Horizontal Projectile Motion Questions in Hindi

(D) दिया गया है,
गेंद की प्रारंभिक गति $(u) = 20 \,m/s$
प्रक्षेप्य कोण $(\theta) = 30^{\circ}$
गुरुत्वीय त्वरण $(g) = 10 \,m/s^2$
प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $(H)$ का सूत्र है:
$H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$
सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:
$H = \frac{(20)^2 \times (\sin 30^{\circ})^2}{2 \times 10}$
$H = \frac{400 \times (1/2)^2}{20}$
$H = \frac{400 \times (1/4)}{20}$
$H = \frac{100}{20}$
$H = 5 \,m$
अतः,गेंद द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $5 \,m$ है।

(C) वेग का क्षैतिज घटक $v_x = v \cos \theta = 2 \sqrt{gh} \cos 60^{\circ}$ है।
चूँकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए $v_x = 2 \sqrt{gh} \times \frac{1}{2} = \sqrt{gh}$ है।
कण दोनों दीवारों के बीच $d = 2h$ की क्षैतिज दूरी तय करता है।
प्रक्षेप्य गति में वेग का क्षैतिज घटक स्थिर रहता है,इसलिए दीवारों के बीच यात्रा करने में लगा समय $t = \frac{d}{v_x}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$t = \frac{2h}{\sqrt{gh}} = 2 \sqrt{\frac{h}{g}}$।

(B) $v_1$ वेग के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर फेंके गए पहले पिंड के लिए,अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने का समय $t_1 = \frac{v_1}{g}$ है और अधिकतम ऊँचाई $h_1 = \frac{v_1^2}{2g}$ है।
$v_2$ वेग के साथ $\theta$ कोण पर प्रक्षेपित दूसरे पिंड के लिए,अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने का समय $t_2 = \frac{v_2 \sin \theta}{g}$ है और अधिकतम ऊँचाई $h_2 = \frac{v_2^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
दिया गया है कि $t_1 = 2t_2$,इसलिए $\frac{v_1}{g} = 2 \left( \frac{v_2 \sin \theta}{g} \right)$,जिसे सरल करने पर $v_1 = 2 v_2 \sin \theta$ प्राप्त होता है।
अब,ऊँचाइयों का अनुपात $\frac{h_1}{h_2} = \frac{v_1^2 / 2g}{v_2^2 \sin^2 \theta / 2g} = \frac{v_1^2}{v_2^2 \sin^2 \theta}$ है।
$v_1 = 2 v_2 \sin \theta$ का मान रखने पर,$\frac{h_1}{h_2} = \frac{(2 v_2 \sin \theta)^2}{v_2^2 \sin^2 \theta} = \frac{4 v_2^2 \sin^2 \theta}{v_2^2 \sin^2 \theta} = 4$.
अतः,अनुपात $4:1$ है।

(D) प्रक्षेप्य पथ का दिया गया समीकरण $y = ax - bx^2$ है।
प्रक्षेप्य पथ का मानक समीकरण $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ होता है।
दोनों समीकरणों में $x$ और $x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\tan \theta = a \implies \theta = \tan^{-1}(a)$.
साथ ही,$b = \frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta}$ है।
अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
$\tan \theta = a$ से,हमें $\sin \theta = \frac{a}{\sqrt{1+a^2}}$ और $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$ प्राप्त होता है।
$u^2 = \frac{g}{2b \cos^2 \theta}$ को ऊँचाई के सूत्र में रखने पर:
$H = \frac{g}{2b \cos^2 \theta} \cdot \frac{\sin^2 \theta}{2g} = \frac{\tan^2 \theta}{4b} = \frac{a^2}{4b}$.
अतः,अधिकतम ऊँचाई $\frac{a^2}{4b}$ है और प्रक्षेप्य कोण $\tan^{-1}(a)$ है।

(C) प्रक्षेप्य की परास का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ होता है।
अधिकतम परास के लिए,प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^{\circ}$ होना चाहिए।
अतः,$R_{\max} = \frac{u^2 \sin(90^{\circ})}{g} = \frac{u^2}{g} \quad \dots (i)$.
उड़ान का समय $T$ का सूत्र $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ है।
$\theta = 45^{\circ}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $T = \frac{2u \sin 45^{\circ}}{g} = \frac{2u}{g \sqrt{2}} = \frac{u \sqrt{2}}{g}$।
इससे,$u = \frac{Tg}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
अब $u$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$R_{\max} = \frac{1}{g} \left( \frac{Tg}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{g} \cdot \frac{T^2 g^2}{2} = \frac{g T^2}{2}$।

(C) औसत वेग को कुल विस्थापन को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
मान लीजिए कण को मूल बिंदु $(0,0)$ से प्रक्षेपित किया गया है। उच्चतम बिंदु पर,निर्देशांक $(R/2, H)$ हैं,जहाँ $R$ क्षैतिज परास है और $H$ अधिकतम ऊँचाई है।
विस्थापन सदिश $\vec{s} = \frac{R}{2} \hat{i} + H \hat{j}$ है।
विस्थापन का परिमाण $|\vec{s}| = \sqrt{(R/2)^2 + H^2}$ है।
उच्चतम बिंदु तक पहुँचने में लगा समय $t = \frac{T}{2} = \frac{v \sin \theta}{g}$ है।
हम जानते हैं कि $R = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2v^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ और $H = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
अतः,$R/2 = \frac{v^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ है।
$|\vec{s}| = \sqrt{\left(\frac{v^2 \sin \theta \cos \theta}{g}\right)^2 + \left(\frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g}\right)^2} = \frac{v^2 \sin \theta}{g} \sqrt{\cos^2 \theta + \frac{\sin^2 \theta}{4}} = \frac{v^2 \sin \theta}{2g} \sqrt{4 \cos^2 \theta + \sin^2 \theta} = \frac{v^2 \sin \theta}{2g} \sqrt{3 \cos^2 \theta + 1}$ है।
औसत वेग $v_{av} = \frac{|\vec{s}|}{t} = \frac{\frac{v^2 \sin \theta}{2g} \sqrt{3 \cos^2 \theta + 1}}{\frac{v \sin \theta}{g}} = \frac{v}{2} \sqrt{1+3 \cos ^2 \theta}$ है।

(B) प्रक्षेप्य के लिए प्रक्षेप पथ का समीकरण $y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$ है।
चूँकि कण बिंदु $(r, y)$ से गुजरता है,हमारे पास $y = r \tan \theta - \frac{g r^2}{2 u^2} (1 + \tan^2 \theta)$ है।
इसे $\tan \theta$ में द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $\frac{g r^2}{2 u^2} \tan^2 \theta - r \tan \theta + (y + \frac{g r^2}{2 u^2}) = 0$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि दो प्रक्षेपण कोण $\theta_1$ और $\theta_2$ हैं। तब $\tan \theta_1 \tan \theta_2 = \frac{y + \frac{g r^2}{2 u^2}}{\frac{g r^2}{2 u^2}} = 1 + \frac{2 u^2 y}{g r^2}$ होगा।
$r$ क्षैतिज दूरी तक पहुँचने में लिया गया समय $t = \frac{r}{u \cos \theta}$ है।
अतः,$t_1 t_2 = \frac{r^2}{u^2 \cos \theta_1 \cos \theta_2}$।
प्रक्षेप्य गति के गुण का उपयोग करते हुए,$t_1 t_2 = \frac{2 r}{g \tan \alpha}$ जहाँ $\alpha$ बिंदु $P$ का उन्नयन कोण है। एक निश्चित बिंदु $(r, y)$ के लिए,$t_1 t_2 = \frac{2 r^2}{g y}$। यदि हम उस स्थिति पर विचार करें जहाँ बिंदु प्रक्षेपण बिंदु के समान स्तर पर है $(y=0)$,तो $t_1 t_2$ का मान $r$ के समानुपाती होता है।

(C) प्रक्षेप्य का वेग हमेशा उसके पथ के स्पर्शरेखा होता है। अधिकतम ऊँचाई पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है,जबकि क्षैतिज घटक स्थिर रहता है। इसलिए,अधिकतम ऊँचाई पर वेग सदिश पूरी तरह से क्षैतिज होता है,जो क्षैतिज के साथ $0^{\circ}$ का कोण बनाता है।

(B) प्रक्षेप्य की परास का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ है।
दिया गया है $R = 20 \ m$ और $\theta = 30^{\circ}$,इसलिए $20 = \frac{u^2 \sin(2 \times 30^{\circ})}{g}$।
$\Rightarrow 20 = \frac{u^2 \sin 60^{\circ}}{g} = \frac{u^2}{g} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$।
अतः,$\frac{u^2}{g} = \frac{20 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{40}{\sqrt{3}}$।
अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{1}{2} \left(\frac{u^2}{g}\right) \sin^2 \theta$ है।
मान रखने पर,$H = \frac{1}{2} \times \left(\frac{40}{\sqrt{3}}\right) \times \sin^2 30^{\circ}$।
$H = \frac{20}{\sqrt{3}} \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{20}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{4} = \frac{5}{\sqrt{3}} \ m$।

(C) प्रक्षेप्य के प्रक्षेप पथ का मानक समीकरण $y = x \tan \theta - \frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta} x^2$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = 10x - \frac{5}{9}x^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan \theta = 10$
और
$\frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta} = \frac{5}{9}$।
चूंकि $g = 10 \ m/s^2$ दिया गया है,इसे दूसरे समीकरण में रखने पर:
$\frac{10}{2u^2 \cos^2 \theta} = \frac{5}{9} \implies \frac{5}{u^2 \cos^2 \theta} = \frac{5}{9} \implies u^2 \cos^2 \theta = 9$।
प्रक्षेप्य की परास $R$ का सूत्र $R = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ है।
इसे हम $R = \frac{2(u^2 \cos^2 \theta) \tan \theta}{g}$ के रूप में लिख सकते हैं।
$u^2 \cos^2 \theta = 9$,$\tan \theta = 10$,और $g = 10 \ m/s^2$ के मान रखने पर:
$R = \frac{2 \times 9 \times 10}{10} = 18 \ m$।

(A) क्षैतिज विस्थापन $x = (u \cos \theta) t = 6t$ द्वारा दिया गया है,जिसका अर्थ है $u \cos \theta = 6 \text{ m/s}$.
ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = (u \sin \theta) t - \frac{1}{2} g t^2 = 8t - 5t^2$ द्वारा दिया गया है। इसे मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर,हमें $u \sin \theta = 8 \text{ m/s}$ और $\frac{1}{2} g = 5$ प्राप्त होता है,इसलिए $g = 10 \text{ m/s}^2$.
प्रक्षेप्य की परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2(u \sin \theta)(u \cos \theta)}{g}$ है।
मान रखने पर: $R = \frac{2 \times 8 \times 6}{10} = \frac{96}{10} = 9.6 \text{ m}$.

(A) दिए गए समीकरण $x = 36t$ और $2y = 96t - 9.8t^2$ हैं।
दूसरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $y = 48t - 4.9t^2$ प्राप्त होता है।
इनकी तुलना प्रक्षेप्य गति के मानक समीकरणों से करने पर:
$x = (u \cos \theta)t$ और $y = (u \sin \theta)t - \frac{1}{2}gt^2$.
हम वेग के क्षैतिज घटक को $u \cos \theta = 36$ और ऊर्ध्वाधर घटक को $u \sin \theta = 48$ के रूप में पहचानते हैं।
प्रक्षेपण कोण $\theta$ ज्ञात करने के लिए,हम $\tan \theta = \frac{u \sin \theta}{u \cos \theta} = \frac{48}{36} = \frac{4}{3}$ की गणना करते हैं।
चूंकि $\tan \theta = \frac{4}{3}$,हम एक समकोण त्रिभुज बना सकते हैं जिसमें सम्मुख भुजा $4$ और आसन्न भुजा $3$ है। कर्ण $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ है।
इसलिए,$\sin \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{4}{5}$।
अतः,$\theta = \sin^{-1}(\frac{4}{5})$।

(D) क्षैतिज विस्थापन $x = 36t$ द्वारा दिया गया है। इसे मानक समीकरण $x = u_x t$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्रारंभिक वेग का क्षैतिज घटक $u_x = 36 \ m/s$ प्राप्त होता है।
ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = 48t - 4.9t^2$ द्वारा दिया गया है। इसे मानक समीकरण $y = u_y t - \frac{1}{2}gt^2$ (जहाँ $g \approx 9.8 \ m/s^2$) के साथ तुलना करने पर,हमें प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = 48 \ m/s$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक वेग $u$ इसके घटकों के परिणामी सदिश का परिमाण है:
$u = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}$
$u = \sqrt{36^2 + 48^2}$
$u = \sqrt{1296 + 2304}$
$u = \sqrt{3600}$
$u = 60 \ m/s$.

(D) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 20 \ m/s$,प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^{\circ}$,और $g = 10 \ m/s^2$.
प्रक्षेप्य के पथ का मानक समीकरण $h = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ है।
इसे दिए गए समीकरण $h = Ax - Bx^2$ के साथ तुलना करने पर:
$A = \tan \theta = \tan 45^{\circ} = 1$.
$B = \frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta} = \frac{10}{2 \times (20)^2 \times (\cos 45^{\circ})^2} = \frac{10}{2 \times 400 \times (1/\sqrt{2})^2} = \frac{10}{800 \times 1/2} = \frac{10}{400} = \frac{1}{40}$.
अब,$A:B$ का अनुपात:
$\frac{A}{B} = \frac{1}{1/40} = 40$.
अतः,$A:B$ का अनुपात $40:1$ है।

(C) माना कि प्रक्षेपण का प्रारंभिक वेग $u$ है। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE_1 = \frac{1}{2} m u^2 = K$ है।
प्रक्षेप्य गति के उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है,जबकि क्षैतिज घटक $u \cos \theta$ बना रहता है।
इसलिए,उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा $KE_2$ होगी:
$KE_2 = \frac{1}{2} m (u \cos \theta)^2$
$KE_2 = (\frac{1}{2} m u^2) \cos^2 \theta$
यहाँ $KE_1 = K$ और $\theta = 60^{\circ}$ रखने पर:
$KE_2 = K \cos^2 60^{\circ}$
चूंकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$KE_2 = K (\frac{1}{2})^2 = \frac{K}{4}$

(B) प्रक्षेप्य गति में,जब वायु प्रतिरोध की उपेक्षा की जाती है,तो प्रक्षेप्य पर कोई क्षैतिज बल कार्य नहीं करता है।
न्यूटन के गति के प्रथम नियम के अनुसार,क्षैतिज त्वरण $(a_{x})$ शून्य होता है।
चूंकि $a_{x} = 0$ है,इसलिए वेग का क्षैतिज घटक $(u_{x})$ पूरी गति के दौरान स्थिर रहता है।
इसलिए,$u_{x}$ बनाम $t$ का ग्राफ समय अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज सीधी रेखा होनी चाहिए।
यह विकल्प $B$ में दिखाए गए चित्र के अनुरूप है।

(A) दिया गया है:
विमान का क्षैतिज वेग,$u = 360 \text{ km/h} = 360 \times \frac{5}{18} \text{ m/s} = 100 \text{ m/s}$.
ऊंचाई,$h = 500 \text{ m}$.
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \text{ m/s}^2$.
जब बम गिराया जाता है,तो यह प्रक्षेप्य गति करता है। जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
$t = \sqrt{\frac{2 \times 500}{10}} = \sqrt{100} = 10 \text{ s}$.
इस समय के दौरान बम द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $R = u \times t$ है।
$R = 100 \text{ m/s} \times 10 \text{ s} = 1000 \text{ m}$.
अतः,बम को लक्ष्य से $1000 \text{ m}$ आगे गिराया जाना चाहिए।

(A) दिया गया है,प्रारंभिक वेग $u = 10 \ m/s$।
परास $R = 5 \ m$।
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$।
प्रक्षेप्य की परास का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\alpha)}{g}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर:
$5 = \frac{(10)^2 \sin(2\alpha)}{10}$
$5 = \frac{100 \sin(2\alpha)}{10}$
$5 = 10 \sin(2\alpha)$
$\sin(2\alpha) = \frac{5}{10} = 0.5$।
चूंकि $\sin(30^{\circ}) = 0.5$,इसलिए $2\alpha = 30^{\circ}$ या $2\alpha = 150^{\circ}$।
अतः,$\alpha = 15^{\circ}$ या $\alpha = 75^{\circ}$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही मान $15^{\circ}$ है।

(A) समय $t$ पर प्रक्षेप्य का ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = (u \sin \theta)t - \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दिया जाता है।
$h_1$ और $h_2$ ऊंचाइयों के लिए:
$h_1 = (u \sin \theta)t_1 - \frac{1}{2}gt_1^2 \implies \frac{h_1}{t_1} = u \sin \theta - \frac{1}{2}gt_1 \quad (1)$
$h_2 = (u \sin \theta)t_2 - \frac{1}{2}gt_2^2 \implies \frac{h_2}{t_2} = u \sin \theta - \frac{1}{2}gt_2 \quad (2)$
समीकरण $(1)$ से $(2)$ को घटाने पर:
$\frac{h_1}{t_1} - \frac{h_2}{t_2} = \frac{1}{2}g(t_2 - t_1) \implies \frac{h_1 t_2 - h_2 t_1}{t_1 t_2} = \frac{1}{2}g(t_2 - t_1)$
$\frac{g}{2} = \frac{h_1 t_2 - h_2 t_1}{t_1 t_2 (t_2 - t_1)} \quad (3)$
उड्डयन काल $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ है। समीकरण $(1)$ से,$u \sin \theta = \frac{h_1}{t_1} + \frac{1}{2}gt_1$.
$T = \frac{2}{g} \left( \frac{h_1}{t_1} + \frac{1}{2}gt_1 \right) = \frac{2h_1}{gt_1} + t_1$.
समीकरण $(3)$ से $\frac{g}{2}$ का मान $T$ के सूत्र में रखने पर:
$T = \frac{h_1}{t_1} \left( \frac{t_1 t_2 (t_2 - t_1)}{h_1 t_2 - h_2 t_1} \right) + t_1 = \frac{h_1 t_2^2 - h_1 t_1 t_2 + h_1 t_1 t_2 - h_2 t_1^2}{h_1 t_2 - h_2 t_1}$
$T = \frac{h_1 t_2^2 - h_2 t_1^2}{h_1 t_2 - h_2 t_1}$.

(A) दिया गया है,प्रारंभिक वेग सदिश $v = (3 \hat{i} + 10 \hat{j}) \text{ m/s}$ है।
$v = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ से तुलना करने पर,हमें $v_x = 3 \text{ m/s}$ और $v_y = 10 \text{ m/s}$ प्राप्त होता है।
प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{v_y^2}{2g}$ है।
मान रखने पर: $H = \frac{10^2}{2 \times 10} = \frac{100}{20} = 5 \text{ m}$।
क्षैतिज परास (Range) $R$ का सूत्र $R = v_x \times T$ है,जहाँ $T = \frac{2v_y}{g}$ उड़ान का समय है।
उड़ान के समय की गणना: $T = \frac{2 \times 10}{10} = 2 \text{ s}$।
परास की गणना: $R = 3 \times 2 = 6 \text{ m}$।
अतः,अधिकतम ऊँचाई $5 \text{ m}$ और परास $6 \text{ m}$ है।

(C) जमीन पर,प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m u^{2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है।
प्रक्षेप्य पथ के उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है और कण का वेग केवल क्षैतिज घटक के बराबर होता है,जो $v_x = u \cos \theta$ है।
प्रक्षेपण कोण $\theta = 60^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए उच्चतम बिंदु पर क्षैतिज वेग $v_x = u \cos 60^{\circ} = u \times \frac{1}{2} = \frac{u}{2}$ है।
उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा $E^{\prime} = \frac{1}{2} m v_x^{2}$ द्वारा दी जाती है।
$v_x$ का मान रखने पर,हमें $E^{\prime} = \frac{1}{2} m \left( \frac{u}{2} \right)^{2} = \frac{1}{2} m \left( \frac{u^{2}}{4} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} m u^{2} \right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $E = \frac{1}{2} m u^{2}$ है,इसलिए $E^{\prime} = \frac{E}{4}$ होगा।

(C) दिया गया है: ऊँचाई $h = 80 \ m$,प्रारंभिक क्षैतिज वेग $v = 8 \ ms^{-1}$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ ms^{-2}$।
ऊर्ध्वाधर गति के लिए,जमीन तक पहुँचने में लगा समय समीकरण $h = \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $80 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$.
$80 = 5t^2 \implies t^2 = 16 \implies t = 4 \ s$.
क्षैतिज गति के लिए,तय की गई दूरी $d = v \times t$ द्वारा प्राप्त होती है।
मान रखने पर: $d = 8 \times 4 = 32 \ m$.
अतः,समय $t = 4 \ s$ और दूरी $d = 32 \ m$ है।

(A) पिंड की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m u^2$ है।
प्रक्षेप्य गति के उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है और क्षैतिज घटक $u \cos \beta$ रहता है।
अतः,उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा $K' = \frac{1}{2} m (u \cos \beta)^2 = K \cos^2 \beta$ होगी।
दिया गया है कि $K' = \frac{3}{4} K$,इसलिए $K \cos^2 \beta = \frac{3}{4} K$।
इसे सरल करने पर $\cos^2 \beta = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\cos \beta = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
अतः,$\beta = 30^{\circ}$।

(B) गेंद की गति एक क्षैतिज प्रक्षेप्य गति है।
ऊर्ध्वाधर गति के लिए, प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $u_y = 0 \text{ m/s}$ है।
ऊर्ध्वाधर विस्थापन $H = 19.6 \text{ m}$ है।
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \text{ m/s}^2$ है।
गति के समीकरण $H = u_y t + \frac{1}{2} g t^2$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$19.6 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$19.6 = 4.9 \times t^2$
$t^2 = \frac{19.6}{4.9} = 4$
$t = \sqrt{4} = 2 \text{ s}$.
अतः, गेंद को जमीन तक पहुँचने में $2 \text{ s}$ का समय लगेगा।

(D) प्रक्षेप्य गति में,वेग का क्षैतिज घटक पूरी उड़ान के दौरान स्थिर रहता है क्योंकि क्षैतिज दिशा में कोई त्वरण कार्य नहीं करता है।
दिया गया है कि प्रारंभिक वेग $u$ है और प्रक्षेपण कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
प्रारंभिक वेग का क्षैतिज घटक $u_x = u \cos(\theta)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $u_x = u \cos(60^{\circ})$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\cos(60^{\circ}) = 1/2$,इसलिए क्षैतिज घटक $u_x = u \times (1/2) = u/2$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है,लेकिन क्षैतिज घटक अपरिवर्तित रहता है।
अतः,अधिकतम ऊँचाई पर वेग का क्षैतिज घटक $u/2$ है।

(C) कण की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m v^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ प्रारंभिक वेग है।
प्रक्षेप्य गति के उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है और कण का वेग उसके क्षैतिज घटक के बराबर होता है,जो $v_x = v \cos \theta$ है।
यहाँ $\theta = 60^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए उच्चतम बिंदु पर वेग $v_x = v \cos 60^{\circ} = \frac{v}{2}$ होगा।
उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा $K'$ का मान $K' = \frac{1}{2} m (v_x)^2$ है।
$v_x$ का मान रखने पर,हमें $K' = \frac{1}{2} m (\frac{v}{2})^2 = \frac{1}{2} m (\frac{v^2}{4}) = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} m v^2)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $K = \frac{1}{2} m v^2$ है,इसलिए $K' = \frac{K}{4}$ होगा।

(D) अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने में लगा समय $t_m = \frac{u_y}{g} = 2 \text{ s}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $g = 10 \text{ m/s}^2$,इसलिए $u_y = 2 \times 10 = 20 \text{ m/s}$ प्राप्त होता है।
किसी भी समय $t$ पर ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y$ समीकरण $y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$ द्वारा दिया जाता है।
$t = 3 \text{ s}$ पर,गेंद $H$ ऊंचाई पर है,इसलिए:
$H = (20 \text{ m/s}) \times (3 \text{ s}) - \frac{1}{2} \times (10 \text{ m/s}^2) \times (3 \text{ s})^2$
$H = 60 \text{ m} - 5 \times 9 \text{ m}$
$H = 60 \text{ m} - 45 \text{ m} = 15 \text{ m}$.

(A) प्रक्षेप्य के लिए उड्डयन काल का सूत्र $T = \frac{2v \sin \theta}{g}$ है।
दो पूरक कोणों $\theta$ और $(90^\circ - \theta)$ के लिए,क्षैतिज परास $R$ समान होता है।
उड्डयन काल $T_1 = \frac{2v \sin \theta}{g} = 5 \text{ s}$ और $T_2 = \frac{2v \sin(90^\circ - \theta)}{g} = \frac{2v \cos \theta}{g} = 10 \text{ s}$ हैं।
क्षैतिज परास $R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2v^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ है।
$T_1$ और $T_2$ का गुणा करने पर,हमें $T_1 T_2 = \frac{4v^2 \sin \theta \cos \theta}{g^2} = \frac{2}{g} \left( \frac{2v^2 \sin \theta \cos \theta}{g} \right) = \frac{2R}{g}$ प्राप्त होता है।
अतः,$R = \frac{1}{2} g T_1 T_2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 5 \times 10 = 250 \text{ m}$।

(B) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है और $\theta$ प्रक्षेपण कोण है।
चूंकि दोनों प्रक्षेप्यों का प्रारंभिक वेग $u$ समान है,इसलिए परास $\sin(2\theta)$ के समानुपाती है,अर्थात $R \propto \sin(2\theta)$।
पहले प्रक्षेप्य के लिए,$\theta_1 = 15^{\circ}$,इसलिए $R_1 \propto \sin(2 \times 15^{\circ}) = \sin(30^{\circ}) = 1/2$।
दूसरे प्रक्षेप्य के लिए,$\theta_2 = 30^{\circ}$,इसलिए $R_2 \propto \sin(2 \times 30^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) = \sqrt{3}/2$।
उनकी परास का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
दिया गया अनुपात $1:x$ है,इसलिए $1:x = 1:\sqrt{3}$।
अतः,$x = \sqrt{3}$।

(B) क्षैतिज स्थिति $x = 24t$ द्वारा दी गई है। क्षैतिज वेग घटक $v_x = \frac{dx}{dt} = 24 \text{ m/s}$ है।
ऊर्ध्वाधर स्थिति $y = 43.6t - 4.9t^2$ द्वारा दी गई है। ऊर्ध्वाधर वेग घटक $v_y = \frac{dy}{dt} = 43.6 - 9.8t$ है।
समय $t = 2 \text{ s}$ पर,ऊर्ध्वाधर वेग $v_y = 43.6 - 9.8(2) = 43.6 - 19.6 = 24 \text{ m/s}$ है।
प्रक्षेप्य द्वारा क्षैतिज के साथ बनाया गया कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{v_y}{v_x}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \frac{24}{24} = 1$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$।

(A) गोलियों द्वारा तय की गई सबसे दूर की दूरी अधिकतम क्षैतिज परास $(R_{max})$ है।
अधिकतम क्षैतिज परास का सूत्र $R_{max} = \frac{u^2}{g}$ है,जहाँ $u$ प्रारंभिक गति है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
दिए गए मान $R_{max} = 6.4 \text{ m}$ और $g = 10 \text{ m/s}^2$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $6.4 = \frac{u^2}{10}$।
दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर,हमें $u^2 = 64$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $u = 8 \text{ m/s}$ प्राप्त होता है।