Mix Examples-Thermometry, Thermal Expansion and Calorimetry Questions in Gujarati

(A) દબાણ $P$ ને કારણે કદમાં થતો ફેરફાર બલ્ક મોડ્યુલસ (કદ સ્થિતિસ્થાપકતા) $\beta = \frac{P}{\Delta V / V}$ ની વ્યાખ્યા દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = \frac{P}{\beta}$ છે.
મૂળ કદ જાળવી રાખવા માટે,ઉષ્મીય પ્રસરણ આ સંકોચનની ભરપાઈ કરવી જોઈએ.
તાપમાનમાં $\Delta \theta$ વધારાને કારણે કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = V \alpha \Delta \theta$ છે,જેનો અર્થ છે કે કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = \alpha \Delta \theta$ છે.
બંને આંશિક ફેરફારોને સરખાવતા: $\alpha \Delta \theta = \frac{P}{\beta}$.
તેથી,તાપમાનમાં જરૂરી વધારો $\Delta \theta = \frac{P}{\alpha \beta}$ છે.

(C) પ્લેટિનમ રેઝિસ્ટન્સ થર્મોમીટરમાં 'સ્ટેમ કરેક્શન' એ પ્લેટિનમ કોઈલને માપવાના સાધન સાથે જોડતા વાયર (લીડ્સ) ના અવરોધને કારણે ઉદ્ભવે છે.
જેમ જેમ લીડ્સનું તાપમાન બદલાય છે,તેમ તેમ તેમનો અવરોધ બદલાય છે,જે તાપમાનના માપનમાં ભૂલ લાવે છે.
આ ભૂલને દૂર કરવા માટે 'કોમ્પેન્સેટિંગ લીડ્સ' (Compensating leads) નો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. આ લીડ્સ મુખ્ય લીડ્સ જેવી જ હોય છે અને તેને સમાન વાતાવરણમાં રાખવામાં આવે છે,જેથી મુખ્ય લીડ્સના અવરોધમાં થતો ફેરફાર કોમ્પેન્સેટિંગ લીડ્સના અવરોધમાં થતા ફેરફાર દ્વારા સંતુલિત થઈ જાય છે.

(C) ઓછી ઉષ્માધારિતા ધરાવતું થર્મોમીટર તાપમાનના ફેરફારો સામે ઝડપથી પ્રતિભાવ આપે છે.
આપેલા પ્રકારોમાં,થર્મોકપલ $(R)$ નું દળ અને ઉષ્માધારિતા સૌથી ઓછી હોય છે,જે તેને ઝડપથી બદલાતા તાપમાન માટે સૌથી વધુ સંવેદનશીલ બનાવે છે.
મર્ક્યુરી થર્મોમીટર $(P)$ માં પ્રમાણમાં મોટો બલ્બ અને કાચનું આવરણ હોય છે,જેના પરિણામે તેની ઉષ્માધારિતા વધારે હોય છે.
અવરોધ થર્મોમીટર $(Q)$ માં સામાન્ય રીતે વાયરની કોઈલ અને રક્ષણાત્મક આવરણ હોય છે,જેની ઉષ્માધારિતા પણ થર્મોકપલની સરખામણીમાં વધારે હોય છે.
તેથી,થર્મલ જડત્વની દ્રષ્ટિએ $R$ શ્રેષ્ઠ (સૌથી ઝડપી પ્રતિભાવ) છે અને $Q$ સૌથી ખરાબ (સૌથી ધીમો પ્રતિભાવ) છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) પાણી $0^{\circ}C$ અને $4^{\circ}C$ ની વચ્ચે અસામાન્ય વિસ્તરણ દર્શાવે છે.
મોટાભાગના પદાર્થોથી વિપરીત,પાણી જ્યારે બરફમાં ફેરવાય છે ત્યારે તેનું કદ વધે છે.
જ્યારે પાઈપની અંદરનું પાણી થીજી જાય છે,ત્યારે તેના કદમાં નોંધપાત્ર વધારો થાય છે.
કદમાં થતો આ વધારો પાઈપની દિવાલો પર મોટું બહારની તરફનું દબાણ લાવે છે,જેના કારણે તે ફાટી જાય છે.

(C) $0^{\circ}C$ તાપમાને રહેલા $1 \, g$ બરફનું $100^{\circ}C$ તાપમાને રહેલી વરાળમાં રૂપાંતર ત્રણ તબક્કામાં થાય છે:
$1$. $0^{\circ}C$ તાપમાને બરફનું $0^{\circ}C$ તાપમાને પાણીમાં રૂપાંતર: $Q_1 = m \cdot L_f = 1 \, g \times 80 \, cal/g = 80 \, cal$.
$2$. પાણીનું $0^{\circ}C$ થી $100^{\circ}C$ સુધી ગરમ થવું: $Q_2 = m \cdot c_w \cdot \Delta T = 1 \, g \times 1 \, cal/g^{\circ}C \times (100^{\circ}C - 0^{\circ}C) = 100 \, cal$.
$3$. $100^{\circ}C$ તાપમાને પાણીનું $100^{\circ}C$ તાપમાને વરાળમાં રૂપાંતર: $Q_3 = m \cdot L_v = 1 \, g \times 536 \, cal/g = 536 \, cal$.
કુલ જરૂરી ઉષ્મા $Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 80 + 100 + 536 = 716 \, cal$.

(A) $-10^{\circ}C$ તાપમાને રહેલા બરફનું $100^{\circ}C$ તાપમાને રહેલી વરાળમાં રૂપાંતર કરવાની પ્રક્રિયા ચાર તબક્કામાં થાય છે:
$1$. બરફને $-10^{\circ}C$ થી $0^{\circ}C$ સુધી ગરમ કરતા: $Q_1 = m c_{ice} \Delta T = 1 \times 0.5 \times 10 = 5 \text{ cal}$.
$2$. $0^{\circ}C$ તાપમાને બરફનું પાણીમાં રૂપાંતર કરતા: $Q_2 = m L_f = 1 \times 80 = 80 \text{ cal}$.
$3$. પાણીને $0^{\circ}C$ થી $100^{\circ}C$ સુધી ગરમ કરતા: $Q_3 = m c_{water} \Delta T = 1 \times 1 \times 100 = 100 \text{ cal}$.
$4$. $100^{\circ}C$ તાપમાને પાણીનું વરાળમાં રૂપાંતર કરતા: $Q_4 = m L_v = 1 \times 540 = 540 \text{ cal}$.
કુલ ઉષ્મા $Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4 = 5 + 80 + 100 + 540 = 725 \text{ cal}$.
કરવું પડતું કાર્ય $W = J \times Q = 4.2 \times 725 = 3045 \text{ J}$.

(A) જ્યારે પ્રવાહીનું બાષ્પ દબાણ બાહ્ય વાતાવરણીય દબાણ જેટલું થાય ત્યારે ઉત્કલન (boiling) થાય છે.
ચંદ્રની સપાટી પર કોઈ વાતાવરણ નથી,જેનો અર્થ છે કે બાહ્ય દબાણ શૂન્ય છે.
$30^{\circ}C$ તાપમાને પાણીનું બાષ્પ દબાણ શૂન્ય કરતા વધારે હોવાથી,તે તરત જ બાહ્ય દબાણ કરતા વધી જાય છે.
પરિણામે,પાણીનું ઉત્કલન બિંદુ નોંધપાત્ર રીતે ઘટી જાય છે અને જેવું ઢાંકણું ખોલવામાં આવે છે,પાણી $30^{\circ}C$ તાપમાને ઉકળવા લાગે છે.

(A) બરફ જેવા પદાર્થો કે જે થીજી જતી વખતે વિસ્તરે છે,તેમનું ગલનબિંદુ દબાણ પર આધારિત હોય છે.
ક્લોસિયસ-ક્લેપાયરોન સંબંધ મુજબ,બરફ માટે,દબાણમાં વધારો થવાથી ગલનબિંદુમાં ઘટાડો થાય છે.
તેથી,બરફના ટુકડા પર દબાણ લગાવીને,તમે તેનું ગલનબિંદુ ઘટાડો છો,જે 'રીજેલેશન' (regelation) પાછળનું મુખ્ય સિદ્ધાંત છે.

(B) બુલેટની ગતિઊર્જા અથડામણ દરમિયાન ઉષ્મા ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$1$. બુલેટના તાપમાનને $25^{\circ}C$ થી તેના ગલનબિંદુ $475^{\circ}C$ સુધી વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q_1 = mS(475 - 25)$ છે.
$2$. બુલેટને તેના ગલનબિંદુ પર પીગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q_2 = mL$ છે.
$3$. કુલ જરૂરી ઉષ્મા ઊર્જા $Q = Q_1 + Q_2 = mS(475 - 25) + mL$ છે.
$4$. ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બુલેટની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ એ ઉષ્મા $Q$ માં રૂપાંતરિત થાય છે,જ્યાં $K = JQ$ અને $J$ એ ઉષ્માનો યાંત્રિક તુલ્યાંક છે.
$5$. તેથી,$\frac{1}{2}mv^2 = J[mS(475 - 25) + mL]$.
$6$. પદોને ગોઠવતા,આપણને $mS(475 - 25) + mL = \frac{mv^2}{2J}$ મળે છે.

(A) પાણીની ઉપરના ભાગે સ્થિતિઊર્જા $PE = mgh$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ ઊર્જાનો અડધો ભાગ ઉષ્મા ઊર્જા $(Q)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે:
$Q = \frac{1}{2} mgh$
આપણે જાણીએ છીએ કે પાણીના તાપમાનમાં $\Delta \theta$ જેટલો વધારો કરવા માટે જરૂરી ઉષ્મા ઊર્જા:
$Q = mc\Delta \theta$
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$mc\Delta \theta = \frac{1}{2} mgh$
$\Delta \theta = \frac{gh}{2c}$
અહીં $g = 9.8 \ m/s^2$,$h = 84 \ m$,અને પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $c = 4200 \ J/(kg \cdot ^\circ C)$ છે:
$\Delta \theta = \frac{9.8 \times 84}{2 \times 4200}$
$\Delta \theta = \frac{823.2}{8400} = 0.098^\circ C$
આમ,તાપમાનમાં થતો વધારો $0.098^\circ C$ છે.

(A) જ્યારે પાણી ઊંચાઈ પરથી નીચે પડે છે,ત્યારે પાણીની સ્થિતિ ઊર્જા ગતિ ઊર્જામાં અને ત્યારબાદ ઘર્ષણ તથા અથડામણને કારણે ઉષ્મા ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો $(mgh)$ પાણીની આંતરિક ઊર્જામાં વધારો કરે છે.
તેથી,જમીનના સ્તર પરના પાણીનું તાપમાન ઊંચા સ્તર (ડેમની ટોચ) પરના પાણીના તાપમાન કરતા વધારે હોય છે.

(A) ધોધની ટોચ પર રહેલા પાણીની સ્થિતિઊર્જા નીચે ઉષ્મા ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$mgh = J \cdot m \cdot c \cdot \Delta \theta$
અહીં, $m$ એ પાણીનું દળ છે, $g = 9.8 \, m/s^2$, $h = 84 \, m$, $J = 4.2 \, J/cal$, અને $c = 1 \, cal/g^\circ C = 4200 \, J/kg^\circ C$ છે.
બંને બાજુથી $m$ ને દૂર કરતા:
$gh = J \cdot c \cdot \Delta \theta$
$\Delta \theta = \frac{gh}{Jc} = \frac{9.8 \times 84}{4.2 \times 4200}$
$\Delta \theta = \frac{823.2}{17640} = 0.196^\circ C$.

(A) ધારો કે કરાના ટુકડાનું કુલ દળ $m\, kg$ છે અને ઓગળતા બરફનું દળ $m'\, kg$ છે.
$h = 1000\, m$ ની ઊંચાઈએ કરાના ટુકડાની સ્થિતિઊર્જા $PE = mgh$ છે.
અહીં આપેલી શરત મુજબ,સંપૂર્ણ ગતિઊર્જા (જે શરૂઆતની સ્થિતિઊર્જા જેટલી જ હોય છે) ઉષ્મામાં રૂપાંતરિત થાય છે,તેથી ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $Q = mgh$ છે.
આ ઉષ્માનો ઉપયોગ $m'$ દળના બરફને ઓગાળવા માટે થાય છે: $Q = m'L$,જ્યાં $L$ એ બરફની ગલનગુપ્ત ઉષ્મા છે $(L = 80,000\, cal/kg)$.
ઉષ્માના યાંત્રિક તુલ્યાંક $J = 4.2\, J/cal$ નો ઉપયોગ કરતા,$m'$ દળ ઓગાળવા માટે જરૂરી ઊર્જા $m'L \times J$ થાય.
ઊર્જાનું સંતુલન કરતા: $mgh = m'L \times J$.
ઓગળતા બરફનો અંશ $\frac{m'}{m} = \frac{gh}{LJ}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{m'}{m} = \frac{10 \times 1000}{80,000 \times 4.2} = \frac{10,000}{336,000} = \frac{1}{33.6} \approx \frac{1}{33}$.

(B) સીસાના દડાની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mV^2$ છે.
આપેલ છે કે આ ઊર્જાના $50\%$ ભાગનું ઉષ્મામાં રૂપાંતર થાય છે,તેથી ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $Q = 0.5 \times K = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}mV^2 = \frac{1}{4}mV^2$ છે.
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માનું સૂત્ર $Q = mS\Delta\theta$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$S$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે અને $\Delta\theta$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
ઉષ્માના યાંત્રિક તુલ્યાંક $J$ નો ઉપયોગ કરતા,કાર્ય અને ઉષ્મા વચ્ચેનો સંબંધ $W = JQ$ છે.
અહીં,થયેલ કાર્ય (અથવા રૂપાંતરિત ઊર્જા) $\frac{1}{4}mV^2 = J(mS\Delta\theta)$ છે.
બંને બાજુથી $m$ ને દૂર કરતા,આપણને $\frac{V^2}{4} = JS\Delta\theta$ મળે છે.
તેથી,તાપમાનમાં થતો વધારો $\Delta\theta = \frac{V^2}{4JS}$ છે.

(C) પાણી દ્વારા ગુમાવેલી સ્થિતિ ઉર્જા ગરમી ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
સ્થિતિ ઉર્જા $PE = mgh$.
ગરમી ઉર્જા $Q = ms \Delta \theta$,જ્યાં $s$ એ પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે.
આપેલ છે $s = 1 \, cal/g^\circ C = 1000 \, cal/kg^\circ C$.
$1 \, cal = 4.3 \, J$ હોવાથી,$s = 1000 \times 4.3 = 4300 \, J/kg^\circ C$.
ઉર્જાને સરખાવતા: $mgh = ms \Delta \theta$.
$\Delta \theta = \frac{gh}{s} = \frac{9.8 \times 210}{4300}$.
$\Delta \theta = \frac{2058}{4300} \approx 0.4786 \, ^\circ C$.
આપેલ $J = 4.3 \, J/cal$ નો ઉપયોગ કરતા,$\Delta \theta \approx 0.48 \, ^\circ C$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,સાચો જવાબ $0.49 \, ^\circ C$ છે.

(C) ગોળીની ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
અહીં $m = 10\, g = 0.01\, kg$ અને $v = 300\, m/s$ આપેલ છે.
$K.E. = \frac{1}{2} \times 0.01 \times (300)^2 = 0.005 \times 90000 = 450\, J$.
આ ઊર્જાના $50\%$ ભાગનું શોષણ ગોળી દ્વારા ઉષ્મા સ્વરૂપે થાય છે: $Q = 0.5 \times 450 = 225\, J$.
શોષાયેલી ઉષ્માનું સૂત્ર $Q = mc\Delta\theta$ છે,જ્યાં $c = 150\, J/kg\cdot K$.
$225 = 0.01 \times 150 \times \Delta\theta$.
$225 = 1.5 \times \Delta\theta$.
$\Delta\theta = \frac{225}{1.5} = 150^\circ C$.

(D) પ્રવાહીનું ઉત્કલનબિંદુ એ તાપમાન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે જે તાપમાને તેનું બાષ્પ દબાણ પ્રવાહીની સપાટી પર લાગતા બાહ્ય દબાણ જેટલું થાય છે. જ્યારે આ સ્થિતિ પ્રાપ્ત થાય છે,ત્યારે પ્રવાહી તેના સમગ્ર જથ્થામાં પ્રવાહી અવસ્થામાંથી વાયુ અવસ્થામાં રૂપાંતરિત થવાનું શરૂ કરે છે.

(C) પ્રવાહીનું ઉત્કલન બિંદુ એ તાપમાન છે કે જેના પર તેનું બાષ્પ દબાણ બાહ્ય વાતાવરણીય દબાણ જેટલું થાય છે.
જ્યારે પાણીની સપાટી પરનું બાહ્ય દબાણ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે પાણીના બાષ્પ દબાણને નવા,ઊંચા બાહ્ય દબાણ સુધી પહોંચાડવા માટે વધુ ઉષ્મીય ઊર્જાની જરૂર પડે છે.
તેથી,જેમ દબાણ વધે છે તેમ પાણીનું ઉત્કલન બિંદુ વધે છે.
આમ,ઉત્કલન તાપમાન $100^{\circ}C$ કરતા વધારે હશે.

(A) ક્લોસિયસ-ક્લેપરોન સમીકરણ મુજબ,દબાણ સાથે ઠારબિંદુમાં થતો ફેરફાર $\frac{dT}{dP} = \frac{T(V_2 - V_1)}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ તાપમાન છે,$V_2$ અને $V_1$ અનુક્રમે ઘન અને પ્રવાહી અવસ્થાના કદ છે,અને $L$ એ ગલનગુપ્ત ઉષ્મા છે.
જો દબાણ વધારવાથી ઠારબિંદુ ઘટતું હોય,તો $\frac{dT}{dP} < 0$ થાય.
અહીં $T$ અને $L$ ધન હોવાથી,આનો અર્થ એ થાય કે $(V_2 - V_1) < 0$,એટલે કે $V_2 < V_1$.
આ દર્શાવે છે કે ઘન પદાર્થનું કદ પ્રવાહી કરતા ઓછું છે,એટલે કે પદાર્થ ઠરતી વખતે સંકોચાય છે.
જોકે,પાણી જેવા પદાર્થો માટે,જે ઠરતી વખતે વિસ્તરણ પામે છે $(V_{solid} > V_{liquid})$,દબાણ વધારતા ઠારબિંદુ ઘટે છે.
તેથી,સાચી શરત એ છે કે પ્રવાહી ઠરતી વખતે વિસ્તરણ પામે છે.

(A) હથોડાની ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2} M v^2 = \frac{1}{2} \times 1 \times (50)^2 = 1250 \, J$ છે.
આ ઊર્જાનો અડધો ભાગ ઉષ્મામાં રૂપાંતરિત થતો હોવાથી,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $Q = \frac{1}{2} \times 1250 = 625 \, J$ છે.
તેને કેલરીમાં ફેરવવા માટે,ઉષ્માનો યાંત્રિક તુલ્યાંક $J = 4.2 \, J/cal$ લેતા,$Q_{cal} = \frac{625}{4.2} \approx 148.81 \, cal$ મળે.
ખીલી દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા $Q = m c \Delta \theta$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $m = 200 \, g$,$c = 0.105 \, cal/g^{\circ}C$ અને $\Delta \theta$ એ તાપમાનમાં થતો વધારો છે.
કિંમતો મૂકતા: $148.81 = 200 \times 0.105 \times \Delta \theta$.
$148.81 = 21 \times \Delta \theta$.
$\Delta \theta = \frac{148.81}{21} \approx 7.086^{\circ}C \approx 7.1^{\circ}C$.

(B) વસ્તુની સ્થિતિ ઉર્જા અથડામણ સમયે ઉષ્મા ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા: $W = H$
$Mgh = mL$
જ્યાં $M = 3.5\, kg$,$g = 10\, m/s^2$,$h = 2000\, m$,અને $L = 3.5 \times 10^5\, J/kg$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$3.5 \times 10 \times 2000 = m \times 3.5 \times 10^5$
$70000 = m \times 3.5 \times 10^5$
$m = \frac{70000}{3.5 \times 10^5} = \frac{7 \times 10^4}{3.5 \times 10^5} = \frac{2}{10} = 0.2\, kg$
ગ્રામમાં ફેરવતા: $0.2\, kg = 200\, g$.
આમ,$200\, g$ બરફ પીગળશે.

(C) $0^{\circ}C$ તાપમાને રહેલા બરફને $100^{\circ}C$ તાપમાને વરાળમાં રૂપાંતરિત કરવાની પ્રક્રિયા ત્રણ તબક્કામાં થાય છે:
તબક્કો $1$: $0^{\circ}C$ તાપમાને રહેલા બરફનું $0^{\circ}C$ તાપમાને રહેલા પાણીમાં રૂપાંતર.
$Q_1 = m \cdot L_f = 5 \times 80 = 400\,cal$
તબક્કો $2$: પાણીને $0^{\circ}C$ થી $100^{\circ}C$ સુધી ગરમ કરવું.
$Q_2 = m \cdot c_w \cdot \Delta T = 5 \times 1 \times (100 - 0) = 500\,cal$
તબક્કો $3$: $100^{\circ}C$ તાપમાને રહેલા પાણીનું $100^{\circ}C$ તાપમાને રહેલી વરાળમાં રૂપાંતર.
$Q_3 = m \cdot L_v = 5 \times 540 = 2700\,cal$
કુલ જરૂરી ઉષ્મા $Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 400 + 500 + 2700 = 3600\,cal$.

(C) દબાણ-તાપમાન $(P-T)$ ફેઝ ડાયાગ્રામ પરના ત્રિ-બિંદુ (Triple point) ને એવી અનન્ય સ્થિતિ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં પદાર્થની ઘન,પ્રવાહી અને વાયુ અવસ્થાઓ એકસાથે થર્મોડાયનેમિક સંતુલનમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
તેથી,સાચો જવાબ ત્રિ-બિંદુ છે.

(D) ડ્રાય આઈસ એ ઘન કાર્બન ડાયોક્સાઇડ $(CO_2)$ નું સામાન્ય નામ છે.
તેને 'સૂકો' કહેવામાં આવે છે કારણ કે તે ઉર્ધ્વપાતન (sublimation) ની પ્રક્રિયા અનુભવે છે,જેનો અર્થ છે કે તે વાતાવરણીય દબાણ પર પ્રવાહી અવસ્થામાં આવ્યા વિના સીધું ઘનમાંથી વાયુ અવસ્થામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) પ્રવાહીમાં ડૂબાડેલી વસ્તુનું આભાસી વજન $W_{app} = W_{real} - F_B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F_B$ એ ઉત્પ્લાવક બળ છે.
$F_B = V_{submerged} \cdot \rho_{liquid} \cdot g$.
ધાતુનો કદ પ્રસરણાંક આલ્કોહોલ કરતા ઓછો હોવાથી,આપણે ધારી શકીએ કે તાપમાન વધતા ધાતુના દડાનું કદ $V$ લગભગ અચળ રહે છે.
$0^{\circ}C$ તાપમાને,$W_1 = W_0 - V \rho_0 g$,જ્યાં $\rho_0$ એ $0^{\circ}C$ તાપમાને આલ્કોહોલની ઘનતા છે.
$59^{\circ}C$ તાપમાને,$W_2 = W_0 - V \rho_{59} g$,જ્યાં $\rho_{59}$ એ $59^{\circ}C$ તાપમાને આલ્કોહોલની ઘનતા છે.
જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ આલ્કોહોલની ઘનતા ઘટે છે,તેથી $\rho_{59} < \rho_0$.
કારણ કે $\rho_{59} < \rho_0$,તેથી $V \rho_{59} g < V \rho_0 g$ થાય.
તેથી,$W_0 - V \rho_{59} g > W_0 - V \rho_0 g$,જેનો અર્થ છે કે $W_2 > W_1$ અથવા $W_1 < W_2$.

(B) પદાર્થોને સામાન્ય રીતે ઠરતી વખતે તેમના કદમાં થતા ફેરફારના આધારે બે શ્રેણીઓમાં વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે:
$(i)$ પાણી જેવા પદાર્થો,જે ઠરતી વખતે વિસ્તરણ પામે છે. આ પદાર્થો માટે,દબાણ વધવાથી ગલનબિંદુ ઘટે છે.
$(ii)$ મીણ,ઘી વગેરે જેવા પદાર્થો,જે ઠરતી વખતે સંકોચાય છે. આ પદાર્થો માટે,દબાણ વધવાથી ગલનબિંદુ વધે છે.
જ્યારે પીગળેલા મીણને મોટા પાત્રમાં ઠંડુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહીના સ્તંભના વજનને કારણે તળિયે દબાણ ઉપરની સપાટી કરતા વધારે હોય છે. મીણનું ગલનબિંદુ દબાણ સાથે વધતું હોવાથી,જેમ તાપમાન ઘટે છે તેમ તળિયે રહેલું મીણ સૌથી પહેલા તેના ઠરવાના તાપમાને પહોંચે છે. તેથી,ઠરવાની પ્રક્રિયા નીચેથી શરૂ થાય છે અને ઉપરની તરફ આગળ વધે છે.

(A) ધારો કે ગોળીનું દળ $m \, g$ છે. ગોળીને તેના ગલનબિંદુ સુધી પહોંચવા અને ઓગળવા માટે જરૂરી કુલ ઉષ્મા $Q_1 = mc\Delta\theta + mL$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $Q_1 = m \times 0.03 \times (327 - 27) + m \times 6 = m \times 0.03 \times 300 + 6m = 9m + 6m = 15m \, cal$.
આને જુલમાં ફેરવતા: $Q_1 = 15m \times 4.2 = 63m \, J$.
ગોળીની ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2} M v^2$ છે,જ્યાં $M$ એ કિલોગ્રામમાં દળ છે $(M = m \times 10^{-3} \, kg)$.
કારણ કે $25\%$ ઉષ્મા અવરોધ દ્વારા શોષાય છે,તેથી ગોળીને ઓગળવા માટે ગતિઊર્જાનો $75\%$ ભાગ વપરાય છે.
તેથી,$0.75 \times (\frac{1}{2} \times m \times 10^{-3} \times v^2) = 63m$.
સાદું રૂપ આપતા: $\frac{0.75}{2} \times 10^{-3} \times v^2 = 63$.
$0.375 \times 10^{-3} \times v^2 = 63$.
$v^2 = \frac{63}{0.375 \times 10^{-3}} = \frac{63000}{0.375} = 168000$.
$v = \sqrt{168000} \approx 409.87 \, m/s \approx 410 \, m/s$.

(C) દડાની ગતિ ઉર્જા અથડામણ વખતે ઉષ્મા ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ધારો કે $m$ એ દડાનું દળ છે,$v$ એ વેગ છે,$c$ એ ધાતુની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે,અને $\Delta \theta$ એ તાપમાનમાં થતો વધારો છે.
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા ઉર્જા $Q = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
આ ઉષ્મા ઉર્જાનો ઉપયોગ તાપમાન વધારવા માટે થાય છે: $Q = mc\Delta \theta$.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{1}{2}mv^2 = mc\Delta \theta$.
$\Delta \theta$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $\Delta \theta = \frac{v^2}{2c}$.
અહીં વેગ $v$ અને વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $c$ બંને દડા માટે સમાન હોવાથી,તાપમાનમાં થતો વધારો $\Delta \theta$ એ દળ $m$ પર આધારિત નથી.
તેથી,બંને દડા માટે તાપમાનમાં વધારો સમાન રહેશે.

(A) પાણીની ઘનતા અસામાન્ય વર્તણૂક દર્શાવે છે. જ્યારે પાણીને $0^{\circ}C$ થી $4^{\circ}C$ સુધી ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું કદ ઘટે છે,જેના કારણે તેની ઘનતા વધે છે. $4^{\circ}C$ તાપમાને,પાણીની ઘનતા તેના મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે. જ્યારે તાપમાન $4^{\circ}C$ થી વધે છે,ત્યારે પાણીનું વિસ્તરણ થાય છે,જેના કારણે તેની ઘનતા ઘટે છે. તેથી,ઘનતા વિરુદ્ધ તાપમાનનો આલેખ $4^{\circ}C$ પર એક શિખર (peak) દર્શાવે છે.

(C) આપેલ છે: મીણનું દળ $m = 50 \, g$,વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c = 0.6 \, cal/g \cdot ^\circ C$.
આલેખ પરથી,પ્રથમ મિનિટમાં ($t = 0$ થી $t = 1 \, min$),મીણનું તાપમાન $0^\circ C$ થી વધીને $50^\circ C$ થાય છે.
ઉષ્મા માટેનું સૂત્ર વાપરતા: $Q = mc\Delta T$.
$Q = 50 \, g \times 0.6 \, cal/g \cdot ^\circ C \times (50^\circ C - 0^\circ C)$.
$Q = 50 \times 0.6 \times 50 = 1500 \, cal$.
આમ,પ્રતિ મિનિટ આપવામાં આવતી ઉષ્મા $1500 \, cal$ છે.
આલેખ પરથી,$t = 6 \, min$ અને $t = 8 \, min$ ની વચ્ચે તાપમાન $200^\circ C$ પર અચળ રહે છે,જે મીણની અવસ્થામાં ફેરફાર (ઉકળવું) સૂચવે છે.
તેથી,મીણનું ઉત્કલનબિંદુ $200^\circ C$ છે.
સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) કોઈપણ પદાર્થનું ટ્રિપલ પોઈન્ટ (ત્રિબિંદુ) એ તાપમાન અને દબાણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં તે પદાર્થની ત્રણેય અવસ્થાઓ (ઘન,પ્રવાહી અને વાયુ) થર્મોડાયનેમિક સંતુલનમાં એકસાથે અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,શુદ્ધ પાણીનું ટ્રિપલ પોઈન્ટ $273.16 \; K$ તાપમાન અને $611.2 \; Pa$ દબાણે જોવા મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(C) સંતૃપ્ત પાણીની વરાળ તેની પ્રવાહી અવસ્થા સાથે સંતુલનમાં હોય છે.
સંતૃપ્ત વરાળના ગુણધર્મો અનુસાર,સંતૃપ્ત વરાળનું દબાણ ફક્ત તેના તાપમાન પર આધાર રાખે છે,તેના કદ પર નહીં.
જ્યારે પાત્રનું કદ સમતાપી રીતે (અચળ તાપમાને) ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે સંતૃપ્ત દબાણ જાળવી રાખવા માટે વરાળનો કેટલોક ભાગ પ્રવાહીમાં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી,જ્યાં સુધી તાપમાન અચળ રહે છે,ત્યાં સુધી કદમાં ફેરફાર થવા છતાં દબાણ અચળ રહે છે.
આમ,અંતિમ દબાણ $P$ રહેશે.

(A) અચળ દબાણે તંત્ર દ્વારા થતું કાર્ય $W = P \Delta V = P(V_f - V_i)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
દબાણ $P = 1 \times 10^5\, N/m^2$.
$0^{\circ}C$ તાપમાને $1\, g$ પાણીનું પ્રારંભિક કદ $V_i = 1\, cm^3 = 1 \times 10^{-6}\, m^3$.
બરફનું અંતિમ કદ $V_f = 1.091\, cm^3 = 1.091 \times 10^{-6}\, m^3$.
કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = V_f - V_i = (1.091 - 1) \times 10^{-6}\, m^3 = 0.091 \times 10^{-6}\, m^3$.
થતું કાર્ય $W = 1 \times 10^5 \times 0.091 \times 10^{-6} = 0.091 \times 10^{-1} = 0.0091\, J$.

(D) ઠંડા પડવાનો દર એ ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર છે,જે $\frac{dQ}{dt} = (m_l c_l + m_c c_c) \frac{d\theta}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$m_l = 0.5 \ kg$,$c_l = 2400 \ J/kg \cdot K$,$m_c = 0.2 \ kg$,$c_c = 900 \ J/kg \cdot K$ છે.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta \theta = 60^{\circ}C - 55^{\circ}C = 5^{\circ}C$ અને સમયગાળો $\Delta t = 1 \ minute = 60 \ seconds$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dQ}{dt} = (0.5 \times 2400 + 0.2 \times 900) \times \frac{5}{60}$
$\frac{dQ}{dt} = (1200 + 180) \times \frac{5}{60}$
$\frac{dQ}{dt} = 1380 \times \frac{1}{12} = 115 \ J/s$.

(D) ન્યુટ્રલ તાપમાને,થર્મોઈલેક્ટ્રિક સર્કિટમાં $e.m.f.$ $(E)$ તેની મહત્તમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $E$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ:
$\frac{dE}{dt} = 0$
આપેલ છે કે $E = At - Bt^2$,તેથી $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dt}(At - Bt^2) = 0$
$A - 2Bt = 0$
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે:
$t = \frac{A}{2B}$
આમ,ન્યુટ્રલ તાપમાન $\frac{A}{2B}$ છે.

(B) તટસ્થ તાપમાન પર,થર્મલ $emf$ $(e)$ તેનું મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.
મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે $emf$ સમીકરણનું તાપમાન $(t)$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ અને તેને શૂન્ય તરીકે લઈએ છીએ:
$\frac{de}{dt} = \frac{d}{dt}(at + \frac{1}{2}bt^2) = a + bt$
મહત્તમ સ્થિતિ માટે વિકલનને શૂન્ય સેટ કરતા:
$a + bt_n = 0$
તટસ્થ તાપમાન $(t_n)$ માટે ઉકેલતા:
$t_n = -a/b$
આમ,તટસ્થ તાપમાન $-a/b$ છે.

(A) થર્મોકપલમાં થર્મો $e.m.f.$ $E$ એ $E = \alpha\theta + \frac{1}{2}\beta\theta^2$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ગરમ જંકશનનું તાપમાન $^{\circ}C$ માં છે અને ઠંડું જંકશન $0\,^{\circ}C$ પર છે.
આપેલ સમીકરણ $E = 14\theta - 0.02\theta^2$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 14$ અને $\frac{1}{2}\beta = -0.02$ મળે છે.
તેથી,$\beta = -0.04$.
તટસ્થ તાપમાન $\theta_n$ એ તાપમાન છે જ્યાં થર્મો $e.m.f.$ મહત્તમ હોય છે,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે $\frac{dE}{d\theta} = 0$ હોય.
$\frac{dE}{d\theta} = 14 - 0.04\theta = 0$.
$\theta$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\theta_n = \frac{14}{0.04} = 350\,^{\circ}C$ મળે છે.

(D) થર્મો $e.m.f.$ નું સમીકરણ $E = a\theta + b\theta^2$ છે.
તટસ્થ તાપમાન $\theta_n$ એ તાપમાન છે જ્યાં થર્મો $e.m.f.$ મહત્તમ હોય છે,એટલે કે $\frac{dE}{d\theta} = 0$.
$\frac{dE}{d\theta} = a + 2b\theta = 0$.
$\theta_n = -\frac{a}{2b}$.
આપેલ છે કે $\frac{a}{b} = 700\,^{\circ}C$,તેથી:
$\theta_n = -\frac{1}{2} \times (700\,^{\circ}C) = -350\,^{\circ}C$.
સામાન્ય થર્મોકપલ માટે તટસ્થ તાપમાન કોલ્ડ જંકશનના તાપમાન $(0\,^{\circ}C)$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ,તેથી ઋણ મૂલ્ય સૂચવે છે કે આ ચોક્કસ થર્મોકપલ માટે કોઈ તટસ્થ તાપમાન ભૌતિક રીતે શક્ય નથી.

(A) પાણીનું દળ $m = \text{ઘનતા} \times \text{કદ} = 1\, kg/L \times 2\, L = 2\, kg$ છે.
તાપમાન વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = mc\Delta T$ છે.
$Q = 2\, kg \times 4.2 \times 10^3\, J/(kg \cdot K) \times (77 - 27)\, K = 2 \times 4200 \times 50 = 420,000\, J$.
પાણીને મળતો ચોખ્ખો પાવર $P_{\text{net}} = P_{\text{coil}} - P_{\text{loss}} = 1000\, W - 160\, W = 840\, W$ છે.
જરૂરી સમય $t = Q / P_{\text{net}} = 420,000 / 840 = 500\, s$ છે.
મિનિટમાં રૂપાંતર: $500\, s = 8\, \min\, 20\, s$.

(A) થર્મોકપલમાં થર્મોઈલેક્ટ્રિક ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $E$ એ સંબંધ $E = \alpha \theta + \frac{1}{2} \beta \theta^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ગરમ અને ઠંડા જંકશન વચ્ચેનો તાપમાનનો તફાવત છે.
થર્મોઈલેક્ટ્રિક પાવર $P$ ને તાપમાનના તફાવતની સાપેક્ષમાં થર્મોઈલેક્ટ્રિક ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સના બદલાવના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,એટલે કે $P = \frac{dE}{d\theta}$.
$E$ ના સમીકરણનું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$P = \frac{d}{d\theta} (\alpha \theta + \frac{1}{2} \beta \theta^2) = \alpha + \beta \theta$.
અહીં,$\alpha$ અને $\beta$ એ થર્મોકપલ સામગ્રી માટે વિશિષ્ટ અચળાંકો છે. થર્મોકપલ માટે $\beta$ સામાન્ય રીતે ઋણ હોય છે,તેથી સમીકરણ $P = \alpha + \beta \theta$ એ ઋણ ઢાળ સાથેનો રેખીય સંબંધ દર્શાવે છે.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = P$,$x = \theta$,$m = \beta$,અને $c = \alpha$,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે થર્મોઈલેક્ટ્રિક પાવર વિરુદ્ધ તાપમાનના તફાવતનો આલેખ ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ માં આપેલો આલેખ આ રેખીય ફેરફારને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(A) આઈસ્ક્રીમને ઓગાળવા માટે જરૂરી ઉર્જા $Q = m \times L$ દ્વારા મળે છે, જ્યાં $m = 20 \, g$ અને $L = 80 \, cal/g$ છે.
$Q = 20 \, g \times 80 \, cal/g = 1600 \, cal$.
આ ઉર્જાને જૂલમાં ફેરવતા: $Q = 1600 \times 4.2 \, J = 6720 \, J$.
લાગતો સમય $t = 5 \, \text{મિનિટ} = 5 \times 60 \, s = 300 \, s$ છે.
પાવર $P = \frac{W}{t} = \frac{6720 \, J}{300 \, s} = 22.4 \, W$.
પાવરને હોર્સ પાવર $(HP)$ માં ફેરવવા માટે, આપણે $1 \, HP = 746 \, W$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$P = \frac{22.4}{746} \, HP \approx 0.03 \, HP$.

(C) તાપમાનમાં વધારો થવાથી ઘન,પ્રવાહી અને વાયુ પદાર્થોમાં ઉષ્મીય પ્રસરણ થાય છે.
સૂત્ર $\text{ઘનતા} = \frac{\text{દળ}}{\text{કદ}}$ મુજબ,જેમ તાપમાન વધે છે તેમ પદાર્થનું કદ વધે છે જ્યારે દળ અચળ રહે છે.
તેથી,પદાર્થની ઘનતામાં ઘટાડો થાય છે.

(A) $h$ ઊંચાઈએ રહેલા બરફના ગાંગડાની સ્થિતિ-ઊર્જા ગતિ-ઊર્જામાં અને અથડામણ બાદ ઉષ્મામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ધારો કે બરફનું દળ $m$ છે અને પીગળતા બરફનો ભાગ $k$ છે.
સ્થિતિ-ઊર્જા $PE = mgh$.
$k$ ભાગ પીગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = k \cdot m \cdot L$.
ઊર્જા સંરક્ષણ મુજબ: $mgh = kmL$.
તેથી,$k = \frac{gh}{L}$.
અહીં $g = 10 \ m/s^{2}$,$h = 1000 \ m$,અને $L = 3.36 \times 10^{5} \ J/kg$ આપેલ છે.
$k = \frac{10 \times 1000}{3.36 \times 10^{5}} = \frac{10000}{336000} = \frac{1}{33.6} \approx \frac{1}{33}$.

(C) પાણી $4 \text{ } ^\circ C$ તાપમાને મહત્તમ ઘનતા ધરાવે છે.
$4 \text{ } ^\circ C$ થી ઊંચા તાપમાને,ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે પાણીનું કદ વધે છે.
$4 \text{ } ^\circ C$ થી નીચા તાપમાને,પાણીના અનિયમિત પ્રસરણને કારણે પણ પાણીનું કદ વધે છે.
બંને કિસ્સામાં (ગરમ કરવાથી કે ઠંડું પાડવાથી) પાણીનું કદ વધતું હોવાથી,પાણી બીકરમાંથી છલકાશે.

(B) તાપમાનમાં વધારાને કારણે સળિયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta l = \alpha l \Delta \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,લંબાઈમાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta l}{l} = \alpha \Delta \theta$ છે.
સરળ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $T \propto l^{1/2}$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta l}{l}$ મળે છે.
$\frac{\Delta l}{l}$ માટેનું સમીકરણ મૂકતા,આપણને $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$ મળે છે.
અહીં $\alpha = 2 \times 10^{-6} {\circ}C^{-1}$ અને $\Delta \theta = 10^{\circ}C$ આપેલ છે,
તેથી $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-6}) \times 10 = 10^{-5}$.
પ્રતિશત ફેરફાર શોધવા માટે,$100$ વડે ગુણતા:
$\frac{\Delta T}{T} \times 100 = 10^{-5} \times 100 = 10^{-3} \%$.
આમ,આવર્તકાળમાં થતો પ્રતિશત ફેરફાર $1 \times 10^{-3} \%$ છે.

(C) જ્યારે ગોળી પ્રસ્થાન સ્થાન પર પાછી આવે છે ત્યારે તેની ગતિ-ઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોય છે.
અહીં $m = 50 \ g = 0.05 \ kg$ અને $v = 840 \ m/s$ છે.
$K = \frac{1}{2} \times 0.05 \times (840)^2 = 17640 \ J$.
આ ઊર્જાને કેલરીમાં ફેરવતા $(1 \ cal = 4.2 \ J)$: $Q_1 = \frac{17640}{4.2} = 4200 \ cal$.
વધુમાં,ગોળી $30^{\circ}C$ થી $0^{\circ}C$ સુધી ઠંડી પડે છે,જે ઉષ્મા $Q_2 = mc\Delta T$ મુક્ત કરે છે.
$Q_2 = 50 \times 0.02 \times (30 - 0) = 30 \ cal$.
કુલ ઉપલબ્ધ ઉષ્મા $Q = Q_1 + Q_2 = 4200 + 30 = 4230 \ cal$.
$Q = mL_f$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $L_f = 80 \ cal/g$:
$m_{ice} = \frac{4230}{80} = 52.875 \ g$.

(B) ન્યુટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર તાપમાનના તફાવત પર આધાર રાખે છે. સમાન તાપમાનના ગાળા માટે,કુલ ગુમાવેલી ઉષ્મા તંત્રની ઉષ્મા ધારિતાના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
સૂત્ર: $\frac{W + m_1 s_1}{t_1} = \frac{W + m_2 s_2}{t_2}$
અહીં,$W = 5 \times 10^{-3} \ kg$ (જલતૂલ્યાંક),
$m_1 = 25 \times 10^{-3} \ kg$ (પાણીનું દળ),$s_1 = 1 \ cal/g^{\circ}C$ (પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા),
$m_2 = 25 \times 10^{-3} \ kg$ (ટરપિન ઓઈલનું દળ),$s_2 = ?$ (ટરપિન ઓઈલની વિશિષ્ટ ઉષ્મા),
$t_1 = 3 \ min$,$t_2 = 2 \ min$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{5 \times 10^{-3} + 25 \times 10^{-3} \times 1}{3} = \frac{5 \times 10^{-3} + 25 \times 10^{-3} \times s_2}{2}$
$\frac{30 \times 10^{-3}}{3} = \frac{5 \times 10^{-3} (1 + 5s_2)}{2}$
$10 \times 10^{-3} = 2.5 \times 10^{-3} (1 + 5s_2)$
$4 = 1 + 5s_2$
$3 = 5s_2 \implies s_2 = 0.6 \ cal/g^{\circ}C$.

(C) પાણીની ઘનતા $4^{\circ}C$ તાપમાને મહત્તમ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે આપેલ દળના પાણીનું કદ $4^{\circ}C$ તાપમાને ન્યૂનતમ હોય છે.
જ્યારે પાણીને $4^{\circ}C$ થી ઉપર ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે તેનું કદ વધે છે.
જ્યારે પાણીને $4^{\circ}C$ થી નીચે ઠંડુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પાણીના અસામાન્ય પ્રસરણને કારણે પણ તેનું કદ વધે છે.
બીકર $4^{\circ}C$ તાપમાને પહેલેથી જ ભરેલું હોવાથી,બંને કિસ્સામાં કદમાં થતો વધારો પાણીને ઓવરફ્લો કરશે.
તેથી,જો પાણીને $4^{\circ}C$ થી ઉપર ગરમ કરવામાં આવે અથવા $4^{\circ}C$ થી નીચે ઠંડુ કરવામાં આવે તો તે ઓવરફ્લો થશે.

(A) $0^{\circ}C$ તાપમાને રહેલા $5 \, g$ બરફને $100^{\circ}C$ તાપમાને પાણીમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે જરૂરી ઉષ્મા:
$Q_1 = m_i L_f + m_i c_w \Delta T$
$Q_1 = (5 \times 80) + (5 \times 1 \times 100) = 400 + 500 = 900 \, cal$.
$100^{\circ}C$ તાપમાને રહેલી $5 \, g$ વરાળ દ્વારા $100^{\circ}C$ તાપમાને પાણીમાં રૂપાંતરિત થતી વખતે મુક્ત થતી ઉષ્મા:
$Q_2 = m_s L_v = 5 \times 540 = 2700 \, cal$.
અહીં $Q_2 > Q_1$ હોવાથી,વરાળ પાસે બરફને ઓગાળીને તેનું તાપમાન $100^{\circ}C$ સુધી લઈ જવા માટે પૂરતી ઉષ્મા છે.
તેથી,મિશ્રણનું અંતિમ તાપમાન $100^{\circ}C$ રહેશે.

(A) બરફનું દળ $m = 40 \; g = 0.04 \; kg$.
પગલું $1$: બરફનું તાપમાન $-20^{\circ} C$ થી $0^{\circ} C$ સુધી વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા:
$Q_1 = m \cdot c_{\text{ice}} \cdot \Delta T = 0.04 \times 2100 \times 20 = 1680 \; J$.
પગલું $2$: $0^{\circ} C$ તાપમાને બરફને $0^{\circ} C$ તાપમાનના પાણીમાં ઓગાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા:
$Q_2 = m \cdot L_{\text{ice}} = 0.04 \times 0.336 \times 10^6 = 13440 \; J$.
પગલું $3$: પાણીનું તાપમાન $0^{\circ} C$ થી $20^{\circ} C$ સુધી વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા:
$Q_3 = m \cdot c_{\text{water}} \cdot \Delta T = 0.04 \times 4200 \times 20 = 3360 \; J$.
કુલ જરૂરી ઉષ્મા $Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 1680 + 13440 + 3360 = 18480 \; J$.