Horizontal Projectile Motion Questions in Gujarati

(C) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $v$ છે અને પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta = 60^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે,પ્રારંભિક વેગનો ઉર્ધ્વ ઘટક $v_y = v \sin \theta = 40 \ m \ s^{-1}$.
ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2 v \sin \theta}{g} = \frac{2 \times 40}{10} = 8 \ s$.
જે સમયે આપણે વેગ શોધવાનો છે તે સમય $t = \frac{T}{4} = \frac{8}{4} = 2 \ s$ છે.
વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે: $v_x = v \cos \theta$.
કારણ કે $v \sin \theta = 40$,તેથી $v = \frac{40}{\sin 60^{\circ}} = \frac{40}{\sqrt{3}/2} = \frac{80}{\sqrt{3}} \approx 46.19 \ m \ s^{-1}$.
આમ,$v_x = \frac{80}{\sqrt{3}} \times \cos 60^{\circ} = \frac{80}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{2} = \frac{40}{\sqrt{3}} \approx 23.09 \ m \ s^{-1}$.
સમય $t$ પર વેગનો ઉર્ધ્વ ઘટક $v_y(t) = v \sin \theta - g t = 40 - (10 \times 2) = 20 \ m \ s^{-1}$.
સમય $t$ પર વેગનું મૂલ્ય $v_t = \sqrt{v_x^2 + v_y(t)^2} = \sqrt{(23.09)^2 + (20)^2} = \sqrt{533.15 + 400} = \sqrt{933.15} \approx 30.54 \ m \ s^{-1}$.

(C) વિધાન $(A)$ સાચું છે. પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે. આપેલ પ્રારંભિક વેગ $u$ માટે,અવધિ ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે $\sin(2\theta)$ મહત્તમ હોય,એટલે કે $\sin(2\theta) = 1$,જેનો અર્થ છે કે $2\theta = 90^{\circ}$ અથવા $\theta = 45^{\circ}$.
કારણ $(R)$ ખોટું છે. પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ માત્ર પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta$ પર જ નહીં,પરંતુ પ્રારંભિક વેગ $u$ અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ પર પણ આધાર રાખે છે $(R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g})$. તેથી,તે માત્ર પ્રક્ષિપ્ત કોણ પર આધાર રાખતું નથી.
આમ,$(A)$ સાચું છે પરંતુ $(R)$ ખોટું છે.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 45^{\circ}$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિના પથનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$
અહીં $x = 30 \,m$, $y = 20 \,m$, $\theta = 45^{\circ}$, અને $g = 10 \,m/s^2$ આપેલ છે:
$20 = 30 \tan 45^{\circ} - \frac{10 \times (30)^2}{2 u^2 \cos^2 45^{\circ}}$
$20 = 30(1) - \frac{10 \times 900}{2 u^2 \times (1/2)}$
$20 = 30 - \frac{9000}{u^2}$
$\frac{9000}{u^2} = 10$
$u^2 = 900 \implies u = 30 \,m/s$
સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નીચે મુજબ મળે:
$R = \frac{u^2 \sin 2 \theta}{g} = \frac{900 \times \sin 90^{\circ}}{10} = 90 \,m$
સ્તંભના પાયાથી $s$ અંતર એ કુલ અવધિમાંથી સ્તંભ સુધીનું પ્રારંભિક અંતર બાદ કરવાથી મળે:
$s = R - 30 = 90 - 30 = 60 \,m$
આમ, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટે મહત્તમ અવધિ $R_{\max} = \frac{u^2}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે અવધિ $R$ એ મહત્તમ અવધિના અડધા છે,તેથી $R = \frac{R_{\max}}{2} = \frac{u^2}{2g}$.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિની અવધિનું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ છે.
$R$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $\frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{u^2}{2g}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\sin 2\theta = \frac{1}{2}$ મળે છે.
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી $2\theta = 30^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 15^{\circ}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ધારો કે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો વેગ સમક્ષિતિજ સાથે $\frac{\theta}{2}$ ખૂણે $v$ છે.
ગતિ દરમિયાન વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહેતો હોવાથી:
$v \cos \left(\frac{\theta}{2}\right) = u \cos \theta$
$v = \frac{u \cos \theta}{\cos \left(\frac{\theta}{2}\right)}$
વક્ર ગતિપથ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ એ વેગ સદિશને લંબ ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટક દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે,જે $mg \cos \left(\frac{\theta}{2}\right)$ છે.
કેન્દ્રગામી બળના સૂત્ર $\frac{mv^2}{r} = F_c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{mv^2}{r} = mg \cos \left(\frac{\theta}{2}\right)$
$r = \frac{v^2}{g \cos \left(\frac{\theta}{2}\right)}$
$v$ ની કિંમત મૂકતા:
$r = \frac{\left(\frac{u \cos \theta}{\cos \left(\frac{\theta}{2}\right)}\right)^2}{g \cos \left(\frac{\theta}{2}\right)}$
$r = \frac{u^2 \cos^2 \theta}{g \cos^2 \left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\theta}{2}\right)}$
$r = \frac{u^2 \cos^2 \theta \sec^3 \left(\frac{\theta}{2}\right)}{g}$

(C) સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણે પ્રક્ષિપ્ત કરેલા પદાર્થ માટે:
મહત્તમ ઊંચાઈ,$H_{\max} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$
અવધિ,$R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$
મહત્તમ ઊંચાઈ અને અવધિનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{H_{\max}}{R} = \frac{u^2 \sin^2 \theta / 2g}{2u^2 \sin \theta \cos \theta / g} = \frac{\sin^2 \theta}{4 \sin \theta \cos \theta} = \frac{\tan \theta}{4}$
અહીં $\theta = \tan^{-1}(\frac{8}{7})$ આપેલ છે,તેથી $\tan \theta = \frac{8}{7}$.
$\tan \theta$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{H_{\max}}{R} = \frac{8/7}{4} = \frac{8}{28} = \frac{2}{7}$.
આમ,ગુણોત્તર $2:7$ છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો ગતિપથ નીચેના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$y = f(x) = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર ગતિપથનો ઢાળ વિકલન $\frac{dy}{dx}$ દ્વારા મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = \tan \theta - \frac{gx}{u^2 \cos^2 \theta} = \frac{v_y}{v_x}$
આ ઢાળ વેગના શિરોલંબ ઘટક અને સમક્ષિતિજ ઘટકના ગુણોત્તરને દર્શાવે છે,વેગના મૂલ્યને નહીં. તેથી,વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
કારણ $(R)$ જણાવે છે કે કોઈપણ બિંદુએ વેગ સદિશ હંમેશા તે બિંદુએ ગતિપથના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે. આ સમતલમાં ગતિનો મૂળભૂત ગુણધર્મ છે,કારણ કે તાત્ક્ષણિક વેગ એ સ્થાનમાં થતા ફેરફારનો દર છે,જે ગતિપથના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે. આમ,કારણ $(R)$ સાચું છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\tan 45^{\circ} = 1$ અને $\cos^2 45^{\circ} = \frac{1}{2}$ થાય.
સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$y = x - \frac{g x^2}{2 u^2 (1/2)} = x - \frac{g x^2}{u^2} \quad ... (i)$
પદાર્થ $(4, 3) \ m$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 4$ અને $y = 3$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$3 = 4 - \frac{g(4^2)}{u^2}$
$3 = 4 - \frac{16g}{u^2}$
$\frac{16g}{u^2} = 1 \Rightarrow u^2 = 16g$
હવે $u^2 = 16g$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$y = x - \frac{g x^2}{16g} = x - \frac{x^2}{16}$
સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ એ $x$ નું તે મૂલ્ય છે જ્યાં $y = 0$ થાય (જમીન પર પાછા ફરતી વખતે):
$0 = x - \frac{x^2}{16}$
$x(1 - \frac{x}{16}) = 0$
અહીં $x = 0$ એ શરૂઆતનું સ્થાન છે,તેથી અંતિમ સ્થાન માટે $1 - \frac{x}{16} = 0$ લેતા $x = 16 \ m$ મળે.
આમ,સમક્ષિતિજ અવધિ $16 \ m$ છે.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = (1\hat{i} + 2\hat{j}) \text{ ms}^{-1}$ છે.
તેથી,પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = 1 \text{ ms}^{-1}$ અને પ્રારંભિક શિરોલંબ ઘટક $u_y = 2 \text{ ms}^{-1}$ છે.
પ્રવેગના ઘટકો $a_x = 0$ અને $a_y = -g = -10 \text{ ms}^{-2}$ છે.
કોઈપણ સમય $t$ પર,કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર:
$x = u_x t = 1 \cdot t \implies t = x \quad \dots (i)$
કાપેલું શિરોલંબ અંતર:
$y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$
$y = 2t + \frac{1}{2}(-10)t^2$
$y = 2t - 5t^2 \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $t$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$y = 2(x) - 5(x)^2$
$y = 2x - 5x^2$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ છે કે,બંને ટાવરની ઊંચાઈ સમાન છે,$h_1 = h_2 = h = 20 \ m$.
ક્ષૈતિજ રીતે ફેંકવામાં આવેલા પદાર્થ માટે ઉડ્ડયન સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ દ્વારા મળે છે.
$t = \sqrt{\frac{2 \times 20}{10}} = \sqrt{4} = 2 \ s$.
ટાવર $A$ થી બિંદુ $P$ સુધીનું ક્ષૈતિજ સ્થાનાંતર $x_A = u_A t = 20 \ ms^{-1} \times 2 \ s = 40 \ m$ છે.
ટાવર $B$ થી બિંદુ $Q$ સુધીનું ક્ષૈતિજ સ્થાનાંતર $x_B = u_B t = 30 \ ms^{-1} \times 2 \ s = 60 \ m$ છે.
બિંદુ $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર $d = 200 \ m - (x_A + x_B) = 200 \ m - (40 \ m + 60 \ m) = 100 \ m$ છે.
$P$ આગળ સ્થિર સ્થિતિ $(u = 0)$ થી શરૂ કરીને $10 \ s$ માં $Q$ સુધી પહોંચતી કાર માટે,ગતિનું સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ વાપરતા:
$100 = 0 \times 10 + \frac{1}{2} \times a \times (10)^2$.
$100 = 50a$.
$a = 2 \ ms^{-2}$.

(C) આપેલ છે:
પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગ, $u_x = 20 \,ms^{-1}$.
પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ, $u_y = 0$.
ગુરુત્વપ્રવેગ, $g = a_y = 10 \,ms^{-2}$.
સમક્ષિતિજ પ્રવેગ, $a_x = 0$.
$t = 1 \,s$ માટે:
$A$. પરિણામી વેગ $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.
$v_x = u_x + a_x t = 20 + 0 = 20 \,ms^{-1}$.
$v_y = u_y + a_y t = 0 + 10 \times 1 = 10 \,ms^{-1}$.
$v = \sqrt{20^2 + 10^2} = \sqrt{400 + 100} = \sqrt{500} \approx 22.4 \,ms^{-1}$. ($IV$ સાથે જોડાય છે)
$B$. સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $s_x = u_x t + \frac{1}{2} a_x t^2 = 20 \times 1 + 0 = 20 \,m$. ($II$ સાથે જોડાય છે)
$C$. શિરોલંબ સ્થાનાંતર $s_y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times 1^2 = 5 \,m$. ($I$ સાથે જોડાય છે)
$D$. શિરોલંબ વેગ $v_y = 10 \,ms^{-1}$. ($III$ સાથે જોડાય છે)
આમ, સાચી જોડ $A-IV, B-II, C-I, D-III$ છે.

(D) પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \sqrt{3} \ m/s$ અને $\theta = 60^{\circ}$.
સમક્ષિતિજ ઘટક: $u_x = u \cos 60^{\circ} = 10 \sqrt{3} \times (1/2) = 5 \sqrt{3} \ m/s$.
શિરોલંબ ઘટક: $u_y = u \sin 60^{\circ} = 10 \sqrt{3} \times (\sqrt{3}/2) = 15 \ m/s$.
પ્રારંભિક વેગ સદિશ: $\vec{v}_i = 5 \sqrt{3} \hat{i} + 15 \hat{j}$.
$t = 2 \ s$ પછી,સમક્ષિતિજ વેગ $v_x = u_x = 5 \sqrt{3} \ m/s$.
શિરોલંબ વેગ $v_y = u_y - gt = 15 - (10 \times 2) = 15 - 20 = -5 \ m/s$.
અંતિમ વેગ સદિશ: $\vec{v}_f = 5 \sqrt{3} \hat{i} - 5 \hat{j}$.
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી: $\vec{v}_i \cdot \vec{v}_f = (5 \sqrt{3})(5 \sqrt{3}) + (15)(-5) = 75 - 75 = 0$.
ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ હોવાથી,સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.

(D) સમક્ષિતિજ પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટે, સમક્ષિતિજ વેગ $v_x = u = 30 \,ms^{-1}$ અચળ રહે છે.
$t$ સમયે શિરોલંબ વેગ $v_y = gt = 10t$ છે.
$t_1$ સમયે, $v_x = v_y$, તેથી $30 = 10t_1$, જે $t_1 = 3 \,s$ આપે છે.
$t$ સમયે સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $x = ut = 30t$ છે.
$t$ સમયે શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y = \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2 = 5t^2$ છે.
$t_2$ સમયે, $x = y$, તેથી $30t_2 = 5t_2^2$. $t_2 \neq 0$ હોવાથી, આપણને $t_2 = \frac{30}{5} = 6 \,s$ મળે છે.
તેથી, $t_2 - t_1 = 6 \,s - 3 \,s = 3 \,s$.

(B) $u$ ઝડપ અને $\theta$ ખૂણે ફેંકવામાં આવેલા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિ $R_{max}$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $\theta = 45^\circ$ હોય,જે $R_{max} = \frac{u^2}{g}$ છે.
ગોળીઓ બધી દિશાઓમાં છોડવામાં આવતી હોવાથી,તેઓ જમીન પર એક વર્તુળાકાર વિસ્તાર આવરી લેશે જેની ત્રિજ્યા મહત્તમ અવધિ $R_{max}$ જેટલી હશે.
આ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R_{max}^2$ થાય.
$R_{max}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $A = \pi \left(\frac{u^2}{g}\right)^2 = \frac{\pi u^4}{g^2}$ મળે છે.

(B) પ્રારંભિક વેગ $u = 60 \sqrt{2} \ m/s$ અને ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ છે.
વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક: $u_x = u \cos(45^{\circ}) = 60 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 60 \ m/s$.
વેગનો શિરોલંબ ઘટક: $u_y = u \sin(45^{\circ}) = 60 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 60 \ m/s$.
$t = 6 \ s$ સમય પછી,સમક્ષિતિજ વેગ અચળ રહે છે: $v_x = u_x = 60 \ m/s$.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે શિરોલંબ વેગ બદલાય છે $(g = 10 \ m/s^2)$: $v_y = u_y - gt = 60 - (10 \times 6) = 0 \ m/s$.
વેગ દ્વારા સમક્ષિતિજ સાથે બનતો ખૂણો $\alpha$ નીચે મુજબ મળે: $\tan(\alpha) = \frac{v_y}{v_x} = \frac{0}{60} = 0$.
તેથી,$\alpha = 0^{\circ}$.

(C) ધારો કે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta$ છે. પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2}mu^2$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ, વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે, અને પદાર્થનો વેગ માત્ર સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = u \cos \theta$ જેટલો જ રહે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2}m(u \cos \theta)^2 = \frac{1}{2}mu^2 \cos^2 \theta$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ, $K_f = \frac{1}{2}K_i$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા, $\frac{1}{2}mu^2 \cos^2 \theta = \frac{1}{2} (\frac{1}{2}mu^2)$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\cos^2 \theta = \frac{1}{2}$ મળે, જેનો અર્થ છે કે $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી, $\theta = 45^{\circ}$ થાય.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ છે.
આને $y = ax - bx^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\tan \theta = a$ અને $b = \frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta}$ મળે છે.
$i)$ પ્રારંભિક વેગ $u$: $\tan \theta = a$ હોવાથી,$\sec^2 \theta = 1 + a^2$,તેથી $\cos^2 \theta = \frac{1}{1+a^2}$. $b$ માં કિંમત મૂકતા,$b = \frac{g(1+a^2)}{2u^2} \implies u = \sqrt{\frac{g(1+a^2)}{2b}}$. આમ,$i-d$.
$ii)$ અવધિ $R$: $y=0$ લેતા,$x(a-bx)=0 \implies R = \frac{a}{b}$. આમ,$ii-a$.
$iii)$ મહત્તમ ઊંચાઈ $H$: $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{u^2 \tan^2 \theta \cos^2 \theta}{2g} = \frac{a^2}{4b}$. આમ,$iii-c$.
$iv)$ ઉડ્ડયન સમય $T$: $T = \frac{2u \sin \theta}{g} = \frac{2u \tan \theta \cos \theta}{g} = a \sqrt{\frac{2}{bg}}$. આમ,$iv-b$.
તેથી,સાચી જોડ $i-d, ii-a, iii-c, iv-b$ છે.

(D) પ્રારંભિક વેગ $u = 10\sqrt{2} \ m/s$ અને ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ છે.
સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \cos 45^{\circ} = 10\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 10 \ m/s$ છે.
શિરોલંબ ઘટક $u_y = u \sin 45^{\circ} = 10\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 10 \ m/s$ છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર,વેગના ઘટકો $v_x = 10 \ m/s$ અને $v_y = 10 - 10t$ છે.
ઝડપ $v$ માટેનું સૂત્ર $v^2 = v_x^2 + v_y^2$ છે.
અહીં $v = \sqrt{125} \ m/s$ આપેલ છે,તેથી $v^2 = 125$.
$125 = 10^2 + (10 - 10t)^2$.
$125 = 100 + (10 - 10t)^2$.
$(10 - 10t)^2 = 25$.
વર્ગમૂળ લેતા,$10 - 10t = \pm 5$.
કિસ્સો $1$: $10 - 10t = 5 \implies 10t = 5 \implies t_1 = 0.5 \ s$.
કિસ્સો $2$: $10 - 10t = -5 \implies 10t = 15 \implies t_2 = 1.5 \ s$.
સમયગાળો $\Delta t = t_2 - t_1 = 1.5 - 0.5 = 1.0 \ s$ થાય.

(B) પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = u_x \hat{i} + u_y \hat{j} = (1\hat{i} + 2\hat{j}) \text{ ms}^{-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = 1 \text{ ms}^{-1}$ અને શિરોલંબ ઘટક $u_y = 2 \text{ ms}^{-1}$ છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર,સમક્ષિતિજ સ્થાન $x = u_x t = 1 \cdot t$ છે,જેનો અર્થ છે કે $t = x$.
શિરોલંબ સ્થાન $y = u_y t - \frac{1}{2}gt^2$ છે.
સમીકરણમાં $g = 10 \text{ ms}^{-2}$,$u_y = 2 \text{ ms}^{-1}$,અને $t = x$ મૂકતા:
$y = 2x - \frac{1}{2}(10)x^2$.
$y = 2x - 5x^2$.
તેથી,ગતિપથનું સમીકરણ $y = 2x - 5x^2$ છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$y = x \tan \theta \left(1 - \frac{x}{R}\right) = x \tan \theta - \frac{x^2 \tan \theta}{R}$
આ સમીકરણને આપેલ સમીકરણ $y = Px - Qx^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$P = \tan \theta$
$Q = \frac{\tan \theta}{R} \implies R = \frac{\tan \theta}{Q} = \frac{P}{Q}$
આપણે જાણીએ છીએ કે મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર છે:
$H = \frac{R \tan \theta}{4}$
$R$ અને $\tan \theta$ ની કિંમતો મૂકતા:
$H = \frac{(P/Q) \cdot P}{4} = \frac{P^2}{4Q}$
તેથી,મહત્તમ ઊંચાઈ અને અવધિનો ગુણોત્તર:
$\frac{H}{R} = \frac{P^2 / 4Q}{P / Q} = \frac{P}{4}$

(A) પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 10 \hat{i} + p \hat{j}$ છે. તેથી,$u_x = 10 \ m/s$ અને $u_y = p \ m/s$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u_y^2}{2g} = \frac{p^2}{2g}$ છે.
અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{2 u_x u_y}{g} = \frac{2(10)(p)}{g} = \frac{20p}{g}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$H = 0.5 R$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{p^2}{2g} = 0.5 \times \frac{20p}{g}$.
$\frac{p^2}{2g} = \frac{10p}{g}$.
$p \neq 0$ હોવાથી,બંને બાજુ $p/g$ વડે ભાગતા: $\frac{p}{2} = 10$.
તેથી,$p = 20$ મળે છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ છે.
ધારો કે લક્ષ્યનું અંતર $R$ છે.
$\theta_1 = 15^{\circ}$ માટે,અવધિ $R_1 = R - 10$ છે. તેથી,$R - 10 = \frac{u^2 \sin 30^{\circ}}{g} = \frac{u^2}{2g}$.
$\theta_2 = 45^{\circ}$ માટે,અવધિ $R_2 = R + 15$ છે. તેથી,$R + 15 = \frac{u^2 \sin 90^{\circ}}{g} = \frac{u^2}{g}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{R - 10}{R + 15} = \frac{u^2/2g}{u^2/g} = \frac{1}{2}$.
$2R - 20 = R + 15 \Rightarrow R = 35 \ m$.
હવે,$R + 15 = \frac{u^2}{g} \Rightarrow 35 + 15 = \frac{u^2}{g} \Rightarrow \frac{u^2}{g} = 50 \ m$.
લક્ષ્યને અથડાવવા માટે,અવધિ $R = 35 \ m$ હોવી જોઈએ. તેથી,$35 = 50 \sin 2\theta$.
$\sin 2\theta = \frac{35}{50} = \frac{7}{10}$.
$\theta = \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{7}{10}\right)$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$ છે.
કણ બિંદુ $(r, y)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $y = r \tan \theta - \frac{g r^2}{2 u^2} (1 + \tan^2 \theta)$.
આને $\tan \theta$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ તરીકે ગોઠવતા: $\frac{g r^2}{2 u^2} \tan^2 \theta - r \tan \theta + (y + \frac{g r^2}{2 u^2}) = 0$.
ધારો કે બે બીજ $\tan \theta_1$ અને $\tan \theta_2$ છે. તો $\tan \theta_1 \tan \theta_2 = \frac{y + g r^2 / 2 u^2}{g r^2 / 2 u^2} = 1 + \frac{2 u^2 y}{g r^2}$.
આડા અંતર $r$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{r}{u \cos \theta}$ છે.
તેથી,$t_1 t_2 = \frac{r^2}{u^2 \cos \theta_1 \cos \theta_2}$.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,તે એક પ્રમાણિત પરિણામ છે કે $t_1 t_2 = \frac{2 r}{g \tan \alpha}$ જ્યાં $\alpha$ એ બિંદુનો ઉત્સેધકોણ છે. નિશ્ચિત બિંદુ $(r, y)$ માટે,$t_1 t_2 = \frac{2 r}{g \tan \theta_{\text{elevation}}}$.
$g$ અચળ હોવાથી,$t_1 t_2 \propto r$.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ અને ઉડ્ડયન સમય $T$ નીચે મુજબ છે:
$H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ અને $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$.
આ સમીકરણો પરથી જોઈ શકાય છે કે $H \propto u^2$ અને $T \propto u$ (કારણ કે $\theta$ અચળ છે).
તેથી,$H \propto T^2$.
જો ઊંચાઈમાં $10 \%$ નો વધારો થાય,તો નવી ઊંચાઈ $H_2 = 1.10 H_1$ થાય.
$H \propto T^2$ હોવાથી,$\frac{H_2}{H_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2$.
$1.10 = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 \implies \frac{T_2}{T_1} = \sqrt{1.10} \approx 1.0488$.
આ આશરે $4.88 \%$ ના વધારાને અનુરૂપ છે,જે $5 \%$ ની સૌથી નજીક છે.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 50 \ kg$,અવધિ $R = 8 \ m$,ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \ m/s^2$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિનું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$8 = \frac{u^2 \sin(2 \times 45^{\circ})}{9.8} = \frac{u^2 \sin(90^{\circ})}{9.8} = \frac{u^2}{9.8}$.
તેથી,$u^2 = 8 \times 9.8 = 78.4 \ m^2/s^2$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $\frac{1}{2} m u^2$ છે.
$(K.E.) = \frac{1}{2} \times 50 \times 78.4 = 25 \times 78.4 = 1960 \ J$.

(B) આપેલ છે: હેલિકોપ્ટરનો વેગ $u = 288 \ km/h = 288 \times \frac{5}{18} \ m/s = 80 \ m/s$. ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$. ધારો કે હેલિકોપ્ટરની ઊંચાઈ $h$ છે અને બોમ્બની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ છે. જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ છે. સમક્ષિતિજ અવધિ $R = u \times t = u \sqrt{\frac{2h}{g}}$ છે. બોમ્બ ફેંકવાના બિંદુ અને અથડાવાના બિંદુને જોડતી રેખા સમક્ષિતિજ સાથે બનાવેલ ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \frac{h}{R}$ થાય. આપેલ છે કે $\theta = 45^{\circ}$,તેથી $\tan 45^{\circ} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $h = R$. $R = u \sqrt{\frac{2h}{g}}$ મૂકતા,આપણને $h = u \sqrt{\frac{2h}{g}}$ મળે છે. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $h^2 = u^2 \frac{2h}{g} \implies h = \frac{2u^2}{g}$. કિંમતો મૂકતા: $h = \frac{2 \times (80)^2}{10} = \frac{2 \times 6400}{10} = 1280 \ m$.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 19.6 \ m/s$,મહત્તમ ઊંચાઈ $H = 9.8 \ m$.
આપણે જાણીએ છીએ કે મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
$g = 9.8 \ m/s^2$ લેતા,$9.8 = \frac{(19.6)^2 \sin^2 \theta}{2 \times 9.8}$.
$9.8 = \frac{384.16 \sin^2 \theta}{19.6} \implies 9.8 = 19.6 \sin^2 \theta$.
$\sin^2 \theta = \frac{9.8}{19.6} = 0.5$,તેથી $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 45^\circ$.
અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
$\theta = 45^\circ$ હોવાથી,$\sin(2\theta) = \sin(90^\circ) = 1$.
$R = \frac{(19.6)^2}{9.8} = \frac{384.16}{9.8} = 39.2 \ m$.

(A) ધારો કે દડાને $u$ જેટલા પ્રારંભિક વેગથી $\theta = 45^{\circ}$ ના ખૂણે ફેંકવામાં આવે છે.
સમય $t$ પર શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y = (u \sin \theta)t - \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દડો $t_1 = 2 \ s$ અને $t_2 = 8 \ s$ સમયે સમાન ઊંચાઈ $y$ પર હોવાથી:
$(u \sin \theta)t_1 - \frac{1}{2}gt_1^2 = (u \sin \theta)t_2 - \frac{1}{2}gt_2^2$
$u \sin \theta (t_2 - t_1) = \frac{1}{2}g(t_2^2 - t_1^2)$
$u \sin \theta = \frac{g(t_1 + t_2)}{2} = \frac{10(2 + 8)}{2} = 50 \ m/s$.
$\theta = 45^{\circ}$ હોવાથી,$u \sin 45^{\circ} = u \cos 45^{\circ} = 50 \ m/s$,તેથી $u_x = 50 \ m/s$.
બે બિંદુઓ વચ્ચેનું સમક્ષિતિજ અંતર $d$ એ $t_1$ અને $t_2$ વચ્ચેનું સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર છે:
$d = u_x(t_2 - t_1) = 50 \times (8 - 2) = 50 \times 6 = 300 \ m$.

(A) પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટે,જો કોઈ પદાર્થ $t_1$ સમયે એક બિંદુમાંથી પસાર થાય અને ત્યારબાદ $t_2$ સમય પછી જમીન પર પહોંચે,તો કુલ ઉડ્ડયન સમય $T = t_1 + t_2 = 2.3 \ s + 5.7 \ s = 8.0 \ s$ થાય.
મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_{max} = \frac{T}{2} = \frac{8.0 \ s}{2} = 4.0 \ s$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{1}{2} g t_{max}^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $H = \frac{1}{2} \times 10 \ ms^{-2} \times (4.0 \ s)^2$.
$H = 5 \times 16 = 80 \ m$.
આમ,પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ $80 \ m$ છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = \sqrt{3}x - 0.2x^2$ સાથે સરખાવતા:
$1$. $\tan \theta = \sqrt{3} \implies \theta = 60^\circ$.
$2$. $\frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta} = 0.2$.
અહીં $g = 10 \ ms^{-2}$ અને $\cos 60^\circ = 0.5$ લેતા,$\frac{10}{2u^2 (0.5)^2} = 0.2$.
$\frac{10}{2u^2 (0.25)} = 0.2 \implies \frac{10}{0.5u^2} = 0.2 \implies \frac{20}{u^2} = 0.2 \implies u^2 = 100 \implies u = 10 \ ms^{-1}$.
ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે.
$T = \frac{2 \times 10 \times \sin 60^\circ}{10} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \ s$.

(D) પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટે, પ્રક્ષેપણનો ખૂણો $\theta = \tan^{-1}(\sqrt{7})$ છે, તેથી $\tan \theta = \sqrt{7}$.
મહત્તમ ઊંચાઈના અડધા ભાગે $(y = H/2)$, વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_y^2 = u_y^2 - 2g(H/2) = u^2 \sin^2 \theta - gH$ દ્વારા મળે છે.
સમક્ષિતિજ વેગનો ઘટક અચળ રહે છે: $v_x = u_x = u \cos \theta$.
આ ઊંચાઈએ ઝડપ $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{u^2 \cos^2 \theta + u^2 \sin^2 \theta - gH} = \sqrt{u^2 - gH}$.
કારણ કે $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$, તેથી $gH = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2}$.
આ કિંમત $v^2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$v^2 = u^2 - \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2} = u^2 (1 - \frac{\sin^2 \theta}{2})$.
$\tan \theta = \sqrt{7}$ હોવાથી, $\sin^2 \theta = \frac{\tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{7}{1 + 7} = \frac{7}{8}$.
તેથી, $v^2 = u^2 (1 - \frac{7/8}{2}) = u^2 (1 - \frac{7}{16}) = u^2 (\frac{9}{16})$.
$v = nu$ હોવાથી, $n^2 = \frac{9}{16}$, જેનો અર્થ છે કે $n = \frac{3}{4}$.

(B) આપેલ છે: વિમાનનો વેગ,$u = 60 \ km/h = 60 \times \frac{5}{18} \ m/s = \frac{50}{3} \ m/s$.
વિમાનની ઊંચાઈ,$h = 490 \ m$.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ,$g = 9.8 \ m/s^2$.
બોમ્બને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $h = \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
$t = \sqrt{\frac{2 \times 490}{9.8}} = \sqrt{\frac{980}{9.8}} = \sqrt{100} = 10 \ s$.
આ સમયમાં બોમ્બ દ્વારા કાપવામાં આવેલ આડું અંતર $R = u \times t$ છે.
$R = \left(\frac{50}{3}\right) \times 10 = \frac{500}{3} \ m$.

(C) પ્રારંભિક વેગ $u = 50 \ m/s$,ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$,$g = 10 \ m/s^2$.
વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \cos \theta = 50 \cos 30^{\circ} = 50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3} \ m/s$.
વેગનો શિરોલંબ ઘટક $u_y = u \sin \theta = 50 \sin 30^{\circ} = 50 \times 0.5 = 25 \ m/s$.
કુલ અવધિ (Range) $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{50^2 \sin 60^{\circ}}{10} = \frac{2500 \times \sqrt{3}}{20} = 125\sqrt{3} \ m \approx 216.5 \ m$.
$t = 3 \ s$ માં કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર $x = u_x \times t = 25\sqrt{3} \times 3 = 75\sqrt{3} \ m \approx 129.9 \ m$.
દીવાલની પેલે પાર પથ્થર જ્યાં જમીન પર અથડાશે તે અંતર $R - x = 125\sqrt{3} - 75\sqrt{3} = 50\sqrt{3} \ m$.
$50 \times 1.732 = 86.6 \ m$.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિ $R_{\max}$ નું સૂત્ર $R_{\max} = \frac{u^2}{g}$ છે.
આપેલ છે કે $R_{\max} = 80 \,m$, તેથી $80 = \frac{u^2}{g}$, જેનો અર્થ છે કે $u^2 = 80g$.
જ્યારે દડાને સમાન વેગ $u$ સાથે શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે, ત્યારે પ્રાપ્ત થતી મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ માટે ગતિનું સમીકરણ $v^2 = u^2 - 2gH$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ, અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા: $0 = u^2 - 2gH$.
$2gH = u^2$.
કારણ કે $u^2 = 80g$, તેથી $2gH = 80g$.
$H = \frac{80g}{2g} = 40 \,m$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના પથનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ પ્રારંભિક વેગ સદિશ $\vec{u} = \hat{i} + 2 \hat{j} \,ms^{-1}$ છે.
અહીં, સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = 1 \,ms^{-1}$ અને શિરોલંબ ઘટક $u_y = 2 \,ms^{-1}$ છે.
સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $x = u_x t = 1 \cdot t$ છે, તેથી $t = x$.
શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$ છે.
$y$ ના સમીકરણમાં $t = x$ મૂકતા:
$y = 2(x) - \frac{1}{2} (10) (x)^2$.
$y = 2x - 5x^2$.

(B) પ્રારંભિક વેગના ઘટકો $u_x = 3 \text{ m s}^{-1}$ અને $u_y = 4 \text{ m s}^{-1}$ છે.
ગતિના સમીકરણોનો ઉપયોગ કરતા: $x = u_x t = 3t \Rightarrow t = \frac{x}{3}$.
$y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2 = 4t - \frac{1}{2} (10) t^2 = 4t - 5t^2$.
$t = \frac{x}{3}$ ને $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = 4 \left( \frac{x}{3} \right) - 5 \left( \frac{x}{3} \right)^2 = \frac{4x}{3} - \frac{5x^2}{9}$.
આ સમીકરણને $\frac{1}{9} [\beta x + \gamma x^2]$ ના સ્વરૂપમાં લાવવા માટે,આપણે $9$ વડે ગુણી અને ભાગીશું:
$y = \frac{1}{9} [12x - 5x^2]$.
આપેલ સ્વરૂપ $\frac{1}{9} [\beta x + \gamma x^2]$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\beta = 12$ અને $\gamma = -5$ મળે છે.

(B) વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \cos \theta = 20 \cos 30^{\circ} = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \ m/s$ છે.
વેગનો શિરોલંબ ઘટક $u_y = u \sin \theta = 20 \sin 30^{\circ} = 20 \times \frac{1}{2} = 10 \ m/s$ છે.
$t = 0.1 \ s$ સમય પછી,સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $x = u_x t = 10\sqrt{3} \times 0.1 = \sqrt{3} \ m$ છે.
શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y = u_y t - \frac{1}{2}gt^2 = 10 \times 0.1 - \frac{1}{2} \times 10 \times (0.1)^2 = 1 - 0.05 = 0.95 \ m = \frac{19}{20} \ m$ છે.
સ્થાનાંતર સદિશ અને સમક્ષિતિજ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{y}{x}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \frac{19/20}{\sqrt{3}} = \frac{19}{20\sqrt{3}}$ મળે છે.

(C) મહત્તમ ઊંચાઈ $h = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અવધિ $R = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g} = \frac{2 u^2 \sin \alpha \cos \alpha}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h$ ને $R$ વડે ભાગતા:
$\frac{h}{R} = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g} \cdot \frac{g}{2 u^2 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\tan \alpha}{4}$.
તેથી,$\tan \alpha = \frac{4h}{R}$.
ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2u \sin \alpha}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$T^2 = \frac{4u^2 \sin^2 \alpha}{g^2}$.
આમ,$\frac{g T^2}{8} = \frac{g}{8} \cdot \frac{4u^2 \sin^2 \alpha}{g^2} = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g} = h$.
તેથી,$h = \frac{g T^2}{8}$.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક ઝડપ $u$ છે અને પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ ઝડપ $u \cos \theta$ હોય છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રારંભિક ઝડપ એ મહત્તમ ઊંચાઈએ રહેલી ઝડપ કરતાં બમણી છે:
$u = 2(u \cos \theta)$
$\Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow \theta = 60^{\circ}$.
અવધિ $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ અને મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{R}{H}$:
$\frac{R}{H} = \frac{u^2 \sin(2\theta) / g}{u^2 \sin^2 \theta / (2g)} = \frac{2 \sin(2\theta)}{\sin^2 \theta} = \frac{4 \sin \theta \cos \theta}{\sin^2 \theta} = 4 \cot \theta$.
$\theta = 60^{\circ}$ મૂકતા:
$\frac{R}{H} = 4 \cot(60^{\circ}) = 4 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$.

(A) પ્રક્ષિપ્ત ગતિ દરમિયાન વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક હંમેશા અચળ રહે છે. ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $v_0 = 140 \ m/s$ છે અને ખૂણો $\theta_0 = 60^{\circ}$ છે. ધારો કે $t$ સમય પછી વેગ $v$ છે અને ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ છે.
સમક્ષિતિજ ઘટક: $v_x = v_0 \cos 60^{\circ} = v \cos 30^{\circ}$.
$140 \times \frac{1}{2} = v \times \frac{\sqrt{3}}{2} \implies v = \frac{140}{\sqrt{3}} \ m/s$.
$t$ સમય પર શિરોલંબ ઘટક: $v_y = v_0 \sin 60^{\circ} - gt = v \sin 30^{\circ}$.
$140 \times \frac{\sqrt{3}}{2} - 10t = \frac{140}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{2}$.
$70\sqrt{3} - 10t = \frac{70}{\sqrt{3}}$.
$10t = 70\sqrt{3} - \frac{70}{\sqrt{3}} = 70 \left( \frac{3-1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{140}{\sqrt{3}}$.
$t = \frac{14}{\sqrt{3}} \ s$.

(B) ધારો કે પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta = 45^{\circ}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુ $P$ પર,ઊંચાઈ $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે અને પ્રક્ષેપણ બિંદુ $O$ થી સમક્ષિતિજ અંતર $R/2 = \frac{u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
ઉત્સેધકોણ $\alpha$ એ મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુ $P$ દ્વારા પ્રક્ષેપણ બિંદુ $O$ પર સમક્ષિતિજ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle POM$ માં,આપણી પાસે છે:
$\tan \alpha = \frac{H}{R/2} = \frac{\frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}}{\frac{u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}} = \frac{\sin \theta}{2 \cos \theta} = \frac{1}{2} \tan \theta$.
$\theta = 45^{\circ}$ મૂકતા:
$\tan \alpha = \frac{1}{2} \tan 45^{\circ} = \frac{1}{2} (1) = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$.

(B) ધારો કે લક્ષ્યનું અંતર $d$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta = 15^{\circ}$ માટે,અવધિ $R_1 = \frac{u^2 \sin(30^{\circ})}{g} = \frac{u^2}{2g}$ છે.
આપેલ છે કે તે $10 \ m$ ટૂંકું પડે છે,તેથી $R_1 = d - 10$,એટલે કે $\frac{u^2}{2g} = d - 10$ (સમીકરણ $i$).
$\theta = 45^{\circ}$ માટે,અવધિ $R_2 = \frac{u^2 \sin(90^{\circ})}{g} = \frac{u^2}{g}$ છે.
આપેલ છે કે તે $10 \ m$ આગળ પડે છે,તેથી $R_2 = d + 10$,એટલે કે $\frac{u^2}{g} = d + 10$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $i$ ને સમીકરણ $ii$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{2} = \frac{d - 10}{d + 10}$ મળે છે.
$d$ માટે ઉકેલતા,$d + 10 = 2d - 20$,જે $d = 30 \ m$ આપે છે.
$d = 30$ ને સમીકરણ $ii$ માં મૂકતા,$\frac{u^2}{g} = 30 + 10 = 40$ મળે છે.
$d = 30 \ m$ પર લક્ષ્યને અથડાવવા માટે,$R = 30 = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = 40 \sin 2\theta$ લઈએ.
આમ,$\sin 2\theta = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(B) આપેલ છે, પ્રારંભિક વેગ $u = 5 \text{ m/s}$.
સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ એ મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ કરતા બમણી છે, એટલે કે $R = 2H$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ અને $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
આ કિંમતોને આપેલી શરતમાં મૂકતા:
$\frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = 2 \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)$
$\frac{u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{g}$
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin^2 \theta$
$2 \cos \theta = \sin \theta \Rightarrow \tan \theta = 2$.
$\tan \theta = 2$ માટે, આપણી પાસે એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં લંબ $= 2$ અને પાયો $= 1$ છે. કર્ણ $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$ થશે.
તેથી, $\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ અને $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
હવે, અવધિ $R$ ની ગણતરી કરીએ:
$R = \frac{u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g} = \frac{5^2 \times 2 \times (\frac{2}{\sqrt{5}}) \times (\frac{1}{\sqrt{5}})}{10}$
$R = \frac{25 \times 2 \times 2}{10 \times 5} = \frac{100}{50} = 2 \text{ m}$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ટ્રકનો વેગ $v = 30 \,m/s$ છે. ટ્રક દ્વારા $100 \,m$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{v} = \frac{100}{30} = \frac{10}{3} \,s$ છે.
છોકરો આ સમય પછી પ્રોજેક્ટાઇલને પકડી લે છે, તેથી પ્રોજેક્ટાઇલનો કુલ ઉડાન સમય $T = \frac{10}{3} \,s$ છે.
ટ્રકની સાપેક્ષમાં ઊભી દિશામાં ફેંકવામાં આવેલા પ્રોજેક્ટાઇલ માટે, ઉડાન સમયનું સૂત્ર $T = \frac{2u_y}{g}$ છે, જ્યાં $u_y$ એ વેગનો ઊભો ઘટક છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{10}{3} = \frac{2u_y}{10}$.
$u_y$ માટે ઉકેલતા: $u_y = \frac{10 \times 10}{3 \times 2} = \frac{100}{6} = \frac{50}{3} \,m/s$.
પ્રોજેક્ટાઇલ ટ્રકની સાપેક્ષમાં ફેંકવામાં આવે છે, તેથી ટ્રકની સાપેક્ષમાં વેગનો આડો ઘટક $0$ છે. આમ, ટ્રકની સાપેક્ષમાં ઝડપ $u_y = \frac{50}{3} \,m/s$ છે.

(D) ધારો કે $t = \sqrt{2} \,s$ પછી વસ્તુ બિંદુ $B(x, y)$ પર છે।
સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $x = u_x \times t = (v_0 \cos 45^{\circ}) \times \sqrt{2} = v_0 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{2} = v_0$ છે।
શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2 = (v_0 \sin 45^{\circ}) \sqrt{2} - \frac{1}{2} (10) (\sqrt{2})^2 = v_0 - 10$ છે।
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{OB}$ નું મૂલ્ય $OB = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{v_0^2 + (v_0 - 10)^2}$ છે।
સરેરાશ વેગનું મૂલ્ય $v_{\text{avg}} = \frac{OB}{t} = |v_0|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
તેથી,$OB = |v_0| t = v_0 \sqrt{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $v_0^2 + (v_0 - 10)^2 = (v_0 \sqrt{2})^2$.
$v_0^2 + v_0^2 - 20v_0 + 100 = 2v_0^2$.
$2v_0^2 - 20v_0 + 100 = 2v_0^2$.
$20v_0 = 100$,જે આપણને $v_0 = 5 \,m/s$ આપે છે.

(B) જ્યારે પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 45^{\circ}$ હોય ત્યારે મહત્તમ અવધિ (રેન્જ) પ્રાપ્ત થાય છે。
અવધિ $R$ માટેનું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે。
મહત્તમ અવધિ માટે, $\sin(2\theta) = \sin(90^{\circ}) = 1$ થાય。
તેથી, $R_{max} = \frac{u^2}{g}$.
અહીં $u = 30 \,m/s$ અને $g = 10 \,m/s^2$ આપેલ છે, તેથી:
$R_{max} = \frac{(30)^2}{10} = \frac{900}{10} = 90 \,m$.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક ઝડપ $u = 20 \,m/s$, પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 34^{\circ}$, અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \,m/s^2$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ શોધવાનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$H = \frac{(20)^2 \times (\sin 34^{\circ})^2}{2 \times 9.8}$
$H = \frac{400 \times (0.56)^2}{19.6}$
$H = \frac{400 \times 0.3136}{19.6}$
$H = \frac{125.44}{19.6} = 6.4 \,m$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $6.3 \,m$ છે.

(B) પ્રારંભિક વેગ $u = 2\sqrt{2} \ m/s$ અને ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ છે.
ક્ષૈતિજ ઘટક $u_x = u \cos 45^{\circ} = 2\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \ m/s$.
શિરોલંબ ઘટક $u_y = u \sin 45^{\circ} = 2\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \ m/s$.
$t = 2 \ s$ માં ક્ષૈતિજ સ્થાનાંતર $x = u_x \times t = 2 \times 2 = 4 \ m$.
$t = 2 \ s$ માં શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y = u_y t - \frac{1}{2}gt^2 = 2(2) - \frac{1}{2}(10)(2^2) = 4 - 20 = -16 \ m$.
કુલ સ્થાનાંતર $S = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{4^2 + (-16)^2} = \sqrt{16 + 256} = \sqrt{272} \approx 16.49 \ m$.
સરેરાશ વેગ $v_{avg} = \frac{S}{t} = \frac{16.49}{2} = 8.245 \ m/s \approx 8.2 \ m/s$.