Mix Examples-Thermometry, Thermal Expansion and Calorimetry Questions in Gujarati

(D) થર્મોકપલમાં થર્મો $e.m.f.$ $(E)$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = \alpha t + \frac{1}{2} \beta t^2$,જ્યાં $t$ એ જંકશન વચ્ચેનો તાપમાનનો તફાવત છે.
આ સમીકરણ એક પરવલય (parabola) દર્શાવે છે.
જેમ જેમ તાપમાનનો તફાવત $t$ વધે છે,તેમ $e.m.f.$ $(E)$ પહેલા વધે છે,મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે અને પછી ઘટે છે.
તેથી,જે આલેખ આ ફેરફારને દર્શાવે છે તે નીચેની તરફ ખુલતો પરવલયાકાર વક્ર છે,જે આલેખ $D$ માં દર્શાવેલ આકારને અનુરૂપ છે.

(A) થર્મોકપલમાં થર્મોઇલેક્ટ્રિક ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(E)$ સંબંધ $E = \alpha \theta + \frac{1}{2} \beta \theta^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ગરમ અને ઠંડા જંકશન વચ્ચેનો તાપમાનનો તફાવત છે.
થર્મોઇલેક્ટ્રિક પાવર $(P)$ ને તાપમાનના તફાવતની સાપેક્ષમાં થર્મોઇલેક્ટ્રિક $EMF$ ના બદલાવના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$P = \frac{dE}{d\theta} = \frac{d}{d\theta} (\alpha \theta + \frac{1}{2} \beta \theta^2) = \alpha + \beta \theta$.
આ સમીકરણની સરખામણી રેખીય સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે કરતા,જ્યાં $y = P$,$x = \theta$,$m = \beta$ (જે થર્મોકપલ માટે ઋણ છે),અને $c = \alpha$,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે થર્મોઇલેક્ટ્રિક પાવર તાપમાનના તફાવત $\theta$ સાથે રેખીય રીતે બદલાય છે.
તેથી,આ રેખીય સંબંધ દર્શાવતો આલેખ ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે,જે વિકલ્પ $A$ ને અનુરૂપ છે.

(D) થર્મો $e.m.f.$ નું સૂત્ર $E = \alpha\theta + \frac{1}{2}\beta\theta^2$ છે.
આપેલ સમીકરણ $E = 40\theta - \frac{\theta^2}{20}$ ને પ્રમાણભૂત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 40$ અને $\frac{1}{2}\beta = -\frac{1}{20}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\beta = -\frac{1}{10}$.
તટસ્થ તાપમાન $\theta_n$ એ તાપમાન છે જ્યાં થર્મો $e.m.f.$ મહત્તમ હોય છે,જે શરત $\frac{dE}{d\theta} = 0$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{d}{d\theta}(40\theta - \frac{\theta^2}{20}) = 40 - \frac{2\theta}{20} = 40 - \frac{\theta}{10} = 0$.
$\theta$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\theta = 40 \times 10 = 400\,^oC$ મળે છે.

(A) ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V_{thermal} = V \alpha \Delta \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta \theta$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
દબાણ $P$ ને કારણે કદમાં થતો ફેરફાર બલ્ક મોડ્યુલસની વ્યાખ્યા મુજબ છે: $\beta = -\frac{P}{\Delta V / V}$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta V_{pressure} = -\frac{PV}{\beta}$.
સમઘન તેનું મૂળ કદ પાછું મેળવે તે માટે,કદમાં થતો કુલ ફેરફાર શૂન્ય હોવો જોઈએ: $\Delta V_{thermal} + \Delta V_{pressure} = 0$.
$V \alpha \Delta \theta - \frac{PV}{\beta} = 0$.
$V \alpha \Delta \theta = \frac{PV}{\beta}$.
$\Delta \theta = \frac{P}{\alpha \beta}$.

(A) કુલ જરૂરી ઉષ્મા $Q$ એ ચાર તબક્કાઓની ઉષ્માનો સરવાળો છે:
$1$. બરફને $-10^{\circ}C$ થી $0^{\circ}C$ સુધી ગરમ કરવા માટે: $Q_1 = m \cdot c_{ice} \cdot \Delta T = 1 \cdot 0.5 \cdot 10 = 5\,cal$.
$2$. $0^{\circ}C$ પર બરફને ઓગાળવા માટે: $Q_2 = m \cdot L_{f} = 1 \cdot 80 = 80\,cal$.
$3$. પાણીને $0^{\circ}C$ થી $100^{\circ}C$ સુધી ગરમ કરવા માટે: $Q_3 = m \cdot c_{water} \cdot \Delta T = 1 \cdot 1 \cdot 100 = 100\,cal$.
$4$. $100^{\circ}C$ પર પાણીનું વરાળમાં રૂપાંતર કરવા માટે: $Q_4 = m \cdot L_{v} = 1 \cdot 540 = 540\,cal$.
કુલ ઉષ્મા $Q = 5 + 80 + 100 + 540 = 725\,cal$.
જૂલમાં રૂપાંતર કરતા: $Q = 725 \cdot 4.2 = 3045\,J$.

(D) થર્મોકપલમાં થર્મો $EMF$ નું સમીકરણ $E = a\theta + \frac{1}{2}b\theta^2$ છે.
આપેલ સમીકરણ $E = 40\theta - \frac{1}{20}\theta^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 40$ અને $b = -\frac{1}{10}$ મળે છે.
ન્યુટ્રલ તાપમાન $\theta_n$ એ તાપમાન છે જ્યાં $EMF$ મહત્તમ હોય છે,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે $\frac{dE}{d\theta} = 0$ હોય.
$\frac{dE}{d\theta} = 40 - \frac{2\theta}{20} = 40 - \frac{\theta}{10}$.
$\frac{dE}{d\theta} = 0$ લેતા,આપણને $40 - \frac{\theta}{10} = 0$ મળે છે.
તેથી,$\theta = 400\;^oC$.

(B) $0 \, ^oC$ અને $100 \, ^oC$ વચ્ચે ઉત્પન્ન થતો કુલ થર્મોઈલેક્ટ્રિક $emf$ એ મધ્યવર્તી તાપમાનના ગાળામાં ઉત્પન્ન થતા $emf$ ના સરવાળા જેટલો હોય છે.
આપેલ છે:
$e_0^{100} = 200 \, \mu V$
$e_0^{32} = 64 \, \mu V$
$e_{32}^{70} = 76 \, \mu V$
થર્મોઈલેક્ટ્રિક $emf$ ના સરવાળાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$e_0^{100} = e_0^{32} + e_{32}^{70} + e_{70}^{100}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$200 = 64 + 76 + e_{70}^{100}$
$200 = 140 + e_{70}^{100}$
$e_{70}^{100} = 200 - 140 = 60 \, \mu V$
તેથી,$(70 \, ^oC - 100 \, ^oC)$ વચ્ચે ઉત્પન્ન થતો $emf$ $60 \, \mu V$ છે.

(D) એક થર્મોકપલ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું થર્મો-emf $(E)$ એ $E = \alpha \Delta T$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha$ એ સીબેક ગુણાંક છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનનો તફાવત છે.
આપેલ છે કે $\alpha = 40 \, \mu V/K$.
તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = |40 \, ^\circ C - 20 \, ^\circ C| = 20 \, ^\circ C = 20 \, K$.
તેથી,$E = 40 \, \mu V/K \times 20 \, K = 800 \, \mu V$.
શ્રેણીમાં જોડાયેલા $N = 150$ થર્મોકપલ માટે,કુલ emf $(E_{total})$ એ $E_{total} = N \times E$ થશે.
$E_{total} = 150 \times 800 \, \mu V = 120,000 \, \mu V$.
કારણ કે $1 \, mV = 1000 \, \mu V$,તેથી $E_{total} = 120 \, mV$.

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થને અચળ દરે ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું તાપમાન વધે છે જ્યાં સુધી તે અવસ્થા પરિવર્તનના બિંદુ (ગલન અથવા ઉત્કલન) સુધી ન પહોંચે. અવસ્થા પરિવર્તન દરમિયાન,તાપમાન અચળ રહે છે કારણ કે પૂરી પાડવામાં આવતી ઉષ્માનો ઉપયોગ પદાર્થની અવસ્થા બદલવા માટે થાય છે (ગુપ્ત ઉષ્મા).
ઓક્સિજન માટે,ગલનબિંદુ આશરે $54 \, K$ છે અને ઉત્કલનબિંદુ આશરે $90 \, K$ છે.
જેમ પદાર્થને $50 \, K$ થી $300 \, K$ સુધી ગરમ કરવામાં આવે છે,તેમ તે અવસ્થા પરિવર્તન (ગલન અને ઉત્કલન) માંથી પસાર થશે.
$1$. શરૂઆતમાં,ઘન/પ્રવાહી ઓક્સિજનનું તાપમાન સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે.
$2$. ગલનબિંદુ પર,જ્યારે ઘન ઓગળે છે ત્યારે તાપમાન અચળ રહે છે.
$3$. ત્યારબાદ,પ્રવાહીનું તાપમાન ઉત્કલનબિંદુ સુધી પહોંચે ત્યાં સુધી વધે છે.
$4$. ઉત્કલનબિંદુ પર,જ્યારે પ્રવાહી ઉકળીને વાયુ બને છે ત્યારે તાપમાન અચળ રહે છે.
$5$. અંતે,વાયુનું તાપમાન વધે છે.
જે આલેખ અવસ્થા પરિવર્તન દરમિયાન આ પ્લેટુ (અચળ તાપમાનના પ્રદેશો) દર્શાવે છે તે સાચો છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,રેખીય વધારો,એક પ્લેટુ અને ફરીથી રેખીય વધારો દર્શાવતો આલેખ એ અવસ્થા પરિવર્તન પામતા પદાર્થના ગરમ થવાના વક્રને અનુરૂપ છે.

(B) $h$ ઊંચાઈ પર બરફની સ્થિતિ ઉર્જા $PE = mgh$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ, આ તમામ ઉર્જા પડતી વખતે ગરમીમાં રૂપાંતરિત થાય છે.
આ ગરમીનો માત્ર ચોથો ભાગ બરફને સંપૂર્ણપણે ઓગળવા માટે વપરાય છે.
$m$ દળના બરફને ઓગળવા માટે જરૂરી ગરમી $Q = mL$ છે, જ્યાં $L$ એ ગલન ગુપ્ત ઉષ્મા છે.
તેથી, ઉર્જા સંતુલન સમીકરણ $\frac{1}{4} (mgh) = mL$ છે.
બંને બાજુથી $m$ દૂર કરતા, આપણને $\frac{gh}{4} = L$ મળે છે.
$h$ માટે ઉકેલતા, $h = \frac{4L}{g}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $h = \frac{4 \times 3.4 \times 10^{5}}{10} \text{ m}$.
$h = 4 \times 3.4 \times 10^{4} \text{ m} = 13.6 \times 10^{4} \text{ m} = 136,000 \text{ m}$.
કિલોમીટરમાં ફેરવતા, $h = 136 \text{ km}$.

(B) જ્યારે મીઠાના સ્ફટિકો ઓગળે છે,ત્યારે સ્ફટિક લેટીસનો નાશ થાય છે. આ પ્રક્રિયા માટે ચોક્કસ માત્રામાં ઉર્જા (દ્રાવણની ગુપ્ત ઉષ્મા) ની જરૂર પડે છે,જે પાણીમાંથી શોષાય છે,જેના કારણે તાપમાનમાં ઘટાડો થાય છે.
પાત્ર $B$ માં,મીઠું પાવડર સ્વરૂપમાં છે,જેનો અર્થ છે કે દળવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન આંતરઆણ્વિય બંધોનો નોંધપાત્ર ભાગ પહેલેથી જ નાશ પામ્યો છે. પરિણામે,પાત્ર $A$ માં રહેલા મોટા સ્ફટિકોની સરખામણીમાં પાવડરને ઓગળવા માટે ઓછી ઉર્જાની જરૂર પડે છે. કારણ કે પાત્ર $B$ માં પાણીમાંથી ઓછી ઉર્જા શોષાય છે,તેથી પાત્ર $B$ માં દ્રાવણનું અંતિમ તાપમાન પાત્ર $A$ કરતા વધારે હશે.

(D) $100^\circ C$ તાપમાને રહેલી $x \, g$ વરાળનું $100^\circ C$ તાપમાને પાણીમાં રૂપાંતર થવાથી મુક્ત થતી ઉષ્મા $Q_{released} = x \times L_v$ છે,જ્યાં $L_v = 540 \, cal/g$ છે.
તેથી,$Q_{released} = 540x \, cal$.
$0^\circ C$ તાપમાને રહેલા $y \, g$ બરફને $100^\circ C$ તાપમાનના પાણીમાં ફેરવવા માટે જરૂરી ઉષ્મા બે તબક્કામાં મળે છે: બરફનું પીગળવું અને પાણીનું ગરમ થવું.
$Q_{absorbed} = (y \times L_f) + (y \times c_w \times \Delta T)$,જ્યાં $L_f = 80 \, cal/g$,$c_w = 1 \, cal/g^\circ C$,અને $\Delta T = 100^\circ C$ છે.
$Q_{absorbed} = 80y + 100y = 180y \, cal$.
મુક્ત થતી ઉષ્મા અને શોષાતી ઉષ્માને સરખાવતા: $540x = 180y$.
તેથી,$\frac{y}{x} = \frac{540}{180} = \frac{3}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $y:x$ એ $3:1$ છે.

(B) ધારો કે પ્રવાહીનું પ્રારંભિક કદ $V_0 = A_0 l_0$ છે,જ્યાં $A_0$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $l_0$ એ પ્રવાહીના સ્તંભની લંબાઈ છે.
જ્યારે સિસ્ટમને તાપમાનના ફેરફાર $\Delta T$ દ્વારા ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહીનું નવું કદ $V_L = V_0(1 + \gamma \Delta T)$ થાય છે.
કાચની નળીના આડછેદનું નવું ક્ષેત્રફળ $A = A_0(1 + 2\alpha \Delta T)$ છે,જ્યાં $2\alpha$ એ ક્ષેત્રફળ પ્રસરણાંક છે.
પ્રવાહીના સ્તંભની લંબાઈ $l_0$ અચળ રહેતી હોવાથી,પ્રવાહીનું નવું કદ એ $l_0$ ઊંચાઈ સુધીના નળીના નવા કદ જેટલું હોવું જોઈએ,જે $V_{tube} = A \times l_0 = A_0(1 + 2\alpha \Delta T)l_0 = V_0(1 + 2\alpha \Delta T)$ છે.
બંને કદને સરખાવતા: $V_0(1 + \gamma \Delta T) = V_0(1 + 2\alpha \Delta T)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $1 + \gamma \Delta T = 1 + 2\alpha \Delta T$ મળે છે,જે દર્શાવે છે કે $\gamma = 2\alpha$.

(C) ટોચ પર રહેલી પાણીની સ્થિતિ ઉર્જા તળિયે ઉષ્મા ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$mgh = mc\Delta \theta$
અહીં,$m$ એ પાણીનું દળ છે,$g = 9.8 \ m/s^2$,$h = 500 \ m$,અને $c = 4200 \ J/kg \cdot ^\circ C$ છે.
બંને બાજુથી $m$ ને દૂર કરતા,આપણને $\Delta \theta = \frac{gh}{c}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta \theta = \frac{9.8 \times 500}{4200} = \frac{4900}{4200} = \frac{49}{42} = \frac{7}{6} \approx 1.166 \ ^\circ C$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,તાપમાનમાં વધારો $1.16 \ ^\circ C$ થાય છે.

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,દડાની સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો ઉષ્મા ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,જે દડા દ્વારા શોષાય છે,જેનાથી તેના તાપમાનમાં વધારો થાય છે.
સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો નીચે મુજબ છે:
$\Delta PE = mg(h_1 - h_2)$
આ ઉર્જા દડા દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા જેટલી છે:
$Q = mc\Delta \theta$
બંનેને સરખાવતા:
$mg(h_1 - h_2) = mc\Delta \theta$
તાપમાનમાં થતા વધારા $\Delta \theta$ માટે ઉકેલતા:
$\Delta \theta = \frac{g(h_1 - h_2)}{c}$
આપેલ છે:
$g = 10 \, m \, s^{-2}$
$h_1 = 10 \, m$
$h_2 = 5.4 \, m$
$c = 460 \, J \, kg^{-1} \, ^\circ C^{-1}$
$\Delta \theta = \frac{10 \times (10 - 5.4)}{460}$
$\Delta \theta = \frac{10 \times 4.6}{460}$
$\Delta \theta = \frac{46}{460} = 0.1 \, ^\circ C$

(C) $0^\circ C$ તાપમાન ધરાવતા બરફને $100^\circ C$ તાપમાન ધરાવતા પાણીમાં રૂપાંતરિત કરવાની પ્રક્રિયા બે તબક્કામાં થાય છે:
તબક્કો $1$: $0^\circ C$ તાપમાન ધરાવતા બરફનું $0^\circ C$ તાપમાન ધરાવતા પાણીમાં રૂપાંતરણ.
જરૂરી ઉષ્મા $Q_1 = m \cdot L_f$,જ્યાં $m = 1 \, g$ અને $L_f = 80 \, cal/g$ છે.
$Q_1 = 1 \times 80 = 80 \, cal$.
તબક્કો $2$: પાણીને $0^\circ C$ થી $100^\circ C$ સુધી ગરમ કરવું.
જરૂરી ઉષ્મા $Q_2 = m \cdot c \cdot \Delta T$,જ્યાં $m = 1 \, g$,$c = 1 \, cal/g^\circ C$,અને $\Delta T = (100 - 0) = 100^\circ C$ છે.
$Q_2 = 1 \times 1 \times 100 = 100 \, cal$.
કુલ જરૂરી ઉષ્મા $Q = Q_1 + Q_2 = 80 + 100 = 180 \, cal$.

(B) આપેલ ઉષ્મા $\Delta Q = mc\Delta T$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $20000 = 1 \times 400 \times \Delta T$.
તેથી,$\Delta T = \frac{20000}{400} = 50\,^oC$.
અચળ વાતાવરણીય દબાણે થયેલ કાર્ય $W = P\Delta V$ છે.
કારણ કે $\Delta V = V_0 \gamma \Delta T$,તેથી $W = P V_0 \gamma \Delta T$.
પ્રારંભિક કદ $V_0 = \frac{m}{\rho} = \frac{1}{9000}\,m^3$.
કિંમતો મૂકતા: $W = (10^5) \times (\frac{1}{9000}) \times (9 \times 10^{-5}) \times 50$.
$W = 10^5 \times \frac{1}{9 \times 10^3} \times 9 \times 10^{-5} \times 50 = 10^5 \times 10^{-8} \times 50 = 10^{-3} \times 50 = 0.05\,J$.

(D) તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = T_{hot} - T_{cold} = 40\,^{\circ}C - 20\,^{\circ}C = 20\,^{\circ}C = 20\,K$ છે.
એક થર્મોકપલ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું emf $E_1 = \alpha \times \Delta T = 40\,\mu V/K \times 20\,K = 800\,\mu V$ છે.
શ્રેણીમાં $150$ થર્મોકપલ જોડાયેલા હોવાથી,કુલ emf $E_{total} = n \times E_1 = 150 \times 800\,\mu V$ થશે.
$E_{total} = 120,000\,\mu V = 120\,mV$.

(C) પાત્રનો કદ પ્રસરણાંક $\gamma_{\text{vessel}} = 3 \alpha_{\text{vessel}} = 3 \times 10^{-3} \ ^\circ C^{-1}$ છે.
પ્રવાહીનો કદ પ્રસરણાંક $\gamma_{\text{liquid}} = 10^{-3} \ ^\circ C^{-1}$ છે.
અહીં $\gamma_{\text{vessel}} > \gamma_{\text{liquid}}$ હોવાથી,ગરમ કરવા પર પાત્રનું કદ પ્રવાહીના કદ કરતા વધુ વધે છે. આનાથી પ્રવાહીનું સ્તર નીચે જાય છે,પરિણામે તળિયે દબાણમાં ઘટાડો થાય છે.
પાત્રના કદમાં પ્રવાહીની સાપેક્ષમાં થતો ફેરફાર $\Delta V_{\text{rel}} = V(\gamma_{\text{vessel}} - \gamma_{\text{liquid}}) \Delta T$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta V_{\text{rel}} = V(3 \times 10^{-3} - 1 \times 10^{-3}) \times 10 = V(2 \times 10^{-3}) \times 10 = 0.02 V$.
નળાકારનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ પણ વધે છે,તેથી ઊંચાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta h$ એ કદના ફેરફાર સાથે સંબંધિત છે. પાતળી દીવાલવાળા પાત્ર માટે,ઊંચાઈમાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta h}{h} \approx \frac{\Delta V}{V} = 0.02$ થાય છે.
દબાણ $P = h \rho g$. દબાણમાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta h}{h} = 0.02$ છે.
તેથી,દબાણમાં $0.02 \times 100\% = 2\%$ નો ઘટાડો થાય છે.

(C) ધારો કે $T$ એ સંતુલન તાપમાન છે.
સંતુલન સમયે,કોપરની રીંગનો વ્યાસ અને એલ્યુમિનિયમના ગોળાનો વ્યાસ સમાન થાય છે:
$D_{Cu}(T) = D_{Al}(T) \implies 25(1 + \alpha_{Cu}T) = 25.05(1 + \alpha_{Al}(T - 100))$.
કિંમતો મૂકતા: $25(1 + 17 \times 10^{-6}T) = 25.05(1 + 2.3 \times 10^{-5}(T - 100))$.
$T$ માટે ઉકેલતા: $25 + 4.25 \times 10^{-4}T = 25.05 + 5.7615 \times 10^{-4}(T - 100)$.
$25 + 4.25 \times 10^{-4}T = 25.05 + 5.7615 \times 10^{-4}T - 0.057615$.
$0.007615 = 1.5115 \times 10^{-4}T \implies T \approx 50.38^o C$.
કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ: $m_{Cu} s_{Cu} (T - 0) = m_{Al} s_{Al} (100 - T)$.
$m_{Cu} (0.0923)(50.38) = m_{Al} (0.215)(100 - 50.38)$.
$m_{Cu} (4.65) = m_{Al} (10.67)$.
ગુણોત્તર $m_{Al} / m_{Cu} = 4.65 / 10.67 \approx 0.435 \approx 23/54$.

(C) પ્રવાહીમાં ડૂબેલા પદાર્થનું આભાસી વજન $W_{app} = W_{actual} - F_B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F_B$ એ ઉત્પ્લાવક બળ છે.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V_{sub} \cdot \rho_{liquid} \cdot g$ છે,જ્યાં $V_{sub}$ એ પદાર્થનું કદ અને $\rho_{liquid}$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે.
જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ ધાતુના ગોળાનું કદ $V_m(T) = V_0(1 + \gamma_m \Delta T)$ મુજબ વધે છે અને આલ્કોહોલની ઘનતા $\rho_{Al}(T) = \frac{\rho_0}{1 + \gamma_{Al} \Delta T}$ મુજબ ઘટે છે.
તાપમાન $T$ પર ઉત્પ્લાવક બળ $F_B(T) = V_m(T) \cdot \rho_{Al}(T) \cdot g = V_0(1 + \gamma_m \Delta T) \cdot \frac{\rho_0}{1 + \gamma_{Al} \Delta T} \cdot g$ થાય.
અહીં આપેલ છે કે $\gamma_{Al} > \gamma_m$,તેથી છેદ $(1 + \gamma_{Al} \Delta T)$ એ અંશ $(1 + \gamma_m \Delta T)$ કરતા વધુ ઝડપથી વધે છે. પરિણામે,તાપમાન વધતા ઉત્પ્લાવક બળ $F_B$ ઘટે છે.
આમ,$W_{app} = W_{actual} - F_B$ હોવાથી અને $F_B$ ઘટતું હોવાથી,આભાસી વજન $W_{app}$ વધશે. તેથી,$W_2 > W_1$ અથવા $W_1 < W_2$ થાય.

(B) $4$ મિનિટ $(240 \, s)$ માં આપવામાં આવેલી કુલ ઉષ્મા $Q = 100 \, cal/s \times 240 \, s = 24000 \, cal$ છે.
પગલું $1$: તંત્રનું તાપમાન $-20^{\circ} C$ થી $0^{\circ} C$ સુધી વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા:
$Q_1 = m_{Al} c_{Al} \Delta T + m_{ice} c_{ice} \Delta T = (100 \times 0.2 \times 20) + (200 \times 0.5 \times 20) = 400 + 2000 = 2400 \, cal$.
આ પ્રક્રિયા માટે લાગતો સમય $= 2400 / 100 = 24 \, s$.
પગલું $2$: $0^{\circ} C$ પર બરફને ઓગાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા:
$Q_2 = m_{ice} L = 200 \times 80 = 16000 \, cal$.
આ પ્રક્રિયા માટે લાગતો સમય $= 16000 / 100 = 160 \, s$.
કુલ વીતેલો સમય $= 24 + 160 = 184 \, s$. બાકી રહેલો સમય $= 240 - 184 = 56 \, s$.
બાકી રહેલી ઉષ્મા $= 24000 - (2400 + 16000) = 5600 \, cal$.
પગલું $3$: તંત્રનું તાપમાન (પાણી + પાત્ર) $0^{\circ} C$ થી $\theta$ સુધી વધારવા માટે વપરાતી ઉષ્મા:
$Q_3 = (m_{Al} c_{Al} + m_{water} c_{water}) \Delta \theta = (100 \times 0.2 + 200 \times 1) \theta = (20 + 200) \theta = 220 \theta$.
$220 \theta = 5600 \implies \theta = 5600 / 220 \approx 25.45^{\circ} C \approx 25.5^{\circ} C$.

(A) ધારો કે $m_1$ એ થીજી ગયેલા પાણીનું દળ છે અને $m_2$ એ બાષ્પીભવન પામેલા પાણીનું દળ છે。
પાત્ર ઉષ્મીય રીતે અલગ હોવાથી, થીજી ગયેલા પાણી દ્વારા મુક્ત થતી ઉષ્મા એ બાષ્પીભવન પામતા પાણી દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે。
$m_1 L_f = m_2 L_v$
અહીં $L_f = 3.36 \times 10^5 \text{ J/kg}$ અને $L_v = 21 \times 10^5 \text{ J/kg}$ આપેલ છે。
$m_1 (3.36 \times 10^5) = m_2 (21 \times 10^5)$
$m_2 = \frac{3.36}{21} m_1 = 0.16 m_1$
પાણીનું કુલ પ્રારંભિક દળ $M = m_1 + m_2 = m_1 + 0.16 m_1 = 1.16 m_1$ છે。
થીજી ગયેલા પાણીની ટકાવારી $\frac{m_1}{M} \times 100\% = \frac{m_1}{1.16 m_1} \times 100\%$.
$= \frac{100}{1.16} \% \approx 86.2 \%$.

(D) કુલ જરૂરી ઉષ્મામાં બરફને ઓગાળવા માટેની ઉષ્મા,પરિણામી પાણી અને કેલરીમીટરના તાપમાનને $100^{\circ} C$ સુધી વધારવા માટેની ઉષ્મા અને પાણીના બાષ્પીભવન માટેની ઉષ્માનો સમાવેશ થાય છે.
$1$. $10 \, g$ બરફને ઓગાળવા માટેની ઉષ્મા: $Q_1 = m L_f = 10 \, g \times 80 \, cal/g = 800 \, cal$.
$2$. $10 \, g$ પાણી (બરફમાંથી બનેલું) અને $10 \, g$ પાણીના તુલ્યાક (કેલરીમીટર) ના તાપમાનને $0^{\circ} C$ થી $100^{\circ} C$ સુધી વધારવા માટેની ઉષ્મા: $Q_2 = (m_{water} + m_{eq}) C \Delta T = (10 + 10) \times 1 \times 100 = 2000 \, cal$.
$3$. $100^{\circ} C$ તાપમાને $10 \, g$ પાણીના બાષ્પીભવન માટેની ઉષ્મા: $Q_3 = m L_v = 10 \, g \times 540 \, cal/g = 5400 \, cal$.
કુલ ઉષ્મા $Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 800 + 2000 + 5400 = 8200 \, cal$.

(A) $100 \, s$ માં પીગળેલા બરફનું દળ $m = 0.1 \, g/s \times 100 \, s = 10 \, g$ છે.
બરફને પીગળવા માટે આપવામાં આવેલી ઉષ્મા $Q = m L_f$ છે,જ્યાં $L_f = 80 \, cal/g$ (બરફની ગલનગુપ્ત ઉષ્મા).
$Q = 10 \, g \times 80 \, cal/g = 800 \, cal$.
ઉષ્મા આપવાનો દર $P = Q / t = 800 \, cal / 100 \, s = 8 \, cal/s$ છે.
બરફ પીગળી ગયા પછી,આપણી પાસે $10 \, g$ પાણી છે. તાપમાન વધવાનો દર $P = m_{water} c_{water} (dT/dt)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$8 \, cal/s = 10 \, g \times 1 \, cal/(g \cdot ^\circ C) \times (dT/dt)$.
$(dT/dt) = 8 / 10 = 0.8 \, ^\circ C/s$.

(B) આપેલ છે: પાવર રેટિંગ $P = 2000 \, W$,કાર્યક્ષમતા $\eta = 0.8$,પ્રવાહ દર $v = 100 \, cc/s$,ઇનલેટ તાપમાન $T_i = 10^{\circ} C$.
$1 \, cc$ પાણીનું દળ $1 \, g$ હોવાથી,દળનો પ્રવાહ દર $m = 100 \, g/s = 0.1 \, kg/s$ થાય.
પાણીને મળતી અસરકારક ગરમીનો પાવર $Q = P \times \eta = 2000 \times 0.8 = 1600 \, J/s$ છે.
ઉષ્મા સ્થાનાંતરણનું સૂત્ર $Q = m \cdot c \cdot \Delta T$ છે,જ્યાં $c$ એ પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $(4200 \, J/kg \cdot ^{\circ} C)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $1600 = 0.1 \times 4200 \times (T_o - 10)$.
$1600 = 420 \times (T_o - 10)$.
$T_o - 10 = 1600 / 420 \approx 3.81$.
$T_o = 13.81^{\circ} C$. આમ,આઉટલેટ તાપમાન આશરે $13.8^{\circ} C$ છે.

(C) ધારો કે $x$ ગ્રામ બરફ પીગળીને પાણીમાં રૂપાંતરિત થાય છે.
જ્યારે બરફ પાણીમાં પીગળે છે,ત્યારે કદમાં ઘટાડો થાય છે કારણ કે પાણીની ઘનતા બરફ કરતા વધારે હોય છે.
$x \, g$ બરફનું કદ $V_{ice} = \frac{x}{\rho_{ice}} = \frac{x}{0.9 \rho_{water}}$ છે.
$x \, g$ પાણીનું કદ $V_{water} = \frac{x}{\rho_{water}}$ છે.
કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = V_{ice} - V_{water} = \frac{x}{0.9 \rho_{water}} - \frac{x}{\rho_{water}} = 1 \, cm^3$ છે.
જો આપણે $\rho_{water} = 1 \, g/cm^3$ લઈએ,તો $\frac{x}{0.9} - x = 1$ મળે.
$x(1.111 - 1) = 1 \Rightarrow x(0.1/0.9) = 1 \Rightarrow x = 9 \, g$.
$9 \, g$ બરફને પીગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = m \times L = 9 \, g \times 80 \, cal/g = 720 \, cal$ થાય.

(B) ઉષ્મા શોષણનો દર ગોળાના સપાટીના ક્ષેત્રફળ $A$ ના પ્રમાણમાં છે.
$Q = mL$,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $L$ એ ગલન ગુપ્ત ઉષ્મા છે.
ઉષ્મા શોષણનો દર $\frac{dQ}{dt} = L \frac{dm}{dt} = L \rho \frac{dV}{dt}$,જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે અને $V$ એ કદ છે.
$V = \frac{4}{3} \pi r^3$ હોવાથી,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે.
આપેલ છે કે $\frac{dQ}{dt} \propto A$,જ્યાં $A = 4 \pi r^2$,તેથી $L \rho (4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}) = -k (4 \pi r^2)$,જ્યાં $k$ એ અચળાંક છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$\frac{dr}{dt} = -\frac{k}{L \rho} = -C$ મળે,જ્યાં $C$ એ ધન અચળાંક છે.
આનું સંકલન કરતા,$r(t) = R - Ct$ મળે.
આ સમય સાથે ત્રિજ્યામાં થતો રેખીય ઘટાડો દર્શાવે છે,જે આલેખ $B$ દ્વારા દર્શાવેલ છે.

(D) આ પ્રક્રિયા બે તબક્કામાં થાય છે:
$1$. બરફને $-5^oC$ થી $0^oC$ સુધી ગરમ કરવો: $Q_1 = m_{ice} \cdot c_{ice} \cdot \Delta T$.
અહીં $m$ ગ્રામમાં છે, તેથી $m_{ice} = m \times 10^{-3} \ kg$.
$Q_1 = (m \times 10^{-3}) \times 2100 \times 5 = 10.5m \ J$.
$2$. $0^oC$ તાપમાને $1 \ gm$ બરફને ઓગાળવો: $Q_2 = m_{melted} \cdot L_f$.
$Q_2 = (1 \times 10^{-3}) \times 3.36 \times 10^5 = 336 \ J$.
આપેલી કુલ ઉષ્મા $Q = Q_1 + Q_2 = 420 \ J$.
$10.5m + 336 = 420$.
$10.5m = 84$.
$m = 84 / 10.5 = 8 \ gm$.

(C) ધારો કે ઉષ્મા આપવાનો અચળ દર $P$ $(J/s)$ છે.
ગલન (પીગળવા) માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q_f = P \times (90 - 10) = 80P$ છે. $Q_f = mL_f$ હોવાથી,$mL_f = 80P$ મળે.
બાષ્પીભવન માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q_v = P \times (120 - 100) = 20P$ છે. $Q_v = mL_v$ હોવાથી,$mL_v = 20P$ મળે.
બંનેની સરખામણી કરતા,$mL_f = 80P$ અને $mL_v = 20P$,તેથી $L_f > L_v$ સાબિત થાય છે.
તાપમાન-સમયના આલેખ માટે,ઢાળ $\frac{dT}{dt} = \frac{P}{mS}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,$S = \frac{P}{m(dT/dt)}$.
ઘન અવસ્થા માટે ઢાળ $m_s = \frac{30 - 10}{10} = 2 \, ^\circ C/s$ છે.
પ્રવાહી અવસ્થા માટે ઢાળ $m_l = \frac{200 - 30}{100 - 90} = \frac{170}{10} = 17 \, ^\circ C/s$ છે.
અહીં $m_l > m_s$ હોવાથી,અને $S \propto \frac{1}{\text{ઢાળ}}$,તેથી $S_s > S_l$ અથવા $S_l < S_s$ મળે.
આમ,$L_f > L_v$ અને $S_l < S_s$ સાચું છે.

(A) $2 \ kg$ બરફનું તાપમાન $-20^{\circ} C$ થી $0^{\circ} C$ સુધી વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q_1 = m_i c_i \Delta T = 2000 \ g \times 0.5 \ cal/g^{\circ} C \times 20^{\circ} C = 20000 \ cal$ છે.
$5 \ kg$ પાણીનું તાપમાન $20^{\circ} C$ થી $0^{\circ} C$ સુધી ઘટાડતા મુક્ત થતી ઉષ્મા $Q_2 = m_w c_w \Delta T = 5000 \ g \times 1 \ cal/g^{\circ} C \times 20^{\circ} C = 100000 \ cal$ છે.
બરફને ઓગાળવા માટે ઉપલબ્ધ બાકી રહેલી ઉષ્મા $Q_{rem} = Q_2 - Q_1 = 100000 - 20000 = 80000 \ cal$ છે.
ઓગળતા બરફનું દળ $m = Q_{rem} / L_f = 80000 \ cal / 80 \ cal/g = 1000 \ g = 1 \ kg$ છે.
પાણીનો અંતિમ જથ્થો $= \text{શરૂઆતનું પાણી} + \text{ઓગળેલ બરફ} = 5 \ kg + 1 \ kg = 6 \ kg$.

(D) ધારો કે બીકરનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે. પ્રવાહીનું પ્રારંભિક કદ $V_0 = A H$ છે.
જ્યારે $T$ તાપમાન સુધી ગરમ કરવામાં આવે,ત્યારે પ્રવાહીનું નવું કદ $V_L = V_0(1 + \gamma_L T) = AH(1 + \alpha T)$ થાય,જ્યાં $\gamma_L = \alpha$ એ પ્રવાહીનો કદ પ્રસરણાંક છે.
બીકરનું નવું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A' = A(1 + 2\alpha_s T)$ થાય,જ્યાં $\alpha_s = 3\alpha$ એ બીકરના પદાર્થનો રેખીય પ્રસરણાંક છે. તેથી,$A' = A(1 + 2(3\alpha)T) = A(1 + 6\alpha T)$.
બીકરની નવી ઊંચાઈ $H' = H(1 + \alpha_s T) = H(1 + 3\alpha T)$ થાય.
બીકરમાં પ્રવાહીની નવી ઊંચાઈ $H_L = V_L / A' = AH(1 + \alpha T) / [A(1 + 6\alpha T)]$ થાય.
દ્વિપદી અંદાજ $(1 + x)^{-1} \approx 1 - x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $H_L \approx H(1 + \alpha T)(1 - 6\alpha T) \approx H(1 + \alpha T - 6\alpha T) = H(1 - 5\alpha T)$ મળે.
પ્રવાહીના સ્તરમાં ઘટાડો $\Delta H = H' - H_L = H(1 + 3\alpha T) - H(1 - 5\alpha T) = H(1 + 3\alpha T - 1 + 5\alpha T) = 8\alpha TH$ થાય.

(A) ધારો કે પદાર્થનું કુલ દળ $m$ છે, ગલનગુપ્ત ઉષ્મા $L$ છે અને પ્રવાહીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $s$ છે。
પ્રક્રિયા-$1$ માં, $Q$ ઊર્જા $\frac{2}{3}$ દળને પીગળાવે છે:
$Q = \frac{2}{3} m L$ --- (સમીકરણ $1$)
પ્રક્રિયા-$2$ માં, વધારાની $Q$ ઊર્જા ઉમેરવામાં આવે છે. આ ઊર્જા પહેલા બાકી રહેલા $\frac{1}{3}$ ઘન પદાર્થને પીગળાવે છે અને પછી સમગ્ર પ્રવાહી દળ $m$ નું તાપમાન $0^\circ C$ થી $40^\circ C$ સુધી વધારે છે:
$Q = \frac{1}{3} m L + m s (40 - 0)$
$Q = \frac{1}{3} m L + 40 m s$ --- (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ ને સરખાવતા:
$\frac{2}{3} m L = \frac{1}{3} m L + 40 m s$
$\frac{1}{3} m L = 40 m s$
$\frac{L}{s} = 40 \times 3 = 120$
આમ, ગલનગુપ્ત ઉષ્મા અને પ્રવાહીની વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $120$ છે。

(D) ધારો કે સંતુલન તાપમાન $T$ છે. સિસ્ટમ એડિબેટિક હોવાથી,લોખંડના સળિયા દ્વારા ગુમાવેલી કુલ ઉષ્મા = હવા અને પાત્ર-પિસ્ટન એસેમ્બલી દ્વારા મેળવેલી કુલ ઉષ્મા.
લોખંડના સળિયા દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = $C(8T_0 - T)$.
પાત્ર અને પિસ્ટન દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = $2C(T - T_0)$.
$2$ મોલ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા (અચળ દબાણે,કારણ કે પિસ્ટન હલનચલન કરી શકે છે અને વાતાવરણીય દબાણ $P_0$ અચળ છે) = $n C_p (T - T_0) = 2 \times \frac{7R}{2} (T - T_0) = 7R(T - T_0)$.
ગુમાવેલી અને મેળવેલી ઉષ્માને સરખાવતા: $C(8T_0 - T) = 2C(T - T_0) + 7R(T - T_0)$.
$8CT_0 - CT = 2CT - 2CT_0 + 7RT - 7RT_0$.
$8CT_0 + 2CT_0 + 7RT_0 = CT + 2CT + 7RT$.
$T_0(10C + 7R) = T(3C + 7R)$.
$T = \left( \frac{10C + 7R}{3C + 7R} \right) T_0$.

(A) ધારો કે ગોળીનું દળ $m\ g$ છે.
ગોળીને ઓગળવા માટે જરૂરી કુલ ઉષ્મા $Q_1 = mc\Delta T + mL$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $Q_1 = m \times 0.03 \times (327 - 27) + m \times 6 = m \times 0.03 \times 300 + 6m = 9m + 6m = 15m\ cal$.
આને જૂલમાં ફેરવતા: $Q_1 = 15m \times 4.2 = 63m\ J$.
જ્યારે ગોળી અટકે છે,ત્યારે તેની ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta K = \frac{1}{2} m_{kg} v^2 = \frac{1}{2} (m \times 10^{-3}) v^2\ J$ છે.
$25\%$ ઉષ્મા અવરોધ દ્વારા શોષાય છે,તેથી $75\%$ ગતિઊર્જા ગોળી દ્વારા શોષાય છે.
ગોળી દ્વારા શોષાયેલી ઉર્જા $Q_2 = 0.75 \times \frac{1}{2} \times m \times 10^{-3} \times v^2 = \frac{3}{8} \times 10^{-3} \times m v^2\ J$.
ગોળી ઓગળે તે માટે $Q_2 = Q_1$ હોવું જોઈએ.
$\frac{3}{8} \times 10^{-3} \times m v^2 = 63m$.
$v^2 = \frac{63 \times 8 \times 1000}{3} = 21 \times 8000 = 168000$.
$v = \sqrt{168000} \approx 409.87\ m/s \approx 410\ m/s$.

(A) પગલું $1$: $0^o C$ તાપમાન ધરાવતા $1 \ gm$ બરફને $0^o C$ તાપમાન ધરાવતા પાણીમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_1 = m \cdot L_f = 1 \ gm \times 80 \ cal/gm = 80 \ cal$.
પગલું $2$: $100^o C$ તાપમાન ધરાવતી $1 \ gm$ વરાળને $100^o C$ તાપમાન ધરાવતા પાણીમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે મુક્ત થતી ઉષ્મા: $Q_2 = m \cdot L_v = 1 \ gm \times 540 \ cal/gm = 540 \ cal$.
પગલું $3$: અહીં $Q_2 > Q_1$ હોવાથી,બરફ સંપૂર્ણપણે ઓગળી જશે અને બાકી રહેલી ઉષ્મા પાણીનું તાપમાન વધારશે.
પગલું $4$: પાણીનું તાપમાન વધારવા માટે ઉપલબ્ધ ઉષ્મા: $Q_{rem} = Q_2 - Q_1 = 540 - 80 = 460 \ cal$.
પગલું $5$: કુલ પાણીનું દળ $2 \ gm$ છે. ધારો કે અંતિમ તાપમાન $T$ છે. $2 \ gm$ પાણી દ્વારા $T$ તાપમાન સુધી પહોંચવા માટે શોષાયેલી ઉષ્મા $Q = m \cdot c \cdot \Delta T = 2 \ gm \times 1 \ cal/gm^o C \times (T - 0) = 2T$.
પગલું $6$: ઉષ્માનું સંતુલન કરતા: $2T = 460$,તેથી $T = 230^o C$. પરંતુ,વરાળનું તાપમાન $100^o C$ હોવાથી,અંતિમ તાપમાન $100^o C$ થી વધી શકે નહીં. તેથી,મિશ્રણનું અંતિમ તાપમાન $100^o C$ રહેશે.

(B) આ પ્રક્રિયા બે તબક્કામાં થાય છે:
$1$. $0\ ^oC$ તાપમાને રહેલા $5\ kg$ બરફને $0\ ^oC$ તાપમાનના પાણીમાં ફેરવવા માટે. બરફની ગલનગુપ્ત ઉષ્મા $L_f = 80\ kcal/kg$ છે.
જરૂરી ઉષ્મા $Q_1 = m \times L_f = 5\ kg \times 80\ kcal/kg = 400\ kcal$.
$2$. $5\ kg$ પાણીને $0\ ^oC$ થી $100\ ^oC$ સુધી ગરમ કરવા માટે. પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા $c = 1\ kcal/(kg \cdot ^oC)$ છે.
જરૂરી ઉષ્મા $Q_2 = m \times c \times \Delta T = 5\ kg \times 1\ kcal/(kg \cdot ^oC) \times (100\ ^oC - 0\ ^oC) = 500\ kcal$.
કુલ જરૂરી ઉષ્મા $Q = Q_1 + Q_2 = 400\ kcal + 500\ kcal = 900\ kcal$.

(B) $0^{\circ} C$ પરના $1 \ kg$ બરફને પાણીમાં ઓગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $= 80 \ kcal$ છે.
$1 \ kg$ પાણીનું તાપમાન $0^{\circ} C$ થી $100^{\circ} C$ સુધી વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $= mS \Delta t = (1 \ kg) \times (1 \ kcal/kg^{\circ} C) \times (100 - 0) = 100 \ kcal$ છે.
$100^{\circ} C$ પરના $1 \ kg$ ઉકળતા પાણીને વરાળમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $= mL = 1 \ kg \times 540 \ kcal/kg = 540 \ kcal$ છે.
આમ,$0^{\circ} C$ પરના $1 \ kg$ બરફને $100^{\circ} C$ પરની વરાળમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે જરૂરી કુલ ઉષ્મા $= 80 + 100 + 540 = 720 \ kcal$ છે.

(B) ફ્લાસ્ક અને પારાનું પ્રારંભિક કદ $V_0 = 10^3 \ cc$ છે.
તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = 100 \, ^oC - 0 \, ^oC = 100 \, ^oC$ છે.
કાચના ફ્લાસ્કના કદમાં થતો વધારો $\Delta V_g = V_0 \gamma_g \Delta T$ દ્વારા મળે છે.
$\Delta V_g = 10^3 \times 40 \times 10^{-6} \times 100 = 4 \, cc$.
પારાના કદમાં થતો વધારો $\Delta V_m = V_0 \gamma_m \Delta T$ દ્વારા મળે છે.
$\Delta V_m = 10^3 \times 180 \times 10^{-6} \times 100 = 18 \, cc$.
બહાર નીકળતા પારાનું કદ એ પારાના પ્રસરણ અને ફ્લાસ્કના પ્રસરણ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\Delta V_{overflow} = \Delta V_m - \Delta V_g = 18 \, cc - 4 \, cc = 14 \, cc$.

(C) પાણીની ઘનતા $4^{\circ}C$ તાપમાને મહત્તમ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે આ તાપમાને પાણીના નિશ્ચિત દળનું કદ ન્યૂનતમ હોય છે.
જ્યારે તાપમાન $4^{\circ}C$ થી વધે છે,ત્યારે પાણીનું વિસ્તરણ થાય છે,જેના કારણે કદ વધે છે અને પાણી બહાર છલકાય છે.
જ્યારે તાપમાન $4^{\circ}C$ થી ઘટે છે,ત્યારે પણ પાણીનું વિસ્તરણ થાય છે (પાણીનું અસામાન્ય વિસ્તરણ),જેના કારણે કદ વધે છે અને ફરીથી પાણી બહાર છલકાય છે.
તેથી,$4^{\circ}C$ થી ગરમ કરવા કે ઠંડુ પાડવા બંને સ્થિતિમાં પાણી બહાર છલકાય છે.

(A) આ પ્રક્રિયા ચાર તબક્કામાં થાય છે:
$1$. બરફને $-10\,^{\circ}C$ થી $0\,^{\circ}C$ સુધી ગરમ કરતા: $Q_1 = m \cdot s_{ice} \cdot \Delta T = 1 \times 0.5 \times 10 = 5\,cal$.
$2$. $0\,^{\circ}C$ પર બરફને $0\,^{\circ}C$ પરના પાણીમાં ઓગાળતા: $Q_2 = m \cdot L_f = 1 \times 80 = 80\,cal$.
$3$. પાણીને $0\,^{\circ}C$ થી $100\,^{\circ}C$ સુધી ગરમ કરતા: $Q_3 = m \cdot s_{water} \cdot \Delta T = 1 \times 1 \times 100 = 100\,cal$.
$4$. $100\,^{\circ}C$ પરના પાણીને $100\,^{\circ}C$ પરની વરાળમાં રૂપાંતરિત કરતા: $Q_4 = m \cdot L_v = 1 \times 540 = 540\,cal$.
કુલ ઉષ્મા $Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4 = 5 + 80 + 100 + 540 = 725\,cal$.
જૂલમાં રૂપાંતર કરતા: $Q = 725 \times 4.2 = 3045\,J$.

(B) લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તાપમાનમાં ફેરફારને કારણે આવર્તકાળમાં થતો ફેરફાર $\Delta t = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણ ગુણાંક છે,$\Delta \theta$ એ તાપમાનમાં ફેરફાર છે અને $t$ એ કુલ સમય છે.
ધારો કે $\theta$ એ તાપમાન છે જ્યાં ઘડિયાળ સાચો સમય આપે છે.
$15 \ ^oC$ તાપમાને,ઘડિયાળ $5 \ s$ ઝડપી છે,તેથી $\Delta t_1 = 5 = \frac{1}{2} \alpha (\theta - 15) \times (24 \times 3600) \quad ...(1)$
$30 \ ^oC$ તાપમાને,ઘડિયાળ $10 \ s$ ધીમી છે,તેથી $\Delta t_2 = 10 = \frac{1}{2} \alpha (30 - \theta) \times (24 \times 3600) \quad ...(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{5}{10} = \frac{\theta - 15}{30 - \theta}$
$\frac{1}{2} = \frac{\theta - 15}{30 - \theta}$
$30 - \theta = 2(\theta - 15)$
$30 - \theta = 2\theta - 30$
$3\theta = 60$
$\theta = 20 \ ^oC$.

(B) જ્યારે દડાઓને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ વિસ્તરણ પામે છે અને તેમની ત્રિજ્યા વધે છે. આના કારણે દરેક દડાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર (center of mass) સ્થળાંતરિત થાય છે.
દડા $A$ માટે,જે છત પરથી લટકાવેલ છે,વિસ્તરણને કારણે તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર નીચેની તરફ ખસે છે. જેમ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર નીચે જાય છે,તેમ દડા $A$ ની ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઊર્જામાં ઘટાડો થાય છે. સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો આ ઘટાડો આંતરિક ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,જે દડાને વધારાની ગરમી પૂરી પાડે છે.
દડા $B$ માટે,જે ભોંયતળિયે પડેલો છે,વિસ્તરણને કારણે તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉપરની તરફ ખસે છે. જેમ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉપર જાય છે,તેમ દડા $B$ ની ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઊર્જામાં વધારો થાય છે. સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા આ વધારા માટે ઊર્જાની જરૂર પડે છે,જે શોષાયેલી ઉષ્મામાંથી લેવામાં આવે છે,જેનાથી દડાના તાપમાનમાં વધારો કરવા માટે ઉપલબ્ધ ઊર્જા અસરકારક રીતે ઘટે છે.
આમ,દડો $A$ તેની ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઊર્જાના ફેરફારમાંથી વધારાની આંતરિક ઊર્જા મેળવે છે,જ્યારે દડો $B$ તેની ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઊર્જા વધારવા માટે તેની શોષાયેલી ઉષ્માનો થોડો ભાગ વાપરે છે,તેથી દડા $A$ નું અંતિમ તાપમાન દડા $B$ કરતા વધારે હશે. તેથી,$T_A > T_B$.

(A) જ્યારે સરોવરની સપાટી થીજી જાય છે,ત્યારે બરફ એક અવાહક તરીકે કામ કરે છે.
પાણીની ઘનતા $4\,^oC$ તાપમાને મહત્તમ હોવાથી,સરોવરના તળિયે રહેલું પાણી $4\,^oC$ પર રહે છે કારણ કે સંવહન પ્રવાહો ત્યાં અટકી જાય છે.
બરફની નીચેની સપાટીના સીધા સંપર્કમાં રહેલું પાણીનું સ્તર બરફ સાથે તાપીય સંતુલનમાં હોય છે,જે $0\,^oC$ પર હોય છે.
તેથી,તાપમાનનો ઢાળ બરફ-પાણીના સંપર્ક બિંદુએ $0\,^oC$ થી લઈને સરોવરના તળિયે $4\,^oC$ સુધી હોય છે.

(D) કુલ દૂર થતી ઉષ્મા $(Q)$ ત્રણ ભાગમાં વહેંચાયેલી છે:
$1$. પાણીને $25\,^{\circ}C$ થી $0\,^{\circ}C$ સુધી ઠંડુ કરવા માટેની ઉષ્મા: $Q_1 = m \cdot c_w \cdot \Delta T = 500 \times 1 \times 25 = 12500\,cal$.
$2$. $0\,^{\circ}C$ ના પાણીને $0\,^{\circ}C$ ના બરફમાં ફેરવવા માટેની ઉષ્મા: $Q_2 = m \cdot L_f = 500 \times 80 = 40000\,cal$.
$3$. બરફને $0\,^{\circ}C$ થી $-10\,^{\circ}C$ સુધી ઠંડુ કરવા માટેની ઉષ્મા: $Q_3 = m \cdot c_i \cdot \Delta T = 500 \times 0.5 \times 10 = 2500\,cal$.
કુલ ઉષ્મા $Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 12500 + 40000 + 2500 = 55000\,cal$.
કુલ સમય $t = 3\,\text{કલાક}\,40\,\text{મિનિટ }= (3 \times 60) + 40 = 220\,\text{મિનિટ}$.
પ્રતિ મિનિટ દૂર થતી ઉષ્મા = $\frac{Q}{t} = \frac{55000}{220} = 250\,cal/min$.

(B) બાયમેટાલિક સ્ટ્રીપ બે અલગ-અલગ ધાતુઓની બનેલી હોય છે જેમને એકસાથે જોડવામાં આવે છે,અને આ બંને ધાતુઓના રેખીય પ્રસરણાંક અલગ-અલગ હોય છે.
જ્યારે તાપમાનમાં ફેરફાર થાય છે,ત્યારે ઉષ્મીય પ્રસરણ $(iv)$ ના સિદ્ધાંતને કારણે બંને ધાતુઓ અલગ-અલગ પ્રમાણમાં વિસ્તરણ કે સંકોચન પામે છે.
પ્રસરણમાં રહેલા આ તફાવતને કારણે સ્ટ્રીપ વળી જાય છે,જે ઉર્જા રૂપાંતરણ $(ii)$ નું એક સ્વરૂપ છે જ્યાં ઉષ્મીય ઉર્જાનું યાંત્રિક કાર્યમાં રૂપાંતર થાય છે.
તેથી,બાયમેટાલિક સ્ટ્રીપનું કાર્ય ઉર્જા રૂપાંતરણ અને ઉષ્મીય પ્રસરણ બંને પર આધાર રાખે છે.

(A) $2\, kg$ બરફનું તાપમાન $-20\,^oC$ થી $0\,^oC$ સુધી વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q_1 = m_i c_i \Delta T = 2000 \, g \times 0.5 \, cal/g^oC \times 20^oC = 20,000 \, cal$ છે.
$3\, kg$ પાણીનું તાપમાન $15\,^oC$ થી $0\,^oC$ સુધી ઘટાડવાથી મુક્ત થતી ઉષ્મા $Q_2 = m_w c_w \Delta T = 3000 \, g \times 1 \, cal/g^oC \times 15^oC = 45,000 \, cal$ છે.
$0\,^oC$ પર બરફને પીગળવા માટે ઉપલબ્ધ ચોખ્ખી ઉષ્મા $Q_{net} = Q_2 - Q_1 = 45,000 - 20,000 = 25,000 \, cal$ છે.
બધો બરફ પીગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q_{melt} = m_i L_f = 2000 \, g \times 80 \, cal/g = 160,000 \, cal$ છે.
અહીં $Q_{net} < Q_{melt}$ હોવાથી,બરફ સંપૂર્ણપણે પીગળશે નહીં. તંત્ર $0\,^oC$ તાપમાને બરફ અને પાણીના મિશ્રણ તરીકે સંતુલન સ્થિતિ પ્રાપ્ત કરશે.

(B) ધારો કે તાપમાન $T$ પર કાચના પાત્રનું કદ $V_g$ છે અને પ્રવાહીનું કદ $V_l$ છે. ધારો કે $\gamma_g$ અને $\gamma_l$ એ અનુક્રમે કાચ અને પ્રવાહીના કદ પ્રસરણાંક છે.
આપેલ છે કે $\gamma_g : \gamma_l = 1 : 4$,તેથી $\gamma_l = 4\gamma_g$.
ખાલી જગ્યા $V_v = V_g - V_l$ છે.
ખાલી જગ્યાનું કદ તમામ તાપમાને અચળ રહે તે માટે,પાત્રના કદમાં થતો ફેરફાર એ પ્રવાહીના કદમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોવો જોઈએ.
$\Delta V_g = \Delta V_l$
$V_g \gamma_g \Delta T = V_l \gamma_l \Delta T$
$V_g \gamma_g = V_l (4\gamma_g)$
$V_g = 4V_l$
તેથી,પ્રવાહી દ્વારા રોકાયેલ કદનો અંશ $\frac{V_l}{V_g} = \frac{1}{4}$ છે.

(B) $1$. $100\,^{\circ}C$ તાપમાને $10\, g$ વરાળનું $100\,^{\circ}C$ તાપમાનના પાણીમાં રૂપાંતર થતા મુક્ત થતી ઉષ્મા: $Q_1 = m_s L_v = 10 \times 540 = 5400\, cal$.
$2$. $100\,^{\circ}C$ તાપમાનના $10\, g$ ગરમ પાણીનું $0\,^{\circ}C$ તાપમાન સુધી ઠંડુ થતા મુક્ત થતી ઉષ્મા: $Q_2 = m_s c_w \Delta T = 10 \times 1 \times 100 = 1000\, cal$.
$3$. બરફ ઓગળવા માટે ઉપલબ્ધ કુલ ઉષ્મા: $Q_{total} = 5400 + 1000 = 6400\, cal$.
$4$. $0\,^{\circ}C$ તાપમાને $100\, g$ બરફને ઓગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_{ice} = m_i L_f = 100 \times 80 = 8000\, cal$.
$5$. અહીં $Q_{total} < Q_{ice}$ હોવાથી,માત્ર થોડો બરફ ઓગળશે. ઓગળેલા બરફનું દળ: $m_{melted} = Q_{total} / L_f = 6400 / 80 = 80\, g$.
$6$. કેલરીમીટરમાં કુલ પાણી = (શરૂઆતનું પાણી) + (ઓગળેલા બરફનું દળ) + (વરાળનું પાણી) = $500 + 80 + 10 = 590\, g$.

(D) ધારો કે $m$ ગ્રામ પાણીનું બાષ્પીભવન થાય છે.
પ્રક્રિયા એડિબેટિક હોવાથી અને બહારથી કોઈ ઉષ્મા આપવામાં આવતી નથી,તેથી પાણીના એક ભાગના થીજી જવાથી મુક્ત થતી ઉષ્મા એ બાષ્પીભવન પામતા ભાગ દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા જેટલી હોવી જોઈએ.
બરફમાં રૂપાંતરિત થતા પાણીનું દળ $= (150 - m)\, g$.
થીજી જતી વખતે મુક્ત થતી ઉષ્મા $\Delta Q_{rel} = (150 - m) \times L_f$.
બાષ્પીભવન દરમિયાન શોષાયેલી ઉષ્મા $\Delta Q_{req} = m \times L_v$.
બંનેને સરખાવતા: $(150 - m) \times L_f = m \times L_v$.
કિંમતો મૂકતા $L_f = 3.36 \times 10^5\, J/kg$ અને $L_v = 2.10 \times 10^6\, J/kg$:
$(150 - m) \times 3.36 \times 10^5 = m \times 21.0 \times 10^5$.
$150 \times 3.36 = m \times (21.0 + 3.36)$.
$504 = m \times 24.36$.
$m = 504 / 24.36 \approx 20.69\, g$.
બાષ્પીભવન પામેલા પાણીનું દળ $20\, g$ ની સૌથી નજીક છે.