Horizontal Projectile Motion Questions in Hindi

(A) प्रक्षेप्य गति के पथ का समीकरण $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ है।
माना $k = \frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta}$ है। तब समीकरण $y = x \tan \theta - kx^2$ हो जाता है।
चूंकि प्रक्षेप पथ $(P, Q)$ और $(Q, P)$ से गुजरता है,इसलिए:
$Q = P \tan \theta - kP^2$ --- $(1)$
$P = Q \tan \theta - kQ^2$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ घटाने पर:
$Q - P = (P - Q) \tan \theta - k(P^2 - Q^2)$
$-(P - Q) = (P - Q) \tan \theta - k(P - Q)(P + Q)$
$(P - Q)$ से भाग देने पर:
$-1 = \tan \theta - k(P + Q) \implies k = \frac{\tan \theta + 1}{P + Q}$।
$k$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$Q = P \tan \theta - \left( \frac{\tan \theta + 1}{P + Q} \right) P^2$
$Q(P + Q) = P(P + Q) \tan \theta - P^2 \tan \theta - P^2$
$PQ + Q^2 + P^2 = PQ \tan \theta$
$\tan \theta = \frac{P^2 + Q^2 + PQ}{PQ}$।

(C) प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $H_{\max}$ का सूत्र $H_{\max} = \frac{v^2}{2g}$ है,जहाँ $v$ प्रारंभिक वेग है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
दिया गया है $H_{\max} = 136\,m$,इसलिए $\frac{v^2}{2g} = 136\,m$ है।
इससे $v^2 = 272g$ प्राप्त होता है।
अधिकतम क्षैतिज परास $R_{\max}$ $45^\circ$ के कोण पर प्राप्त होता है और इसका सूत्र $R_{\max} = \frac{v^2}{g}$ है।
ऊँचाई के समीकरण से $v^2$ का मान रखने पर,हमें $R_{\max} = \frac{272g}{g} = 272\,m$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,चूँकि $H_{\max} = \frac{v^2}{2g}$ और $R_{\max} = \frac{v^2}{g}$,इसलिए $R_{\max} = 2H_{\max}$ होता है।
अतः,$R_{\max} = 2 \times 136\,m = 272\,m$।

(D) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ है।
पहली वस्तु के लिए जिसे $\alpha$ कोण पर प्रक्षेपित किया गया है,परास $R_1 = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g}$ है।
दूसरी वस्तु के लिए जिसे $\beta$ कोण पर प्रक्षेपित किया गया है,परास $R_2 = \frac{u^2 \sin 2\beta}{g}$ है।
दिया गया है कि $\alpha + \beta = 90^{\circ}$,इसलिए $\beta = 90^{\circ} - \alpha$ है।
$R_2$ के व्यंजक में $\beta$ का मान रखने पर:
$R_2 = \frac{u^2 \sin 2(90^{\circ} - \alpha)}{g} = \frac{u^2 \sin(180^{\circ} - 2\alpha)}{g}$।
चूंकि $\sin(180^{\circ} - \theta) = \sin \theta$,इसलिए $R_2 = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\frac{u^2 \sin 2\alpha}{g}}{\frac{u^2 \sin 2\alpha}{g}} = \frac{1}{1}$ होगा।

(D) मान लीजिए पत्थर का प्रारंभिक वेग $u$ है और प्रक्षेपण कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
प्रक्षेपण बिंदु पर,गतिज ऊर्जा $KE_{POP} = \frac{1}{2} m u^2$ है।
प्रक्षेप्य पथ के उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है,और वेग केवल क्षैतिज घटक $v_x = u \cos \theta$ के बराबर होता है।
अतः,उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा $KE_{top} = \frac{1}{2} m (u \cos 30^{\circ})^2 = \frac{1}{2} m u^2 \cos^2 30^{\circ}$ है।
अनुपात $\frac{KE_{POP}}{KE_{top}} = \frac{\frac{1}{2} m u^2}{\frac{1}{2} m u^2 \cos^2 30^{\circ}} = \frac{1}{\cos^2 30^{\circ}}$ है।
चूंकि $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\cos^2 30^{\circ} = \frac{3}{4}$ है।
अतः,अनुपात $\frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) प्रक्षेप्य गति के उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य होता है और गति वेग के क्षैतिज घटक के बराबर होती है,जो $v_x = u \cos \theta$ है।
यह दिया गया है कि उच्चतम बिंदु पर गति $\frac{\sqrt{3}}{2} u$ है,इसलिए $u \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} u$ है।
इसका अर्थ है कि $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$,अतः $\theta = 30^{\circ}$ है।
उड्डयन काल $T$ का सूत्र $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ है।
$\theta = 30^{\circ}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $T = \frac{2u \sin 30^{\circ}}{g} = \frac{2u (1/2)}{g} = \frac{u}{g}$.

(A) प्रक्षेप्य गति में,उच्चतम बिंदु पर:
$1$. वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $V_{y} = 0$ होता है।
$2$. वेग का क्षैतिज घटक $V_{x} = u_{x} = u \cos \theta$ होता है,जो पूरी गति के दौरान स्थिर रहता है।
$3$. गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_{g} = mgh$ अधिकतम ऊंचाई $H_{\max}$ पर अधिकतम होती है क्योंकि ऊंचाई $h$ का मान अधिकतम होता है।
$4$. उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा शून्य नहीं होती है क्योंकि क्षैतिज वेग घटक $V_{x}$ शून्य नहीं होता है।
अतः,सही कथन यह है कि गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा उच्चतम बिंदु पर अधिकतम होती है।

(A) प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
दिए गए मान हैं: प्रारंभिक वेग $u = 20\,m/s$,प्रक्षेपण कोण $\theta = 30^{\circ}$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\,m/s^2$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$H = \frac{(20)^2 \sin^2(30^{\circ})}{2 \times 10}$
$H = \frac{400 \times (1/2)^2}{20}$
$H = \frac{400 \times 1/4}{20}$
$H = \frac{100}{20} = 5\,m$.
अतः,गेंद द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $5\,m$ है।

(B) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ है।
परास को अधिकतम होने के लिए,$\sin 2\theta$ का मान अधिकतम होना चाहिए,जो कि $1$ है।
यह तब होता है जब $2\theta = 90^{\circ}$,जिसका अर्थ है $\theta = 45^{\circ}$।
अतः,अभिकथन $A$ सही है क्योंकि $45^{\circ}$ पर परास अधिकतम होती है।
कारण $R$ भी सही है क्योंकि यह अधिकतम परास के लिए $\sin 2\theta = 1$ की स्थिति की सही पहचान करता है,जो सीधे तौर पर अभिकथन $A$ के निष्कर्ष की ओर ले जाता है।

(A) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ होता है।
प्रक्षेप्य $A$ के लिए: $u_1 = 40\,m/s$,$\theta_1 = 30^{\circ}$।
$R_A = \frac{40^2 \sin(2 \times 30^{\circ})}{g} = \frac{1600 \sin(60^{\circ})}{g} = \frac{1600 \times \sqrt{3}}{2g} = \frac{800\sqrt{3}}{g}$।
प्रक्षेप्य $B$ के लिए: $u_2 = 60\,m/s$,$\theta_2 = 60^{\circ}$।
$R_B = \frac{60^2 \sin(2 \times 60^{\circ})}{g} = \frac{3600 \sin(120^{\circ})}{g} = \frac{3600 \times \sqrt{3}}{2g} = \frac{1800\sqrt{3}}{g}$।
उनकी परास का अनुपात $\frac{R_A}{R_B} = \frac{800\sqrt{3}/g}{1800\sqrt{3}/g} = \frac{800}{1800} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$ है।

(A) प्रक्षेप पथ का समीकरण $y = x - \frac{x^2}{20}$ है।
अधिकतम ऊँचाई ज्ञात करने के लिए,हमें $y$ का वह मान ज्ञात करना होगा जब प्रक्षेप पथ की ढाल शून्य हो,अर्थात $\frac{dy}{dx} = 0$ हो।
समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x - \frac{x^2}{20}) = 1 - \frac{2x}{20} = 1 - \frac{x}{10}$.
अवकलन को शून्य के बराबर रखने पर:
$1 - \frac{x}{10} = 0 \Rightarrow x = 10\,m$.
अब,अधिकतम ऊँचाई $y_{\max}$ ज्ञात करने के लिए $x = 10$ का मान प्रक्षेप पथ के समीकरण में रखने पर:
$y_{\max} = 10 - \frac{(10)^2}{20} = 10 - \frac{100}{20} = 10 - 5 = 5\,m$.

(C) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g}$ है,जहाँ $v$ प्रारंभिक वेग है,$\theta$ प्रक्षेपण कोण है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूंकि वेग $v$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ स्थिर हैं,इसलिए परास $\sin(2\theta)$ के समानुपाती है,अर्थात $R \propto \sin(2\theta)$।
दिया गया है कि $\theta_1 = 15^{\circ}$ और $R_1 = 50\,m$। $\theta_2 = 45^{\circ}$ के लिए हमें $R_2$ ज्ञात करना है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\sin(2\theta_1)}{\sin(2\theta_2)} = \frac{\sin(2 \times 15^{\circ})}{\sin(2 \times 45^{\circ})} = \frac{\sin(30^{\circ})}{\sin(90^{\circ})}$।
मान रखने पर: $\frac{50}{R_2} = \frac{0.5}{1} = \frac{1}{2}$।
अतः,$R_2 = 50 \times 2 = 100\,m$।

(C) प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊंचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
चूंकि दोनों प्रक्षेप्यों को समान चाल $u$ से प्रक्षेपित किया गया है,इसलिए उनकी अधिकतम ऊंचाइयों $H_1$ और $H_2$ का अनुपात $\frac{H_1}{H_2} = \frac{\sin^2 \theta_1}{\sin^2 \theta_2}$ होगा।
यहाँ $\theta_1 = 30^{\circ}$ और $\theta_2 = 60^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ और $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ होता है।
इन मानों को रखने पर,$\frac{H_1}{H_2} = \frac{(\sin 30^{\circ})^2}{(\sin 60^{\circ})^2} = \frac{(1/2)^2}{(\sqrt{3}/2)^2} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $1:3$ है।

(A) प्रारंभिक वेग के घटक इस प्रकार हैं:
$u_x = u \cos 30^{\circ} = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}\,m/s$
$u_y = u \sin 30^{\circ} = 40 \times \frac{1}{2} = 20\,m/s$
समय $t = 2\,s$ पर,वेग का क्षैतिज घटक स्थिर रहता है:
$v_x = u_x = 20\sqrt{3}\,m/s$
वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = u_y - gt$ द्वारा प्राप्त होता है:
$v_y = 20 - (10 \times 2) = 20 - 20 = 0\,m/s$
चूंकि ऊर्ध्वाधर घटक शून्य है,इसलिए परिणामी वेग $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(20\sqrt{3})^2 + 0^2} = 20\sqrt{3}\,m/s$ होगा।

(D) प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $(H_{\max})$ का सूत्र इस प्रकार है:
$H_{\max} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$
दिया गया है:
प्रारंभिक वेग $(u)$ = $280\,m/s$
प्रक्षेप्य कोण $(\theta)$ = $30^{\circ}$
गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ = $9.8\,m/s^2$
सूत्र में मान रखने पर:
$H_{\max} = \frac{(280)^2 \times (\sin 30^{\circ})^2}{2 \times 9.8}$
$H_{\max} = \frac{78400 \times (0.5)^2}{19.6}$
$H_{\max} = \frac{78400 \times 0.25}{19.6}$
$H_{\max} = \frac{19600}{19.6}$
$H_{\max} = 1000\,m$

(B) गेंद को $5$ वें चरण तक पहुँचने के लिए,उसे $4$ चरणों को पार करना होगा।
इसलिए,क्षैतिज दूरी (Range) $(R) = 4 \times 0.1 = 0.4 \ m$.
$R = u \cdot t \implies t = \frac{0.4}{u}$.
इसी प्रकार,ऊर्ध्वाधर दिशा में,
$h = \frac{1}{2} gt^2$.
यहाँ $h = 4 \times 0.1 = 0.4 \ m$.
$0.4 = \frac{1}{2} \times 10 \times (\frac{0.4}{u})^2$.
$0.4 = 5 \times \frac{0.16}{u^2}$.
$u^2 = \frac{0.8}{0.4} = 2$.
इसलिए,$u = \sqrt{2} \ ms^{-1}$.
अतः,$x = 2$.

(A) प्रक्षेपण बिंदु के परितः कण का कोणीय संवेग $L = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम ऊँचाई पर, वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य होता है, इसलिए वेग केवल क्षैतिज होता है: $v_x = u \cos \theta$.
अधिकतम ऊँचाई पर क्षैतिज दूरी $x = \frac{R}{2} = \frac{u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ है।
अधिकतम ऊँचाई $h = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
कोणीय संवेग $L = m v_x h = m (u \cos \theta) \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)$ है।
$\theta = 30^{\circ}$, $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, और $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ का मान रखने पर:
$L = m u \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \frac{u^2 (1/2)^2}{2g} = m u \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \frac{u^2}{8g} = \frac{\sqrt{3} m u^3}{16g}$.

(D) प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H_{\max} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
यह मानते हुए कि प्रक्षेप्य कोण $\theta$ स्थिर रहता है, अधिकतम ऊँचाई प्रारंभिक वेग के वर्ग के समानुपाती होती है: $H_{\max} \propto u^2$.
इसलिए, नई अधिकतम ऊँचाई $(H_{2\max})$ और प्रारंभिक अधिकतम ऊँचाई $(H_{1\max})$ का अनुपात $\frac{H_{2\max}}{H_{1\max}} = \frac{u_2^2}{u_1^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $H_{1\max} = 64 \,m$ और नया प्रारंभिक वेग $u_2 = \frac{u_1}{2}$ दिया गया है, इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{H_{2\max}}{64} = \frac{(u_1 / 2)^2}{u_1^2} = \frac{u_1^2 / 4}{u_1^2} = \frac{1}{4}$.
$H_{2\max}$ के लिए हल करने पर, हमें $H_{2\max} = \frac{64}{4} = 16 \,m$ प्राप्त होता है।

(B) क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ है।
अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
दिया गया है कि परास और अधिकतम ऊँचाई बराबर हैं,इसलिए $R = H$ रखने पर:
$\frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
दोनों पक्षों से सामान्य पदों $u^2/g$ को हटाने पर:
$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{\sin^2 \theta}{2}$.
दोनों पक्षों को $\sin \theta$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $\sin \theta \neq 0$):
$2 \cos \theta = \frac{\sin \theta}{2}$.
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ के लिए व्यवस्थित करने पर:
$4 = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(4)$.

(A) $H$ ऊँचाई से $v$ वेग के साथ क्षैतिज रूप से फेंके गए पिंड के लिए,क्षैतिज परास (horizontal range) $R = v \sqrt{\frac{2H}{g}}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम स्थिति के लिए दिया गया है: $100 = v \sqrt{\frac{2H}{g}}$.
दूसरी स्थिति के लिए,द्रव्यमान $2M$ है,वेग $v' = \frac{v}{2}$ है,और ऊँचाई $H' = 4H$ है।
नया क्षैतिज परास $x$ इस प्रकार है:
$x = v' \sqrt{\frac{2H'}{g}} = \left( \frac{v}{2} \right) \sqrt{\frac{2(4H)}{g}}$
$x = \frac{v}{2} \cdot 2 \sqrt{\frac{2H}{g}} = v \sqrt{\frac{2H}{g}}$
चूँकि $v \sqrt{\frac{2H}{g}} = 100 \ m$,इसलिए हमें $x = 100 \ m$ प्राप्त होता है।

(B) प्रक्षेप्य की प्रारंभिक परास $d = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g}$ द्वारा दी जाती है।
उच्चतम बिंदु पर,ऊर्ध्वाधर वेग शून्य है और क्षैतिज वेग $u = v \cos \theta$ है। प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H_{\max} = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
नए क्षेत्र में प्रवेश करने के बाद,प्रक्षेप्य $g^{\prime} = \frac{g}{0.81}$ गुरुत्व के तहत $H_{\max}$ ऊँचाई से नीचे गिरता है। मान लीजिए कि उच्चतम बिंदु से जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t$ है।
$H_{\max} = \frac{1}{2} g^{\prime} t^2$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $t = \sqrt{\frac{2 H_{\max}}{g^{\prime}}} = \sqrt{\frac{2 (v^2 \sin^2 \theta / 2g)}{g / 0.81}} = \sqrt{\frac{v^2 \sin^2 \theta \times 0.81}{g^2}} = \frac{0.9 v \sin \theta}{g}$।
इस समय में तय की गई क्षैतिज दूरी $d_1 = u \times t = (v \cos \theta) \times \left( \frac{0.9 v \sin \theta}{g} \right) = \frac{0.9 v^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = \frac{0.45 v^2 \sin 2\theta}{g}$ है।
कुल नई परास $d^{\prime} = \frac{d}{2} + d_1 = \frac{v^2 \sin 2\theta}{2g} + \frac{0.9 v^2 \sin 2\theta}{2g} = \frac{v^2 \sin 2\theta}{2g} (1 + 0.9) = \frac{v^2 \sin 2\theta}{2g} (1.9) = 0.95 \left( \frac{v^2 \sin 2\theta}{g} \right) = 0.95 d$ है।
अतः,$n = 0.95$।

(A) टक्कर के लिए,गेंद और पत्थर के वेग के ऊर्ध्वाधर घटक समान होने चाहिए,ताकि वे उड़ान के दौरान समान ऊंचाई पर रहें।
स्थिति $I$: $(\theta_0, \theta_1) = (45^{\circ}, 45^{\circ})$.
ऊर्ध्वाधर घटक: $v_0 \sin 45^{\circ} = v \sin 45^{\circ} \implies v = v_0$.
वेग के क्षैतिज घटक $v_{0x} = v_0 \cos 45^{\circ} = \frac{v_0}{\sqrt{2}}$ और $v_{sx} = v \cos 45^{\circ} = \frac{v}{\sqrt{2}} = \frac{v_0}{\sqrt{2}}$ हैं।
सापेक्ष क्षैतिज गति $v_{rel} = v_{0x} + v_{sx} = \frac{v_0}{\sqrt{2}} + \frac{v_0}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}v_0$ है।
समय $T_1 = \frac{L}{v_{rel}} = \frac{L}{\sqrt{2}v_0}$.
स्थिति $II$: $(\theta_0, \theta_1) = (60^{\circ}, 30^{\circ})$.
ऊर्ध्वाधर घटक: $v_0 \sin 60^{\circ} = v \sin 30^{\circ} \implies v_0 \frac{\sqrt{3}}{2} = v \frac{1}{2} \implies v = \sqrt{3}v_0$.
वेग के क्षैतिज घटक $v_{0x} = v_0 \cos 60^{\circ} = \frac{v_0}{2}$ और $v_{sx} = v \cos 30^{\circ} = (\sqrt{3}v_0) \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3v_0}{2}$ हैं।
सापेक्ष क्षैतिज गति $v_{rel} = v_{0x} + v_{sx} = \frac{v_0}{2} + \frac{3v_0}{2} = 2v_0$ है।
समय $T_2 = \frac{L}{v_{rel}} = \frac{L}{2v_0}$.
अब,$(T_1 / T_2)^2 = \left( \frac{L / (\sqrt{2}v_0)}{L / (2v_0)} \right)^2 = \left( \frac{2v_0}{\sqrt{2}v_0} \right)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.

(A) वेग का प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \sin \theta = 60 \sin 30^{\circ} = 60 \times 0.5 = 30 \; m/s$ है।
पहले सेकंड $(t=1)$ में तय की गई ऊँचाई $h_0 = u_y t - \frac{1}{2} g t^2 = 30(1) - \frac{1}{2}(10)(1)^2 = 30 - 5 = 25 \; m$ है।
अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय $T = \frac{u_y}{g} = \frac{30}{10} = 3 \; s$ है।
अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने से पहले अंतिम सेकंड में तय की गई ऊँचाई,$t = 2 \; s$ और $t = 3 \; s$ के बीच तय की गई दूरी है। यह अधिकतम ऊँचाई से शून्य प्रारंभिक वेग के साथ नीचे की ओर प्रक्षेपित कण द्वारा पहले सेकंड में तय की गई दूरी के बराबर है,जो $h_1 = \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (1)^2 = 5 \; m$ है।
वैकल्पिक रूप से,$n$ वें सेकंड में दूरी के सूत्र का उपयोग करते हुए: $S_n = u_y + \frac{a}{2}(2n-1)$। $t=2$ से $t=3$ के अंतराल के लिए,$n=3$,$u_y=30$,$a=-10$: $h_1 = 30 + \frac{-10}{2}(2(3)-1) = 30 - 5(5) = 30 - 25 = 5 \; m$।
अनुपात $h_0 : h_1 = 25 : 5 = 5$ है।

(B) प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE = \frac{1}{2} m u^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है।
प्रक्षेप्य गति के उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है और गेंद का वेग उसके क्षैतिज घटक के बराबर होता है।
$v_x = u \cos \theta = u \cos 60^{\circ} = u \times \frac{1}{2} = \frac{u}{2}$.
उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा $(KE_{top})$ इस प्रकार है:
$KE_{top} = \frac{1}{2} m v_x^2 = \frac{1}{2} m \left( \frac{u}{2} \right)^2$.
$KE_{top} = \frac{1}{2} m \left( \frac{u^2}{4} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} m u^2 \right)$.
चूँकि $KE = \frac{1}{2} m u^2$,इसलिए $KE_{top} = \frac{KE}{4}$ होगा।

(C) प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊंचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
चूंकि दोनों प्रक्षेप्यों के लिए प्रारंभिक गति $u$ समान है,इसलिए उनकी अधिकतम ऊंचाइयों का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{H_1}{H_2} = \frac{\sin^2(45^{\circ}-\alpha)}{\sin^2(45^{\circ}+\alpha)}$.
त्रिकोणमितीय विस्तार $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए:
$\sin(45^{\circ}-\alpha) = \frac{1}{\sqrt{2}}\cos \alpha - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos \alpha - \sin \alpha)$.
$\sin(45^{\circ}+\alpha) = \frac{1}{\sqrt{2}}\cos \alpha + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos \alpha + \sin \alpha)$.
इन व्यंजकों का वर्ग करने पर:
$\sin^2(45^{\circ}-\alpha) = \frac{1}{2}(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha) = \frac{1}{2}(1 - \sin 2\alpha)$.
$\sin^2(45^{\circ}+\alpha) = \frac{1}{2}(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha) = \frac{1}{2}(1 + \sin 2\alpha)$.
अतः,अनुपात $\frac{H_1}{H_2} = \frac{1 - \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha}$ है।

(A) प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
दिया गया है कि $(H_{\max})_1 = 8 \times (H_{\max})_2$,इसलिए:
$\frac{u^2 \sin^2 \theta_1}{2g} = 8 \times \frac{u^2 \sin^2 \theta_2}{2g}$.
इसे सरल करने पर,$\sin^2 \theta_1 = 8 \sin^2 \theta_2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\sin \theta_1 = \sqrt{8} \sin \theta_2 = 2\sqrt{2} \sin \theta_2$.
उड़ान का समय $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,उड़ान के समय का अनुपात $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2u \sin \theta_1 / g}{2u \sin \theta_2 / g} = \frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2}$ है।
$\sin \theta_1$ का मान रखने पर,हमें $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\sqrt{2} \sin \theta_2}{\sin \theta_2} = 2\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $2\sqrt{2} : 1$ है।

(B) अधिकतम क्षैतिज परास के लिए,प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
अधिकतम क्षैतिज परास $R_{\max} = \frac{u^2}{g} = \frac{(20)^2}{10} = 40 \ m$ है।
उड्डयन काल $T = \frac{2u \sin \theta}{g} = \frac{2 \times 20 \times \sin 45^{\circ}}{10} = 4 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2} \ s$ है।
दूसरा खिलाड़ी शुरुआती बिंदु से $24 \ m$ दूर है। गेंद शुरुआती बिंदु से $40 \ m$ की दूरी पर जमीन पर गिरती है।
इसलिए,दूसरे खिलाड़ी द्वारा तय की जाने वाली दूरी $x_2 = R_{\max} - 24 = 40 - 24 = 16 \ m$ है।
समय $T$ में इस बिंदु तक पहुँचने के लिए दूसरे खिलाड़ी का आवश्यक वेग $V = \frac{x_2}{T} = \frac{16}{2 \sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4 \sqrt{2} \ ms^{-1}$ है।

(B) प्रक्षेप्य गति के लिए उड़ान का समय $T$ का सूत्र $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ है।
यहाँ $T = 2 \text{ s}$ दिया गया है,इसलिए $2 = \frac{2u \sin \theta}{g}$,जिसका अर्थ है $u \sin \theta = g$।
प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
सूत्र में $u \sin \theta = g$ रखने पर,हमें $H = \frac{(g)^2}{2g} = \frac{g}{2}$ प्राप्त होता है।
$g = 10 \text{ m/s}^2$ लेने पर,$H = \frac{10}{2} = 5 \text{ m}$ प्राप्त होता है।

(B) प्रक्षेपण बिंदु $O$ के परितः बल-आघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ द्वारा दिया जाता है।
उच्चतम बिंदु पर,प्रक्षेपण बिंदु से क्षैतिज दूरी $x = R/2$ है,जहाँ $R$ क्षैतिज परास (range) है।
क्षैतिज परास $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ है।
अतः,उच्चतम बिंदु पर क्षैतिज दूरी $x = \frac{R}{2} = \frac{u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ है।
कण पर कार्य करने वाला बल उसका भार $\vec{F} = m\vec{g}$ है,जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
बल-आघूर्ण का परिमाण $\tau = F \cdot x = (mg) \cdot \left( \frac{u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} \right)$ है।
इसे सरल करने पर,हमें $\tau = m u^2 \sin \theta \cos \theta$ प्राप्त होता है।

(B) प्रक्षेप्य की न्यूनतम गतिज ऊर्जा उसके उच्चतम बिंदु पर होती है,जहाँ वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य होता है। अतः,$K_{min} = \frac{1}{2} m u_x^2$.
दिया गया है कि न्यूनतम गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{K_{min1}}{K_{min2}} = \frac{u_{x1}^2}{u_{x2}^2} = \frac{4}{1}$ है,जिसका अर्थ है कि $\frac{u_{x1}}{u_{x2}} = \frac{2}{1}$.
अधिकतम ऊंचाई का सूत्र $H = \frac{u_y^2}{2g}$ है।
दिया गया है कि अधिकतम ऊंचाइयों का अनुपात $\frac{H_1}{H_2} = \frac{u_{y1}^2}{u_{y2}^2} = \frac{4}{1}$ है,जिसका अर्थ है कि $\frac{u_{y1}}{u_{y2}} = \frac{2}{1}$.
प्रक्षेप्य की परास $R = \frac{2 u_x u_y}{g}$ होती है।
अतः,परास का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{u_{x1} u_{y1}}{u_{x2} u_{y2}} = \left(\frac{u_{x1}}{u_{x2}}\right) \times \left(\frac{u_{y1}}{u_{y2}}\right) = \frac{2}{1} \times \frac{2}{1} = \frac{4}{1}$ होगा।

(C) $1$. प्रक्षेपण बिंदु के परितः कण का कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ द्वारा दिया जाता है। प्रक्षेपण बिंदु के परितः गुरुत्वाकर्षण के कारण कण पर कार्य करने वाला बलाघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{r} \times m\vec{g}$ है। चूँकि $\vec{\tau} \neq 0$,इसलिए कोणीय संवेग स्थिर नहीं रहता है।
$2$. रैखिक संवेग $\vec{p} = m\vec{v}$ बदलता है क्योंकि गुरुत्वाकर्षण कण पर एक निरंतर बल लगाता है,जिससे त्वरण उत्पन्न होता है।
$3$. वायु प्रतिरोध की अनुपस्थिति में,कण पर कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण है,जो एक संरक्षी बल है। इसलिए,गति के दौरान निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है।
$4$. अतः,विकल्प $C$ सही कथन है।

(A) दिया गया वेग $\vec{v} = 6 \hat{i} + (20 - 4t) \hat{j}$ है।
$\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ से तुलना करने पर,$v_x = 6$ और $v_y = 20 - 4t$ प्राप्त होता है। त्वरण $a_y = -4 \ m/s^2$ है।
$(P)$ उड्डयन काल $(T)$: उच्चतम बिंदु पर,$v_y = 0$ होता है। अतः,$20 - 4t = 0 \Rightarrow t = 5 \ s$। कुल उड्डयन काल $T = 2t = 10 \ s$। अतः,$P \rightarrow 2$।
$(Q)$ क्षैतिज के साथ $53^{\circ}$ कोण: $\tan 53^{\circ} = \frac{v_y}{v_x} = \frac{20 - 4t}{6}$। चूंकि $\tan 53^{\circ} = \frac{4}{3}$,इसलिए $\frac{4}{3} = \frac{20 - 4t}{6} \Rightarrow 8 = 20 - 4t \Rightarrow 4t = 12 \Rightarrow t = 3 \ s$। अतः,$Q \rightarrow 1$।
$(R)$ परास $(R)$: $R = v_x \times T = 6 \times 10 = 60 \ m$। अतः,$R \rightarrow 4$।
$(S)$ अधिकतम ऊँचाई $(H)$: $H = \frac{v_{y0}^2}{2|a_y|} = \frac{20^2}{2 \times 4} = \frac{400}{8} = 50 \ m$। अतः,$S \rightarrow 3$।
सही मिलान $P \rightarrow 2, Q \rightarrow 1, R \rightarrow 4, S \rightarrow 3$ है।

(B) प्रारंभिक वेग सदिश $\vec{u}$ ऊर्ध्वाधर के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाता है,जिसका अर्थ है कि यह क्षैतिज के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाता है।
$\vec{u} = 100 \cos 30^{\circ} \hat{i} + 100 \sin 30^{\circ} \hat{j} = 50\sqrt{3} \hat{i} + 50 \hat{j} \ m/s$.
$t$ समय पर वेग $\vec{v} = \vec{u} + \vec{g}t = (50\sqrt{3} \hat{i} + 50 \hat{j}) - 10t \hat{j} = 50\sqrt{3} \hat{i} + (50 - 10t) \hat{j}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कण अपनी प्रारंभिक दिशा के लंबवत गति करता है,इसलिए डॉट प्रोडक्ट $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ होगा।
$(50\sqrt{3})(50\sqrt{3}) + 50(50 - 10t) = 0$.
$7500 + 2500 - 500t = 0$.
$10000 = 500t$.
$t = 20 \text{ सेकंड}$.

(B) क्षैतिज परास $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ और अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ होती है।
दिया गया है कि $R = nH$,इसलिए $\frac{u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g} = n \left[ \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right]$.
इसे सरल करने पर,$2 \cos \theta = \frac{n \sin \theta}{2}$,जिससे $\tan \theta = \frac{4}{n}$ प्राप्त होता है।
अधिकतम ऊँचाई पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $0$ होता है,इसलिए वेग $v = u \cos \theta$ होता है।
स्थितिज ऊर्जा $PE = mgH$ और गतिज ऊर्जा $KE = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (u \cos \theta)^2$ है।
अनुपात $\frac{PE}{KE} = \frac{mgH}{\frac{1}{2} m u^2 \cos^2 \theta} = \frac{2g \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)}{u^2 \cos^2 \theta} = \tan^2 \theta$.
$\tan \theta = \frac{4}{n}$ का मान रखने पर,$\frac{PE}{KE} = \left( \frac{4}{n} \right)^2 = \frac{16}{n^2}$ प्राप्त होता है।

(B) $H$ ऊँचाई से क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित किए गए प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र है: $R = u \sqrt{\frac{2H}{g}}$।
दिए गए मान हैं: प्रारंभिक क्षैतिज वेग $u = 10 \ m/s$,ऊँचाई $H = 80 \ m$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$R = 10 \times \sqrt{\frac{2 \times 80}{10}}$
$R = 10 \times \sqrt{\frac{160}{10}}$
$R = 10 \times \sqrt{16}$
$R = 10 \times 4 = 40 \ m$।
अतः,इमारत के आधार से लक्ष्य की दूरी $40 \ m$ है।

(B) सभी दिशाओं में चलाई गई गोलियां जमीन पर एक वृत्ताकार क्षेत्र को कवर करेंगी।
इस वृत्त की त्रिज्या प्रक्षेप्य की अधिकतम क्षैतिज परास $R_{\max}$ के बराबर होती है।
क्षैतिज परास का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है।
अधिकतम परास के लिए,$\sin(2\theta) = 1$,इसलिए $R_{\max} = \frac{u^2}{g}$।
जमीन पर कवर किया गया क्षेत्रफल $A = \pi R_{\max}^2$ है।
$R_{\max}$ का मान रखने पर,हमें $A = \pi \left(\frac{u^2}{g}\right)^2 = \frac{\pi u^4}{g^2}$ प्राप्त होता है।

(C) कण का प्रारंभिक वेग $\vec{u} = v \cos \theta \hat{i} + v \sin \theta \hat{j}$ है।
जब कण जमीन पर गिरता है तो उसका अंतिम वेग $\vec{v}_f = v \cos \theta \hat{i} - v \sin \theta \hat{j}$ होता है।
प्रारंभिक संवेग $\vec{p}_i = m \vec{u} = m v \cos \theta \hat{i} + m v \sin \theta \hat{j}$ है।
अंतिम संवेग $\vec{p}_f = m \vec{v}_f = m v \cos \theta \hat{i} - m v \sin \theta \hat{j}$ है।
संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i = (m v \cos \theta \hat{i} - m v \sin \theta \hat{j}) - (m v \cos \theta \hat{i} + m v \sin \theta \hat{j}) = -2 m v \sin \theta \hat{j}$ है।
संवेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{p}| = 2 m v \sin \theta$ है।
यहाँ $\theta = 45^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\sin 45^{\circ} = 1 / \sqrt{2}$ होता है।
अतः,$|\Delta \vec{p}| = 2 m v (1 / \sqrt{2}) = \sqrt{2} m v$ प्राप्त होता है।

(C) प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र है: $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है और $\theta$ प्रक्षेपण कोण है।
इससे,हम प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \sin \theta = \sqrt{2gH}$ प्राप्त कर सकते हैं।
प्रक्षेप्य के लिए उड्डयन काल $T$ का सूत्र है: $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$।
उड्डयन काल के सूत्र में $u \sin \theta$ का मान रखने पर:
$T = \frac{2 \sqrt{2gH}}{g} = 2 \sqrt{\frac{2gH}{g^2}} = 2 \sqrt{\frac{2H}{g}}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) प्रक्षेप्य गति के लिए उड़ान का समय $T$ का सूत्र $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ है।
यहाँ $T = 2 \ s$ और $g = 10 \ m/s^2$ दिया गया है,इसलिए $2 = \frac{2u \sin \theta}{10}$।
अतः,$u \sin \theta = 10 \ m/s$ प्राप्त होता है।
प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
मान रखने पर,$H = \frac{(10)^2}{2 \times 10} = \frac{100}{20} = 5 \ m$।

(D) दिया गया है कि क्षैतिज परास $(R)$ अधिकतम ऊँचाई $(H)$ के बराबर है।
$R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2u^2 \sin\theta \cos\theta}{g}$
$H = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g}$
$R$ और $H$ को बराबर रखने पर:
$\frac{2u^2 \sin\theta \cos\theta}{g} = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g}$
दोनों पक्षों को $\frac{u^2 \sin\theta}{g}$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $\sin\theta \neq 0$):
$2 \cos\theta = \frac{\sin\theta}{2}$
$\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = 4$
$\tan\theta = 4$
$\theta = \tan^{-1}(4)$

(A) उच्चतम बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा $PE = mgh$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ अधिकतम ऊँचाई है।
गेंद $A$ के लिए,जिसे लंबवत (क्षैतिज से $90^{\circ}$) प्रक्षेपित किया गया है,अधिकतम ऊँचाई $h_1 = \frac{u^2}{2g}$ है।
गेंद $B$ के लिए,जिसे लंबवत से $30^{\circ}$ के कोण पर प्रक्षेपित किया गया है,क्षैतिज से कोण $\theta = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ होगा।
गेंद $B$ के लिए अधिकतम ऊँचाई $h_2 = \frac{u^2 \sin^2(60^{\circ})}{2g} = \frac{u^2}{2g} \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3u^2}{8g}$ है।
स्थितिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{PE_A}{PE_B} = \frac{mgh_1}{mgh_2} = \frac{h_1}{h_2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{h_1}{h_2} = \frac{u^2}{2g} \times \frac{8g}{3u^2} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
अतः,अनुपात $4:3$ है।

(C) $\text{प्रक्षेप्य (projectile) के उड़ान के समय का सूत्र इस प्रकार है:}$
$T = \frac{2u \sin \theta}{g}$
$\text{दिए गए मान हैं:}$
$\text{प्रारंभिक वेग } u = 196 \,m/s$
$\text{प्रक्षेपण कोण } \theta = 30^{\circ}$
$\text{गुरुत्वीय त्वरण } g = 9.8 \,m/s^2$
$\text{इन मानों को सूत्र में रखने पर:}$
$T = \frac{2 \times 196 \times \sin(30^{\circ})}{9.8}$
$\text{चूंकि } \sin(30^{\circ}) = 0.5 \text{ है:}$
$T = \frac{2 \times 196 \times 0.5}{9.8}$
$T = \frac{196}{9.8} = 20 \,s$
$\text{अतः,उड़ान का समय } 20 \,s \text{ है।}$

(B) प्रक्षेप्य गति के उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य होता है और क्षैतिज घटक $v_x = u \cos \theta$ होता है।
किसी कण के वृत्ताकार गति करने के लिए,अभिकेंद्र त्वरण $a_c$ गुरुत्वीय त्वरण $g$ द्वारा प्रदान किया जाता है जो वेग के लंबवत कार्य करता है।
अभिकेंद्र त्वरण का सूत्र $a_c = \frac{v^2}{R}$ है।
यहाँ,$v = v_x = u \cos \theta$ और $a_c = g$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $g = \frac{(u \cos \theta)^2}{R}$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या $R$ के लिए हल करने पर,$R = \frac{u^2 \cos^2 \theta}{g}$ प्राप्त होता है।

(C) हवाई जहाज क्षैतिज दिशा में उड़ रहा है,इसलिए बम के वेग का प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = 0 \text{ m/s}$ है।
ऊर्ध्वाधर दिशा के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए: $h = \frac{1}{2} gt^2$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $980 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$.
$t^2 = \frac{980 \times 2}{9.8} = 100 \times 2 = 200$.
$t = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \text{ s}$.
बम का क्षैतिज वेग $v_x = 200 \text{ km/hr} = 200 \times \frac{5}{18} = \frac{1000}{18} \text{ m/s}$ है।
बम द्वारा अपने पतन के दौरान तय की गई क्षैतिज दूरी $d = v_x \times t$ है।
$d = \frac{1000}{18} \times 10\sqrt{2} = \frac{10000}{9\sqrt{2}} \text{ m}$.

(A) प्रारंभिक वेग $\vec{u} = a \hat{i} + b \hat{j}$ द्वारा दिया गया है।
वेग का क्षैतिज घटक,$u_x = a$.
वेग का ऊर्ध्वाधर घटक,$u_y = b$.
प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{u_y^2}{2g} = \frac{b^2}{2g}$ है।
प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R = \frac{2 u_x u_y}{g} = \frac{2ab}{g}$ है।
प्रश्न के अनुसार,परास अधिकतम ऊँचाई की दोगुनी है: $R = 2H$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2ab}{g} = 2 \left( \frac{b^2}{2g} \right)$.
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{2ab}{g} = \frac{b^2}{g}$.
दोनों पक्षों को $b/g$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $b \neq 0$): $2a = b$,या $b = 2a$।

(B) प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊंचाई पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य होता है। इसलिए,अधिकतम ऊंचाई पर प्रक्षेप्य की गति उसके क्षैतिज वेग घटक के बराबर होती है,जो $v = u \cos \theta$ है।
प्रश्न के अनुसार,अधिकतम ऊंचाई पर गति प्रारंभिक गति की आधी है:
$u \cos \theta = \frac{u}{2} \Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{2}$.
इसका अर्थ है कि $\theta = 60^{\circ}$।
अधिकतम ऊंचाई $H_{\max}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$H_{\max} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
$\theta = 60^{\circ}$ और $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ रखने पर:
$H_{\max} = \frac{u^2 (\sqrt{3}/2)^2}{2g} = \frac{u^2 (3/4)}{2g} = \frac{3u^2}{8g}$.

(C) मान लीजिए पत्थर का प्रारंभिक वेग $u$ है। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m u^2$ है।
प्रक्षेप्य पथ के उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है,जबकि क्षैतिज घटक $v_x = u \cos \theta$ स्थिर रहता है।
इसलिए,उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा $E' = \frac{1}{2} m v_x^2$ होगी।
$v_x = u \cos \theta$ रखने पर,हमें $E' = \frac{1}{2} m (u \cos \theta)^2$ प्राप्त होता है।
$E' = \frac{1}{2} m u^2 \cos^2 \theta$.
चूंकि $E = \frac{1}{2} m u^2$,इसलिए $E' = E \cos^2 \theta$ होगा।