Radiation by Stefan's Boltzmann Law Questions in Hindi

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका से ऊर्जा उत्सर्जन की दर (शक्ति) $P$ उसके परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है।
गणितीय रूप से,$P \propto T^{4}$।
यहाँ तापमान $T = 500 \; K$ दिया गया है,इसलिए ऊर्जा उत्सर्जन की दर $(500)^{4}$ के समानुपाती होगी।

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) द्वारा विकिरित शक्ति $P = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है।
समय $t$ में उत्सर्जित ऊर्जा $Q = P \cdot t = \sigma A t T^4$ होती है,इसलिए दो गोलों द्वारा उत्सर्जित ऊर्जा का अनुपात:
$\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{A_1}{A_2} \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$ होगा।
यहाँ $r_1 = 4 \, m$,$r_2 = 1 \, m$,$T_1 = 2000 \, K$ और $T_2 = 4000 \, K$ दिया गया है।
चूँकि $A = 4 \pi r^2$,क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 = \left( \frac{4}{1} \right)^2 = 16$ है।
तापमान का अनुपात $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2000}{4000} = \frac{1}{2}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{Q_1}{Q_2} = 16 \times \left( \frac{1}{2} \right)^4 = 16 \times \frac{1}{16} = 1$।
अतः,अनुपात $1:1$ है।

(C) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) द्वारा विकिरित शक्ति $P = A \sigma T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ सतह का क्षेत्रफल है,$\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
चूंकि गोले समान पदार्थ के हैं और समान तापमान पर हैं,इसलिए $\sigma$ और $T$ स्थिर हैं।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2$ होता है,इसलिए $P \propto r^2$ होगा।
अतः,उत्सर्जक शक्ति का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$ होगा।
दिया गया है कि $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{P_1}{P_2} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$।

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,$r$ त्रिज्या और $T$ तापमान वाले गोले द्वारा विकिरित कुल शक्ति $P = A \sigma T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A = 4 \pi r^2$ सतह का क्षेत्रफल है और $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन स्थिरांक है।
चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए उत्सर्जकता समान है। यह दिया गया है कि दोनों गोलों के लिए कुल विकिरित शक्ति $P$ समान है,इसलिए $P_1 = P_2$ है।
सूत्र को प्रतिस्थापित करने पर: $4 \pi r_1^2 \sigma T_1^4 = 4 \pi r_2^2 \sigma T_2^4$।
समीकरण को सरल बनाने पर: $r_1^2 T_1^4 = r_2^2 T_2^4$।
त्रिज्याओं का अनुपात ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(\frac{r_1}{r_2})^2 = (\frac{T_2}{T_1})^4$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{r_1}{r_2} = (\frac{T_2}{T_1})^2$।

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा विकिरित ऊर्जा की दर $(E)$ उसके परम तापमान ($T$,केल्विन में) की चौथी घात के सीधे समानुपाती होती है।
सूत्र $E \propto T^4$ है।
यहाँ तापमान सेल्सियस में $727^\circ C$ दिया गया है,इसलिए इसे केल्विन में बदलने पर:
$T = 727 + 273 = 1000 \ K$.
इस मान को समानुपाती संबंध में रखने पर:
$E \propto (1000)^4$.
अतः,ऊर्जा उत्सर्जन की दर $(1000)^4$ के समानुपाती है।

(C) सूर्य द्वारा उत्सर्जित कुल शक्ति $P$,जो $r$ त्रिज्या और $T = (t + 273) \ K$ परम तापमान वाली एक कृष्णिका के रूप में कार्य करता है,स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम द्वारा दी जाती है: $P = \sigma A T^4 = \sigma (4\pi r^2) (t + 273)^4$.
सूर्य के केंद्र से $R$ दूरी पर,यह शक्ति $4\pi R^2$ के गोलाकार पृष्ठीय क्षेत्रफल पर वितरित होती है।
आपतित किरणों के लंबवत सतह द्वारा प्रति इकाई क्षेत्रफल प्राप्त शक्ति (तीव्रता $S$) इस प्रकार है: $S = \frac{P}{4\pi R^2}$.
$P$ का मान रखने पर: $S = \frac{\sigma (4\pi r^2) (t + 273)^4}{4\pi R^2} = \frac{r^2 \sigma (t + 273)^4}{R^2}$.

(B) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,ऊष्मा विकिरण की दर $E$ परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है,अर्थात $E \propto T^4$।
दिया गया है:
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 227^o C = (227 + 273) K = 500 K$।
प्रारंभिक विकिरण दर $E_1 = 7 \; cal/cm^2 s$।
अंतिम तापमान $T_2 = 727^o C = (727 + 273) K = 1000 K$।
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
मान रखने पर:
$\frac{E_2}{7} = \left( \frac{1000}{500} \right)^4$
$\frac{E_2}{7} = (2)^4$
$\frac{E_2}{7} = 16$
$E_2 = 7 \times 16 = 112 \; cal/cm^2 s$।
अतः,$727^o C$ पर विकिरित ऊष्मा की दर $112 \; cal/cm^2 s$ होगी।

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,$T$ तापमान पर एक कृष्णिका के रूप में विकिरण उत्सर्जित करने वाले $r$ त्रिज्या के तारे द्वारा उत्सर्जित कुल शक्ति $P$ है:
$P = \sigma A T^4 = \sigma (4\pi r^2) T^4$
तारे के केंद्र से $R$ दूरी पर,यह ऊर्जा $4\pi R^2$ के गोलाकार पृष्ठीय क्षेत्रफल पर फैल जाती है।
$R$ दूरी पर प्राप्त प्रति इकाई क्षेत्रफल विकिरण ऊर्जा (तीव्रता $S$):
$S = \frac{P}{4\pi R^2}$
$P$ का मान रखने पर:
$S = \frac{\sigma (4\pi r^2) T^4}{4\pi R^2} = \sigma \frac{r^2}{R^2} T^4$

(C) स्टीफन के नियम के अनुसार,एक कृष्णिका से ऊर्जा उत्सर्जन की दर (शक्ति) $Q$ को $Q = \sigma A T^4$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$A$ तारे का पृष्ठीय क्षेत्रफल है,जो $4\pi R^2$ है।
समीकरण में $A$ का मान रखने पर,हमें $Q = \sigma (4\pi R^2) T^4$ प्राप्त होता है।
तापमान $T$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $T^4 = \frac{Q}{4\pi \sigma R^2}$ मिलता है।
दोनों पक्षों का चतुर्थ मूल लेने पर,हमें $T = \left( \frac{Q}{4\pi \sigma R^2} \right)^{1/4}$ प्राप्त होता है।

(C) $Stefan-Boltzmann$ नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा विकीर्ण ऊर्जा की दर इस प्रकार दी जाती है:
$E = \sigma A T^4 = \sigma (4 \pi R^2) T^4$
दिया गया है:
$E_1 = 450 \ W$,$T_1 = 500 \ K$,$R_1 = 12 \ cm$
$R_2 = \frac{R_1}{2}$,$T_2 = 2T_1$
चूंकि $E \propto R^2 T^4$,इसलिए:
$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^2 \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \times (2)^4$
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{1}{4} \times 16 = 4$
$E_2 = 4 \times E_1 = 4 \times 450 \ W = 1800 \ W$

(D) $Wien$ के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_{\max} T = \text{नियतांक}$.
मान लीजिए प्रारंभिक तापमान $T$ है और अंतिम तापमान $T'$ है।
दिया गया है कि $\lambda_{\max, 1} = \lambda_0$ और $\lambda_{\max, 2} = \frac{3}{4}\lambda_0$.
नियम का उपयोग करने पर: $\lambda_0 T = \left(\frac{3}{4}\lambda_0\right) T' \Rightarrow T' = \frac{4}{3}T$.
$Stefan-Boltzmann$ नियम के अनुसार,कृष्णिका द्वारा विकिरित शक्ति $P = A \sigma T^4$ होती है,जिसका अर्थ है कि $P \propto T^4$.
अतः,$\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{T'}{T}\right)^4$.
मान रखने पर: $n = \left(\frac{4/3 T}{T}\right)^4 = \left(\frac{4}{3}\right)^4 = \frac{256}{81}$.

(A) विकिरण के कारण प्रति इकाई क्षेत्रफल ऊष्मा हानि की दर,जिसे उत्सर्जक शक्ति $e$ कहा जाता है,स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम द्वारा दी जाती है:
$e = \varepsilon \sigma (T^4 - T_0^4)$
दिया गया है:
उत्सर्जन क्षमता $\varepsilon = 0.6$
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियतांक $\sigma = \frac{17}{3} \times 10^{-8} \, W/m^2 K^4$
सतह का तापमान $T = 127^\circ C = 127 + 273 = 400 \, K$
परिवेश का तापमान $T_0 = 27^\circ C = 27 + 273 = 300 \, K$
मान रखने पर:
$e = 0.6 \times \left( \frac{17}{3} \times 10^{-8} \right) \times [ (400)^4 - (300)^4 ]$
$e = 0.2 \times 17 \times 10^{-8} \times [ 256 \times 10^8 - 81 \times 10^8 ]$
$e = 3.4 \times 10^{-8} \times (175 \times 10^8)$
$e = 3.4 \times 175 = 595 \, J/m^2 \cdot s$

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा प्रति इकाई समय में उत्सर्जित ऊर्जा उसके परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है: $E \propto T^4$.
सेल्सियस में दिए गए तापमान: $T_1 = 27^oC$ और $T_2 = 127^oC$.
इन्हें केल्विन में बदलने पर: $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$ और $T_2 = 127 + 273 = 400 \ K$.
उत्सर्जित ऊर्जाओं का अनुपात: $\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$.
मान रखने पर: $\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{300}{400} \right)^4 = \left( \frac{3}{4} \right)^4 = \frac{81}{256}$.
अतः,अनुपात $81:256$ है।

(B) $T$ तापमान पर एक गोलाकार स्रोत से $d$ दूरी पर स्थित एक छोटे क्षेत्र द्वारा प्राप्त शक्ति $P$,स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम और विकिरण के व्युत्क्रम वर्ग नियम पर आधारित है।
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,गोले द्वारा उत्सर्जित कुल शक्ति $P_{source} \propto T^4$ है।
$d$ दूरी पर विकिरण की तीव्रता व्युत्क्रम वर्ग नियम का पालन करती है,$I \propto \frac{1}{d^2}$।
अतः,पन्नी द्वारा प्राप्त शक्ति $P \propto \frac{T^4}{d^2}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक स्थिति $P_1 = k \frac{T^4}{d^2} = P$ है।
अंतिम स्थिति में,तापमान $T' = 2T$ और दूरी $d' = 2d$ हो जाती है।
नई शक्ति $P'$ इस प्रकार प्राप्त होती है:
$P' = k \frac{(2T)^4}{(2d)^2} = k \frac{16 T^4}{4 d^2} = 4 \left( k \frac{T^4}{d^2} \right) = 4P$।

(C) माना गोले $P$ की त्रिज्या $r$ है और गोले $Q$ की त्रिज्या $3r$ है।
विकिरण द्वारा ऊष्मा हानि की दर स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम द्वारा दी जाती है: $\frac{dQ}{dt} = \sigma e A T^4$.
साथ ही,ऊष्मा हानि की दर तापमान गिरने की दर से इस समीकरण द्वारा संबंधित है: $\frac{dQ}{dt} = -ms \frac{dT}{dt}$,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$s$ विशिष्ट ऊष्मा क्षमता है,और $\frac{dT}{dt}$ तापमान गिरने की दर है।
दोनों को बराबर करने पर: $ms \frac{dT}{dt} = \sigma e A T^4$.
चूंकि $m = \rho V = \rho (\frac{4}{3} \pi r^3)$,हमें प्राप्त होता है $\rho (\frac{4}{3} \pi r^3) s \frac{dT}{dt} = \sigma e (4 \pi r^2) T^4$.
इस प्रकार,तापमान गिरने की दर $\frac{dT}{dt} = \frac{\sigma e (4 \pi r^2) T^4}{\rho (\frac{4}{3} \pi r^3) s} = \frac{3 \sigma e T^4}{\rho r s}$ है।
यह दर्शाता है कि $\frac{dT}{dt} \propto \frac{1}{r}$ है।
इसलिए,$\frac{(\frac{dT}{dt})_P}{(\frac{dT}{dt})_Q} = \frac{r_Q}{r_P} = \frac{3r}{r} = 3$.
दिया गया है कि $(\frac{dT}{dt})_P = x (\frac{dT}{dt})_Q$,इसलिए $x = 3$ प्राप्त होता है।

(B) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक पिंड द्वारा उत्सर्जित विकिरण शक्ति $E = \varepsilon \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\varepsilon$ उत्सर्जकता है,$\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है,$A$ पृष्ठीय क्षेत्रफल है,और $T$ परम तापमान है।
यह दिया गया है कि दोनों पिंडों $P$ और $Q$ के लिए विकिरण शक्ति $E$ और पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ समान हैं,इसलिए:
$E_P = E_Q$
$\varepsilon_P \sigma A_P \theta_P^4 = \varepsilon_Q \sigma A_Q \theta_Q^4$
चूंकि $A_P = A_Q$ और $\sigma$ स्थिर है,समीकरण इस प्रकार सरल हो जाता है:
$\varepsilon_P \theta_P^4 = \varepsilon_Q \theta_Q^4$
$\theta_Q$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\theta_Q^4 = \frac{\varepsilon_P}{\varepsilon_Q} \theta_P^4$
$\theta_Q = \left( \frac{\varepsilon_P}{\varepsilon_Q} \right)^{1/4} \theta_P$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका से विकिरण उत्सर्जन की दर $E$ उसके परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है,जिसे $E = \sigma A T^4$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चरण $1$: तापमान को सेल्सियस से केल्विन में बदलें।
$T_1 = 273^{\circ} C = (273 + 273) K = 546 K$.
$T_2 = 0^{\circ} C = (0 + 273) K = 273 K$.
चरण $2$: उत्सर्जन दरों का अनुपात ज्ञात करें।
$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$.
चरण $3$: मान प्रतिस्थापित करें।
$\frac{E_2}{E} = \left( \frac{273}{546} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}$.
अतः,$E_2 = \frac{E}{16}$.

(C) सूर्य द्वारा विकिरित कुल शक्ति स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम द्वारा दी जाती है: $P_{sun} = \sigma T^4 \times (4\pi R^2)$.
सूर्य से $r$ दूरी पर विकिरण की तीव्रता $I$,प्रति इकाई क्षेत्रफल शक्ति है: $I = \frac{P_{sun}}{4\pi r^2} = \frac{\sigma T^4 \times 4\pi R^2}{4\pi r^2} = \frac{\sigma T^4 R^2}{r^2}$.
पृथ्वी इस विकिरण को अपने अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल पर प्राप्त करती है,जो $\pi r_0^2$ है।
अतः,पृथ्वी पर आपतित कुल विकिरण शक्ति $P_{earth} = I \times \pi r_0^2 = \frac{\sigma T^4 R^2}{r^2} \times \pi r_0^2 = \frac{\pi r_0^2 R^2 \sigma T^4}{r^2}$ है।

(C) बीच वाली प्लेट के स्थिर अवस्था में रहने के लिए,प्लेट द्वारा प्राप्त कुल शक्ति,प्लेट द्वारा उत्सर्जित कुल शक्ति के बराबर होनी चाहिए।
मान लीजिए कि बीच वाली प्लेट का तापमान $\theta$ है।
पहली प्लेट ($2T$ पर) और तीसरी प्लेट ($3T$ पर) से बीच वाली प्लेट को प्राप्त शक्ति स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार है: $P_{\text{received}} = \sigma A (2T)^4 + \sigma A (3T)^4$.
बीच वाली प्लेट अपनी दोनों सतहों से विकिरण उत्सर्जित करती है,इसलिए कुल उत्सर्जित शक्ति: $P_{\text{emitted}} = 2 \times \sigma A \theta^4$.
प्राप्त और उत्सर्जित शक्ति को बराबर करने पर:
$\sigma A (2T)^4 + \sigma A (3T)^4 = 2 \sigma A \theta^4$
$16 T^4 + 81 T^4 = 2 \theta^4$
$97 T^4 = 2 \theta^4$
$\theta^4 = \frac{97}{2} T^4$
$\theta = \left( \frac{97}{2} \right)^{1/4} T$

(B) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार सूर्य द्वारा उत्सर्जित कुल शक्ति: $P = \sigma A_{sun} T^4 = \sigma (4\pi R^2) T^4$ है।
सूर्य से $r$ दूरी पर,यह शक्ति $4\pi r^2$ के गोलाकार पृष्ठीय क्षेत्रफल पर फैल जाती है।
$r$ दूरी पर विकिरण की तीव्रता $I = P / (4\pi r^2) = (\sigma 4\pi R^2 T^4) / (4\pi r^2) = \sigma R^2 T^4 / r^2$ होती है।
पृथ्वी इस विकिरण को अपने अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $\pi r_0^2$ द्वारा ग्रहण करती है।
अतः,पृथ्वी पर आपतित कुल विकिरण शक्ति $P_{Earth} = I \times \pi r_0^2 = (\sigma R^2 T^4 / r^2) \times \pi r_0^2 = \pi r_0^2 R^2 \sigma T^4 / r^2$ है।

(A) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,किसी पिंड द्वारा विकिरित शक्ति $P = e A \sigma T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $e$ उत्सर्जकता है,$A$ सतह का क्षेत्रफल है,$\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियतांक है,और $T$ परम तापमान है।
चूंकि दोनों लैंप समान शक्ति $(P_A = P_B)$ का विकिरण करते हैं और उनके आयाम (समान सतह क्षेत्रफल $A$) समान हैं,इसलिए:
$e_A A \sigma T_A^4 = e_B A \sigma T_B^4$
सामान्य पदों $A$ और $\sigma$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$e_A T_A^4 = e_B T_B^4$
अनुपात $\frac{T_A}{T_B}$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{T_A^4}{T_B^4} = \frac{e_B}{e_A}$
दोनों पक्षों का चतुर्थ मूल लेने पर:
$\frac{T_A}{T_B} = (\frac{e_B}{e_A})^{1/4}$

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार एक गोले द्वारा प्रति सेकंड विकिरित ऊर्जा $P = \sigma A T^4$ है,जहाँ $A = 4\pi r^2$ गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
दी गई त्रिज्याएँ $r_1 = 1\ m$,$r_2 = 4\ m$ और तापमान $T_1 = 4000\ K$,$T_2 = 2000\ K$ हैं।
विकिरित ऊर्जा का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \frac{\sigma (4\pi r_1^2) T_1^4}{\sigma (4\pi r_2^2) T_2^4} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^4$ है।
मान रखने पर: $\frac{P_1}{P_2} = \left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(\frac{4000}{2000}\right)^4 = \left(\frac{1}{16}\right) \times (2)^4 = \frac{1}{16} \times 16 = 1$.
अतः,अनुपात $1 : 1$ है।

(B) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,$T$ तापमान पर $A$ क्षेत्रफल वाली एक कृष्णिका द्वारा विकिरित कुल शक्ति $P = A \sigma T^4$ है।
$d$ दूरी पर एक छोटे डिटेक्टर द्वारा प्राप्त शक्ति तीव्रता $I$ के समानुपाती होती है,जो व्युत्क्रम वर्ग नियम का पालन करती है: $I = \frac{P}{4 \pi d^2} = \frac{A \sigma T^4}{4 \pi d^2}$।
यह दिया गया है कि जब तापमान $T_1$ से $T_2$ और दूरी $d_1$ से $d_2$ हो जाती है,तो डिटेक्टर द्वारा प्राप्त शक्ति अपरिवर्तित रहती है,इसलिए:
$\frac{A \sigma T_1^4}{4 \pi d_1^2} = \frac{A \sigma T_2^4}{4 \pi d_2^2}$
सामान्य स्थिरांकों $A, \sigma,$ और $4 \pi$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{T_1^4}{d_1^2} = \frac{T_2^4}{d_2^2}$
$d_2/d_1$ का अनुपात ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(\frac{d_2}{d_1})^2 = (\frac{T_2}{T_1})^4$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{d_2}{d_1} = (\frac{T_2}{T_1})^2$

(C) स्टीफन-बोल्ट्जमैन के नियम के अनुसार,प्रति इकाई क्षेत्रफल उत्सर्जित शक्ति $(E)$ इस प्रकार है:
$E = \sigma T^4$
जहाँ $E$ का मात्रक $watt/m^2$ है और $T$ का मात्रक $Kelvin$ $(K)$ है।
$\sigma$ के लिए सूत्र बनाने पर:
$\sigma = \frac{E}{T^4}$
मात्रक रखने पर:
$\sigma$ का मात्रक $= \frac{watt/m^2}{K^4} = \frac{watt}{m^2 \times K^4}$.

(C) विकिरण द्वारा ऊष्मा उत्सर्जन की दर स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम द्वारा दी जाती है: $\Delta E = e A \sigma (T^4 - T_0^4)$.
चूंकि पदार्थ,तापमान और परिवेश समान हैं,इसलिए उत्सर्जित विकिरण का अनुपात केवल सतह के क्षेत्रफल $A$ पर निर्भर करता है: $\frac{(\Delta E)_{\text{sphere}}}{(\Delta E)_{\text{cube}}} = \frac{A_{\text{sphere}}}{A_{\text{cube}}} = \frac{4 \pi R^2}{6 a^2}$.
दिया गया है कि आयतन समान हैं: $\frac{4}{3} \pi R^3 = a^3$,जिसका अर्थ है $a = R \left( \frac{4\pi}{3} \right)^{1/3}$.
क्षेत्रफल के अनुपात में $a$ का मान रखने पर: $\frac{4 \pi R^2}{6 [R (4\pi/3)^{1/3}]^2} = \frac{4 \pi}{6 (4\pi/3)^{2/3}} = \left( \frac{\pi}{6} \right)^{1/3}$.
अतः,अनुपात $\left( \frac{\pi}{6} \right)^{1/3} : 1$ है।

(C) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,विकिरित ऊर्जा $E = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ सतह का क्षेत्रफल है और $T$ परम तापमान है।
$d$ व्यास वाले गोलाकार पिंड के लिए,सतह का क्षेत्रफल $A = 4\pi r^2 = 4\pi (d/2)^2 = \pi d^2$ होता है।
प्रारंभिक ऊर्जा $E_1 = \sigma (\pi d^2) T^4 = E$ है।
नया तापमान $T_2 = 2T$ और नया व्यास $d_2 = d/4$ है।
नया सतह क्षेत्रफल $A_2 = \pi (d_2)^2 = \pi (d/4)^2 = \pi d^2 / 16 = A_1 / 16$ होगा।
नई विकिरित ऊर्जा $E_2 = \sigma A_2 T_2^4 = \sigma (A_1 / 16) (2T)^4$ होगी।
$E_2 = \sigma (A_1 / 16) (16 T^4) = \sigma A_1 T^4 = E$।

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,ऊष्मा विकिरण की दर $E$ परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है,अर्थात $E \propto T^{4}$।
दिया गया है:
प्रारंभिक तापमान $T_{1} = 227 + 273 = 500\,K$।
अंतिम तापमान $T_{2} = 727 + 273 = 1000\,K$।
प्रारंभिक विकिरण दर $E_{1} = 7\,cal\,cm^{-2}\,s^{-1}$।
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर:
$E_{2} = E_{1} \left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)^{4}$
$E_{2} = 7 \times \left(\frac{1000}{500}\right)^{4}$
$E_{2} = 7 \times (2)^{4}$
$E_{2} = 7 \times 16 = 112\,cal\,cm^{-2}\,s^{-1}$।
अतः,$727\,^{\circ}C$ पर विकिरित ऊष्मा की दर $112\,cal\,cm^{-2}\,s^{-1}$ होगी।

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,ठंडा होने की दर $R$,$(T^4 - T_0^4)$ के समानुपाती होती है,जहाँ $T$ वस्तु का तापमान है और $T_0$ परिवेश का तापमान है।
प्रथम स्थिति के लिए: $R_1 = R \propto (600^4 - 200^4) = (6^4 - 2^4) \times 10^8 = (1296 - 16) \times 10^8 = 1280 \times 10^8$.
द्वितीय स्थिति के लिए: $R_2 \propto (400^4 - 200^4) = (4^4 - 2^4) \times 10^8 = (256 - 16) \times 10^8 = 240 \times 10^8$.
अनुपात लेने पर: $\frac{R_2}{R_1} = \frac{240 \times 10^8}{1280 \times 10^8} = \frac{24}{128} = \frac{3}{16}$.
अतः,$R_2 = \frac{3}{16} R$.

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा प्रति इकाई क्षेत्रफल और प्रति इकाई समय में उत्सर्जित कुल ऊर्जा उसके परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है $(E \propto T^4)$।
तीव्रता-तरंगदैर्ध्य वक्र के नीचे का क्षेत्रफल उस तापमान पर कृष्णिका की कुल उत्सर्जक शक्ति को दर्शाता है।
इसलिए,तापमान $T_1$ और $T_2$ के अनुरूप क्षेत्रफल $A_1$ और $A_2$ का अनुपात $\frac{A_2}{A_1} = \frac{T_2^4}{T_1^4}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए तापमान $T_1 = 27\,^oC = (27 + 273)\,K = 300\,K$ और $T_2 = 327\,^oC = (327 + 273)\,K = 600\,K$ हैं।
इन मानों को अनुपात में रखने पर:
$\frac{A_2}{A_1} = \left( \frac{600}{300} \right)^4 = (2)^4 = 16$.
अतः,$\frac{A_2}{A_1}$ का अनुपात $16 : 1$ है।

(C) ऊर्जा विकिरण की दर स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम द्वारा दी जाती है: $P = e \sigma A T^4$।
कृष्णिका के लिए,उत्सर्जकता $e = 1$ होती है।
मान लीजिए टंगस्टन पिंड की त्रिज्या $R_1$ है और कृष्णिका की त्रिज्या $R$ है।
टंगस्टन पिंड द्वारा विकिरित शक्ति $P_T = e_T \sigma (4 \pi R_1^2) T^4$ है,जहाँ $e_T = 0.3$ है।
समान त्रिज्या $R_1$ वाली कृष्णिका द्वारा विकिरित शक्ति $P_B = 1 \cdot \sigma (4 \pi R_1^2) T^4$ है।
यह दिया गया है कि टंगस्टन पिंड समान त्रिज्या वाली कृष्णिका की $30 \%$ ऊर्जा विकिरित करता है,इसलिए $P_T = 0.3 P_B$ है।
हम उस कृष्णिका की त्रिज्या $R_{new}$ ज्ञात करना चाहते हैं जो उसी तापमान पर टंगस्टन पिंड के समान दर से ऊर्जा विकिरित करती है: $P_{new} = 1 \cdot \sigma (4 \pi R_{new}^2) T^4 = P_T$।
चूंकि $P_T = 0.3 \cdot \sigma (4 \pi R_1^2) T^4$,हम दोनों को बराबर करते हैं:
$\sigma (4 \pi R_{new}^2) T^4 = 0.3 \sigma (4 \pi R_1^2) T^4$।
$R_{new}^2 = 0.3 R_1^2$।
$R_{new} = \sqrt{0.3} \cdot R_1$।
व्यास $d = 2.3 \ cm$ दिया गया है,इसलिए $R_1 = 1.15 \ cm$ है।
$R_{new} = \sqrt{0.3} \cdot 1.15 \approx 0.5477 \cdot 1.15 \approx 0.6299 \ cm \approx 0.63 \ cm$।

(D) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा उत्सर्जित शक्ति $E = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि सतह का क्षेत्रफल $A$ और स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियतांक $\sigma$ स्थिर हैं,इसलिए उत्सर्जित शक्ति परम तापमान की चौथी घात के सीधे आनुपातिक होती है: $E \propto T^4$।
माना प्रारंभिक तापमान $T_1 = T$ है और अंतिम तापमान $T_2 = T/2$ है।
अंतिम शक्ति $E_2$ और प्रारंभिक शक्ति $E_1$ का अनुपात:
$E_2 / E_1 = (T_2 / T_1)^4 = ( (T/2) / T )^4 = (1/2)^4 = 1/16$।
अतः,उत्सर्जित विकिरणों की मात्रा अपने प्रारंभिक मान के $1/16$ भाग तक कम हो जाएगी।

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका से ऊष्मा विकिरण की दर $E$ उसके परम तापमान $T$ की चौथी घात के सीधे आनुपातिक होती है,अर्थात $E \propto T^{4}$।
दिया गया है:
प्रारंभिक तापमान $T_{1} = 227 + 273 = 500\, K$।
प्रारंभिक विकिरण दर $E_{1} = 7\, cal\, cm^{-2} \,s^{-1}$।
अंतिम तापमान $T_{2} = 727 + 273 = 1000\, K$।
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर:
$E_{2} = E_{1} \left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)^{4}$
मान रखने पर:
$E_{2} = 7 \times \left(\frac{1000}{500}\right)^{4}$
$E_{2} = 7 \times (2)^{4}$
$E_{2} = 7 \times 16 = 112\, cal\, cm^{-2} \,s^{-1}$।
अतः,विकिरित ऊष्मा की दर $112$ इकाई होगी।

(B) कृष्णिका के लिए ऊष्मा क्षय की दर स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम द्वारा दी जाती है: $Q = \sigma A T^4$।
$0.25$ उत्सर्जन क्षमता $(e)$ और $2T$ तापमान वाले दूसरे पिंड के लिए ऊष्मा क्षय की दर $Q'$ इस प्रकार है: $Q' = e \sigma A (T')^4$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $Q' = 0.25 \times \sigma A (2T)^4$।
$Q' = 0.25 \times \sigma A \times 16 T^4$।
$Q' = 0.25 \times 16 \times (\sigma A T^4)$।
चूंकि $Q = \sigma A T^4$,इसलिए $Q' = 4 \times Q = 4Q$ प्राप्त होता है।

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा उत्सर्जित शक्ति उसके परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है: $E \propto T^4$।
सेल्सियस में दिए गए तापमान: $T_1 = 7\,^oC$ और $T_2 = 287\,^oC$।
इन्हें केल्विन में बदलने पर: $T_1 = 7 + 273 = 280\,K$ और $T_2 = 287 + 273 = 560\,K$।
उत्सर्जित विकिरण का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^4$ है।
मान रखने पर: $\frac{E_1}{E_2} = \left(\frac{280}{560}\right)^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$।
अतः,अनुपात $1:16$ है।

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय में उत्सर्जित कुल ऊर्जा (उत्सर्जक शक्ति $E$) उसके परम तापमान $(T)$ की चौथी घात के सीधे समानुपाती होती है।
$E \propto T^4$
चूंकि तीव्रता-तरंगदैर्ध्य वक्र के नीचे का क्षेत्रफल कुल उत्सर्जक शक्ति को दर्शाता है,इसलिए $A \propto T^4$ होगा।
दिए गए तापमान $T_1 = 27\,^oC = (27 + 273)\,K = 300\,K$ और $T_2 = 327\,^oC = (327 + 273)\,K = 600\,K$ हैं।
अतः,क्षेत्रफलों का अनुपात:
$\frac{A_2}{A_1} = \frac{T_2^4}{T_1^4} = \left(\frac{600}{300}\right)^4 = (2)^4 = 16$.
इस प्रकार,$\frac{A_2}{A_1}$ का मान $16 : 1$ है।

(C) इकाई समय में इकाई क्षेत्रफल द्वारा विकिरित ऊर्जा स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम द्वारा दी जाती है: $I = \frac{P}{A} = \sigma T^4$.
दिया गया है,$I = 5.67 \times 10^4 \, W/m^2$ और स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियतांक $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \, W/m^2 \cdot K^4$.
मान रखने पर: $5.67 \times 10^4 = 5.67 \times 10^{-8} \times T^4$.
$T^4 = \frac{5.67 \times 10^4}{5.67 \times 10^{-8}} = 10^{12}$.
चतुर्थ मूल लेने पर: $T = (10^{12})^{1/4} = 10^3 \, K = 1000 \, K$.
सेल्सियस में बदलने के लिए: $T(^{\circ}C) = T(K) - 273 = 1000 - 273 = 727 \, ^{\circ}C$.

(C) गोले द्वारा ऊष्मा हानि की दर स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम द्वारा दी जाती है: $dQ/dt = \sigma A (T^4 - T_0^4)$,जहाँ $A = 4\pi R^2$ है।
साथ ही,गोले द्वारा खोई गई ऊष्मा $dQ = -Mc dT$ है,जहाँ $c = \alpha T^3$ है।
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $-M(\alpha T^3) dT = \sigma (4\pi R^2) (T^4 - T_0^4) dt$ प्राप्त होता है।
$dt$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $dt = -\frac{M\alpha T^3 dT}{\sigma (4\pi R^2) (T^4 - T_0^4)}$।
$T = 3T_0$ से $T = 2T_0$ तक समाकलन करने पर: $t = \int_{2T_0}^{3T_0} \frac{M\alpha T^3}{4\pi R^2 \sigma (T^4 - T_0^4)} dT$।
मान लीजिए $u = T^4 - T_0^4$,तो $du = 4T^3 dT$,इसलिए $T^3 dT = du/4$ होगा।
$t = \frac{M\alpha}{4\pi R^2 \sigma} \int_{T=2T_0}^{T=3T_0} \frac{du/4}{u} = \frac{M\alpha}{16\pi R^2 \sigma} [\ln(u)]_{T=2T_0}^{T=3T_0}$।
$t = \frac{M\alpha}{16\pi R^2 \sigma} [\ln(T^4 - T_0^4)]_{2T_0}^{3T_0} = \frac{M\alpha}{16\pi R^2 \sigma} \ln \left( \frac{(3T_0)^4 - T_0^4}{(2T_0)^4 - T_0^4} \right)$।
$t = \frac{M\alpha}{16\pi R^2 \sigma} \ln \left( \frac{81T_0^4 - T_0^4}{16T_0^4 - T_0^4} \right) = \frac{M\alpha}{16\pi R^2 \sigma} \ln \left( \frac{80}{15} \right) = \frac{M\alpha}{16\pi R^2 \sigma} \ln \left( \frac{16}{3} \right)$।

(A) $Stefan's\,law$ के अनुसार, प्रति इकाई क्षेत्रफल में विकिरित शक्ति $E = \sigma T^4$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है:
तापमान $T = 3000\,K$
$Stefan$ का नियतांक $\sigma = 5.7 \times 10^{-8}\,W\,m^{-2}\,K^{-4}$
समय $t = 1\,\text{घंटा }= 3600\,\text{सेकंड}$
समय $t$ में प्रति इकाई क्षेत्रफल में विकिरित ऊष्मा $(Q/A)$:
$Q/A = E \times t = \sigma T^4 \times t$
मान रखने पर:
$Q/A = (5.7 \times 10^{-8}) \times (3000)^4 \times 3600$
$Q/A = 5.7 \times 10^{-8} \times 81 \times 10^{12} \times 3600$
$Q/A = 5.7 \times 81 \times 3600 \times 10^4$
$Q/A = 1662120 \times 10^4 = 1.66212 \times 10^{10}\,J \approx 1.7 \times 10^{10}\,J$.

(B) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,ऊष्मा विकिरण की दर $E$ परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है,अर्थात $E = \sigma T^4$।
दिया गया है:
$E_1 = 2 \times 10^5 \, J/s \cdot m^2$
$T_1 = 127 + 273 = 400 \, K$
$E_2 = 32 \times 10^5 \, J/s \cdot m^2$
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$
$\frac{32 \times 10^5}{2 \times 10^5} = \left(\frac{T_2}{400}\right)^4$
$16 = \left(\frac{T_2}{400}\right)^4$
दोनों पक्षों का चतुर्थ मूल लेने पर:
$2 = \frac{T_2}{400}$
$T_2 = 800 \, K$
सेल्सियस में परिवर्तित करने पर:
$T_2 = 800 - 273 = 527 \, ^\circ C$।

(C) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,विकीर्ण शक्ति $P = \sigma \varepsilon A T^4$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$P = \frac{1.58 \times 10^5 \ cal}{1 \ hour} = \frac{1.58 \times 10^5 \times 4.2 \ J}{3600 \ s} \approx 184.33 \ W$.
दिया गया है: $A = 10^{-4} \ m^2$,$\varepsilon = 0.80$,$\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \ W/m^2K^4$.
मान रखने पर: $184.33 = 5.67 \times 10^{-8} \times 0.80 \times 10^{-4} \times T^4$.
$T^4 = \frac{184.33}{5.67 \times 0.80 \times 10^{-12}} \approx 4.06 \times 10^{13} \approx 3906250000000$.
चतुर्थ मूल लेने पर,$T \approx 2500 \ K$ प्राप्त होता है।

(C) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,प्रति इकाई क्षेत्रफल ऊर्जा उत्सर्जन की दर $E$,परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है,अर्थात $E \propto T^4$।
दिया गया है:
$T_1 = 127^{\circ}C = 127 + 273 = 400\,K$
$E_1 = 1.0 \times 10^6\,J/s\cdot m^2$
$E_2 = 16.0 \times 10^6\,J/s\cdot m^2$
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$
मान रखने पर:
$\frac{16.0 \times 10^6}{1.0 \times 10^6} = \left(\frac{T_2}{400}\right)^4$
$16 = \left(\frac{T_2}{400}\right)^4$
$2^4 = \left(\frac{T_2}{400}\right)^4$
दोनों पक्षों का चतुर्थ मूल लेने पर:
$2 = \frac{T_2}{400}$
$T_2 = 800\,K$
सेल्सियस में बदलने पर:
$T_2 = 800 - 273 = 527^{\circ}C$.

(D) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय में उत्सर्जित कुल ऊर्जा उसके परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है $(E \propto T^4)$।
वर्णक्रमीय ऊर्जा घनत्व वक्र $E_\lambda$ बनाम $\lambda$ के नीचे का क्षेत्रफल कृष्णिका की कुल उत्सर्जन शक्ति को दर्शाता है।
दिया गया है कि वक्रों के नीचे के क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = 16 : 1$ है,जहाँ $A_1$ तापमान $T$ के संगत है और $A_2$ तापमान $2000 \ K$ के संगत है।
$\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{T}{2000}\right)^4$ संबंध का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$16 = \left(\frac{T}{2000}\right)^4$
दोनों पक्षों का चतुर्थ मूल लेने पर:
$2 = \frac{T}{2000}$
$T = 2 \times 2000 = 4000 \ K$.

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) द्वारा उत्सर्जित शक्ति उसके परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है: $E \propto T^4$.
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27 + 273 = 300\,K$.
अंतिम तापमान $T_2 = 127 + 273 = 400\,K$.
उत्सर्जित विकिरण का अनुपात $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{400}{300} \right)^4 = \left( \frac{4}{3} \right)^4$.
गणना करने पर: $\frac{4^4}{3^4} = \frac{256}{81}$.
अतः,विकिरण में $\frac{256}{81}$ गुना की वृद्धि होती है।

(A) दिया गया है:
क्षेत्रफल $A = 1\, cm^2 = 10^{-4}\, m^2$
तापमान $T = 1000\, K = 10^3\, K$
समय $t = 1\, s$
स्टीफन नियतांक $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\, W\, m^{-2}K^{-4}$
स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,वस्तु द्वारा विकिरित ऊर्जा $E$ है:
$E = \sigma A T^4 t$
मान रखने पर:
$E = (5.67 \times 10^{-8}) \times (10^{-4}) \times (10^3)^4 \times 1$
$E = 5.67 \times 10^{-12} \times 10^{12} \times 1$
$E = 5.67\, J$
अतः,विकिरित ऊर्जा की मात्रा $5.67\, J$ है।

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा प्रति इकाई क्षेत्रफल और प्रति इकाई समय में विकिरित ऊर्जा उसके परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है: $E \propto T^4$।
मान लीजिए तापमान $T_1 = T$ पर $E_1 = E$ है।
मान लीजिए तापमान $T_2 = T/2$ पर विकिरित ऊर्जा $E_2$ है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$।
मान रखने पर: $\frac{E_2}{E} = \left( \frac{T/2}{T} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}$।
अतः,$E_2 = E/16$।

(B) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका से ऊर्जा विकिरण की दर $E$ उसके परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है,जिसे $E = A\sigma T^4$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ सतह का क्षेत्रफल है और $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियतांक है।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 7^{\circ}C = 7 + 273 = 280\,K$ है।
अंतिम तापमान $T_2 = 287^{\circ}C = 287 + 273 = 560\,K$ है।
ऊर्जा विकिरण की दर का अनुपात $\frac{E_2}{E_1} = (\frac{T_2}{T_1})^4$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\frac{E_2}{E_1} = (\frac{560}{280})^4 = (2)^4 = 16$.
अतः,ऊर्जा विकिरण की दर $16$ गुना बढ़ जाती है।

(A) पदार्थ के गतिज सिद्धांत के अनुसार,परम शून्य $(0 \ K)$ से ऊपर के तापमान पर सभी वस्तुएं ऊष्मीय ऊर्जा रखती हैं और विद्युत चुम्बकीय विकिरण उत्सर्जित करती हैं। अतः,कथन सही है।
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) की प्रति इकाई सतह क्षेत्र से प्रति इकाई समय में उत्सर्जित कुल ऊर्जा उसके परम तापमान की चौथी घात के सीधे समानुपाती होती है,जिसे $E = \sigma T^4$ द्वारा दर्शाया जाता है। यह नियम बताता है कि विकिरण की दर वस्तु के तापमान पर कैसे निर्भर करती है। इसलिए,कारण सही है और यह कथन की सही व्याख्या प्रदान करता है।