Horizontal Projectile Motion Questions in Hindi

(C) मान लीजिए प्रारंभिक वेग $v$ है और प्रक्षेपण कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
दिया गया है,प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = v \sin \theta = 40 \ m \ s^{-1}$ है।
उड़ान का समय $T = \frac{2 v \sin \theta}{g} = \frac{2 \times 40}{10} = 8 \ s$ है।
वह समय जिस पर हमें वेग ज्ञात करना है,$t = \frac{T}{4} = \frac{8}{4} = 2 \ s$ है।
वेग का क्षैतिज घटक पूरी गति के दौरान स्थिर रहता है: $v_x = v \cos \theta$।
चूंकि $v \sin \theta = 40$,इसलिए $v = \frac{40}{\sin 60^{\circ}} = \frac{40}{\sqrt{3}/2} = \frac{80}{\sqrt{3}} \approx 46.19 \ m \ s^{-1}$ है।
अतः,$v_x = \frac{80}{\sqrt{3}} \times \cos 60^{\circ} = \frac{80}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{2} = \frac{40}{\sqrt{3}} \approx 23.09 \ m \ s^{-1}$ है।
समय $t$ पर वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y(t) = v \sin \theta - g t = 40 - (10 \times 2) = 20 \ m \ s^{-1}$ है।
समय $t$ पर वेग का परिमाण $v_t = \sqrt{v_x^2 + v_y(t)^2} = \sqrt{(23.09)^2 + (20)^2} = \sqrt{533.15 + 400} = \sqrt{933.15} \approx 30.54 \ m \ s^{-1}$ है।

(C) अभिकथन $(A)$ सत्य है। प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है। दिए गए प्रारंभिक वेग $u$ के लिए,परास तब अधिकतम होती है जब $\sin(2\theta)$ अधिकतम हो,अर्थात $\sin(2\theta) = 1$,जिसका अर्थ है $2\theta = 90^{\circ}$ या $\theta = 45^{\circ}$।
कारण $(R)$ असत्य है। प्रक्षेप्य की परास $R$ न केवल प्रक्षेपण कोण $\theta$ पर,बल्कि प्रारंभिक वेग $u$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ पर भी निर्भर करती है $(R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g})$। इसलिए,यह 'केवल' प्रक्षेपण कोण पर निर्भर नहीं करती है।
अतः,$(A)$ सत्य है लेकिन $(R)$ असत्य है।

(D) माना प्रारंभिक वेग $u$ है और प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
प्रक्षेप्य के पथ का समीकरण इस प्रकार है:
$y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$
यहाँ $x = 30 \,m$, $y = 20 \,m$, $\theta = 45^{\circ}$, और $g = 10 \,m/s^2$ दिया गया है:
$20 = 30 \tan 45^{\circ} - \frac{10 \times (30)^2}{2 u^2 \cos^2 45^{\circ}}$
$20 = 30(1) - \frac{10 \times 900}{2 u^2 \times (1/2)}$
$20 = 30 - \frac{9000}{u^2}$
$\frac{9000}{u^2} = 10$
$u^2 = 900 \implies u = 30 \,m/s$
क्षैतिज परास $R$ इस प्रकार है:
$R = \frac{u^2 \sin 2 \theta}{g} = \frac{900 \times \sin 90^{\circ}}{10} = 90 \,m$
खंभे के आधार से $s$ दूरी, कुल परास में से खंभे तक की प्रारंभिक दूरी को घटाने पर प्राप्त होती है:
$s = R - 30 = 90 - 30 = 60 \,m$
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(D) प्रक्षेप्य गति के लिए अधिकतम परास $R_{\max} = \frac{u^2}{g}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि परास $R$,अधिकतम परास की आधी है,इसलिए $R = \frac{R_{\max}}{2} = \frac{u^2}{2g}$ है।
प्रक्षेप्य की परास का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ होता है।
$R$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{u^2}{2g}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\sin 2\theta = \frac{1}{2}$ हो जाता है।
चूंकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ होता है,इसलिए $2\theta = 30^{\circ}$,जिससे $\theta = 15^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) माना कि प्रक्षेप्य का वेग क्षैतिज के साथ $\frac{\theta}{2}$ कोण पर $v$ है।
चूंकि गति के दौरान वेग का क्षैतिज घटक स्थिर रहता है:
$v \cos \left(\frac{\theta}{2}\right) = u \cos \theta$
$v = \frac{u \cos \theta}{\cos \left(\frac{\theta}{2}\right)}$
वक्र पथ के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल,गुरुत्वाकर्षण के उस घटक द्वारा प्रदान किया जाता है जो वेग सदिश के लंबवत है,जो $mg \cos \left(\frac{\theta}{2}\right)$ है।
अभिकेंद्र बल के सूत्र $\frac{mv^2}{r} = F_c$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{mv^2}{r} = mg \cos \left(\frac{\theta}{2}\right)$
$r = \frac{v^2}{g \cos \left(\frac{\theta}{2}\right)}$
$v$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$r = \frac{\left(\frac{u \cos \theta}{\cos \left(\frac{\theta}{2}\right)}\right)^2}{g \cos \left(\frac{\theta}{2}\right)}$
$r = \frac{u^2 \cos^2 \theta}{g \cos^2 \left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\theta}{2}\right)}$
$r = \frac{u^2 \cos^2 \theta \sec^3 \left(\frac{\theta}{2}\right)}{g}$

(C) क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर प्रक्षेपित प्रक्षेप्य के लिए:
अधिकतम ऊँचाई,$H_{\max} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$
परास,$R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$
अधिकतम ऊँचाई और परास का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{H_{\max}}{R} = \frac{u^2 \sin^2 \theta / 2g}{2u^2 \sin \theta \cos \theta / g} = \frac{\sin^2 \theta}{4 \sin \theta \cos \theta} = \frac{\tan \theta}{4}$
यहाँ $\theta = \tan^{-1}(\frac{8}{7})$ दिया गया है,इसलिए $\tan \theta = \frac{8}{7}$।
$\tan \theta$ का मान रखने पर:
$\frac{H_{\max}}{R} = \frac{8/7}{4} = \frac{8}{28} = \frac{2}{7}$।
अतः,अनुपात $2:7$ है।

(D) प्रक्षेप्य का प्रक्षेप पथ निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$y = f(x) = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$
किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर प्रक्षेप पथ की ढाल अवकलन $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है:
$\frac{dy}{dx} = \tan \theta - \frac{gx}{u^2 \cos^2 \theta} = \frac{v_y}{v_x}$
यह ढाल वेग के ऊर्ध्वाधर घटक और क्षैतिज घटक के अनुपात को दर्शाती है,न कि स्वयं वेग के परिमाण को। इसलिए,कथन $(A)$ गलत है।
कारण $(R)$ बताता है कि किसी बिंदु पर वेग सदिश हमेशा उस बिंदु पर प्रक्षेप पथ की स्पर्श रेखा के अनुदिश होता है। यह समतल में गति का एक मूलभूत गुण है,क्योंकि तात्क्षणिक वेग स्थिति में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित होता है,जो पथ की स्पर्श रेखा की दिशा में होता है। अतः,कारण $(R)$ सही है।

(D) प्रक्षेप्य के प्रक्षेप पथ का समीकरण इस प्रकार है:
$y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$
यहाँ $\theta = 45^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\tan 45^{\circ} = 1$ और $\cos^2 45^{\circ} = \frac{1}{2}$ होगा।
समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$y = x - \frac{g x^2}{2 u^2 (1/2)} = x - \frac{g x^2}{u^2} \quad ... (i)$
चूंकि पिंड $(4, 3) \ m$ बिंदु से गुजरता है,इसलिए $x = 4$ और $y = 3$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$3 = 4 - \frac{g(4^2)}{u^2}$
$3 = 4 - \frac{16g}{u^2}$
$\frac{16g}{u^2} = 1 \Rightarrow u^2 = 16g$
अब $u^2 = 16g$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$y = x - \frac{g x^2}{16g} = x - \frac{x^2}{16}$
क्षैतिज परास $R$,$x$ का वह मान है जहाँ $y = 0$ होता है (जमीन पर गिरने के बिंदु पर):
$0 = x - \frac{x^2}{16}$
$x(1 - \frac{x}{16}) = 0$
यहाँ $x = 0$ प्रारंभिक स्थिति है,इसलिए अंतिम स्थिति के लिए $1 - \frac{x}{16} = 0$ लेने पर $x = 16 \ m$ प्राप्त होता है।
अतः,क्षैतिज परास $16 \ m$ है।

(A) प्रक्षेप्य का प्रारंभिक वेग $\vec{u} = (1\hat{i} + 2\hat{j}) \text{ ms}^{-1}$ है।
अतः,प्रारंभिक क्षैतिज घटक $u_x = 1 \text{ ms}^{-1}$ और प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = 2 \text{ ms}^{-1}$ है।
त्वरण के घटक $a_x = 0$ और $a_y = -g = -10 \text{ ms}^{-2}$ हैं।
किसी भी समय $t$ पर,तय की गई क्षैतिज दूरी:
$x = u_x t = 1 \cdot t \implies t = x \quad \dots (i)$
तय की गई ऊर्ध्वाधर दूरी:
$y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$
$y = 2t + \frac{1}{2}(-10)t^2$
$y = 2t - 5t^2 \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ से $t$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = 2(x) - 5(x)^2$
$y = 2x - 5x^2$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया है कि दोनों टावरों की ऊँचाई समान है,$h_1 = h_2 = h = 20 \ m$.
क्षैतिज रूप से फेंके गए पिंड के लिए उड़ान का समय $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
$t = \sqrt{\frac{2 \times 20}{10}} = \sqrt{4} = 2 \ s$.
टावर $A$ से बिंदु $P$ तक का क्षैतिज विस्थापन $x_A = u_A t = 20 \ ms^{-1} \times 2 \ s = 40 \ m$ है।
टावर $B$ से बिंदु $Q$ तक का क्षैतिज विस्थापन $x_B = u_B t = 30 \ ms^{-1} \times 2 \ s = 60 \ m$ है।
बिंदु $P$ और $Q$ के बीच की दूरी $d = 200 \ m - (x_A + x_B) = 200 \ m - (40 \ m + 60 \ m) = 100 \ m$ है।
$P$ पर विरामावस्था $(u = 0)$ से शुरू होकर $10 \ s$ में $Q$ तक पहुँचने वाली कार के लिए,गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$100 = 0 \times 10 + \frac{1}{2} \times a \times (10)^2$.
$100 = 50a$.
$a = 2 \ ms^{-2}$.

(C) दिया गया है:
प्रारंभिक क्षैतिज वेग, $u_x = 20 \,ms^{-1}$.
प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग, $u_y = 0$.
गुरुत्वीय त्वरण, $g = a_y = 10 \,ms^{-2}$.
क्षैतिज त्वरण, $a_x = 0$.
$t = 1 \,s$ के लिए:
$A$. परिणामी वेग $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.
$v_x = u_x + a_x t = 20 + 0 = 20 \,ms^{-1}$.
$v_y = u_y + a_y t = 0 + 10 \times 1 = 10 \,ms^{-1}$.
$v = \sqrt{20^2 + 10^2} = \sqrt{400 + 100} = \sqrt{500} \approx 22.4 \,ms^{-1}$. ($IV$ से मेल खाता है)
$B$. क्षैतिज विस्थापन $s_x = u_x t + \frac{1}{2} a_x t^2 = 20 \times 1 + 0 = 20 \,m$. ($II$ से मेल खाता है)
$C$. ऊर्ध्वाधर विस्थापन $s_y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times 1^2 = 5 \,m$. ($I$ से मेल खाता है)
$D$. ऊर्ध्वाधर वेग $v_y = 10 \,ms^{-1}$. ($III$ से मेल खाता है)
अतः, सही मिलान $A-IV, B-II, C-I, D-III$ है।

(D) प्रारंभिक वेग $u = 10 \sqrt{3} \ m/s$ और $\theta = 60^{\circ}$ है।
क्षैतिज घटक: $u_x = u \cos 60^{\circ} = 10 \sqrt{3} \times (1/2) = 5 \sqrt{3} \ m/s$.
ऊर्ध्वाधर घटक: $u_y = u \sin 60^{\circ} = 10 \sqrt{3} \times (\sqrt{3}/2) = 15 \ m/s$.
प्रारंभिक वेग सदिश: $\vec{v}_i = 5 \sqrt{3} \hat{i} + 15 \hat{j}$.
$t = 2 \ s$ के बाद,क्षैतिज वेग $v_x = u_x = 5 \sqrt{3} \ m/s$.
ऊर्ध्वाधर वेग $v_y = u_y - gt = 15 - (10 \times 2) = 15 - 20 = -5 \ m/s$.
अंतिम वेग सदिश: $\vec{v}_f = 5 \sqrt{3} \hat{i} - 5 \hat{j}$.
डॉट प्रोडक्ट की गणना: $\vec{v}_i \cdot \vec{v}_f = (5 \sqrt{3})(5 \sqrt{3}) + (15)(-5) = 75 - 75 = 0$.
चूंकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,इसलिए सदिशों के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।

(D) क्षैतिज प्रक्षेप्य गति के लिए, क्षैतिज वेग $v_x = u = 30 \,ms^{-1}$ स्थिर रहता है।
समय $t$ पर ऊर्ध्वाधर वेग $v_y = gt = 10t$ है।
समय $t_1$ पर, $v_x = v_y$, इसलिए $30 = 10t_1$, जिससे $t_1 = 3 \,s$ प्राप्त होता है।
समय $t$ पर क्षैतिज विस्थापन $x = ut = 30t$ है।
समय $t$ पर ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2 = 5t^2$ है।
समय $t_2$ पर, $x = y$, इसलिए $30t_2 = 5t_2^2$। चूँकि $t_2 \neq 0$, हमें $t_2 = \frac{30}{5} = 6 \,s$ प्राप्त होता है।
अतः, $t_2 - t_1 = 6 \,s - 3 \,s = 3 \,s$।

(B) $u$ गति और $\theta$ कोण पर प्रक्षेपित वस्तु की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है।
अधिकतम क्षैतिज परास $R_{max}$ तब प्राप्त होती है जब $\theta = 45^\circ$ हो,जो $R_{max} = \frac{u^2}{g}$ है।
चूंकि गोलियां सभी दिशाओं में दागी जाती हैं,इसलिए वे जमीन पर एक वृत्ताकार क्षेत्र को कवर करेंगी जिसकी त्रिज्या अधिकतम परास $R_{max}$ के बराबर होगी।
इस वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi R_{max}^2$ होता है।
$R_{max}$ का मान रखने पर,हमें $A = \pi \left(\frac{u^2}{g}\right)^2 = \frac{\pi u^4}{g^2}$ प्राप्त होता है।

(B) प्रारंभिक वेग $u = 60 \sqrt{2} \ m/s$ और कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
वेग का क्षैतिज घटक: $u_x = u \cos(45^{\circ}) = 60 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 60 \ m/s$.
वेग का ऊर्ध्वाधर घटक: $u_y = u \sin(45^{\circ}) = 60 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 60 \ m/s$.
$t = 6 \ s$ समय के बाद,क्षैतिज वेग स्थिर रहता है: $v_x = u_x = 60 \ m/s$.
गुरुत्वाकर्षण के कारण ऊर्ध्वाधर वेग बदलता है $(g = 10 \ m/s^2)$: $v_y = u_y - gt = 60 - (10 \times 6) = 0 \ m/s$.
वेग द्वारा क्षैतिज के साथ बनाया गया कोण $\alpha$ इस प्रकार है: $\tan(\alpha) = \frac{v_y}{v_x} = \frac{0}{60} = 0$.
इसलिए,$\alpha = 0^{\circ}$.

(C) माना प्रक्षेप्य का प्रारंभिक वेग $u$ है और प्रक्षेपण कोण $\theta$ है। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}mu^2$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर, वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है, और प्रक्षेप्य का वेग केवल क्षैतिज घटक $v_x = u \cos \theta$ रह जाता है।
अधिकतम ऊँचाई पर गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}m(u \cos \theta)^2 = \frac{1}{2}mu^2 \cos^2 \theta$ है।
प्रश्न के अनुसार, $K_f = \frac{1}{2}K_i$ है।
इन व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\frac{1}{2}mu^2 \cos^2 \theta = \frac{1}{2} (\frac{1}{2}mu^2)$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\cos^2 \theta = \frac{1}{2}$ हो जाता है, जिसका अर्थ है $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः, $\theta = 45^{\circ}$ है।

(C) प्रक्षेप्य का मानक समीकरण $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ है।
इसे $y = ax - bx^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\tan \theta = a$ और $b = \frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta}$ प्राप्त होता है।
$i)$ प्रारंभिक वेग $u$: चूंकि $\tan \theta = a$,$\sec^2 \theta = 1 + a^2$,इसलिए $\cos^2 \theta = \frac{1}{1+a^2}$। $b$ में मान रखने पर,$b = \frac{g(1+a^2)}{2u^2} \implies u = \sqrt{\frac{g(1+a^2)}{2b}}$। अतः,$i-d$।
$ii)$ परास $R$: $y=0$ रखने पर,$x(a-bx)=0 \implies R = \frac{a}{b}$। अतः,$ii-a$।
$iii)$ अधिकतम ऊँचाई $H$: $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{u^2 \tan^2 \theta \cos^2 \theta}{2g} = \frac{a^2}{4b}$। अतः,$iii-c$।
$iv)$ उड्डयन काल $T$: $T = \frac{2u \sin \theta}{g} = \frac{2u \tan \theta \cos \theta}{g} = a \sqrt{\frac{2}{bg}}$। अतः,$iv-b$।
इसलिए,सही मिलान $i-d, ii-a, iii-c, iv-b$ है।

(D) प्रारंभिक वेग $u = 10\sqrt{2} \ m/s$ और कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
क्षैतिज घटक $u_x = u \cos 45^{\circ} = 10\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 10 \ m/s$ है।
ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \sin 45^{\circ} = 10\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 10 \ m/s$ है।
किसी भी समय $t$ पर,वेग के घटक $v_x = 10 \ m/s$ और $v_y = 10 - 10t$ हैं।
गति $v$ का सूत्र $v^2 = v_x^2 + v_y^2$ है।
यहाँ $v = \sqrt{125} \ m/s$ दिया गया है,इसलिए $v^2 = 125$ है।
$125 = 10^2 + (10 - 10t)^2$.
$125 = 100 + (10 - 10t)^2$.
$(10 - 10t)^2 = 25$.
वर्गमूल लेने पर,$10 - 10t = \pm 5$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $10 - 10t = 5 \implies 10t = 5 \implies t_1 = 0.5 \ s$.
स्थिति $2$: $10 - 10t = -5 \implies 10t = 15 \implies t_2 = 1.5 \ s$.
समय अंतराल $\Delta t = t_2 - t_1 = 1.5 - 0.5 = 1.0 \ s$ है।

(B) प्रारंभिक वेग $\vec{u} = u_x \hat{i} + u_y \hat{j} = (1\hat{i} + 2\hat{j}) \text{ ms}^{-1}$ द्वारा दिया गया है।
अतः,क्षैतिज घटक $u_x = 1 \text{ ms}^{-1}$ और ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = 2 \text{ ms}^{-1}$ है।
किसी भी समय $t$ पर,क्षैतिज स्थिति $x = u_x t = 1 \cdot t$ है,जिसका अर्थ है $t = x$।
ऊर्ध्वाधर स्थिति $y = u_y t - \frac{1}{2}gt^2$ है।
समीकरण में $g = 10 \text{ ms}^{-2}$,$u_y = 2 \text{ ms}^{-1}$,और $t = x$ रखने पर:
$y = 2x - \frac{1}{2}(10)x^2$.
$y = 2x - 5x^2$.
इसलिए,प्रक्षेप पथ का समीकरण $y = 2x - 5x^2$ है।

(D) प्रक्षेप्य के प्रक्षेपपथ का समीकरण इस प्रकार है:
$y = x \tan \theta \left(1 - \frac{x}{R}\right) = x \tan \theta - \frac{x^2 \tan \theta}{R}$
इसे दिए गए समीकरण $y = Px - Qx^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P = \tan \theta$
$Q = \frac{\tan \theta}{R} \implies R = \frac{\tan \theta}{Q} = \frac{P}{Q}$
हम जानते हैं कि अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र है:
$H = \frac{R \tan \theta}{4}$
$R$ और $\tan \theta$ के मान रखने पर:
$H = \frac{(P/Q) \cdot P}{4} = \frac{P^2}{4Q}$
अतः,अधिकतम ऊँचाई और परास का अनुपात है:
$\frac{H}{R} = \frac{P^2 / 4Q}{P / Q} = \frac{P}{4}$

(A) प्रारंभिक वेग $\vec{u} = 10 \hat{i} + p \hat{j}$ है। अतः,$u_x = 10 \ m/s$ और $u_y = p \ m/s$ है।
अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u_y^2}{2g} = \frac{p^2}{2g}$ है।
परास $R$ का सूत्र $R = \frac{2 u_x u_y}{g} = \frac{2(10)(p)}{g} = \frac{20p}{g}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$H = 0.5 R$ है।
मान रखने पर: $\frac{p^2}{2g} = 0.5 \times \frac{20p}{g}$.
$\frac{p^2}{2g} = \frac{10p}{g}$.
चूँकि $p \neq 0$,दोनों पक्षों को $p/g$ से विभाजित करने पर: $\frac{p}{2} = 10$.
अतः,$p = 20$ प्राप्त होता है।

(D) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ है।
माना लक्ष्य की दूरी $R$ है।
$\theta_1 = 15^{\circ}$ के लिए,परास $R_1 = R - 10$ है। अतः,$R - 10 = \frac{u^2 \sin 30^{\circ}}{g} = \frac{u^2}{2g}$.
$\theta_2 = 45^{\circ}$ के लिए,परास $R_2 = R + 15$ है। अतः,$R + 15 = \frac{u^2 \sin 90^{\circ}}{g} = \frac{u^2}{g}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{R - 10}{R + 15} = \frac{u^2/2g}{u^2/g} = \frac{1}{2}$.
$2R - 20 = R + 15 \Rightarrow R = 35 \ m$.
अब,$R + 15 = \frac{u^2}{g} \Rightarrow 35 + 15 = \frac{u^2}{g} \Rightarrow \frac{u^2}{g} = 50 \ m$.
लक्ष्य को भेदने के लिए,परास $R = 35 \ m$ होनी चाहिए। अतः,$35 = 50 \sin 2\theta$.
$\sin 2\theta = \frac{35}{50} = \frac{7}{10}$.
$\theta = \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{7}{10}\right)$.

(B) प्रक्षेप्य के पथ का समीकरण $y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कण बिंदु $(r, y)$ से गुजरता है,हमारे पास $y = r \tan \theta - \frac{g r^2}{2 u^2} (1 + \tan^2 \theta)$ है।
इसे $\tan \theta$ में द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $\frac{g r^2}{2 u^2} \tan^2 \theta - r \tan \theta + (y + \frac{g r^2}{2 u^2}) = 0$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि दो मूल $\tan \theta_1$ और $\tan \theta_2$ हैं। तब $\tan \theta_1 \tan \theta_2 = \frac{y + g r^2 / 2 u^2}{g r^2 / 2 u^2} = 1 + \frac{2 u^2 y}{g r^2}$।
क्षैतिज दूरी $r$ तक पहुँचने में लगा समय $t = \frac{r}{u \cos \theta}$ है।
अतः,$t_1 t_2 = \frac{r^2}{u^2 \cos \theta_1 \cos \theta_2}$।
प्रक्षेप्य गति के संबंध का उपयोग करते हुए,यह एक मानक परिणाम है कि $t_1 t_2 = \frac{2 r}{g \tan \alpha}$ जहाँ $\alpha$ बिंदु का उन्नयन कोण है। एक निश्चित बिंदु $(r, y)$ के लिए,$t_1 t_2 = \frac{2 r}{g \tan \theta_{\text{elevation}}}$।
चूंकि $g$ स्थिर है,इसलिए $t_1 t_2 \propto r$।

(A) प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई $H$ और उड़ान का समय $T$ इस प्रकार हैं:
$H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ और $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$.
इन समीकरणों से हम देख सकते हैं कि $H \propto u^2$ और $T \propto u$ (चूँकि $\theta$ स्थिर है)।
इसलिए,$H \propto T^2$ है।
यदि ऊँचाई $10 \%$ बढ़ जाती है,तो नई ऊँचाई $H_2 = 1.10 H_1$ होगी।
चूँकि $H \propto T^2$,हमारे पास $\frac{H_2}{H_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2$ है।
$1.10 = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 \implies \frac{T_2}{T_1} = \sqrt{1.10} \approx 1.0488$.
यह लगभग $4.88 \%$ की वृद्धि के अनुरूप है,जो $5 \%$ के सबसे निकट है।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 50 \ kg$,परास $R = 8 \ m$,कोण $\theta = 45^{\circ}$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \ m/s^2$.
प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर:
$8 = \frac{u^2 \sin(2 \times 45^{\circ})}{9.8} = \frac{u^2 \sin(90^{\circ})}{9.8} = \frac{u^2}{9.8}$.
अतः,$u^2 = 8 \times 9.8 = 78.4 \ m^2/s^2$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $\frac{1}{2} m u^2$ है।
$(K.E.) = \frac{1}{2} \times 50 \times 78.4 = 25 \times 78.4 = 1960 \ J$.

(B) दिया गया है: हेलीकॉप्टर का वेग $u = 288 \ km/h = 288 \times \frac{5}{18} \ m/s = 80 \ m/s$। गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$। मान लीजिए हेलीकॉप्टर की ऊँचाई $h$ है और बम की क्षैतिज परास $R$ है। जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ है। क्षैतिज परास $R = u \times t = u \sqrt{\frac{2h}{g}}$ है। बम गिराने के बिंदु और प्रभाव बिंदु को जोड़ने वाली रेखा द्वारा क्षैतिज के साथ बनाया गया कोण $\theta$ है,जिसके लिए $\tan \theta = \frac{h}{R}$ होता है। दिया गया है $\theta = 45^{\circ}$,इसलिए $\tan 45^{\circ} = 1$,जिसका अर्थ है $h = R$। $R = u \sqrt{\frac{2h}{g}}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $h = u \sqrt{\frac{2h}{g}}$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $h^2 = u^2 \frac{2h}{g} \implies h = \frac{2u^2}{g}$। मान रखने पर: $h = \frac{2 \times (80)^2}{10} = \frac{2 \times 6400}{10} = 1280 \ m$।

(B) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 19.6 \ m/s$,अधिकतम ऊँचाई $H = 9.8 \ m$.
हम जानते हैं कि अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
$g = 9.8 \ m/s^2$ मानते हुए,$9.8 = \frac{(19.6)^2 \sin^2 \theta}{2 \times 9.8}$।
$9.8 = \frac{384.16 \sin^2 \theta}{19.6} \implies 9.8 = 19.6 \sin^2 \theta$।
$\sin^2 \theta = \frac{9.8}{19.6} = 0.5$,अतः $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है कि $\theta = 45^\circ$।
परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है।
चूँकि $\theta = 45^\circ$,इसलिए $\sin(2\theta) = \sin(90^\circ) = 1$।
$R = \frac{(19.6)^2}{9.8} = \frac{384.16}{9.8} = 39.2 \ m$।

(A) मान लीजिए गेंद को $u$ प्रारंभिक वेग से $\theta = 45^{\circ}$ के कोण पर प्रक्षेपित किया गया है।
समय $t$ पर ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = (u \sin \theta)t - \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि गेंद $t_1 = 2 \ s$ और $t_2 = 8 \ s$ पर समान ऊँचाई $y$ पर है,इसलिए:
$(u \sin \theta)t_1 - \frac{1}{2}gt_1^2 = (u \sin \theta)t_2 - \frac{1}{2}gt_2^2$
$u \sin \theta (t_2 - t_1) = \frac{1}{2}g(t_2^2 - t_1^2)$
$u \sin \theta = \frac{g(t_1 + t_2)}{2} = \frac{10(2 + 8)}{2} = 50 \ m/s$.
चूंकि $\theta = 45^{\circ}$,इसलिए $u \sin 45^{\circ} = u \cos 45^{\circ} = 50 \ m/s$,अतः $u_x = 50 \ m/s$.
दोनों बिंदुओं के बीच की क्षैतिज दूरी $d$,$t_1$ और $t_2$ के बीच का क्षैतिज विस्थापन है:
$d = u_x(t_2 - t_1) = 50 \times (8 - 2) = 50 \times 6 = 300 \ m$.

(A) प्रक्षेप्य गति के लिए,यदि कोई पिंड $t_1$ समय पर एक बिंदु से गुजरता है और उसके बाद $t_2$ समय के बाद जमीन पर पहुंचता है,तो कुल उड़ान का समय $T = t_1 + t_2 = 2.3 \ s + 5.7 \ s = 8.0 \ s$ है।
अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने में लगा समय $t_{max} = \frac{T}{2} = \frac{8.0 \ s}{2} = 4.0 \ s$ है।
अधिकतम ऊंचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{1}{2} g t_{max}^2$ है।
मान रखने पर: $H = \frac{1}{2} \times 10 \ ms^{-2} \times (4.0 \ s)^2$.
$H = 5 \times 16 = 80 \ m$.
अतः,पिंड द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊंचाई $80 \ m$ है।

(B) प्रक्षेप्य के प्रक्षेप पथ का समीकरण $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = \sqrt{3}x - 0.2x^2$ के साथ तुलना करने पर:
$1$. $\tan \theta = \sqrt{3} \implies \theta = 60^\circ$.
$2$. $\frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta} = 0.2$.
यहाँ $g = 10 \ ms^{-2}$ और $\cos 60^\circ = 0.5$ रखने पर,$\frac{10}{2u^2 (0.5)^2} = 0.2$.
$\frac{10}{2u^2 (0.25)} = 0.2 \implies \frac{10}{0.5u^2} = 0.2 \implies \frac{20}{u^2} = 0.2 \implies u^2 = 100 \implies u = 10 \ ms^{-1}$.
उड्डयन काल $T$ का सूत्र $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ है।
$T = \frac{2 \times 10 \times \sin 60^\circ}{10} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \ s$.

(D) प्रक्षेप्य गति के लिए, प्रक्षेपण कोण $\theta = \tan^{-1}(\sqrt{7})$ है, इसलिए $\tan \theta = \sqrt{7}$।
अधिकतम ऊँचाई के आधे पर $(y = H/2)$, वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y^2 = u_y^2 - 2g(H/2) = u^2 \sin^2 \theta - gH$ द्वारा दिया जाता है।
क्षैतिज वेग का घटक स्थिर रहता है: $v_x = u_x = u \cos \theta$।
इस ऊँचाई पर चाल $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{u^2 \cos^2 \theta + u^2 \sin^2 \theta - gH} = \sqrt{u^2 - gH}$ है।
चूँकि $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$, इसलिए $gH = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2}$।
इसे $v^2$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$v^2 = u^2 - \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2} = u^2 (1 - \frac{\sin^2 \theta}{2})$।
$\tan \theta = \sqrt{7}$ होने के कारण, $\sin^2 \theta = \frac{\tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{7}{1 + 7} = \frac{7}{8}$।
अतः, $v^2 = u^2 (1 - \frac{7/8}{2}) = u^2 (1 - \frac{7}{16}) = u^2 (\frac{9}{16})$।
चूँकि $v = nu$, इसलिए $n^2 = \frac{9}{16}$, जिससे $n = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: हवाई जहाज का वेग,$u = 60 \ km/h = 60 \times \frac{5}{18} \ m/s = \frac{50}{3} \ m/s$.
हवाई जहाज की ऊँचाई,$h = 490 \ m$.
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 9.8 \ m/s^2$.
बम को जमीन तक पहुँचने में लगा समय $h = \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
$t = \sqrt{\frac{2 \times 490}{9.8}} = \sqrt{\frac{980}{9.8}} = \sqrt{100} = 10 \ s$.
इस समय में बम द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $R = u \times t$ है।
$R = \left(\frac{50}{3}\right) \times 10 = \frac{500}{3} \ m$.

(C) प्रारंभिक वेग $u = 50 \ m/s$,कोण $\theta = 30^{\circ}$,$g = 10 \ m/s^2$ है।
वेग का क्षैतिज घटक $u_x = u \cos \theta = 50 \cos 30^{\circ} = 50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3} \ m/s$ है।
वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \sin \theta = 50 \sin 30^{\circ} = 50 \times 0.5 = 25 \ m/s$ है।
कुल परास (Range) $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{50^2 \sin 60^{\circ}}{10} = \frac{2500 \times \sqrt{3}}{20} = 125\sqrt{3} \ m \approx 216.5 \ m$ है।
$t = 3 \ s$ में तय की गई क्षैतिज दूरी $x = u_x \times t = 25\sqrt{3} \times 3 = 75\sqrt{3} \ m \approx 129.9 \ m$ है।
दीवार के आगे वह दूरी जहाँ पत्थर जमीन से टकराएगा,$R - x = 125\sqrt{3} - 75\sqrt{3} = 50\sqrt{3} \ m$ है।
$50 \times 1.732 = 86.6 \ m$।

(D) प्रक्षेप्य के लिए अधिकतम क्षैतिज परास $R_{\max}$ का सूत्र $R_{\max} = \frac{u^2}{g}$ है।
दिया गया है $R_{\max} = 80 \,m$, इसलिए $80 = \frac{u^2}{g}$, जिसका अर्थ है $u^2 = 80g$।
जब गेंद को उसी वेग $u$ के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है, तो प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ के लिए गति का समीकरण $v^2 = u^2 - 2gH$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर, अंतिम वेग $v = 0$ होता है।
मान रखने पर: $0 = u^2 - 2gH$।
$2gH = u^2$।
चूँकि $u^2 = 80g$, इसलिए $2gH = 80g$।
$H = \frac{80g}{2g} = 40 \,m$।

(B) प्रक्षेप्य के पथ का कार्तीय समीकरण $y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया प्रारंभिक वेग सदिश $\vec{u} = \hat{i} + 2 \hat{j} \,ms^{-1}$ है।
यहाँ, क्षैतिज घटक $u_x = 1 \,ms^{-1}$ और ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = 2 \,ms^{-1}$ है।
क्षैतिज विस्थापन $x = u_x t = 1 \cdot t$ है, इसलिए $t = x$ है।
ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$ है।
$y$ के समीकरण में $t = x$ रखने पर:
$y = 2(x) - \frac{1}{2} (10) (x)^2$.
$y = 2x - 5x^2$.

(B) प्रारंभिक वेग के घटक $u_x = 3 \text{ m s}^{-1}$ और $u_y = 4 \text{ m s}^{-1}$ हैं।
गति के समीकरणों का उपयोग करते हुए: $x = u_x t = 3t \Rightarrow t = \frac{x}{3}$.
$y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2 = 4t - \frac{1}{2} (10) t^2 = 4t - 5t^2$.
$t = \frac{x}{3}$ को $y$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = 4 \left( \frac{x}{3} \right) - 5 \left( \frac{x}{3} \right)^2 = \frac{4x}{3} - \frac{5x^2}{9}$.
इसे $\frac{1}{9} [\beta x + \gamma x^2]$ के रूप में बदलने के लिए,हम $9$ से गुणा और भाग करते हैं:
$y = \frac{1}{9} [12x - 5x^2]$.
दिए गए रूप $\frac{1}{9} [\beta x + \gamma x^2]$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\beta = 12$ और $\gamma = -5$ प्राप्त होता है।

(B) वेग का क्षैतिज घटक $u_x = u \cos \theta = 20 \cos 30^{\circ} = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \ m/s$ है।
वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \sin \theta = 20 \sin 30^{\circ} = 20 \times \frac{1}{2} = 10 \ m/s$ है।
$t = 0.1 \ s$ समय के बाद,क्षैतिज विस्थापन $x = u_x t = 10\sqrt{3} \times 0.1 = \sqrt{3} \ m$ है।
ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = u_y t - \frac{1}{2}gt^2 = 10 \times 0.1 - \frac{1}{2} \times 10 \times (0.1)^2 = 1 - 0.05 = 0.95 \ m = \frac{19}{20} \ m$ है।
विस्थापन सदिश और क्षैतिज के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{y}{x}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \frac{19/20}{\sqrt{3}} = \frac{19}{20\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।

(C) अधिकतम ऊँचाई $h = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g}$ द्वारा दी जाती है।
परास $R = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g} = \frac{2 u^2 \sin \alpha \cos \alpha}{g}$ द्वारा दी जाती है।
$h$ को $R$ से विभाजित करने पर:
$\frac{h}{R} = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g} \cdot \frac{g}{2 u^2 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\tan \alpha}{4}$.
अतः,$\tan \alpha = \frac{4h}{R}$.
उड़ान का समय $T = \frac{2u \sin \alpha}{g}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$T^2 = \frac{4u^2 \sin^2 \alpha}{g^2}$.
इस प्रकार,$\frac{g T^2}{8} = \frac{g}{8} \cdot \frac{4u^2 \sin^2 \alpha}{g^2} = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g} = h$.
अतः,$h = \frac{g T^2}{8}$.

(A) माना प्रारंभिक गति $u$ है और प्रक्षेप्य कोण $\theta$ है। अधिकतम ऊँचाई पर गति $u \cos \theta$ होती है।
प्रश्न के अनुसार,प्रारंभिक गति अधिकतम ऊँचाई पर गति की दोगुनी है:
$u = 2(u \cos \theta)$
$\Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow \theta = 60^{\circ}$.
परास $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ और अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
अनुपात $\frac{R}{H}$:
$\frac{R}{H} = \frac{u^2 \sin(2\theta) / g}{u^2 \sin^2 \theta / (2g)} = \frac{2 \sin(2\theta)}{\sin^2 \theta} = \frac{4 \sin \theta \cos \theta}{\sin^2 \theta} = 4 \cot \theta$.
$\theta = 60^{\circ}$ रखने पर:
$\frac{R}{H} = 4 \cot(60^{\circ}) = 4 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$.

(A) प्रक्षेप्य गति के दौरान वेग का क्षैतिज घटक हमेशा स्थिर रहता है। मान लीजिए प्रारंभिक वेग $v_0 = 140 \ m/s$ है और कोण $\theta_0 = 60^{\circ}$ है। मान लीजिए $t$ समय पर वेग $v$ है और कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
क्षैतिज घटक: $v_x = v_0 \cos 60^{\circ} = v \cos 30^{\circ}$.
$140 \times \frac{1}{2} = v \times \frac{\sqrt{3}}{2} \implies v = \frac{140}{\sqrt{3}} \ m/s$.
$t$ समय पर ऊर्ध्वाधर घटक: $v_y = v_0 \sin 60^{\circ} - gt = v \sin 30^{\circ}$.
$140 \times \frac{\sqrt{3}}{2} - 10t = \frac{140}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{2}$.
$70\sqrt{3} - 10t = \frac{70}{\sqrt{3}}$.
$10t = 70\sqrt{3} - \frac{70}{\sqrt{3}} = 70 \left( \frac{3-1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{140}{\sqrt{3}}$.
$t = \frac{14}{\sqrt{3}} \ s$.

(B) माना प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
उच्चतम बिंदु $P$ पर,ऊँचाई $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है और प्रक्षेपण बिंदु $O$ से क्षैतिज दूरी $R/2 = \frac{u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ है।
उन्नयन कोण $\alpha$ वह कोण है जो उच्चतम बिंदु $P$ द्वारा प्रक्षेपण बिंदु $O$ पर क्षैतिज के साथ बनाया जाता है।
समकोण त्रिभुज $\triangle POM$ में,हमारे पास है:
$\tan \alpha = \frac{H}{R/2} = \frac{\frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}}{\frac{u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}} = \frac{\sin \theta}{2 \cos \theta} = \frac{1}{2} \tan \theta$.
$\theta = 45^{\circ}$ रखने पर:
$\tan \alpha = \frac{1}{2} \tan 45^{\circ} = \frac{1}{2} (1) = \frac{1}{2}$.
अतः,$\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$.

(B) माना लक्ष्य की दूरी $d$ है।
प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ द्वारा दी जाती है।
$\theta = 15^{\circ}$ के लिए,परास $R_1 = \frac{u^2 \sin(30^{\circ})}{g} = \frac{u^2}{2g}$ है।
दिया गया है कि यह $10 \ m$ कम गिरता है,इसलिए $R_1 = d - 10$,अर्थात $\frac{u^2}{2g} = d - 10$ (समीकरण $i$)।
$\theta = 45^{\circ}$ के लिए,परास $R_2 = \frac{u^2 \sin(90^{\circ})}{g} = \frac{u^2}{g}$ है।
दिया गया है कि यह $10 \ m$ आगे गिरता है,इसलिए $R_2 = d + 10$,अर्थात $\frac{u^2}{g} = d + 10$ (समीकरण $ii$)।
समीकरण $i$ को समीकरण $ii$ से विभाजित करने पर,$\frac{1}{2} = \frac{d - 10}{d + 10}$ प्राप्त होता है।
$d$ के लिए हल करने पर,$d + 10 = 2d - 20$,जिससे $d = 30 \ m$ प्राप्त होता है।
$d = 30$ को समीकरण $ii$ में रखने पर,$\frac{u^2}{g} = 30 + 10 = 40$ प्राप्त होता है।
$d = 30 \ m$ पर लक्ष्य को भेदने के लिए,$R = 30 = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = 40 \sin 2\theta$ लेते हैं।
अतः,$\sin 2\theta = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$।

(B) दिया गया है, प्रारंभिक वेग $u = 5 \text{ m/s}$।
क्षैतिज परास $R$, अधिकतम ऊँचाई $H$ की दोगुनी है, अर्थात $R = 2H$।
हम जानते हैं कि $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ और $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$।
इन मानों को दी गई शर्त में रखने पर:
$\frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = 2 \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)$
$\frac{u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{g}$
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin^2 \theta$
$2 \cos \theta = \sin \theta \Rightarrow \tan \theta = 2$।
$\tan \theta = 2$ के लिए, हमारे पास एक समकोण त्रिभुज है जिसमें लंब $= 2$ और आधार $= 1$ है। कर्ण $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$ होगा।
अतः, $\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ और $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$।
अब, परास $R$ की गणना करते हैं:
$R = \frac{u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g} = \frac{5^2 \times 2 \times (\frac{2}{\sqrt{5}}) \times (\frac{1}{\sqrt{5}})}{10}$
$R = \frac{25 \times 2 \times 2}{10 \times 5} = \frac{100}{50} = 2 \text{ m}$।
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(C) ट्रक का वेग $v = 30 \,m/s$ है। ट्रक द्वारा $100 \,m$ की दूरी तय करने में लगा समय $t = \frac{d}{v} = \frac{100}{30} = \frac{10}{3} \,s$ है।
चूंकि लड़का इस समय के बाद प्रक्षेप्य को पकड़ लेता है, इसलिए प्रक्षेप्य का कुल उड़ान समय $T = \frac{10}{3} \,s$ है।
ट्रक के सापेक्ष लंबवत दिशा में फेंके गए प्रक्षेप्य के लिए, उड़ान का समय $T = \frac{2u_y}{g}$ होता है, जहाँ $u_y$ वेग का लंबवत घटक है।
मान रखने पर: $\frac{10}{3} = \frac{2u_y}{10}$.
$u_y$ के लिए हल करने पर: $u_y = \frac{10 \times 10}{3 \times 2} = \frac{100}{6} = \frac{50}{3} \,m/s$.
चूंकि प्रक्षेप्य को ट्रक के सापेक्ष फेंका जाता है, इसलिए ट्रक के सापेक्ष वेग का क्षैतिज घटक $0$ है। अतः, ट्रक के सापेक्ष गति $u_y = \frac{50}{3} \,m/s$ है।

(D) मान लीजिए कि $t = \sqrt{2} \,s$ के बाद वस्तु बिंदु $B(x, y)$ पर है।
क्षैतिज विस्थापन $x = u_x \times t = (v_0 \cos 45^{\circ}) \times \sqrt{2} = v_0 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{2} = v_0$ है।
ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2 = (v_0 \sin 45^{\circ}) \sqrt{2} - \frac{1}{2} (10) (\sqrt{2})^2 = v_0 - 10$ है।
विस्थापन सदिश $\vec{OB}$ का परिमाण $OB = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{v_0^2 + (v_0 - 10)^2}$ है।
औसत वेग का परिमाण $v_{\text{avg}} = \frac{OB}{t} = |v_0|$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$OB = |v_0| t = v_0 \sqrt{2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $v_0^2 + (v_0 - 10)^2 = (v_0 \sqrt{2})^2$।
$v_0^2 + v_0^2 - 20v_0 + 100 = 2v_0^2$।
$2v_0^2 - 20v_0 + 100 = 2v_0^2$।
$20v_0 = 100$,जिससे $v_0 = 5 \,m/s$ प्राप्त होता है।

(B) प्रक्षेप्य की अधिकतम परास (range) तब प्राप्त होती है जब प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^{\circ}$ हो।
परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है।
अधिकतम परास के लिए, $\sin(2\theta) = \sin(90^{\circ}) = 1$ होता है।
अतः, $R_{max} = \frac{u^2}{g}$।
यहाँ $u = 30 \,m/s$ और $g = 10 \,m/s^2$ दिया गया है, इसलिए:
$R_{max} = \frac{(30)^2}{10} = \frac{900}{10} = 90 \,m$।

(A) दिया गया है: प्रारंभिक गति $u = 20 \,m/s$, प्रक्षेपण कोण $\theta = 34^{\circ}$, और गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \,m/s^2$.
प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर:
$H = \frac{(20)^2 \times (\sin 34^{\circ})^2}{2 \times 9.8}$
$H = \frac{400 \times (0.56)^2}{19.6}$
$H = \frac{400 \times 0.3136}{19.6}$
$H = \frac{125.44}{19.6} = 6.4 \,m$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $6.3 \,m$ है।

(B) प्रारंभिक वेग $u = 2\sqrt{2} \ m/s$ और कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
क्षैतिज घटक $u_x = u \cos 45^{\circ} = 2\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \ m/s$.
ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \sin 45^{\circ} = 2\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \ m/s$.
$t = 2 \ s$ में क्षैतिज विस्थापन $x = u_x \times t = 2 \times 2 = 4 \ m$.
$t = 2 \ s$ में ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = u_y t - \frac{1}{2}gt^2 = 2(2) - \frac{1}{2}(10)(2^2) = 4 - 20 = -16 \ m$.
कुल विस्थापन $S = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{4^2 + (-16)^2} = \sqrt{16 + 256} = \sqrt{272} \approx 16.49 \ m$.
औसत वेग $v_{avg} = \frac{S}{t} = \frac{16.49}{2} = 8.245 \ m/s \approx 8.2 \ m/s$.