Mix Examples-Thermometry, Thermal Expansion and Calorimetry Questions in Gujarati

(C) $1, kg$ પાણીનું તાપમાન $20, ^oC$ થી $100, ^oC$ સુધી વધારવા અને ત્યારબાદ તેનું બાષ્પીભવન કરવા માટે જરૂરી કુલ ઉષ્મા $Q$ નીચે મુજબ છે:
$Q = mc\Delta T + mL$
અહીં, $m = 1, kg$, $c = 4200, J/kg, ^oC$, $\Delta T = (100 - 20) = 80, ^oC$, અને $L = 2260 \times 10^3, J/kg$.
$Q = (1 \times 4200 \times 80) + (1 \times 2260 \times 10^3) = 336000 + 2260000 = 2596000, J$.
હીટિંગ એલિમેન્ટ દ્વારા વપરાતો પાવર $P$:
$P = \frac{V_{rms}^2}{R} = \frac{200^2}{20} = \frac{40000}{20} = 2000, W$.
લાગતો સમય $t = \frac{Q}{P}$:
$t = \frac{2596000}{2000} = 1298, s$.
મિનિટમાં ફેરવતા: $t = \frac{1298}{60} \approx 21.63, min \approx 22, min$.

(B) પદાર્થનું તાપમાન $T = 6t^2 + 4$ વિધેય દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમયની સાપેક્ષમાં તાપમાનમાં થતા ફેરફારનો દર શોધવા માટે,આપણે $T$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$\frac{dT}{dt} = \frac{d}{dt}(6t^2 + 4) = 12t$.
હવે,આપણે $t = 10 \ s$ સમયે આ દરની ગણતરી કરીશું:
$\frac{dT}{dt} \Big|_{t=10} = 12 \times 10 = 120 \ K/s$.
તેથી,$t = 10 \ s$ સમયે તાપમાનમાં થતા ફેરફારનો દર $120 \ K/s$ છે.

(A) ડ્રિલિંગ મશીનનો પાવર $P = 10 \, kW = 10^4 \, W$.
સમય $t = 2.5 \, minutes = 2.5 \times 60 = 150 \, s$.
કુલ ઉર્જા $E = P \times t = 10^4 \times 150 = 1.5 \times 10^6 \, J$.
પાવરના $50 \%$ વ્યય થતા હોવાથી,એલ્યુમિનિયમ બ્લોક દ્વારા શોષાયેલી ઉર્જા $Q = 50 \% \text{ of } E = 0.5 \times 1.5 \times 10^6 = 7.5 \times 10^5 \, J$.
બ્લોકનું દળ $m = 8 \, kg = 8000 \, g$.
એલ્યુમિનિયમની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $s = 0.91 \, J/g \cdot ^\circ C$.
સૂત્ર $Q = ms \Delta T$ નો ઉપયોગ કરતા:
$7.5 \times 10^5 = 8000 \times 0.91 \times \Delta T$.
$7.5 \times 10^5 = 7280 \times \Delta T$.
$\Delta T = \frac{750000}{7280} \approx 103.02 \, ^\circ C$.
આમ,તાપમાનમાં થતો વધારો આશરે $103 \, ^\circ C$ છે.

(A) $0^{\circ}C$ પર રહેલા $1\; g$ બરફને $100^{\circ}C$ પર રહેલા પાણીમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે જરૂરી ઉષ્માની ગણતરી કરીએ:
બરફને ઓગાળવા માટેની ઉષ્મા: $Q_1 = m L_f = 1\; g \times 80\; cal/g = 80\; cal$.
પાણીનું તાપમાન $0^{\circ}C$ થી $100^{\circ}C$ સુધી વધારવા માટેની ઉષ્મા: $Q_2 = m c \Delta T = 1\; g \times 1\; cal/g^{\circ}C \times 100^{\circ}C = 100\; cal$.
બરફ દ્વારા જરૂરી કુલ ઉષ્મા: $Q_{total} = 80 + 100 = 180\; cal$.
હવે,$100^{\circ}C$ પર રહેલી $1\; g$ વરાળ દ્વારા $100^{\circ}C$ પર પાણીમાં રૂપાંતરિત થતી વખતે મુક્ત થતી ઉષ્માની ગણતરી કરીએ:
મુક્ત થતી ઉષ્મા: $Q_{steam} = m L_v = 1\; g \times 540\; cal/g = 540\; cal$.
વરાળ દ્વારા મુક્ત થતી ઉષ્મા $(540\; cal)$ એ બરફ દ્વારા જરૂરી ઉષ્મા $(180\; cal)$ કરતા વધારે હોવાથી,અંતિમ મિશ્રણ $100^{\circ}C$ તાપમાને રહેશે.

(C) ગોળીની ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
અહીં દળ $m = 10\,g = 0.01\,kg$,વેગ $v = 300\,m/s$,અને વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c = 150\,J/kg\cdot K$ આપેલ છે.
ઉત્પન્ન થતી કુલ ઉષ્મા એ ગુમાવેલી ગતિઊર્જા જેટલી હોય છે: $Q = \frac{1}{2}mv^2$.
આ ઉષ્માના માત્ર $50\,\%$ ભાગનું શોષણ ગોળી દ્વારા થાય છે,તેથી શોષાયેલી ઉષ્મા $Q_{abs} = 0.5 \times \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4}mv^2$ થાય.
શોષાયેલી ઉષ્મા $mc\Delta\theta$ જેટલી પણ હોય છે,જ્યાં $\Delta\theta$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
બંનેને સરખાવતા: $mc\Delta\theta = \frac{1}{4}mv^2$.
$\Delta\theta = \frac{v^2}{4c} = \frac{(300)^2}{4 \times 150} = \frac{90000}{600} = 150^{\circ}C$.

(C) પાણી $0^{\circ}C$ અને $4^{\circ}C$ ની વચ્ચે અસામાન્ય વિસ્તરણ દર્શાવે છે.
જ્યારે પાણીને $0^{\circ}C$ થી $4^{\circ}C$ સુધી ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે હાઇડ્રોજન-બંધિત ક્લસ્ટરોના તૂટવાને કારણે તેનું કદ ઘટે છે,એટલે કે $\Delta V < 0$ થાય છે.
મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માઓ વચ્ચેનો સંબંધ $C_p - C_v = P \left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ ચોક્કસ રેન્જમાં જેમ તાપમાન $T$ વધે છે તેમ કદ $V$ ઘટે છે,તેથી વિકલન $\left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_p$ ઋણ છે.
તેથી,$C_p - C_v < 0$,જેનો અર્થ છે કે $C_p < C_v$.

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પાણી દ્વારા ગુમાવેલી સ્થિતિ ઉર્જા ઉષ્મા ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$mgh = ms\Delta T$
અહીં,$m$ એ પાણીનું દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(9.8\,m/s^2)$ છે,$h$ એ ઊંચાઈ $(500\,m)$ છે,$s$ એ પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(4200\,J/kg\cdot K)$ છે,અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો વધારો છે.
$\Delta T = \frac{gh}{s}$
$\Delta T = \frac{9.8 \times 500}{4200}$
$\Delta T = \frac{4900}{4200} = 1.166... \approx 1.16^{\circ}C$

(A) બહાર નીકળતા પારાનું કદ એ પારાના પ્રસરણ અને કાચના ફ્લાસ્કના પ્રસરણ વચ્ચેના તફાવત જેટલું હોય છે.
બહાર નીકળતા પ્રવાહીના કદનું સૂત્ર $\Delta V = V_0 (\gamma_m - \gamma_g) \Delta T$ છે,જ્યાં $\gamma_g = 3 \alpha_g$ છે.
આપેલ છે:
$V_0 = 1 \text{ લિટર} = 1000 \text{ ml}$
$\gamma_m = 1.82 \times 10^{-4} /^{\circ}C$
$\alpha_g = 10 \times 10^{-6} /^{\circ}C \implies \gamma_g = 3 \times 10 \times 10^{-6} = 0.3 \times 10^{-4} /^{\circ}C$
$\Delta T = 100 - 0 = 100^{\circ}C$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta V = 1000 \times (1.82 \times 10^{-4} - 0.3 \times 10^{-4}) \times 100$
$\Delta V = 1000 \times (1.52 \times 10^{-4}) \times 100$
$\Delta V = 1000 \times 0.0152 = 15.2 \text{ ml}$.

(A) ધારો કે $m\, g$ વરાળ પાણીમાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$22\, g$ પાણીનું તાપમાન $20^{\circ}C$ થી $90^{\circ}C$ સુધી વધારવા માટે મેળવેલી ઉષ્મા:
$Q_{gain} = m_{water} \times c \times \Delta T = 22 \times 1 \times (90 - 20) = 22 \times 70 = 1540\, cal$.
$100^{\circ}C$ તાપમાને રહેલી $m\, g$ વરાળ દ્વારા $90^{\circ}C$ તાપમાનના પાણીમાં રૂપાંતરિત થતી વખતે ગુમાવેલી ઉષ્મા બે ભાગમાં હોય છે:
$1$. ઘનીભવન દરમિયાન મુક્ત થતી ઉષ્મા: $Q_1 = m \times L = m \times 540$.
$2$. ઘનીભૂત પાણીનું $100^{\circ}C$ થી $90^{\circ}C$ સુધી ઠંડુ થવાથી મુક્ત થતી ઉષ્મા: $Q_2 = m \times c \times \Delta T = m \times 1 \times (100 - 90) = 10m$.
ગુમાવેલી ઉષ્મા = મેળવેલી ઉષ્મા:
$540m + 10m = 1540$
$550m = 1540$
$m = \frac{1540}{550} = 2.8\, g$.
મિશ્રણમાં હાજર પાણીનું કુલ દળ એ પ્રારંભિક દળ અને ઘનીભૂત દળનો સરવાળો છે:
$M_{total} = 22 + 2.8 = 24.8\, g$.

(D) પાણી અસામાન્ય વિસ્તરણ દર્શાવે છે. $4\,^{\circ}C$ તાપમાને પાણીની ઘનતા મહત્તમ હોય છે.
જ્યારે તાપમાન $4\,^{\circ}C$ થી વધે છે,ત્યારે પાણીનું વિસ્તરણ થાય છે,જેનાથી કદ વધે છે અને પાણી બહાર આવે છે.
જ્યારે તાપમાન $4\,^{\circ}C$ થી ઘટે છે,ત્યારે પણ પાણીનું વિસ્તરણ થાય છે (અસામાન્ય વર્તણૂક),જેનાથી કદ વધે છે અને ફરીથી પાણી બહાર આવે છે.
તેથી,બંને કિસ્સામાં પાણી બહાર આવે છે.

(A) ક્લોસિયસ-ક્લેપાયરોન સમીકરણ મુજબ,ગલન વક્રનો ઢાળ $\frac{dP}{dT} = \frac{L}{T(V_2 - V_1)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ ગલન ગુપ્ત ઉષ્મા છે,$T$ એ તાપમાન છે,$V_2$ એ પ્રવાહી અવસ્થાનું કદ છે અને $V_1$ એ ઘન અવસ્થાનું કદ છે.
પાણી માટે,બરફ પીગળતી વખતે સંકોચાય છે,જેનો અર્થ છે કે પાણીનું કદ $(V_2)$ એ બરફના કદ $(V_1)$ કરતા ઓછું છે.
તેથી,$(V_2 - V_1) < 0$ થાય છે,જે ઢાળ $\frac{dP}{dT}$ ને ઋણ બનાવે છે.
આમ,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(C) અચળ દરે આપવામાં આવતી ઉષ્મા $Q = K t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ગરમ કરવાનો દર છે.
કોઈ પદાર્થ જ્યારે એક જ અવસ્થામાં હોય,ત્યારે તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $Q = m c \Delta T$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $K t = m c (T - T_0)$. આમ,$T = T_0 + (K / mc) t$. આ દર્શાવે છે કે એક જ અવસ્થામાં ગરમ કરતી વખતે તાપમાન સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે.
જ્યારે પદાર્થ અવસ્થા બદલે છે (દા.ત. બાષ્પીભવન),ત્યારે આપવામાં આવતી ઉષ્માનો ઉપયોગ અચળ તાપમાને અવસ્થા બદલવા માટે થાય છે,જે $Q = m L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયા દરમિયાન,તાપમાન અચળ રહે છે,જેના પરિણામે $T-t$ આલેખ પર એક આડી રેખા મળે છે.
કારણ કે $1$ વાતાવરણીય દબાણે ઓક્સિજન $50\, K$ અને $300\, K$ ની વચ્ચે અવસ્થા બદલે છે (ઉકળે છે),તેથી આલેખમાં પહેલા રેખીય વધારો,ત્યારબાદ અવસ્થા બદલાતી વખતે આડી રેખા અને પછી ફરીથી રેખીય વધારો જોવા મળશે.
તેથી,સાચો આલેખ $C$ છે.

(A) કુલ જરૂરી ઉષ્મા $Q$ એ ચાર પ્રક્રિયાઓ માટેની ઉષ્માનો સરવાળો છે:
$1$. બરફને $-12 \; ^{\circ}C$ થી $0 \; ^{\circ}C$ સુધી ગરમ કરવા માટે: $Q_{1} = m \cdot s_{\text{ice}} \cdot \Delta T_{1} = 3 \; kg \times 2100 \; J \; kg^{-1} \; K^{-1} \times (0 - (-12)) \; K = 75600 \; J$.
$2$. $0 \; ^{\circ}C$ તાપમાને રહેલા બરફને $0 \; ^{\circ}C$ તાપમાનના પાણીમાં ઓગાળવા માટે: $Q_{2} = m \cdot L_{\text{fusion}} = 3 \; kg \times 3.35 \times 10^{5} \; J \; kg^{-1} = 1005000 \; J$.
$3$. પાણીને $0 \; ^{\circ}C$ થી $100 \; ^{\circ}C$ સુધી ગરમ કરવા માટે: $Q_{3} = m \cdot s_{\text{water}} \cdot \Delta T_{2} = 3 \; kg \times 4186 \; J \; kg^{-1} \; K^{-1} \times (100 - 0) \; K = 1255800 \; J$.
$4$. $100 \; ^{\circ}C$ તાપમાનના પાણીને $100 \; ^{\circ}C$ તાપમાનની વરાળમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે: $Q_{4} = m \cdot L_{\text{steam}} = 3 \; kg \times 2.256 \times 10^{6} \; J \; kg^{-1} = 6768000 \; J$.
કુલ ઉષ્મા $Q = Q_{1} + Q_{2} + Q_{3} + Q_{4} = 75600 + 1005000 + 1255800 + 6768000 = 9104400 \; J \approx 9.1 \times 10^{6} \; J$.

(A) તાંબાના બ્લોકનું દળ,$m = 2.5\; kg = 2500\; g$.
તાંબાના બ્લોકના તાપમાનમાં થતો ફેરફાર,$\Delta \theta = 500\; ^{\circ}C$.
તાંબાની વિશિષ્ટ ઉષ્મા,$C = 0.39\; J\; g^{-1}\; ^{\circ}C^{-1}$.
પાણીની ગલનગુપ્ત ઉષ્મા,$L = 335\; J\; g^{-1}$.
તાંબાનો બ્લોક ગુમાવી શકે તેવી મહત્તમ ઉષ્મા,$Q = m C \Delta \theta$.
$Q = 2500\; g \times 0.39\; J\; g^{-1}\; ^{\circ}C^{-1} \times 500\; ^{\circ}C = 487500\; J$.
ધારો કે $m_1$ એ ઓગળતા બરફનું દળ છે. બરફને ઓગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = m_1 L$ છે.
$m_1 = \frac{Q}{L} = \frac{487500\; J}{335\; J\; g^{-1}} \approx 1455.22\; g$.
કિલોગ્રામમાં ફેરવતા,$m_1 \approx 1.45\; kg$.

(D) બાળકના શરીરનું પ્રારંભિક તાપમાન,$T_{1} = 101^{\circ} F$.
બાળકના શરીરનું અંતિમ તાપમાન,$T_{2} = 98^{\circ} F$.
તાપમાનમાં ફેરફાર,$\Delta T = (101 - 98) \times \frac{5}{9} = 3 \times \frac{5}{9} = \frac{5}{3} ^{\circ} C$.
તાપમાન ઘટાડવા માટે લાગતો સમય,$t = 20 \; min$.
બાળકનું દ્રવ્યમાન,$m = 30 \; kg = 30,000 \; g$.
માનવ શરીરની વિશિષ્ટ ઉષ્મા,$c = 1 \; cal \; g^{-1} \; ^{\circ} C^{-1} = 1000 \; cal \; kg^{-1} \; ^{\circ} C^{-1}$.
પાણીની બાષ્પીભવનની ગુપ્ત ઉષ્મા,$L = 580 \; cal \; g^{-1}$.
બાળકના શરીર દ્વારા ગુમાવેલી ગરમી $\Delta Q = m c \Delta T$ છે.
$\Delta Q = 30,000 \; g \times 1 \; cal \; g^{-1} \; ^{\circ} C^{-1} \times \frac{5}{3} ^{\circ} C = 50,000 \; cal$.
ધારો કે $m_{1}$ એ બાષ્પીભવન પામેલા પાણીનું દ્રવ્યમાન છે. $\Delta Q = m_{1} L$ હોવાથી,$m_{1} = \frac{\Delta Q}{L}$.
$m_{1} = \frac{50,000}{580} \approx 86.21 \; g$.
બાષ્પીભવનનો સરેરાશ દર $\frac{m_{1}}{t} = \frac{86.21}{20} \approx 4.31 \; g/min$ છે.
આમ,વધારાના બાષ્પીભવનનો સરેરાશ દર $4.3 \; g/min$ છે.

(N/A) $CO_{2}$ માટેનો $P-T$ ફેઝ ડાયાગ્રામ આપેલી આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
$(a)$ બિંદુ $C$ એ $CO_{2}$ ફેઝ ડાયાગ્રામનું ત્રિ-બિંદુ (triple point) છે. આ બિંદુએ તાપમાન $-56.6^{\circ}C$ અને દબાણ $5.11\;atm$ છે. આ સ્થિતિમાં $CO_{2}$ ની ઘન,પ્રવાહી અને બાષ્પ અવસ્થાઓ સંતુલનમાં રહે છે.
$(b)$ દબાણ ઘટવાથી $CO_{2}$ ના ગલનબિંદુ અને ઉત્કલનબિંદુમાં ઘટાડો થાય છે.
$(c)$ $CO_{2}$ માટે ક્રાંતિક તાપમાન $31.1^{\circ}C$ અને ક્રાંતિક દબાણ $73\;atm$ છે. તેનું મહત્વ એ છે કે ક્રાંતિક તાપમાનથી ઉપરના તાપમાને,ગમે તેટલું દબાણ આપવા છતાં $CO_{2}$ ને પ્રવાહીમાં ફેરવી શકાતો નથી.
$(d)$ $P-T$ ફેઝ ડાયાગ્રામના આધારે:
$(i)$ $-70^{\circ}C$ તાપમાન અને $1\;atm$ દબાણે,$CO_{2}$ બાષ્પ (વાયુ) અવસ્થામાં છે.
$(ii)$ $-60^{\circ}C$ તાપમાન અને $10\;atm$ દબાણે,$CO_{2}$ ઘન અવસ્થામાં છે.
$(iii)$ $15^{\circ}C$ તાપમાન અને $56\;atm$ દબાણે,$CO_{2}$ પ્રવાહી અવસ્થામાં છે.

(D) જ્યારે કોઈ પદાર્થને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ઘણા ભૌતિક ફેરફારો થઈ શકે છે:
$1$. તેના તાપમાનમાં વધારો થઈ શકે છે,જે સૌથી સામાન્ય અસર છે.
$2$. તેમાં ઉષ્મીય પ્રસરણ થઈ શકે છે,જેમાં પદાર્થના પરિમાણોમાં વધારો થાય છે.
$3$. જો ગરમ કરવાનું ચાલુ રાખવામાં આવે અને તે ગલનબિંદુ કે ઉત્કલનબિંદુ સુધી પહોંચે,તો તેની અવસ્થામાં ફેરફાર (દા.ત.,ઘનમાંથી પ્રવાહી અથવા પ્રવાહીમાંથી વાયુ) થઈ શકે છે.

(A) પાણીના પ્રવાહનો દર $m = 3.0 \, L/min = 3000 \, g/min$ છે (પાણીની ઘનતા $1 \, g/mL$ લેતા).
તાપમાનમાં વધારો $\Delta T = 77 \, ^{\circ}C - 27 \, ^{\circ}C = 50 \, ^{\circ}C$ છે.
પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $c = 4.2 \, J \cdot g^{-1} \cdot ^{\circ}C^{-1}$ છે.
પ્રતિ મિનિટ જરૂરી કુલ ઉષ્મા $\Delta Q = m c \Delta T = 3000 \times 4.2 \times 50 = 6.3 \times 10^{5} \, J/min$ છે.
બળતણની દહન ઉષ્મા $H = 4.0 \times 10^{4} \, J/g$ આપેલ છે,તેથી બળતણના વપરાશનો દર $R = \frac{\Delta Q}{H}$ દ્વારા મળે છે.
$R = \frac{6.3 \times 10^{5}}{4.0 \times 10^{4}} = 15.75 \, g/min$.

(N/A) જ્યારે અલગ-અલગ તાપમાન $T_1$ અને $T_2$ ધરાવતા બે પદાર્થોને ઉષ્મીય સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે ઉષ્મીય સંતુલન પ્રાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી ઉષ્મા ઊંચા તાપમાનવાળા પદાર્થમાંથી નીચા તાપમાનવાળા પદાર્થમાં વહે છે. અંતિમ સંતુલન તાપમાન ત્યારે જ સરેરાશ તાપમાન $(T_1 + T_2) / 2$ જેટલું હોય છે જો બંને પદાર્થોની ઉષ્મા ધારણશક્તિ સમાન હોય. જો ઉષ્મા ધારણશક્તિ અલગ હોય,તો સંતુલન તાપમાન વધુ ઉષ્મા ધારણશક્તિ ધરાવતા પદાર્થના તાપમાનની નજીક હશે.
$(b)$ રાસાયણિક અથવા ન્યુક્લિયર પ્લાન્ટમાં વપરાતા કુલન્ટની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ઊંચી હોવી જોઈએ. આનું કારણ એ છે કે ઊંચી વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધરાવતો પદાર્થ તાપમાનમાં થોડો વધારો કરીને મોટી માત્રામાં ઉષ્મા ઊર્જા શોષી શકે છે. આ કુલન્ટને તેના પોતાના તાપમાનમાં જોખમી વધારો કર્યા વિના પ્લાન્ટના ઘટકોમાંથી વધારાની ગરમીને અસરકારક રીતે દૂર કરવાની મંજૂરી આપે છે.
$(c)$ જ્યારે કાર ચલાવવામાં આવે છે,ત્યારે ટાયર અને રસ્તા વચ્ચેના ઘર્ષણને કારણે અને હવાનું સંકોચન થવાથી ટાયરની અંદરની હવાનું તાપમાન વધે છે. ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,નિશ્ચિત કદમાં રહેલા વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે,દબાણ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ ટાયરની અંદરનું હવાનું દબાણ વધે છે.
$(d)$ બંદરવાળું શહેર પાણીના મોટા જળાશયની નજીક આવેલું હોય છે,જેની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ઊંચી હોય છે. પાણી જમીન કરતા ખૂબ જ ધીમેથી ગરમ અને ઠંડુ થાય છે. પરિણામે,પાણી ઉષ્માના સંગ્રાહક તરીકે કામ કરે છે,જે બંદરવાળા શહેરની હવાનું તાપમાન મધ્યમ રાખે છે. તેનાથી વિપરીત,રણની રેતીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ઓછી હોય છે,જેના કારણે તાપમાનમાં ઝડપી ફેરફાર થાય છે અને આબોહવા વધુ આત્યંતિક બને છે.

(A) થર્મોડાયનેમિક્સની આધુનિક સમજ પહેલાં,એવું માનવામાં આવતું હતું કે ઉષ્મા એ 'કેલોરિક' નામનું એક અદ્રશ્ય અને વજનરહિત પ્રવાહી છે.
આ સિદ્ધાંત,જેને કેલોરિક સિદ્ધાંત તરીકે ઓળખવામાં આવે છે,તે સૂચવે છે કે ઉષ્મા ગરમ પદાર્થોમાંથી ઠંડા પદાર્થોમાં વહી શકે છે અને ભૌતિક પ્રક્રિયાઓ દરમિયાન તેનું સંરક્ષણ થાય છે.
પાછળથી બેન્જામિન થોમ્પસન (કાઉન્ટ રમફોર્ડ) અને જેમ્સ પ્રેસ્કોટ જૌલ દ્વારા કરવામાં આવેલા પ્રયોગો દ્વારા આ સિદ્ધાંત ખોટો સાબિત થયો હતો,જેણે દર્શાવ્યું હતું કે ઉષ્મા એ કોઈ પદાર્થ નથી પરંતુ ઉર્જાના સ્થાનાંતરણનું એક સ્વરૂપ છે.

(D) ઠંડુ પાડતી વખતે મુક્ત થતી ઉર્જા $(Q)$ સૂત્ર $Q = mc\Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$c$ એ પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે,અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
અહીં,$m = 1\,kg$ અને અંતિમ તાપમાન $T_f = 10\,^{\circ}C$ છે.
પ્રશ્નમાં પ્રારંભિક તાપમાન $T_i$ આપેલ નથી.
તેથી,મુક્ત થતી ઉર્જા $Q = 1 \times 4186 \times (T_i - 10)\,J$ થાય.
જેহেতু $T_i$ અજ્ઞાત છે,તેથી ઉર્જાનું ચોક્કસ મૂલ્ય ગણી શકાય નહીં.
આમ,જવાબ પાણીના પ્રારંભિક તાપમાન પર આધાર રાખે છે.

(N/A) ઘન પદાર્થો માટે: કાચની બરણી પરનું ધાતુનું ઢાંકણું જો ફસાઈ ગયું હોય,તો તેને ગરમ પાણીમાં મૂકવાથી તે ખુલી શકે છે. ગરમીને કારણે ધાતુનું ઢાંકણું કાચ કરતા વધુ વિસ્તરણ પામે છે,જેનાથી તે ઢીલું થાય છે અને સરળતાથી ખુલી જાય છે.
પ્રવાહી પદાર્થો માટે: ક્લિનિકલ થર્મોમીટરમાં રહેલો પારો જ્યારે ગરમ પાણીમાં મૂકવામાં આવે છે ત્યારે ઉષ્મીય વિસ્તરણને કારણે ઉપર ચઢે છે. જ્યારે થર્મોમીટરને બહાર કાઢીને ઠંડુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે સંકોચનને કારણે પારો નીચે ઉતરે છે.
વાયુ પદાર્થો માટે: આંશિક રીતે ફુલાવેલો ફુગ્ગો ગરમ પાણીમાં મૂકવાથી તે ફૂલે છે કારણ કે અંદરની હવા ગતિ ઊર્જા મેળવે છે અને વધુ કદ રોકે છે. તેનાથી વિપરીત,સંપૂર્ણ ફુલાવેલો ફુગ્ગો ઠંડા પાણીમાં મૂકવાથી અંદરની હવાના સંકોચનને કારણે તે સંકોચાઈ જાય છે.

(N/A) પ્રેશર કુકરની અંદર દબાણ વધારીને પાણીનું ઉત્કલનબિંદુ વધારવામાં આવે છે.
પ્રેશર કુકરમાં,દબાણ વધવાથી પાણીનું ઉત્કલનબિંદુ તેના સામાન્ય મૂલ્ય $100 \ ^\circ\text{C}$ કરતા વધી જાય છે.
પરિણામે,ખોરાક ઊંચા તાપમાને રાંધવામાં આવે છે,જે ખોરાકને વધુ ઉષ્મા ઉર્જા પ્રદાન કરે છે,જેના પરિણામે રસોઈ પ્રક્રિયા ઝડપી બને છે.

(N/A) ઉર્ધ્વપાતન એ એવી પ્રક્રિયા છે જેમાં પદાર્થ પ્રવાહી અવસ્થામાં આવ્યા વગર સીધો ઘન અવસ્થામાંથી વાયુ (બાષ્પ) અવસ્થામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેનાથી ઉલટું,વાયુમાંથી સીધા ઘન અવસ્થામાં રૂપાંતર થવાની પ્રક્રિયાને પણ ઘણીવાર ઉર્ધ્વપાતન અથવા નિક્ષેપન (Deposition) કહેવામાં આવે છે.
ઉર્ધ્વપાતન પામતા પદાર્થોના ઉદાહરણોમાં ડ્રાય આઈસ (ઘન $CO_{2}$),આયોડિન $(I_{2})$,નેપ્થલીન $(C_{10}H_{8})$ અને કપૂરનો સમાવેશ થાય છે.
ઉર્ધ્વપાતનની પ્રક્રિયા દરમિયાન,પદાર્થની ઘન અને વાયુ અવસ્થાઓ ચોક્કસ તાપમાન અને દબાણે ઉષ્મીય સંતુલનમાં સહઅસ્તિત્વ ધરાવે છે.

(N/A) ઠારણ એ અવસ્થા પરિવર્તનની પ્રક્રિયા છે જેમાં પદાર્થ પ્રવાહી અવસ્થામાંથી ઘન અવસ્થામાં રૂપાંતરિત થાય છે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે અણુઓની ઉષ્મીય ઉર્જા ઘટે છે,જેના કારણે તેઓ તેમની ગતિશીલતા ગુમાવે છે અને એક નિશ્ચિત,વ્યવસ્થિત બંધારણમાં ગોઠવાય છે.
ઠારણ બિંદુ એ ચોક્કસ તાપમાન છે કે જેના પર આપેલ દબાણે પ્રવાહી ઘન પદાર્થમાં ફેરવાય છે. આ તાપમાને,પદાર્થની પ્રવાહી અને ઘન અવસ્થાઓ ઉષ્મીય સંતુલનમાં હોય છે. પ્રમાણિત વાતાવરણીય દબાણ $(1.013 \times 10^5 \ Pa)$ પર શુદ્ધ પાણી માટે,ઠારણ બિંદુ $0 \ ^\circ C$ અથવા $273.15 \ K$ છે.

(B) મુખ્ય તફાવત ફ્યુઝન વક્ર (ઘન-પ્રવાહી સંતુલન રેખા) ના ઢાળમાં રહેલો છે.
પાણી માટે,ફ્યુઝન વક્રનો ઢાળ ઋણ હોય છે કારણ કે બરફની ઘનતા પ્રવાહી પાણી કરતા ઓછી હોય છે,જેનો અર્થ છે કે દબાણમાં વધારો થવાથી ગલનબિંદુ ઘટે છે.
$CO_2$ માટે,ફ્યુઝન વક્રનો ઢાળ ધન હોય છે કારણ કે ઘન અવસ્થા પ્રવાહી અવસ્થા કરતા વધુ ઘટ્ટ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે દબાણમાં વધારો થવાથી ગલનબિંદુ વધે છે.

(N/A) $1.$ ફેરનહીટ થર્મોમીટર પર પાણીનું ઠારબિંદુ $32^{\circ}F$ અને ઉત્કલનબિંદુ $212^{\circ}F$ હોય છે.
$2.$ ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો શૂન્યમો નિયમ તાપમાનને વ્યાખ્યાયિત કરે છે અને ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ આંતરિક ઉર્જાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે.
$3.$ ક્રાંતિક તાપમાન $(647.096 \ K)$ પર,પાણી અને પાણીની વરાળની ઘનતા સમાન હોય છે.
$4.$ સામાન્ય પદાર્થોમાં પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્માનું મૂલ્ય મહત્તમ હોય છે.

(N/A) સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેનનો નિયમ $E = \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,$\sigma$ નો એકમ $W \cdot m^{-2} \cdot K^{-4}$ છે.
$(b)$ તાપમાન પ્રચલન $\frac{dT}{dx} = 5\,^{\circ}C/cm$ છે. તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = 100\,^{\circ}C - 60\,^{\circ}C = 40\,^{\circ}C$ છે. અંતર $x = \frac{\Delta T}{dT/dx} = \frac{40}{5} = 8\,cm$ મળે.
$(c)$ પાણીનો કદ પ્રસરણાંક $4\,^{\circ}C$ તાપમાને શૂન્ય હોય છે કારણ કે આ તાપમાને પાણીની ઘનતા મહત્તમ હોય છે.

(A) પદાર્થના ફેઝ ડાયાગ્રામ (અવસ્થા આલેખ) માં:
$1$. બાષ્પીભવન વક્ર એ સીમા દર્શાવે છે જ્યાં પ્રવાહી અને વાયુ અવસ્થાઓ સંતુલનમાં સહઅસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$2$. સબ્લિમેશન (ઉર્ધ્વપાતન) વક્ર એ સીમા દર્શાવે છે જ્યાં ઘન અને વાયુ અવસ્થાઓ સંતુલનમાં સહઅસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$3$. ફ્યુઝન (ગલન) વક્ર એ સીમા દર્શાવે છે જ્યાં ઘન અને પ્રવાહી અવસ્થાઓ સંતુલનમાં સહઅસ્તિત્વ ધરાવે છે.
તેથી,$(a)$ એ $(iii)$ સાથે અને $(b)$ એ $(i)$ સાથે જોડાય છે.
સાચો વિકલ્પ $(a-iii), (b-i)$ છે.

(N/A) પાણીનો $p-T$ ફેઝ ડાયાગ્રામ દર્શાવે છે કે ફ્યુઝન કર્વ (ઘન અને પ્રવાહી અવસ્થાઓ વચ્ચેની સીમા) નો ઢાળ ઋણ છે. આનો અર્થ એ છે કે પાણી માટે,$0^{\circ}C$ ની નજીક અચળ તાપમાને દબાણમાં વધારો કરવાથી બરફનું ગલનબિંદુ ઘટે છે.
જ્યારે બરફના ટુકડા અથવા હિમના કણોને હથેળીમાં દબાવવામાં આવે છે,ત્યારે બરફના કણો વચ્ચેના સંપર્ક બિંદુઓ પર લાગતું દબાણ વધે છે. ફ્યુઝન કર્વના ઋણ ઢાળને કારણે,આ વધેલું દબાણ બરફને સ્થાનિક રીતે ઓગાળી દે છે,ભલે તાપમાન $0^{\circ}C$ થી થોડું ઓછું હોય.
જેમ જેમ દબાણ દૂર થાય છે (જ્યારે હાથ ખોલવામાં આવે છે અથવા દબાણ ફરીથી વહેંચાય છે),ત્યારે સ્થાનિક દબાણ પાછું વાતાવરણીય દબાણ પર આવી જાય છે. પરિણામે,ઓગળવાથી બનેલું પાણી ફરીથી થીજી જાય છે,જે એક બાઈન્ડર તરીકે કામ કરે છે અને વ્યક્તિગત બરફના કણોને એકસાથે જોડીને એક નક્કર,સ્થિર ગોળો બનાવે છે.

(B) ગોળીની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m v^2$ છે.
અહીં $m = 5\, g$ અને $v = 210\, m/s = 21000\, cm/s$ આપેલ છે.
$K = \frac{1}{2} \times 5 \times (21000)^2 = 1.1025 \times 10^9\, ergs$.
આ ઊર્જાનો અડધો ભાગ ગોળીમાં ઉષ્મા તરીકે રૂપાંતરિત થાય છે:
$Q = \frac{1}{2} K = \frac{1}{2} \times 1.1025 \times 10^9 = 5.5125 \times 10^8\, ergs$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $Q = m s \Delta T$,જ્યાં $s = 0.030\, cal/(g \cdot ^{\circ}C) = 0.030 \times 4.2 \times 10^7\, ergs/(g \cdot ^{\circ}C) = 1.26 \times 10^6\, ergs/(g \cdot ^{\circ}C)$.
કિંમતો મૂકતા:
$5.5125 \times 10^8 = 5 \times (1.26 \times 10^6) \times \Delta T$.
$\Delta T = \frac{5.5125 \times 10^8}{6.3 \times 10^6} = \frac{551.25}{6.3} = 87.5^{\circ}C$.

(A) પાણી જ્યારે નીચે પડે છે ત્યારે તેની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો ઉષ્મા ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,જેનાથી પાણીનું તાપમાન વધે છે.
સ્થિતિ ઊર્જામાં ફેરફાર $(P.E.)$ = ઉષ્મા ઊર્જા $(Q)$
$mgh = mS \Delta T$
$\Delta T = \frac{gh}{S}$
આપેલ છે:
$g = 10 \ m/s^2$
$h = 63 \ m$
$S = 1 \ cal \ g^{-1} \ ^{\circ}C^{-1} = 1 \times 4.2 \ J \ g^{-1} \ ^{\circ}C^{-1} = 4200 \ J \ kg^{-1} \ ^{\circ}C^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta T = \frac{10 \times 63}{4200}$
$\Delta T = \frac{630}{4200} = \frac{63}{420} = 0.15 \approx 0.147 \ ^{\circ}C$
આમ,તાપમાનમાં તફાવત $0.147 \ ^{\circ}C$ છે.

(C) હથોડાની ગતિ ઉર્જા $K.E. = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \times 1.5 \times (60)^2 = 0.75 \times 3600 = 2700 \, J$ છે.
રકમ મુજબ,આ ઉર્જાનો ચોથો ભાગ લોખંડની ખીલીને ગરમ કરવા માટે વપરાય છે.
ખીલી દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા ઉર્જા $Q = \frac{1}{4} \times 2700 = 675 \, J$.
શોષાયેલી ઉષ્મા માટેનું સૂત્ર $Q = mc\Delta T$ છે,જ્યાં $m = 100 \, g$,$c = 0.42 \, Jg^{-1} {}^{\circ}C^{-1}$,અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં વધારો છે.
કિંમતો મૂકતા: $675 = 100 \times 0.42 \times \Delta T$.
$675 = 42 \times \Delta T$.
$\Delta T = \frac{675}{42} \approx 16.07 \, ^{\circ}C$.

(C) મુક્ત થતી ઉષ્મા બે ભાગમાં વહેંચાયેલી છે: ઘનીકરણ દરમિયાન મુક્ત થતી ઉષ્મા અને પાણી ઠંડુ થતી વખતે મુક્ત થતી ઉષ્મા.
$1$. ઘનીકરણ દરમિયાન મુક્ત થતી ઉષ્મા $(Q_1)$: $Q_1 = m \times L_v = 50 \, g \times 540 \, cal/g = 27000 \, cal$.
$2$. પાણીને $100^{\circ} C$ થી $20^{\circ} C$ સુધી ઠંડુ કરવા દરમિયાન મુક્ત થતી ઉષ્મા $(Q_2)$: $Q_2 = m \times s \times \Delta T = 50 \, g \times 1 \, cal/g^{\circ} C \times (100^{\circ} C - 20^{\circ} C) = 50 \times 80 = 4000 \, cal$.
કુલ મુક્ત થતી ઉષ્મા $(Q_{total})$ = $Q_1 + Q_2 = 27000 + 4000 = 31000 \, cal$.
$Q_{total} = 31 \times 10^{3} \, cal$.

(B) પાણીના પ્રવાહનો દર $m = 2.0 \; kg/min = 2000 \; g/min$ છે.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 70^{\circ} C - 30^{\circ} C = 40^{\circ} C$ છે.
પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $S = 4.2 \; J \cdot g^{-1} \cdot {}^{\circ} C^{-1}$ છે.
પ્રતિ મિનિટ જરૂરી ઉષ્મા $Q = m \cdot S \cdot \Delta T$ છે.
$Q = 2000 \times 4.2 \times 40 = 336000 \; J/min$.
ધારો કે બળતણના દહનનો દર $R$ ($g/min$ માં) છે અને દહન ઉષ્મા $L = 8 \times 10^{3} \; J/g$ છે.
બળતણ દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવતી ઉષ્મા $Q = R \times L$ છે.
$336000 = R \times 8 \times 10^{3}$.
$R = \frac{336000}{8000} = 42 \; g/min$.

(A) સાચો જવાબ $(A)$ છે.
ચંદ્રની સપાટી પર કોઈ વાતાવરણ નથી,જેનો અર્થ છે કે બાહ્ય વાતાવરણીય દબાણ $0$ છે.
જ્યારે કોઈ પ્રવાહીનું સંતૃપ્ત બાષ્પ દબાણ બાહ્ય વાતાવરણીય દબાણ જેટલું થાય ત્યારે તે પ્રવાહી ઉકળવા લાગે છે.
ચંદ્ર પર $30^{\circ} C$ તાપમાને પાણીનું બાષ્પ દબાણ $0$ કરતા વધારે હોવાથી,બોટલ ખોલતાની સાથે જ ઉકળવાની શરત સંતોષાય છે.
તેથી,ચંદ્ર પર બોટલ ખોલતાની સાથે જ પાણી ઉકળવા લાગશે.

(D) પ્રવાહીના કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V$ એ $\Delta V = V_0 \gamma \Delta \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V_0$ એ પ્રારંભિક કદ છે,$\gamma$ એ કદ પ્રસરણાંક છે અને $\Delta \theta$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta l$ બંને થર્મોમીટર માટે સમાન હોવાથી,કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = A \Delta l = \frac{\pi d^2}{4} \Delta l$ થશે.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક કદ $(V_0)_{Hg} = (V_0)_{Br}$ છે અને લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta l$ બંને માટે સમાન છે,તેથી:
$\Delta V_{Hg} = \frac{\pi d_1^2}{4} \Delta l = V_0 \gamma_{Hg} \Delta \theta$
$\Delta V_{Br} = \frac{\pi d_2^2}{4} \Delta l = V_0 \gamma_{Br} \Delta \theta$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{d_1^2}{d_2^2} = \frac{\gamma_{Hg}}{\gamma_{Br}}$
$\frac{d_1}{d_2} = \sqrt{\frac{\gamma_{Hg}}{\gamma_{Br}}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{d_1}{d_2} = \sqrt{\frac{18 \times 10^{-5}}{108 \times 10^{-5}}} = \sqrt{\frac{1}{6}} \approx \sqrt{0.166} \approx 0.408$
આમ,$d_1: d_2$ નો ગુણોત્તર $0.4$ ની સૌથી નજીક છે.

(C) બે કલાકમાં બાષ્પીભવન પામેલા પાણીનું દળ,$m = 2 \,h \times 20 \,g/h = 40 \,g = 40 \times 10^{-3} \,kg$.
બાષ્પીભવન દરમિયાન પાણી દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા $Q = m L$ છે,જ્યાં $L$ એ બાષ્પીભવનની ગુપ્ત ઉષ્મા છે.
ધારો કે આ ઉષ્મા સંપૂર્ણપણે માટીની માટલીમાં રહેલા પાણીમાંથી લેવામાં આવે છે,તો પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા $Q = M s \Delta T$ છે,જ્યાં $M = 4 \,kg$ એ પાણીનું દળ છે અને $s$ એ પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે.
શોષાયેલી ઉષ્મા અને ગુમાવેલી ઉષ્માને સરખાવતા: $m L = M s \Delta T$.
તેથી,$\Delta T = \frac{m}{M} \times \frac{L}{s}$.
આપેલ છે કે $\frac{L}{s} = 540^{\circ} C$,તેથી $\Delta T = \frac{40 \times 10^{-3}}{4} \times 540$.
$\Delta T = 0.01 \times 540 = 5.4^{\circ} C$.

(B) ધારો કે $P$ એ ઉષ્મા દૂર કરવાનો દર (પાવર) છે. ઉષ્મા સમાન દરે દૂર કરવામાં આવતી હોવાથી,$P$ બંને માટે અચળ છે.
પદાર્થ દ્વારા ગુમાવવામાં આવેલી ઉષ્મા $dQ = m \cdot c \cdot dT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $c$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે.
ઉષ્મા દૂર કરવાનો દર $P = \frac{|dQ|}{dt} = m \cdot c \cdot \left| \frac{dT}{dt} \right|$ છે.
આમ,$T-t$ આલેખના ઢાળનું મૂલ્ય $\left| \frac{dT}{dt} \right| = \frac{P}{m \cdot c}$ છે.
$P$ અને $m$ અચળ હોવાથી,ઢાળ એ વિશિષ્ટ ઉષ્માના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: $\text{ઢાળ} \propto \frac{1}{c}$.
$1$. પ્રવાહી અવસ્થા માટે (પ્રારંભિક ઠંડકનો તબક્કો): આલેખ જોતા,વક્ર $1$ નો ઢાળ વક્ર $2$ ના ઢાળ કરતા નાનો છે. કારણ કે $\text{ઢાળ} \propto \frac{1}{C_L}$,નાનો ઢાળ મોટી વિશિષ્ટ ઉષ્મા સૂચવે છે. તેથી,$C_{L1} > C_{L2}$.
$2$. ઘન અવસ્થા માટે (અંતિમ ઠંડકનો તબક્કો): આલેખ જોતા,વક્ર $1$ નો ઢાળ વક્ર $2$ ના ઢાળ કરતા મોટો છે. કારણ કે $\text{ઢાળ} \propto \frac{1}{C_S}$,મોટો ઢાળ નાની વિશિષ્ટ ઉષ્મા સૂચવે છે. તેથી,$C_{S1} < C_{S2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C_{L1} > C_{L2}$ અને $C_{S1} < C_{S2}$ છે.

(C) ગોળીની ગતિઊર્જા ઉષ્મામાં રૂપાંતરિત થાય છે,જે ગોળી અને મીણ બંનેનું તાપમાન વધારે છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\frac{1}{2} m_b v_b^2 = (m_w c_w + m_b c_b) \Delta T$
આપેલ છે:
$m_b = 20 \,g = 0.02 \,kg$,$v_b = 2000 \,m/s$,$c_b = 5000 \,J/(kg \cdot ^{\circ}C)$
$m_w = 1.0 \,kg$,$c_w = 3000 \,J/(kg \cdot ^{\circ}C)$,$T_i = 25^{\circ}C$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} \times 0.02 \times (2000)^2 = (1.0 \times 3000 + 0.02 \times 5000) \Delta T$
$0.01 \times 4,000,000 = (3000 + 100) \Delta T$
$40,000 = 3100 \Delta T$
$\Delta T = \frac{400}{31} \approx 12.9^{\circ}C$
અંતિમ તાપમાન $T_f = T_i + \Delta T = 25 + 12.9 = 37.9^{\circ}C$.

(A) ધારો કે પાત્રની ઉષ્માધારિતા $C$ છે $(C = m_c s_c)$.
કિસ્સો $1$: પાત્રમાં પાણી.
આપેલ ઉર્જા = $P \times t_1 = 10 \times (15 \times 60) = 9000 \,J$.
શોષાયેલ ઉષ્મા = $(m_w s_w + C) \Delta T_1 = (0.5 \times 4200 + C) \times 3 = 6300 + 3C$.
ઉર્જાને સરખાવતા: $6300 + 3C = 9000 \Rightarrow 3C = 2700 \Rightarrow C = 900 \,J K^{-1}$.
કિસ્સો $2$: પાત્રમાં તેલ.
આપેલ ઉર્જા = $P \times t_2 = 10 \times (20 \times 60) = 12000 \,J$.
શોષાયેલ ઉષ્મા = $(m_o s_o + C) \Delta T_2 = (2 \times s_o + 900) \times 2 = 4s_o + 1800$.
ઉર્જાને સરખાવતા: $4s_o + 1800 = 12000 \Rightarrow 4s_o = 10200 \Rightarrow s_o = 2550 \,J K^{-1} kg^{-1}$.
$10^3 \,J K^{-1} kg^{-1}$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા,$s_o = 2.55 \times 10^3 \,J K^{-1} kg^{-1}$ મળે છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,નજીકની કિંમત $2.5$ છે.

(C) આ પ્રક્રિયા ત્રણ તબક્કામાં થાય છે:
$1$. બરફને $-8^{\circ} C$ થી $0^{\circ} C$ સુધી ગરમ કરતા: $Q_1 = m \cdot c_{ice} \cdot \Delta T = 1 \,kg \times 2.1 \,kJ/kg \cdot K \times 8 \,K = 16.8 \,kJ$.
$2$. $0^{\circ} C$ તાપમાને બરફનું $0^{\circ} C$ તાપમાને પાણીમાં રૂપાંતર: $Q_2 = m \cdot L_f = 1 \,kg \times 333 \,kJ/kg = 333 \,kJ$.
$3$. પાણીને $0^{\circ} C$ થી $20^{\circ} C$ સુધી ગરમ કરતા: $Q_3 = m \cdot c_{water} \cdot \Delta T = 1 \,kg \times 4.2 \,kJ/kg \cdot K \times 20 \,K = 84 \,kJ$.
કુલ જરૂરી ઉષ્મા $Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 16.8 + 333 + 84 = 433.8 \,kJ$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $434 \,kJ$ મળે છે.

(B) ફ્લાસ્કનું કદ $V_0 = 200 \, cm^3$ અને તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 100^{\circ} C - 20^{\circ} C = 80^{\circ} C$ છે.
કાચના ફ્લાસ્કનું વિસ્તરણ $\Delta V_{\text{glass}} = V_0 \gamma_{\text{glass}} \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\Delta V_{\text{glass}} = 200 \times (1.2 \times 10^{-5}) \times 80 = 0.192 \, cm^3$.
પારાનું વિસ્તરણ $\Delta V_{\text{mercury}} = V_0 \gamma_{\text{mercury}} \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\Delta V_{\text{mercury}} = 200 \times (1.8 \times 10^{-4}) \times 80 = 2.88 \, cm^3$.
બહાર નીકળતા પારાનું પ્રમાણ એ પારાના વિસ્તરણ અને કાચના ફ્લાસ્કના વિસ્તરણ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\Delta V_{\text{overflow}} = \Delta V_{\text{mercury}} - \Delta V_{\text{glass}} = 2.88 - 0.192 = 2.688 \, cm^3 \approx 2.69 \, cm^3$.

(A) જરૂરી કુલ ઉષ્મા એ ચાર પ્રક્રિયાઓ માટેની ઉષ્માનો સરવાળો છે:
$1$. બરફને $-10^{\circ} C$ થી $0^{\circ} C$ સુધી ગરમ કરતા: $Q_1 = m c_{ice} \Delta T = 1 \times 2.1 \times 10 = 21 \, J$.
$2$. $0^{\circ} C$ પર બરફનું ગલન: $Q_2 = m L_f = 1 \times 334 = 334 \, J$.
$3$. પાણીને $0^{\circ} C$ થી $100^{\circ} C$ સુધી ગરમ કરતા: $Q_3 = m c_{water} \Delta T = 1 \times 4.18 \times 100 = 418 \, J$.
$4$. $100^{\circ} C$ પર પાણીનું વરાળમાં રૂપાંતર: $Q_4 = m L_v = 1 \times 2260 = 2260 \, J$.
કુલ ઉષ્મા $Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4 = 21 + 334 + 418 + 2260 = 3033 \, J$.
$kJ$ માં રૂપાંતર કરતા: $Q = 3.033 \, kJ \approx 3.04 \, kJ$.

(C) સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
પાણી અસામાન્ય વિસ્તરણ દર્શાવે છે,જેનો અર્થ છે કે તેની ઘનતા $4^{\circ} C$ તાપમાને મહત્તમ હોય છે.
ઊંડા તળાવમાં,સ્થિરતા જાળવવા માટે તળિયાનું પાણી તે તાપમાને રહે છે જ્યાં તેની ઘનતા સૌથી વધુ હોય છે.
તેથી,સપાટીના તાપમાનને ધ્યાનમાં લીધા વિના (જ્યાં સુધી તે $4^{\circ} C$ થી ઓછું હોય),તળાવના તળિયે તાપમાન $4^{\circ} C$ રહેશે.

(C) પાણી અસાધારણ વિસ્તરણ દર્શાવે છે. પાણીની ઘનતા $4^{\circ} C$ તાપમાને મહત્તમ હોય છે.
શિયાળામાં,જેમ જેમ તળાવની સપાટી ઠંડી થાય છે,તેમ સપાટી પરનું પાણી વધુ ઘન બને છે અને તળિયે બેસી જાય છે.
આ પ્રક્રિયા ત્યાં સુધી ચાલુ રહે છે જ્યાં સુધી સમગ્ર પાણીનું તાપમાન $4^{\circ} C$ ન થઈ જાય.
જો સપાટીનું તાપમાન $4^{\circ} C$ થી નીચે જાય,તો સપાટી પરનું પાણી ઓછું ઘન બને છે અને ઉપર જ રહે છે.
તેથી,તળાવના તળિયે રહેલું પાણી $4^{\circ} C$ પર જ રહે છે જ્યારે સપાટી થીજી શકે છે અથવા નીચું તાપમાન ધરાવી શકે છે.
આમ,તળાવના તળિયે તાપમાન $4^{\circ} C$ હોય છે.

(A) $-12^{\circ} C$ પરના બરફને $100^{\circ} C$ પરની વરાળમાં ગરમ કરવાની પ્રક્રિયામાં ઘણા તબક્કાઓનો સમાવેશ થાય છે:
$1$. બરફને $-12^{\circ} C$ થી $0^{\circ} C$ સુધી ગરમ કરવું: ઉમેરવામાં આવેલી ઉષ્મા સાથે તાપમાન રેખીય રીતે વધે છે $(Q = mc\Delta T)$.
$2$. $0^{\circ} C$ પર બરફનું પીગળવું: જ્યારે અવસ્થા ઘનમાંથી પ્રવાહીમાં બદલાય છે ત્યારે તાપમાન $0^{\circ} C$ પર અચળ રહે છે $(Q = mL_f)$.
$3$. પાણીને $0^{\circ} C$ થી $100^{\circ} C$ સુધી ગરમ કરવું: ઉમેરવામાં આવેલી ઉષ્મા સાથે તાપમાન રેખીય રીતે વધે છે $(Q = mc\Delta T)$.
$4$. $100^{\circ} C$ પર પાણીનું ઉકળવું: જ્યારે અવસ્થા પ્રવાહીમાંથી વાયુમાં બદલાય છે ત્યારે તાપમાન $100^{\circ} C$ પર અચળ રહે છે $(Q = mL_v)$.
સાચો વક્ર બે ઢાળવાળા પ્રદેશો (તાપમાનમાં વધારો) અને બે આડા પ્રદેશો (અચળ તાપમાને અવસ્થા પરિવર્તન) દર્શાવતો હોવો જોઈએ. આ આપેલ ઉકેલની છબીને અનુરૂપ છે.

(D) ઉષ્મા આપવાનો દર $\frac{dQ}{dt} = \frac{dm}{dt} \times L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ બરફની ગલનગુપ્ત ઉષ્મા $(80 \,cal/g)$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{dm}{dt} = 0.1 \,g/s$,તેથી $\frac{dQ}{dt} = 0.1 \times 80 = 8 \,cal/s$.
બરફ પીગળી ગયા પછી,બનેલા પાણીનું કુલ દળ $m = \frac{dm}{dt} \times t = 0.1 \,g/s \times 100 \,s = 10 \,g$ થાય છે.
પાણીને આપવામાં આવતી ઉષ્મા $Q = ms\Delta T$ છે,જ્યાં $s$ એ પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(1 \,cal/g^{\circ}C)$ છે.
સમયની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dQ}{dt} = ms \frac{dT}{dt}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $8 = 10 \times 1 \times \frac{dT}{dt}$.
તેથી,$\frac{dT}{dt} = \frac{8}{10} = 0.8 \,^{\circ}C/s$.

(C) ન્યૂટનના ઠંડકનો નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર એ પદાર્થ અને આસપાસના તાપમાનના તફાવત પર આધાર રાખે છે. અહીં તાપમાનનો ગાળો ($60^{\circ}C$ થી $55^{\circ}C$) સમાન હોવાથી,સરેરાશ ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર અચળ ગણી શકાય.
ધારો કે $m_w = 250\,g$ (પાણીનું દળ),$m_a = 200\,g$ (આલ્કોહોલનું દળ),$W = 10\,g$ (કેલરીમીટરનો પાણીનો તુલ્યાંક),અને $s$ એ આલ્કોહોલની વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે. પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $s_w = 1\,\text{cal/g}^{\circ}C$ છે.
પાણી અને કેલરીમીટર દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા: $Q_w = (m_w + W) s_w \Delta T = (250 + 10) \times 1 \times 5 = 1300\,\text{cal}$.
પાણી માટે ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર: $R_w = \frac{Q_w}{t_w} = \frac{1300}{130} = 10\,\text{cal/s}$.
આલ્કોહોલ અને કેલરીમીટર દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા: $Q_a = (m_a s + W) \Delta T = (200s + 10) \times 5 = 1000s + 50\,\text{cal}$.
આલ્કોહોલ માટે ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર: $R_a = \frac{Q_a}{t_a} = \frac{1000s + 50}{67}$.
બંને કિસ્સામાં ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર સમાન હોવાથી $(R_w = R_a)$:
$10 = \frac{1000s + 50}{67}$
$670 = 1000s + 50$
$1000s = 620$
$s = 0.62\,\text{cal/g}^{\circ}C$.

(A) આપેલ છે: ઉષ્મા $\Delta Q = 184 \times 10^3\,J$,દળ $m = 0.6\,kg$,પ્રારંભિક તાપમાન $T_i = -12^{\circ}C$,વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c_{ice} = 2222.3\,J\,kg^{-1\circ}C^{-1}$,ગુપ્ત ઉષ્મા $L = 336 \times 10^3\,J\,kg^{-1}$.
પગલું $1$: બરફનું તાપમાન $-12^{\circ}C$ થી $0^{\circ}C$ સુધી વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા:
$Q_1 = m \cdot c_{ice} \cdot \Delta T = 0.6 \times 2222.3 \times 12 = 16000.56\,J$.
પગલું $2$: પીગળવા માટે બાકી રહેલી ઉષ્મા:
$Q_{rem} = \Delta Q - Q_1 = 184000 - 16000.56 = 167999.44\,J$.
પગલું $3$: $0^{\circ}C$ પર બરફના સંપૂર્ણ દળને પીગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા:
$Q_{melt} = m \cdot L = 0.6 \times 336000 = 201600\,J$.
અહીં $Q_{rem} < Q_{melt}$ હોવાથી,બરફ સંપૂર્ણપણે પીગળશે નહીં અને અંતિમ તાપમાન $0^{\circ}C$ રહેશે. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
પગલું $4$: પીગળેલા બરફનું દળ $(m_w)$ શોધો:
$m_w = \frac{Q_{rem}}{L} = \frac{167999.44}{336000} \approx 0.5\,kg$.
પગલું $5$: બાકી રહેલા બરફનું દળ $(m_i)$ શોધો:
$m_i = m - m_w = 0.6 - 0.5 = 0.1\,kg$.
પગલું $6$: બરફ અને પાણીનો ગુણોત્તર:
ગુણોત્તર $= \frac{m_i}{m_w} = \frac{0.1}{0.5} = 1:5$. તેથી,વિધાન $(D)$ સાચું છે.
આમ,$(A)$ અને $(D)$ સાચા છે.