Radiation by Stefan's Boltzmann Law Questions in Hindi

(D) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,ऊष्मा हानि की दर $P = A \varepsilon \sigma (T^4 - T_0^4)$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है:
सतह क्षेत्रफल $A = 10 \ cm^2 = 10 \times 10^{-4} \ m^2 = 10^{-3} \ m^2$.
उत्सर्जकता $\varepsilon = 1$ (कृष्णिका के लिए)।
स्टीफन नियतांक $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \ W \ m^{-2} \ K^{-4}$.
वस्तु का तापमान $T = 127^{\circ}C = 127 + 273 = 400 \ K$.
कमरे का तापमान $T_0 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$.
मान रखने पर:
$P = 10^{-3} \times 1 \times 5.67 \times 10^{-8} \times (400^4 - 300^4)$
$P = 5.67 \times 10^{-11} \times (256 \times 10^8 - 81 \times 10^8)$
$P = 5.67 \times 10^{-11} \times 175 \times 10^8$
$P = 5.67 \times 1.75 = 9.9225 \times 10^{-1} \approx 0.99 \ W$.

(B) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,प्रति इकाई सतह क्षेत्र से विकिरित विकिरण ऊर्जा $E$,परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है,अर्थात $E \propto T^4$।
यहाँ विकिरण ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{16}{1}$ दिया गया है।
मान लीजिए गर्म निकाय का तापमान $T_1 = 1000 \ K$ है और ठंडे निकाय का तापमान $T_2$ है।
संबंध $\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$ का उपयोग करने पर:
$16 = \left( \frac{1000}{T_2} \right)^4$।
दोनों पक्षों का चतुर्थ मूल लेने पर:
$2 = \frac{1000}{T_2}$।
अतः,$T_2 = \frac{1000}{2} = 500 \ K$।

(C) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) द्वारा प्रति इकाई क्षेत्रफल और प्रति इकाई समय में विकिरित कुल ऊर्जा उसके परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है,जिसे $E = \sigma T^4$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यह मानते हुए कि तारे और सूर्य का पृष्ठीय क्षेत्रफल समान है,विकिरित कुल ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_{star}}{E_{sun}} = \left( \frac{T_{star}}{T_{sun}} \right)^4$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि तारे का तापमान सूर्य के तापमान का दोगुना है,अर्थात $T_{star} = 2T_{sun}$।
इस मान को अनुपात में रखने पर: $\frac{E_{star}}{E_{sun}} = (2)^4 = 16$।
अतः,तारे द्वारा विकिरित कुल ऊर्जा सूर्य की तुलना में $16$ गुना है।

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक ब्लैक बॉडी से प्रति इकाई समय में उत्सर्जित कुल ऊर्जा $Q$ उसके निरपेक्ष तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है,अर्थात $Q \propto T^4$।
मान लीजिए कि तापमान $T$ पर उत्सर्जित ऊर्जा $Q_1$ है और तापमान $2T$ पर उत्सर्जित ऊर्जा $Q_2$ है।
अतः,$\frac{Q_2}{Q_1} = \left( \frac{2T}{T} \right)^4 = 2^4 = 16$।
इस प्रकार,$Q_2 = 16 Q_1$।
पानी द्वारा अवशोषित ऊष्मा $Q = ms\Delta\theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m$ पानी का द्रव्यमान है और $s$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है।
पहले मामले के लिए: $Q_1 = ms(20.5 - 20) = ms(0.5)$।
दूसरे मामले के लिए: $Q_2 = ms(\theta - 20)$,जहाँ $\theta$ अंतिम तापमान है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{ms(\theta - 20)}{ms(0.5)} = \frac{\theta - 20}{0.5}$।
चूंकि $\frac{Q_2}{Q_1} = 16$,इसलिए:
$16 = \frac{\theta - 20}{0.5}$।
$8 = \theta - 20$।
$\theta = 28^{\circ}C$।

(D) ठंडे होने की दर तापमान में परिवर्तन की दर है,जिसे $\frac{d\theta}{dt} = \frac{P}{mc}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $P$ विकिरित शक्ति है,$m$ द्रव्यमान है और $c$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है।
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,विकिरित शक्ति $P = A\varepsilon\sigma(T^4 - T_0^4)$ है,जहाँ $A$ सतह का क्षेत्रफल है।
एक गोले के लिए,$A = 4\pi r^2$ और द्रव्यमान $m = \rho V = \rho (\frac{4}{3}\pi r^3)$ है।
इन मानों को ठंडे होने की दर के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d\theta}{dt} = \frac{4\pi r^2 \varepsilon\sigma(T^4 - T_0^4)}{\rho (\frac{4}{3}\pi r^3) c}$.
व्यंजक को सरल करने पर,हमें $\frac{d\theta}{dt} \propto \frac{r^2}{r^3} \propto \frac{1}{r}$ प्राप्त होता है।
अतः,ठंडे होने की दर $1/r$ के समानुपाती है।

(B) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,शीतलन की दर: $\frac{dQ}{dt} = \sigma A (T^4 - T_0^4)$ है।
चूंकि $dQ = mc \, dT$ और $m = \rho V = \rho (\frac{4}{3} \pi r^3)$,इसलिए: $mc \frac{dT}{dt} = -\sigma (4 \pi r^2) T^4$ (क्योंकि $T_0 = 0 \, K$ है)।
$m$ का मान रखने पर: $(\rho \frac{4}{3} \pi r^3) c \frac{dT}{dt} = -4 \pi r^2 \sigma T^4$.
सरल करने पर: $\frac{dT}{T^4} = -\frac{3 \sigma}{\rho c r} dt$.
$T_i = 200 \, K$ से $T_f = 100 \, K$ तक समाकलन करने पर: $\int_{200}^{100} T^{-4} dT = -\frac{3 \sigma}{\rho c r} \int_{0}^{t} dt$.
$[-\frac{1}{3} T^{-3}]_{200}^{100} = -\frac{3 \sigma}{\rho c r} t$.
$\frac{1}{3} [\frac{1}{100^3} - \frac{1}{200^3}] = \frac{3 \sigma}{\rho c r} t$.
$\frac{1}{3} [\frac{8 - 1}{8 \times 10^6}] = \frac{3 \sigma}{\rho c r} t$.
$\frac{7}{24 \times 10^6} = \frac{3 \sigma}{\rho c r} t$.
$t = \frac{7}{72} \frac{r \rho c}{\sigma} \times 10^{-6} \, s$.
चूंकि समय $\mu s$ $(10^{-6} \, s)$ में मांगा गया है,इसलिए उत्तर $\frac{7}{72} \frac{r \rho c}{\sigma} \, \mu s$ होगा।

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार, प्रति इकाई समय प्रति इकाई क्षेत्रफल में उत्सर्जित ऊर्जा है:
$E = \sigma T^4$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\ln E = \ln(\sigma T^4)$
लघुगणक के गुणधर्म $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ और $\ln(a^n) = n \ln a$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$\ln E = \ln \sigma + 4 \ln T$
इसे रैखिक समीकरण $y = mx + c$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$\ln E = 4 \ln T + \ln \sigma$
यहाँ, $y = \ln E$, $x = \ln T$, ढाल $m = 4$ है, और y-अंतःखंड $c = \ln \sigma$ है।
चूँकि ढाल धनात्मक $(4)$ है और अंतःखंड $\ln \sigma$ है, ग्राफ एक सीधी रेखा है जिसकी ढाल धनात्मक है और यह मूल बिंदु से होकर नहीं गुजरती है। यह ग्राफ $D$ में दर्शाया गया है।

(D) निर्वात में, चालन (conduction) या संवहन (convection) के माध्यम से ऊष्मा स्थानांतरण के लिए कोई माध्यम नहीं होता है। इलेक्ट्रिक हीटर $P = I^2R$ की दर से लगातार ऊष्मा उत्पन्न करता है। जैसे-जैसे हीटर का तापमान बढ़ता है, यह स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम $(P_{rad} = \sigma A \epsilon T^4)$ के अनुसार विद्युत चुम्बकीय विकिरण के माध्यम से परिवेश में ऊष्मा खो देता है। प्रारंभ में, ऊष्मा उत्पादन की दर ऊष्मा हानि की दर से अधिक होती है। जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है, ऊष्मा हानि की दर तब तक बढ़ती है जब तक कि वह ऊष्मा उत्पादन की दर के बराबर न हो जाए। इस बिंदु पर, हीटर तापीय संतुलन (thermal equilibrium) प्राप्त कर लेता है और इसका तापमान स्थिर हो जाता है।

(D) सही उत्तर $D$ है।
स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) द्वारा प्रति इकाई समय में प्रति इकाई सतह क्षेत्र से उत्सर्जित कुल ऊर्जा $E$ उसके परम तापमान $T$ की चौथी घात के सीधे आनुपातिक होती है।
यह सूत्र $E = \sigma T^4$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है।
सूर्य द्वारा उत्सर्जित कुल ऊर्जा को मापकर,हम इस नियम का उपयोग करके उसके सतह के तापमान को निर्धारित कर सकते हैं।

(A) सूर्य (कृष्णिका) द्वारा विकीर्ण कुल शक्ति स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम द्वारा दी जाती है: $P_{total} = \sigma A T^4$.
यहाँ,पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2$ और निरपेक्ष तापमान $T = (t + 273) \, K$ है।
अतः,$P_{total} = \sigma (4 \pi r^2) (t + 273)^4$.
यह शक्ति सूर्य के केंद्र से $R$ दूरी पर स्थित $R$ त्रिज्या वाले गोलाकार पृष्ठ पर समान रूप से वितरित होती है।
इस गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A' = 4 \pi R^2$ है।
$R$ दूरी पर प्रति इकाई क्षेत्रफल प्राप्त शक्ति (तीव्रता $I$) $I = \frac{P_{total}}{A'} = \frac{\sigma (4 \pi r^2) (t + 273)^4}{4 \pi R^2}$ द्वारा दी जाती है।
इसे सरल करने पर,हमें $I = \frac{r^2 \sigma (t + 273)^4}{R^2}$ प्राप्त होता है।

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा प्रति इकाई क्षेत्रफल और प्रति इकाई समय में विकिरित ऊर्जा उसके परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है: $E \propto T^4$.
माना $T_1 = T$ तापमान पर $E_1 = E$ है।
माना $T_2 = T/2$ तापमान पर विकिरित ऊर्जा $E_2$ है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$.
मान रखने पर: $\frac{E_2}{E} = \left( \frac{T/2}{T} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}$.
अतः,$E_2 = \frac{E}{16}$.

(C) दिया गया है कि दोनों पिंडों द्वारा उत्सर्जित कुल विकिरण शक्ति समान है: $P_A = P_B$.
स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,$P = e \sigma A T^4$.
चूंकि $A_A = A_B$ और $\sigma$ एक स्थिरांक है,इसलिए $e_A T_A^4 = e_B T_B^4$ प्राप्त होता है।
$T_B$ के लिए सूत्र बनाने पर: $T_B = T_A \left( \frac{e_A}{e_B} \right)^{1/4}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $T_B = 5802 \times \left( \frac{0.01}{0.81} \right)^{1/4}$.
$T_B = 5802 \times \left( \frac{1}{81} \right)^{1/4} = 5802 \times \frac{1}{3} = 1934 \ K$.

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका से ऊर्जा उत्सर्जन की दर $E$ उसके परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है,अर्थात $E \propto T^4$।
यहाँ $T_1 = 127^{\circ}C = 127 + 273 = 400 \ K$ पर $E_1 = 1 \ cal/cm^2 \cdot s$ दिया गया है।
हमें $T_2 = 527^{\circ}C = 527 + 273 = 800 \ K$ पर $E_2$ ज्ञात करना है।
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$।
मान रखने पर: $\frac{E_2}{1} = \left( \frac{800}{400} \right)^4 = (2)^4 = 16$।
अतः,$E_2 = 16 \ cal/cm^2 \cdot s$।

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,ऊर्जा उत्सर्जन की दर $H$ परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है,अर्थात $H \propto T^4$।
सबसे पहले,तापमान को सेल्सियस से केल्विन में बदलें:
$T_A = 727 + 273 = 1000 \ K$
$T_B = 327 + 273 = 600 \ K$
अब,ऊर्जा उत्सर्जन की दरों का अनुपात ज्ञात करें:
$\frac{H_A}{H_B} = \left( \frac{T_A}{T_B} \right)^4$
$\frac{H_A}{H_B} = \left( \frac{1000}{600} \right)^4 = \left( \frac{10}{6} \right)^4 = \left( \frac{5}{3} \right)^4$
$\frac{H_A}{H_B} = \frac{5^4}{3^4} = \frac{625}{81}$
अतः,अनुपात $H_A : H_B$ का मान $625 : 81$ है।

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय में उत्सर्जित ऊर्जा $\frac{dQ}{Adt} = \sigma T^4$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है,$\frac{dQ}{Adt} = 1 \ cal/(m^2 \cdot s)$.
चूंकि $1 \ cal = 4.2 \ J$,ऊर्जा उत्सर्जन की दर $4.2 \ J/(m^2 \cdot s)$ है।
$\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \ W/(m^2 \cdot K^4)$ का उपयोग करते हुए:
$4.2 = 5.67 \times 10^{-8} \times T^4$.
$T^4 = \frac{4.2}{5.67 \times 10^{-8}} \approx 0.74 \times 10^8 = 74 \times 10^6$.
$T = (74 \times 10^6)^{1/4} \approx 92.7 \ K$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $T \approx 100 \ K$ है।

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा विकिरित शक्ति उसके परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है: $E \propto T^4$.
दिया गया है:
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$.
अंतिम तापमान $T_2 = 327^{\circ}C = 327 + 273 = 600 \ K$.
प्रारंभिक ऊर्जा $E_1 = 10 \ J$.
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
$\frac{E_2}{10} = \left( \frac{600}{300} \right)^4$
$\frac{E_2}{10} = (2)^4 = 16$
$E_2 = 16 \times 10 = 160 \ J$.

(B) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा उत्सर्जित शक्ति उसके परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है: $E \propto T^4$।
माना प्रारंभिक तापमान $T$ है और प्रारंभिक विकिरण $E = \sigma A T^4$ है।
जब तापमान में $50\%$ की वृद्धि की जाती है,तो नया तापमान $T' = T + 0.5T = 1.5T = \frac{3}{2}T$ हो जाता है।
नया विकिरण $E' = \sigma A (T')^4 = \sigma A (1.5T)^4 = (1.5)^4 E = 5.0625 E$ होता है।
प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए: $\text{प्रतिशत वृद्धि} = \frac{E' - E}{E} \times 100\%$.
मान रखने पर: $\frac{5.0625 E - E}{E} \times 100\% = 4.0625 \times 100\% = 406.25\%$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $400\%$ है।

(A) प्रति इकाई क्षेत्रफल उत्सर्जित ऊर्जा के लिए स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम है: $E = \sigma T^4$।
दिया गया है $E = 5.67 \, W \, cm^{-2}$।
$E$ को $SI$ मात्रक में बदलने पर: $E = 5.67 \times 10^4 \, W \, m^{-2}$।
दिया गया है $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \, W \, m^{-2} K^{-4}$।
सूत्र में मान रखने पर: $T^4 = \frac{E}{\sigma}$।
$T^4 = \frac{5.67 \times 10^4}{5.67 \times 10^{-8}} = 10^{12}$।
दोनों पक्षों का चतुर्थ मूल लेने पर: $T = (10^{12})^{1/4} = 10^3 = 1000 \, K$।

(B) कृष्णिका द्वारा विकिरित शक्ति स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम द्वारा दी जाती है: $P = \sigma A T^{4}$.
दिया गया है: $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \, W/m^{2} \cdot K^{4}$,$A = 0.1 \, m^{2}$,$T = 727 + 273 = 1000 \, K$.
शक्ति $P = (5.67 \times 10^{-8}) \times 0.1 \times (1000)^{4} = 5.67 \times 10^{-9} \times 10^{12} = 5670 \, W$ (या $J/s$)।
$t = 1 \, min = 60 \, s$ में विकिरित ऊष्मा $Q = P \times t = 5670 \times 60 = 340200 \, J$ है।
जूल को कैलोरी में बदलने के लिए,हम $1 \, cal = 4.2 \, J$ का उपयोग करते हैं।
$Q_{cal} = \frac{340200}{4.2} = 81000 \, cal$.

(C) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार एक गोले द्वारा प्रति इकाई समय में उत्सर्जित विकिरण ऊर्जा: $E = \sigma A T^4$,जहाँ $A = 4\pi r^2$ है।
अतः,$P$ और $Q$ द्वारा उत्सर्जित विकिरण ऊर्जा का अनुपात:
$\frac{E_P}{E_Q} = \frac{\sigma (4\pi r_P^2) T_P^4}{\sigma (4\pi r_Q^2) T_Q^4} = \left( \frac{r_P}{r_Q} \right)^2 \times \left( \frac{T_P}{T_Q} \right)^4$
दिया गया है: $r_P = 8 \ cm$,$r_Q = 2 \ cm$,$T_P = 127 + 273 = 400 \ K$,$T_Q = 527 + 273 = 800 \ K$।
मान रखने पर:
$\frac{E_P}{E_Q} = \left( \frac{8}{2} \right)^2 \times \left( \frac{400}{800} \right)^4$
$\frac{E_P}{E_Q} = (4)^2 \times \left( \frac{1}{2} \right)^4 = 16 \times \frac{1}{16} = 1$।
अतः,अनुपात $1:1$ है।

(C) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,किसी पिंड द्वारा उत्सर्जित शक्ति $P = e \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$P = 25 \ W$,$e = 0.3$,$T = 2000 \ K$,और $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \ W/m^2K^4$ है।
क्षेत्रफल $A$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$A = \frac{P}{e \sigma T^4}$
$A = \frac{25}{0.3 \times 5.67 \times 10^{-8} \times (2000)^4}$
$A = \frac{25}{0.3 \times 5.67 \times 10^{-8} \times 16 \times 10^{12}}$
$A = \frac{25}{27216} \approx 0.9185 \times 10^{-3} \ m^2 = 9.185 \ cm^2$.
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,गणना के अनुसार निकटतम उत्तर $0.92$ है।

(D) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक पूर्ण कृष्णिका द्वारा उत्सर्जित शक्ति $P = A \sigma T^4 = 4 \pi r^2 \sigma T^4$ होती है।
इससे यह स्पष्ट है कि $P \propto r^2 T^4$ है।
माना प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = 12 \, cm$ और प्रारंभिक तापमान $T_1 = 500 \, K$ है। प्रारंभिक शक्ति $P_1 = 450 \, W$ है।
नई स्थिति के लिए,त्रिज्या को आधा कर दिया गया है,इसलिए $r_2 = r_1 / 2$,और तापमान को दोगुना कर दिया गया है,इसलिए $T_2 = 2 T_1$ है।
शक्तियों का अनुपात लेने पर:
$\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2 \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
$\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \left( \frac{2}{1} \right)^4 = \frac{1}{4} \times 16 = 4$.
अतः,$P_2 = 4 P_1 = 4 \times 450 = 1800 \, W$।

(B) किसी वस्तु द्वारा ऊष्मा उत्सर्जन की दर (शक्ति) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम द्वारा दी जाती है: $E = \sigma e A T^4$.
चूंकि उत्सर्जक समान प्रकार के हैं,इसलिए उत्सर्जकता $e$ और स्टीफन-बोल्ट्जमैन स्थिरांक $\sigma$ समान रहेंगे।
बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 2\pi r L + 2\pi r^2$ होता है। यह दिया गया है कि लंबाई $L$,त्रिज्या $r$ के समानुपाती है $(L \propto r)$,इसलिए क्षेत्रफल $A$,$r^2$ के समानुपाती है।
अतः,$E \propto r^2 T^4$.
उत्सर्जित ऊष्मा का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{1}{4} \right)^2 \times \left( \frac{2}{1} \right)^4 = \frac{1}{16} \times 16 = 1$.
इसलिए,अनुपात $1:1$ है।

(B) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,प्रति इकाई क्षेत्रफल और प्रति इकाई समय में उत्सर्जित ऊर्जा $E \propto T^4$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है,प्रारंभिक तापमान $T_1 = 727^{\circ}C = 727 + 273 = 1000 \ K$ है।
मान लीजिए कि अंतिम तापमान $T_2$ है।
हमें दिया गया है कि अंतिम विकिरण $E_2 = 2E_1$ है।
अनुपात का उपयोग करते हुए: $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$।
मान रखने पर: $2 = \left( \frac{T_2}{1000} \right)^4$।
दोनों पक्षों का चतुर्थ मूल लेने पर: $\frac{T_2}{1000} = (2)^{1/4}$।
चूंकि $(2)^{1/4} \approx 1.1892$,इसलिए $T_2 = 1.1892 \times 1000 = 1189.2 \ K \approx 1190 \ K$।

(C) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,ऊष्मा विकिरण की दर $E$ परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है,अर्थात $E \propto T^4$।
दिया गया है:
$T_1 = 227^{\circ}C = 227 + 273 = 500 \, K$
$T_2 = 727^{\circ}C = 727 + 273 = 1000 \, K$
$E_1 = 20 \, cal \, m^{-2} \, s^{-1}$
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
$\frac{E_2}{20} = \left( \frac{1000}{500} \right)^4$
$\frac{E_2}{20} = (2)^4 = 16$
$E_2 = 16 \times 20 = 320 \, cal \, m^{-2} \, s^{-1}$.

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,किसी पिंड द्वारा विकिरित शक्ति $P = \sigma e A T^{4}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है:
$\sigma = 5.7 \times 10^{-8} \ W \ m^{-2} \ K^{-4}$
$e = 0.85$
$A = 5 \times 10^{-5} \ m^{2}$
$T = 2000 \ K$
सबसे पहले,शक्ति $P$ (प्रति सेकंड ऊर्जा) की गणना करें:
$P = (5.7 \times 10^{-8}) \times 0.85 \times (5 \times 10^{-5}) \times (2000)^{4}$
$P = 5.7 \times 0.85 \times 5 \times 10^{-13} \times 16 \times 10^{12}$
$P = 5.7 \times 0.85 \times 5 \times 16 \times 10^{-1}$
$P = 38.76 \ W$ (जूल प्रति सेकंड)।
प्रति मिनट विकिरित ऊर्जा ज्ञात करने के लिए,$60 \ s$ से गुणा करें:
$E = P \times 60 = 38.76 \times 60 = 2325.6 \ J$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $2325 \ J$ है।

(C) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,प्रति इकाई क्षेत्रफल उत्सर्जित शक्ति (उत्सर्जन क्षमता) $E = \sigma T^4$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\sigma$ (स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियतांक) $= 5.67 \times 10^{-8} \ W \ m^{-2} \ K^{-4}$ है।
तापमान $T = 10^{3} \ K$ है।
मान रखने पर:
$E = 5.67 \times 10^{-8} \times (10^{3})^4$
$E = 5.67 \times 10^{-8} \times 10^{12}$
$E = 5.67 \times 10^{4} \ J \ m^{-2} \ s^{-1}$
$E = 56700 \ J \ m^{-2} \ s^{-1}$.

(C) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा उत्सर्जित विकिरण की तीव्रता $E$ उसके परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है,अर्थात $E \propto T^4$।
मान लीजिए प्रारंभिक तापमान $T_1 = T$ है और अंतिम तापमान $T_2 = T + 0.10T = 1.1T$ है।
तीव्रता का अनुपात $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4 = (1.1)^4$ द्वारा दिया जाता है।
मान की गणना करने पर: $(1.1)^4 = 1.4641$ प्राप्त होता है।
प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए: $\frac{\Delta E}{E_1} \times 100 = \left( \frac{E_2 - E_1}{E_1} \right) \times 100 = (1.4641 - 1) \times 100 = 46.41\%$.
निकटतम पूर्णांक में,तीव्रता में $46\%$ की वृद्धि होती है।

(B) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका से ऊर्जा उत्सर्जन की दर $P = A\sigma T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ केल्विन में परम तापमान है।
अतः,$P \propto T^4$ है।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 7^{\circ}C = 7 + 273 = 280 \ K$ है।
अंतिम तापमान $T_2 = 287^{\circ}C = 287 + 273 = 560 \ K$ है।
ऊर्जा उत्सर्जन की दर का अनुपात $\frac{P_2}{P_1} = (\frac{T_2}{T_1})^4$ है।
मान रखने पर: $\frac{P_2}{P_1} = (\frac{560}{280})^4 = (2)^4 = 16$ है।
अतः,ऊर्जा उत्सर्जन की दर $16$ गुना बढ़ जाती है।

(A) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक गोलाकार पिंड द्वारा विकीर्ण शक्ति $P = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A = 4\pi r^2$ सतह का क्षेत्रफल है।
यह दिया गया है कि दोनों पिंड समान शक्ति का विकिरण करते हैं,इसलिए $P_1 = P_2$ है।
अतः,$\sigma (4\pi r_1^2) T_1^4 = \sigma (4\pi r_2^2) T_2^4$ होगा।
समीकरण को सरल करने पर,हमें $r_1^2 T_1^4 = r_2^2 T_2^4$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या के अनुपात के लिए व्यवस्थित करने पर,$(\frac{r_1}{r_2})^2 = (\frac{T_2}{T_1})^4$ मिलता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{r_1}{r_2} = (\frac{T_2}{T_1})^2$ प्राप्त होता है।

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) द्वारा विकिरित शक्ति $P = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A = 4\pi r^2$ सतह का क्षेत्रफल है।
अतः,विकिरित ऊर्जा $E \propto r^2 T^4$ है।
दिया गया है: $r_1 = 1 \ m$,$r_2 = 4 \ m$,$T_1 = 4000 \ K$ और $T_2 = 2000 \ K$।
विकिरित ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$ है।
मान रखने पर: $\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{1}{4} \right)^2 \left( \frac{4000}{2000} \right)^4$.
$\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{1}{16} \right) \times (2)^4 = \frac{1}{16} \times 16 = 1$.
अतः,अनुपात $1:1$ है।

(B) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार किसी वस्तु द्वारा विकिरित शक्ति $P = e \sigma A T^4$ होती है।
यहाँ,$e = 0.453$,$\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \ W/m^2K^4$,$A = 4 \times 10^{-4} \ m^2$,और $T = 2100 \ K$ है।
मान रखने पर:
$P = 0.453 \times (5.67 \times 10^{-8}) \times (4 \times 10^{-4}) \times (2100)^4$.
$P = 0.453 \times 5.67 \times 4 \times 10^{-12} \times (2.1 \times 10^3)^4$.
$P = 10.26792 \times 10^{-12} \times 19.4481 \times 10^{12}$.
$P \approx 199.73 \ W$.
निकटतम पूर्णांक में,शक्ति $200 \ W$ है।

(C) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,किसी वस्तु द्वारा प्रति सेकंड उत्सर्जित ऊर्जा (शक्ति) $Q = A \varepsilon \sigma T^{4}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि दोनों गोले एक ही पदार्थ से बने हैं,इसलिए उनकी उत्सर्जकता $\varepsilon$ समान है। दिया गया है कि वे समान तापमान $T$ पर हैं,इसलिए $Q \propto A$ होगा।
चूंकि गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^{2}$ होता है,इसलिए $Q \propto r^{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रति सेकंड उत्सर्जित ऊर्जा का अनुपात $\frac{Q_{1}}{Q_{2}} = \frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{2} = \frac{1}{4}$ होगा।

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) से ऊर्जा उत्सर्जन की दर (शक्ति) $P = A \varepsilon \sigma T^4$ होती है।
यहाँ,वर्गाकार प्लेट की भुजा $s = 10 \ cm = 0.1 \ m$ है।
क्षेत्रफल $A = s^2 = (0.1 \ m)^2 = 0.01 \ m^2$ है।
चूंकि यह एक प्लेट है,यह दोनों तरफ से विकिरण उत्सर्जित करती है,इसलिए कुल सतह का क्षेत्रफल $A_{total} = 2 \times A = 2 \times 0.01 = 0.02 \ m^2$ होगा।
दिया गया है $P = 1134 \ W$,$\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \ W \ m^{-2} \ K^{-4}$,और $\varepsilon = 1$ मानते हुए:
$1134 = 0.02 \times 1 \times 5.67 \times 10^{-8} \times T^4$.
$T^4 = \frac{1134}{0.02 \times 5.67 \times 10^{-8}} = \frac{1134}{0.1134 \times 10^{-8}} = 10^4 \times 10^8 = 10^{12}$.
$T = (10^{12})^{1/4} = 10^3 = 1000 \ K$.

(C) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,उत्सर्जन की दर $E$ परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है: $E \propto T^4$।
मान लीजिए प्रारंभिक उत्सर्जन दर $E = k T^4$ है।
जब तापमान घटाकर $T' = T/2$ कर दिया जाता है,तो नई उत्सर्जन दर $E'$ इस प्रकार होगी: $E' = k (T/2)^4 = k (T^4 / 16) = E / 16$।
उत्सर्जन दर में कमी $\Delta E = E - E' = E - E/16 = 15E/16$ है।
प्रतिशत कमी इस प्रकार है: $\text{प्रतिशत कमी} = (\Delta E / E) \times 100\% = (15E/16E) \times 100\% = (15/16) \times 100\% = 0.9375 \times 100\% = 93.75\% \approx 94\%.$

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा प्रति इकाई क्षेत्रफल और प्रति इकाई समय में उत्सर्जित कुल ऊर्जा उसके परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है: $E \propto T^4$.
दिए गए तापमान $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$ और $T_2 = 927^{\circ}C = 927 + 273 = 1200 \ K$ हैं।
उत्सर्जित ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$ है।
मान रखने पर: $\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{300}{1200} \right)^4 = \left( \frac{1}{4} \right)^4 = \frac{1}{256}$.
अतः,अनुपात $1 : 256$ है।

(C) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,किसी वस्तु द्वारा उत्सर्जित शक्ति $P = A \varepsilon \sigma T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ केल्विन में परम तापमान है।
चूँकि $A$,$\varepsilon$ और $\sigma$ स्थिरांक हैं,इसलिए $P \propto T^4$ होगा।
दिया गया है $T_1 = 127^{\circ}C = 127 + 273 = 400 \ K$ और $P_1 = 5 \ W$।
नया तापमान $T_2 = 927^{\circ}C = 927 + 273 = 1200 \ K$ है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$।
$\frac{P_2}{5} = \left( \frac{1200}{400} \right)^4 = (3)^4 = 81$।
अतः,$P_2 = 5 \times 81 = 405 \ W$।

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,किसी वस्तु द्वारा उत्सर्जित ऊर्जा उसके परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है: $E \propto T^4$.
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 400^{\circ}C = 400 + 273 = 673 \ K$ है।
हमें वह तापमान $T_2$ ज्ञात करना है जिस पर उत्सर्जित ऊर्जा $E_2 = 2E_1$ हो जाए।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$.
मान रखने पर: $2 = \left( \frac{T_2}{673} \right)^4$.
दोनों पक्षों का चतुर्थ मूल लेने पर: $T_2 = 673 \times 2^{1/4}$.
मान की गणना करने पर: $2^{1/4} \approx 1.189$.
$T_2 = 673 \times 1.189 \approx 800 \ K$.

(B) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा विकिरित शुद्ध शक्ति $P = \sigma A (T^4 - T_0^4)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ वस्तु का तापमान है और $T_0$ परिवेश का तापमान है।
दिया गया है:
$T_1 = 727^{\circ} C = 727 + 273 = 1000 \; K$
$T_0 = 227^{\circ} C = 227 + 273 = 500 \; K$
$P_1 = 60 \; W$
$P_1 = k(T_1^4 - T_0^4) \Rightarrow 60 = k(1000^4 - 500^4) \quad \dots(1)$
अब,$T_2 = 1227^{\circ} C = 1227 + 273 = 1500 \; K$
$P_2 = k(T_2^4 - T_0^4) \Rightarrow P_2 = k(1500^4 - 500^4) \quad \dots(2)$
समीकरण $(2)$ को $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{P_2}{60} = \frac{1500^4 - 500^4}{1000^4 - 500^4} = \frac{500^4 (3^4 - 1^4)}{500^4 (2^4 - 1^4)}$
$\frac{P_2}{60} = \frac{81 - 1}{16 - 1} = \frac{80}{15} = \frac{16}{3}$
$P_2 = 60 \times \frac{16}{3} = 20 \times 16 = 320 \; W$.

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा उत्सर्जित शक्ति $P = A \sigma T^4$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभिक स्थिति: $A_1 = 8 \ cm \times 4 \ cm = 32 \ cm^2$,$T_1 = 127 + 273 = 400 \ K$,$P_1 = E$.
अंतिम स्थिति: लंबाई और चौड़ाई को आधा कर दिया जाता है,इसलिए $A_2 = (8/2) \ cm \times (4/2) \ cm = 4 \ cm \times 2 \ cm = 8 \ cm^2$. अतः,$A_2 = A_1 / 4$.
तापमान $T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$.
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{P_2}{P_1} = \frac{A_2}{A_1} \times \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$.
$\frac{P_2}{E} = \frac{1}{4} \times \left( \frac{600}{400} \right)^4 = \frac{1}{4} \times \left( \frac{3}{2} \right)^4 = \frac{1}{4} \times \frac{81}{16} = \frac{81}{64}$.
अतः,$P_2 = \frac{81}{64}E$.

(B) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,उत्सर्जन शक्ति $E$ परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है: $E \propto T^{4}$।
अतः,$\frac{E_{2}}{E_{1}} = \left( \frac{T_{2}}{T_{1}} \right)^{4}$।
यहाँ $T_{1} = 127^{\circ}C = 127 + 273 = 400 \ K$ है।
$E_{1} = 1.0 \times 10^{6} \ J/s \cdot m^{2}$ और $E_{2} = 16.0 \times 10^{6} \ J/s \cdot m^{2}$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{16.0 \times 10^{6}}{1.0 \times 10^{6}} = \left( \frac{T_{2}}{400} \right)^{4}$।
$16 = \left( \frac{T_{2}}{400} \right)^{4}$।
दोनों पक्षों का चतुर्थ मूल लेने पर: $2 = \frac{T_{2}}{400}$।
$T_{2} = 800 \ K$।
सेल्सियस में बदलने पर: $T_{2} = 800 - 273 = 527^{\circ}C$।

(B) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) द्वारा विकीर्ण शक्ति उसके परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है $(P \propto T^4)$।
इसके अतिरिक्त,विकिरण की तीव्रता दूरी के व्युत्क्रम-वर्ग नियम का पालन करती है $(I \propto 1/d^2)$।
इसलिए,पन्नी द्वारा अवशोषित शक्ति $P \propto T^4 / d^2$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक शक्ति $P_1 = P$,तापमान $T_1 = T$ और दूरी $d_1 = d$ है।
मान लीजिए अंतिम शक्ति $P_2$,तापमान $T_2 = 2T$ और दूरी $d_2 = 2d$ है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $P_2 / P_1 = (T_2 / T_1)^4 \times (d_1 / d_2)^2$।
मान रखने पर: $P_2 / P = (2T / T)^4 \times (d / 2d)^2$।
$P_2 / P = (2)^4 \times (1/2)^2 = 16 \times (1/4) = 4$।
अतः,$P_2 = 4P$।

(D) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार एक कृष्णिका द्वारा ऊर्जा उत्सर्जन की दर (शक्ति): $P = A \sigma T^4$,जहाँ $A$ सतह का क्षेत्रफल है,$\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
प्रारंभिक स्थिति: $A_1 = 8 \ cm \times 4 \ cm = 32 \ cm^2$,$T_1 = 127 + 273 = 400 \ K$,$P_1 = E$.
अंतिम स्थिति: $A_2 = (8/2) \ cm \times (4/2) \ cm = 4 \ cm \times 2 \ cm = 8 \ cm^2$,$T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$.
चूंकि $A_2 = A_1 / 4$,शक्ति का अनुपात:
$\frac{P_2}{P_1} = \frac{A_2}{A_1} \times \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
$\frac{P_2}{E} = \frac{8}{32} \times \left( \frac{600}{400} \right)^4$
$\frac{P_2}{E} = \frac{1}{4} \times \left( \frac{3}{2} \right)^4 = \frac{1}{4} \times \frac{81}{16} = \frac{81}{64}$
अतः,ऊर्जा उत्सर्जन की नई दर $P_2 = \frac{81}{64} E$ है।

(A) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, $\lambda_m T = \text{नियतांक}$.
माना प्रारंभिक तापमान $T_1$ है और अंतिम तापमान $T_2$ है। दिया गया है कि $\lambda_{m1} = \lambda_0$ और $\lambda_{m2} = 3\lambda_0/4$.
$\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2$ का उपयोग करने पर:
$T_2 = \frac{\lambda_{m1}}{\lambda_{m2}} T_1 = \frac{\lambda_0}{3\lambda_0/4} T_1 = \frac{4}{3} T_1$.
स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार, उत्सर्जित शक्ति $P \propto T^4$ होती है।
अतः, शक्ति का अनुपात:
$\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4 = \left( \frac{4/3 T_1}{T_1} \right)^4 = \left( \frac{4}{3} \right)^4 = \frac{256}{81}$.

(D) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, $\lambda_m T = \text{नियतांक}$.
अतः, $(\lambda_m)_1 T_1 = (\lambda_m)_2 T_2$.
$\frac{T_2}{T_1} = \frac{(\lambda_m)_1}{(\lambda_m)_2} = \frac{0.26}{0.13} = 2$.
इसलिए, $T_2 = 2T_1$.
स्टीफन-बोल्ट्जमान नियम के अनुसार, उत्सर्जन शक्ति $E \propto T^4$ होती है।
अतः, $\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}$.
इस प्रकार, उत्सर्जन शक्ति का अनुपात $1 : 16$ है।

(C) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,प्रति सेकंड उत्सर्जित विकिरण ऊर्जा $E$ का सूत्र इस प्रकार है:
$E = A \cdot e_r \cdot \sigma \cdot T^{4}$
दी गई मान:
$A = 5.0 \times 10^{-5} m^{2}$
$e_r = 0.85$
$\sigma = 5.7 \times 10^{-8} W m^{-2} K^{-4}$
$T = 2000 K$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E = (5.0 \times 10^{-5}) \times (0.85) \times (5.7 \times 10^{-8}) \times (2000)^{4}$
$E = (5.0 \times 10^{-5}) \times (0.85) \times (5.7 \times 10^{-8}) \times (16 \times 10^{12})$
$E = 5.0 \times 0.85 \times 5.7 \times 16 \times 10^{-5-8+12}$
$E = 386.75 \times 10^{-1} = 38.675 W$
अतः,निकटतम विकल्प के अनुसार उत्तर $38.76 J s^{-1}$ प्राप्त होता है।

(A) विकिरण द्वारा ऊष्मा के ह्रास की दर स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम द्वारा दी जाती है: $\frac{dQ}{dt} = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$.
यहाँ,भुजा $L = 1 \ m$,इसलिए सतह का क्षेत्रफल $A = 6L^2 = 6 \times 1^2 = 6 \ m^2$.
उत्सर्जन क्षमता $e = \frac{1}{5.67}$.
स्टीफन का नियतांक $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \ W/m^2K^4$.
घन का तापमान $T = 127 + 273 = 400 \ K$.
परिवेश का तापमान $T_0 = 27 + 273 = 300 \ K$.
मान रखने पर:
$\frac{dQ}{dt} = \left(\frac{1}{5.67}\right) \times (5.67 \times 10^{-8}) \times 6 \times (400^4 - 300^4)$.
$\frac{dQ}{dt} = 10^{-8} \times 6 \times (256 \times 10^8 - 81 \times 10^8)$.
$\frac{dQ}{dt} = 6 \times (256 - 81) = 6 \times 175 = 1050 \ W = 1.05 \ kW$.

(D) प्रारंभिक तापमान $T_1 = -73 + 273 = 200 \ K$ है।
अंतिम तापमान $T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$ है।
स्टीफन-बोल्ट्जमैन के नियम के अनुसार,उत्सर्जन क्षमता $W$ परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है: $W \propto T^4$।
अतः,उत्सर्जन क्षमता का अनुपात $\frac{W_1}{W_2} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{W_1}{W_2} = \left( \frac{200}{600} \right)^4 = \left( \frac{1}{3} \right)^4 = \frac{1}{81}$।
इस प्रकार,उत्सर्जन क्षमता का अनुपात $1:81$ है।

(A) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार: $\lambda_m T = b$।
यहाँ $\lambda_m = 289.9 \, nm = 289.9 \times 10^{-9} \, m$ और $b = 2898 \, \mu m \cdot K = 2898 \times 10^{-6} \, m \cdot K$ दिया गया है।
तापमान $T$ की गणना करने पर:
$T = \frac{b}{\lambda_m} = \frac{2898 \times 10^{-6}}{289.9 \times 10^{-9}} \approx 10^4 \, K$।
अब,तीव्रता के लिए स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम $E = \sigma T^4$ का उपयोग करने पर:
$E = (5.67 \times 10^{-8}) \times (10^4)^4$
$E = 5.67 \times 10^{-8} \times 10^{16} = 5.67 \times 10^8 \, W/m^2$।

(C) तीव्रता $I$ को गोले के प्रति इकाई पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ पर विकिरित शक्ति $P$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$I = \frac{P}{A} = \frac{P}{4\pi R^2}$
दिया गया है:
$P = 3.9 \times 10^{25} \ W$
$R = 6.96 \times 10^8 \ m$
मान रखने पर:
$I = \frac{3.9 \times 10^{25}}{4 \times 3.14159 \times (6.96 \times 10^8)^2}$
$I = \frac{3.9 \times 10^{25}}{4 \times 3.14159 \times 48.4416 \times 10^{16}}$
$I = \frac{3.9 \times 10^{25}}{608.66 \times 10^{16}}$
$I \approx 0.006407 \times 10^9 \ W \ m^{-2}$
$I \approx 6.4 \times 10^6 \ W \ m^{-2}$