Mix Examples-Thermometry, Thermal Expansion and Calorimetry Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે: બરફ બિંદુ પર અવરોધ $R_0 = 8 \Omega$,વરાળ બિંદુ પર અવરોધ $R_{100} = 10 \Omega$.
તાપમાન $T$ પર અવરોધનું સૂત્ર $R_T = R_0(1 + \alpha T)$ છે.
વરાળ બિંદુ $(100^{\circ} C)$ માટે:
$10 = 8(1 + \alpha \times 100)$
$1.25 = 1 + 100\alpha$
$100\alpha = 0.25 = 1/4$
$\alpha = 1/400 \text{ per } ^{\circ} C$.
હવે,$T = 400^{\circ} C$ તાપમાન માટે:
$R_{400} = R_0(1 + \alpha \times 400)$
$R_{400} = 8(1 + (1/400) \times 400)$
$R_{400} = 8(1 + 1) = 8 \times 2 = 16 \Omega$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

$(A)$ બાયમેટાલિક સ્ટ્રીપ ઘન પદાર્થોના ઉષ્મીય પ્રસરણના સિદ્ધાંત પર કામ કરે છે, જ્યાં બે અલગ-અલગ ધાતુઓ ગરમ થવા પર અલગ-અલગ પ્રમાણમાં વિસ્તરે છે, જેના કારણે પટ્ટી વળી જાય છે। તેથી, $A \rightarrow (s)$.
$(B)$ સ્ટીમ એન્જિન ઉષ્મીય ઉર્જાને (વરાળમાંથી) યાંત્રિક કાર્યમાં રૂપાંતરિત કરે છે। તેથી, $B \rightarrow (q)$.
$(C)$ ઇન્કેન્ડેસન્ટ લેમ્પ ફિલામેન્ટને ઊંચા તાપમાને ગરમ કરીને કામ કરે છે, જેના કારણે તે રેડિયેશન દ્વારા પ્રકાશ ઉત્સર્જિત કરે છે। તેથી, $C \rightarrow (p)$.
$(D)$ ઇલેક્ટ્રિક ફ્યુઝ એ એક સુરક્ષા ઉપકરણ છે જે જ્યારે પ્રવાહ ચોક્કસ મર્યાદા કરતા વધી જાય ત્યારે પીગળી જાય છે, અને સર્કિટ તોડી નાખે છે। તેથી, $D \rightarrow (r)$.
આમ, સાચી જોડ $A \rightarrow (s), B \rightarrow (q), C \rightarrow (p), D \rightarrow (r)$ છે।

(B) $t = 3 \text{ કલાક} = 3 \times 3600 \text{ સેકન્ડ} = 10800 \text{ સેકન્ડ}$ માં ઉપકરણ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી કુલ ગરમી:
$Q_{\text{gen}} = P_{\text{device}} \times t = 3000 \text{ W} \times 10800 \text{ s} = 3.24 \times 10^7 \text{ J}$.
જ્યારે પાણીનું તાપમાન $10^{\circ}\text{C}$ થી વધીને $30^{\circ}\text{C}$ થાય ત્યારે $120 \text{ લિટર}$ $(120 \text{ kg})$ પાણી દ્વારા શોષાયેલી ગરમી:
$Q_{\text{water}} = m \cdot c \cdot \Delta T = 120 \text{ kg} \times 4200 \text{ J kg}^{-1} \text{K}^{-1} \times (30 - 10) \text{ K} = 120 \times 4200 \times 20 = 1.008 \times 10^7 \text{ J}$.
કુલર દ્વારા દૂર કરવામાં આવતી ગરમી:
$Q_{\text{cooler}} = Q_{\text{gen}} - Q_{\text{water}} = 3.24 \times 10^7 \text{ J} - 1.008 \times 10^7 \text{ J} = 2.232 \times 10^7 \text{ J}$.
કુલરનો ન્યૂનતમ પાવર $P$:
$P = \frac{Q_{\text{cooler}}}{t} = \frac{2.232 \times 10^7 \text{ J}}{10800 \text{ s}} \approx 2066.67 \text{ W} \approx 2067 \text{ W}$.

(C) ધારો કે કેલરીમીટરનું દળ $= m$,કેલરીમીટરની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $= x$,પ્રવાહીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $= s$ અને પ્રવાહીની ગુપ્ત ઉષ્મા $= L$ છે.
જ્યારે $30^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતું $5 \ gm$ પ્રવાહી $110^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતા કેલરીમીટરમાં ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે કેલરીમીટર $80^{\circ} C$ સુધી ઠંડુ થાય છે અને પ્રવાહીનું બાષ્પીભવન થાય છે:
$m \cdot x \cdot (110 - 80) = 5 \cdot s \cdot (80 - 30) + 5 \cdot L$
$30 \cdot mx = 250s + 5L$ ... $(i)$
હવે,$80^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતા કેલરીમીટરમાં $30^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતું $80 \ gm$ પ્રવાહી ઉમેરવામાં આવે છે અને અંતિમ સંતુલન તાપમાન $50^{\circ} C$ થાય છે:
$m \cdot x \cdot (80 - 50) = 80 \cdot s \cdot (50 - 30)$
$30 \cdot mx = 1600s$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા:
$250s + 5L = 1600s$
$5L = 1350s$
$\frac{L}{s} = \frac{1350}{5} = 270$

(B) જરૂરી કુલ ઉષ્મા એ પાંચ તબક્કાઓમાં શોષાયેલી ઉષ્માનો સરવાળો છે:
$1$. બરફને $-10^{\circ} C$ થી $0^{\circ} C$ સુધી ગરમ કરતા: $\Delta Q_1 = m \cdot S_{\text{ice}} \cdot \Delta T = 10^{-3} \times 2100 \times 10 = 21 \ J$
$2$. $0^{\circ} C$ પર બરફને પાણીમાં રૂપાંતરિત કરતા: $\Delta Q_2 = m \cdot L_f = 10^{-3} \times 3.35 \times 10^5 = 335 \ J$
$3$. પાણીને $0^{\circ} C$ થી $100^{\circ} C$ સુધી ગરમ કરતા: $\Delta Q_3 = m \cdot S_{\text{water}} \cdot \Delta T = 10^{-3} \times 4180 \times 100 = 418 \ J$
$4$. $100^{\circ} C$ પર પાણીને વરાળમાં રૂપાંતરિત કરતા: $\Delta Q_4 = m \cdot L_v = 10^{-3} \times 2.25 \times 10^6 = 2250 \ J$
$5$. વરાળને $100^{\circ} C$ થી $110^{\circ} C$ સુધી ગરમ કરતા: $\Delta Q_5 = m \cdot S_{\text{steam}} \cdot \Delta T = 10^{-3} \times 1920 \times 10 = 19.2 \ J$
કુલ ઉષ્મા $\Delta Q_{\text{total}} = \Delta Q_1 + \Delta Q_2 + \Delta Q_3 + \Delta Q_4 + \Delta Q_5 = 21 + 335 + 418 + 2250 + 19.2 = 3043.2 \ J$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $3043 \ J$ મળે છે.

(C) પ્રક્રિયા માટે જરૂરી કુલ ઉષ્મા બે ભાગની બનેલી છે: ગોળીના તાપમાનને તેના ગલનબિંદુ સુધી વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા અને અવસ્થા પરિવર્તન (ઓગળવા) માટે જરૂરી ઉષ્મા.
ધારો કે ગોળીનું દળ $m \ kg$ છે.
તાપમાન $300 \ K$ થી $600 \ K$ સુધી વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q_1 = ms \Delta T = m \times 125 \times (600 - 300) = m \times 125 \times 300 = 37500m \ J$ છે.
ઓગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q_2 = mL = m \times 2.5 \times 10^4 = 25000m \ J$ છે.
કુલ ઉષ્મા $Q = Q_1 + Q_2 = 37500m + 25000m = 62500m \ J$.
આપેલ છે કે $Q = 625 \ J$,તેથી $62500m = 625$.
$m = \frac{625}{62500} = 0.01 \ kg$.
ગ્રામમાં ફેરવતા,$m = 0.01 \times 1000 = 10 \ g$.

(D) $1$. ઉષ્મા ધારિતા $(C^{\prime})$ એટલે પદાર્થનું તાપમાન $1 K$ વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા. તેનો એકમ $J K^{-1}$ છે. તેથી,$(A)-(II)$.
$2$. વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $(S)$ એટલે પદાર્થના $1 kg$ દ્રવ્યમાનનું તાપમાન $1 K$ વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા. તેનો એકમ $J kg^{-1} K^{-1}$ છે. તેથી,$(B)-(III)$.
$3$. ગુપ્ત ઉષ્મા $(L)$ એટલે અચળ તાપમાને પદાર્થના $1 kg$ દ્રવ્યમાનની અવસ્થા બદલવા માટે જરૂરી ઉષ્મા. તેનો એકમ $J kg^{-1}$ છે. તેથી,$(C)-(I)$.
$4$. ઉષ્મીય વાહકતા $(K)$ માટેનું સૂત્ર $\Delta Q = \frac{KA \Delta T}{L} t$ છે. $K$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$K = \frac{\Delta Q \cdot L}{A \cdot \Delta T \cdot t}$. તેનો એકમ $J m^{-1} K^{-1} s^{-1}$ છે. તેથી,$(D)-(IV)$.
આમ,સાચી જોડ $(A)-(II), (B)-(III), (C)-(I), (D)-(IV)$ છે.

(A) શીટનું પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_0 = l \times d = 9 \ cm \times 4 \ cm = 36 \ cm^2 = 36 \times 10^{-4} \ m^2$ છે.
ઉષ્માના સૂત્ર $\Delta Q = m C_v \Delta T$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T$ શોધીએ છીએ:
$8.1 \times 10^2 = 0.1 \times 900 \times \Delta T$
$810 = 90 \times \Delta T$
$\Delta T = \frac{810}{90} = 9 \ K$.
ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = A_0 \beta \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\beta = 2\alpha$ એ ક્ષેત્રીય પ્રસરણાંક છે.
$\Delta A = A_0 (2\alpha) \Delta T$
$\Delta A = (36 \times 10^{-4} \ m^2) \times (2 \times 3.1 \times 10^{-5} \ K^{-1}) \times (9 \ K)$
$\Delta A = 36 \times 10^{-4} \times 6.2 \times 10^{-5} \times 9$
$\Delta A = 2008.8 \times 10^{-9} \ m^2 \approx 2.0 \times 10^{-6} \ m^2$.

(D) $h$ ઊંચાઈએ રહેલા પાણીની સ્થિતિ ઊર્જા જ્યારે તે કુંડમાં પડે છે ત્યારે ઉષ્મા ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$mgh = ms \Delta T$
અહીં,$m$ એ પાણીનું દળ છે,$g = 10 \ m/s^2$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે,$h = 200 \ m$ એ ઊંચાઈ છે,અને $s = 4200 \ J/(kg \ K)$ એ પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે.
બંને બાજુથી $m$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$gh = s \Delta T$
$\Delta T = \frac{gh}{s}$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta T = \frac{10 \times 200}{4200} = \frac{2000}{4200} = \frac{20}{42} = \frac{10}{21} \ K$
$\Delta T \approx 0.476 \ K \approx 0.48 \ K$

(B) ગોળીની ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2} mv^2$ છે.
આપેલ છે: $m = 20 \ g = 0.02 \ kg$,$v = 300 \ m/s$,$S = 150 \ J/kg \cdot K$.
$K.E. = \frac{1}{2} \times 0.02 \times (300)^2 = 0.01 \times 90000 = 900 \ J$.
ગોળી દ્વારા $50 \%$ ઉષ્મા શોષાય છે,તેથી શોષાયેલી ઉષ્મા $Q = 0.5 \times 900 = 450 \ J$.
સૂત્ર $Q = mS \Delta T$ નો ઉપયોગ કરતા,$450 = 0.02 \times 150 \times \Delta T$.
$450 = 3 \times \Delta T$.
$\Delta T = \frac{450}{3} = 150^{\circ} C$.

(C) $h$ ઊંચાઈએ રહેલી વસ્તુની સ્થિતિ ઉર્જા અથડામણ સમયે ઉષ્મા ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
આપેલ છે: દળ $m = 3.5 \ kg$,ઊંચાઈ $h = 2000 \ m$,$g = 10 \ m/s^2$,ગલન ગુપ્ત ઉષ્મા $L = 3.5 \times 10^5 \ J/kg$.
સ્થિતિ ઉર્જા $PE = mgh = 3.5 \times 10 \times 2000 = 70,000 \ J$.
$m'$ દળનો બરફ ઓગાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = m'L$ છે.
વસ્તુ સ્થિર થઈ જતી હોવાથી,બધી સ્થિતિ ઉર્જા ઉષ્મામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $mgh = m'L$.
$70,000 = m' \times 3.5 \times 10^5$.
$m' = \frac{70,000}{3.5 \times 10^5} = \frac{7 \times 10^4}{3.5 \times 10^5} = 2 \times 10^{-1} \ kg = 0.2 \ kg$.
ગ્રામમાં રૂપાંતર કરતા: $0.2 \ kg = 200 \ g$.

(B) ગોળીની ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2} mv^2$ છે.
આપેલ છે કે આ ઊર્જાના $50\%$ ઉષ્મા ઊર્જા $(Q)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા ઊર્જા $Q = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} mv^2) = \frac{1}{4} mv^2$ છે.
ગોળીનું તાપમાન $\Delta T$ જેટલું વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = ms \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યાં $J$ એ ઉષ્માનો યાંત્રિક તુલ્યાંક છે,આપણે $W = JQ$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $W$ એ કરેલું કાર્ય (અથવા રૂપાંતરિત ઊર્જા) છે.
ઉષ્મામાં રૂપાંતરિત ઊર્જાને સરખાવતા: $\frac{1}{4} mv^2 = J(ms \Delta T)$.
$\Delta T$ માટે ઉકેલતા: $\Delta T = \frac{mv^2}{4 Jms} = \frac{v^2}{4 Js}$.

(D) લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિકલન લેતા,આવર્તકાળમાં થતો ફેરફાર $\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \frac{dL}{L}$ થાય છે.
કારણ કે $\frac{dL}{L} = \alpha \Delta \theta$,તેથી $\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$ મળે.
અહીં,$T = 0.5 \ s$,$\alpha = 9 \times 10^{-7} /^{\circ}C$,અને $\Delta \theta = 30^{\circ}C - 20^{\circ}C = 10^{\circ}C$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $dT = T \times \frac{1}{2} \times \alpha \times \Delta \theta$.
$dT = 0.5 \times \frac{1}{2} \times (9 \times 10^{-7}) \times 10$.
$dT = 0.25 \times 9 \times 10^{-6} = 2.25 \times 10^{-6} \ s$.

(A) ગોળીની પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $K.E. = \frac{1}{2} MV^2$ છે.
આપેલ છે કે આ ઉર્જાના $75 \%$ ઉષ્મામાં રૂપાંતરિત થાય છે,તેથી ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા ઉર્જા $Q = 0.75 \times K.E. = \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} MV^2 = \frac{3}{8} MV^2$ છે.
ગોળીનું તાપમાન $\Delta T$ જેટલું વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા ઉર્જા $H = M s \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉષ્માના યાંત્રિક તુલ્યાંક $J$ નો ઉપયોગ કરતા,જૂલ $(W)$ માં ઉષ્મા ઉર્જા અને કેલરી $(Q)$ વચ્ચેનો સંબંધ $W = JQ$ છે.
અહીં,થયેલ કાર્ય (રૂપાંતરિત ઉર્જા) $W = \frac{3}{8} MV^2$ છે અને શોષાયેલી ઉષ્મા $Q = M s \Delta T$ છે.
આમ,$\frac{3}{8} MV^2 = J (M s \Delta T)$.
તાપમાનમાં થતા વધારા $\Delta T$ માટે ઉકેલતા:
$\Delta T = \frac{3 MV^2}{8 J M s} = \frac{3 V^2}{8 Js}$.

(B) $ 0^{\circ} C $ તાપમાને રહેલા $ 1 \text{ g} $ બરફને $ 0^{\circ} C $ તાપમાનના પાણીમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $ Q_1 = m L_f = 1 \times 80 = 80 \text{ cal} $ છે.
$ 1 \text{ g} $ પાણીનું તાપમાન $ 0^{\circ} C $ થી $ 100^{\circ} C $ સુધી વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $ Q_2 = m c \Delta T = 1 \times 1 \times 100 = 100 \text{ cal} $ છે.
$ 0^{\circ} C $ ના બરફને $ 100^{\circ} C $ ના પાણીમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે જરૂરી કુલ ઉષ્મા $ Q_{total} = 80 + 100 = 180 \text{ cal} $ છે.
$ 100^{\circ} C $ તાપમાનની $ 1 \text{ g} $ વરાળ દ્વારા $ 100^{\circ} C $ તાપમાનના પાણીમાં રૂપાંતરિત થતી વખતે મુક્ત થતી ઉષ્મા $ Q_{steam} = m L_v = 1 \times 540 = 540 \text{ cal} $ છે.
અહીં $ Q_{steam} > Q_{total} $ હોવાથી,વરાળ પાસે બરફને ઓગાળવા અને પાણીને $ 100^{\circ} C $ સુધી ગરમ કરવા માટે પૂરતી ઉષ્મા છે.
તેથી,મિશ્રણ $ 100^{\circ} C $ તાપમાને તાપીય સંતુલન પ્રાપ્ત કરશે અને થોડી વરાળ બાકી રહેશે.

(C) ઘન પદાર્થને $\theta_0$ તાપમાનથી $\theta_2$ તાપમાન સુધી વરાળમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે જરૂરી કુલ ઉષ્મા ઊર્જા $Q$ એ દરેક તબક્કા માટે જરૂરી ઉષ્માનો સરવાળો છે:
$1$. ઘન પદાર્થનું તાપમાન $\theta_0$ થી $\theta_1$ સુધી વધારવા માટેની ઉષ્મા: $Q_1 = m s_1(\theta_1 - \theta_0)$
$2$. $\theta_1$ તાપમાને ગલન માટેની ઉષ્મા: $Q_2 = m L_f$
$3$. પ્રવાહીનું તાપમાન $\theta_1$ થી $\theta_2$ સુધી વધારવા માટેની ઉષ્મા: $Q_3 = m s_2(\theta_2 - \theta_1)$
$4$. $\theta_2$ તાપમાને બાષ્પીભવન માટેની ઉષ્મા: $Q_4 = m L_v$
કુલ ઉષ્મા $Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4 = m s_1(\theta_1 - \theta_0) + m L_f + m s_2(\theta_2 - \theta_1) + m L_v$.

(D) કુલ ઉષ્મા $Q$ માટેનું સૂત્ર: $Q = (m_1 s_1 + m_2 s_2 + m_3 s_3) \Delta T$.
અહીં,$m_1 = 2.4 \ kg$,$s_1 = 0.216 \ cal \cdot kg^{-1} \cdot ^{\circ}C^{-1}$ (એલ્યુમિનિયમ).
$m_2 = 1.6 \ kg$,$s_2 = 0.0917 \ cal \cdot kg^{-1} \cdot ^{\circ}C^{-1}$ (પિત્તળ).
$m_3 = 0.8 \ kg$,$s_3 = 0.0931 \ cal \cdot kg^{-1} \cdot ^{\circ}C^{-1}$ (તાંબુ).
$Q = 44.4 \ cal$.
કિંમતો મૂકતા: $44.4 = (2.4 \times 0.216 + 1.6 \times 0.0917 + 0.8 \times 0.0931) \Delta T$.
$44.4 = (0.5184 + 0.14672 + 0.07448) \Delta T$.
$44.4 = (0.7396) \Delta T$.
$\Delta T = 44.4 / 0.7396 \approx 60^{\circ} C$.
$\Delta T = T_{final} - T_{initial}$ હોવાથી,$60 = T_{final} - 20$.
તેથી,$T_{final} = 80^{\circ} C$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 2 \,kg$, ઢાળ $\theta = \sin^{-1}(3/5)$, તેથી $\sin \theta = 3/5$ અને $\cos \theta = 4/5$. અંતર $s = 80 \,cm = 0.8 \,m$. વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c = 420 \,J kg^{-1} K^{-1}$. ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g = 10 \,ms^{-2}$.
બ્લોક અચળ ઝડપે સરકતો હોવાથી, ઘર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થયેલા ઘટાડા જેટલું હોય છે। ઘર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_f = f_k \cdot s$, જ્યાં $f_k = \mu_k N = \mu_k mg \cos \theta$. ઝડપ અચળ હોવાથી, $mg \sin \theta = f_k$.
તેથી, ઉત્પન્ન થયેલી ઉષ્મા $Q = W_f = (mg \sin \theta) \cdot s$.
ઉત્પન્ન થયેલી ઉષ્માને શોષાયેલી ઉષ્મા સાથે સરખાવતા: $Q = mc \Delta T$.
$mc \Delta T = (mg \sin \theta) s$.
$\Delta T = \frac{g \sin \theta \cdot s}{c} = \frac{10 \times (3/5) \times 0.8}{420}$.
$\Delta T = \frac{10 \times 0.6 \times 0.8}{420} = \frac{4.8}{420} \approx 0.0114^{\circ} C$.

(B) પ્રમાણભૂત ફેઝ ડાયાગ્રામ (દબાણ વિરુદ્ધ તાપમાન) માં:
$1$. ઘન અને પ્રવાહી અવસ્થાઓને અલગ કરતો વક્ર એ ફ્યુઝન (ગલન) વક્ર છે. આકૃતિમાં,$AO$ ઘન અને પ્રવાહી પ્રદેશોને અલગ કરે છે,તેથી $AO$ એ ફ્યુઝન વક્ર છે.
$2$. ઘન અને બાષ્પ અવસ્થાઓને અલગ કરતો વક્ર એ સબ્લિમેશન (ઉર્ધ્વપાતન) વક્ર છે. આકૃતિમાં,$BO$ ઘન અને બાષ્પ પ્રદેશોને અલગ કરે છે,તેથી $BO$ એ સબ્લિમેશન વક્ર છે.
$3$. પ્રવાહી અને બાષ્પ અવસ્થાઓને અલગ કરતો વક્ર એ વેપોરાઈઝેશન (બાષ્પીભવન) વક્ર છે. આકૃતિમાં,$CO$ પ્રવાહી અને બાષ્પ પ્રદેશોને અલગ કરે છે,તેથી $CO$ એ વેપોરાઈઝેશન વક્ર છે.
તેથી,$AO =$ ફ્યુઝન વક્ર,$BO =$ સબ્લિમેશન વક્ર,અને $CO =$ વેપોરાઈઝેશન વક્ર.

(C) ઉછળતી વખતે દડા દ્વારા ગુમાવેલી ઉર્જા એ બે ઊંચાઈઓ પરની સ્થિતિ ઉર્જાના તફાવત જેટલી હોય છે।
ગુમાવેલી ઉર્જા $\Delta E = mg(h_1 - h_2)$.
આપેલ છે: $m = 200 \,g = 0.2 \,kg$, $h_1 = 20 \,m$, $h_2 = 10.8 \,m$, $g = 10 \,ms^{-2}$, અને $c = 460 \,Jkg^{-1} K^{-1}$.
ધારો કે ગુમાવેલી ઉર્જા દડા દ્વારા શોષાય છે, તેથી $\Delta E = mc \Delta T$.
બંનેને સરખાવતા: $mg(h_1 - h_2) = mc \Delta T$.
બંને બાજુથી $m$ દૂર કરતા: $g(h_1 - h_2) = c \Delta T$.
કિંમતો મૂકતા: $10 \times (20 - 10.8) = 460 \times \Delta T$.
$10 \times 9.2 = 460 \times \Delta T$.
$92 = 460 \times \Delta T$.
$\Delta T = \frac{92}{460} = 0.2^{\circ} C$.

(A) આ પ્રક્રિયા ત્રણ તબક્કામાં થાય છે:
$1$. બરફને $-10^{\circ}C$ થી $0^{\circ}C$ સુધી ગરમ કરવો: $Q_1 = m \cdot S_{ice} \cdot \Delta T = 0.2 \ kg \times 2100 \ J \ kg^{-1} K^{-1} \times 10 \ K = 4200 \ J$
$2$. $0^{\circ}C$ તાપમાને બરફનું પાણીમાં રૂપાંતર: $Q_2 = m \cdot L_f = 0.2 \ kg \times 3.35 \times 10^5 \ J \ kg^{-1} = 67000 \ J$
$3$. પાણીને $0^{\circ}C$ થી $30^{\circ}C$ સુધી ગરમ કરવું: $Q_3 = m \cdot S_{water} \cdot \Delta T = 0.2 \ kg \times 4186 \ J \ kg^{-1} K^{-1} \times 30 \ K = 25116 \ J$
કુલ જરૂરી ઉષ્મા $Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 4200 + 67000 + 25116 = 96316 \ J$.

(A) આપેલ છે: વરાળનું દળ,$m_s = 5 \text{ g}$,વરાળનું તાપમાન,$T_s = 100^{\circ} \text{C}$.
બરફનું દળ,$m_i = 5 \text{ g}$,બરફનું તાપમાન,$T_i = 0^{\circ} \text{C}$.
વરાળની ગુપ્ત ઉષ્મા,$L_v = 540 \text{ cal/g}$.
બરફની ગલન ગુપ્ત ઉષ્મા,$L_f = 80 \text{ cal/g}$.
પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા,$s = 1 \text{ cal/g}^{\circ} \text{C}$.
પગલું $1$: $100^{\circ} \text{C}$ તાપમાને વરાળનું પાણીમાં રૂપાંતર થવા માટે મુક્ત થતી ઉષ્મા:
$Q_1 = m_s \times L_v = 5 \times 540 = 2700 \text{ cal}$.
પગલું $2$: બરફને ઓગળવા અને $100^{\circ} \text{C}$ તાપમાન સુધી પહોંચવા માટે જરૂરી ઉષ્મા:
બરફ ઓગળવા માટે: $Q_{melt} = m_i \times L_f = 5 \times 80 = 400 \text{ cal}$.
પાણીનું તાપમાન $0^{\circ} \text{C}$ થી $100^{\circ} \text{C}$ સુધી વધારવા માટે: $Q_{rise} = m_i \times s \times \Delta T = 5 \times 1 \times 100 = 500 \text{ cal}$.
બરફ માટે કુલ જરૂરી ઉષ્મા: $Q_2 = 400 + 500 = 900 \text{ cal}$.
પગલું $3$: $Q_1$ અને $Q_2$ ની સરખામણી:
$Q_1 > Q_2$ હોવાથી,વરાળ પાસે બરફને ઓગળવા અને પાણીને $100^{\circ} \text{C}$ સુધી ગરમ કરવા માટે પૂરતી ઉર્જા છે.
તેથી,મિશ્રણનું અંતિમ તાપમાન $100^{\circ} \text{C}$ રહેશે.

(D) પાણીની ઘનતા $4^{\circ} C$ તાપમાને મહત્તમ હોય છે.
જેમ તાપમાન $4^{\circ} C$ થી વધે છે,તેમ પાણીની ઘનતા ઘટે છે,જેના કારણે કદમાં વધારો થાય છે.
તે જ રીતે,જેમ તાપમાન $4^{\circ} C$ થી ઘટે છે,તેમ પાણીની ઘનતા અસામાન્ય વિસ્તરણને કારણે ઘટે છે,જે ફરીથી કદમાં વધારો કરે છે.
બીકર પહેલેથી જ ભરેલું હોવાથી,કદમાં કોઈપણ વધારો પાણીને બહાર છલકાવે છે.
તેથી,પાણીને $4^{\circ} C$ થી ઉપર ગરમ કરવામાં આવે અથવા $4^{\circ} C$ થી નીચે ઠંડું પાડવામાં આવે ત્યારે તે બહાર છલકાય છે.
વિધાન $D$ ખોટું છે કારણ કે જ્યારે પાણીને $4^{\circ} C$ થી નીચે ઠંડું પાડવામાં આવે ત્યારે તે ચોક્કસપણે બહાર છલકાય છે.

(B) આપેલ છે: ઊંચાઈ $h = 210 \ m$,પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c = 4.2 \times 10^3 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1}$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$.
જ્યારે પાણી પડે છે,ત્યારે તેની સ્થિતિ ઊર્જા ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
સ્થિતિ ઊર્જા $(PE) = mgh$.
પ્રશ્ન મુજબ,ગતિ ઊર્જાના $60 \ \%$ ભાગનું ઉષ્મા ઊર્જા $(Q)$ માં રૂપાંતર થાય છે.
$Q = 0.6 \times PE = 0.6 \times mgh$.
ઉપરાંત,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $Q = mc\Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો વધારો છે.
$Q$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$mc\Delta T = 0.6 \times mgh$.
બંને બાજુથી દળ $m$ દૂર કરતા:
$c\Delta T = 0.6 \times g \times h$.
$\Delta T = \frac{0.6 \times g \times h}{c}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta T = \frac{0.6 \times 10 \times 210}{4.2 \times 10^3} = \frac{1260}{4200} = 0.3^{\circ} C$.
આમ,તાપમાનમાં થતો વધારો $0.3^{\circ} C$ છે.

(B) આપેલ છે: હથોડાનું દળ $M = 200 \ kg$,સ્ટીલના બ્લોકનું દળ $m = 200 \ g = 0.2 \ kg$,હથોડાનો વેગ $v = 8 \ ms^{-1}$,અને સ્ટીલની વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા $s = 460 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1}$.
હથોડાની ગતિ ઉર્જા $KE = \frac{1}{2} M v^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $KE = \frac{1}{2} \times 200 \times 8^2 = 100 \times 64 = 6400 \ J$.
આ ઉર્જાના માત્ર $23 \%$ ભાગનો ઉપયોગ સ્ટીલના બ્લોકને ગરમ કરવા માટે થાય છે.
ઉષ્મા ઉર્જા $H = 6400 \ J \text{ ના } 23 \% = \frac{23}{100} \times 6400 = 1472 \ J$.
બ્લોક દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા $H = m s \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો વધારો છે.
$\Delta T = \frac{H}{m s} = \frac{1472}{0.2 \times 460} = \frac{1472}{92} = 16 \ K$.
આમ,બ્લોકના તાપમાનમાં થતો વધારો $16 \ K$ છે.

(A) . જ્યારે બરફ પીગળીને પાણી બને છે,ત્યારે બરફનું હાઇડ્રોજન-બંધારણ તૂટી જાય છે,જેનાથી અણુઓની ગોઠવણી વધુ ઘટ્ટ બને છે. તેથી,ઘનતા વધે છે અને કદ ઘટે છે. $(A-II)$
$B$. જ્યારે પાણી વરાળમાં રૂપાંતરિત થાય છે,ત્યારે અણુઓ એકબીજાથી દૂર જાય છે,જેના પરિણામે કદમાં નોંધપાત્ર વધારો થાય છે. $(B-I)$
$C$. કારણ કે બરફ પીગળતી વખતે સંકોચાય છે,ક્લોસિયસ-ક્લેપરોન સંબંધ મુજબ,દબાણ વધવાથી તેનું ગલનબિંદુ ઘટે છે. $(C-IV)$
$D$. ઉત્કલન પ્રક્રિયામાં કદમાં મોટો વધારો થાય છે,તેથી દબાણ વધારવાથી અણુઓ માટે વરાળ અવસ્થામાં જવું મુશ્કેલ બને છે,આમ ઉત્કલનબિંદુ વધે છે. $(D-III)$
તેથી,સાચી જોડી $A-II, B-I, C-IV, D-III$ છે.

(B) ઊંચાઈ $h$ પર કરાના પથ્થરની સ્થિતિ ઊર્જા $(PE)$ $PE = mgh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આપેલ છે: $m = 42 \,g = 0.042 \,kg$, $h = 1.8 \,km = 1800 \,m$, $g = 10 \,ms^{-2}$.
$PE = 0.042 \times 10 \times 1800 = 756 \,J$.
આ ઊર્જા બરફના $m'$ દળને ઓગળવા માટે ગુપ્ત ઉષ્મા $(Q)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે: $Q = m' L_{\text{ice}}$.
$756 = m' \times 3.36 \times 10^5$.
$m' = \frac{756}{3.36 \times 10^5} = 225 \times 10^{-5} \,kg = 2.25 \times 10^{-3} \,kg = 2.25 \,g$.
કરાના પથ્થરનું બાકી રહેલું દળ $m_{remaining} = m - m' = 42 \,g - 2.25 \,g = 39.75 \,g$ છે।

(A) ધારો કે પ્રથમ ભાગનું દળ $m$ છે અને બીજા ભાગનું દળ $(M - m)$ છે.
$t^{\circ} C$ તાપમાને રહેલા $m \ kg$ પાણી દ્વારા $0^{\circ} C$ તાપમાને બરફ બનવા માટે મુક્ત થતી ઉષ્મા:
$Q_1 = m \times c \times (t - 0) + m \times L_f = m \times 1 \times t + m \times 80 = m(t + 80)$.
$t^{\circ} C$ તાપમાને રહેલા $(M - m) \ kg$ પાણી દ્વારા $100^{\circ} C$ તાપમાને વરાળ બનવા માટે શોષાતી ઉષ્મા:
$Q_2 = (M - m) \times c \times (100 - t) + (M - m) \times L_v = (M - m) \times 1 \times (100 - t) + (M - m) \times 540 = (M - m)(640 - t)$.
$Q_1 = Q_2$ લેતા:
$m(t + 80) = (M - m)(640 - t)$
$mt + 80m = 640M - Mt - 640m + mt$
$80m + 640m = 640M - Mt$
$720m = M(640 - t)$
$\frac{m}{M} = \frac{640 - t}{720}$.

(A) ગોળીની ગતિઊર્જા ઉષ્મામાં રૂપાંતરિત થાય છે. કારણ કે ઉષ્માનો $\frac{1}{4}$ ભાગ અવરોધ દ્વારા શોષાય છે,તેથી ગતિઊર્જાનો $\frac{3}{4}$ ભાગ ગોળીને ગરમ કરવા અને પીગળવા માટે વપરાય છે.
ઊર્જા સંતુલન સમીકરણ: $\frac{3}{4} (\frac{1}{2} m v^2) = m s \Delta \theta + m L$.
આપેલ છે: $s = 0.03 \ cal \ g^{-1} {}^{\circ} C^{-1} = 0.03 \times 4200 \ J \ kg^{-1} K^{-1} = 126 \ J \ kg^{-1} K^{-1}$.
$\Delta \theta = 600 \ K - 300 \ K = 300 \ K$.
$L = 6 \ cal \ g^{-1} = 6 \times 4200 \ J \ kg^{-1} = 25200 \ J \ kg^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{8} v^2 = (126 \times 300) + 25200$.
$\frac{3}{8} v^2 = 37800 + 25200 = 63000$.
$v^2 = \frac{63000 \times 8}{3} = 21000 \times 8 = 168000$.
$v = \sqrt{168000} \approx 409.88 \ ms^{-1} \approx 410 \ ms^{-1}$.

(B) ગરમી દરમિયાન વિસ્તરણ એ એવી પ્રક્રિયા છે જેમાં તાપમાનમાં ફેરફાર થવાને કારણે દ્રવ્યના કદમાં ફેરફાર થાય છે.
જ્યારે પદાર્થને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેના કણો ગતિ ઊર્જા મેળવે છે અને એકબીજાથી દૂર જાય છે,જેના પરિણામે કદમાં વધારો થાય છે.
ઘનતા $\rho = \frac{m}{V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $V$ એ કદ છે,અચળ દળ $m$ માટે કદ $V$ માં વધારો થવાથી ઘનતા $\rho$ માં ઘટાડો થાય છે.
તેથી,ગરમી દરમિયાન વિસ્તરણ પદાર્થની ઘનતા ઘટાડે છે.

(C) આપેલ છે: $0^{\circ} C$ તાપમાને લાકડાની ઘનતા,$\rho_w = 880 \ kg \ m^{-3}$.
$0^{\circ} C$ તાપમાને બેન્ઝીનની ઘનતા,$\rho_b = 900 \ kg \ m^{-3}$.
લાકડાનો કદ પ્રસરણાંક,$\gamma_w = 1.2 \times 10^{-3} \ ^{\circ}C^{-1}$.
બેન્ઝીનનો કદ પ્રસરણાંક,$\gamma_b = 1.5 \times 10^{-3} \ ^{\circ}C^{-1}$.
શરૂઆતનું તાપમાન,$T_1 = 0^{\circ} C$.
ધારો કે $T_2$ એ તાપમાન છે જ્યાં લાકડું ડૂબી જાય છે અને $\Delta T = T_2 - T_1$.
લાકડું ત્યારે ડૂબશે જ્યારે તેની ઘનતા $T_2$ તાપમાને બેન્ઝીનની ઘનતા જેટલી થાય.
$T$ તાપમાને ઘનતાનું સૂત્ર: $\rho_T = \frac{\rho_0}{1 + \gamma \Delta T}$.
ઘનતાને સરખાવતા: $\frac{\rho_w}{1 + \gamma_w \Delta T} = \frac{\rho_b}{1 + \gamma_b \Delta T}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{880}{1 + 1.2 \times 10^{-3} \Delta T} = \frac{900}{1 + 1.5 \times 10^{-3} \Delta T}$.
$880(1 + 1.5 \times 10^{-3} \Delta T) = 900(1 + 1.2 \times 10^{-3} \Delta T)$.
$880 + 1.32 \Delta T = 900 + 1.08 \Delta T$.
$(1.32 - 1.08) \Delta T = 900 - 880$.
$0.24 \Delta T = 20$.
$\Delta T = \frac{20}{0.24} \approx 83.3^{\circ} C$.
તેથી,$T_2 = 83.3^{\circ} C$.

(B) પ્રવાહીમાં ડૂબેલા પદાર્થનું આભાસી વજન $w = V_s(\rho_s - \rho_w)g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V_s$ એ ગોળાનું કદ છે,$\rho_s$ એ ગોળાની ઘનતા છે અને $\rho_w$ એ પાણીની ઘનતા છે.
જેમ જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ ગોળાનું કદ $V_s$ વધે છે,પરંતુ દળ $M = V_s \rho_s$ અચળ રહે છે. તેથી,$w = Mg - V_s \rho_w g$.
જ્યારે તાપમાન $0^{\circ} C$ થી $50^{\circ} C$ સુધી વધે છે,ત્યારે ગોળાનું કદ $V_s$ વધે છે અને પાણીની ઘનતા $\rho_w$ નોંધપાત્ર રીતે ઘટે છે,કારણ કે પાણીનો કદ પ્રસરણાંક ધાતુ કરતા વધારે છે.
પાણીની ઘનતા $\rho_w$ માં થતો ઘટાડો એ ગોળાના કદ $V_s$ માં થતા વધારા કરતા વધારે હોવાથી,ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V_s \rho_w g$ તાપમાન વધવાની સાથે ઘટે છે.
તેથી,આભાસી વજન $w = Mg - F_B$ તાપમાન વધવાની સાથે વધે છે.
આમ,$w_2 > w_1$ અથવા $w_1 < w_2$.

(B) ગોળીની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m v^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ ગતિઊર્જાના $50\%$ ભાગનું ગોળીમાં ઉષ્મા ઊર્જા $(Q)$ માં રૂપાંતર થાય છે.
તેથી,$Q = 0.5 \times K = 0.5 \times \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{4} m v^2$.
ગોળી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા ઊર્જાનું સૂત્ર $Q = m c \Delta T$ છે,જ્યાં $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો વધારો છે.
$Q$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $m c \Delta T = \frac{1}{4} m v^2$.
$\Delta T$ માટે ઉકેલતા: $\Delta T = \frac{m v^2}{4 m c} = \frac{v^2}{4 c}$.

(A) બરફનું દળ $m = 8 \ g = 0.008 \ kg$.
પગલું $1$: બરફને $-20^{\circ}C$ થી $0^{\circ}C$ સુધી ગરમ કરવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_1 = m \cdot c_{ice} \cdot \Delta T = 0.008 \times 2100 \times 20 = 336 \ J$.
પગલું $2$: $0^{\circ}C$ પર રહેલા બરફને $0^{\circ}C$ ના પાણીમાં ઓગાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_2 = m \cdot L_f = 0.008 \times 336 \times 10^3 = 2688 \ J$.
પગલું $3$: પાણીને $0^{\circ}C$ થી $100^{\circ}C$ સુધી ગરમ કરવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_3 = m \cdot c_{water} \cdot \Delta T = 0.008 \times 4200 \times 100 = 3360 \ J$.
પગલું $4$: $100^{\circ}C$ ના પાણીને $100^{\circ}C$ ની વરાળમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_4 = m \cdot L_v = 0.008 \times 2.268 \times 10^6 = 18144 \ J$.
કુલ ઉષ્મા $Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4 = 336 + 2688 + 3360 + 18144 = 24528 \ J \approx 24.5 \ kJ$.

(B) આપેલ છે: $m_{\text{ice}} = 54 \ g$,$T_{\text{ice}} = -20^{\circ} C$,$m_{\text{steam}} = 25 \ g$,$T_{\text{steam}} = 100^{\circ} C$.
બરફને $0^{\circ} C$ સુધી લાવવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_1 = m_{\text{ice}} \cdot c_{\text{ice}} \cdot \Delta T = 54 \times 2.1 \times 20 = 2268 \ J$.
બરફને $0^{\circ} C$ પર ઓગાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_2 = m_{\text{ice}} \cdot L_f = 54 \times 334 = 18036 \ J$.
$-20^{\circ} C$ ના બરફને $0^{\circ} C$ ના પાણીમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે કુલ જરૂરી ઉષ્મા: $Q_{\text{total}} = Q_1 + Q_2 = 2268 + 18036 = 20304 \ J$.
$100^{\circ} C$ ની $25 \ g$ વરાળને $100^{\circ} C$ ના પાણીમાં રૂપાંતરિત કરવાથી મુક્ત થતી ઉષ્મા: $Q_{\text{condense}} = m_{\text{steam}} \cdot L_v = 25 \times 2260 = 56500 \ J$.
અહીં $Q_{\text{condense}} > Q_{\text{total}}$ હોવાથી,બધો બરફ ઓગળી જશે અને પાણીનું તાપમાન $100^{\circ} C$ સુધી વધશે.
$54 \ g$ પાણીનું તાપમાન $0^{\circ} C$ થી $100^{\circ} C$ સુધી વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_3 = m_{\text{ice}} \cdot c_{\text{water}} \cdot \Delta T = 54 \times 4.2 \times 100 = 22680 \ J$.
વરાળના સંઘનન માટે બાકી રહેલી ઉષ્મા: $Q_{\text{rem}} = Q_{\text{condense}} - (Q_{\text{total}} + Q_3) = 56500 - (20304 + 22680) = 13516 \ J$.
આ બાકી રહેલી ઉષ્મા દ્વારા સંઘનિત થયેલ વરાળનું દળ: $m_{\text{condensed}} = Q_{\text{rem}} / L_v = 13516 / 2260 \approx 6 \ g$.
પાણીનું અંતિમ દળ = $54 \ g$ (ઓગળેલો બરફ) + $(25 - 6) \ g$ (સંઘનિત વરાળ) = $73 \ g$.
વરાળનું અંતિમ દળ = $6 \ g$ (બાકી રહેલી વરાળ).
આમ,અંતિમ મિશ્રણમાં $100^{\circ} C$ તાપમાને $73 \ g$ પાણી અને $6 \ g$ વરાળ હશે.

(C) ધારો કે પદાર્થની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $c$ છે. આપેલી ઉષ્માનું સૂત્ર $Q = mc\Delta T$ છે.
$2m$ દળ ધરાવતી વસ્તુ માટે,પ્રારંભિક તાપમાન $T$ છે અને અંતિમ તાપમાન $2T$ છે. તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T_1 = 2T - T = T$ છે.
તેથી,આપેલી ઉષ્મા $Q = (2m)c(T) = 2mcT$ થાય.
$m$ દળ ધરાવતી વસ્તુ માટે,પ્રારંભિક તાપમાન $2T$ છે. ધારો કે અંતિમ તાપમાન $T_f$ છે. તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T_2 = T_f - 2T$ છે.
સમાન ઉષ્મા $Q$ આપવામાં આવતી હોવાથી,$Q = m c (T_f - 2T)$ મળે.
$Q$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $2mcT = mc(T_f - 2T)$.
બંને બાજુ $mc$ વડે ભાગતા: $2T = T_f - 2T$.
$T_f$ માટે ઉકેલતા: $T_f = 2T + 2T = 4T$.

(A) બરફનું દળ,$m = 10 \,kg = 10^4 \,g$.
બરફની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા,$c = 0.5 \,cal \,g^{-1} \,^{\circ}C^{-1} = 2093.4 \,J \,kg^{-1} \,K^{-1}$.
બરફની ગલનગુપ્ત ઉષ્મા,$L = 80 \,cal \,g^{-1} = 334944 \,J \,kg^{-1}$.
જરૂરી કુલ ઉષ્મા ઉર્જા $Q$ એ બરફનું તાપમાન $0^{\circ}C$ સુધી વધારવા માટેની ઉષ્મા અને $0^{\circ}C$ પર બરફને ઓગાળવા માટેની ઉષ્માનો સરવાળો છે.
$Q = m c \Delta T + m L$
$Q = 10 \,kg \times 2093.4 \,J \,kg^{-1} \,K^{-1} \times (0 - (-10)) \,K + 10 \,kg \times 334944 \,J \,kg^{-1}$
$Q = 10 \times 2093.4 \times 10 + 3349440$
$Q = 209340 + 3349440$
$Q = 3558780 \,J \approx 357 \times 10^4 \,J$.

(C) પદાર્થનું તાપમાન વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા ઉર્જા $\Delta Q = m c \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દળ $m = d V$ હોવાથી (જ્યાં $d$ ઘનતા છે અને $V$ કદ છે),આપણને $\Delta Q = d V c \Delta T$ મળે છે.
એકમ કદ દીઠ જરૂરી ઉષ્મા ઉર્જા $\frac{\Delta Q}{V} = d c \Delta T$ છે.
આપેલ ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{d_1}{d_2} = \frac{5}{6}$ અને વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતાનો ગુણોત્તર $\frac{c_1}{c_2} = \frac{3}{5}$ છે.
સમાન તાપમાન વધારા માટે,$\Delta T_1 = \Delta T_2 = \Delta T$ છે.
એકમ કદ દીઠ જરૂરી ઉષ્મા ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{(\Delta Q/V)_1}{(\Delta Q/V)_2} = \frac{d_1 c_1 \Delta T}{d_2 c_2 \Delta T} = \frac{d_1}{d_2} \times \frac{c_1}{c_2}$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{5}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.

(C) $h$ ઊંચાઈ પરથી પડતા પાણી દ્વારા ગુમાવેલી સ્થિતિ ઉર્જા $\Delta U = mgh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ ઉર્જાના $10 \%$ પાણીનું તાપમાન વધારવા માટે ઉષ્મા $(\Delta Q)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી,$\Delta Q = 0.1 \times \Delta U$.
ઉષ્મા અને સ્થિતિ ઉર્જાના સૂત્રો મૂકતા: $ms \Delta T = 0.1 \times mgh$.
બંને બાજુથી દળ $m$ દૂર કરતા: $s \Delta T = 0.1 \times gh$.
$\Delta T$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $\Delta T = \frac{0.1 \times g \times h}{s}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\Delta T = \frac{0.1 \times 10 \times 20}{4000}$.
$\Delta T = \frac{20}{4000} = \frac{1}{200} = 0.005^{\circ} C$.

(A) $-10^{\circ} C$ તાપમાનના બરફને $110^{\circ} C$ તાપમાનની વરાળમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે નીચે મુજબના તબક્કાઓનો સમાવેશ થાય છે:
$1$. $-10^{\circ} C$ થી $0^{\circ} C$ સુધી બરફને ગરમ કરવો: $Q_1 = m \cdot c_{\text{ice}} \cdot \Delta T = 0.04 \ kg \times 0.5 \ kcal/kg^{\circ} C \times 10^{\circ} C = 0.2 \ kcal$.
$2$. $0^{\circ} C$ તાપમાને બરફનું પાણીમાં રૂપાંતર: $Q_2 = m \cdot L_{\text{fusion}} = 0.04 \ kg \times 80 \ kcal/kg = 3.2 \ kcal$.
$3$. $0^{\circ} C$ થી $100^{\circ} C$ સુધી પાણીને ગરમ કરવું: $Q_3 = m \cdot c_{\text{water}} \cdot \Delta T = 0.04 \ kg \times 1 \ kcal/kg^{\circ} C \times 100^{\circ} C = 4.0 \ kcal$.
$4$. $100^{\circ} C$ તાપમાને પાણીનું વરાળમાં રૂપાંતર: $Q_4 = m \cdot L_{\text{vap}} = 0.04 \ kg \times 540 \ kcal/kg = 21.6 \ kcal$.
$5$. $100^{\circ} C$ થી $110^{\circ} C$ સુધી વરાળને ગરમ કરવી: $Q_5 = m \cdot c_{\text{steam}} \cdot \Delta T = 0.04 \ kg \times 0.48 \ kcal/kg^{\circ} C \times 10^{\circ} C = 0.192 \ kcal$.
કુલ ઉષ્મીય ઉર્જા $Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4 + Q_5 = 0.2 + 3.2 + 4.0 + 21.6 + 0.192 = 29.192 \ kcal$.

(C) ધારો કે પ્રવાહી એમોનિયાનું દળ $m$ છે અને હીટર દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવતી ઉષ્માનો દર $r$ છે.
કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,તાપમાન વધારવા માટે આપેલી ઉષ્મા $Q_1 = r \times 14 = m \times c \times \Delta T$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $r \times 14 = m \times 4.9 \times (50 - 15)$.
$r \times 14 = m \times 4.9 \times 35$ --- (સમીકરણ $1$).
ઉત્કલન બિંદુએ પ્રવાહીને વરાળમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે આપેલી ઉષ્મા $Q_2 = r \times 92 = m \times L$ છે.
$r \times 92 = m \times L$ --- (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ વડે ભાગતા:
$\frac{r \times 92}{r \times 14} = \frac{m \times L}{m \times 4.9 \times 35}$.
$\frac{92}{14} = \frac{L}{4.9 \times 35}$.
$L = \frac{92 \times 4.9 \times 35}{14}$.
$L = 92 \times 4.9 \times 2.5 = 1127 \text{ kJ/kg}$.

(A) લોલકવાળી ઘડિયાળનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta \theta$ ને કારણે આવર્તકાળમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$ છે,જ્યાં $\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે.
આપેલ છે: $\alpha = 12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$,$\Delta \theta = 47^{\circ} C - 32^{\circ} C = 15^{\circ} C$.
$\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \times 12 \times 10^{-6} \times 15 = 90 \times 10^{-6}$.
એક દિવસ $(86400 \ s)$ માં ગુમાવેલો કે મેળવેલો સમય $\Delta t = \frac{\Delta T}{T} \times 86400$ છે.
$\Delta t = 90 \times 10^{-6} \times 86400 = 7.776 \ s \approx 7.8 \ s$.
તાપમાન વધતું હોવાથી,લોલકની લંબાઈ વધે છે,આવર્તકાળ વધે છે,તેથી ઘડિયાળ ધીમી પડે છે.

(D) વિધાન $(I)$ સાચું છે: કેલરીમીટર એ એક એવું સાધન છે જેનો ઉપયોગ ભૌતિક અથવા રાસાયણિક પ્રક્રિયાઓમાં સામેલ ઉષ્માને માપવા માટે થાય છે.
વિધાન $(II)$ ખોટું છે: સ્કેટિંગ કરતી વખતે,સ્કેટ દ્વારા બરફ પર લાગતું દબાણ બરફના ગલનબિંદુને ઘટાડે છે (Regelation),જેના કારણે તે પાણીના પાતળા સ્તરમાં ઓગળી જાય છે જે લુબ્રિકન્ટ તરીકે કામ કરે છે. આ વિધાન ખોટી રીતે તાપમાનમાં વધારાને તેનું કારણ ગણાવે છે.
વિધાન $(III)$ સાચું છે: કેલરીમીટર જેવી અલગ સિસ્ટમમાં,ગરમ પદાર્થ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ ઠંડા પદાર્થ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે,જેનો અર્થ છે કે સિસ્ટમની કુલ આંતરિક ઉર્જા સંરક્ષિત રહે છે.
તેથી,વિધાનો $(I)$ અને $(III)$ સાચા છે,જ્યારે વિધાન $(II)$ ખોટું છે.

(C) $1$. $0^{\circ} C$ તાપમાને રહેલા $100 \ g$ બરફને $0^{\circ} C$ તાપમાનના પાણીમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_1 = m \times L_f = 100 \ g \times 80 \ cal/g = 8000 \ cal$.
$2$. $100 \ g$ પાણીનું તાપમાન $0^{\circ} C$ થી $100^{\circ} C$ સુધી વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_2 = m \times s \times \Delta T = 100 \ g \times 1 \ cal/g^{\circ} C \times 100^{\circ} C = 10000 \ cal$.
$3$. અત્યાર સુધી વપરાયેલી કુલ ઉષ્મા: $Q_{total} = Q_1 + Q_2 = 8000 + 10000 = 18000 \ cal$.
$4$. બાકી રહેલી ઉષ્મા: $Q_{rem} = 22320 \ cal - 18000 \ cal = 4320 \ cal$.
$5$. આ બાકી રહેલી ઉષ્મા $100^{\circ} C$ તાપમાનના પાણીને વરાળમાં રૂપાંતરિત કરશે: $m_{steam} = Q_{rem} / L_v = 4320 \ cal / 540 \ cal/g = 8 \ g$.
$6$. અંતે બાકી રહેલા પાણીનો જથ્થો: $100 \ g - 8 \ g = 92 \ g$ પાણી $100^{\circ} C$ તાપમાને.

(A) $-20^{\circ} C$ થી $100^{\circ} C$ તાપમાન સુધી બરફને ગરમ કરવાની પ્રક્રિયામાં ઘણા તબક્કાઓનો સમાવેશ થાય છે:
$1$. બરફને $-20^{\circ} C$ થી $0^{\circ} C$ સુધી ગરમ કરવું: પૂરી પાડવામાં આવેલી ઉષ્મા સાથે તાપમાન રેખીય રીતે વધે છે.
$2$. $0^{\circ} C$ પર બરફનું પાણીમાં રૂપાંતર: તાપમાન અચળ રહે છે (અવસ્થા પરિવર્તન).
$3$. પાણીને $0^{\circ} C$ થી $100^{\circ} C$ સુધી ગરમ કરવું: પૂરી પાડવામાં આવેલી ઉષ્મા સાથે તાપમાન રેખીય રીતે વધે છે.
$4$. $100^{\circ} C$ પર પાણીનું વરાળમાં રૂપાંતર: તાપમાન અચળ રહે છે (અવસ્થા પરિવર્તન).
તેથી,તાપમાન-ઉષ્મા આલેખમાં બે રેખીય વધારો અને બે આડા અચળ-તાપમાનના વિભાગો હોવા જોઈએ. વિકલ્પ $A$ આ વર્તનને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(C) ધોધના ઉપરના ભાગમાં રહેલી પાણીની સ્થિતિ ઊર્જા નીચેના ભાગમાં ઉષ્મા ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ: $mgh = J \cdot ms \Delta t$,જ્યાં $J$ એ ઉષ્માનો યાંત્રિક તુલ્યાંક છે ($J = 4186 \ J/kg^{\circ}C$ તરીકે લેતા).
અહીં,$s$ એ પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે,$s = 4186 \ J/kg^{\circ}C$.
$\Delta t$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $\Delta t = \frac{gh}{s}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta t = \frac{9.8 \times 50}{4186} \approx 0.117^{\circ} C$.

(B) જ્યારે પાણીને $-20^{\circ}C$ થી $120^{\circ}C$ સુધી ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નીચે મુજબના અવસ્થા પરિવર્તનો થાય છે:
$1$. $-20^{\circ}C$ થી $0^{\circ}C$ સુધી,બરફ ગરમ થાય છે (તાપમાન વધે છે).
$2$. $0^{\circ}C$ પર,બરફ પાણીમાં ઓગળે છે (અવસ્થા પરિવર્તન,તાપમાન અચળ રહે છે,જે એક સપાટ ભાગ બનાવે છે).
$3$. $0^{\circ}C$ થી $100^{\circ}C$ સુધી,પાણી ગરમ થાય છે (તાપમાન વધે છે).
$4$. $100^{\circ}C$ પર,પાણી વરાળમાં રૂપાંતરિત થાય છે (અવસ્થા પરિવર્તન,તાપમાન અચળ રહે છે,જે બીજો સપાટ ભાગ બનાવે છે).
$5$. $100^{\circ}C$ થી $120^{\circ}C$ સુધી,વરાળ ગરમ થાય છે (તાપમાન વધે છે).
તેથી,આલેખમાં $0^{\circ}C$ અને $100^{\circ}C$ પર બે આડા સપાટ ભાગ હોવા જોઈએ. આ વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(C) પગલું $1$: $50^\circ \text{C}$ થી $0^\circ \text{C}$ સુધી ઠંડું પડતા $x \ \text{g}$ પાણી દ્વારા મુક્ત થતી ઉષ્માની ગણતરી કરો.
$Q_1 = m c \Delta T = (x \times 10^{-3} \ \text{kg}) \times 4200 \ \text{J/kg}\cdot \text{K} \times (50 - 0) \ \text{K} = 210x \ \text{J}$.
પગલું $2$: $50^\circ \text{C}$ પર રહેલા $(1000 - x) \ \text{g}$ પાણીનું બાષ્પીભવન કરવા માટે જરૂરી ઉષ્માની ગણતરી કરો. આમાં પાણીને $100^\circ \text{C}$ સુધી ગરમ કરવું અને પછી તેનું બાષ્પીભવન કરવું શામેલ છે.
$Q_2 = m' c \Delta T' + m' L = [(1000 - x) \times 10^{-3} \ \text{kg}] \times [4200 \ \text{J/kg}\cdot \text{K} \times (100 - 50) \ \text{K} + 2256000 \ \text{J/kg}]$.
$Q_2 = (1000 - x) \times 10^{-3} \times [210000 + 2256000] = (1000 - x) \times 10^{-3} \times 2466000 = 2466(1000 - x) \ \text{J}$.
પગલું $3$: $x$ શોધવા માટે $Q_1$ અને $Q_2$ ને સરખાવો.
$210x = 2466(1000 - x) \implies 210x = 2466000 - 2466x$.
$2676x = 2466000 \implies x = \frac{2466000}{2676} \approx 921.52$.
નજીકનો પૂર્ણાંક $922$ છે.