Horizontal Projectile Motion Questions in Hindi

(C) भोजन के पैकेट को जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
इस समय के दौरान पैकेट द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी (परास) $R = v \cdot t = v \sqrt{\frac{2h}{g}}$ है।
जब पैकेट गिराया जाता है,तो हेलीकॉप्टर व्यक्ति से क्षैतिज दूरी $R$ और ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h$ पर होता है।
व्यक्ति से हेलीकॉप्टर की दूरी $D$,$R$ और $h$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज का कर्ण है:
$D = \sqrt{R^{2} + h^{2}}$
$R$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$D = \sqrt{\left(v \sqrt{\frac{2h}{g}}\right)^{2} + h^{2}}$
$D = \sqrt{\frac{2v^{2}h}{g} + h^{2}}$

(C) $1$. सबसे पहले,यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करके स्प्रिंग गन से बाहर निकलते समय गेंद का वेग $v$ ज्ञात करें:
$\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m v^2$
यहाँ $k = 100\, \text{N/m}$,$x = 0.05\, \text{m}$,और $m = 100\, \text{g} = 0.1\, \text{kg}$ है।
$100 \times (0.05)^2 = 0.1 \times v^2$
$100 \times 0.0025 = 0.1 \times v^2$
$0.25 = 0.1 \times v^2$
$v^2 = 2.5$
$v = \sqrt{2.5}\, \text{m/s}$.
$2$. इसके बाद,क्षैतिज प्रक्षेप्य गति के समीकरण का उपयोग करके $2\, \text{m}$ की ऊंचाई से जमीन तक पहुँचने में गेंद द्वारा लिया गया समय $t$ ज्ञात करें:
$h = \frac{1}{2} g t^2$
$2 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$
$2 = 5 t^2$
$t^2 = 0.4$
$t = \sqrt{0.4}\, \text{s}$.
$3$. अंत में,क्षैतिज दूरी $d$ ज्ञात करें:
$d = v \times t$
$d = \sqrt{2.5} \times \sqrt{0.4}$
$d = \sqrt{2.5 \times 0.4}$
$d = \sqrt{1} = 1\, \text{m}$.
अतः,$d$ का मान $1\, \text{m}$ है।

(A) क्षैतिज के साथ प्रक्षेपण कोण $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ है।
प्रक्षेप पथ के उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है और केवल वेग का क्षैतिज घटक शेष रहता है।
वेग का क्षैतिज घटक $v_x = u \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $u = 10 \ ms^{-1}$ और $\theta = 30^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए:
$v_x = 10 \cos 30^{\circ} = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3} \ ms^{-1}$.
अतः,उच्चतम बिंदु पर चाल $5 \sqrt{3} \ ms^{-1}$ है।

(A) माना प्रारंभिक वेग $u$ है। किसी भी समय $t$ पर वेग के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटक इस प्रकार हैं:
$v_x = u \cos 45^{\circ} = \frac{u}{\sqrt{2}}$
$v_y = u \sin 45^{\circ} - gt = \frac{u}{\sqrt{2}} - 10(2) = \frac{u}{\sqrt{2}} - 20$
यह दिया गया है कि $t = 2 \, s$ पर परिणामी वेग $20 \, m/s$ है,इसलिए:
$v^2 = v_x^2 + v_y^2$
$20^2 = \left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{u}{\sqrt{2}} - 20\right)^2$
$400 = \frac{u^2}{2} + \frac{u^2}{2} - 20\sqrt{2}u + 400$
$0 = u^2 - 20\sqrt{2}u$
चूँकि $u \neq 0$,हमें $u = 20\sqrt{2} \, m/s$ प्राप्त होता है।
अधिकतम ऊँचाई $H$ इस प्रकार है:
$H = \frac{u^2 \sin^2 45^{\circ}}{2g} = \frac{(20\sqrt{2})^2 \times (1/2)}{2 \times 10} = \frac{800 \times 0.5}{20} = \frac{400}{20} = 20 \, m$.

(D) क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{V^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2V^2 \sin\theta \cos\theta}{g}$ है।
उच्चतम बिंदु तक पहुँचने में लगा समय (जहाँ झुकाव शून्य हो जाता है) $t = \frac{V \sin\theta}{g}$ है।
इससे,$V \sin\theta = gt$,अतः $V = \frac{gt}{\sin\theta}$ प्राप्त होता है।
$V$ का मान परास के सूत्र में रखने पर: $R = \frac{2(gt/\sin\theta)^2 \sin\theta \cos\theta}{g} = \frac{2g^2 t^2 \sin\theta \cos\theta}{g \sin^2\theta} = \frac{2gt^2 \cos\theta}{\sin\theta} = \frac{2gt^2}{\tan\theta}$।
$g = 10 \, m/s^2$ लेने पर,$R = \frac{2(10)t^2}{\tan\theta} = \frac{20t^2}{\tan\theta}$ प्राप्त होता है।
$\theta$ के लिए हल करने पर,$\tan\theta = \frac{20t^2}{R}$,जिसका अर्थ है कि $\cot\theta = \frac{R}{20t^2}$।
अतः,$\theta = \cot^{-1}\left(\frac{R}{20t^2}\right)$।

(A) समान परास के लिए,प्रक्षेपण कोणों को $\theta_{1} + \theta_{2} = 90^{\circ}$ को संतुष्ट करना चाहिए,जिसका अर्थ है $\theta_{2} = 90^{\circ} - \theta_{1}$।
अधिकतम ऊँचाइयाँ $h_{1} = \frac{u^{2} \sin^{2} \theta_{1}}{2g}$ और $h_{2} = \frac{u^{2} \sin^{2} \theta_{2}}{2g} = \frac{u^{2} \cos^{2} \theta_{1}}{2g}$ द्वारा दी जाती हैं।
इन ऊँचाइयों का गुणा करने पर,हमें $h_{1} h_{2} = \left(\frac{u^{2} \sin^{2} \theta_{1}}{2g}\right) \cdot \left(\frac{u^{2} \cos^{2} \theta_{1}}{2g}\right)$ प्राप्त होता है।
इसे $h_{1} h_{2} = \frac{u^{4} \sin^{2} \theta_{1} \cos^{2} \theta_{1}}{4g^{2}} = \left(\frac{u^{2} \cdot 2 \sin \theta_{1} \cos \theta_{1}}{4g}\right)^{2} = \left(\frac{u^{2} \sin(2\theta_{1})}{4g}\right)^{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूँकि परास $R = \frac{u^{2} \sin(2\theta_{1})}{g}$ है,इसलिए $h_{1} h_{2} = \left(\frac{R}{4}\right)^{2} = \frac{R^{2}}{16}$ होता है।
अतः,$R^{2} = 16 h_{1} h_{2}$,जिसका अर्थ है $R = 4 \sqrt{h_{1} h_{2}}$।
इस प्रकार,अभिकथन $A$ और कारण $R$ दोनों सत्य हैं,और $R$,$A$ के लिए सही गणितीय व्याख्या प्रदान करता है।

(C) गोली के फाइटर जेट को हिट करने के लिए,गोली के वेग का क्षैतिज घटक जेट के क्षैतिज वेग के बराबर होना चाहिए ताकि गोली अपनी पूरी उड़ान के दौरान जेट के ठीक नीचे बनी रहे।
मान लीजिए जेट की गति $v_j = 200 \; m/s$ है और गोली की गति $v_b = 400 \; m/s$ है।
गोली के वेग का क्षैतिज घटक $v_{bx} = v_b \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
क्षैतिज घटकों को बराबर करने पर: $v_j = v_b \cos \theta$.
मान रखने पर: $200 = 400 \cos \theta$.
इसलिए,$\cos \theta = \frac{200}{400} = 0.5$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}(0.5) = 60^\circ$.

(B) प्रक्षेप्य की अधिकतम क्षैतिज परास $R_{\max}$ का सूत्र $R_{\max} = \frac{u^2}{g}$ है,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
दिया गया है $R_{\max} = 100 \, m$,इसलिए $\frac{u^2}{g} = 100 \, m$ है।
जब गेंद को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H_{\max} = \frac{u^2}{2g}$ द्वारा दी जाती है।
ऊँचाई के सूत्र में $\frac{u^2}{g}$ का मान रखने पर:
$H_{\max} = \frac{1}{2} \times \left(\frac{u^2}{g}\right) = \frac{1}{2} \times 100 \, m = 50 \, m$ है।
अतः,वह व्यक्ति गेंद को अधिकतम $50 \, m$ की ऊँचाई तक फेंक सकता है।

(D) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2u^2 \sin\theta \cos\theta}{g}$ है।
प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g}$ है।
प्रश्न के अनुसार,परास और अधिकतम ऊँचाई बराबर हैं,इसलिए $R = H$ है।
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2u^2 \sin\theta \cos\theta}{g} = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g}$।
दोनों पक्षों से $u^2/g$ को हटाने पर: $2 \sin\theta \cos\theta = \frac{\sin^2\theta}{2}$।
दोनों पक्षों को $\sin\theta$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $\sin\theta \neq 0$): $2 \cos\theta = \frac{\sin\theta}{2}$।
$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $\tan\theta = 4$।

(C) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है,$\theta$ प्रक्षेपण कोण है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूंकि दोनों प्रक्षेप्यों के लिए $u$ समान है,इसलिए उनकी परास का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\sin(2\theta_1)}{\sin(2\theta_2)}$ होगा।
$\theta_1 = 45^{\circ}$ के लिए,$2\theta_1 = 90^{\circ}$,अतः $\sin(90^{\circ}) = 1$ है।
$\theta_2 = 30^{\circ}$ के लिए,$2\theta_2 = 60^{\circ}$,अतः $\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
इसलिए,$\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{\sqrt{3}/2} = \frac{2}{\sqrt{3}}$।
अतः,अनुपात $2: \sqrt{3}$ है।

(C) किसी प्रक्षेप्य के लिए अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$t = \frac{u \sin \theta}{g}$
यह दिया गया है कि दोनों प्रक्षेप्य समान समय में अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचते हैं,इसलिए:
$t_1 = t_2$
$\frac{u_1 \sin \theta_1}{g} = \frac{u_2 \sin \theta_2}{g}$
दिए गए कोणों $\theta_1 = 30^{\circ}$ और $\theta_2 = 45^{\circ}$ का मान रखने पर:
$u_1 \sin 30^{\circ} = u_2 \sin 45^{\circ}$
$u_1 \left( \frac{1}{2} \right) = u_2 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
अनुपात $\frac{u_1}{u_2}$ ज्ञात करने के लिए:
$\frac{u_1}{u_2} = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
अतः,उनके प्रारंभिक वेगों का अनुपात $\sqrt{2}: 1$ है।

(C) प्रारंभिक क्षैतिज वेग $u_x = 1\,m/s$ दिया गया है।
प्रक्षेप पथ का समीकरण $y = 5x - 5x^2$ है।
समीकरण का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें ऊर्ध्वाधर वेग घटक $v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
सबसे पहले,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(5x - 5x^2) = 5 - 10x$ ज्ञात करें।
चूंकि $v_x = \frac{dx}{dt} = u_x = 1$ (क्षैतिज वेग को स्थिर मानते हुए),हमें $v_y = (5 - 10x) \cdot 1$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक बिंदु पर,$x = 0$ होता है।
इसलिए,प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $u_y = (5 - 10(0)) = 5\,m/s$ है।
अतः,प्रारंभिक वेग का $y$-घटक सदिश $5\,\hat{j}$ है।

(D) प्रक्षेप पथ का समीकरण $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ है।
दिया गया है $\theta = 45^{\circ}$,$x = 20$,$y = 10$,और $g = 10 \ m/s^2$.
$10 = 20(1) - \frac{10(20)^2}{2u^2(1/2)} \Rightarrow 10 = 20 - \frac{4000}{u^2} \Rightarrow \frac{4000}{u^2} = 10 \Rightarrow u^2 = 400 \Rightarrow u = 20 \ m/s$.
उड़ान का समय $T = \frac{2u \sin \theta}{g} = \frac{2(20)(1/\sqrt{2})}{10} = 2\sqrt{2} \ s$.
समय $t = \frac{T}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2 \ s$ पर।
वेग के घटक $v_x = u \cos \theta = 20(1/\sqrt{2}) = 10\sqrt{2} \ m/s$ और $v_y = u \sin \theta - gt = 20(1/\sqrt{2}) - 10(2) = 10\sqrt{2} - 20 \ m/s$ हैं।
संवेग सदिश $\vec{p} = m\vec{v} = 10(10\sqrt{2} \hat{i} + (10\sqrt{2} - 20) \hat{j}) = 100\sqrt{2} \hat{i} + (100\sqrt{2} - 200) \hat{j} \ kg \cdot m/s$.

(C) गेंद की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2} mu^2$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है。
प्रक्षेप्य गति के उच्चतम बिंदु पर, वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है और गेंद के पास केवल वेग का क्षैतिज घटक ही शेष रहता है。
उच्चतम बिंदु पर वेग का क्षैतिज घटक $v_x = u \cos 60^{\circ} = u \times \frac{1}{2} = \frac{u}{2}$ है。
अतः, उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा $E' = \frac{1}{2} m v_x^2 = \frac{1}{2} m \left(\frac{u}{2}\right)^2$ होगी。
$E' = \frac{1}{2} m \frac{u^2}{4} = \frac{1}{4} \left(\frac{1}{2} mu^2\right) = \frac{E}{4}$.

(C) क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ है।
अधिकतम परास के लिए,$\theta = 45^{\circ}$,अतः $R_{\max} = \frac{u^2}{g}$।
दूसरी वस्तु के लिए,परास $R' = \frac{R_{\max}}{2} = \frac{u^2}{2g}$ है।
दूसरी वस्तु के लिए परास के सूत्र की तुलना करने पर: $\frac{u^2 \sin 2\theta'}{g} = \frac{u^2}{2g}$।
इसे सरल करने पर $\sin 2\theta' = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$2\theta' = 30^{\circ}$ या $2\theta' = 150^{\circ}$।
$\theta'$ के लिए हल करने पर,हमें $\theta' = 15^{\circ}$ या $\theta' = 75^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है,इमारत से गिरने की दूरी,$s = 12 \, m$.
प्रत्येक मंजिल की ऊंचाई,$h = 3 \, m$.
इमारत की कुल ऊंचाई,$H = 15 \times 3 = 45 \, m$.
गुरुत्वाकर्षण के तहत ऊर्ध्वाधर गति के लिए गति के दूसरे समीकरण का उपयोग करते हुए (प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $u_y = 0$ लेते हुए):
$H = u_y t + \frac{1}{2} g t^2$
$45 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$
$45 = 5 t^2$
$t^2 = 9 \Rightarrow t = 3 \, s$.
अब,स्थिर गति $v$ के साथ क्षैतिज गति के लिए:
$s = v \times t$
$12 = v \times 3$
$v = 4 \, m/s$.
$m/s$ को $km/h$ में बदलने के लिए,$\frac{18}{5}$ से गुणा करें:
$v = 4 \times \frac{18}{5} = \frac{72}{5} = 14.4 \, km/h$.
निकटतम पूर्णांक में,गति $15 \, km/h$ है।

(B) चूँकि समान प्रक्षेपण वेग के लिए परास समान है,इसलिए प्रक्षेपण कोण पूरक होने चाहिए।
मान लीजिए कोण $\theta_1$ और $\theta_2$ हैं। अतः $\theta_1 + \theta_2 = 90^{\circ}$।
दिया गया है $\theta_1 = 30^{\circ}$,इसलिए $\theta_2 = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$।
प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
पहली गेंद के लिए,$h = \frac{u^2 \sin^2(30^{\circ})}{2g} = \frac{u^2}{2g} \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{u^2}{8g}$।
दूसरी गेंद के लिए,$H_2 = \frac{u^2 \sin^2(60^{\circ})}{2g} = \frac{u^2}{2g} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{u^2}{2g} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3u^2}{8g}$।
दोनों की तुलना करने पर,$H_2 = 3 \left(\frac{u^2}{8g}\right) = 3h$।

(A) $t$ समय में,$m$ द्रव्यमान वाला एक कण गुरुत्वाकर्षण के तहत $h$ ऊर्ध्वाधर दूरी नीचे गिरता है,जो गति के समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$h = \frac{1}{2} g t^2$
यहाँ,क्षैतिज रूप से तय की गई दूरी $d$ है और क्षैतिज दिशा में फोटॉन की गति $c$ है। इस क्षैतिज दूरी $d$ को तय करने में लगा समय है:
$t = \frac{d}{c}$
$t$ का मान ऊर्ध्वाधर दूरी $h$ के समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$h = \frac{1}{2} g \left( \frac{d}{c} \right)^2$
$h = \frac{g d^2}{2 c^2}$
इस प्रकार,फोटॉन $\frac{g d^2}{2 c^2}$ की ऊर्ध्वाधर दूरी नीचे गिरेंगे।

(B) अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगे समय को आरोहण काल $(t_a = 4 \, s)$ कहा जाता है।
गुरुत्वाकर्षण के अंतर्गत प्रक्षेप्य गति के लिए,यदि प्रक्षेपण बिंदु और लैंडिंग बिंदु समान क्षैतिज स्तर पर हैं,तो अवरोहण काल $(t_d)$ आरोहण काल $(t_a)$ के बराबर होता है।
अतः,$t_d = 4 \, s$।
कुल उड़ान का समय $(T)$ आरोहण काल और अवरोहण काल का योग होता है:
$T = t_a + t_d = 4 \, s + 4 \, s = 8 \, s$।

(C) प्रक्षेप्य के उड़ान समय $T$ का सूत्र $T = \frac{2v \sin \theta}{g}$ है।
दिया गया है: प्रारंभिक गति $v = 20 \, m/s$,प्रक्षेपण कोण $\theta = 30^{\circ}$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m/s^2$.
सूत्र में मान रखने पर:
$T = \frac{2 \times 20 \times \sin 30^{\circ}}{10}$
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$ या $\frac{1}{2}$ है:
$T = \frac{2 \times 20 \times 0.5}{10} = \frac{20}{10} = 2 \, s$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
दिया गया है: $u = 20 \, m/s$,$H = 10 \, m$,और $g = 10 \, m/s^2$ लेने पर।
सूत्र में मान रखने पर:
$10 = \frac{(20)^2 \sin^2 \theta}{2 \times 10}$
$10 = \frac{400 \sin^2 \theta}{20}$
$10 = 20 \sin^2 \theta$
$\sin^2 \theta = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$
$\sin \theta = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,$\theta = 45^{\circ}$।

(A) पिंड का प्रारंभिक वेग $\vec{u} = u \cos \theta \hat{i} + u \sin \theta \hat{j}$ है।
उड़ान के अंत में (जब यह जमीन पर वापस आता है),वेग $\vec{v} = u \cos \theta \hat{i} - u \sin \theta \hat{j}$ होता है।
संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{p} = m\vec{v} - m\vec{u} = m(\vec{v} - \vec{u})$ है।
$\Delta \vec{p} = m(u \cos \theta \hat{i} - u \sin \theta \hat{j} - (u \cos \theta \hat{i} + u \sin \theta \hat{j}))$.
$\Delta \vec{p} = m(-2u \sin \theta \hat{j})$.
संवेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{p}| = 2mu \sin \theta$ है।
यहाँ $m = 1 \, kg$,$u = 50 \, m/s$,और $\theta = 30^{\circ}$ दिया गया है।
$|\Delta \vec{p}| = 2 \times 1 \times 50 \times \sin 30^{\circ} = 100 \times 0.5 = 50 \, kg \cdot m/s$।

(D) शेल को $v_2$ वेग से क्षैतिज रूप से चलती हुई ट्रॉली से $v_1$ वेग से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर दागा जाता है। इसलिए,जमीन के सापेक्ष शेल का प्रारंभिक वेग क्षैतिज घटक $u_x = v_2$ और ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = v_1$ रखता है।
क्षैतिज दिशा में कोई त्वरण नहीं है $(a_x = 0)$।
ऊर्ध्वाधर दिशा में,त्वरण गुरुत्वाकर्षण के कारण है $(a_y = -g)$।
उड़ान का समय $T$ ऊर्ध्वाधर गति द्वारा निर्धारित होता है। जब ऊर्ध्वाधर विस्थापन शून्य होता है तो शेल ट्रॉली के स्तर पर वापस आ जाता है:
$y = u_y T - \frac{1}{2} g T^2 = 0$
$v_1 T - \frac{1}{2} g T^2 = 0$
$T = \frac{2 v_1}{g}$
क्षैतिज परास $R$ उड़ान के समय $T$ के दौरान तय की गई क्षैतिज दूरी है:
$R = u_x \times T$
$R = v_2 \times \frac{2 v_1}{g} = \frac{2 v_1 v_2}{g}$
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(D) प्रारंभिक वेग के घटक $u_x = u \cos \theta = 80 \cos 30^{\circ} = 80 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 40 \sqrt{3} \,m/s$ और $u_y = u \sin \theta = 80 \sin 30^{\circ} = 80 \times \frac{1}{2} = 40 \,m/s$ हैं।
किसी भी समय $t$ पर कण की स्थिति $x(t) = u_x t$ और $y(t) = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$ द्वारा दी जाती है।
$t_1 = 2 \,s$ पर:
$x_1 = (40 \sqrt{3}) \times 2 = 80 \sqrt{3} \,m$
$y_1 = 40 \times 2 - \frac{1}{2} \times 10 \times (2)^2 = 80 - 20 = 60 \,m$
$t_2 = 6 \,s$ पर:
$x_2 = (40 \sqrt{3}) \times 6 = 240 \sqrt{3} \,m$
$y_2 = 40 \times 6 - \frac{1}{2} \times 10 \times (6)^2 = 240 - 180 = 60 \,m$
चूंकि $y_1 = y_2$,विस्थापन सदिश $\Delta \vec{r} = (x_2 - x_1) \hat{i} + (y_2 - y_1) \hat{j} = (240 \sqrt{3} - 80 \sqrt{3}) \hat{i} + 0 \hat{j} = 160 \sqrt{3} \hat{i} \,m$ है।
समय अंतराल $\Delta t = 6 - 2 = 4 \,s$ है।
औसत वेग $\vec{v}_{avg} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{160 \sqrt{3}}{4} \hat{i} = 40 \sqrt{3} \hat{i} \,m/s$ है।
अतः औसत वेग का परिमाण $40 \sqrt{3} \,m/s$ है।

(D) प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
यह दिया गया है कि दोनों वस्तुएं समान ऊर्ध्वाधर ऊंचाई प्राप्त करती हैं,इसलिए $H_1 = H_2$.
सूत्र का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $\frac{u_1^2 \sin^2 \theta_1}{2g} = \frac{u_2^2 \sin^2 \theta_2}{2g}$.
दोनों पक्षों से $2g$ को हटाने पर,$u_1^2 \sin^2 \theta_1 = u_2^2 \sin^2 \theta_2$.
यहाँ $\theta_1 = 45^{\circ}$ और $\theta_2 = 60^{\circ}$ है,इसलिए $u_1^2 \sin^2 45^{\circ} = u_2^2 \sin^2 60^{\circ}$.
मान $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ रखने पर,$u_1^2 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = u_2^2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$.
इसे सरल करने पर $u_1^2 \left(\frac{1}{2}\right) = u_2^2 \left(\frac{3}{4}\right)$.
अनुपात $\frac{u_1^2}{u_2^2}$ के लिए व्यवस्थित करने पर,$\frac{u_1^2}{u_2^2} = \frac{3/4}{1/2} = \frac{3}{4} \times 2 = \frac{3}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,वेगों का अनुपात $\frac{u_1}{u_2} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि क्षैतिज परास $R$,अधिकतम ऊँचाई $H$ का दोगुना है,इसलिए $R = 2H$ है।
हम जानते हैं कि क्षैतिज परास और अधिकतम ऊँचाई के सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ और $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ हैं।
इन मानों को दी गई स्थिति $R = 2H$ में रखने पर:
$\frac{u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g} = 2 \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)$
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin^2 \theta$
दोनों पक्षों को $\sin \theta$ से विभाजित करने पर ($\sin \theta \neq 0$ मानते हुए):
$2 \cos \theta = \sin \theta \Rightarrow \tan \theta = 2$।
त्रिभुज से जहाँ $\tan \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{2}{1}$,कर्ण $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$ होगा।
अतः,$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ और $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$।
अब,परास $R$ की गणना करने पर:
$R = \frac{2 u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = \frac{2 u^2}{g} \left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{4 u^2}{5g}$।

(A) अधिकतम ऊँचाई पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य होता है,इसलिए प्रक्षेप्य का वेग उसके क्षैतिज घटक के बराबर होता है,$v = u \cos \theta$।
यह दिया गया है कि अधिकतम ऊँचाई पर वेग प्रारंभिक वेग $u$ का $\frac{\sqrt{3}}{2}$ गुना है,इसलिए:
$u \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} u$
$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\theta = 30^{\circ}$
प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र है:
$R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$
सूत्र में $\theta = 30^{\circ}$ रखने पर:
$R = \frac{u^2 \sin(2 \times 30^{\circ})}{g} = \frac{u^2 \sin 60^{\circ}}{g}$
चूँकि $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,हमें प्राप्त होता है:
$R = \frac{u^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{g} = \frac{\sqrt{3} u^2}{2 g}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) प्रक्षेप्य के लिए,अधिकतम क्षैतिज परास $R_{\max} = \frac{u^2}{g}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $R_{\max} = 400 \, m$।
प्रक्षेप्य का वेग उसके उच्चतम बिंदु पर न्यूनतम होता है।
उच्चतम बिंदु पर,तय की गई क्षैतिज दूरी $x = \frac{R}{2} = \frac{400}{2} = 200 \, m$ है।
अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ द्वारा दी जाती है। अधिकतम परास के लिए,$\theta = 45^\circ$,इसलिए $H = \frac{u^2 \sin^2 45^\circ}{2g} = \frac{u^2 (1/2)}{2g} = \frac{u^2}{4g} = \frac{R_{\max}}{4}$ होता है।
$H = \frac{400}{4} = 100 \, m$।
अतः,उच्चतम बिंदु के निर्देशांक $(x, H) = (200, 100) \, m$ हैं।

(A) प्रक्षेप्य गति के लिए उड्डयन काल $T = \frac{2 u \sin \theta}{g}$ होता है,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है और $\theta$ प्रक्षेपण कोण है।
इससे,प्रारंभिक वेग $u = \frac{g T}{2 \sin \theta}$ प्राप्त होता है।
क्षैतिज परास $R = \frac{2 u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ होता है।
$u$ का मान परास के सूत्र में रखने पर: $R = \frac{2}{g} \left(\frac{g T}{2 \sin \theta}\right)^2 \sin \theta \cos \theta$.
सरल करने पर: $R = \frac{2}{g} \cdot \frac{g^2 T^2}{4 \sin^2 \theta} \cdot \sin \theta \cos \theta$.
$R = \frac{g T^2}{2} \cdot \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{g T^2}{2 \tan \theta}$.
$\tan \theta$ के लिए हल करने पर: $\tan \theta = \frac{g T^2}{2 R}$.
अतः,प्रक्षेपण कोण $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{g T^2}{2 R}\right)$ है।

(C) ग्राफ समय $t$ के साथ एक स्थिर मान दर्शाता है।
प्रक्षेप्य गति में, वेग का क्षैतिज घटक $(v_x)$ पूरी गति के दौरान स्थिर रहता है क्योंकि क्षैतिज दिशा में कोई त्वरण नहीं होता है $(a_x = 0)$।
इसलिए, $v_x = u_x = \text{स्थिर}$।
गतिज ऊर्जा, संवेग और ऊर्ध्वाधर वेग जैसी अन्य राशियाँ समय के साथ बदलती रहती हैं।
अतः, $y$-अक्ष पर आलेखित राशि क्षैतिज वेग है।

(A) प्रक्षेप्य के पथ का समीकरण $y = ax - bx^2$ द्वारा दिया गया है।
जब प्रक्षेप्य क्षैतिज तल पर वापस आता है,तो उसका ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = 0$ हो जाता है।
इस बिंदु पर,क्षैतिज दूरी $x$ क्षैतिज परास $R$ के बराबर होती है।
समीकरण में $y = 0$ और $x = R$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$0 = aR - bR^2$
$aR = bR^2$
चूंकि $R \neq 0$ है,इसलिए दोनों पक्षों को $R$ से विभाजित करने पर:
$a = bR$
$R = \frac{a}{b}$
अतः,क्षैतिज परास $\frac{a}{b}$ है।

(C) प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g}$ द्वारा दी जाती है।
हमें $h = \frac{H}{2} = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{4g}$ ऊँचाई पर वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y$ ज्ञात करना है।
गति के समीकरण $v_y^2 = u_y^2 - 2gh$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u_y = v \sin \theta$ प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग है:
$v_y^2 = (v \sin \theta)^2 - 2g \left( \frac{v^2 \sin^2 \theta}{4g} \right)$
$v_y^2 = v^2 \sin^2 \theta - \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2}$
$v_y^2 = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$v_y = \frac{v \sin \theta}{\sqrt{2}}$
अतः,सही विकल्प $(C)$ है।

(B) प्रक्षेप्य के प्रक्षेप पथ का समीकरण इस प्रकार दिया जाता है:
$y = x \tan \theta \left(1 - \frac{x}{R}\right)$
जहाँ $R$ क्षैतिज परास (range) है।
आकृति से,कुल परास $R = x_1 + x_2$ है।
बिंदु $P$ पर,क्षैतिज दूरी $x = x_1$ है।
इन मानों को प्रक्षेप पथ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = x_1 \tan \theta \left(1 - \frac{x_1}{x_1 + x_2}\right)$
$y = x_1 \tan \theta \left(\frac{x_1 + x_2 - x_1}{x_1 + x_2}\right)$
$y = x_1 \tan \theta \left(\frac{x_2}{x_1 + x_2}\right)$
$y = \left[\frac{x_1 x_2}{x_1 + x_2}\right] \tan \theta$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया है:
क्षैतिज दूरी $x = 100 \,m$
ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = 10 \,cm = 0.1 \,m$
प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $u_y = 0$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,m/s^2$
क्षैतिज प्रक्षेप्य गति के लिए,ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y$ निम्न प्रकार दिया जाता है:
$y = \frac{1}{2} g t^2$
$0.1 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$
$0.1 = 5 t^2$
$t^2 = 0.02$
$t = \sqrt{0.02} \,s$
क्षैतिज दूरी $x$ को स्थिर क्षैतिज वेग $u$ के साथ तय किया जाता है:
$x = u \times t$
$100 = u \times \sqrt{0.02}$
$u = \frac{100}{\sqrt{0.02}} = \frac{100}{\sqrt{2 \times 10^{-2}}} = \frac{100}{0.1414} \approx 707 \,m/s$
अतः,$A$ पर गोली का वेग लगभग $700 \,m/s$ है।

(B) अधिकतम ऊंचाई पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य होता है और वेग का क्षैतिज घटक $v = u \cos \theta$ होता है।
इस बिंदु पर वस्तु पर कार्य करने वाला त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $g$ है,जो ऊर्ध्वाधर रूप से नीचे की ओर कार्य करता है।
अभिकेंद्र त्वरण $a_c$ को $a_c = \frac{v^2}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ वक्रता त्रिज्या है।
अधिकतम ऊंचाई पर,त्वरण $g$ वेग $v$ के लंबवत होता है। अतः,$g$ अभिकेंद्र त्वरण के रूप में कार्य करता है।
इसलिए,$g = \frac{(u \cos \theta)^2}{R}$।
$R$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $R = \frac{u^2 \cos^2 \theta}{g}$ प्राप्त होता है।

(A) किसी भी समय $(t)$ पर प्रक्षेप पथ का ढाल $(m)$ उस कोण $\phi$ के टेंजेंट (tangent) द्वारा दिया जाता है जो वेग सदिश क्षैतिज के साथ बनाता है।
समय $(t)$ पर वेग के घटक $v_x = u \cos \theta$ और $v_y = u \sin \theta - g t$ हैं।
ढाल $(m)$ इस प्रकार है:
$m = \tan \phi = \frac{v_y}{v_x} = \frac{u \sin \theta - g t}{u \cos \theta}$
इस समीकरण को सरल करने पर:
$m = \frac{u \sin \theta}{u \cos \theta} - \frac{g t}{u \cos \theta}$
$m = \tan \theta - \left( \frac{g}{u \cos \theta} \right) t$
यह समीकरण $m = c - k t$ के रूप में है,जहाँ $c = \tan \theta$ (एक स्थिरांक) और $k = \frac{g}{u \cos \theta}$ (एक धनात्मक स्थिरांक) है।
यह एक ऐसी सीधी रेखा को दर्शाता है जिसका $y$-अंतःखंड $(\tan \theta)$ धनात्मक है और ढाल $(-k)$ ऋणात्मक है। इसलिए,$m$ बनाम $t$ का ग्राफ ऋणात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा है।

(B) अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $\sin \theta = \sqrt{\frac{2gH}{u^2}}$।
क्षैतिज परास $R = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ द्वारा दी जाती है।
$\sin \theta$ और $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{2gH}{u^2}}$ का मान परास के सूत्र में रखने पर:
$R = \frac{2u^2}{g} \cdot \sqrt{\frac{2gH}{u^2}} \cdot \sqrt{1 - \frac{2gH}{u^2}} = \frac{2u^2}{g} \cdot \frac{\sqrt{2gH}}{u} \cdot \sqrt{\frac{u^2 - 2gH}{u^2}}$।
इसे सरल करने पर,हमें $R = \frac{2}{g} \cdot \sqrt{2gH} \cdot \sqrt{u^2 - 2gH}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$R^2 = \frac{4}{g^2} \cdot 2gH \cdot (u^2 - 2gH) = \frac{8H}{g} (u^2 - 2gH)$।
$u^2$ के लिए व्यवस्थित करने पर:
$u^2 - 2gH = \frac{R^2 g}{8H} \Rightarrow u^2 = 2gH + \frac{R^2 g}{8H}$।
अतः,प्रक्षेपण वेग $u = \sqrt{2gH + \frac{R^2 g}{8H}}$ है।

(B) माना प्रारंभिक वेग $u$ है और प्रक्षेपण कोण $\theta$ है।
वेग का क्षैतिज घटक $v_x = u \cos \theta$ (स्थिर) है।
समय $t$ पर वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = u \sin \theta - gt$ है।
दिया गया है कि $t = 1 \, s$ पर,क्षैतिज के साथ कोण $45^{\circ}$ है:
$\tan 45^{\circ} = \frac{v_y}{v_x} = \frac{u \sin \theta - g(1)}{u \cos \theta} = 1$
$u \sin \theta - g = u \cos \theta \implies u \sin \theta - u \cos \theta = g \quad \dots (1)$
दिया गया है कि $t = 2 \, s$ पर गति न्यूनतम है। प्रक्षेप्य की गति उच्चतम बिंदु पर न्यूनतम होती है जहाँ वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य होता है $(v_y = 0)$:
$u \sin \theta - g(2) = 0 \implies u \sin \theta = 2g \quad \dots (2)$
$(2)$ को $(1)$ में रखने पर:
$2g - u \cos \theta = g \implies u \cos \theta = g \quad \dots (3)$
$(2)$ को $(3)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{u \sin \theta}{u \cos \theta} = \frac{2g}{g} \implies \tan \theta = 2$
$\theta = \tan^{-1}(2)$.

(D) माना खंभे की ऊँचाई $h$ है। गेंद को $\theta = 45^{\circ}$ के कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है।
माना $\alpha$ प्रक्षेपण बिंदु से खंभे के शीर्ष का उन्नयन कोण है,और $\beta$ खंभे के शीर्ष से उस बिंदु का अवनमन कोण है जहाँ गेंद गिरती है।
प्रक्षेप्य गति के ज्यामितीय गुण के अनुसार,$\tan \alpha = \frac{h}{d_1}$ और $\tan \beta = \frac{h}{d_2}$ होता है।
प्रक्षेप्य गति के लिए सूत्र $\tan \theta = \tan \alpha + \tan \beta$ है।
मान रखने पर: $\tan 45^{\circ} = \frac{h}{d_1} + \frac{h}{d_2}$.
चूँकि $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $1 = h \left(\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2}\right) = h \left(\frac{d_1 + d_2}{d_1 d_2}\right)$.
अतः,खंभे की ऊँचाई $h = \frac{d_1 d_2}{d_1 + d_2}$ है।

(C) $t_1$ और $t_2$ समय के बीच प्रक्षेप्य का ऊर्ध्वाधर विस्थापन शून्य है क्योंकि कण दोनों समय पर समान ऊंचाई पर है।
औसत वेग को कुल विस्थापन को कुल समय अंतराल से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
औसत वेग $\vec{v}_{avg} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{\Delta x \hat{i} + \Delta y \hat{j}}{t_2 - t_1}$.
चूंकि ऊंचाई समान है,इसलिए $\Delta y = 0$.
क्षैतिज विस्थापन $\Delta x = v_x \times (t_2 - t_1)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v_x = u \cos \theta$.
अतः,$\Delta x = (u \cos \theta)(t_2 - t_1)$.
इसे औसत वेग के सूत्र में रखने पर: $\vec{v}_{avg} = \frac{(u \cos \theta)(t_2 - t_1) \hat{i} + 0 \hat{j}}{t_2 - t_1} = u \cos \theta \hat{i}$.
इसलिए,औसत वेग का परिमाण $u \cos \theta$ है।

(A) उड्डयन काल $T$ का सूत्र $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ है।
मान रखने पर: $T = \frac{2 \times 20 \times \sin(30^{\circ})}{10} = \frac{2 \times 20 \times 0.5}{10} = 2 \, s$.
हमें $t = 1 \, s$ पर अभिकेंद्र त्वरण ज्ञात करना है।
चूंकि कुल उड्डयन काल $2 \, s$ है,वस्तु $t = \frac{T}{2} = 1 \, s$ पर अपने उच्चतम बिंदु पर पहुँचती है।
प्रक्षेप्य गति के उच्चतम बिंदु पर,वेग पूरी तरह से क्षैतिज होता है और त्वरण पूरी तरह से ऊर्ध्वाधर ($g$ के बराबर) होता है।
अभिकेंद्र त्वरण $a_c$ को $a_c = \frac{v^2}{R}$ के रूप में परिभाषित किया गया है। उच्चतम बिंदु पर,वक्रता त्रिज्या $R = \frac{v_x^2}{g}$ होती है।
$a_c$ के सूत्र में $R$ का मान रखने पर,हमें $a_c = \frac{v_x^2}{(v_x^2/g)} = g$ प्राप्त होता है।
अतः,उच्चतम बिंदु पर अभिकेंद्र त्वरण $g = 10 \, m/s^2$ है।

(B) जब किसी गतिशील पिंड पर उसके प्रारंभिक वेग के समानांतर या प्रति-समानांतर न होने वाली दिशा में एक स्थिर बल कार्य करता है,तो पिंड उस दिशा में एक स्थिर त्वरण का अनुभव करता है।
मान लीजिए प्रारंभिक वेग $\vec{u}$ है और स्थिर त्वरण $\vec{a}$ है।
किसी भी समय $t$ पर पिंड की स्थिति $\vec{r}(t) = \vec{u}t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2$ द्वारा दी जाती है।
यह समीकरण विस्थापन और समय के बीच एक द्विघात संबंध को दर्शाता है,जो परवलय का विशिष्ट समीकरण है।
इसलिए,पिंड द्वारा अनुसरण किया जाने वाला पथ परवलयाकार होता है।

(B) यदि समान गति से फेंके गए दो प्रक्षेप्यों के लिए परास समान है,तो प्रक्षेपण कोण पूरक होने चाहिए,अर्थात $\theta$ और $(90^\circ - \theta)$।
प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊंचाई का सूत्र $h = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
पहले पत्थर के लिए,$h_1 = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$।
दूसरे पत्थर के लिए,$h_2 = \frac{u^2 \sin^2(90^\circ - \theta)}{2g} = \frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g}$।
दोनों ऊंचाइयों को जोड़ने पर:
$h_1 + h_2 = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} + \frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g}$
$h_1 + h_2 = \frac{u^2}{2g} (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$h_1 + h_2 = \frac{u^2}{2g}$।

(A) प्रक्षेप्य को क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर $u$ गति से प्रक्षेपित किया जाता है।
मान लीजिए कि प्रक्षेप्य $t_1$ और $t_2$ समय पर समान स्तर को पार करता है।
वेग का क्षैतिज घटक $v_x = u \cos \theta$ है,जो गति के दौरान स्थिर रहता है।
वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = u \sin \theta - gt$ है।
समान स्तर पर,ऊर्ध्वाधर विस्थापन शून्य होता है,इसलिए $t_1$ और $t_2$ पर ऊर्ध्वाधर वेग के घटक परिमाण में समान लेकिन दिशा में विपरीत होते हैं।
इन दो क्षणों के बीच क्षैतिज विस्थापन $\Delta x = (u \cos \theta) \times \Delta t$ है,जहाँ $\Delta t = t_2 - t_1$ है।
औसत वेग को $\vec{v}_{avg} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि ऊर्ध्वाधर विस्थापन शून्य है,इसलिए औसत वेग पूरी तरह से क्षैतिज है: $\vec{v}_{avg} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{(u \cos \theta) \Delta t}{\Delta t} = u \cos \theta$.

(A) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ है।
प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
प्रश्न के अनुसार,क्षैतिज परास अधिकतम ऊँचाई के बराबर है,इसलिए $R = H$.
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
समान पदों $(u^2/g)$ को काटने पर: $2 \sin \theta \cos \theta = \frac{\sin^2 \theta}{2}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $4 \sin \theta \cos \theta = \sin^2 \theta$.
दोनों पक्षों को $\sin \theta \cos \theta$ से विभाजित करने पर ($\theta \neq 0$ मानते हुए): $4 = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$.
अतः,$\tan \theta = 4$.

(C) किसी भी समय $t$ पर प्रक्षेप्य का ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = (u \sin \theta)t - \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कण $t_1$ और $t_2$ समय पर समान ऊँचाई पर है,इसलिए हमारे पास है:
$(u \sin \theta)t_1 - \frac{1}{2}gt_1^2 = (u \sin \theta)t_2 - \frac{1}{2}gt_2^2$
$(u \sin \theta)(t_2 - t_1) = \frac{1}{2}g(t_2^2 - t_1^2)$
$u \sin \theta = \frac{g(t_1 + t_2)}{2}$
यहाँ $t_1 = 1 \, s$,$t_2 = 3 \, s$,$\theta = 30^{\circ}$,और $g = 10 \, m/s^2$ दिया गया है:
$u \sin 30^{\circ} = \frac{10(1 + 3)}{2}$
$u \times 0.5 = \frac{10 \times 4}{2}$
$0.5u = 20$
$u = 40 \, m/s$.

(B) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $R \propto u^2$,जिसका अर्थ है कि परास प्रक्षेपण वेग के वर्ग के समानुपाती होती है,न कि वर्गमूल के।
इसलिए,कथन $(B)$ गलत है।
कथन $(A)$ सत्य है क्योंकि उड्डयन काल $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$,इसलिए $T \propto u$.
कथन $(C)$ सत्य है क्योंकि $\sin 2\theta$ का मान $2\theta = 90^{\circ}$ पर अधिकतम होता है,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$.
कथन $(D)$ सत्य है क्योंकि अधिकतम ऊँचाई पर,वेग पूरी तरह से क्षैतिज होता है,जबकि गुरुत्वीय त्वरण पूरी तरह से ऊर्ध्वाधर होता है,जिससे वे एक-दूसरे के लंबवत हो जाते हैं।

(B) प्रक्षेप्य का ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = (u \sin \theta)t - \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि प्रक्षेप्य $t_1 = 1 \, s$ और $t_2 = 3 \, s$ पर समान ऊँचाई पर है,इसलिए इन समयों का योग उस ऊँचाई तक पहुँचने के लिए कुल समय के बराबर होता है,जो $t_1 + t_2 = \frac{2u \sin \theta}{g}$ है।
यहाँ $u = 40 \, m/s$,$g = 10 \, m/s^2$,$t_1 = 1 \, s$,और $t_2 = 3 \, s$ दिया गया है:
$1 + 3 = \frac{2 \times 40 \times \sin \theta}{10}$.
$4 = 8 \sin \theta$.
$\sin \theta = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = 30^{\circ}$.
प्रक्षेपण कोण $\theta = \tan^{-1}(\tan 30^{\circ}) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ होगा।

(A) किसी बल द्वारा दी गई शक्ति का सूत्र $P = \vec{F} \cdot \vec{v} = Fv cos \theta$ है,जहाँ $F$ बल है,$v$ वेग है,और $ \theta$ बल और वेग सदिशों के बीच का कोण है।
इस मामले में,बल गुरुत्वाकर्षण है,जो लंबवत नीचे की ओर कार्य करता है $(F = mg)$।
प्रक्षेप्य की नीचे की ओर गति के दौरान,वेग सदिश $\vec{v}$ नीचे की ओर निर्देशित होता है,जो लंबवत बल सदिश $\vec{F}$ के साथ $ \theta$ कोण बनाता है।
जैसे-जैसे पिंड नीचे की ओर बढ़ता है,गुरुत्वाकर्षण के त्वरण के कारण इसकी गति $v$ बढ़ती है।
चूंकि गुरुत्वाकर्षण बल स्थिर है और नीचे की ओर बल और नीचे की ओर वेग के बीच का कोण $ \theta$ $0^{\circ}$ है (या $0^{\circ}$ की ओर घट रहा है),इसलिए $Fv cos \theta$ का मान बढ़ता है।
अतः,नीचे की ओर गति के दौरान गुरुत्वाकर्षण द्वारा दी गई शक्ति बढ़ती है।

(D) किसी निकाय के द्रव्यमान केंद्र की गति केवल निकाय पर कार्य करने वाले बाहरी बलों द्वारा निर्धारित होती है।
इस मामले में,विस्फोट आंतरिक बलों के कारण होता है,जो द्रव्यमान केंद्र के प्रक्षेपवक्र को प्रभावित नहीं करते हैं।
इसलिए,द्रव्यमान केंद्र उसी मूल परवलयाकार पथ का अनुसरण करना जारी रखता है जो विस्फोट न होने पर होता।
प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास का सूत्र $R = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g}$ है।
अतः,द्रव्यमान केंद्र की क्षैतिज परास $\frac{v^2 \sin 2\theta}{g}$ ही रहेगी।