Principle of Calorimetry and Water Equivalent Questions in Gujarati

(A) કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,ગરમ પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ બરફને ઓગળવા માટે મેળવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે.
ધારો કે ઓગળતા બરફનું દળ $m$ ગ્રામ છે.
પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $c_w = 1\, cal/g^{\circ}C$ છે.
બરફની ગલનગુપ્ત ઉષ્મા $L_f = 80\, cal/g$ છે.
પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = $m_w \times c_w \times \Delta T = 80\, g \times 1\, cal/g^{\circ}C \times (30^{\circ}C - 0^{\circ}C) = 2400\, cal$.
બરફ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = $m \times L_f = m \times 80\, cal/g$.
બંનેને સરખાવતા: $2400 = m \times 80$.
તેથી,$m = \frac{2400}{80} = 30\, g$.

(C) ધારો કે દરેક પ્રવાહીનું દળ $m$ છે. ધારો કે પ્રવાહી $A$ અને $B$ ની વિશિષ્ટ ઉષ્મા અનુક્રમે $c_A$ અને $c_B$ છે.
કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,ગરમ પ્રવાહી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ ઠંડા પ્રવાહી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે:
$m \cdot c_A \cdot (32 - 28) = m \cdot c_B \cdot (28 - 24)$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$c_A \cdot 4 = c_B \cdot 4$
બંને બાજુને $4c_B$ વડે ભાગતા:
$\frac{c_A}{c_B} = \frac{4}{4} = \frac{1}{1}$
તેથી,તેમની વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(D) મિશ્રણનું તાપમાન $(\theta_{mix})$ કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત દ્વારા મેળવી શકાય છે, જે મુજબ:
$\theta_{mix} = \frac{m_1 c_1 \theta_1 + m_2 c_2 \theta_2}{m_1 c_1 + m_2 c_2}$
આપેલ છે:
પ્રવાહી $1$: દળ $m_1 = m$, વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c_1 = c$, તાપમાન $\theta_1 = 2T$
પ્રવાહી $2$: દળ $m_2 = m/2$, વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c_2 = 2c$, તાપમાન $\theta_2 = T$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\theta_{mix} = \frac{(m)(c)(2T) + (m/2)(2c)(T)}{(m)(c) + (m/2)(2c)}$
$\theta_{mix} = \frac{2mcT + mcT}{mc + mc}$
$\theta_{mix} = \frac{3mcT}{2mc}$
$\theta_{mix} = \frac{3}{2}T$

(A) ધારો કે અંતિમ તાપમાન $T$ છે.
પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = બરફ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
$100^{\circ}C$ થી $T$ તાપમાન સુધી ઠંડા પડતા $100 \, g$ પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા: $Q_{lost} = m_w c_w (100 - T) = 100 \times 1 \times (100 - T)$.
$0^{\circ}C$ તાપમાન ધરાવતા $100 \, g$ બરફને ઓગળવા અને ત્યારબાદ $T$ તાપમાન સુધી ગરમ થવા માટે મેળવેલી ઉષ્મા: $Q_{gained} = m_i L_f + m_i c_w (T - 0) = 100 \times 80 + 100 \times 1 \times T$.
બંનેને સરખાવતા: $100(100 - T) = 8000 + 100T$.
$10000 - 100T = 8000 + 100T$.
$2000 = 200T$.
$T = 10^{\circ}C$.

(B) ઉષ્માનો યાંત્રિક તુલ્યાંક,જેને $J$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે કરેલા કાર્ય $(W)$ અને ઉત્પન્ન થયેલી ઉષ્મા $(Q)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ગાણિતિક રીતે,$J = \frac{W}{Q}$.
કારણ કે કાર્ય $(W)$ નો $SI$ એકમ જૂલ $(J)$ છે અને ઉષ્મા $(Q)$ નો એકમ કેલરી $(cal)$ છે,તેથી ઉષ્માના યાંત્રિક તુલ્યાંકનો $SI$ એકમ જૂલ પ્રતિ કેલરી $(J/cal)$ થાય છે.

(D) પડતા દળો દ્વારા ગુમાવેલી સ્થિતિઊર્જા પાણીને હલાવવા માટે કરવામાં આવતા કાર્યમાં રૂપાંતરિત થાય છે,જે બદલામાં પાણીની આંતરિક ઊર્જા (તાપમાન) વધારે છે.
ધારો કે $m = 5 \, kg$ એ દરેક પડતા પદાર્થનું દળ છે,$h = 10 \, m$ એ ઊંચાઈ છે,$M_w = 2 \, kg$ એ પાણીનું દળ છે,અને $c = 4200 \, J/kg \cdot ^\circ C$ એ પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે.
ગુમાવેલી કુલ સ્થિતિઊર્જા $PE = 2 \times mgh = 2 \times 5 \times 9.8 \times 10 = 980 \, J$ છે ($g = 9.8 \, m/s^2$ લેતા).
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $PE = M_w c \Delta \theta$.
$980 = 2 \times 4200 \times \Delta \theta$.
$\Delta \theta = \frac{980}{8400} \approx 0.1166 \, ^\circ C$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$\Delta \theta \approx 0.12 \, ^\circ C$ મળે છે.

(A) $h$ ઊંચાઈએ પાણીની સ્થિતિઊર્જા $PE = mgh$ છે.
જ્યારે પાણી નીચે પડે છે,ત્યારે આ ઊર્જા ગતિઊર્જામાં અને ત્યારબાદ અથડામણ વખતે ઉષ્મા ઊર્જા $(Q)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
આપેલ છે કે સંપૂર્ણ ઊર્જા ઉષ્મામાં રૂપાંતરિત થાય છે,તેથી $Q = mgh$.
પાણીના તાપમાનમાં $\Delta \theta$ જેટલો વધારો કરવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = ms\Delta \theta$ છે,જ્યાં $s$ એ પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $ms\Delta \theta = mgh$.
તેથી,$\Delta \theta = \frac{gh}{s}$.
$g = 9.8 \ m/s^2$,$h = 100 \ m$,અને $s = 4186 \ J/kg \cdot ^\circ C$ લેતા:
$\Delta \theta = \frac{9.8 \times 100}{4186} \approx 0.234 \ ^\circ C$.
પ્રમાણિત અંદાજ $\Delta \theta = \frac{gh}{J \cdot s_{cal}} = \frac{9.8 \times 100}{4.2 \times 1000} \approx 0.23 \ ^\circ C$ મળે છે.

(B) કેલરીમીટર એ રાસાયણિક પ્રક્રિયા અથવા અન્ય પ્રક્રિયામાં સામેલ ગરમીના જથ્થાને માપવા માટે વપરાતું ઉપકરણ છે.
પદાર્થ અને કેલરીમીટર વચ્ચે ગરમીનું આદાન-પ્રદાન કાર્યક્ષમ અને ઝડપી બને તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,કેલરીમીટર ઉચ્ચ ઉષ્મીય વાહકતા ધરાવતી સામગ્રીમાંથી બનેલું હોવું જોઈએ.
ધાતુઓ,જેમ કે તાંબુ અથવા એલ્યુમિનિયમ,ગરમીના ઉત્તમ વાહક છે,જે કેલરીમીટરને તેના સમાવિષ્ટો સાથે ઝડપથી તાપીય સંતુલન પ્રાપ્ત કરવામાં મદદ કરે છે.
તેથી,કેલરીમીટર સામાન્ય રીતે ધાતુમાંથી બનાવવામાં આવે છે.

(D) ધારો કે પ્રથમ પ્રવાહીનું દળ $m_1$ છે.
કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,ગરમ પ્રવાહી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ ઠંડા પ્રવાહી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે.
પ્રવાહી $1$ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = $m_1 c_1 (\theta_1 - \theta_{mix}) = m_1 \times 0.2 \times (40 - 32) = m_1 \times 0.2 \times 8 = 1.6 m_1$.
પ્રવાહી $2$ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = $m_2 c_2 (\theta_{mix} - \theta_2) = 100 \times 0.5 \times (32 - 20) = 50 \times 12 = 600$.
બંનેને સરખાવતા: $1.6 m_1 = 600$.
$m_1 = \frac{600}{1.6} = 375 \, g$.

(D) ધારો કે ઓગળેલા બરફનું દળ $m\, g$ છે.
$0^{\circ}C$ તાપમાને $m\, g$ બરફને ઓગાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q_{in} = m \times L_{ice} = m \times 80\, cal$ છે.
$100^{\circ}C$ તાપમાને રહેલી $1\, g$ વરાળ જ્યારે $100^{\circ}C$ તાપમાનના પાણીમાં રૂપાંતરિત થાય અને ત્યારબાદ $0^{\circ}C$ સુધી ઠંડી પડે ત્યારે મુક્ત થતી ઉષ્મા:
$Q_{out} = (1 \times L_{steam}) + (1 \times c_{water} \times \Delta T)$
$Q_{out} = (1 \times 540) + (1 \times 1 \times (100 - 0)) = 540 + 100 = 640\, cal$.
કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ, ગુમાવેલી ઉષ્મા $=$ મેળવેલી ઉષ્મા:
$640 = m \times 80$
$m = \frac{640}{80} = 8\, g$.
આમ, $1\, g$ વરાળ $8\, g$ બરફને ઓગાળે છે.

(B) ધારો કે અંતિમ તાપમાન $T$ છે.
પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = બરફ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા (પીગળવા માટે) + પીગળેલા બરફ દ્વારા $T$ તાપમાન સુધી પહોંચવા માટે મેળવેલી ઉષ્મા.
$40^\circ C$ થી $T$ તાપમાન સુધી ઠંડા થતા $20\, g$ પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા: $Q_{lost} = m_w c_w (40 - T) = 20 \times 1 \times (40 - T) = 800 - 20T$.
$0^\circ C$ પર બરફને પીગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_{melt} = m_i L_f = 5 \times 80 = 400 \, cal$.
પીગળેલા $5\, g$ પાણી દ્વારા $T$ તાપમાન સુધી પહોંચવા માટે મેળવેલી ઉષ્મા: $Q_{gain} = m_i c_w (T - 0) = 5 \times 1 \times T = 5T$.
ગુમાવેલી અને મેળવેલી ઉષ્માને સરખાવતા: $800 - 20T = 400 + 5T$.
$400 = 25T$.
$T = \frac{400}{25} = 16^\circ C$.

(C) ધારો કે બરફનું દળ $m_i = 1 \ kg$ અને પાણીનું દળ $m_w = 1 \ kg$ છે.
$0^{\circ}C$ તાપમાને $1 \ kg$ બરફને ઓગાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q_{melt} = m_i \times L_i = 1 \ kg \times 336 \ kJ/kg = 336 \ kJ$ છે.
$80^{\circ}C$ થી $0^{\circ}C$ સુધી ઠંડા પડતા $1 \ kg$ પાણી દ્વારા મુક્ત થતી ઉષ્મા $Q_{release} = m_w \times c_w \times \Delta T = 1 \ kg \times 4.2 \ kJ/kg^{\circ}C \times (80^{\circ}C - 0^{\circ}C) = 336 \ kJ$ છે.
પાણી દ્વારા મુક્ત થતી ઉષ્મા એ બરફને ઓગાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા જેટલી જ હોવાથી,મિશ્રણની અંતિમ સ્થિતિ $0^{\circ}C$ તાપમાને $1 \ kg$ પાણી અને $1 \ kg$ પાણીની રહેશે.
તેથી,મિશ્રણનું અંતિમ તાપમાન $0^{\circ}C$ છે.

(A) $80^{\circ}C$ થી $0^{\circ}C$ સુધી ઠંડુ થતા પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા $Q_{lost} = m_w c_w \Delta T = 50 \times 1 \times (80 - 0) = 4000\, cal$ છે.
$0^{\circ}C$ તાપમાન ધરાવતા $50\, g$ બરફને ઓગાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q_{gain} = m_i L_f = 50 \times 80 = 4000\, cal$ છે.
અહીં પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ બરફને ઓગાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા જેટલી જ હોવાથી,બધો જ બરફ ઓગળી જશે અને મિશ્રણનું અંતિમ તાપમાન $0^{\circ}C$ રહેશે.

(A) પગલું $1$: $0^\circ C$ તાપમાનના $50 \, g$ બરફને $0^\circ C$ તાપમાનના પાણીમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે જરૂરી ઉષ્મા શોધો.
$Q_{melt} = m_i \cdot L_f = 50 \, g \times 80 \, cal/g = 4000 \, cal$.
પગલું $2$: $100^\circ C$ તાપમાનના $50 \, g$ પાણીને $0^\circ C$ સુધી ઠંડુ પાડતા મુક્ત થતી ઉષ્મા શોધો.
$Q_{release} = m_w \cdot c_w \cdot \Delta T = 50 \, g \times 1 \, cal/g^\circ C \times (100^\circ C - 0^\circ C) = 5000 \, cal$.
પગલું $3$: અહીં $Q_{release} > Q_{melt}$ હોવાથી,બધો જ બરફ પીગળી જશે અને બાકી રહેલી ઉષ્મા $(5000 - 4000 = 1000 \, cal)$ કુલ $100 \, g$ પાણીનું તાપમાન વધારવા માટે વપરાશે.
$Q_{rem} = (m_i + m_w) \cdot c_w \cdot (T_f - 0^\circ C)$
$1000 \, cal = 100 \, g \times 1 \, cal/g^\circ C \times T_f$
$T_f = 10^\circ C$.

(D) ધારો કે મિશ્રણનું અંતિમ તાપમાન $T$ છે.
$25^{\circ}C$ તાપમાન ધરાવતા પાણી દ્વારા $0^{\circ}C$ સુધી પહોંચવા માટે ગુમાવેલી ઉષ્મા $Q_1 = m_w c_w \Delta T = 300 \times 1 \times (25 - 0) = 7500 \, cal$ છે.
$0^{\circ}C$ તાપમાન ધરાવતા $100 \, g$ બરફને $0^{\circ}C$ તાપમાન ધરાવતા પાણીમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q_2 = m_i L_f = 100 \times 80 = 8000 \, cal$ છે.
અહીં પાણી દ્વારા મળતી ઉષ્મા $(7500 \, cal)$ એ બરફને સંપૂર્ણપણે ઓગાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $(8000 \, cal)$ કરતા ઓછી હોવાથી,બધો બરફ ઓગળશે નહીં.
તેથી,મિશ્રણ $0^{\circ}C$ ના સંતુલન તાપમાને રહેશે અને થોડો બરફ ઓગળ્યા વગરનો બાકી રહેશે.

(A) કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = વરાળના ઠરવા દરમિયાન ગુમાવેલી ઉષ્મા + ઠરેલા પાણી દ્વારા $100 \; ^\circ C$ થી $54.3 \; ^\circ C$ સુધી ઠરતી વખતે ગુમાવેલી ઉષ્મા.
ગુમાવેલી ઉષ્મા = $m_s L + m_s c_w (T_{steam} - T_{final}) = 2L + 2 \times 1 \times (100 - 54.3)$.
પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = $m_w c_w (T_{final} - T_{initial}) = 40 \times 1 \times (54.3 - 25)$.
બંનેને સરખાવતા: $2L + 2(45.7) = 40(29.3)$.
$2L + 91.4 = 1172$.
$2L = 1172 - 91.4 = 1080.6$.
$L = 540.3 \; cal/g$.
આમ,વરાળની ગુપ્ત ઉષ્મા આશરે $540 \; cal/g$ છે.

(D) ધારો કે મિશ્રણનું અંતિમ તાપમાન $T$ છે.
બરફને $0^{\circ}C$ પર ઓગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q_1 = m_i L_f = 10 \, g \times 80 \, cal/g = 800 \, cal$ છે.
ઓગળેલા બરફ (પાણી) ને $0^{\circ}C$ થી $T$ તાપમાન સુધી પહોંચવા માટે મેળવેલી ઉષ્મા $Q_2 = m_i c_w (T - 0) = 10 \times 1 \times T = 10T$ છે.
$50^{\circ}C$ તાપમાન ધરાવતા પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા $Q_3 = m_w c_w (50 - T) = 100 \times 1 \times (50 - T) = 5000 - 100T$ છે.
કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,મેળવેલી ઉષ્મા = ગુમાવેલી ઉષ્મા:
$Q_1 + Q_2 = Q_3$
$800 + 10T = 5000 - 100T$
$110T = 4200$
$T = \frac{4200}{110} \approx 38.18^{\circ}C \approx 38.2^{\circ}C$.

(D) ધારો કે અંતિમ સંતુલન તાપમાન $\theta$ છે.
કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,ઠંડી સિસ્ટમ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = ગરમ પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા.
ઠંડી સિસ્ટમમાં $110 \, g$ પાણી અને પાત્ર (જેનું પાણીનું તુલ્યમાન $10 \, g$ છે) નો સમાવેશ થાય છે.
ઠંડી સિસ્ટમનું કુલ દળ = $110 \, g + 10 \, g = 120 \, g$.
મેળવેલી ઉષ્મા = $m_{cold} \cdot c \cdot (\theta - \theta_{initial}) = 120 \times 1 \times (\theta - 10)$.
ગરમ પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = $m_{hot} \cdot c \cdot (\theta_{hot} - \theta) = 220 \times 1 \times (70 - \theta)$.
બંનેને સરખાવતા: $120(\theta - 10) = 220(70 - \theta)$.
$120\theta - 1200 = 15400 - 220\theta$.
$340\theta = 16600$.
$\theta = \frac{1660}{34} \approx 48.82^{\circ}C$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકનું મૂલ્ય $50^{\circ}C$ છે.

(C) પદાર્થની ઉષ્માધારિતા એટલે પદાર્થનું તાપમાન $1^{\circ}C$ વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્માનો જથ્થો. તે $C = ms$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $s$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા છે.
પાણીનું તુલ્યમાન $(W)$ એ પાણીના તે દળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેની ઉષ્માધારિતા આપેલ પદાર્થની ઉષ્માધારિતા જેટલી જ હોય.
પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા $s_w = 1 \, cal/g^{\circ}C$ હોવાથી,$C = W \times s_w$ થાય.
અહીં $C = 80 \, cal/^{\circ}C$ આપેલ છે,તેથી $80 = W \times 1 \, cal/g^{\circ}C$.
આમ,$W = 80 \, g$ મળે.

(B) પ્રથમ પ્રવાહીની ઉષ્મા ધારિતા $C_1 = MS$ છે.
તેનું તાપમાન $\theta_1 = 2t$ છે.
બીજા પ્રવાહીની ઉષ્મા ધારિતા $C_2 = 1.5 C_1 = 1.5 MS$ છે.
તેનું તાપમાન $\theta_2 = \frac{t}{3}$ છે.
કેલરીમિતિના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,પરિણામી તાપમાન $\theta_{mix}$ નીચે મુજબ મળે:
$\theta_{mix} = \frac{C_1 \theta_1 + C_2 \theta_2}{C_1 + C_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\theta_{mix} = \frac{(MS)(2t) + (1.5 MS)(\frac{t}{3})}{MS + 1.5 MS}$
$\theta_{mix} = \frac{2 MSt + 0.5 MSt}{2.5 MS}$
$\theta_{mix} = \frac{2.5 MSt}{2.5 MS} = t$
તેથી,પરિણામી તાપમાન $t$ છે.

(A) ધારો કે સંઘનિત થયેલી વરાળનું દળ $m \, kg$ છે. પાણીની ગુપ્ત ઉષ્મા $L = 540 \, kcal/kg$ છે.
વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા બે તબક્કામાં છે:
$(i)$ $100^{\circ}C$ તાપમાનની વરાળનું $100^{\circ}C$ તાપમાનના પાણીમાં રૂપાંતર: $Q_1 = m \times 540 \, kcal$.
$(ii)$ $100^{\circ}C$ તાપમાનના પાણીનું $80^{\circ}C$ તાપમાનના પાણીમાં ઠંડું પડવું: $Q_2 = m \times 1 \times (100 - 80) = 20m \, kcal$.
વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી કુલ ઉષ્મા: $Q_{lost} = 540m + 20m = 560m \, kcal$.
કેલરીમીટર અને પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા:
કુલ પાણી-તુલ્યાક દળ = $1.1 \, kg + 0.02 \, kg = 1.12 \, kg$.
તાપમાનમાં વધારો $\Delta T = 80^{\circ}C - 15^{\circ}C = 65^{\circ}C$.
મેળવેલી ઉષ્મા: $Q_{gained} = (1.12) \times 1 \times 65 = 72.8 \, kcal$.
કેલરીમીટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,$Q_{gained} = Q_{lost}$:
$560m = 72.8$
$m = \frac{72.8}{560} = 0.13 \, kg$.

(B) પગલું $1$: $2\, kg$ બરફને $0^{\circ}C$ સુધી પહોંચવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q_1 = m_i \cdot c_{ice} \cdot \Delta T = 2\, kg \cdot 0.5\, kcal/kg/^{\circ}C \cdot 20^{\circ}C = 20\, kcal$ છે.
પગલું $2$: $5\, kg$ પાણીને $20^{\circ}C$ થી $0^{\circ}C$ સુધી ઠંડુ પાડતા મુક્ત થતી ઉષ્મા $Q_2 = m_w \cdot c_w \cdot \Delta T = 5\, kg \cdot 1\, kcal/kg/^{\circ}C \cdot 20^{\circ}C = 100\, kcal$ છે.
પગલું $3$: બરફને ઓગાળવા માટે બાકી રહેલી ઉષ્મા $Q_{rem} = Q_2 - Q_1 = 100\, kcal - 20\, kcal = 80\, kcal$ છે.
પગલું $4$: ઓગળતા બરફનું દળ $m_{melt} = Q_{rem} / L_f = 80\, kcal / 80\, kcal/kg = 1\, kg$ છે.
પગલું $5$: પાણીનું અંતિમ દળ = પાણીનું પ્રારંભિક દળ + ઓગળેલા બરફનું દળ = $5\, kg + 1\, kg = 6\, kg$.

(A) પાણીનું તાપમાન વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = mc \Delta \theta$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,દળ $m = 2 \, kg$ (પાણીની ઘનતા $1 \, kg/L$ હોવાથી),$c = 4.2 \times 10^3 \, J/(kg \cdot K)$,અને $\Delta \theta = 77 - 27 = 50 \, ^\circ C$.
તેથી,$Q = 2 \times 4.2 \times 10^3 \times 50 = 4.2 \times 10^5 \, J$.
પાણીને મળતો ચોખ્ખો પાવર $P_{net} = P_{coil} - P_{loss} = 1000 \, W - 160 \, W = 840 \, W$.
લાગતો સમય $t = Q / P_{net}$ દ્વારા મળે છે.
$t = (4.2 \times 10^5) / 840 = 500 \, s$.
મિનિટમાં રૂપાંતર કરતા: $500 \, s = 8 \, min \, 20 \, s$.

(C) ધારો કે $m$ એ દળ છે અને $C_A, C_B, C_C$ એ અનુક્રમે પ્રવાહી $A, B$ અને $C$ ની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે.
કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,$\text{મેળવેલી ઉષ્મા} = \text{ગુમાવેલી ઉષ્મા}$.
$A$ અને $B$ ના મિશ્રણ માટે: $m C_A (16 - 12) = m C_B (19 - 16) \implies 4 C_A = 3 C_B \implies \frac{C_A}{C_B} = \frac{3}{4}$.
$B$ અને $C$ ના મિશ્રણ માટે: $m C_B (23 - 19) = m C_C (28 - 23) \implies 4 C_B = 5 C_C \implies \frac{C_B}{C_C} = \frac{5}{4}$.
બંને ગુણોત્તરનો ગુણાકાર કરતા: $\frac{C_A}{C_C} = \frac{C_A}{C_B} \times \frac{C_B}{C_C} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{4} = \frac{15}{16}$.
ધારો કે જ્યારે $A$ અને $C$ ને મિશ્ર કરવામાં આવે ત્યારે અંતિમ તાપમાન $\theta$ છે: $m C_A (\theta - 12) = m C_C (28 - \theta)$.
$\frac{C_A}{C_C} = \frac{28 - \theta}{\theta - 12} \implies \frac{15}{16} = \frac{28 - \theta}{\theta - 12}$.
$15(\theta - 12) = 16(28 - \theta) \implies 15\theta - 180 = 448 - 16\theta$.
$31\theta = 628 \implies \theta = \frac{628}{31} \approx 20.258^{\circ}C \approx 20.2^{\circ}C$.

(B) ધારો કે દર કલાકે જરૂરી વરાળનું દળ $m \, kg$ છે.
વરાળ દ્વારા મુક્ત થતી ઉષ્મા ત્રણ તબક્કામાં થાય છે:
$(i)$ વરાળને $150^\circ C$ થી $100^\circ C$ સુધી ઠંડી પાડતા:
$Q_1 = m \times c_{steam} \times \Delta \theta = m \times 1 \times (150 - 100) = 50m \, kcal$
(ii) $100^\circ C$ તાપમાને વરાળનું પાણીમાં રૂપાંતર:
$Q_2 = m \times L_v = m \times 540 = 540m \, kcal$
(iii) પાણીને $100^\circ C$ થી $90^\circ C$ સુધી ઠંડુ પાડતા:
$Q_3 = m \times c_{water} \times \Delta \theta = m \times 1 \times (100 - 90) = 10m \, kcal$
વરાળ દ્વારા મુક્ત થતી કુલ ઉષ્મા $Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 50m + 540m + 10m = 600m \, kcal$.
$10 \, kg$ પાણી દ્વારા $20^\circ C$ થી $80^\circ C$ સુધી ગરમ થવા માટે શોષાયેલી ઉષ્મા:
$Q' = M_{water} \times c_{water} \times \Delta \theta = 10 \times 1 \times (80 - 20) = 600 \, kcal$.
કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,ગુમાવેલી ઉષ્મા = મેળવેલી ઉષ્મા:
$600m = 600$
$m = 1 \, kg$.

(A) ધારો કે $m \, g$ વરાળ પાણીમાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$22 \, g$ પાણીનું તાપમાન $20^{\circ}C$ થી $90^{\circ}C$ સુધી વધારવા માટે મેળવેલી ઉષ્મા:
$Q_{gain} = m_{water} \times c \times \Delta T = 22 \times 1 \times (90 - 20) = 22 \times 70 = 1540 \, cal$.
$100^{\circ}C$ તાપમાન ધરાવતી વરાળ $90^{\circ}C$ તાપમાન ધરાવતા પાણીમાં રૂપાંતરિત થાય ત્યારે ગુમાવેલી ઉષ્મા બે ભાગમાં હોય છે:
$1$. ઘનીભવન દરમિયાન મુક્ત થતી ઉષ્મા: $Q_1 = m \times L = m \times 540$.
$2$. ઘનીભૂત પાણી $100^{\circ}C$ થી $90^{\circ}C$ સુધી ઠંડું પડે ત્યારે મુક્ત થતી ઉષ્મા: $Q_2 = m \times c \times \Delta T = m \times 1 \times (100 - 90) = 10m$.
કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,ગુમાવેલી ઉષ્મા = મેળવેલી ઉષ્મા:
$540m + 10m = 1540$
$550m = 1540$
$m = \frac{1540}{550} = 2.8 \, g$.
મિશ્રણમાં હાજર પાણીનું કુલ દળ એ પ્રારંભિક દળ અને ઘનીભૂત વરાળના દળનો સરવાળો છે:
$M_{total} = 22 + 2.8 = 24.8 \, g$.

(B) પાણીનું તાપમાન વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા ઉર્જા $H = m \cdot c \cdot \Delta \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: પાવર $P = 836\; W$,દળ $m = 1\; kg$ (કારણ કે $1\; litre$ પાણી = $1\; kg$),વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $c = 4200\; J/kg\cdot^{\circ}C$,અને તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta \theta = 40^{\circ}C - 10^{\circ}C = 30^{\circ}C$.
હીટર દ્વારા $t$ સમયમાં આપવામાં આવતી ઉર્જા $E = P \times t$ છે.
હીટર દ્વારા આપવામાં આવેલી ઉર્જા અને જરૂરી ઉષ્માને સરખાવતા: $P \times t = m \cdot c \cdot \Delta \theta$.
$t = \frac{m \cdot c \cdot \Delta \theta}{P} = \frac{1 \times 4200 \times 30}{836}$.
$J = 4.18\; J/cal$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે $c = 4180\; J/kg\cdot^{\circ}C$ લખી શકીએ છીએ.
$t = \frac{1 \times 4180 \times 30}{836} = 5 \times 30 = 150\; s$.

(D) ધારો કે પાત્રમાં રહેલા પાણીનું પ્રારંભિક દળ $m$ છે.
ધારો કે પાણીમાંથી બનેલા બરફનું દળ $m_1$ છે.
અંતિમ ઉષ્મીય સંતુલન અવસ્થા માટે, મિશ્રણનું તાપમાન $0^{\circ}C$ થશે.
કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ, પાણી દ્વારા ગુમાવાયેલી ઉષ્મા = બરફ દ્વારા મેળવાયેલી ઉષ્મા.
પાણી દ્વારા ગુમાવાયેલી ઉષ્મા = $m \cdot c_w \cdot \Delta T$, જ્યાં $c_w = 1 \text{ cal/g}^{\circ}C$ અને $\Delta T = 10^{\circ}C$.
બરફ દ્વારા મેળવાયેલી ઉષ્મા = $m_1 \cdot L_f$, જ્યાં $L_f = 80 \text{ cal/g}$.
બંનેને સરખાવતા: $m \times 1 \times 10 = m_1 \times 80$.
તેથી, ગુણોત્તર $\frac{m_1}{m} = \frac{10}{80} = \frac{1}{8}$.

(A) ધારો કે $m$ ગ્રામ બરફ પીગળે છે.
પાણી દ્વારા ગુમાવાતી ઉષ્મા = બરફ દ્વારા મેળવાતી ઉષ્મા
પાણી દ્વારા ગુમાવાતી ઉષ્મા = $m_{water} \cdot c_{water} \cdot \Delta T$
બરફ દ્વારા મેળવાતી ઉષ્મા = $m \cdot L_f$
અહીં,$m_{water} = 80 \ gm$,$c_{water} = 1 \ cal/g \ ^\circ C$,$\Delta T = (30 - 0) \ ^\circ C = 30 \ ^\circ C$,અને બરફની ગલનગુપ્ત ઉષ્મા $L_f = 80 \ cal/g$ છે.
ઉષ્માને સરખાવતા:
$80 \times 1 \times 30 = m \times 80$
$2400 = 80m$
$m = \frac{2400}{80} = 30 \ gm$
તેથી,પીગળતા બરફનું દ્રવ્યમાન $30 \ gm$ છે.

(A) આપેલ છે:
તાંબાનું દળ $(m_C)$ $= 50 \ g = 50 \times 10^{-3} \ kg$
તાંબાની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_C)$ $= 420 \ J/kg \cdot ^\circ C$
તાંબાના તાપમાનમાં વધારો $(\Delta \theta_C)$ $= 10 \ ^\circ C$
પાણીનું દળ $(m_W)$ $= 10 \ g = 10 \times 10^{-3} \ kg$
પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_W)$ $= 4200 \ J/kg \cdot ^\circ C$
બંનેને સમાન ઉષ્મા $(Q)$ આપવામાં આવતી હોવાથી:
$Q = m_C C_C \Delta \theta_C = m_W C_W \Delta \theta_W$
કિંમતો મૂકતા:
$50 \times 10^{-3} \times 420 \times 10 = 10 \times 10^{-3} \times 4200 \times \Delta \theta_W$
$\Delta \theta_W$ માટે ગણતરી કરતા:
$\Delta \theta_W = \frac{50 \times 10^{-3} \times 420 \times 10}{10 \times 10^{-3} \times 4200}$
$\Delta \theta_W = \frac{50 \times 4200}{10 \times 4200} = 5 \ ^\circ C$
તેથી,પાણીના તાપમાનમાં થતો વધારો $5 \ ^\circ C$ છે.

(B) જ્યારે બંને બૉક્સને ઉષ્મીય સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે હિલિયમ વાયુ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ નાઇટ્રોજન વાયુ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે.
હિલિયમ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = નાઇટ્રોજન દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા
$\mu_B (C_V)_{He} \left( \frac{7}{3} T_0 - T_f \right) = \mu_A (C_V)_{N_2} (T_f - T_0)$
અહીં $\mu_A = 1, \mu_B = 1$,$(C_V)_{He} = \frac{3}{2}R$,અને $(C_V)_{N_2} = \frac{5}{2}R$ (કારણ કે $N_2$ દ્વિપરમાણ્વીય છે અને $He$ એકપરમાણ્વીય છે).
કિંમતો મૂકતા:
$1 \cdot \frac{3}{2}R \left( \frac{7}{3} T_0 - T_f \right) = 1 \cdot \frac{5}{2}R (T_f - T_0)$
$3 \left( \frac{7}{3} T_0 - T_f \right) = 5 (T_f - T_0)$
$7 T_0 - 3 T_f = 5 T_f - 5 T_0$
$12 T_0 = 8 T_f$
$T_f = \frac{12}{8} T_0 = \frac{3}{2} T_0$

(A) ધારો કે વરાળની ગુપ્ત ઉષ્મા $L$ છે.
કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = સંઘનન દરમિયાન મુક્ત થતી ઉષ્મા + ઠંડા પડેલા પાણી દ્વારા અંતિમ તાપમાન સુધી ગુમાવેલી ઉષ્મા.
ગુમાવેલી ઉષ્મા = $m_s L + m_s c_w (T_{steam} - T_{final})$
પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = $m_w c_w (T_{final} - T_{initial})$
આપેલ છે: $m_s = 2 \ g$,$m_w = 40 \ g$,$c_w = 1 \ cal/g \ ^\circ C$,$T_{steam} = 100 \ ^\circ C$,$T_{initial} = 25 \ ^\circ C$,$T_{final} = 54.3 \ ^\circ C$.
કિંમતો મૂકતા:
$2L + 2(1)(100 - 54.3) = 40(1)(54.3 - 25)$
$2L + 2(45.7) = 40(29.3)$
$2L + 91.4 = 1172$
$2L = 1172 - 91.4 = 1080.6$
$L = 540.3 \ cal/g \approx 540 \ cal/g$.

(D) ધારો કે $m \, \text{g}$ બરફ પીગળે છે.
$0 \, ^\circ \text{C}$ તાપમાને $m \, \text{g}$ બરફને પીગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q_1 = m \times L = m \times 80 \, \text{cal}$ છે.
જ્યારે $100 \, ^\circ \text{C}$ તાપમાને રહેલ $1 \, \text{g}$ વરાળ $100 \, ^\circ \text{C}$ તાપમાનના પાણીમાં રૂપાંતરિત થાય,ત્યારે મુક્ત થતી ઉષ્મા $Q_2 = m_{\text{steam}} \times L' = 1 \times 540 = 540 \, \text{cal}$ છે.
ત્યારબાદ,પાણી $100 \, ^\circ \text{C}$ થી $0 \, ^\circ \text{C}$ સુધી ઠંડું પડે ત્યારે મુક્ત થતી ઉષ્મા $Q_3 = m_{\text{steam}} \times c \times \Delta T = 1 \times 1 \times (100 - 0) = 100 \, \text{cal}$ છે.
વરાળ દ્વારા મુક્ત થતી કુલ ઉષ્મા = $540 + 100 = 640 \, \text{cal}$.
બરફ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા,તેથી $80m = 640$.
આમ,$m = 640 / 80 = 8 \, \text{g}$.

(C) જ્યારે બે પ્રવાહીનું મિશ્રણ કરવામાં આવે અને અવસ્થામાં ફેરફાર થયા વિના માત્ર તાપમાનમાં જ ફેરફાર થતો હોય,ત્યારે ગરમ પ્રવાહીએ ગુમાવેલી ઉષ્મા = ઠંડા પ્રવાહીએ મેળવેલ ઉષ્મા.
પ્રવાહી $A$ એ ગુમાવેલી ઉષ્મા = પ્રવાહી $B$ એ મેળવેલ ઉષ્મા
$m_A C_A (\theta_A - \theta_{mix}) = m_B C_B (\theta_{mix} - \theta_B)$
અહીં $m_A = m_B = m$ આપેલ હોવાથી:
$C_A (32 - 28) = C_B (28 - 24)$
$C_A (4) = C_B (4)$
$\frac{C_A}{C_B} = \frac{4}{4} = 1 : 1$
તેથી,તેમની વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $1 : 1$ છે.

(D) ધારો કે અંતિમ સંતુલિત તાપમાન $t$ છે.
કેલોરીમીટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,ગરમ પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = કેલોરીમીટર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = $m \cdot c \cdot \Delta T = 0.1 \ kg \times 4200 \ J/kg \cdot K \times (40 - t) = 420(40 - t)$.
કેલોરીમીટર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = $C \cdot \Delta T = 100 \ J/K \times (t - 30) = 100(t - 30)$.
બંનેને સરખાવતા: $420(40 - t) = 100(t - 30)$.
$16800 - 420t = 100t - 3000$.
$19800 = 520t$.
$t = \frac{19800}{520} \approx 38.07^{\circ}C$.

(A) ધારો કે $0^{\circ}C$ તાપમાને બરફનું દળ $m_i = 540 \, g$ છે અને $80^{\circ}C$ તાપમાને પાણીનું દળ $m_w = 540 \, g$ છે.
બધા બરફને $0^{\circ}C$ તાપમાને પીગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q_{req} = m_i L_f = 540 \, g \times 80 \, cal/g = 43200 \, cal$ છે.
પાણી દ્વારા $0^{\circ}C$ સુધી ઠંડા પડતી વખતે મુક્ત થતી ઉષ્મા $Q_{avail} = m_w c_w \Delta T = 540 \, g \times 1 \, cal/g^{\circ}C \times (80^{\circ}C - 0^{\circ}C) = 43200 \, cal$ છે.
અહીં $Q_{req} = Q_{avail}$ હોવાથી,પાણી દ્વારા મુક્ત થતી ઉષ્મા બરફને પીગળવા માટે પૂરતી છે,તેથી મિશ્રણનું અંતિમ તાપમાન $0^{\circ}C$ રહેશે.

(B) ધારો કે ઠારણ પામતી વરાળનું દળ $m\,kg$ છે.
કેલરીમીટર અને પાણી દ્વારા મેળવેલી કુલ ઉષ્મા $Q = (m_{cal} + m_{water}) \cdot c \cdot \Delta T$.
અહીં $m_{cal} = 0.02\,kg$,$m_{water} = 1\,kg$,$c = 1000\,cal/kg^{\circ}C$,$\Delta T = (80 - 15) = 65^{\circ}C$.
$Q = (0.02 + 1) \times 1000 \times 65 = 1.02 \times 65000 = 66300\,cal$.
વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા: $Q = m \cdot L + m \cdot c \cdot \Delta T_{steam}$.
અહીં $L = 536\,kcal/kg = 536\,cal/g$,$\Delta T_{steam} = (100 - 80) = 20^{\circ}C$.
$Q = m \times 536000 + m \times 1000 \times 20 = m(536000 + 20000) = 556000m$.
મેળવેલી અને ગુમાવેલી ઉષ્માને સરખાવતા: $556000m = 66300$.
$m = \frac{66300}{556000} \approx 0.119\,kg$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,નજીકનો જવાબ $0.130\,kg$ છે.

(B) પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = બરફ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
ધારો કે ઓગળેલા બરફનું દળ $m'$ છે.
$5 \, kg$ પાણી દ્વારા $0^{\circ}C$ સુધી પહોંચવા માટે ગુમાવેલી ઉષ્મા = $m_w c_w \Delta T = 5 \times 1 \times 20 = 100 \, kcal$.
$2 \, kg$ બરફ દ્વારા $0^{\circ}C$ સુધી પહોંચવા માટે મેળવેલી ઉષ્મા = $m_{ice} c_{ice} \Delta T = 2 \times 0.5 \times 20 = 20 \, kcal$.
બરફને ઓગાળવા માટે બાકી રહેલી ઉષ્મા = $100 - 20 = 80 \, kcal$.
ઓગળેલા બરફનું દળ $m' = \frac{Q}{L} = \frac{80 \, kcal}{80 \, kcal/kg} = 1 \, kg$.
પાણીનું કુલ દળ = શરૂઆતનું પાણીનું દળ + ઓગળેલા બરફનું દળ = $5 \, kg + 1 \, kg = 6 \, kg$.

(A) પદાર્થનું તાપમાન બદલવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = mc\Delta T$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કોપર માટે: $m_c = 50 \, g = 0.05 \, kg$,$c_c = 420 \, J \cdot kg^{-1} \cdot ^\circ C^{-1}$,$\Delta T_c = 10^\circ C$.
$Q = 0.05 \times 420 \times 10 = 210 \, J$.
આ જ ઉષ્મા $10 \, g$ પાણીને $(m_w = 0.01 \, kg)$ આપવામાં આવે છે.
$Q = m_w c_w \Delta T_w$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$210 = 0.01 \times 4200 \times \Delta T_w$.
$210 = 42 \times \Delta T_w$.
$\Delta T_w = \frac{210}{42} = 5^\circ C$.

(C) કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,ગરમ પ્રવાહી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ ઠંડા પ્રવાહી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે.
ધારો કે દળ $m_A = m_B = m$ છે.
ધારો કે વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c_A$ અને $c_B$ છે.
આપેલ છે: $T_A = 32^{\circ}C$,$T_B = 24^{\circ}C$,અને અંતિમ સંતુલન તાપમાન $T = 28^{\circ}C$.
સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $m_A \times c_A \times (T_A - T) = m_B \times c_B \times (T - T_B)$.
કિંમતો મૂકતા: $m \times c_A \times (32 - 28) = m \times c_B \times (28 - 24)$.
$c_A \times 4 = c_B \times 4$.
તેથી,$\frac{c_A}{c_B} = \frac{4}{4} = 1:1$.

(D) કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,ગરમ પદાર્થ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ ઠંડા પદાર્થ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે.
મિશ્રણનું અંતિમ તાપમાન $T_{mix}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T_{mix} = \frac{m_1 c_1 T_1 + m_2 c_2 T_2}{m_1 c_1 + m_2 c_2}$
આપેલ છે:
$m_1 = m, c_1 = c, T_1 = 2T$
$m_2 = m/2, c_2 = 2c, T_2 = T$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$T_{mix} = \frac{(m)(c)(2T) + (m/2)(2c)(T)}{(m)(c) + (m/2)(2c)}$
$T_{mix} = \frac{2mcT + mcT}{mc + mc}$
$T_{mix} = \frac{3mcT}{2mc}$
$T_{mix} = \frac{3}{2}T$

(B) કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,ગરમ પદાર્થો દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ ઠંડા પદાર્થો દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે,અથવા ઉષ્માના વિનિમયનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે.
ધારો કે મિશ્રણનું અંતિમ સંતુલન તાપમાન $T$ છે.
દરેક પદાર્થ દ્વારા મેળવેલી કે ગુમાવેલી ઉષ્મા $Q = mc\Delta T$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મિશ્રણ સંતુલન તાપમાન $T$ સુધી પહોંચે તે માટે,ઉષ્માના ફેરફારોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$m_1 c_1 (T - T_1) + m_2 c_2 (T - T_2) + m_3 c_3 (T - T_3) = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$m_1 c_1 T - m_1 c_1 T_1 + m_2 c_2 T - m_2 c_2 T_2 + m_3 c_3 T - m_3 c_3 T_3 = 0$
$T$ વાળા પદોને સાથે લેતા:
$T(m_1 c_1 + m_2 c_2 + m_3 c_3) = m_1 c_1 T_1 + m_2 c_2 T_2 + m_3 c_3 T_3$
$T$ માટે ઉકેલતા:
$T = \frac{m_1 c_1 T_1 + m_2 c_2 T_2 + m_3 c_3 T_3}{m_1 c_1 + m_2 c_2 + m_3 c_3}$

(B) પાણી દ્વારા જરૂરી ઉષ્મા $(Q_1)$:
$Q_1 = m_w c_w \Delta T_w = (10 \times 10^3 \, g) \times (1 \, cal/g^{\circ}C) \times (80^{\circ}C - 20^{\circ}C) = 600 \times 10^3 \, cal$.
વરાળ દ્વારા મુક્ત થતી ઉષ્મા $(Q_2)$:
વરાળ $150^{\circ}C$ થી $100^{\circ}C$ સુધી ઠંડી પડે છે,$100^{\circ}C$ પર તેનું સંઘનન થાય છે,અને ત્યારબાદ પાણી $100^{\circ}C$ થી $90^{\circ}C$ સુધી ઠંડું પડે છે.
$Q_2 = m_s [c_{steam} \Delta T_1 + L_v + c_w \Delta T_2]$
$Q_2 = m_s [1 \times (150 - 100) + 540 + 1 \times (100 - 90)] = m_s [50 + 540 + 10] = 600 m_s \, cal$.
કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,$Q_1 = Q_2$:
$600 \times 10^3 = 600 m_s$
$m_s = 10^3 \, g = 1 \, kg$.

(B) કેલોરીમીટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,ગરમ પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = ઠંડા પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા + કેલોરીમીટર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
ધારો કે કેલોરીમીટરની ઉષ્માધારિતા $C$ છે.
ગરમ પાણીનું દળ $m_1 = 0.1 \ kg$,પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 60^{\circ}C$.
ઠંડા પાણીનું દળ $m_2 = 0.2 \ kg$,પ્રારંભિક તાપમાન $T_2 = 30^{\circ}C$.
અંતિમ સંતુલન તાપમાન $T_f = 35^{\circ}C$.
પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $s = 4200 \ J/(kg \cdot K)$.
ગરમ પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = $m_1 s (T_1 - T_f) = 0.1 \times 4200 \times (60 - 35) = 420 \times 25 = 10500 \ J$.
ઠંડા પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = $m_2 s (T_f - T_2) = 0.2 \times 4200 \times (35 - 30) = 840 \times 5 = 4200 \ J$.
કેલોરીમીટર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = $C (T_f - T_2) = C (35 - 30) = 5C$.
ઉષ્માના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $10500 = 4200 + 5C$.
$5C = 10500 - 4200 = 6300$.
$C = 6300 / 5 = 1260 \ J/K$.

(D) ધારો કે પદાર્થોની ઉષ્માધારિતા $C(T)$ છે,જ્યાં $C(T)$ એ તાપમાન $T$ નું વધતું વિધેય છે.
જ્યારે બંને પદાર્થોને સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે ઉષ્મા ગરમ પદાર્થ $(100^{\circ} C)$ થી ઠંડા પદાર્થ $(0^{\circ} C)$ તરફ વહે છે જ્યાં સુધી તેઓ સમાન અંતિમ તાપમાન $T_f$ પ્રાપ્ત ન કરે.
કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,ગરમ પદાર્થ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ ઠંડા પદાર્થ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે:
$\int_{T_f}^{100} C(T) dT = \int_{0}^{T_f} C(T) dT$.
જેમ કે $C(T)$ તાપમાન સાથે વધે છે,તેથી સંતુલન પ્રાપ્ત કરવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન ગરમ પદાર્થની ઉષ્માધારિતા ઠંડા પદાર્થ કરતા વધારે હોય છે.
કારણ કે ગરમ પદાર્થની ઉષ્માધારિતા વધારે છે,તેથી ઠંડા પદાર્થની તુલનામાં તેના તાપમાનમાં ચોક્કસ ફેરફાર કરવા માટે તેને વધુ ઉર્જાની જરૂર પડે છે.
તેથી,અંતિમ સંતુલન તાપમાન $T_f$ એ ઉચ્ચ ઉષ્માધારિતા ધરાવતા પદાર્થના પ્રારંભિક તાપમાનની નજીક હશે.
આમ,$T_f > 50^{\circ} C$.

(C) ધારો કે અંતિમ તાપમાન $T$ છે.
$100^\circ C$ થી $T$ તાપમાન સુધી ઠંડા પડતા $1 \ g$ પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા $Q_{lost} = m_w c_w (100 - T) = 1 \times 1 \times (100 - T) = 100 - T \ \text{cal}$ છે.
$0^\circ C$ તાપમાન ધરાવતા $1 \ g$ બરફને પીગળવા અને ત્યારબાદ $T$ તાપમાન સુધી ગરમ થવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q_{gained} = m_i L_f + m_i c_w (T - 0) = 1 \times 80 + 1 \times 1 \times T = 80 + T \ \text{cal}$ છે.
ગુમાવેલી ઉષ્મા અને મેળવેલી ઉષ્માને સરખાવતા: $100 - T = 80 + T$.
$2T = 20$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $T = 10^\circ C$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: બ્લોકનું દળ $M = 2.5 \ kg = 2500 \ g$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 500^{\circ} C - 0^{\circ} C = 500^{\circ} C$.
વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c = 0.1 \ cal/g^{\circ} C$.
બરફની ગલનગુપ્ત ઉષ્મા $L = 80 \ cal/g$.
કેલરીમિતિના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,બ્લોક દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = બરફ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
$M c \Delta T = m L$.
$m = \frac{M c \Delta T}{L}$.
$m = \frac{2500 \times 0.1 \times 500}{80} \ g$.
$m = \frac{125000}{80} \ g = 1562.5 \ g$.
$kg$ માં રૂપાંતર કરતા,$m \approx 1.56 \ kg$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,ઓગળી શકતા બરફનું મહત્તમ પ્રમાણ આશરે $1.5 \ kg$ છે.

(D) $-10^{\circ}C$ તાપમાન ધરાવતા $1\,\,kg$ બરફને $0^{\circ}C$ સુધી લાવવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q_1 = m_i c_i \Delta T = 1 \times 2100 \times 10 = 21000\,\,J$ છે.
$0^{\circ}C$ તાપમાન ધરાવતા $1\,\,kg$ બરફને ઓગાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q_2 = m_i L_f = 1 \times 336000 = 336000\,\,J$ છે.
બરફને $0^{\circ}C$ તાપમાનવાળા પાણીમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે જરૂરી કુલ ઉષ્મા $Q_{total} = Q_1 + Q_2 = 21000 + 336000 = 357000\,\,J$ છે.
$30^{\circ}C$ તાપમાન ધરાવતા $4.4\,\,kg$ પાણી દ્વારા $0^{\circ}C$ સુધી પહોંચવા માટે મુક્ત થતી ઉષ્મા $Q_3 = m_w c_w \Delta T = 4.4 \times 4200 \times 30 = 554400\,\,J$ છે.
અહીં $Q_3 > Q_{total}$ હોવાથી,બરફ સંપૂર્ણપણે ઓગળી જશે અને મિશ્રણનું અંતિમ તાપમાન $T > 0^{\circ}C$ થશે.
મિશ્રણનું તાપમાન વધારવા માટે ઉપલબ્ધ ઉષ્મા ($1\,\,kg$ ઓગળેલું બરફ + $4.4\,\,kg$ પાણી) $Q_{rem} = Q_3 - Q_{total} = 554400 - 357000 = 197400\,\,J$ છે.
$Q_{rem} = (m_i + m_w) c_w (T - 0)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,
$197400 = (1 + 4.4) \times 4200 \times T$,
$197400 = 5.4 \times 4200 \times T$,
$197400 = 22680 \times T$,
$T = \frac{197400}{22680} \approx 8.7^{\circ}C$.

(A) ધારો કે વરાળનું દળ $x \, \text{g}$ છે.
વરાળ દ્વારા $100^{\circ}C$ પર ઘનીભવન પામવા અને ત્યારબાદ $80^{\circ}C$ સુધી ઠંડી પડવા માટે ગુમાવેલી ઉષ્મા:
$Q_{\text{lost}} = x \cdot L_V + x \cdot c_w \cdot \Delta T$
$Q_{\text{lost}} = x \cdot 540 + x \cdot 1 \cdot (100 - 80) = 540x + 20x = 560x \, \text{cal} \quad ...(1)$
$1400 \, \text{g}$ પાણી દ્વારા $16^{\circ}C$ થી $80^{\circ}C$ સુધી તાપમાન વધારવા માટે મેળવેલી ઉષ્મા:
$Q_{\text{gained}} = m \cdot c_w \cdot \Delta T$
$Q_{\text{gained}} = 1400 \cdot 1 \cdot (80 - 16) = 1400 \cdot 64 = 89600 \, \text{cal} \quad ...(2)$
કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,ગુમાવેલી ઉષ્મા = મેળવેલી ઉષ્મા:
$560x = 89600$
$x = \frac{89600}{560} = 160 \, \text{g}$
તેથી,જરૂરી વરાળનું દળ $160 \, \text{g}$ છે.