Principle of Calorimetry and Water Equivalent Questions in Gujarati

(D) $1\, kg$ બરફને $-10\,^{\circ}C$ થી $0\,^{\circ}C$ સુધી ગરમ કરવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_1 = m_i c_i \Delta T = 1 \times 2100 \times 10 = 21,000\, J$.
$0\,^{\circ}C$ પર $1\, kg$ બરફને ઓગાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_2 = m_i L_f = 1 \times 3.36 \times 10^5 = 336,000\, J$.
બરફને $0\,^{\circ}C$ પર પાણીમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે કુલ જરૂરી ઉષ્મા: $Q_{total} = 21,000 + 336,000 = 357,000\, J$.
$4.4\, kg$ પાણીને $30\,^{\circ}C$ થી $0\,^{\circ}C$ સુધી ઠંડુ પાડતા મળતી ઉષ્મા: $Q_{avail} = m_w c_w \Delta T = 4.4 \times 4200 \times 30 = 554,400\, J$.
અહીં $Q_{avail} > Q_{total}$ હોવાથી,બરફ સંપૂર્ણપણે ઓગળી જશે અને અંતિમ તાપમાન $\theta$ એ $0\,^{\circ}C$ થી વધુ હશે.
ઉષ્મા સંતુલન સમીકરણ: $Q_{avail} - Q_{total} = (m_i + m_w) c_w (\theta - 0)$.
$554,400 - 357,000 = (1 + 4.4) \times 4200 \times \theta$.
$197,400 = 5.4 \times 4200 \times \theta$.
$197,400 = 22,680 \times \theta$.
$\theta = \frac{197,400}{22,680} \approx 8.7\,^{\circ}C$.

(B) કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ ઘન ગોળા દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે.
$m_w \cdot S_w \cdot \Delta T_w = m_s \cdot S_s \cdot \Delta T_s$
આપેલ છે:
$m_w = m_s = 200 \, g$
$S_w = 1 \, cal/g \cdot ^oC$
પાણી માટે તાપમાનનો ફેરફાર: $\Delta T_w = 80 \, ^oC - 60 \, ^oC = 20 \, ^oC$
ઘન પદાર્થ માટે તાપમાનનો ફેરફાર: $\Delta T_s = 60 \, ^oC - 20 \, ^oC = 40 \, ^oC$
કિંમતો મૂકતા:
$200 \cdot S_w \cdot 20 = 200 \cdot S_s \cdot 40$
$S_w \cdot 20 = S_s \cdot 40$
$S_s = S_w \cdot (20 / 40)$
$S_s = 0.5 \cdot S_w$
તેથી,ઘન પદાર્થની વિશિષ્ટ ઉષ્મા પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા કરતા અડધી છે.

(A) ધારો કે સંતુલન સ્થિતિમાં $0\,^{\circ}C$ તાપમાને પહોંચવા માટે ઓગળતા બરફનું દળ $m$ છે.
પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા $= m_w \cdot c_w \cdot \Delta T = 100 \times 1 \times (30 - 0) = 3000\, cal$.
બરફને ઓગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $= m \cdot L_f = m \times 80$.
ગુમાવેલી ઉષ્મા અને મેળવેલી ઉષ્માને સરખાવતા: $3000 = 80m$.
$m$ માટે ઉકેલતા: $m = \frac{3000}{80} = 37.5\, g$.
આ ઓગળેલા બરફનું દળ છે.
શરૂઆતમાં બરફનું દળ $50\, g$ હતું.
તેથી,બાકી રહેલા બરફનું દળ $= 50 - 37.5 = 12.5\, g$.

(C) કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = બરફ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
$100^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતી $M$ ગ્રામ વરાળ $40^{\circ} C$ તાપમાનના પાણીમાં રૂપાંતરિત થાય ત્યારે ગુમાવેલી ઉષ્મા:
$Q_{lost} = M \times L_v + M \times c_w \times \Delta T$
$Q_{lost} = M \times 540 + M \times 1 \times (100 - 40) = 540M + 60M = 600M$
$0^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતો $200 \; g$ બરફ $40^{\circ} C$ તાપમાનના પાણીમાં રૂપાંતરિત થાય ત્યારે મેળવેલી ઉષ્મા:
$Q_{gained} = m_{ice} \times L_f + m_{ice} \times c_w \times \Delta T$
$Q_{gained} = 200 \times 80 + 200 \times 1 \times (40 - 0) = 16000 + 8000 = 24000 \; cal$
બંનેને સરખાવતા:
$600M = 24000$
$M = 24000 / 600 = 40 \; g$.

(D) ધારો કે પાત્રો $C_{1}, C_{2}$ અને $C_{3}$ માં પાણીનું તાપમાન અનુક્રમે $T_{1}, T_{2}$ અને $T_{3}$ છે.
કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત $(m_{1}T_{1} + m_{2}T_{2} = (m_{1}+m_{2})T_{mix})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1$. પ્રથમ મિશ્રણ માટે: $1T_{1} + 2T_{2} = (1+2)60 = 180$ ---$(i)$
$2$. બીજા મિશ્રણ માટે: $1T_{2} + 2T_{3} = (1+2)30 = 90$ ---(ii)
$3$. ત્રીજા મિશ્રણ માટે: $2T_{1} + 1T_{3} = (2+1)60 = 180$ ---(iii)
સમીકરણો $(i)$,(ii) અને (iii) નો સરવાળો કરતા:
$(1+2)T_{1} + (2+1)T_{2} + (2+1)T_{3} = 180 + 90 + 180$
$3(T_{1} + T_{2} + T_{3}) = 450$
$T_{1} + T_{2} + T_{3} = 150^{\circ} C$
દરેકનું $1 \ l$ લેતા અંતિમ મિશ્રણ માટે:
$1T_{1} + 1T_{2} + 1T_{3} = (1+1+1)\theta$
$150 = 3\theta$
$\theta = 50^{\circ} C$

(C) કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,સ્થિર અવસ્થાએ: એલ્યુમિનિયમ ગોળા દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા + કેલરીમીટર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
એલ્યુમિનિયમ ગોળાનું દળ $(m_1) = 0.047 \; kg$.
એલ્યુમિનિયમ ગોળાનું પ્રારંભિક તાપમાન = $100 \; ^{\circ}C$.
અંતિમ તાપમાન = $23 \; ^{\circ}C$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $(\Delta T_1) = 100 \; ^{\circ}C - 23 \; ^{\circ}C = 77 \; ^{\circ}C$.
એલ્યુમિનિયમ ગોળા દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા $Q_{lost} = m_1 s_{Al} \Delta T_1 = 0.047 \times s_{Al} \times 77$.
પાણીનું દળ $(m_2) = 0.25 \; kg$.
તાંબાના કેલરીમીટરનું દળ $(m_3) = 0.14 \; kg$.
પાણી અને કેલરીમીટરનું પ્રારંભિક તાપમાન = $20 \; ^{\circ}C$.
અંતિમ તાપમાન = $23 \; ^{\circ}C$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $(\Delta T_2) = 23 \; ^{\circ}C - 20 \; ^{\circ}C = 3 \; ^{\circ}C$.
પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(s_w) = 4.18 \times 10^3 \; J \; kg^{-1} K^{-1}$.
તાંબાની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(s_{cu}) = 0.386 \times 10^3 \; J \; kg^{-1} K^{-1}$.
પાણી અને કેલરીમીટર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા $Q_{gained} = (m_2 s_w + m_3 s_{cu}) \Delta T_2$.
$Q_{gained} = (0.25 \times 4.18 \times 10^3 + 0.14 \times 0.386 \times 10^3) \times 3$.
$Q_{gained} = (1045 + 54.04) \times 3 = 1099.04 \times 3 = 3297.12 \; J$.
ગુમાવેલી અને મેળવેલી ઉષ્માને સરખાવતા:
$0.047 \times s_{Al} \times 77 = 3297.12$.
$3.619 \times s_{Al} = 3297.12$.
$s_{Al} = 3297.12 / 3.619 \approx 911.06 \; J \; kg^{-1} K^{-1}$.
$kJ \; kg^{-1} K^{-1}$ માં ફેરવતા,$s_{Al} \approx 0.911 \; kJ \; kg^{-1} K^{-1}$.

(D) પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા $= m_w s_w (\theta_i - \theta_f) = (0.30 \; kg) (4186 \; J \; kg^{-1} \; K^{-1}) (50.0^{\circ} C - 6.7^{\circ} C) = 54376.14 \; J$.
બરફને ઓગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $= m_i L_f = (0.15 \; kg) L_f$.
ઓગળેલા બરફનું તાપમાન $6.7^{\circ} C$ સુધી વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $= m_i s_w (\theta_f - 0^{\circ} C) = (0.15 \; kg) (4186 \; J \; kg^{-1} \; K^{-1}) (6.7^{\circ} C) = 4206.93 \; J$.
કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,ગુમાવેલી ઉષ્મા = મેળવેલી ઉષ્મા:
$54376.14 \; J = (0.15 \; kg) L_f + 4206.93 \; J$.
$(0.15 \; kg) L_f = 54376.14 \; J - 4206.93 \; J = 50169.21 \; J$.
$L_f = \frac{50169.21 \; J}{0.15 \; kg} = 3.3446 \times 10^5 \; J \; kg^{-1} \approx 3.34 \times 10^5 \; J \; kg^{-1}$.

(0.433 J/GK) ધાતુનું દળ,$m = 0.20 \; kg = 200 \; g$.
ધાતુનું પ્રારંભિક તાપમાન,$T_{1} = 150 \; ^{\circ}C$.
ધાતુનું અંતિમ તાપમાન,$T_{2} = 40 \; ^{\circ}C$.
કેલરીમીટરનો પાણીનો તુલ્યાંક,$m' = 0.025 \; kg = 25 \; g$.
પાણીનું કદ,$V = 150 \; cm^{3}$.
પાણીનું દળ,$M = 150 \; g$ (ઘનતા $1 \; g/cm^{3}$ હોવાથી).
ધાતુના તાપમાનમાં ઘટાડો,$\Delta T = 150 - 40 = 110 \; ^{\circ}C$.
પાણી અને કેલરીમીટરના તાપમાનમાં વધારો,$\Delta T' = 40 - 27 = 13 \; ^{\circ}C$.
પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા,$C_{w} = 4.186 \; J \cdot g^{-1} \cdot K^{-1}$.
ધાતુ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = પાણી અને કેલરીમીટર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
$m \cdot C \cdot \Delta T = (M + m') \cdot C_{w} \cdot \Delta T'$.
$200 \cdot C \cdot 110 = (150 + 25) \cdot 4.186 \cdot 13$.
$22000 \cdot C = 175 \cdot 4.186 \cdot 13 = 9523.15$.
$C = 9523.15 / 22000 \approx 0.433 \; J \cdot g^{-1} \cdot K^{-1}$.
જો આસપાસના વાતાવરણમાં ઉષ્માનો વ્યય થાય,તો પાણી/કેલરીમીટર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા એ ધાતુ દ્વારા ગુમાવેલી વાસ્તવિક ઉષ્મા કરતાં ઓછી હશે. તેથી,ગણતરી કરેલ વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C$ એ વાસ્તવિક મૂલ્ય કરતાં ઓછી હશે.

(N/A) કેલરીમેટ્રી એ વિજ્ઞાનની એક શાખા છે જે ઉષ્માના માપન સાથે સંબંધિત છે。
કેલરીમીટર એ એક સાધન છે જેનો ઉપયોગ ભૌતિક અથવા રાસાયણિક પ્રક્રિયામાં સામેલ ઉષ્માના જથ્થાને માપવા માટે થાય છે。
સિદ્ધાંત: કેલરીમેટ્રીનો સિદ્ધાંત ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ પર આધારિત છે। એક અલગ કરેલી સિસ્ટમમાં (જ્યાં આસપાસના વાતાવરણ સાથે કોઈ ઉષ્માનું આદાન-પ્રદાન થતું નથી), ગરમ પદાર્થ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ ઠંડા પદાર્થ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે। ગાણિતિક રીતે, $\text{ગુમાવેલી ઉષ્મા} = \text{મેળવેલી ઉષ્મા}$.
રચના: કેલરીમીટરમાં સામાન્ય રીતે તાંબા અથવા એલ્યુમિનિયમ જેવી સમાન સામગ્રીમાંથી બનેલું ધાતુનું પાત્ર અને સ્ટરર (હલાવવાનું સાધન) હોય છે। આ પાત્રને લાકડાના જેકેટ અથવા બોક્સની અંદર રાખવામાં આવે છે, જે આસપાસના વાતાવરણમાં ઉષ્માનો વ્યય ઘટાડવા માટે ગ્લાસ વૂલ અથવા રૂ જેવી ઉષ્મા-અવાહક સામગ્રીથી ભરેલું હોય છે। બહારનું જેકેટ થર્મલ શીલ્ડ તરીકે કામ કરે છે। પ્રયોગ દરમિયાન તાપમાનમાં થતા ફેરફારોને માપવા માટે મર્ક્યુરી થર્મોમીટર દાખલ કરવા માટે ઢાંકણમાં એક છિદ્ર આપવામાં આવે છે。

(C) પાણીનું દળ $m = 100 \, g$.
જ્યારે $-10 \, ^\circ C$ પર રહેલા સુપરકૂલ્ડ પાણીમાં ખલેલ પહોંચાડવામાં આવે છે,ત્યારે તે $0 \, ^\circ C$ સુધી ગરમ થતાં ઉષ્મા મુક્ત કરે છે. આ ઉષ્માનો ઉપયોગ પાણીના અમુક ભાગને બરફમાં ફેરવવા માટે થાય છે.
$100 \, g$ પાણી દ્વારા $0 \, ^\circ C$ સુધી પહોંચવા માટે મુક્ત થતી ઉષ્મા:
$Q = m \cdot S_W \cdot \Delta T = 100 \times 1 \times (0 - (-10)) = 1000 \, cal$.
ધારો કે $m'$ એ પાણીનું દળ છે જે $0 \, ^\circ C$ પર બરફમાં ફેરવાય છે. પાણી દ્વારા મુક્ત થતી ઉષ્મા થીજી જવાની પ્રક્રિયા દ્વારા શોષાય છે:
$Q = m' \cdot L_{fusion}$.
$1000 = m' \times 80$.
$m' = \frac{1000}{80} = 12.5 \, g$.
અંતિમ અવસ્થા બરફ અને પાણીનું મિશ્રણ હોવાથી,પરિણામી મિશ્રણનું તાપમાન $0 \, ^\circ C$ હશે અને બનેલા બરફનું દળ $12.5 \, g$ હશે.

(B) કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,ગરમ પદાર્થ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = ઠંડા પદાર્થ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
કેલરીમીટર અને પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા:
$Q_{\text{gained}} = (m_{\text{cal}} + m_{\text{water}}) \times c_w \times \Delta T$
$Q_{\text{gained}} = (20 \, g + 180 \, g) \times 1 \, \text{cal} \, g^{-1} {}^{\circ} C^{-1} \times (31^{\circ} C - 25^{\circ} C)$
$Q_{\text{gained}} = 200 \times 6 = 1200 \, \text{cal}$.
$100^{\circ} C$ તાપમાનની વરાળ $31^{\circ} C$ તાપમાનના પાણીમાં રૂપાંતરિત થાય ત્યારે ગુમાવેલી ઉષ્મા:
$Q_{\text{lost}} = m \times L_v + m \times c_w \times \Delta T$
$Q_{\text{lost}} = m \times 540 + m \times 1 \times (100^{\circ} C - 31^{\circ} C)$
$Q_{\text{lost}} = m \times (540 + 69) = 609m$.
મેળવેલી અને ગુમાવેલી ઉષ્માને સરખાવતા:
$1200 = 609m$
$m = \frac{1200}{609} \approx 1.97 \, g$.
આમ,'$m$' નું મૂલ્ય $2 \, g$ ની નજીક છે.

(A) પાણી જ્યારે $25^{\circ} C$ થી $0^{\circ} C$ સુધી ઠંડુ થાય ત્યારે ગુમાવેલી ઉષ્માનો ઉપયોગ બરફને ઓગાળવા માટે થાય છે.
પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા: $Q = m_w s_w \Delta \theta$
$Q = 0.2 \, kg \times 4200 \, J \, kg^{-1} \, K^{-1} \times (25 - 0) \, K = 21000 \, J$
$m_{ice}$ ગ્રામ બરફને ઓગાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q = m_{ice} L_f$
$21000 \, J = m_{ice} \times 3.4 \times 10^{5} \, J \, kg^{-1}$
$m_{ice} = \frac{21000}{3.4 \times 10^{5}} \, kg$
$m_{ice} = 0.06176 \, kg = 61.76 \, g$
નજીકના મૂલ્યને ધ્યાનમાં લેતા,ઓગળતા બરફનો જથ્થો આશરે $61.7 \, g$ છે.

(C) ધારો કે પ્રવાહી $x$,$y$ અને $z$ ની વિશિષ્ટ ઉષ્મા અનુક્રમે $s_1$,$s_2$ અને $s_3$ છે. દળ સમાન હોવાથી $(m_1 = m_2 = m_3 = m)$,કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ: $m s_1 T_1 + m s_2 T_2 = (m s_1 + m s_2) T_f$.
$x$ અને $y$ ના મિશ્રણ માટે: $s_1(10) + s_2(20) = (s_1 + s_2)(16) \implies 10s_1 + 20s_2 = 16s_1 + 16s_2 \implies 4s_2 = 6s_1 \implies s_1 = \frac{2}{3}s_2$.
$y$ અને $z$ ના મિશ્રણ માટે: $s_2(20) + s_3(30) = (s_2 + s_3)(26) \implies 20s_2 + 30s_3 = 26s_2 + 26s_3 \implies 4s_3 = 6s_2 \implies s_3 = \frac{3}{2}s_2$.
$x$ અને $z$ ના મિશ્રણ માટે: $s_1(10) + s_3(30) = (s_1 + s_3)T_f$.
$s_1 = \frac{2}{3}s_2$ અને $s_3 = \frac{3}{2}s_2$ મૂકતા:
$(\frac{2}{3}s_2)(10) + (\frac{3}{2}s_2)(30) = (\frac{2}{3}s_2 + \frac{3}{2}s_2)T_f$.
$\frac{20}{3}s_2 + 45s_2 = (\frac{4+9}{6})s_2 T_f \implies \frac{20+135}{3} = \frac{13}{6}T_f$.
$\frac{155}{3} = \frac{13}{6}T_f \implies T_f = \frac{155 \times 6}{3 \times 13} = \frac{310}{13} \approx 23.84^{\circ}C$.

(C) તાંબાના બ્લોક દ્વારા $500^{\circ} C$ થી $0^{\circ} C$ સુધી ઠંડા થતી વખતે ગુમાવેલી ઉષ્મા $\Delta Q = mc\Delta T$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
તાંબાનું દળ $m = 5.0 \, kg = 5000 \, g$.
તાંબાની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c = 0.39 \, J g^{-1} {}^{\circ} C^{-1}$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 500^{\circ} C - 0^{\circ} C = 500^{\circ} C$.
મુક્ત થતી ઉષ્મા $\Delta Q_1 = 5000 \times 0.39 \times 500 = 975,000 \, J$.
ધારો કે ઓગળતા બરફનું દળ $m_{ice}$ છે. $0^{\circ} C$ તાપમાને બરફને ઓગાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $\Delta Q_2 = m_{ice} \times L_f$,જ્યાં $L_f = 335 \, J g^{-1}$.
કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,ગુમાવેલી ઉષ્મા = મેળવેલી ઉષ્મા: $\Delta Q_1 = \Delta Q_2$.
$975,000 = m_{ice} \times 335$.
$m_{ice} = \frac{975,000}{335} \approx 2910.45 \, g$.
$kg$ માં ફેરવતા,$m_{ice} \approx 2.91 \, kg$.

(A) જ્યારે પાણી $25^{\circ}C$ થી $0^{\circ}C$ સુધી ઠંડું થાય છે ત્યારે ગુમાવેલી ઉષ્મા $Q = mc\Delta T$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$m = 0.3\,kg$,$c = 4200\,J\,kg^{-1}K^{-1}$,અને $\Delta T = 25^{\circ}C$ છે.
$Q = 0.3 \times 4200 \times 25 = 31500\,J$.
આ ઉષ્માનો ઉપયોગ $0^{\circ}C$ તાપમાને રહેલા $x\,g$ (અથવા $m\,kg$) બરફને ઓગાળવા માટે થાય છે.
બરફને ઓગાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = mL_f$ છે,જ્યાં $L_f = 3.5 \times 10^{5}\,J\,kg^{-1}$ છે.
$31500 = m \times 3.5 \times 10^{5}$.
$m = \frac{31500}{3.5 \times 10^{5}} = \frac{31500}{350000} = 0.09\,kg$.
ગ્રામમાં ફેરવતા,$m = 0.09 \times 1000 = 90\,g$.
તેથી,$x = 90$.

(B) ધારો કે મિશ્રણને $25^{\circ} C$ થી $70^{\circ} C$ સુધી ગરમ કરવા માટે $m$ ગ્રામ વરાળનું સંઘનન થાય છે.
વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = મિશ્રણ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = (વરાળની સંઘનન ઉષ્મા) + (સંઘનિત પાણી $100^{\circ} C$ થી $70^{\circ} C$ સુધી ઠંડું પડતા મુક્ત થતી ઉષ્મા).
મિશ્રણ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = (મિશ્રણનું દળ) $\times$ (પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા) $\times$ (તાપમાનમાં ફેરફાર).
$m L + m s_w (100 - 70) = M s_w (70 - 25)$.
અહીં $L/s_w = 540^{\circ} C$,$M = 500 \, g$,અને $\Delta T = 45^{\circ} C$ આપેલ છે.
$m(540 + 30) = 500 \times 45$.
$m = (500 \times 45) / 570 \approx 39.47 \, g$.
વરાળનો પુરવઠા દર = $50 \, g/min = 50/60 \, g/s = 5/6 \, g/s$.
સમય $t_0 = m / \text{દર} = 39.47 / (5/6) \approx 47.36 \, s$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી સૌથી નજીકનું મૂલ્ય $45 \, s$ છે.

(B) પગલું $1$: $-7^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતા $100 \, g$ બરફને $0^{\circ} C$ તાપમાન સુધી લાવવા માટે જરૂરી ઉષ્માની ગણતરી કરો.
$Q_1 = m_{\text{ice}} \cdot c_{\text{ice}} \cdot \Delta T = 100 \cdot 2.2 \cdot (0 - (-7)) = 100 \cdot 2.2 \cdot 7 = 1540 \, J$.
પગલું $2$: $15^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતા $200 \, g$ પાણીને $0^{\circ} C$ સુધી ઠંડુ પાડતા મુક્ત થતી ઉષ્માની ગણતરી કરો.
$Q_2 = m_{\text{water}} \cdot c_{\text{water}} \cdot \Delta T = 200 \cdot 4.2 \cdot (15 - 0) = 200 \cdot 4.2 \cdot 15 = 12600 \, J$.
પગલું $3$: બરફને ઓગાળવા માટે ઉપલબ્ધ ઉષ્મા નક્કી કરો.
ઓગળવા માટે ઉપલબ્ધ ઉષ્મા = $Q_2 - Q_1 = 12600 - 1540 = 11060 \, J$.
પગલું $4$: ઓગળેલા બરફના દળ $(m_{\text{melt}})$ ની ગણતરી કરો.
$m_{\text{melt}} = \frac{\text{ઉપલબ્ધ ઉષ્મા}}{L_f} = \frac{11060}{335} \approx 33.01 \, g$.
પગલું $5$: બાકી રહેલા બરફના દળની ગણતરી કરો.
$m_{\text{remaining}} = 100 - 33.01 = 66.99 \, g \approx 67 \, g$.

(A) ધારો કે મિશ્રણનું અંતિમ તાપમાન $T^{\circ} C$ છે.
$90^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતા $2 \,kg$ પાણી દ્વારા $T^{\circ} C$ તાપમાન સુધી પહોંચવા માટે ગુમાવેલી ઉષ્મા: $Q_{lost} = m_w s_w (90 - T) = 2 \times 4.18 \times (90 - T) = 8.36(90 - T) \,kJ$.
$-20^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતા $1 \,kg$ બરફ દ્વારા $0^{\circ} C$ સુધી પહોંચવા માટે મેળવેલી ઉષ્મા: $Q_1 = m_i s_i (0 - (-20)) = 1 \times 2.09 \times 20 = 41.8 \,kJ$.
$0^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતા $1 \,kg$ બરફ દ્વારા $0^{\circ} C$ તાપમાનના પાણીમાં રૂપાંતરિત થવા માટે મેળવેલી ઉષ્મા: $Q_2 = m_i L_f = 1 \times 334.4 = 334.4 \,kJ$.
પરિણામી $1 \,kg$ પાણી દ્વારા $0^{\circ} C$ થી $T^{\circ} C$ તાપમાન સુધી પહોંચવા માટે મેળવેલી ઉષ્મા: $Q_3 = m_i s_w (T - 0) = 1 \times 4.18 \times T = 4.18T \,kJ$.
કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,$Q_{lost} = Q_1 + Q_2 + Q_3$.
$8.36(90 - T) = 41.8 + 334.4 + 4.18T$.
$752.4 - 8.36T = 376.2 + 4.18T$.
$752.4 - 376.2 = 4.18T + 8.36T$.
$376.2 = 12.54T$.
$T = \frac{376.2}{12.54} = 30^{\circ} C$.

(C) કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,એલ્યુમિનિયમના ટુકડા દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
ધારો કે એલ્યુમિનિયમનું દળ $m_a = 50 \,g = 0.05 \,kg$,તેની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $s_a = 900 \,J \,kg^{-1} K^{-1}$ અને તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T_a = (300^{\circ} C - 160^{\circ} C) = 140^{\circ} C$ છે.
ધારો કે પાણીનું દળ $m_w = 1 \,kg$,તેની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $s_w = 4200 \,J \,kg^{-1} K^{-1}$ અને પાણીના તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T_w = (T - 30^{\circ} C)$ છે.
એલ્યુમિનિયમ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = $m_a s_a \Delta T_a = 0.05 \times 900 \times 140 = 6300 \,J$.
પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = $m_w s_w \Delta T_w = 1 \times 4200 \times (T - 30) = 4200(T - 30)$.
બંનેને સરખાવતા: $6300 = 4200(T - 30)$.
$T - 30 = \frac{6300}{4200} = 1.5$.
$T = 30 + 1.5 = 31.5^{\circ} C$.
આમ,પાણીનું અંતિમ તાપમાન $31.5^{\circ} C$ છે.

(D) ધારો કે $m$ ગ્રામ બરફ ઓગળે છે અને તેનાથી મિશ્રણનું અંતિમ તાપમાન $0^{\circ} C$ થાય છે.
કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = બરફ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
$100 \,g$ પાણી $80^{\circ} C$ થી $0^{\circ} C$ સુધી ઠંડું પડતા ગુમાવેલી ઉષ્મા $Q_{lost} = m_w \cdot s_w \cdot \Delta T = 100 \times 1 \times (80 - 0) = 8000 \,cal$ છે.
$0^{\circ} C$ તાપમાને $m$ ગ્રામ બરફને ઓગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q_{gained} = m \cdot L_f = m \times 80$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $80m = 8000$.
$m$ માટે ઉકેલતા: $m = 100 \,g$.
કુલ બરફનું દળ $150 \,g$ હોવાથી,ન ઓગળેલા બરફનું દળ $150 \,g - 100 \,g = 50 \,g$ થશે.

(B) જ્યારે બે બ્લોકને સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે ગરમ બ્લોક ઉષ્મા ગુમાવે છે અને ઠંડો બ્લોક ઉષ્મા મેળવે છે.
ધારો કે $T_f$ એ અંતિમ સંતુલન તાપમાન છે.
કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,ગરમ બ્લોક દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = ઠંડા બ્લોક દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
$m \int_{T_f}^{80} s(T) dT = m \int_{20}^{T_f} s(T) dT$
જેમ કે વિશિષ્ટ ઉષ્મા $s(T)$ એ તાપમાન સાથે વધતું વિધેય છે,તેથી ગરમ બ્લોકની સરેરાશ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ($T_f$ થી $80^{\circ} C$ ની રેન્જમાં) એ ઠંડા બ્લોકની સરેરાશ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ($20^{\circ} C$ થી $T_f$ ની રેન્જમાં) કરતા વધારે હશે.
ધારો કે $s_{avg, hot}$ એ ગરમ બ્લોકની સરેરાશ વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે અને $s_{avg, cold}$ એ ઠંડા બ્લોકની સરેરાશ વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે. તેથી $s_{avg, hot} > s_{avg, cold}$.
$s_{avg, hot} (80 - T_f) = s_{avg, cold} (T_f - 20)$
$\frac{80 - T_f}{T_f - 20} = \frac{s_{avg, cold}}{s_{avg, hot}} < 1$
$80 - T_f < T_f - 20$
$100 < 2T_f$
$T_f > 50^{\circ} C$
તેથી,અંતિમ તાપમાન $50^{\circ} C$ કરતા વધારે હશે.

(C) ધારો કે જરૂરી વરાળનું દળ $m \, g$ છે.
$100^{\circ} C$ પરની વરાળ $90^{\circ} C$ પરના પાણીમાં રૂપાંતરિત થાય ત્યારે ગુમાવેલી ઉષ્મા:
$1$. ઘનીભવન દરમિયાન મુક્ત થતી ઉષ્મા: $Q_1 = m \times L_v = m \times 540 \, cal/g$ (વરાળ માટે $L_v \approx 540 \, cal/g$ લેતા).
$2$. ઘનીભૂત પાણી $100^{\circ} C$ થી $90^{\circ} C$ સુધી ઠંડું પડે ત્યારે મુક્ત થતી ઉષ્મા: $Q_2 = m \times c_w \times \Delta T = m \times 1 \times (100 - 90) = 10m \, cal$.
કુલ ગુમાવેલી ઉષ્મા $= Q_1 + Q_2 = 540m + 10m = 550m \, cal$.
$100 \, g$ પાણીનું તાપમાન $24^{\circ} C$ થી $90^{\circ} C$ સુધી વધારવા માટે મેળવેલી ઉષ્મા:
$Q_3 = m_{water} \times c_w \times \Delta T = 100 \times 1 \times (90 - 24) = 100 \times 66 = 6600 \, cal$.
કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,ગુમાવેલી ઉષ્મા = મેળવેલી ઉષ્મા:
$550m = 6600$
$m = \frac{6600}{550} = 12 \, g$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$13 \, g$ એ સૌથી નજીકનું મૂલ્ય છે.

(C) આપેલ છે: બરફનું દળ $m_i = 10 \, g$, પ્રારંભિક તાપમાન $T_i = -20^{\circ} C$. પાણીનું દળ $m_w = 10 \, g$, પ્રારંભિક તાપમાન $T_w = 10^{\circ} C$. બરફની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c_i = 0.5 \, cal/g^{\circ} C$, પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c_w = 1.0 \, cal/g^{\circ} C$. ગલનગુપ્ત ઉષ્મા $L_f = 80 \, cal/g$.
પાણી દ્વારા $0^{\circ} C$ તાપમાને પહોંચવા માટે મુક્ત થતી ઉષ્મા: $Q_w = m_w c_w \Delta T = 10 \times 1 \times (10 - 0) = 100 \, cal$.
બરફને $0^{\circ} C$ તાપમાને લાવવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_{i1} = m_i c_i \Delta T = 10 \times 0.5 \times (0 - (-20)) = 100 \, cal$.
પાણી દ્વારા મુક્ત થતી ઉષ્મા $(100 \, cal)$ એ બરફને $0^{\circ} C$ સુધી લાવવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $(100 \, cal)$ જેટલી જ હોવાથી, બરફને ઓગાળવા માટે વધારાની ઉષ્મા ઉપલબ્ધ નથી.
તેથી, સંતુલન સમયે, તંત્ર $0^{\circ} C$ તાપમાને રહેશે જેમાં $10 \, g$ બરફ અને $10 \, g$ પાણી હશે.

(B) કોઈ પદાર્થનો પાણીનો તુલ્યાંક $(W)$ એટલે પાણીનું તે દળ કે જેની ઉષ્માધારિતા તે પદાર્થની ઉષ્માધારિતા જેટલી હોય.
એલ્યુમિનિયમના નમૂનાની ઉષ્માધારિતા $= m \times c = 20 \,g \times 0.2 \,cal \,g^{-1} {}^{\circ}C^{-1} = 4 \,cal \,{}^{\circ}C^{-1}$.
પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $1 \,cal \,g^{-1} {}^{\circ}C^{-1}$ હોવાથી,પાણીનો તુલ્યાંક $W$ નીચે મુજબ મળે:
$W = \frac{\text{ઉષ્માધારિતા}}{\text{પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા}} = \frac{4 \,cal \,{}^{\circ}C^{-1}}{1 \,cal \,g^{-1} {}^{\circ}C^{-1}} = 4 \,g$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) પાણી દ્વારા $0^{\circ} C$ સુધી પહોંચવા માટે મુક્ત થતી ઉષ્મા: $\Delta Q_1 = m_w c_w \Delta T = 500 \times 1 \times (20 - 0) = 10,000 \,cal$.
બરફને $0^{\circ} C$ સુધી પહોંચવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $\Delta Q_2 = m_i c_i \Delta T = 200 \times 0.5 \times (0 - (-20)) = 2000 \,cal$.
બરફને ઓગાળવા માટે બાકી રહેલી ઉષ્મા: $\Delta Q_{rem} = \Delta Q_1 - \Delta Q_2 = 10,000 - 2,000 = 8,000 \,cal$.
ઓગળેલા બરફનું દળ: $m_{melted} = \frac{\Delta Q_{rem}}{L_f} = \frac{8,000}{80} = 100 \,g$.
પાત્રમાં પાણીનું કુલ દળ = પાણીનું પ્રારંભિક દળ + ઓગળેલા બરફનું દળ = $500 + 100 = 600 \,g$.

(C) કેલરીમીટર એ ભૌતિક અથવા રાસાયણિક પ્રક્રિયામાં સામેલ ગરમીના જથ્થાને માપવા માટે વપરાતું સાધન છે.
તે સામાન્ય રીતે ધાતુ,મોટે ભાગે તાંબા (copper) માંથી બનાવવામાં આવે છે,કારણ કે ધાતુઓમાં ઉષ્મીય વાહકતા વધુ હોય છે,જે કેલરીમીટરની અંદરના પદાર્થો અને કેલરીમીટર વચ્ચે ઝડપી ઉષ્મીય સંતુલન સ્થાપિત કરવામાં મદદ કરે છે.
વધુમાં,ધાતુઓની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા (specific heat capacity) ઓછી હોય છે,જે માપન પ્રક્રિયા દરમિયાન કેલરીમીટર દ્વારા શોષાયેલી ગરમીને ઘટાડે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે સંઘનિત થતી વરાળનું દળ $x \,g$ છે.
પાણીનું પ્રારંભિક તાપમાન $288 \,K = 15^{\circ} C$ છે.
પાણીનું અંતિમ તાપમાન $15^{\circ} C + 6.5^{\circ} C = 21.5^{\circ} C$ છે.
$100^{\circ} C$ પર વરાળના સંઘનન અને $21.5^{\circ} C$ સુધી ઠંડી પડતી વખતે મુક્ત થતી ઉષ્મા:
$Q_{\text{released}} = m_s L_v + m_s c_w \Delta T_s$
$Q_{\text{released}} = x \times 540 + x \times 1 \times (100 - 21.5) = 540x + 78.5x = 618.5x \,cal$.
પાણી અને કેલરીમીટર દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા:
$Q_{\text{absorbed}} = (m_w c_w + W) \Delta T_w$
$Q_{\text{absorbed}} = (1100 \times 1 + 20) \times 6.5 = 1120 \times 6.5 = 7280 \,cal$.
કેલરીમીટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,$Q_{\text{released}} = Q_{\text{absorbed}}$:
$618.5x = 7280$
$x = \frac{7280}{618.5} \approx 11.77 \,g$.
આપેલા વિકલ્પ મુજબ,$x = 11.7 \,g$.

(C) પાણીનું તાપમાન વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા ઊર્જા $Q = m \cdot s \cdot \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$m = 2\,kg$,$s = 4200\,J\,kg^{-1}K^{-1}$,અને $\Delta T = 60^{\circ}C - 10^{\circ}C = 50^{\circ}C$ છે.
$Q = 2 \times 4200 \times 50 = 420,000\,J$.
હીટર દ્વારા આપવામાં આવતો અસરકારક પાવર $P_{eff} = \eta \times P = 0.70 \times 2000\,W = 1400\,W$ છે.
જરૂરી સમય $\Delta t = \frac{Q}{P_{eff}} = \frac{420,000}{1400} = 300\,s$ છે.

(B) કુલ ઉષ્મા $Q = 420 \ J$ બે પ્રક્રિયાઓ માટે વપરાય છે:
$1$. સમગ્ર દળ $m$ (ગ્રામમાં) નું તાપમાન $-5^{\circ}C$ થી $0^{\circ}C$ સુધી વધારવા માટે.
$2$. $0^{\circ}C$ તાપમાને $1 \ g$ બરફને પીગળવા માટે.
આપેલ છે:
દળ $m$ ગ્રામમાં $= m \times 10^{-3} \ kg$.
બરફની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c = 2100 \ J \ kg^{-1} \ ^{\circ}C^{-1}$.
ગલનગુપ્ત ઉષ્મા $L = 3.36 \times 10^5 \ J \ kg^{-1}$.
તાપમાન વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_1 = m \times 10^{-3} \times 2100 \times (0 - (-5)) = m \times 2.1 \times 5 = 10.5m \ J$.
$1 \ g$ બરફ પીગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_2 = 1 \times 10^{-3} \times 3.36 \times 10^5 = 336 \ J$.
કુલ ઉષ્મા $Q = Q_1 + Q_2 = 420 \ J$.
$10.5m + 336 = 420$.
$10.5m = 420 - 336 = 84$.
$m = 84 / 10.5 = 8$.
તેથી,$m$ નું મૂલ્ય $8 \ g$ છે.

(A) કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,ગરમ પ્રવાહી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ ઠંડા પ્રવાહી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે.
ધારો કે મિશ્રણનું અંતિમ સંતુલન તાપમાન $T_f$ છે.
પ્રથમ પ્રવાહી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા: $Q_{loss} = (2m) \cdot C \cdot (4T - T_f)$
બીજા પ્રવાહી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા: $Q_{gain} = m \cdot (2C) \cdot (T_f - T)$
બંનેને સરખાવતા: $(2m) \cdot C \cdot (4T - T_f) = m \cdot (2C) \cdot (T_f - T)$
બંને બાજુ $2mC$ વડે ભાગતા: $4T - T_f = T_f - T$
$4T + T = T_f + T_f$
$5T = 2T_f$
$T_f = \frac{5}{2} T$

(C) કેલરીમીટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,ગુમાવેલી ઉષ્મા = મેળવેલી ઉષ્મા.
ધારો કે તાંબાની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $S$ છે.
તાંબા દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = $m_{Cu} \cdot S \cdot \Delta T_{Cu} = 0.250 \ kg \cdot S \cdot (500^{\circ} C - 60^{\circ} C) = 0.250 \cdot S \cdot 440 = 110S$.
પાણી અને કેલરીમીટર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = $(m_{water} + w) \cdot S_{water} \cdot \Delta T_{water}$,જ્યાં $w$ એ પાણીનો તુલ્યાંક છે.
મેળવેલી ઉષ્મા = $(0.200 \ kg + 0.050 \ kg) \cdot 4200 \ J/kg^{\circ} C \cdot (60^{\circ} C - 20^{\circ} C) = 0.250 \cdot 4200 \cdot 40 = 42000 \ J$.
બંનેને સરખાવતા: $110S = 42000$.
$S = 42000 / 110 \approx 381.8 \ J/kg^{\circ} C$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$S \approx 380 \ J/kg^{\circ} C$.

(C) કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,ગરમ પ્રવાહી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = ઠંડા પ્રવાહી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
$m_A s_A (T_A - T_f) = m_B s_B (T_f - T_B)$
આપેલ ગુણોત્તર: $\frac{m_A}{m_B} = \frac{2}{3}$ અને $\frac{s_A}{s_B} = \frac{3}{4}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times (75 - T_f) = (T_f - 15)$
$\frac{1}{2} \times (75 - T_f) = T_f - 15$
$75 - T_f = 2(T_f - 15)$
$75 - T_f = 2T_f - 30$
$3T_f = 105$
$T_f = 35^{\circ} C$.

(C) $100^{\circ} C$ તાપમાને પાણીમાં રૂપાંતરિત થવા માટે $4 \text{ g}$ વરાળ દ્વારા મુક્ત થતી ઉષ્મા $Q_1 = m_s L = 4 \times 540 = 2160 \text{ cal}$ છે.
$20 \text{ g}$ પાણીનું તાપમાન $46^{\circ} C$ થી $100^{\circ} C$ સુધી વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q_2 = m_w c \Delta T = 20 \times 1 \times (100 - 46) = 20 \times 54 = 1080 \text{ cal}$ છે.
અહીં $Q_1 > Q_2$ હોવાથી, બધી વરાળ પાણીમાં રૂપાંતરિત થશે નહીં.
પાણીમાં રૂપાંતરિત થયેલ વરાળનું દળ $m' = \frac{Q_2}{L} = \frac{1080}{540} = 2 \text{ g}$ છે.
પાત્રમાં પાણીનું અંતિમ દળ = પાણીનું પ્રારંભિક દળ + સંઘનિત વરાળનું દળ = $20 \text{ g} + 2 \text{ g} = 22 \text{ g}$.

(C) કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,ગરમ પ્રવાહી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ ઠંડા પ્રવાહી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે.
ધારો કે દરેક પ્રવાહીનું દળ $m$ છે અને બીજા પ્રવાહીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $X$ છે.
પ્રથમ પ્રવાહી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = $m \times 0.8 \times (60 - 53)$
બીજા પ્રવાહી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = $m \times X \times (53 - 45)$
બંનેને સરખાવતા:
$m \times 0.8 \times 7 = m \times X \times 8$
$5.6 = 8X$
$X = \frac{5.6}{8} = 0.7 \ cal / g^{\circ} C$

(A) કેલરીમીટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,ગરમ પદાર્થ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = ઠંડા પદાર્થ અને કેલરીમીટર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
ધારો કે કેલરીમીટરનું પાણીનું તુલ્યમાન $w$ છે.
$30^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતા $0.4 \ kg$ પાણી દ્વારા $27^{\circ} C$ સુધી ઠંડુ થતી વખતે ગુમાવેલી ઉષ્મા:
$Q_{lost} = m_1 c \Delta T_1 = 0.4 \times 1 \times (30 - 27) = 0.4 \times 3 = 1.2 \ kcal$ (પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c = 1 \ kcal/kg^{\circ}C$ લેતા)
$25^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતા $0.15 \ kg$ પાણી દ્વારા $27^{\circ} C$ સુધી ગરમ થતી વખતે મેળવેલી ઉષ્મા:
$Q_{gained, water} = m_2 c \Delta T_2 = 0.15 \times 1 \times (27 - 25) = 0.15 \times 2 = 0.3 \ kcal$
કેલરીમીટર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા:
$Q_{gained, cal} = w \times c \times \Delta T_2 = w \times 1 \times (27 - 25) = 2w$
ગુમાવેલી ઉષ્મા અને મેળવેલી ઉષ્માને સરખાવતા:
$1.2 = 0.3 + 2w$
$0.9 = 2w$
$w = 0.45 \ kg$

(C) $\text{કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,ગરમ પદાર્થ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ ઠંડા પદાર્થ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે.}$
$\text{ધાતુ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.}$
$m_{\text{metal}} \times s_{\text{metal}} \times \Delta T_{\text{metal}} = m_{\text{water}} \times s_{\text{water}} \times \Delta T_{\text{water}}$
$\text{આપેલ છે: } m_{\text{metal}} = 100 \,g,T_{\text{initial, metal}} = 80^{\circ} C,T_{\text{final}} = 15.69^{\circ} C,m_{\text{water}} = 1000 \,g,T_{\text{initial, water}} = 15^{\circ} C,s_{\text{water}} = 4.18 \,J/g^{\circ} C.$
$\text{કિંમતો મૂકતા:}$
$100 \times s_{\text{metal}} \times (80 - 15.69) = 1000 \times 4.18 \times (15.69 - 15)$
$100 \times s_{\text{metal}} \times 64.31 = 1000 \times 4.18 \times 0.69$
$6431 \times s_{\text{metal}} = 2884.2$
$s_{\text{metal}} = \frac{2884.2}{6431} \approx 0.4485 \,J/g^{\circ} C \approx 0.45 \,J/g^{\circ} C.$

(B) ધારો કે મિશ્રણનું અંતિમ તાપમાન $T$ છે.
બરફ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા.
બરફ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = (બરફને ઓગળવા માટેની ઉષ્મા) + (ઓગળેલા બરફનું તાપમાન $0^{\circ}C$ થી $T$ સુધી વધારવા માટેની ઉષ્મા).
$Q_{gain} = m_i L_f + m_i S_w (T - 0)$
$Q_{gain} = (0.1 \text{ kg} \times 3.36 \times 10^5 \text{ J/kg}) + (0.1 \text{ kg} \times 4.2 \times 10^3 \text{ J/kg K} \times T)$
$Q_{gain} = 33600 + 420 T$
પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = $m_w S_w (100 - T)$
$Q_{lost} = 0.1 \text{ kg} \times 4.2 \times 10^3 \text{ J/kg K} \times (100 - T)$
$Q_{lost} = 420 (100 - T) = 42000 - 420 T$
મેળવેલી અને ગુમાવેલી ઉષ્માને સરખાવતા:
$33600 + 420 T = 42000 - 420 T$
$840 T = 8400$
$T = 10^{\circ}C$.

(A) ધારો કે મિશ્રણનું અંતિમ તાપમાન $t$ છે।
$80^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતા પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા $= m_1 s \Delta t_1 = (V_1 \rho) s (80^{\circ} - t)$.
$60^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતા પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા $= m_2 s \Delta t_2 = (V_2 \rho) s (t - 60^{\circ})$.
કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,ગુમાવેલી ઉષ્મા = મેળવેલી ઉષ્મા।
અહીં ઘનતા $\rho$ અને વિશિષ્ટ ઉષ્મા $s$ બંને માટે સમાન હોવાથી:
$V_1 (80^{\circ} - t) = V_2 (t - 60^{\circ})$.
કિંમતો મૂકતા:
$0.1 (80 - t) = 0.3 (t - 60)$.
$8 - 0.1t = 0.3t - 18$.
$26 = 0.4t$.
$t = \frac{26}{0.4} = 65^{\circ} C$.

(B) મશીનનો પાવર $P = 10 \,kW = 10,000 \,W$.
સમય $t = 3 \,minutes = 3 \times 60 = 180 \,s$.
ઉત્પન્ન થતી કુલ ઉર્જા $E = P \times t = 10,000 \times 180 = 1,800,000 \,J$.
બ્લોક દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા $Q = E \text{ ના } 50 \% = 0.5 \times 1,800,000 = 900,000 \,J$.
સૂત્ર $Q = mc\Delta T$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $m = 25 \,kg$ અને $c = 900 \,J \,kg^{-1} \,K^{-1}$:
$900,000 = 25 \times 900 \times \Delta T$.
$900,000 = 22,500 \times \Delta T$.
$\Delta T = \frac{900,000}{22,500} = 40^{\circ} C$.
આમ, તાપમાનમાં થતો વધારો $40^{\circ} C$ છે।

(A) ધારો કે $m$ એ પાણીમાં રૂપાંતરિત થયેલી વરાળનું દળ છે.
વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = (ઘનીભવન દરમિયાન મુક્ત થતી ઉષ્મા) + (ઘનીભૂત પાણી $100^{\circ} C$ થી $70^{\circ} C$ સુધી ઠંડું પડતા મુક્ત થતી ઉષ્મા)
$Q_{lost} = m \times L + m \times c \times \Delta T$
$Q_{lost} = m \times 540 + m \times 1 \times (100 - 70) = 540m + 30m = 570m$
પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = $m_{water} \times c \times \Delta T$
$Q_{gained} = 114 \times 1 \times (70 - 30) = 114 \times 40 = 4560 \ cal$
ગુમાવેલી અને મેળવેલી ઉષ્માને સરખાવતા: $570m = 4560$
$m = 4560 / 570 = 8 \ g$
મિશ્રણમાં પાણીનું કુલ દળ = (પાણીનું પ્રારંભિક દળ) + (ઘનીભૂત વરાળનું દળ)
કુલ દળ = $114 \ g + 8 \ g = 122 \ g$.

(D) કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ બરફ દ્વારા ઓગળવા માટે મેળવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે.
પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા $(Q_{lost})$ = $m \cdot s \cdot \Delta T = m \cdot s \cdot \theta$.
બરફ દ્વારા ઓગળવા માટે મેળવેલી ઉષ્મા $(Q_{gained})$ = $m_{melted} \cdot L$.
બંનેને સરખાવતા: $m \cdot s \cdot \theta = m_{melted} \cdot L$.
તેથી,ઓગળેલા બરફનું દળ $(m_{melted})$ = $\frac{ms \theta}{L}$.

(B) ધારો કે ઉમેરવામાં આવેલી વરાળનું દળ $m_s$ છે.
કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા બે ભાગમાં વહેંચાયેલી છે:
$1$. $100^{\circ} C$ તાપમાને વરાળનું $100^{\circ} C$ તાપમાને પાણીમાં રૂપાંતર થતી વખતે મુક્ત થતી ઉષ્મા: $Q_1 = m_s \times L = m_s \times 540$.
$2$. ઠંડી પડેલી વરાળ (પાણી) $100^{\circ} C$ થી $90^{\circ} C$ સુધી ઠંડી પડે ત્યારે મુક્ત થતી ઉષ્મા: $Q_2 = m_s \times c \times \Delta T = m_s \times 1 \times (100 - 90) = 10 m_s$.
કુલ ગુમાવેલી ઉષ્મા = $540 m_s + 10 m_s = 550 m_s$.
$100 \ g$ પાણી દ્વારા $24^{\circ} C$ થી $90^{\circ} C$ સુધી તાપમાન વધારવા માટે મેળવેલી ઉષ્મા:
$Q_{gain} = m_w \times c \times \Delta T = 100 \times 1 \times (90 - 24) = 100 \times 66 = 6600 \ cal$.
ગુમાવેલી અને મેળવેલી ઉષ્માને સરખાવતા: $550 m_s = 6600$.
$m_s = 6600 / 550 = 12 \ g$.

(C) કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,ધાતુના ગોળા દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા એ પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે.
ધારો કે $m_1 = 100 \ g$ એ ધાતુનું દળ છે,$s_1$ તેની વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે અને $T_1 = 20^{\circ} C$ તેનું પ્રારંભિક તાપમાન છે.
ધારો કે $m_2 = 200 \ g$ (પાણીની ઘનતા $1 \ g/ml$ હોવાથી) એ પાણીનું દળ છે,$s_2$ તેની વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે અને $T_2 = 80^{\circ} C$ તેનું પ્રારંભિક તાપમાન છે.
અંતિમ સંતુલન તાપમાન $T = 70^{\circ} C$ છે.
ધાતુ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = $m_1 s_1 (T - T_1) = 100 \times s_1 \times (70 - 20) = 5000 s_1$.
પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = $m_2 s_2 (T_2 - T) = 200 \times s_2 \times (80 - 70) = 2000 s_2$.
બંનેને સરખાવતા: $5000 s_1 = 2000 s_2$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{s_1}{s_2} = \frac{2000}{5000} = \frac{2}{5}$ થાય.

(B) કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = બરફ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
ધારો કે પાણીનું દળ $m$ ગ્રામ છે.
પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા $= m \times c_w \times (T_i - T_f) = m \times 1 \times (30 - 6) = 24m \text{ cal}$.
બરફ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા ત્રણ ભાગમાં વહેંચાયેલી છે:
$1$. બરફને $-20^{\circ} C$ થી $0^{\circ} C$ સુધી ગરમ કરવા માટે: $Q_1 = 5 \times 0.5 \times 20 = 50 \text{ cal}$.
$2$. $0^{\circ} C$ પર બરફને ઓગાળવા માટે: $Q_2 = 5 \times 80 = 400 \text{ cal}$.
$3$. ઓગળેલા પાણીને $0^{\circ} C$ થી $6^{\circ} C$ સુધી ગરમ કરવા માટે: $Q_3 = 5 \times 1 \times 6 = 30 \text{ cal}$.
કુલ મેળવેલી ઉષ્મા $= 50 + 400 + 30 = 480 \text{ cal}$.
ગુમાવેલી અને મેળવેલી ઉષ્માને સરખાવતા: $24m = 480$.
$m = 480 / 24 = 20 \text{ g}$.

(B) પગલું $1$: $-10^{\circ} C$ થી $0^{\circ} C$ સુધી બરફને લાવવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_1 = m_i c_i \Delta T = 50 \times 0.5 \times 10 = 250 \,cal$.
પગલું $2$: $0^{\circ} C$ પર $50 \,g$ બરફને ઓગાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_2 = m_i L_f = 50 \times 80 = 4000 \,cal$.
બરફને $0^{\circ} C$ પર પાણીમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે કુલ જરૂરી ઉષ્મા $Q_{total} = 250 + 4000 = 4250 \,cal$.
પગલું $3$: $30^{\circ} C$ થી $0^{\circ} C$ સુધી ઠંડા થતા $200 \,g$ પાણી દ્વારા મુક્ત થતી ઉષ્મા: $Q_{release} = m_w c_w \Delta T = 200 \times 1 \times 30 = 6000 \,cal$.
અહીં $Q_{release} > Q_{total}$ હોવાથી,બરફ સંપૂર્ણપણે ઓગળી જશે અને અંતિમ તાપમાન $T_f$ એ $0^{\circ} C$ થી વધુ હશે.
પગલું $4$: કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ: પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = બરફ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
$200 \times 1 \times (30 - T_f) = 4250 + 50 \times 1 \times (T_f - 0)$.
$6000 - 200 T_f = 4250 + 50 T_f$.
$1750 = 250 T_f$.
$T_f = 7^{\circ} C$.

(D) આપેલ છે: બરફનું દળ $m_{\text{ice}} = 5 \ g$,પ્રારંભિક તાપમાન $T_{\text{ice}} = -30^{\circ} C$. પાણીનું દળ $m_w = 20 \ g$,પ્રારંભિક તાપમાન $T_w = 35^{\circ} C$.
બરફની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $s_{\text{ice}} = 0.5 \ cal \ g^{-1} {}^{\circ} C^{-1}$,પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $s_w = 1 \ cal \ g^{-1} {}^{\circ} C^{-1}$,ગલનગુપ્ત ઉષ્મા $L_f = 80 \ cal \ g^{-1}$.
બરફને $-30^{\circ} C$ થી $0^{\circ} C$ સુધી ગરમ કરવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_1 = m_{\text{ice}} s_{\text{ice}} \Delta T = 5 \times 0.5 \times 30 = 75 \ cal$.
$0^{\circ} C$ પર બરફને ઓગાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_2 = m_{\text{ice}} L_f = 5 \times 80 = 400 \ cal$.
બરફને $-30^{\circ} C$ થી $0^{\circ} C$ ના પાણીમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે કુલ જરૂરી ઉષ્મા $Q_{\text{total}} = 75 + 400 = 475 \ cal$.
પાણી દ્વારા $35^{\circ} C$ થી $0^{\circ} C$ સુધી ઠંડા થતા મુક્ત થતી ઉષ્મા: $Q_{\text{avail}} = m_w s_w \Delta T = 20 \times 1 \times 35 = 700 \ cal$.
અહીં $Q_{\text{avail}} > Q_{\text{total}}$ હોવાથી,અંતિમ તાપમાન $T$ એ $0^{\circ} C$ થી વધારે હશે.
કેલરીમીટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = બરફ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા:
$m_w s_w (35 - T) = Q_{\text{total}} + m_{\text{ice}} s_w (T - 0)$
$20 \times 1 \times (35 - T) = 475 + 5 \times 1 \times T$
$700 - 20T = 475 + 5T$
$225 = 25T$
$T = 9^{\circ} C$.

(C) આપેલ છે: ધાતુના બ્લોકનું દળ,$m = 3.3 \ kg = 3300 \ g$.
તાપમાનમાં ફેરફાર,$\Delta T = 400^{\circ} C$.
ધાતુની વિશિષ્ટ ઉષ્મા,$s_m = 0.4 \ J \ g^{-1} \ K^{-1}$.
બરફની ગલનગુપ્ત ઉષ્મા,$L_f = 330 \ J \ g^{-1}$.
ધાતુના બ્લોક દ્વારા મુક્ત થતી ઉષ્મા $Q = m \cdot s_m \cdot \Delta T$ છે.
$Q = 3300 \ g \times 0.4 \ J \ g^{-1} \ K^{-1} \times 400 \ K = 528,000 \ J$.
ધારો કે $m'$ એ ઓગળેલા બરફનું દળ છે. બરફને ઓગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = m' \cdot L_f$ છે.
$m' = \frac{Q}{L_f} = \frac{528,000 \ J}{330 \ J \ g^{-1}} = 1600 \ g$.
તેથી,$m' = 1.6 \ kg$.

(B) ધારો કે કેલરીમીટરનો પાણીનો તુલ્યાંક $W$ ($kg$ માં) છે.
કેલરીમીટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ, ગરમ પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ ઠંડા પાણી અને કેલરીમીટર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્માના સરવાળા જેટલી હોય છે.
ગરમ પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = $m_2 c (T_2 - T_f)$
ઠંડા પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = $m_1 c (T_f - T_1)$
કેલરીમીટર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = $W c (T_f - T_1)$
અહીં, $m_1 = 0.5 \,kg$, $T_1 = 30^{\circ} C$, $m_2 = 0.3 \,kg$, $T_2 = 60^{\circ} C$, અને $T_f = 40^{\circ} C$ છે.
પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $c$ બધા પદોમાં સામાન્ય હોવાથી તે ઉડી જશે:
$m_2 (T_2 - T_f) = (m_1 + W) (T_f - T_1)$
$0.3 (60 - 40) = (0.5 + W) (40 - 30)$
$0.3 \times 20 = (0.5 + W) \times 10$
$6 = 5 + 10W$
$1 = 10W$
$W = 0.1 \,kg$.

(B) ધારો કે મિશ્રણનું અંતિમ સંતુલિત તાપમાન $T^{\circ} C$ છે.
કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,ઠંડા પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા એ ગરમ પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે.
$10^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતા $50 \ g$ પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા: $H_{\text{gain}} = m c \Delta T = 50 \cdot c \cdot (T - 10)$.
$100^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતા $50 \ g$ પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા: $H_{\text{loss}} = m c \Delta T = 50 \cdot c \cdot (100 - T)$.
બંનેને સરખાવતા: $50 \cdot c \cdot (T - 10) = 50 \cdot c \cdot (100 - T)$.
બંને બાજુ $50 \cdot c$ વડે ભાગતા: $T - 10 = 100 - T$.
$2T = 110$.
$T = 55^{\circ} C$.

(C) વરાળનું દળ,$m_s = 1 \text{ kg} = 1000 \text{ g} = 10^3 \text{ g}$.
વરાળનું પ્રારંભિક તાપમાન,$T_i = 150^{\circ} \text{C}$.
વરાળનું અંતિમ તાપમાન (પાણી તરીકે),$T_f = 90^{\circ} \text{C}$.
વરાળની ગુપ્ત ઉષ્મા,$L_v = 540 \text{ cal g}^{-1}$.
વરાળની વિશિષ્ટ ઉષ્મા,$c_s = 1 \text{ cal g}^{-1} {}^{\circ} \text{C}^{-1}$.
પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા,$c_w = 1 \text{ cal g}^{-1} {}^{\circ} \text{C}^{-1}$.
વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા $(Q_{lost})$ માં વરાળનું $150^{\circ} \text{C}$ થી $100^{\circ} \text{C}$ સુધી ઠંડુ થવું,$100^{\circ} \text{C}$ પર તેનું સંઘનન અને ત્યારબાદ પાણીનું $100^{\circ} \text{C}$ થી $90^{\circ} \text{C}$ સુધી ઠંડુ થવાનો સમાવેશ થાય છે.
$Q_{lost} = m_s c_s (150-100) + m_s L_v + m_s c_w (100-90)$
$Q_{lost} = 1000 \times 1 \times 50 + 1000 \times 540 + 1000 \times 1 \times 10$
$Q_{lost} = 50,000 + 540,000 + 10,000 = 600,000 \text{ cal} = 60 \times 10^4 \text{ cal}$.
$20 \text{ L}$ પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા $(Q_{gained})$: $m_w = 20 \text{ kg} = 20,000 \text{ g}$.
$Q_{gained} = m_w c_w \Delta T = 20,000 \times 1 \times \Delta T = 20,000 \Delta T$.
કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,$Q_{lost} = Q_{gained}$.
$600,000 = 20,000 \Delta T$.
$\Delta T = \frac{600,000}{20,000} = 30^{\circ} \text{C}$.