Principle of Calorimetry and Water Equivalent Questions in Gujarati

(C) ગીઝર દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવતી પાવર $P$ નો ઉપયોગ તેમાંથી વહેતા પાણીને ગરમ કરવા માટે થાય છે.
ઉષ્મા સ્થાનાંતરણ માટેનું સૂત્ર $P = \frac{dm}{dt} c \Delta T$ છે, જ્યાં $\frac{dm}{dt}$ એ દળનો પ્રવાહ દર છે, $c$ એ પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે, અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
આપેલ છે: પાવર $P = 2100 \, W$, દળનો પ્રવાહ દર $\frac{dm}{dt} = 20 \, g/s = 0.02 \, kg/s$, પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $c = 4200 \, J/(kg \cdot ^{\circ}C)$, અને ઇનલેટ તાપમાન $T_{in} = 10^{\circ}C$.
કિંમતો મૂકતા: $2100 = 0.02 \times 4200 \times (T_{out} - 10)$.
$2100 = 84 \times (T_{out} - 10)$.
$T_{out} - 10 = \frac{2100}{84} = 25$.
$T_{out} = 25 + 10 = 35^{\circ}C$.

(A) ધારો કે ફ્લાસ્કનો પાણીનો તુલ્યાંક $W$ ગ્રામ છે અને બરફની ગલનગુપ્ત ઉષ્મા $L$ $cal/g$ છે.
પગલું $1$: પાણી અને ફ્લાસ્ક દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = બરફ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
$(200 + W)(70 - 40) = 50L + 50(40 - 0)$
$30(200 + W) = 50L + 2000$
$6000 + 30W = 50L + 2000 \implies 5L - 3W = 400$ ---$(1)$
પગલું $2$: બીજા ઉમેરણ માટે,પાણીનું કુલ દળ $(200 + 50 + 80) = 330\,g$ છે.
$(200 + 50 + W)(40 - 10) = 80L + 80(10 - 0)$
$30(250 + W) = 80L + 800$
$7500 + 30W = 80L + 800 \implies 8L - 3W = 670$ ---$(2)$
પગલું $3$: સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$3L = 270 \implies L = 90\,cal/g$.
પગલું $4$: $J/kg$ માં રૂપાંતર:
$L = 90 \times 4.184 \times 10^3\,J/kg \approx 3.8 \times 10^5\,J/kg$.

(B) ધારો કે $M$ એ સુપરકૂલ કરેલા પાણીનું કુલ દળ છે.
ધારો કે $m$ એ બરફમાં રૂપાંતરિત થયેલા પાણીનું દળ છે.
પાણીના બરફમાં રૂપાંતર થવાથી મુક્ત થતી ઉષ્મા $Q_{released} = m \times L_f$ છે,જ્યાં $L_f = 80 \ cal/g$.
આ ઉષ્મા બાકીના પાણી દ્વારા તેના તાપમાનને $-15^{\circ} C$ થી $0^{\circ} C$ સુધી વધારવા માટે શોષાય છે.
શોષાયેલી ઉષ્મા $Q_{absorbed} = M \times c_w \times \Delta T$ છે,જ્યાં $c_w = 1 \ cal/g^{\circ} C$ અને $\Delta T = 15^{\circ} C$.
ફ્લાસ્ક થર્મલી ઇન્સ્યુલેટેડ હોવાથી,$Q_{released} = Q_{absorbed}$.
$80m = M \times 1 \times 15$.
ગણતરી મુજબ,$80m = m \times 0.5 \times 15 + (M-m) \times 1 \times 15$ લેતા,
$80m = 7.5m + 15M - 15m \implies 87.5m = 15M \implies m/M = 15/87.5 = 6/35$.

(A) ધારો કે સંઘનિત થતી વરાળનું દળ $m \, kg$ છે.
વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = પાણી અને કેલરીમીટર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = $m L_v + m c_w (T_{steam} - T_{final})$,જ્યાં $L_v = 2260 \, kJ/kg$ અને $c_w = 4.18 \, kJ/kg \cdot ^oC$.
ગુમાવેલી ઉષ્મા = $m(2260) + m(4.18)(100 - 80) = m(2260 + 83.6) = 2343.6 m$.
પાણી અને કેલરીમીટર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = $(m_{water} + m_{eq}) c_w (T_{final} - T_{initial})$.
મેળવેલી ઉષ્મા = $(1.1 + 0.02) \times 4.18 \times (80 - 15) = 1.12 \times 4.18 \times 65 = 304.304 \, kJ$.
ગુમાવેલી અને મેળવેલી ઉષ્માને સરખાવતા: $2343.6 m = 304.304$.
$m = 304.304 / 2343.6 \approx 0.1298 \, kg \approx 0.130 \, kg$.

(B) કેલરીમીટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,તાંબાના ગોળા દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ તાંબાના કેલરીમીટર અને પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે.
ધારો કે તાંબાના ગોળાનું દળ $m_b = 100 \ gm$,કેલરીમીટરનું દળ $m_c = 100 \ gm$ અને પાણીનું દળ $m_w = 170 \ gm$ છે.
તાંબાની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $s_{Cu} = 0.1 \ cal/gm ^\circ C$ અને પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $s_w = 1 \ cal/gm ^\circ C$ છે.
ગોળાનું પ્રારંભિક તાપમાન $T$ છે અને અંતિમ સંતુલન તાપમાન $T_f = 75 ^\circ C$ છે. કેલરીમીટર અને પાણીનું પ્રારંભિક તાપમાન $T_0 = 30 ^\circ C$ છે.
ગોળા દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા $= m_b s_{Cu} (T - T_f) = 100 \times 0.1 \times (T - 75) = 10(T - 75)$.
કેલરીમીટર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા $= m_c s_{Cu} (T_f - T_0) = 100 \times 0.1 \times (75 - 30) = 10 \times 45 = 450 \ cal$.
પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા $= m_w s_w (T_f - T_0) = 170 \times 1 \times (75 - 30) = 170 \times 45 = 7650 \ cal$.
ગુમાવેલી અને મેળવેલી ઉષ્માને સરખાવતા:
$10(T - 75) = 450 + 7650$
$10T - 750 = 8100$
$10T = 8850$
$T = 885 ^\circ C$.

(B) ગરમી દૂર કરવાનો દર $Q/t = 6.7 \times 10^9 \ J/min$ છે.
આને $J/s$ માં ફેરવવા માટે,આપણે $60$ વડે ભાગાકાર કરીએ છીએ: $\frac{dQ}{dt} = \frac{6.7 \times 10^9}{60} \ J/s$.
ઉષ્મા સ્થાનાંતરણનું સૂત્ર $\frac{dQ}{dt} = \frac{dm}{dt} \times S \times \Delta T$ છે,જ્યાં $\frac{dm}{dt}$ એ પાણીના પ્રવાહનો દર છે.
અહીં $S = 4200 \ J/kg \ ^oC$ અને $\Delta T = 14.0 \ ^oC - 6.0 \ ^oC = 8.0 \ ^oC$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{6.7 \times 10^9}{60} = \frac{dm}{dt} \times 4200 \times 8$.
પાણીના પ્રવાહના દર માટે ગોઠવતા: $\frac{dm}{dt} = \frac{6.7 \times 10^9}{4200 \times 8 \times 60} \ kg \ s^{-1}$.

(B) ધારો કે આલ્કોહોલ અને પાણી બંનેનું દળ $m$ છે. ધારો કે $S_A$ અને $S_W$ એ અનુક્રમે આલ્કોહોલ અને પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે. આપણને આપેલ છે કે $S_A \approx 0.5 S_W$,જેનો અર્થ છે કે $S_W > S_A$.
જ્યારે મિશ્ર કરવામાં આવે છે,ત્યારે ગરમ પદાર્થ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ ઠંડા પદાર્થ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે: $m S_A (T_f - T_A) = m S_W (T_W - T_f)$ (ધારી લઈએ કે $T_W > T_A$).
સાદું રૂપ આપતા,$S_A T_f - S_A T_A = S_W T_W - S_W T_f$.
$T_f (S_A + S_W) = S_W T_W + S_A T_A$.
$T_f = \frac{S_W T_W + S_A T_A}{S_W + S_A}$.
ચૂકી $S_W > S_A$ છે,તેથી અંતિમ તાપમાન $T_f$ એ વધુ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધરાવતા પદાર્થ એટલે કે પાણીના તાપમાન $(T_W)$ ની વધુ નજીક હશે.

(B) કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,ગરમ પદાર્થો દ્વારા ગુમાવેલી કુલ ઉષ્મા એ ઠંડા પદાર્થો દ્વારા મેળવેલી કુલ ઉષ્મા જેટલી હોય છે,એમ ધારીને કે આસપાસના વાતાવરણમાં કોઈ ઉષ્માનો વ્યય થતો નથી.
બધા બ્લોક્સ તાંબાના બનેલા હોવાથી,તેમની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $s$ સમાન છે.
ઉષ્મા વિનિમયનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$M_1 s(T_1 - T) + M_2 s(T_2 - T) + M_3 s(T_3 - T) = 0$
$s$ વડે ભાગતા ($s \neq 0$ હોવાથી):
$M_1(T_1 - T) + M_2(T_2 - T) + M_3(T_3 - T) = 0$
$M_1 T_1 - M_1 T + M_2 T_2 - M_2 T + M_3 T_3 - M_3 T = 0$
$M_1 T_1 + M_2 T_2 + M_3 T_3 = T(M_1 + M_2 + M_3)$
$T = \frac{M_1 T_1 + M_2 T_2 + M_3 T_3}{M_1 + M_2 + M_3}$

(A) સંતુલન સમયે,બંને પદાર્થોના તાપમાન સમાન હોય છે,ધારો કે તે $T$ છે.
સિસ્ટમ અલગ હોવાથી,કુલ ઉષ્મા વિનિમય શૂન્ય છે.
$A$ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = $B$ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા
$m_A c_A (T - T_A) = m_B c_B (T_B - T)$
આપેલ છે કે $m_A = m_B = 1.0 \ kg$,$T_A = 0^{\circ}C$,$T_B = 100^{\circ}C$,અને $c_A < c_B$.
$c_A (T - 0) = c_B (100 - T)$
$c_A T = 100 c_B - c_B T$
$T(c_A + c_B) = 100 c_B$
$T = \frac{100 c_B}{c_A + c_B}$
કારણ કે $c_A < c_B$,તેથી $c_A + c_B < 2c_B$.
તેથી,$\frac{100 c_B}{c_A + c_B} > \frac{100 c_B}{2 c_B} = 50^{\circ}C$.
આમ,અંતિમ સંતુલન તાપમાન $T_A = T_B > 50^{\circ}C$ છે.

(A) ધારો કે વરાળનું દળ $m$ ગ્રામ છે. પાણીની ઘનતા $1 \text{ g/cm}^3$ છે,તેથી $6 \text{ litre} = 6000 \text{ g}$.
પાણી દ્વારા $40^{\circ}C$ સુધી પહોંચવા માટે મેળવેલી ઉષ્મા: $Q_1 = m_w c_w \Delta T_w = 6000 \times 1 \times (40 - 20) = 120,000 \text{ cal}$.
$100^{\circ}C$ તાપમાનની વરાળ દ્વારા $40^{\circ}C$ તાપમાનના પાણીમાં રૂપાંતરિત થતી વખતે ગુમાવેલી ઉષ્મા: $Q_2 = m L_v + m c_w \Delta T_s = m \times 540 + m \times 1 \times (100 - 40) = 540m + 60m = 600m$.
મેળવેલી ઉષ્મા અને ગુમાવેલી ઉષ્માને સરખાવતા: $120,000 = 600m$.
$m$ માટે ઉકેલતા: $m = \frac{120,000}{600} = 200 \text{ g}$.

(B) બે પદાર્થો કે જેમના દળ $m_1, m_2$,વિશિષ્ટ ઉષ્મા $S_1, S_2$ અને પ્રારંભિક તાપમાન $T_1, T_2$ છે,તેમના મિશ્રણનું અંતિમ સંતુલન તાપમાન $T$ નીચે મુજબ છે:
$T = \frac{m_1 S_1 T_1 + m_2 S_2 T_2}{m_1 S_1 + m_2 S_2}$
આપેલ છે કે દળ સમાન છે $(m_A = m_W = m)$:
$T = \frac{m S_A T_A + m S_W T_W}{m S_A + m S_W} = \frac{S_A T_A + S_W T_W}{S_A + S_W}$
આપેલ છે કે આલ્કોહોલની વિશિષ્ટ ઉષ્મા પાણી કરતા અડધી છે $(S_A = \frac{1}{2} S_W)$:
$T = \frac{(\frac{1}{2} S_W) T_A + S_W T_W}{\frac{1}{2} S_W + S_W} = \frac{\frac{1}{2} T_A + T_W}{\frac{3}{2}} = \frac{T_A + 2 T_W}{3}$
$T = \frac{1}{3} T_A + \frac{2}{3} T_W$
અંતિમ સમીકરણમાં $T_W$ નું વજન $T_A$ કરતા બમણું હોવાથી,અંતિમ તાપમાન $T$ એ $T_A$ કરતા $T_W$ ની વધુ નજીક હશે.

(C) $100^{\circ}C$ તાપમાન ધરાવતી $x \text{ ગ્રામ}$ વરાળનું $100^{\circ}C$ તાપમાન ધરાવતા પાણીમાં રૂપાંતર થાય ત્યારે મુક્ત થતી ઉષ્મા $H_1 = m L_v = x \times 540 \text{ cal}$ છે.
$0^{\circ}C$ તાપમાન ધરાવતા $y \text{ ગ્રામ}$ બરફનું $100^{\circ}C$ તાપમાન ધરાવતા પાણીમાં રૂપાંતર કરવા માટે શોષાયેલી ઉષ્મા બે ભાગમાં વહેંચાયેલી છે: બરફનું પીગળવું અને મળેલા પાણીનું ગરમ થવું.
$H_2 = m L_f + m c \Delta T = y \times 80 + y \times 1 \times (100 - 0) = 80y + 100y = 180y \text{ cal}$.
કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,ગુમાવેલી ઉષ્મા = મેળવેલી ઉષ્મા:
$H_1 = H_2$
$540x = 180y$
ગુણોત્તર $y/x$ શોધવા માટે:
$\frac{y}{x} = \frac{540}{180} = 3$.

(A) $80 \ ^\circ C$ તાપમાને રહેલા પાણી દ્વારા $0 \ ^\circ C$ સુધી પહોંચવા માટે ગુમાવેલી ઉષ્મા $Q_{lost} = m_w c_w \Delta T = 540 \times 1 \times (80 - 0) = 43200 \ cal$ છે.
$0 \ ^\circ C$ તાપમાને રહેલા $540 \ g$ બરફને ઓગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q_{req} = m_i L_f = 540 \times 80 = 43200 \ cal$ છે.
અહીં પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ બરફને ઓગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા જેટલી જ હોવાથી,બધો જ બરફ $0 \ ^\circ C$ તાપમાને ઓગળી જશે અને મિશ્રણનું અંતિમ તાપમાન $0 \ ^\circ C$ રહેશે.

(C) ધારો કે ધાતુનું દળ $m_m = 5 \ kg = 5000 \ g$,તેનું પ્રારંભિક તાપમાન $T_m = -50 \ ^\circ C$ અને તેની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c_m$ છે.
ધારો કે પાણીનું દળ $m_w = 20 \ kg = 20000 \ g$,તેનું પ્રારંભિક તાપમાન $T_w = 52 \ ^\circ C$ અને પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c_w = 1 \ Cal/g \ ^\circ C$ છે.
અંતિમ સંતુલન તાપમાન $T_f = 52 \ ^\circ C - 2 \ ^\circ C = 50 \ ^\circ C$ છે.
કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = ધાતુ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
$m_w c_w (T_w - T_f) = m_m c_m (T_f - T_m)$
$20000 \times 1 \times (52 - 50) = 5000 \times c_m \times (50 - (-50))$
$20000 \times 2 = 5000 \times c_m \times 100$
$40000 = 500000 \times c_m$
$c_m = \frac{40000}{500000} = \frac{4}{50} = 0.08 \ Cal/g \ ^\circ C$.

(C) કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,તાંબાના બ્લોક દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ બરફ દ્વારા ઓગળવા માટે મેળવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે.
તાંબા દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા $(Q_{lost})$ = $m_{Cu} \cdot c_{Cu} \cdot \Delta T$
$Q_{lost} = 2\, kg \times 400\, J/kg/ ^\circ C \times (500^\circ C - 0^\circ C) = 400,000\, J$
બરફ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા $(Q_{gained})$ = $m_{ice} \cdot L_f$
$Q_{gained} = m \times 3.5 \times 10^5\, J/kg$
બંનેને સરખાવતા: $m \times 3.5 \times 10^5 = 400,000$
$m = \frac{400,000}{350,000} = \frac{40}{35} = \frac{8}{7}\, kg$
આમ,ઓગળતા બરફનું પ્રમાણ $8/7\, kg$ છે.

(A) ધારો કે વરાળનું $m$ જેટલું દળ પાણીમાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ગુમાવેલી ઉષ્મા = મેળવેલી ઉષ્મા.
વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = (અવસ્થા બદલાતી વખતે મુક્ત થતી ઉષ્મા) + (ઘનીભૂત પાણી $100\,^{\circ}C$ થી $90\,^{\circ}C$ સુધી ઠંડુ થતી વખતે મુક્ત થતી ઉષ્મા).
ગુમાવેલી ઉષ્મા = $m \times L_v + m \times c_w \times \Delta T_1 = m \times 540 + m \times 1 \times (100 - 90) = 540m + 10m = 550m$.
પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = $m_{water} \times c_w \times \Delta T_2 = 22 \times 1 \times (90 - 20) = 22 \times 70 = 1540\,cal$.
ગુમાવેલી ઉષ્મા અને મેળવેલી ઉષ્માને સરખાવતા: $550m = 1540$.
$m = \frac{1540}{550} = 2.8\,g$.
પાણીનું કુલ દળ = (પાણીનું પ્રારંભિક દળ) + (ઘનીભૂત વરાળનું દળ) = $22\,g + 2.8\,g = 24.8\,g$.

(A) કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,ધાતુ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા $=$ પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
ધારો કે $m_1 = 2\,kg$ એ ધાતુનું દળ છે અને $s_1$ તેની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે.
ધારો કે $m_2 = 1\,kg$ એ પાણીનું દળ છે અને $s_2$ તેની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે.
આપેલ છે કે $s_1 = \frac{1}{2} s_2$.
ધારો કે $\theta$ એ મિશ્રણનું અંતિમ સંતુલિત તાપમાન છે.
ધાતુ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા $= m_1 s_1 (100 - \theta) = 2 \times (\frac{s_2}{2}) \times (100 - \theta) = s_2 (100 - \theta)$.
પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા $= m_2 s_2 (\theta - 0) = 1 \times s_2 \times \theta = s_2 \theta$.
બંનેને સરખાવતા: $s_2 (100 - \theta) = s_2 \theta$.
$100 - \theta = \theta$.
$2\theta = 100$.
$\theta = 50\,^{\circ}C$.

(D) બરફને સંપૂર્ણપણે ઓગાળવા માટે,પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ બરફ દ્વારા $0 \, ^oC$ તાપમાને ઘનમાંથી પ્રવાહી અવસ્થામાં રૂપાંતરિત થવા માટે મેળવેલી ઉષ્મા જેટલી હોવી જોઈએ.
$10 \, g$ બરફને ઓગાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_{gain} = m_{ice} \cdot L_f = 10 \, g \times 80 \, cal/g = 800 \, cal$.
$m \, g$ પાણી દ્વારા $50 \, ^oC$ થી $0 \, ^oC$ સુધી ઠંડુ થતી વખતે ગુમાવેલી ઉષ્મા: $Q_{lost} = m \cdot S_W \cdot \Delta T = m \times 1 \, cal/g \cdot ^oC \times (50 \, ^oC - 0 \, ^oC) = 50m \, cal$.
મેળવેલી અને ગુમાવેલી ઉષ્માને સરખાવતા: $800 = 50m$.
$m$ માટે ઉકેલતા: $m = \frac{800}{50} = 16 \, g$.

(D) ધારો કે અંતિમ સંતુલન તાપમાન $\theta$ છે.
કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,ઠંડી સિસ્ટમ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = ગરમ પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા.
પાત્ર અને શરૂઆતના પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા: $(m_{vessel} \cdot c + m_{water1} \cdot c) \cdot (\theta - T_{initial}) = (10 + 110) \cdot 1 \cdot (\theta - 10) = 120(\theta - 10)$.
ઉમેરેલા ગરમ પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા: $m_{water2} \cdot c \cdot (T_{hot} - \theta) = 220 \cdot 1 \cdot (70 - \theta) = 220(70 - \theta)$.
બંનેને સરખાવતા: $120(\theta - 10) = 220(70 - \theta)$.
$20$ વડે ભાગતા: $6(\theta - 10) = 11(70 - \theta)$.
$6\theta - 60 = 770 - 11\theta$.
$17\theta = 830$.
$\theta = \frac{830}{17} \approx 48.82^{\circ}C$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,અંતિમ તાપમાન આશરે $49^{\circ}C$ થશે.

(A) ધારો કે ટાંકી $A$ માંથી લીધેલ પાણીનું દળ $x$ kg છે.
તેથી, ટાંકી $B$ માંથી લીધેલ પાણીનું દળ $(40-x)$ kg થશે.
કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ, ઠંડા પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = ગરમ પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા.
$m_A s (T_f - T_A) = m_B s (T_B - T_f)$
જ્યાં $m_A = x$, $m_B = (40-x)$, $T_A = 30,^{\circ}C$, $T_B = 80,^{\circ}C$, અને $T_f = 50,^{\circ}C$.
વિશિષ્ટ ઉષ્મા $s$ બંને માટે સમાન હોવાથી તે ઉડી જશે:
$x(50 - 30) = (40 - x)(80 - 50)$
$20x = 30(40 - x)$
$20x = 1200 - 30x$
$50x = 1200$
$x = 24$ kg.
આમ, ટાંકી $A$ માંથી લીધેલ દળ = $24$ kg અને ટાંકી $B$ માંથી લીધેલ દળ = $40 - 24 = 16$ kg.

(A) કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,ગરમ પદાર્થ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = ઠંડા પદાર્થ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
ધારો કે અંતિમ તાપમાન $\theta$ છે.
બરફને $0\,^{\circ}C$ પર ઓગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q_1 = m_i L_f = 5 \times 80 = 400\,cal$ છે.
ઓગળેલા બરફને $\theta$ તાપમાન સુધી પહોંચવા માટે મેળવેલી ઉષ્મા $Q_2 = m_i c_w (\theta - 0) = 5 \times 1 \times \theta = 5\theta$ છે.
પાણી દ્વારા $\theta$ તાપમાન સુધી પહોંચવા માટે ગુમાવેલી ઉષ્મા $Q_3 = m_w c_w (40 - \theta) = 20 \times 1 \times (40 - \theta) = 800 - 20\theta$ છે.
મેળવેલી ઉષ્મા અને ગુમાવેલી ઉષ્માને સરખાવતા: $400 + 5\theta = 800 - 20\theta$.
$25\theta = 400$.
$\theta = \frac{400}{25} = 16\,^{\circ}C$.

(B) કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,ગરમ પ્રવાહી દ્વારા ગુમાવેલી કુલ ઉષ્મા એ ઠંડા પ્રવાહી દ્વારા મેળવેલી કુલ ઉષ્મા જેટલી હોય છે.
ધારો કે મિશ્રણનું અંતિમ સંતુલિત તાપમાન $T$ છે.
કોઈપણ પદાર્થ દ્વારા મેળવેલી કે ગુમાવેલી ઉષ્મા $Q = mc\Delta T$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મિશ્રણ માટે,કુલ ઉષ્માનો ફેરફાર શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$m_1 c_1 (T - T_1) + m_2 c_2 (T - T_2) + m_3 c_3 (T - T_3) = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$m_1 c_1 T - m_1 c_1 T_1 + m_2 c_2 T - m_2 c_2 T_2 + m_3 c_3 T - m_3 c_3 T_3 = 0$
$T$ વાળા પદોને સાથે લેતા:
$T(m_1 c_1 + m_2 c_2 + m_3 c_3) = m_1 c_1 T_1 + m_2 c_2 T_2 + m_3 c_3 T_3$
$T$ માટે ઉકેલતા:
$T = \frac{m_1 c_1 T_1 + m_2 c_2 T_2 + m_3 c_3 T_3}{m_1 c_1 + m_2 c_2 + m_3 c_3}$

(D) કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,એલ્યુમિનિયમના ગોળા દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ પાણી અને કેલરીમીટર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે.
એલ્યુમિનિયમ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા: $Q_{lost} = m_{Al} \cdot S_{Al} \cdot \Delta T_{Al} = 0.20 \cdot S_{Al} \cdot (150 - 40) = 0.20 \cdot S_{Al} \cdot 110 = 22 \cdot S_{Al}$.
પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા: $Q_{water} = m_{water} \cdot c_{water} \cdot \Delta T_{water} = 0.150 \cdot 4200 \cdot (40 - 27) = 0.150 \cdot 4200 \cdot 13 = 8190\, J$.
કેલરીમીટર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા: $Q_{cal} = W \cdot c_{water} \cdot \Delta T_{cal} = 0.025 \cdot 4200 \cdot (40 - 27) = 0.025 \cdot 4200 \cdot 13 = 1365\, J$.
ઉષ્માને સરખાવતા: $22 \cdot S_{Al} = 8190 + 1365 = 9555$.
$S_{Al} = \frac{9555}{22} \approx 434.31\, J/kg\cdot ^\circ C$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં,એલ્યુમિનિયમની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $434\, J/kg\cdot ^\circ C$ છે.

(A) આપેલ છે:
પાણીનું કદ $V = 2\, L$,તેથી દળ $m = 2\, kg$ (કારણ કે પાણીની ઘનતા $1\, kg/L$ છે).
કોઈલનો પાવર $P_{in} = 1000\, J/s$.
ઉષ્મા વ્યયનો દર $P_{out} = 160\, J/s$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 77\, ^\circ C - 27\, ^\circ C = 50\, ^\circ C$.
પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $c = 4.2\, kJ/kg\cdot K = 4200\, J/kg\cdot K$.
પાણીને મળતો ચોખ્ખો પાવર $P_{net} = P_{in} - P_{out} = 1000\, J/s - 160\, J/s = 840\, J/s$.
જરૂરી કુલ ઉષ્મા $Q = m \cdot c \cdot \Delta T = 2\, kg \times 4200\, J/kg\cdot K \times 50\, K = 420,000\, J$.
જરૂરી સમય $t = \frac{Q}{P_{net}} = \frac{420,000\, J}{840\, J/s} = 500\, s$.
મિનિટમાં રૂપાંતર: $500\, s = 8\, min\, 20\, s$.

(B) કેલરીમીટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ, $\text{ગુમાવેલી }\, \text{ઉષ્મા } = \text{મેળવેલી }\, \text{ઉષ્મા}$.
ધારો કે ધાતુની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $S$ છે。
ધાતુનું દળ $m_m = 0.192 \, kg$, પ્રારંભિક તાપમાન $T_m = 100 \, ^oC$, અંતિમ તાપમાન $T_f = 21.5 \, ^oC$.
કેલરીમીટરનું દળ $m_c = 0.128 \, kg$, વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c_c = 394 \, J \, kg^{-1} \, K^{-1}$, પ્રારંભિક તાપમાન $T_i = 8.4 \, ^oC$.
પાણીનું દળ $m_w = 0.240 \, kg$, વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c_w = 4186 \, J \, kg^{-1} \, K^{-1}$.
$0.192 \times S \times (100 - 21.5) = (0.128 \times 394 + 0.240 \times 4186) \times (21.5 - 8.4)$
$0.192 \times S \times 78.5 = (50.432 + 1004.64) \times 13.1$
$15.072 \times S = 13821.4432$
$S \approx 917 \, J \, kg^{-1} \, K^{-1}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ, સાચો જવાબ $920 \, J \, kg^{-1} \, K^{-1}$ છે।

(D) ધારો કે ઉમેરવામાં આવેલા બરફનું દળ $m$ ગ્રામ છે.
પાણી દ્વારા $0\,^{\circ}C$ તાપમાન સુધી પહોંચવા માટે ગુમાવેલી ઉષ્મા: $Q_{lost} = m_w c_w \Delta T = 50 \times 4.2 \times (40 - 0) = 8400\,J.$
બરફ દ્વારા $0\,^{\circ}C$ તાપમાન સુધી પહોંચવા માટે મેળવેલી ઉષ્મા: $Q_{gain,1} = m c_{ice} \Delta T = m \times 2.1 \times (0 - (-20)) = 42m\,J.$
બરફના ઓગળેલા ભાગ દ્વારા $0\,^{\circ}C$ તાપમાને અવસ્થા બદલવા માટે મેળવેલી ઉષ્મા: $Q_{gain,2} = (m - 20) \times 334\,J.$
કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,$Q_{lost} = Q_{gain,1} + Q_{gain,2}.$
$8400 = 42m + 334(m - 20).$
$8400 = 42m + 334m - 6680.$
$8400 + 6680 = 376m.$
$15080 = 376m.$
$m = 15080 / 376 \approx 40.1\,g.$
આમ,ઉમેરવામાં આવેલા બરફનું પ્રમાણ આશરે $40\,g$ છે.

(D) ધારો કે અંતિમ સંતુલન તાપમાન $T$ છે।
કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ, ધાતુના ગોળા દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = પાણી અને પાત્ર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા।
$m_{metal} c_{metal} (T_{initial, metal} - T) = (m_{water} c_{water} + C_{vessel}) (T - T_{initial, water})$
$0.1 \times 400 \times (500 - T) = (0.5 \times 4200 + 800) \times (T - 30)$
$40(500 - T) = (2100 + 800) \times (T - 30)$
$20000 - 40T = 2900(T - 30)$
$20000 - 40T = 2900T - 87000$
$107000 = 2940T$
$T = \frac{107000}{2940} \approx 36.39 \, ^\circ C$
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 36.39 - 30 = 6.39 \, ^\circ C$.
ટકાવારી વધારો = $\frac{\Delta T}{T_{initial}} \times 100 = \frac{6.39}{30} \times 100 \approx 21.3 \%$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $20 \%$ છે।

(C) કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,પ્રવાહી $A$ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = પ્રવાહી $B$ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
$m_A S_A (T_{A,initial} - T_{mix}) = m_B S_B (T_{mix} - T_{B,initial})$
$100 \times S_A \times (100 - 90) = 50 \times S_B \times (90 - 75)$
$1000 S_A = 750 S_B$
$S_A = 0.75 S_B = \frac{3}{4} S_B$
હવે,બીજા કિસ્સા માટે,ધારો કે અંતિમ તાપમાન $T$ છે:
$100 \times S_A \times (100 - T) = 50 \times S_B \times (T - 50)$
$S_A = \frac{3}{4} S_B$ મૂકતા:
$100 \times (\frac{3}{4} S_B) \times (100 - T) = 50 \times S_B \times (T - 50)$
$75 (100 - T) = 50 (T - 50)$
$3 (100 - T) = 2 (T - 50)$
$300 - 3T = 2T - 100$
$5T = 400$
$T = 80\,^oC$

(D) જ્યારે દોલનો બંધ થાય છે ત્યારે સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા ઉષ્મા ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $E = \frac{1}{2} k x^2$.
અહીં $k = 800\, N/m$ અને $x = 2\, cm = 0.02\, m$ આપેલ છે.
$E = \frac{1}{2} \times 800 \times (0.02)^2 = 400 \times 0.0004 = 0.16\, J$.
આ ઉર્જા દળ અને પાણી દ્વારા શોષાય છે: $E = (m_1 s_1 + m_2 s_2) \Delta T$.
અહીં $m_1 = 0.5\, kg$,$s_1 = 400\, J/kg\, K$,$m_2 = 1\, kg$,$s_2 = 4184\, J/kg\, K$.
$0.16 = (0.5 \times 400 + 1 \times 4184) \Delta T$.
$0.16 = (200 + 4184) \Delta T = 4384 \Delta T$.
$\Delta T = \frac{0.16}{4384} \approx 3.65 \times 10^{-5}\, K$.
તેથી,તાપમાનના ફેરફારનો ક્રમ $10^{-5}\, K$ છે.

(A) કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,$Heat\,lost = Heat\,gained$ (ગુમાવેલી ઉષ્મા = મેળવેલી ઉષ્મા).
$50\,^{\circ}C$ થી $0\,^{\circ}C$ સુધી ઠંડા થતા $M_2$ ગ્રામ પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા $Q_{lost} = M_2 \times c_w \times \Delta T = M_2 \times 1 \times (50 - 0) = 50M_2$ છે.
$-10\,^{\circ}C$ થી $0\,^{\circ}C$ સુધી ગરમ થતા અને ત્યારબાદ $0\,^{\circ}C$ પર પીગળતા $M_1$ ગ્રામ બરફ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા $Q_{gained} = M_1 \times c_{ice} \times \Delta T + M_1 \times L_f = M_1 \times 0.5 \times 10 + M_1 \times L_f = 5M_1 + M_1 L_f$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $50M_2 = 5M_1 + M_1 L_f$.
$L_f$ માટે સમીકરણ ગોઠવતા: $M_1 L_f = 50M_2 - 5M_1$.
તેથી,$L_f = \frac{50M_2}{M_1} - 5$.

(A) ધારો કે અંતિમ સંતુલન તાપમાન $T \, ^{\circ}C$ છે.
ઉકળતા પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = પિત્તળના પાત્ર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
$100 \, ^{\circ}C$ થી $T \, ^{\circ}C$ સુધી ઠંડા થતા $20 \, g$ પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા $Q_{lost} = m_w c_w \Delta T_w = 20 \times 1 \times (100 - T)$ છે.
$0 \, ^{\circ}C$ થી $T \, ^{\circ}C$ સુધી ગરમ થતા $100 \, g$ પિત્તળના પાત્ર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા $Q_{gained} = m_b c_b \Delta T_b = 100 \times 0.1 \times (T - 0)$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $20(100 - T) = 10(T)$.
$2000 - 20T = 10T$.
$2000 = 30T$.
$T = \frac{2000}{30} = 66.66 \, ^{\circ}C$.

(C) ધારો કે બરફની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $S_{ice} = s$ છે અને પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $S_{w} = 2s$ છે.
$10\,^{\circ}C$ તાપમાન ધરાવતા $10\,g$ પાણી દ્વારા $0\,^{\circ}C$ સુધી પહોંચવા માટે ગુમાવેલી ઉષ્મા:
$Q_{loss} = m_w S_w \Delta T = 10 \times (2s) \times (10 - 0) = 200s$.
$-20\,^{\circ}C$ તાપમાન ધરાવતા $10\,g$ બરફ દ્વારા $0\,^{\circ}C$ સુધી પહોંચવા માટે મેળવેલી ઉષ્મા:
$Q_{gain} = m_{ice} S_{ice} \Delta T = 10 \times s \times (0 - (-20)) = 200s$.
અહીં $Q_{loss} = Q_{gain}$ હોવાથી,પાણી દ્વારા મુક્ત થયેલી ઉષ્મા બરફને $0\,^{\circ}C$ સુધી લાવવા માટે પૂરતી છે અને પાણી પોતે પણ $0\,^{\circ}C$ પર પહોંચે છે. વધારાની ઉષ્મા ન હોવાથી કોઈ અવસ્થા પરિવર્તન (પીગળવું કે થીજી જવું) થશે નહીં.
તેથી,સંતુલન સમયે,તંત્રમાં $10\,g$ બરફ અને $10\,g$ પાણી $0\,^{\circ}C$ તાપમાને હશે.

(A) આપેલ છે:
પાણીનું કદ $V = 2\, L$,તેથી દળ $m = 2\, kg$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_i = 27\, ^oC$,અંતિમ તાપમાન $T_f = 77\, ^oC$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 77 - 27 = 50\, ^oC$.
હીટરનો પાવર $P = 1000\, W$.
ઉષ્મા વ્યયનો દર $L = 160\, J/s$.
પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $S = 4200\, J/(kg \cdot K)$.
ઉર્જા સંતુલન સમીકરણ:
$P \cdot t = L \cdot t + m \cdot S \cdot \Delta T$
$1000 \cdot t = 160 \cdot t + (2)(4200)(50)$
$840 \cdot t = 420000$
$t = \frac{420000}{840} = 500\, s$
મિનિટમાં રૂપાંતર કરતા: $500\, s = 8\, min\ 20\, s$.

(B) $60\,g$ બરફને ઓગાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = mL$ દ્વારા મળે છે.
$Q = 60\,g \times 80\,cal/g = 4800\,cal$.
આ ઉર્જાને જૂલમાં ફેરવવા માટે,આપણે રૂપાંતરણ અવયવ $1\,cal = 4.2\,J$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$Q = 4800 \times 4.2\,J = 20160\,J$.
લાગતો સમય $1\,minute = 60\,seconds$ છે.
પાવર $P = \frac{Q}{t} = \frac{20160\,J}{60\,s} = 336\,W$.

(B) ધારો કે કેલરીમીટરની ઉષ્માધારિતા $C$ છે ($J/K$ માં). પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા $s = 4200\, J/(kg\cdot K)$ છે.
ગરમ પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા:
$Q_{lost} = m_{hot} \cdot s \cdot (T_{initial} - T_{final}) = 0.1 \times 4200 \times (60 - 35) = 0.1 \times 4200 \times 25 = 10500\, J$.
ઠંડા પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા:
$Q_{cold} = m_{cold} \cdot s \cdot (T_{final} - T_{initial}) = 0.2 \times 4200 \times (35 - 30) = 0.2 \times 4200 \times 5 = 4200\, J$.
કેલરીમીટર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા:
$Q_{cal} = C \cdot (T_{final} - T_{initial}) = C \times (35 - 30) = 5C$.
કેલરીમીટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,ગુમાવેલી ઉષ્મા = મેળવેલી ઉષ્મા:
$10500 = 4200 + 5C$
$5C = 10500 - 4200$
$5C = 6300$
$C = 1260\, J/K$.

(C) ધારો કે જરૂરી ગરમ પાણીનું દળ $x\, kg$ છે.
કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,ગરમ પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = ઠંડા પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
$m_{hot} c (T_{hot} - T_{final}) = m_{cold} c (T_{final} - T_{cold})$
અહીં,$m_{hot} = x$,$T_{hot} = 100\,^{\circ}C$,$T_{final} = 35\,^{\circ}C$,$T_{cold} = 10\,^{\circ}C$,અને $m_{cold} = (20 - x)$.
$x \cdot c \cdot (100 - 35) = (20 - x) \cdot c \cdot (35 - 10)$
$65x = (20 - x) \cdot 25$
$65x = 500 - 25x$
$90x = 500$
$x = \frac{500}{9} \approx 5.55\, kg$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $5.6\, kg$ છે.

(B) કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,ગરમ પદાર્થ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા $=$ ઠંડા પદાર્થ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
લોખંડના ગોળા દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા $= m_{iron} \cdot s_{iron} \cdot \Delta T$
આપેલ છે: $m_{iron} = 0.2\,kg = 200\,g$,$\Delta T = (100\,^{\circ}C - 0\,^{\circ}C) = 100\,^{\circ}C$.
બરફ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા $= m_{ice} \cdot L_f$
આપેલ છે: $m_{ice} = 25\,g$,$L_f = 80\,cal/g$.
બંનેને સરખાવતા: $200 \cdot s_{iron} \cdot 100 = 25 \cdot 80$
$20000 \cdot s_{iron} = 2000$
$s_{iron} = \frac{2000}{20000} = 0.1\,cal/g\,^{\circ}C$.

(B) ધારો કે અંતિમ સંતુલિત તાપમાન $\theta$ છે.
કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,ગરમ પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા $=$ ઠંડા પાણી અને બીકર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
ગરમ પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા $= m_h c (T_h - \theta) = 440 \times c \times (92 - \theta)$.
ઠંડા પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા $= m_c c (\theta - T_c) = 200 \times c \times (\theta - 20)$.
બીકર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા $= m_b c (\theta - T_c) = 20 \times c \times (\theta - 20)$.
ગુમાવેલી ઉષ્મા અને મેળવેલી ઉષ્માને સરખાવતા:
$440(92 - \theta) = 200(\theta - 20) + 20(\theta - 20)$.
$440(92 - \theta) = 220(\theta - 20)$.
બંને બાજુ $220$ વડે ભાગતા:
$2(92 - \theta) = \theta - 20$.
$184 - 2\theta = \theta - 20$.
$3\theta = 204$.
$\theta = 68^{\circ}C$.

(B) કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = ઘન ગોળા દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = $m \times S_w \times \Delta T_w = 200 \times S_w \times (80 - 60) = 200 \times S_w \times 20$.
ઘન પદાર્થ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = $m \times S_s \times \Delta T_s = 200 \times S_s \times (60 - 20) = 200 \times S_s \times 40$.
બંનેને સરખાવતા: $200 \times S_w \times 20 = 200 \times S_s \times 40$.
$20 \times S_w = 40 \times S_s$.
$S_s = \frac{20}{40} \times S_w = 0.5 \times S_w$.
તેથી,ઘન પદાર્થની વિશિષ્ટ ઉષ્મા પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા કરતા અડધી છે.

(D) કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ બરફ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે.
પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = $mc\Delta\theta = mc\theta$ (કારણ કે પાણીનું અંતિમ તાપમાન $0^oC$ થશે કારણ કે તે બરફ સાથે તાપીય સંતુલનમાં આવે છે).
બરફ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = $m'L$,જ્યાં $m'$ એ ઓગળેલા બરફનું દળ છે.
બંનેને સરખાવતા: $mc\theta = m'L$.
તેથી,ઓગળેલા બરફનું દળ $m' = \frac{mc\theta}{L}$ છે.

(A) ધારો કે મિશ્રણનું અંતિમ તાપમાન $T \, ^oC$ છે.
કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,ગરમ પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ ઠંડા પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે.
ગરમ પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = ઠંડા પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા
દળ $m = \text{ઘનતા} (\rho) \times \text{કદ} (V)$. પાણીની ઘનતા અચળ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$V_1 \times \rho \times s \times (T_1 - T) = V_2 \times \rho \times s \times (T - T_2)$
જ્યાં $V_1 = 0.1 \, m^3$,$T_1 = 80 \, ^oC$,$V_2 = 0.3 \, m^3$,અને $T_2 = 60 \, ^oC$ છે.
$0.1 \times (80 - T) = 0.3 \times (T - 60)$
$8 - 0.1T = 0.3T - 18$
$26 = 0.4T$
$T = \frac{26}{0.4} = 65 \, ^oC$.

(D) ધારો કે દરેક પ્રવાહીનું દળ $m$ છે અને તેમની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $S_A, S_B, S_C$ છે.
$A$ અને $B$ ના મિશ્રણ માટે:
$m S_A (15 - 10) = m S_B (25 - 15)$
$5 S_A = 10 S_B \Rightarrow S_A = 2 S_B$
$B$ અને $C$ ના મિશ્રણ માટે:
$m S_B (30 - 25) = m S_C (40 - 30)$
$5 S_B = 10 S_C \Rightarrow S_B = 2 S_C \Rightarrow S_C = \frac{S_B}{2}$
$A$ અને $C$ ના મિશ્રણ માટે અંતિમ તાપમાન $\theta$ હોય તો:
$m S_A (\theta - 10) = m S_C (40 - \theta)$
$S_A = 2 S_B$ અને $S_C = \frac{S_B}{2}$ મૂકતા:
$2 S_B (\theta - 10) = \frac{S_B}{2} (40 - \theta)$
$4 (\theta - 10) = 40 - \theta$
$4\theta - 40 = 40 - \theta$
$5\theta = 80$
$\theta = 16^{\circ}C$

(B) પાણીનું તાપમાન વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા ઉર્જા $Q$ એ $Q = ms\Delta\theta$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, દળ $m = 1\, kg$ (કારણ કે $1\, \text{લિટર}$ પાણી $\approx 1\, kg$), વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $s = 4200\, J/kg\, ^oC$, અને તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta\theta = 60\, ^oC - 20\, ^oC = 40\, ^oC$ છે.
$Q = 1\, kg \times 4200\, J/kg\, ^oC \times 40\, ^oC = 168,000\, J$.
હીટરનો પાવર $P = 1000\, W$ છે.
જરૂરી સમય $t$ એ $t = \frac{Q}{P}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$t = \frac{168,000\, J}{1000\, W} = 168\, \text{સેકન્ડ}$.
$168\, \text{સેકન્ડને}$ મિનિટ અને સેકન્ડમાં ફેરવતા: $168\, \text{સેકન્ડ }= 2\, \text{મિનિટ}$ અને $48\, \text{સેકન્ડ}$ ($2 \times 60 = 120$, $168 - 120 = 48$).

(A) $2\,kg$ બરફનું તાપમાન $-20\,^oC$ થી $0\,^oC$ સુધી વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q_1 = m_i c_i \Delta T = 2000\,g \times 0.5\,cal/g^oC \times 20\,^oC = 20,000\,cal$ છે.
$3\,kg$ પાણીનું તાપમાન $15\,^oC$ થી $0\,^oC$ સુધી ઘટાડતા મળતી ઉષ્મા $Q_2 = m_w c_w \Delta T = 3000\,g \times 1\,cal/g^oC \times 15\,^oC = 45,000\,cal$ છે.
બરફને $0\,^oC$ સુધી ગરમ કર્યા પછી બાકી રહેતી ઉષ્મા $Q_{rem} = Q_2 - Q_1 = 45,000 - 20,000 = 25,000\,cal$ છે.
$0\,^oC$ તાપમાને $2\,kg$ બરફને સંપૂર્ણપણે ઓગાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q_3 = m_i L_f = 2000\,g \times 80\,cal/g = 160,000\,cal$ છે.
અહીં $Q_{rem} < Q_3$ હોવાથી,ઉપલબ્ધ ઉષ્મા બધો બરફ ઓગાળવા માટે પૂરતી નથી. તેથી,તંત્ર $0\,^oC$ તાપમાને બરફ અને પાણીના મિશ્રણ તરીકે સંતુલનમાં આવશે.

(B) $1\,L$ પાણીનું દળ $m = 1\,kg = 1000\,g$ છે.
પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $s = 4200\,J/(kg\cdot^{\circ}C)$ છે.
તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta \theta = 60\,^{\circ}C - 20\,^{\circ}C = 40\,^{\circ}C$ છે.
જરૂરી ઉષ્મા ઉર્જા $Q = m s \Delta \theta = 1\,kg \times 4200\,J/(kg\cdot^{\circ}C) \times 40\,^{\circ}C = 168000\,J$ છે.
હીટરનો પાવર $P = 1000\,W$ છે.
જરૂરી સમય $t = Q / P = 168000\,J / 1000\,W = 168\,s$ છે.
$168\,s$ ને મિનિટ અને સેકન્ડમાં ફેરવતા: $168\,s = 2\,min\, 48\,s$ મળે છે.

(A) ધારો કે વરાળનું દળ $m$ ગ્રામ છે. પાણીની ઘનતા $1\,g/cm^3$ હોવાથી,$6\,L = 6000\,g$ થાય.
પાણી દ્વારા $40\,^oC$ સુધી પહોંચવા માટે મેળવેલી ઉષ્મા: $Q_{gain} = m_{water} \cdot c_w \cdot \Delta T = 6000 \cdot 1 \cdot (40 - 20) = 120,000\,cal$.
$100\,^oC$ તાપમાનની વરાળ દ્વારા $40\,^oC$ તાપમાનના પાણીમાં રૂપાંતરિત થતી વખતે ગુમાવેલી ઉષ્મા: $Q_{lost} = m \cdot L_v + m \cdot c_w \cdot \Delta T = m \cdot 540 + m \cdot 1 \cdot (100 - 40) = 600m$.
મેળવેલી ઉષ્મા અને ગુમાવેલી ઉષ્માને સરખાવતા: $120,000 = 600m$.
$m$ માટે ઉકેલતા: $m = \frac{120,000}{600} = 200\,g$.

(D) ધારો કે વરાળનું દળ જે પાણીમાં રૂપાંતરિત થાય છે તે $m$ છે.
ગુમાવેલી ઉષ્મા $=$ મેળવેલી ઉષ્મા.
વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા બે ભાગમાં હોય છે: સંઘનનની ગુપ્ત ઉષ્મા અને સંઘનિત પાણીનું $100\,^{\circ}C$ થી $80\,^{\circ}C$ સુધી ઠંડુ થવું.
ગુમાવેલી ઉષ્મા $= m \times L_v + m \times s_w \times \Delta T_1 = m \times 540 + m \times 1 \times (100 - 80) = 540m + 20m = 560m$.
$20\,g$ પાણી દ્વારા $10\,^{\circ}C$ થી $80\,^{\circ}C$ સુધી પહોંચવા માટે મેળવેલી ઉષ્મા:
મેળવેલી ઉષ્મા $= m_w \times s_w \times \Delta T_2 = 20 \times 1 \times (80 - 10) = 20 \times 70 = 1400\,cal$.
ગુમાવેલી અને મેળવેલી ઉષ્માને સરખાવતા: $560m = 1400$.
$m = \frac{1400}{560} = 2.5\,g$.
પાણીનું કુલ દળ એ પ્રારંભિક દળ અને સંઘનિત વરાળના દળનો સરવાળો છે:
કુલ દળ $= 20\,g + 2.5\,g = 22.5\,g$.

(C) બરફનું દળ $(m_i)$ $= 1\,kg$,બરફનું પ્રારંભિક તાપમાન $= 0\,^{\circ}C$.
પાણીનું દળ $(m_w)$ $= 1\,kg$,પાણીનું પ્રારંભિક તાપમાન $= 80\,^{\circ}C$.
બરફની ગલનગુપ્ત ઉષ્મા $(L_f)$ $= 336\,kJ/kg = 336,000\,J/kg$.
પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(c_w)$ $= 4200\,J/kg\cdot K$.
$0\,^{\circ}C$ તાપમાને $1\,kg$ બરફને ઓગાળીને $0\,^{\circ}C$ તાપમાનના પાણીમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q_{melt} = m_i \times L_f = 1 \times 336,000 = 336,000\,J$.
$1\,kg$ પાણીને $80\,^{\circ}C$ થી $0\,^{\circ}C$ સુધી ઠંડુ પાડતા મુક્ત થતી ઉષ્મા $Q_{release} = m_w \times c_w \times \Delta T = 1 \times 4200 \times (80 - 0) = 336,000\,J$.
અહીં પાણી દ્વારા મુક્ત થતી ઉષ્મા એ બરફને ઓગાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા જેટલી જ હોવાથી,બધો જ બરફ ઓગળી જશે અને મિશ્રણનું અંતિમ તાપમાન $0\,^{\circ}C$ રહેશે.

(A) કેટલ દ્વારા $9.5$ મિનિટમાં વપરાયેલી કુલ ઉર્જા $E = P \times t$ દ્વારા મળે છે.
$E = 2.5 \times 10^3 \, W \times (9.5 \times 60) \, s = 1425000 \, J$.
$3 \, kg$ પાણીનું તાપમાન $15\, ^oC$ થી $100\, ^oC$ સુધી વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = mc\Delta T$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $c = 4200 \, J/(kg \cdot ^oC)$ લેતા:
$Q = 3 \, kg \times 4200 \, J/(kg \cdot ^oC) \times (100 - 15)\, ^oC$.
$Q = 3 \times 4200 \times 85 = 1071000 \, J$.
ગુમાવેલી ઉષ્મા એ વપરાયેલી ઉર્જા અને પાણી દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\text{ગુમાવેલી ઉષ્મા} = E - Q = 1425000 \, J - 1071000 \, J = 354000 \, J$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,ગુમાવેલી ઉષ્મા $3.5 \times 10^5 \, J$ છે.

(A) ધારો કે અંતિમ તાપમાન $T$ છે.
બરફ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા $= m L_f + m \times s \times (T - 0)$.
કિંમતો મૂકતા: $10 \times 80 + 10 \times 1 \times T = 800 + 10T$.
પાણી અને પાત્ર (જળતુલ્યાંક $55\; g$) દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા $= 55 \times 1 \times (40 - T)$.
કેલરીમીટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,મેળવેલી ઉષ્મા $=$ ગુમાવેલી ઉષ્મા.
$800 + 10T = 55(40 - T)$.
$800 + 10T = 2200 - 55T$.
$65T = 1400$.
$T = 1400 / 65 \approx 21.54^{\circ} C$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$T \approx 22^{\circ} C$.