s$.

(C) સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t = \alpha r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રિજ્યાવર્તી (કેન્દ્રગામી) પ્રવેગ $a_r = \frac{V^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ અને ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{a_t}{a_r} = \frac{\alpha r}{V^2 / r}$ છે.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{a_t}{a_r} = \frac{\alpha r^2}{V^2}$ મળે છે.

(C) સ્પર્શક પ્રવેગ $(a_t)$ નું સૂત્ર $a_t = \alpha r$ છે.
ત્રિજ્યાવર્તી (કેન્દ્રગામી) પ્રવેગ $(a_r)$ નું સૂત્ર $a_r = \frac{u^2}{r}$ છે.
સ્પર્શક પ્રવેગ અને ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{a_t}{a_r} = \frac{\alpha r}{u^2 / r}$ થાય.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{\alpha r^2}{u^2}$ મળે છે.

(A) અનિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,સ્પર્શક પ્રવેગ $a_t = r \alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રિજ્યાવર્તી (કેન્દ્રગામી) પ્રવેગ $a_r = \frac{v^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્પર્શક પ્રવેગ અને ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{a_t}{a_r} = \frac{r \alpha}{v^2 / r}$ થાય છે.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{a_t}{a_r} = \frac{r^2 \alpha}{v^2}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: કોણીય પ્રવેગ $\alpha = 4 \ rad/s^2$. પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$.
$1$. $t$ સમયે કોણીય વેગ $\omega = \omega_0 + \alpha t = \alpha t$ થાય.
$2$. કેન્દ્રત્યાગી (ત્રિજ્યાવર્તી) પ્રવેગ $a_c = \omega^2 r = (\alpha t)^2 r = \alpha^2 t^2 r$ છે.
$3$. સ્પર્શક પ્રવેગ $a_t = \alpha r$ છે.
$4$. આપણને આપેલ છે કે બંનેના મૂલ્યો સમાન છે: $a_c = a_t$.
$5$. કિંમતો મૂકતા: $\alpha^2 t^2 r = \alpha r$.
$6$. બંને બાજુ $\alpha r$ વડે ભાગતા: $\alpha t^2 = 1$.
$7$. $t$ માટે ઉકેલતા: $t^2 = \frac{1}{\alpha} = \frac{1}{4}$.
$8$. તેથી,$t = \sqrt{\frac{1}{4}} = 0.5 \ s$.

(B) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 100 \ m$,વેગ $v = 20 \ m/s$,અને સ્પર્શક પ્રવેગ $a_{t} = 3 \ m/s^{2}$.
સૌ પ્રથમ,ત્રિજ્યાવર્તી (કેન્દ્રગામી) પ્રવેગ $a_{r}$ ની ગણતરી $a_{r} = \frac{v^{2}}{r}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરો.
$a_{r} = \frac{(20)^{2}}{100} = \frac{400}{100} = 4 \ m/s^{2}$.
પરિણામી પ્રવેગ $a$ એ સ્પર્શક અને ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગનો સદિશ સરવાળો છે,જે એકબીજાને લંબ હોય છે.
$a = \sqrt{a_{r}^{2} + a_{t}^{2}}$.
$a = \sqrt{(4)^{2} + (3)^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \ m/s^{2}$.
તેથી,પરિણામી પ્રવેગ $5 \ m/s^{2}$ છે.

(B) અનિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં, કાર પાસે પ્રવેગના બે ઘટકો હોય છે:
$1$. સ્પર્શક પ્રવેગ $(a_t)$: જે $2 \,m/s^2$ આપેલ છે.
$2$. કેન્દ્રગામી (ત્રિજ્યાવર્તી) પ્રવેગ $(a_c)$: જેની ગણતરી $a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{(30)^2}{500} = \frac{900}{500} = 1.8 \,m/s^2$ મુજબ થાય છે.
આ બંને ઘટકો એકબીજાને લંબ હોવાથી, કુલ પ્રવેગ $(a_{net})$ નીચે મુજબ મળે:
$a_{net} = \sqrt{a_t^2 + a_c^2}$
$a_{net} = \sqrt{(2)^2 + (1.8)^2}$
$a_{net} = \sqrt{4 + 3.24} = \sqrt{7.24} \approx 2.69 \,m/s^2 \approx 2.7 \,m/s^2$.

(C) પથનું સમીકરણ $(x-2)^2 + y^2 = 25$ છે. આ એક વર્તુળ દર્શાવે છે જેનું કેન્દ્ર $(2, 0)$ અને ત્રિજ્યા $R = 5 \text{ m}$ છે.
સમાન વર્તુળાકાર ગતિમાં,પ્રવેગ સંપૂર્ણપણે કેન્દ્રગામી હોય છે,જે વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું મૂલ્ય $a_c = \frac{v^2}{R}$ છે.
આપેલ છે કે $v = 2 \text{ m/s}$ અને $R = 5 \text{ m}$,તેથી $a_c = \frac{2^2}{5} = \frac{4}{5} = 0.8 \text{ m/s}^2$.
કણ તેનો સૌથી ઓછો $y$ યામ $(2, -5)$ બિંદુ પર પ્રાપ્ત કરે છે.
આ બિંદુએ,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(2, 0)$ કણની બરાબર ઉપર (ધન $y$-અક્ષની દિશામાં) છે.
તેથી,કેન્દ્રગામી પ્રવેગ સદિશ ધન $y$-અક્ષની દિશામાં છે,જે $0.8 \hat{j} \text{ m/s}^2$ છે.

(D) આપેલ છે: ઝડપ $v = 30 \,ms^{-1}$, ત્રિજ્યા $r = 500 \,m$, સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_T = 2 \,ms^{-2}$.
વર્તુળાકાર ગતિમાં કણનો કુલ પ્રવેગ $a$ એ સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_T$ અને કેન્દ્રગામી (ત્રિજ્યાવર્તી) પ્રવેગ $a_r$ નો સદિશ સરવાળો છે.
પ્રથમ, કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_r = \frac{v^2}{r} = \frac{30^2}{500} = \frac{900}{500} = 1.8 \,ms^{-2}$ ગણો.
કુલ પ્રવેગ $a = \sqrt{a_T^2 + a_r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $a = \sqrt{2^2 + 1.8^2} = \sqrt{4 + 3.24} = \sqrt{7.24}$.
વર્ગમૂળની ગણતરી કરતા: $a \approx 2.69 \,ms^{-2}$, જે આશરે $2.7 \,ms^{-2}$ થાય છે.

(D) આપેલ છે: કારનો વેગ, $v = 30 \,ms^{-1}$. વર્તુળાકાર રસ્તાની ત્રિજ્યા, $r = 300 \,m$. સ્પર્શકીય પ્રવેગ, $a_t = 4 \,ms^{-2}$.
સૌ પ્રથમ, કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $(a_c)$ ની ગણતરી $a_c = \frac{v^2}{r}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરીએ.
$a_c = \frac{30^2}{300} = \frac{900}{300} = 3 \,ms^{-2}$.
કુલ પ્રવેગ $(a)$ એ સ્પર્શકીય પ્રવેગ અને કેન્દ્રગામી પ્રવેગનો સદિશ સરવાળો છે, જે એકબીજાને લંબ હોય છે.
$a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2}$.
$a = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \,ms^{-2}$.

(A) આપેલ છે: ત્રિજ્યા, $r = 10 \,m$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ, $a_c = 10 \,ms^{-2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું સૂત્ર $a_c = \omega^2 r$ છે.
કોણીય ઝડપ $\omega$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\omega = \sqrt{\frac{a_c}{r}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\omega = \sqrt{\frac{10 \,ms^{-2}}{10 \,m}} = \sqrt{1 \,s^{-2}} = 1 \,rad \,s^{-1}$.
તેથી, કોણીય ઝડપ $1 \,rad \,s^{-1}$ છે.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 5 \ kg$,ત્રિજ્યા $r = 1 \ m$,કોણીય ઝડપ $\omega = 2 \ rad \ s^{-1}$.
કેન્દ્રગામી બળ $F_c$ નું સૂત્ર $F_c = m \omega^2 r$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$F_c = 5 \times (2)^2 \times 1$
$F_c = 5 \times 4 \times 1$
$F_c = 20 \ N$.
તેથી,કેન્દ્રગામી બળ $20 \ N$ છે.

(A) આપેલ છે કે,કણનો વેગ $\vec{v} = x \hat{i} + yt \hat{j}$ છે.
વેગનું મૂલ્ય $v = \sqrt{x^2 + y^2 t^2}$ છે.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t$ એ ઝડપમાં થતો ફેરફાર છે:
$a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2 t^2}} \cdot (2y^2 t) = \frac{y^2 t}{\sqrt{x^2 + y^2 t^2}}$.
$t = \frac{x \sqrt{3}}{y}$ મૂકતા:
$a_t = \frac{y^2 (x \sqrt{3} / y)}{\sqrt{x^2 + y^2 (3x^2 / y^2)}} = \frac{xy \sqrt{3}}{\sqrt{x^2 + 3x^2}} = \frac{xy \sqrt{3}}{2x} = \frac{\sqrt{3} y}{2}$.
કુલ પ્રવેગ સદિશ $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(x \hat{i} + yt \hat{j}) = y \hat{j}$ છે.
કુલ પ્રવેગનું મૂલ્ય $a = |\vec{a}| = y$ છે.
લંબ પ્રવેગ $a_n$ એ $a_n = \sqrt{a^2 - a_t^2}$ દ્વારા મળે છે.
$a_n = \sqrt{y^2 - (\frac{\sqrt{3} y}{2})^2} = \sqrt{y^2 - \frac{3y^2}{4}} = \sqrt{\frac{y^2}{4}} = \frac{y}{2}$.
આમ,સ્પર્શકીય અને લંબ પ્રવેગ અનુક્રમે $\frac{\sqrt{3} y}{2}$ અને $\frac{y}{2}$ છે.

(D) ત્રિજ્યાવર્તી (કેન્દ્રગામી) પ્રવેગ $a_r = \frac{v^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $v = K\sqrt{s}$,તેથી $a_r = \frac{(K\sqrt{s})^2}{R} = \frac{K^2 s}{R}$.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{ds} \cdot \frac{ds}{dt} = v \frac{dv}{ds}$ છે.
કારણ કે $v = K s^{1/2}$,તેથી $\frac{dv}{ds} = K \cdot \frac{1}{2} s^{-1/2} = \frac{K}{2\sqrt{s}}$.
આમ,$a_t = (K\sqrt{s}) \cdot \left( \frac{K}{2\sqrt{s}} \right) = \frac{K^2}{2}$.
કુલ પ્રવેગ અને સ્પર્શકીય પ્રવેગ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{a_r}{a_t}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \frac{K^2 s / R}{K^2 / 2} = \frac{2s}{R}$.

(A) $R$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળાકાર પથ પર $\omega$ કોણીય ઝડપથી ગતિ કરતા કણનો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = R \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ $\omega_1 = \omega$ છે અને અંતિમ કોણીય ઝડપ $\omega_2 = 2\omega$ છે.
પ્રારંભિક કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_1 = R \omega^2$ છે.
અંતિમ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_2 = R \omega_2^2 = R (2\omega)^2 = 4 R \omega^2$ છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $a_2 = 4 a_1$ મળે છે.
તેથી,કેન્દ્રગામી પ્રવેગ પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા $4$ ગણો થાય છે.

(B) જ્યારે કાર વધતી જતી ઝડપ સાથે વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે ત્યારે તે બે પ્રકારના પ્રવેગ અનુભવે છે:
$1$. ત્રિજ્યાવર્તી (કેન્દ્રગામી) પ્રવેગ: $a_r = \frac{V^2}{r}$,જે વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
$2$. સ્પર્શકીય પ્રવેગ: $a_t = a$,જે માર્ગના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
આ બંને પ્રવેગ એકબીજાને લંબ હોવાથી,પરિણામી પ્રવેગ $a_R$ સદિશ સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$a_R = \sqrt{a_r^2 + a_t^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$a_R = \sqrt{(\frac{V^2}{r})^2 + a^2}$
$a_R = \sqrt{\frac{V^4}{r^2} + a^2}$

(A) આપેલ છે કે,$\theta = a t^2$.
કોણીય વેગ $\omega = \frac{d\theta}{dt} = 2at$ છે.
સ્પર્શક વેગ $v = \omega r = 2atr$ છે. તેથી,$\frac{v}{t} = 2ar$.
સ્પર્શક પ્રવેગ $a_t = \frac{dv}{dt} = 2ar$ છે.
ત્રિજ્યાવર્તી (કેન્દ્રગામી) પ્રવેગ $a_n = \frac{v^2}{r} = \frac{(2atr)^2}{r} = 4a^2t^2r$ છે.
કુલ પ્રવેગ $a_{\text{total}} = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} = \sqrt{(2ar)^2 + (4a^2t^2r)^2}$ છે.
$a_{\text{total}} = \sqrt{4a^2r^2 + 16a^4t^4r^2} = 2ar \sqrt{1 + 4a^2t^4}$ થાય.
જેથી $2ar = \frac{v}{t}$ હોવાથી,$a_{\text{total}} = \frac{v}{t} \sqrt{1 + 4a^2t^4}$ મળે.

(B) આપેલ ઝડપ $v(t) = at$,જ્યાં $a = 2 \ m/s^2$ છે.
વર્તુળાકાર ગતિમાં,$v = r \omega$,તેથી $\omega = \frac{v}{r} = \frac{at}{r}$.
$\omega = \frac{d\theta}{dt}$ હોવાથી,$d\theta = \frac{at}{r} dt$ મળે.
$n$ ચક્ર માટે સંકલન કરતા,$\theta = 2\pi n = \int_0^t \frac{at}{r} dt = \frac{at^2}{2r}$.
આમ,$t^2 = \frac{4\pi nr}{a}$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_r = \frac{v^2}{r} = \frac{(at)^2}{r} = \frac{a^2 t^2}{r} = \frac{a^2}{r} \cdot \frac{4\pi nr}{a} = 4\pi na$.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t = \frac{dv}{dt} = a$.
કુલ પ્રવેગ $A = \sqrt{a_t^2 + a_r^2} = \sqrt{a^2 + (4\pi na)^2} = a \sqrt{1 + (4\pi n)^2}$.
અહીં $a = 2$ અને $n = 2$ આપેલ હોવાથી,$A = 2 \sqrt{1 + (4 \cdot \pi \cdot 2)^2} = 2 \sqrt{1 + 64\pi^2}$.

(D) પ્રારંભિક ઝડપ $V = 36 \,km/h = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \,m/s$.
ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગ $a_r = \frac{V^2}{R} = \frac{10^2}{50} = \frac{100}{50} = 2 \,m/s^2$.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t = 0.5 \,m/s^2$.
પરિણામી પ્રવેગ $a_{net} = \sqrt{a_r^2 + a_t^2} = \sqrt{2^2 + 0.5^2} = \sqrt{4 + 0.25} = \sqrt{4.25} = \sqrt{\frac{17}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2} \,m/s^2$.
દિશા $\phi$ સ્પર્શકીય સદિશની સાપેક્ષમાં $\tan \phi = \frac{a_r}{a_t} = \frac{2}{0.5} = 4$ દ્વારા મળે છે, તેથી $\phi = \tan^{-1}(4)$.

(D) પદાર્થ બે પ્રકારના પ્રવેગ અનુભવે છે: કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $(a_c)$ અને સ્પર્શકીય પ્રવેગ $(a_T)$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{(2\sqrt{5})^2}{5} = \frac{20}{5} = 4 \,m/s^2$ છે.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_T = 3 \,m/s^2$ આપેલ છે.
પરિણામી પ્રવેગ $a = \sqrt{a_c^2 + a_T^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \,m/s^2$ થાય.
તેથી, પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $F = m \times a = 2 \,kg \times 5 \,m/s^2 = 10 \,N$ મળે.