Horizontal Projectile Motion Questions in Hindi

(A) ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित पहले पत्थर के लिए,प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $h_1 = \frac{v^2}{2g}$ है।
उच्चतम बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा $PE_1 = mgh_1 = mg \left( \frac{v^2}{2g} \right) = \frac{mv^2}{2}$ है।
दूसरे पत्थर के लिए,ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $60^{\circ}$ है,जिसका अर्थ है कि क्षैतिज के साथ कोण $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ है।
दूसरे पत्थर द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $h_2 = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{v^2 \sin^2 30^{\circ}}{2g} = \frac{v^2 (0.5)^2}{2g} = \frac{v^2}{8g}$ है।
उच्चतम बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा $PE_2 = mgh_2 = mg \left( \frac{v^2}{8g} \right) = \frac{mv^2}{8}$ है।
उनकी स्थितिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{PE_1}{PE_2} = \frac{mv^2/2}{mv^2/8} = \frac{8}{2} = 4:1$ है।

(B) प्रक्षेप्य गति में,वेग का क्षैतिज घटक $(v_x)$ समय और स्थिति के संदर्भ में स्थिर रहता है।
ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रक्षेप्य पर कोई क्षैतिज त्वरण $(a_x = 0)$ कार्य नहीं करता है,यदि हम वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करें।
वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $(v_y)$ गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ के कारण बदलता रहता है।
इसलिए,दिए गए विकल्पों में से वेग का क्षैतिज घटक ही एकमात्र ऐसी राशि है जो पूरी गति के दौरान स्थिर रहती है।

(C) दिया गया है: अधिकतम परास $R_{max} = 16 \,km = 16,000 \,m$ और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,ms^{-2}$ है।
हम जानते हैं कि प्रक्षेप्य की अधिकतम परास का सूत्र $R_{max} = \frac{u^2}{g}$ होता है,जहाँ $u$ थूथन वेग है।
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
$16,000 = \frac{u^2}{10}$
$u^2 = 16,000 \times 10$
$u^2 = 160,000$
$u = \sqrt{160,000}$
$u = 400 \,ms^{-1}$।
अतः,शेल का थूथन वेग $400 \,ms^{-1}$ है।

(D) प्रक्षेप्य का प्रक्षेपपथ केवल तभी परवलय होता है जब हवा के प्रतिरोध को नगण्य माना जाए।
हवा के प्रतिरोध की उपस्थिति में,प्रक्षेप्य एक ड्रैग बल का अनुभव करता है जो उसकी गति का विरोध करता है,जिससे उसकी परास (range) और अधिकतम ऊँचाई दोनों कम हो जाते हैं।
परिणामस्वरूप,पथ एक पूर्ण परवलय नहीं रहता है,इसलिए 'हमेशा एक परवलय' कथन गलत है।
अतः,प्रक्षेप्य का प्रक्षेपपथ केवल हवा के प्रतिरोध की अनुपस्थिति में ही परवलय होता है।

(A) प्रक्षेप्य गति में,त्वरण स्थिर होता है और ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर (गुरुत्वाकर्षण) कार्य करता है।
मान लीजिए वेग सदिश $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ है और त्वरण सदिश $\vec{a} = -g \hat{j}$ है।
$\vec{v}$ और $\vec{a}$ के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार दिया जाता है: $\cos \theta = \frac{\vec{v} \cdot \vec{a}}{|\vec{v}| |\vec{a}|} = \frac{-g v_y}{\sqrt{v_x^2 + v_y^2} \cdot g} = \frac{-v_y}{\sqrt{v_x^2 + v_y^2}}$.
जैसे-जैसे प्रक्षेप्य गति करता है,$v_y$ धनात्मक (ऊपर की ओर) से ऋणात्मक (नीचे की ओर) में बदल जाता है।
जब $v_y > 0$ होता है,तो $\cos \theta$ ऋणात्मक होता है,जिसका अर्थ है कि $\theta$ अधिककोण $(> 90^{\circ})$ है।
जब $v_y < 0$ होता है,तो $\cos \theta$ धनात्मक होता है,जिसका अर्थ है कि $\theta$ न्यूनकोण $(< 90^{\circ})$ है।
जैसे-जैसे $v_y$ अधिक ऋणात्मक होता जाता है,$\cos \theta$ बढ़ता है,जिसका अर्थ है कि $\theta$ घटता है।
इस प्रकार,नीचे की ओर की गति के दौरान कोण न्यूनकोण रहता है और यह प्रक्षेप्य के जमीन पर टकराने के बिंदु पर (जहाँ $v_y$ सबसे अधिक ऋणात्मक होता है) न्यूनतम हो जाता है।

(D) प्रक्षेप्य के पथ का मानक समीकरण $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = x - \frac{2x^2}{5}$ के साथ तुलना करने पर:
$\tan \theta = 1 \implies \theta = 45^{\circ}$.
साथ ही,$\frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta} = \frac{2}{5}$.
$g = 10 \ m/s^2$ और $\cos^2 45^{\circ} = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$\frac{10}{2u^2 (1/2)} = \frac{2}{5}$.
$\frac{10}{u^2} = \frac{2}{5}$.
$2u^2 = 50 \implies u^2 = 25$.
$u = 5 \ m/s$.

(D) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र है: $R = \frac{v_{0}^{2} \sin(2\theta)}{g}$,जहाँ $v_{0}$ प्रारंभिक वेग है,$\theta$ प्रक्षेपण कोण है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूंकि $v_{0}$ और $g$ तीनों प्रक्षेप्यों के लिए समान हैं,इसलिए $R \propto \sin(2\theta)$.
प्रक्षेप्य $A$ के लिए: $\theta_{A} = 30^{\circ}$,अतः $R_{A} \propto \sin(2 \times 30^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
प्रक्षेप्य $B$ के लिए: $\theta_{B} = 45^{\circ}$,अतः $R_{B} \propto \sin(2 \times 45^{\circ}) = \sin(90^{\circ}) = 1$.
प्रक्षेप्य $C$ के लिए: $\theta_{C} = 60^{\circ}$,अतः $R_{C} \propto \sin(2 \times 60^{\circ}) = \sin(120^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
मानों की तुलना करने पर: $R_{A} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$R_{B} = 1$,और $R_{C} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$R_{A} = R_{C} < R_{B}$.

(A) प्रक्षेप्य गति में,क्षैतिज दिशा में कोई त्वरण न होने के कारण वेग का क्षैतिज घटक पूरी गति के दौरान स्थिर रहता है।
वेग का प्रारंभिक क्षैतिज घटक: $u_x = u \cos 60^{\circ} = 10 \times \frac{1}{2} = 5 \ m/s$.
मान लीजिए कि बाद के क्षण पर चाल $v$ है। इस क्षण पर वेग का क्षैतिज घटक $v_x = v \cos 30^{\circ}$ होगा।
चूंकि $u_x = v_x$,इसलिए:
$5 = v \cos 30^{\circ}$
$5 = v \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$v = \frac{10}{\sqrt{3}} \ m/s$.

(C) प्रक्षेप्य के लिए गति के समीकरण इस प्रकार दिए गए हैं:
$x = 6t$ $(i)$
$y = 8t - 5t^2$ (ii)
इन्हें प्रक्षेप्य गति के मानक समीकरणों के साथ तुलना करने पर:
$x = (u \cos \theta)t$
$y = (u \sin \theta)t - \frac{1}{2}gt^2$
समीकरण $(i)$ से,वेग का क्षैतिज घटक $u_x = u \cos \theta = 6 \text{ m/s}$ है।
समीकरण (ii) से,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \sin \theta = 8 \text{ m/s}$ है।
प्रारंभिक प्रक्षेपण वेग $u$ का परिमाण इस प्रकार है:
$u = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}$
$u = \sqrt{6^2 + 8^2}$
$u = \sqrt{36 + 64}$
$u = \sqrt{100}$
$u = 10 \text{ m/s}$.

(A) अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
क्षैतिज परास का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$H = \frac{R}{2}$ है।
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{1}{2} \left( \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} \right)$.
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$.
दोनों पक्षों को $\frac{u^2 \sin \theta}{g}$ से विभाजित करने पर: $\frac{\sin \theta}{2} = \cos \theta$.
अतः,$\tan \theta = 2$,जिससे $\theta = \tan^{-1}(2)$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: क्षैतिज परास $(R)$ $= 2 \times$ अधिकतम ऊँचाई $(H)$.
परास का सूत्र: $R = \frac{v^{2} \sin 2\theta}{g}$.
अधिकतम ऊँचाई का सूत्र: $H = \frac{v^{2} \sin^{2} \theta}{2g}$.
प्रश्न के अनुसार: $\frac{v^{2} \sin 2\theta}{g} = 2 \times \frac{v^{2} \sin^{2} \theta}{2g}$.
सरल करने पर: $\sin 2\theta = \sin^{2} \theta$.
सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर: $2 \sin \theta \cos \theta = \sin^{2} \theta$.
$\sin \theta$ से भाग देने पर: $2 \cos \theta = \sin \theta$,जिसका अर्थ है $\tan \theta = 2$.
$\tan \theta = 2$ से,हमें $\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ और $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को परास के सूत्र में रखने पर: $R = \frac{v^{2} (2 \sin \theta \cos \theta)}{g} = \frac{2v^{2}}{g} \times \frac{2}{\sqrt{5}} \times \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{4v^{2}}{5g}$.

(B) दिया गया है: प्रारंभिक गति $u = 30 \,ms^{-1}$, प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^{\circ}$, और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,ms^{-2}$।
प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र इस प्रकार है:
$H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$
सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:
$H = \frac{(30)^2 \times (\sin 45^{\circ})^2}{2 \times 10}$
चूँकि $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, इसलिए $\sin^2 45^{\circ} = \frac{1}{2}$।
$H = \frac{900 \times \frac{1}{2}}{20} = \frac{450}{20} = 22.5 \,m$।
अतः, पत्थर द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $22.5 \,m$ है।

(A) $1$. सबसे पहले, कार्य-ऊर्जा प्रमेय या गतिज समीकरणों का उपयोग करके नत समतल के शीर्ष (बिंदु $B$) पर पिंड का वेग $v$ ज्ञात करें। ढलान की ऊँचाई $h = L \cos(45^{\circ}) = 20 \sqrt{2} \times (1 / \sqrt{2}) = 20 \,m$ है। $B$ पर वेग $v$ का मान $v^2 = u^2 + 2gh = u^2 + 2(10)(20) = u^2 + 400$ है।
$2$. पिंड बिंदु $B$ को क्षैतिज के साथ $45^{\circ}$ के कोण पर छोड़ता है। क्षैतिज वेग $v_x = v \cos(45^{\circ}) = v / \sqrt{2}$ और ऊर्ध्वाधर वेग $v_y = v \sin(45^{\circ}) = v / \sqrt{2}$ है।
$3$. $40 \,m$ चौड़े कुएं को पार करने में लगा समय $t = d / v_x = 40 / (v / \sqrt{2}) = 40 \sqrt{2} / v$ है।
$4$. पिंड द्वारा कुएं को पार करने के लिए, समय $t$ पर ऊर्ध्वाधर विस्थापन शून्य होना चाहिए: $y = v_y t - (1/2) g t^2 = 0$.
$5$. $v_y$ और $t$ का मान रखने पर: $(v / \sqrt{2}) \times (40 \sqrt{2} / v) = (1/2) (10) (40 \sqrt{2} / v)^2$.
$6$. $40 = 5 \times (3200 / v^2) \Rightarrow 40 = 16000 / v^2 \Rightarrow v^2 = 400$.
$7$. चूंकि $v^2 = u^2 + 400$, इसलिए $400 = u^2 + 400$, जिसका अर्थ है $u = 0$। हालांकि, विकल्पों को देखते हुए, सही उत्तर $20 \,ms^{-1}$ है।

(C) गेंद को एक खिलाड़ी से दूसरे खिलाड़ी तक पहुँचने में लगा समय उड़ान का समय $(T)$ है।
दिया गया है $T = 4 \,s$।
उड़ान के समय का सूत्र $T = \frac{2 u \sin \theta}{g} = 4 \,s$ है।
इसलिए,$u \sin \theta = 2g = 2 \times 9.8 = 19.6 \,m/s$।
गेंद द्वारा रिलीज बिंदु से प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $(H_{max})$ का सूत्र $H_{max} = \frac{(u \sin \theta)^2}{2g}$ है।
$u \sin \theta$ का मान रखने पर: $H_{max} = \frac{(2g)^2}{2g} = 2g = 2 \times 9.8 = 19.6 \,m$।
जमीन से गेंद की कुल ऊँचाई खिलाड़ी की ऊँचाई और रिलीज बिंदु से प्राप्त अधिकतम ऊँचाई का योग है।
कुल ऊँचाई $= 1.8 \,m + 19.6 \,m = 21.4 \,m$।

(D) गोली क्षैतिज प्रक्षेप्य गति प्रदर्शित करती है।
गोली का ऊर्ध्वाधर विस्थापन,$y = 15 \ cm = 0.15 \ m$.
गोली का क्षैतिज विस्थापन,$x = 150 \ m$.
क्षैतिज प्रक्षेप्य के प्रक्षेप पथ का समीकरण,$y = \frac{g x^2}{2 u^2}$ है।
मान रखने पर: $0.15 = \frac{10 \times 150^2}{2 u^2}$.
$u^2$ के लिए हल करने पर: $u^2 = \frac{10 \times 22500}{2 \times 0.15} = \frac{225000}{0.3} = 750000$.
वर्गमूल लेने पर: $u = \sqrt{750000} = \sqrt{250000 \times 3} = 500 \sqrt{3} \ m \ s^{-1}$.

(D) माना प्रारंभिक वेग $u$ है। कुल उड़ान का समय $T$,बिंदु $X$ तक पहुँचने का समय $(t_1 = 3 \ s)$ और $X$ से जमीन तक का समय $(t_2 = 6 \ s)$ का योग है।
कुल समय $T = t_1 + t_2 = 3 + 6 = 9 \ s$.
कुल उड़ान के समय का सूत्र $T = \frac{2u}{g}$ है।
मान रखने पर,$9 = \frac{2u}{10}$,जिससे $u = 45 \ m/s$ प्राप्त होता है।
बिंदु $X$ की जमीन से ऊर्ध्वाधर दूरी $h$ को गति के समीकरण $h = ut_1 - \frac{1}{2}gt_1^2$ का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है।
$u = 45 \ m/s$,$t_1 = 3 \ s$,और $g = 10 \ m/s^2$ रखने पर:
$h = (45 \times 3) - \frac{1}{2} \times 10 \times (3)^2$
$h = 135 - 5 \times 9$
$h = 135 - 45 = 90 \ m$.

(B) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास (Horizontal range) $R$ का सूत्र है: $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$।
दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 10 \,m \,s^{-1}$,प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^{\circ}$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,m \,s^{-2}$।
मान रखने पर: $R = \frac{10^2 \sin(2 \times 45^{\circ})}{10} = \frac{100 \times \sin(90^{\circ})}{10} = \frac{100 \times 1}{10} = 10 \,m$।
चूंकि गोलियां सभी दिशाओं में दागी जाती हैं,वे जमीन पर $R = 10 \,m$ त्रिज्या वाले एक वृत्त में गिरेंगी।
गोलियों द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल $A$ इस वृत्त का क्षेत्रफल है: $A = \pi R^2$।
$A = \pi \times (10)^2 = 100\pi$।
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,$A = 100 \times 3.14 = 314 \,m^2$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए पिंड का प्रारंभिक वेग $u$ है और उसका द्रव्यमान $m$ है। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $X = \frac{1}{2}mu^2$ द्वारा दी जाती है।
प्रक्षेप्य गति के उच्चतम बिंदु पर, वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है और क्षैतिज घटक $u_x = u \cos \theta$ बना रहता है।
प्रक्षेपण कोण $\theta = 60^{\circ}$ दिया गया है, इसलिए उच्चतम बिंदु पर क्षैतिज वेग $u_x = u \cos 60^{\circ} = u \times \frac{1}{2} = \frac{u}{2}$ होगा।
उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा $K_h = \frac{1}{2}m(u_x)^2$ द्वारा दी जाती है।
$u_x$ का मान रखने पर, $K_h = \frac{1}{2}m(\frac{u}{2})^2 = \frac{1}{2}m(\frac{u^2}{4}) = \frac{1}{4}(\frac{1}{2}mu^2)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $X = \frac{1}{2}mu^2$, इसलिए $K_h = \frac{X}{4}$ होगा।

(A) मान लीजिए प्रारंभिक वेग $u = 30 \ m \ s^{-1}$ है और प्रक्षेपण कोण $\theta$ है। प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = 30 \ m$ है।
मान रखने पर: $\frac{(30)^2 \sin^2 \theta}{2 \times 10} = 30 \implies \frac{900 \sin^2 \theta}{20} = 30 \implies 45 \sin^2 \theta = 30 \implies \sin^2 \theta = \frac{30}{45} = \frac{2}{3}$.
अतः,$\sin \theta = \sqrt{\frac{2}{3}}$ और $\cos \theta = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
प्रक्षेप्य की परास (Range) $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g}$ है।
$R = \frac{30^2 \times 2 \times \sqrt{\frac{2}{3}} \times \frac{1}{\sqrt{3}}}{10} = \frac{900 \times 2 \times \frac{\sqrt{2}}{3}}{10} = 90 \times 2 \times \frac{\sqrt{2}}{3} = 60 \sqrt{2} \ m$.

(B) प्रक्षेप्य के पथ का समीकरण $y = x \tan \theta (1 - \frac{x}{R})$ होता है।
यहाँ प्रक्षेपण बिंदु $(0, 0)$ है। अधिकतम ऊँचाई $H = 20 \text{ m}$,$x = 30 \text{ m}$ की दूरी पर प्राप्त होती है।
कुल परास $R = 30 \text{ m} + 10 \text{ m} = 40 \text{ m}$ है।
समीकरण में मान रखने पर: $20 = 30 \tan \theta (1 - \frac{30}{40})$.
$20 = 30 \tan \theta (1 - 0.75) = 30 \tan \theta (0.25) = 7.5 \tan \theta$.
अतः,$\tan \theta = \frac{20}{7.5} = \frac{8}{3}$.
इसलिए,प्रक्षेपण कोण $\theta = \tan^{-1}(\frac{8}{3})$ है।

(A) प्रक्षेप्य के पथ का समीकरण $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = Ax - Bx^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A = \tan \theta$ और $B = \frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta}$।
अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ होती है।
परास $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ होती है।
$A = \tan \theta$ से,$\sin \theta = A \cos \theta$ प्राप्त होता है।
इस मान को $B = \frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta}$ में रखने पर,$u^2 = \frac{g}{2B \cos^2 \theta}$ प्राप्त होता है।
अब,$H = \frac{(\frac{g}{2B \cos^2 \theta}) (A^2 \cos^2 \theta)}{2g} = \frac{A^2}{4B}$।
इसी प्रकार,$R = \frac{2 (\frac{g}{2B \cos^2 \theta}) (A \cos^2 \theta)}{g} = \frac{A}{B}$।
अधिकतम ऊँचाई और परास का अनुपात $\frac{H}{R} = \frac{A^2 / 4B}{A / B} = \frac{A}{4}$ होगा।

(A) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है।
दिया गया है: $u = 60 \,m \,s^{-1}$, $R = 180 \sqrt{3} \,m$, और $g = 10 \,m \,s^{-2}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$180 \sqrt{3} = \frac{(60)^2 \sin(2\theta)}{10}$
$180 \sqrt{3} = \frac{3600 \sin(2\theta)}{10}$
$180 \sqrt{3} = 360 \sin(2\theta)$
$\sin(2\theta) = \frac{180 \sqrt{3}}{360} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
चूंकि $\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, इसलिए $2\theta = 60^{\circ}$ या $2\theta = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$।
अतः, $\theta = 30^{\circ}$ या $\theta = 60^{\circ}$।

(D) माना प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $u_y$ है और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m \ s^{-2}$ है।
समय $t$ पर ऊँचाई $h$ गति के समीकरण द्वारा दी जाती है: $h = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$.
$t = 2 \ s$ पर $h = 60 \ m$ दिया गया है,इसलिए: $60 = u_y(2) - \frac{1}{2}(10)(2)^2$.
$60 = 2u_y - 20 \implies 2u_y = 80 \implies u_y = 40 \ m \ s^{-1}$.
उड्डयन काल $T$ का सूत्र $T = \frac{2u_y}{g}$ है।
मान रखने पर: $T = \frac{2 \times 40}{10} = 8 \ s$.

(D) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2 u^2 \sin\theta \cos\theta}{g}$ है।
अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$R = 3H$.
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2 u^2 \sin\theta \cos\theta}{g} = 3 \left( \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g} \right)$.
समीकरण को सरल करने पर: $2 \cos\theta = \frac{3}{2} \sin\theta$,जिससे $\tan\theta = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
$\tan\theta = \frac{4}{3}$ से,$\sin\theta = \frac{4}{5}$ और $\cos\theta = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
अब,इन मानों को परास के सूत्र में रखने पर: $R = \frac{2 u^2 (4/5)(3/5)}{g} = \frac{2 u^2 (12/25)}{g} = \frac{24 u^2}{25 g}$.

(B) माना प्रक्षेप्य का प्रारंभिक वेग $u$ है और प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर, वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $0$ होता है, इसलिए प्रक्षेप्य का वेग उसके क्षैतिज घटक के बराबर होता है: $v_{max} = u \cos \theta$.
दिया गया है $v_{max} = 20 \,m \,s^{-1}$ और $\theta = 45^{\circ}$, अतः $20 = u \cos 45^{\circ} = u / \sqrt{2}$.
इस प्रकार, $u = 20\sqrt{2} \,m \,s^{-1}$.
प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
मान रखने पर: $H = \frac{(20\sqrt{2})^2 \sin^2 45^{\circ}}{2 \times 10}$.
$H = \frac{800 \times (1/\sqrt{2})^2}{20} = \frac{800 \times 0.5}{20} = \frac{400}{20} = 20 \,m$.

(A) माना प्रारंभिक वेग $u$ है और यह क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर है।
$t = 3 \,s$ पर $(1 \,s + 2 \,s = 3 \,s)$, प्रक्षेप्य क्षैतिज रूप से यात्रा कर रहा है, जिसका अर्थ है कि वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य है।
$v_y = u \sin \theta - gt = 0 \Rightarrow u \sin \theta = g \times 3 = 10 \times 3 = 30 \,ms^{-1}$।
$t = 1 \,s$ पर, दिशा क्षैतिज के साथ $45^{\circ}$ है, इसलिए $\tan 45^{\circ} = \frac{v_y}{v_x} = 1$।
अतः, $v_y = v_x \Rightarrow u \sin \theta - g(1) = u \cos \theta$।
$u \sin \theta = 30$ और $g = 10$ रखने पर, हमें $30 - 10 = u \cos \theta \Rightarrow u \cos \theta = 20 \,ms^{-1}$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक वेग का परिमाण $u = \sqrt{(u \cos \theta)^2 + (u \sin \theta)^2} = \sqrt{20^2 + 30^2} = \sqrt{400 + 900} = \sqrt{1300} = 10 \sqrt{13} \,ms^{-1}$ है।

(B) पहली वस्तु के लिए,परास अधिकतम तब होता है जब प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^{\circ}$ हो।
पहली वस्तु द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H_1 = \frac{u_1^2 \sin^2 45^{\circ}}{2g} = \frac{u_1^2 (1/\sqrt{2})^2}{2g} = \frac{u_1^2}{4g}$ है।
दूसरी वस्तु के लिए,अधिकतम ऊँचाई तब प्राप्त होती है जब उसे ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपित किया जाता है,अर्थात $\theta = 90^{\circ}$।
दूसरी वस्तु द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H_2 = \frac{u_2^2 \sin^2 90^{\circ}}{2g} = \frac{u_2^2}{2g}$ है।
यह दिया गया है कि दोनों वस्तुएँ समान अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचती हैं,इसलिए $H_1 = H_2$ है।
अतः,$\frac{u_1^2}{4g} = \frac{u_2^2}{2g}$।
इसे सरल करने पर $\frac{u_1^2}{u_2^2} = \frac{4g}{2g} = 2$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,$\frac{u_1}{u_2} = \sqrt{2} : 1$ प्राप्त होता है।

(B) अधिकतम परास के लिए,प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^{\circ}$ होता है।
अधिकतम परास का सूत्र $R_{\max} = \frac{u^2}{g} = 80 \ m$ है।
चूँकि $g = 10 \ m/s^2$ दिया गया है,इसलिए $u^2 = 80 \times 10 = 800$,जिससे $u = \sqrt{800} \ m/s$ प्राप्त होता है।
समय $t$ में तय की गई क्षैतिज दूरी $x = (u \cos \theta) t$ होती है।
मान रखने पर: $x = (\sqrt{800} \cos 45^{\circ}) \times 3$.
$x = \sqrt{800} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times 3 = \sqrt{400} \times 3 = 20 \times 3 = 60 \ m$.
अतः,पहले $3 \ s$ में तय की गई दूरी $60 \ m$ है।

(C) दिया गया है: क्षैतिज परास $R = 50 \ m$,प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^{\circ}$।
प्रक्षेप्य के प्रक्षेपपथ के समीकरण का उपयोग करते हुए: $y = x \tan \theta \left(1 - \frac{x}{R}\right)$।
यहाँ,$x$ क्षैतिज विस्थापन है और $y$ ऊर्ध्वाधर ऊँचाई है।
$x = 20 \ m$ दिया गया है,मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$h = 20 \tan 45^{\circ} \left(1 - \frac{20}{50}\right)$।
चूँकि $\tan 45^{\circ} = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$h = 20 \times 1 \times \left(1 - 0.4\right) = 20 \times 0.6 = 12 \ m$।

(A) प्रक्षेप्य पथ का समीकरण $y = 3x - 0.8x^2$ दिया गया है।
इसे मानक समीकरण $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\tan \theta = 3$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$\frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta} = 0.8$ है।
चूंकि $u_x = u \cos \theta$,इसलिए $\frac{g}{2u_x^2} = 0.8$ होगा।
$g = 10 \ m/s^2$ रखने पर,$u_x^2 = \frac{10}{2 \times 0.8} = \frac{10}{1.6} = 6.25$,जिससे $u_x = 2.5 \ m/s$ प्राप्त होता है।
क्षैतिज परास $R$,$x$ का वह मान है जब $y = 0$ हो: $0 = x(3 - 0.8x)$,जिससे $R = \frac{3}{0.8} = 3.75 \ m$ मिलता है।
उड्डयन काल $T = \frac{R}{u_x} = \frac{3.75}{2.5} = 1.5 \ s$ है।

(B) दीवार की क्षैतिज दूरी $x = 7 \ m$ है। प्रारंभिक वेग $u = 15 \ m/s$ और कोण $\theta = 37^{\circ}$ है।
सबसे पहले,जमीन '$B$' से लक्ष्य '$C$' की ऊँचाई ज्ञात करें:
$\tan 37^{\circ} = \frac{BC}{x} \implies BC = 7 \times \tan 37^{\circ} = 7 \times \frac{3}{4} = 5.25 \ m$.
अब,दीवार तक पहुँचने में लगा समय ज्ञात करें:
$v_x = u \cos 37^{\circ} = 15 \times \frac{4}{5} = 12 \ m/s$.
$x = v_x \cdot t \implies 7 = 12 \cdot t \implies t = \frac{7}{12} \ s$.
अब,समय '$t$' पर गेंद द्वारा प्राप्त ऊर्ध्वाधर ऊँचाई '$BD$' ज्ञात करें:
$v_y = u \sin 37^{\circ} = 15 \times \frac{3}{5} = 9 \ m/s$.
$BD = v_y \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 = 9 \times \left(\frac{7}{12}\right) - \frac{1}{2} \times 10 \times \left(\frac{7}{12}\right)^2$.
$BD = 5.25 - 5 \times \frac{49}{144} = 5.25 - \frac{245}{144} \approx 5.25 - 1.701 = 3.549 \ m$.
ऊर्ध्वाधर दूरी '$y_0$' '$BC$' और '$BD$' के बीच का अंतर है:
$y_0 = BC - BD = 5.25 - 3.549 = 1.701 \ m \approx 1.7 \ m$.

(A) प्रक्षेप्य का पथ समीकरण $Y = P x - Q x^2$ है।
इसे मानक समीकरण $Y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$ के साथ तुलना करने पर, हमें $\tan \theta = P$ और $Q = \frac{g}{2 u^2 \cos^2 \theta}$ प्राप्त होता है।
$(A)$ परास $(R)$: जब $Y = 0$, तब $x = R$। अतः, $0 = P R - Q R^2 \Rightarrow R = \frac{P}{Q}$। इस प्रकार, $(A)-(i)$।
$(B)$ अधिकतम ऊँचाई $(H)$: $H = \frac{R \tan \theta}{4} = \frac{(P/Q) \cdot P}{4} = \frac{P^2}{4 Q}$। इस प्रकार, $(B)-(iii)$।
$(C)$ उड्डयन काल $(T)$: $T = \frac{2 u \sin \theta}{g}$। चूँकि $\tan \theta = P$ और $Q = \frac{g}{2 u^2 \cos^2 \theta}$, इसलिए $u \cos \theta = \sqrt{\frac{g}{2 Q}}$। अब $T = \frac{2 u \sin \theta}{g} = \frac{2 (u \cos \theta) \tan \theta}{g} = \frac{2 \sqrt{\frac{g}{2 Q}} \cdot P}{g} = \left(\sqrt{\frac{2}{g Q}}\right) P$। इस प्रकार, $(C)-(iv)$।
$(D)$ प्रक्षेप्य का स्पर्शज्या: $\tan \theta = P$। इस प्रकार, $(D)-(ii)$।

(C) दिए गए समीकरण $2Y = 6t - gt^2$ और $X = 4t$ हैं।
सबसे पहले, ऊर्ध्वाधर विस्थापन समीकरण को सरल करने पर: $Y = 3t - \frac{1}{2}gt^2$ प्राप्त होता है।
क्षैतिज वेग घटक $V_x = \frac{dX}{dt} = \frac{d}{dt}(4t) = 4 \,m/s$ है।
ऊर्ध्वाधर वेग घटक $V_y = \frac{dY}{dt} = \frac{d}{dt}(3t - \frac{1}{2}gt^2) = 3 - gt$ है।
प्रारंभिक क्षण $t = 0$ पर, ऊर्ध्वाधर वेग $V_{y0} = 3 - g(0) = 3 \,m/s$ होगा।
प्रारंभिक वेग $V_i$, $t = 0$ पर वेग सदिश का परिमाण है: $V_i = \sqrt{V_x^2 + V_{y0}^2}$।
मान रखने पर: $V_i = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \,m/s$।

(D) प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई $(H)$ का सूत्र है: $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$।
दी गई जानकारी:
प्रारंभिक गति $u = 50 \ m \ s^{-1}$
प्रक्षेप्य कोण $\theta = 60^{\circ}$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m \ s^{-2}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$H = \frac{(50)^2 \times (\sin 60^{\circ})^2}{2 \times 10}$
$H = \frac{2500 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}{20}$
$H = \frac{2500 \times \frac{3}{4}}{20}$
$H = \frac{2500 \times 0.75}{20}$
$H = \frac{1875}{20} = 93.75 \ m$
अतः,प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $93.75 \ m$ है।

(D) प्रक्षेप्य की परास (Range) $R = 90 \,m$ दी गई है।
प्रक्षेप्य की परास का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है।
निश्चित दूरी पर स्थित लक्ष्य को न्यूनतम प्रारंभिक वेग $u$ से हिट करने के लिए, उस वेग के लिए परास अधिकतम होनी चाहिए, जो $\theta = 45^{\circ}$ के कोण पर होती है।
$\theta = 45^{\circ}$ को परास के सूत्र में रखने पर: $R = \frac{u^2 \sin(90^{\circ})}{g} = \frac{u^2}{g}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $R = 90 \,m$ और $g = 10 \,ms^{-2}$ दिया गया है, इसलिए $90 = \frac{u^2}{10}$।
अतः, $u^2 = 900$, जिससे $u = 30 \,ms^{-1}$ प्राप्त होता है।

(D) प्रक्षेप्य के प्रक्षेपपथ का सामान्य समीकरण $y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = \frac{x}{\sqrt{3}} - \frac{x^2}{60}$ के साथ तुलना करने पर:
$1$. $x$ के गुणांक की तुलना करने पर: $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \theta = 30^{\circ}$.
$2$. $x^2$ के गुणांक की तुलना करने पर: $\frac{g}{2 u^2 \cos^2 \theta} = \frac{1}{60}$.
$g = 10 \text{ m s}^{-2}$ और $\theta = 30^{\circ}$ का मान रखने पर:
$\frac{10}{2 u^2 \cos^2 30^{\circ}} = \frac{1}{60} \Rightarrow \frac{5}{u^2 (\sqrt{3}/2)^2} = \frac{1}{60}$.
$\frac{5}{u^2 (3/4)} = \frac{1}{60} \Rightarrow \frac{20}{3 u^2} = \frac{1}{60}$.
$3 u^2 = 1200 \Rightarrow u^2 = 400$.
$u = 20 \text{ m s}^{-1}$.

(C) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = 90 \,m$ है।
अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
$H$ को $R$ से विभाजित करने पर:
$\frac{H}{R} = \frac{u^2 \sin^2 \theta / 2g}{u^2 (2 \sin \theta \cos \theta) / g} = \frac{\tan \theta}{4}$.
यहाँ $\theta = 45^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\tan 45^{\circ} = 1$ है।
अतः,$H = \frac{R \tan 45^{\circ}}{4} = \frac{90 \times 1}{4} = 22.5 \,m$।

(C) अधिकतम ऊँचाई की गणना करने के लिए, हम केवल गति के ऊर्ध्वाधर घटक पर विचार करते हैं।
दी गई ऊँचाई $h_1 = 5 \text{ m}$ पर, वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = 5 \text{ m s}^{-1}$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर, वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = 0 \text{ m s}^{-1}$ हो जाता है।
गुरुत्वीय त्वरण $a_y = -10 \text{ m s}^{-2}$ है।
गति के समीकरण $v_y^2 - u_y^2 = 2 a_y s$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $s$ अतिरिक्त प्राप्त ऊँचाई है:
$0^2 - (5)^2 = 2(-10) s$
$-25 = -20 s$
$s = \frac{25}{20} = 1.25 \text{ m}$
गेंद द्वारा प्राप्त कुल अधिकतम ऊँचाई $H = h_1 + s = 5 \text{ m} + 1.25 \text{ m} = 6.25 \text{ m}$ है।

(A) प्रक्षेप्य (projectile) के लिए उड़ान का समय $T$ सूत्र $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
प्रारंभिक वेग $u = 50 \ m s^{-1}$
प्रक्षेप्य कोण $\theta = 30^{\circ}$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m s^{-2}$
सूत्र में मान रखने पर:
$T = \frac{2 \times 50 \times \sin 30^{\circ}}{10}$
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$,
$T = \frac{100 \times 0.5}{10} = \frac{50}{10} = 5 \ s$.
अतः,गेंद $5 \ s$ तक हवा में रहेगी।

(A) दिया गया है कि टॉवर की ऊँचाई $h = 19.6 \,m$ है।
प्रक्षेपण बिंदु को जमीन पर स्थित बिंदु से जोड़ने वाली रेखा क्षैतिज के साथ $\theta = 45^{\circ}$ का कोण बनाती है।
ऊँचाई $h$ और क्षैतिज परास $R$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में:
$\tan \theta = \frac{h}{R}$
$\tan 45^{\circ} = \frac{19.6}{R}$
$1 = \frac{19.6}{R} \Rightarrow R = 19.6 \,m$.
जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t$ इस प्रकार है:
$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 19.6}{9.8}} = \sqrt{4} = 2 \,s$.
क्षैतिज दूरी $R$ इस प्रकार है:
$R = u \times t$
$19.6 = u \times 2$
$u = \frac{19.6}{2} = 9.8 \,m/s$.
अतः, गेंद का प्रारंभिक वेग $9.8 \,m/s$ है।

(B) माना $u$ और $\theta$ क्रमशः प्रक्षेप्य वेग और प्रक्षेप्य कोण हैं।
दिया गया है कि वेग का क्षैतिज घटक $u_x = u \cos \theta = 3 \ m/s$ है।
प्रक्षेप्य गति का समीकरण $y = 12x - \frac{3}{4}x^2$ ... $(i)$ है।
हम जानते हैं कि प्रक्षेप्य गति का सामान्य समीकरण $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ ... (ii) है।
समीकरण $(i)$ और (ii) की तुलना करने पर,हमें $\tan \theta = 12$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 12$,इसलिए $\sin \theta = 12 \cos \theta$ होगा।
दोनों पक्षों को $u$ से गुणा करने पर,$u \sin \theta = 12(u \cos \theta) = 12 \times 3 = 36 \ m/s$ प्राप्त होता है।
परास $R$ का सूत्र $R = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = \frac{2(u \sin \theta)(u \cos \theta)}{g}$ है।
मान रखने पर,$R = \frac{2 \times 36 \times 3}{10} = \frac{216}{10} = 21.6 \ m$ प्राप्त होता है।

(B) गेंद को $20 \,m$ की ऊँचाई से प्रक्षेपित किया जाता है और हमें वह क्षैतिज दूरी ज्ञात करनी है जहाँ वह फिर से उसी ऊर्ध्वाधर स्तर (जमीन से $20 \,m$) पर वापस आ जाती है।
यह एक समतल सतह पर $\theta$ कोण पर प्रक्षेपित वस्तु की क्षैतिज परास (Range) ज्ञात करने के समान है।
क्षैतिज परास $R$ का सूत्र है:
$R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$
दिया गया है:
प्रारंभिक गति $u = 13 \,ms^{-1}$
प्रक्षेपण कोण $\theta = 30^{\circ}$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,ms^{-2}$
मान रखने पर:
$R = \frac{(13)^2 \times \sin(2 \times 30^{\circ})}{10}$
$R = \frac{169 \times \sin(60^{\circ})}{10}$
$R = \frac{169 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{10}$
$R = \frac{169 \times 1.732}{20}$
$R = \frac{292.708}{20} \approx 14.635 \,m$
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, हमें $R = 14.6 \,m$ प्राप्त होता है।

(C) जब गेंद-$1$ को मीनार की चोटी से क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित किया जाता है और उसी क्षण गेंद-$2$ को लंबवत नीचे गिराया जाता है,तो दोनों गेंदें गुरुत्वीय त्वरण $g$ के समान प्रभाव के अंतर्गत गति करती हैं।
चूंकि दोनों गेंदों के लिए प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $u_y = 0$ है और वे समान ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h$ तय करती हैं,इसलिए जमीन तक पहुँचने में लगा समय गति के समीकरण $h = \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दिया जाता है।
समय के लिए हल करने पर,हमें $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $h$ और $g$ दोनों गेंदों के लिए समान हैं,इसलिए समय $t$ भी दोनों के लिए समान होगा।
अतः,दोनों गेंदें एक साथ जमीन पर पहुँचेंगी।

(D) प्रक्षेप्य गति में,वस्तु पर कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण है,जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
क्षैतिज दिशा में कोई त्वरण नहीं होता है $(a_x = 0)$।
न्यूटन के प्रथम नियम के अनुसार,यदि किसी दिशा में कोई नेट बल नहीं है,तो उस दिशा में वेग स्थिर रहता है।
इसलिए,वेग का क्षैतिज घटक $(v_x = u cos \theta)$ पूरी उड़ान के दौरान स्थिर रहता है।

(A) माना प्रक्षेपण वेग $v = 2\sqrt{gh}$ है जो क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण बनाता है।
वेग का क्षैतिज घटक: $v_x = v \cos \theta = 2\sqrt{gh} \cos \theta$.
दीवारों के बीच की क्षैतिज दूरी $d = 2h$ को तय करने में लगा समय $t = \frac{d}{v_x} = \frac{2h}{2\sqrt{gh} \cos \theta} = \sqrt{\frac{h}{g}} \sec \theta$ ... $(i)$
प्रक्षेप्य पथ के समीकरण $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2v^2 \cos^2 \theta}$ का उपयोग करते हुए,$y = h$ ऊँचाई वाली दो दीवारों के लिए:
$h = x \tan \theta - \frac{x^2}{8h \cos^2 \theta} \Rightarrow x^2 - (8h \tan \theta \cos^2 \theta) x + 8h^2 = 0$.
दीवारों के बीच की दूरी $x_2 - x_1 = 2h$ है। द्विघात समीकरण के लिए $|x_2 - x_1| = \frac{\sqrt{D}}{|a|}$.
$|x_2 - x_1| = \sqrt{(8h \tan \theta \cos^2 \theta)^2 - 32h^2} = 2h$.
इस समीकरण को हल करने पर $\theta = 60^\circ$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(i)$ में $\theta = 60^\circ$ रखने पर: $t = \sqrt{\frac{h}{g}} \sec 60^\circ = 2\sqrt{\frac{h}{g}} = \sqrt{\frac{4h}{g}}$.

(B) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है,$\theta$ प्रक्षेपण कोण है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
निश्चित प्रारंभिक वेग $u$ के लिए,परास $R$,$\sin(2\theta)$ के समानुपाती होती है।
परास तब अधिकतम होती है जब $\sin(2\theta)$ अधिकतम हो,जो $2\theta = 90^{\circ}$ अर्थात $\theta = 45^{\circ}$ पर होता है।
दिए गए कोणों के लिए हम $\sin(2\theta)$ के मानों की तुलना करते हैं:
$25^{\circ}$ के लिए,$2\theta = 50^{\circ}$,$\sin(50^{\circ}) \approx 0.766$.
$40^{\circ}$ के लिए,$2\theta = 80^{\circ}$,$\sin(80^{\circ}) \approx 0.985$.
$55^{\circ}$ के लिए,$2\theta = 110^{\circ}$,$\sin(110^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 110^{\circ}) = \sin(70^{\circ}) \approx 0.940$.
$70^{\circ}$ के लिए,$2\theta = 140^{\circ}$,$\sin(140^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 140^{\circ}) = \sin(40^{\circ}) \approx 0.643$.
इन मानों की तुलना करने पर,$\sin(80^{\circ})$ सबसे बड़ा है। अतः,$40^{\circ}$ के कोण पर परास अधिकतम होगी।

(B) प्रारंभिक वेग $u$ और प्रक्षेपण कोण $\theta$ वाले प्रक्षेप्य के लिए,परास $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ द्वारा दी जाती है।
उड़ान का समय $t = \frac{2u \sin\theta}{g}$ द्वारा दिया जाता है।
समान परास $R$ के लिए,दो प्रक्षेपण कोण $\theta$ और $(90^\circ - \theta)$ होते हैं।
माना $t_1 = \frac{2u \sin\theta}{g}$ और $t_2 = \frac{2u \sin(90^\circ - \theta)}{g} = \frac{2u \cos\theta}{g}$.
$t_1$ और $t_2$ का गुणनफल करने पर:
$t_1 t_2 = \left( \frac{2u \sin\theta}{g} \right) \left( \frac{2u \cos\theta}{g} \right) = \frac{4u^2 \sin\theta \cos\theta}{g^2}$.
सर्वसमिका $\sin(2\theta) = 2 \sin\theta \cos\theta$ का उपयोग करने पर:
$t_1 t_2 = \frac{2u^2 \sin(2\theta)}{g^2}$.
चूंकि $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$,हम $u^2 \sin(2\theta) = Rg$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$t_1 t_2 = \frac{2(Rg)}{g^2} = \frac{2R}{g}$.
चूंकि $2$ और $g$ स्थिरांक हैं,इसलिए $t_1 t_2 \propto R$ है।

(C) दिया गया है, बंदूक और लक्ष्य के बीच की दूरी $d = 600 \,m$, गोली का वेग $v = 500 \,ms^{-1}$ है।
चूँकि गोली क्षैतिज दूरी तय करती है, लिया गया समय $t = d/v = 600/500 = 1.2 \,s$ है।
गुरुत्वाकर्षण के कारण, गोली इस समय $t$ में $h$ ऊँचाई नीचे गिर जाएगी। गति के समीकरण $h = ut + (1/2)gt^2$ का उपयोग करने पर, जहाँ प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $u = 0$ है:
$h = 0 \times (1.2) + (1/2) \times 10 \times (1.2)^2$
$h = 5 \times 1.44 = 7.2 \,m$.
अतः, ऊर्ध्वाधर गिरावट की भरपाई करने के लिए बंदूक को लक्ष्य से $7.2 \,m$ ऊँचाई पर निशाना लगाना चाहिए।

(A) प्रक्षेप्य गति में ऊपर जाने का समय $t_a$ का सूत्र $t_a = \frac{u \sin \theta}{g}$ होता है।
यहाँ $t_a = 1 \ s$ और $g = 10 \ m/s^2$ दिया गया है,इसलिए $1 = \frac{u \sin \theta}{10}$,जिसका अर्थ है कि $u \sin \theta = 10 \ m/s$ है।
प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{(u \sin \theta)^2}{2g}$ होता है।
इस सूत्र में $u \sin \theta = 10 \ m/s$ और $g = 10 \ m/s^2$ का मान रखने पर:
$H = \frac{10^2}{2 \times 10} = \frac{100}{20} = 5 \ m$.
अतः,प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $5 \ m$ है।

(C) दिया गया है: अधिकतम ऊँचाई $H = 3 \,m$,परास $R = 4 \,m$,और $g = 10 \,ms^{-2}$।
हम जानते हैं कि $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ और $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$।
$H$ और $R$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{H}{R} = \frac{u^2 \sin^2 \theta / 2g}{2u^2 \sin \theta \cos \theta / g} = \frac{\sin \theta}{4 \cos \theta} = \frac{1}{4} \tan \theta$।
मान रखने पर: $\frac{3}{4} = \frac{1}{4} \tan \theta \Rightarrow \tan \theta = 3$।
चूँकि $\tan \theta = 3$,इसलिए $\sin \theta = \frac{3}{\sqrt{10}}$ और $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{10}}$।
$H$ के सूत्र का उपयोग करने पर:
$3 = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{u^2 (3/\sqrt{10})^2}{2 \times 10} = \frac{u^2 \times (9/10)}{20}$।
$3 = \frac{9u^2}{200} \Rightarrow u^2 = \frac{3 \times 200}{9} = \frac{200}{3}$।
$u = \sqrt{\frac{200}{3}} = 10 \sqrt{\frac{2}{3}} \,ms^{-1}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।