Mix Examples-Thermometry, Thermal Expansion and Calorimetry Questions in Hindi

(A) दबाव $P$ के कारण आयतन में परिवर्तन को बल्क मापांक (आयतन प्रत्यास्थता) $\beta = \frac{P}{\Delta V / V}$ की परिभाषा द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है कि आयतन में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = \frac{P}{\beta}$ है।
मूल आयतन को बनाए रखने के लिए,तापीय प्रसार को इस संपीड़न की भरपाई करनी चाहिए।
तापमान में $\Delta \theta$ वृद्धि के कारण आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V \alpha \Delta \theta$ है,जिसका अर्थ है कि आयतन में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = \alpha \Delta \theta$ है।
दोनों आंशिक परिवर्तनों को बराबर करने पर: $\alpha \Delta \theta = \frac{P}{\beta}$।
अतः,तापमान में आवश्यक वृद्धि $\Delta \theta = \frac{P}{\alpha \beta}$ है।

(C) प्लेटिनम प्रतिरोध थर्मामीटर में 'स्टेम करेक्शन' उन कनेक्टिंग तारों (लीड्स) के प्रतिरोध के कारण उत्पन्न होता है जो प्लेटिनम कॉइल को मापने वाले उपकरण से जोड़ते हैं।
जैसे-जैसे लीड्स का तापमान बदलता है,उनका प्रतिरोध बदल जाता है,जिससे तापमान माप में त्रुटि आ जाती है।
इस त्रुटि को समाप्त करने के लिए 'कॉम्पेन्सेटिंग लीड्स' (Compensating leads) का उपयोग किया जाता है। ये लीड्स मुख्य लीड्स के समान ही होती हैं और इन्हें एक ही वातावरण में रखा जाता है,जिससे मुख्य लीड्स के प्रतिरोध में होने वाला परिवर्तन कॉम्पेन्सेटिंग लीड्स के प्रतिरोध में होने वाले परिवर्तन द्वारा संतुलित हो जाता है।

(C) कम ऊष्मा धारिता वाला थर्मामीटर तापमान परिवर्तनों के प्रति तेजी से प्रतिक्रिया करता है।
दिए गए प्रकारों में,थर्मोकपल $(R)$ का द्रव्यमान और ऊष्मा धारिता सबसे कम होती है,जो इसे तेजी से बदलते तापमान के लिए सबसे अधिक संवेदनशील बनाती है।
मरकरी थर्मामीटर $(P)$ में अपेक्षाकृत बड़ा बल्ब और कांच का आवरण होता है,जिसके परिणामस्वरूप इसकी ऊष्मा धारिता अधिक होती है।
प्रतिरोध थर्मामीटर $(Q)$ में आमतौर पर तार की कुंडली और सुरक्षात्मक आवरण होता है,जिसकी ऊष्मा धारिता भी थर्मोकपल की तुलना में अधिक होती है।
इसलिए,तापीय जड़त्व के संदर्भ में $R$ सर्वश्रेष्ठ (सबसे तेज़ प्रतिक्रिया) है और $Q$ सबसे खराब (सबसे धीमी प्रतिक्रिया) है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) पानी $0^{\circ}C$ और $4^{\circ}C$ के बीच असामान्य विस्तार (anomalous expansion) प्रदर्शित करता है।
अधिकांश पदार्थों के विपरीत,पानी जमने पर फैलता है।
जब पाइप के अंदर का पानी जमता है,तो उसका आयतन काफी बढ़ जाता है।
आयतन में यह वृद्धि पाइप की दीवारों पर बाहर की ओर एक बड़ा दबाव डालती है,जिससे पाइप फट जाता है।

(C) $0^{\circ}C$ पर $1 \, g$ बर्फ का $100^{\circ}C$ पर भाप में रूपांतरण तीन चरणों में होता है:
$1$. $0^{\circ}C$ पर बर्फ का $0^{\circ}C$ पर पानी में पिघलना: $Q_1 = m \cdot L_f = 1 \, g \times 80 \, cal/g = 80 \, cal$.
$2$. पानी का $0^{\circ}C$ से $100^{\circ}C$ तक गर्म होना: $Q_2 = m \cdot c_w \cdot \Delta T = 1 \, g \times 1 \, cal/g^{\circ}C \times (100^{\circ}C - 0^{\circ}C) = 100 \, cal$.
$3$. $100^{\circ}C$ पर पानी का $100^{\circ}C$ पर भाप में बदलना: $Q_3 = m \cdot L_v = 1 \, g \times 536 \, cal/g = 536 \, cal$.
कुल आवश्यक ऊष्मा $Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 80 + 100 + 536 = 716 \, cal$.

(A) $-10^{\circ}C$ पर बर्फ को $100^{\circ}C$ पर भाप में बदलने की प्रक्रिया चार चरणों में होती है:
$1$. बर्फ को $-10^{\circ}C$ से $0^{\circ}C$ तक गर्म करना: $Q_1 = m c_{ice} \Delta T = 1 \times 0.5 \times 10 = 5 \text{ cal}$.
$2$. $0^{\circ}C$ पर बर्फ को पानी में पिघलाना: $Q_2 = m L_f = 1 \times 80 = 80 \text{ cal}$.
$3$. पानी को $0^{\circ}C$ से $100^{\circ}C$ तक गर्म करना: $Q_3 = m c_{water} \Delta T = 1 \times 1 \times 100 = 100 \text{ cal}$.
$4$. $100^{\circ}C$ पर पानी को भाप में बदलना: $Q_4 = m L_v = 1 \times 540 = 540 \text{ cal}$.
कुल ऊष्मा $Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4 = 5 + 80 + 100 + 540 = 725 \text{ cal}$.
किया गया कार्य $W = J \times Q = 4.2 \times 725 = 3045 \text{ J}$.

(A) क्वथन (boiling) तब होता है जब किसी तरल का वाष्प दाब बाहरी वायुमंडलीय दबाव के बराबर हो जाता है।
चंद्रमा की सतह पर कोई वायुमंडल नहीं है,जिसका अर्थ है कि बाहरी दबाव शून्य है।
चूंकि $30^{\circ}C$ पर पानी का वाष्प दाब शून्य से अधिक होता है,इसलिए यह तुरंत बाहरी दबाव से अधिक हो जाता है।
परिणामस्वरूप,पानी का क्वथनांक काफी कम हो जाता है और जैसे ही ढक्कन खोला जाता है,पानी $30^{\circ}C$ पर उबलने लगता है।

(A) बर्फ जैसे पदार्थ जो जमने पर फैलते हैं,उनका गलनांक दबाव पर निर्भर करता है।
क्लॉसियस-क्लैपेरॉन संबंध के अनुसार,बर्फ के लिए,दबाव में वृद्धि से गलनांक में कमी आती है।
इसलिए,बर्फ के टुकड़े पर दबाव डालकर,आप इसके गलनांक को कम कर देते हैं,जो 'रीजेलेशन' (regelation) के पीछे का मुख्य सिद्धांत है।

(B) टकराव के दौरान गोली की गतिज ऊर्जा ऊष्मीय ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$1$. गोली के तापमान को $25^{\circ}C$ से उसके गलनांक $475^{\circ}C$ तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q_1 = mS(475 - 25)$ है।
$2$. गोली को उसके गलनांक पर पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q_2 = mL$ है।
$3$. कुल आवश्यक ऊष्मीय ऊर्जा $Q = Q_1 + Q_2 = mS(475 - 25) + mL$ है।
$4$. ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,गोली की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ ऊष्मा $Q$ में परिवर्तित हो जाती है,जहाँ $K = JQ$ और $J$ ऊष्मा का यांत्रिक तुल्यांक है।
$5$. अतः,$\frac{1}{2}mv^2 = J[mS(475 - 25) + mL]$।
$6$. पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $mS(475 - 25) + mL = \frac{mv^2}{2J}$ प्राप्त होता है।

(A) पानी की शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा $PE = mgh$ है।
प्रश्न के अनुसार,इस ऊर्जा का आधा भाग ऊष्मा ऊर्जा $(Q)$ में परिवर्तित हो जाता है:
$Q = \frac{1}{2} mgh$
हम जानते हैं कि पानी के तापमान को $\Delta \theta$ तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा ऊर्जा है:
$Q = mc\Delta \theta$
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$mc\Delta \theta = \frac{1}{2} mgh$
$\Delta \theta = \frac{gh}{2c}$
यहाँ $g = 9.8 \ m/s^2$,$h = 84 \ m$,और पानी की विशिष्ट ऊष्मा धारिता $c = 4200 \ J/(kg \cdot ^\circ C)$ है:
$\Delta \theta = \frac{9.8 \times 84}{2 \times 4200}$
$\Delta \theta = \frac{823.2}{8400} = 0.098^\circ C$
अतः,तापमान में वृद्धि $0.098^\circ C$ है।

(A) जब पानी ऊंचाई से नीचे गिरता है,तो पानी की स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में और बाद में घर्षण तथा प्रभाव के कारण ऊष्मीय ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी $(mgh)$ पानी की आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि करती है।
इसलिए,जमीन के स्तर पर पानी का तापमान ऊंचे स्तर (बांध के शीर्ष) पर पानी के तापमान से अधिक होता है।

(A) झरने के शीर्ष पर पानी की स्थितिज ऊर्जा नीचे ऊष्मा ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$mgh = J \cdot m \cdot c \cdot \Delta \theta$
यहाँ, $m$ पानी का द्रव्यमान है, $g = 9.8 \, m/s^2$, $h = 84 \, m$, $J = 4.2 \, J/cal$, और $c = 1 \, cal/g^\circ C = 4200 \, J/kg^\circ C$ है।
दोनों पक्षों से $m$ को हटाने पर:
$gh = J \cdot c \cdot \Delta \theta$
$\Delta \theta = \frac{gh}{Jc} = \frac{9.8 \times 84}{4.2 \times 4200}$
$\Delta \theta = \frac{823.2}{17640} = 0.196^\circ C$.

(A) मान लीजिए ओले का कुल द्रव्यमान $m\, kg$ है और पिघलने वाले बर्फ का द्रव्यमान $m'\, kg$ है।
$h = 1000\, m$ की ऊँचाई पर ओले की स्थितिज ऊर्जा $PE = mgh$ है।
दी गई शर्त के अनुसार,पूरी गतिज ऊर्जा (जो प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है) ऊष्मा में परिवर्तित हो जाती है,इसलिए उत्पन्न ऊष्मा $Q = mgh$ है।
यह ऊष्मा $m'$ द्रव्यमान की बर्फ को पिघलाने में उपयोग होती है: $Q = m'L$,जहाँ $L$ बर्फ के गलन की गुप्त ऊष्मा है $(L = 80,000\, cal/kg)$।
ऊष्मा के यांत्रिक तुल्यांक $J = 4.2\, J/cal$ का उपयोग करते हुए,$m'$ द्रव्यमान को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊर्जा $m'L \times J$ है।
ऊर्जा को संतुलित करने पर: $mgh = m'L \times J$।
पिघलने वाली बर्फ का अंश $\frac{m'}{m} = \frac{gh}{LJ}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{m'}{m} = \frac{10 \times 1000}{80,000 \times 4.2} = \frac{10,000}{336,000} = \frac{1}{33.6} \approx \frac{1}{33}$।

(B) सीसे की गेंद की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mV^2$ है।
यह दिया गया है कि इस ऊर्जा का $50\%$ ऊष्मा में परिवर्तित हो जाता है,इसलिए उत्पन्न ऊष्मा $Q = 0.5 \times K = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}mV^2 = \frac{1}{4}mV^2$ है।
उत्पन्न ऊष्मा का सूत्र $Q = mS\Delta\theta$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$S$ विशिष्ट ऊष्मा है और $\Delta\theta$ तापमान में परिवर्तन है।
ऊष्मा के यांत्रिक तुल्यांक $J$ का उपयोग करते हुए,कार्य और ऊष्मा के बीच संबंध $W = JQ$ है।
यहाँ,किया गया कार्य (या परिवर्तित ऊर्जा) $\frac{1}{4}mV^2 = J(mS\Delta\theta)$ है।
दोनों पक्षों से $m$ को हटाने पर,हमें $\frac{V^2}{4} = JS\Delta\theta$ प्राप्त होता है।
अतः,तापमान में वृद्धि $\Delta\theta = \frac{V^2}{4JS}$ है।

(C) पानी द्वारा खोई गई स्थितिज ऊर्जा ऊष्मीय ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
स्थितिज ऊर्जा $PE = mgh$.
ऊष्मीय ऊर्जा $Q = ms \Delta \theta$,जहाँ $s$ पानी की विशिष्ट ऊष्मा है।
दिया गया है $s = 1 \, cal/g^\circ C = 1000 \, cal/kg^\circ C$.
चूंकि $1 \, cal = 4.3 \, J$,इसलिए $s = 1000 \times 4.3 = 4300 \, J/kg^\circ C$.
ऊर्जा को बराबर करने पर: $mgh = ms \Delta \theta$.
$\Delta \theta = \frac{gh}{s} = \frac{9.8 \times 210}{4300}$.
$\Delta \theta = \frac{2058}{4300} \approx 0.4786 \, ^\circ C$.
दिए गए $J = 4.3 \, J/cal$ का उपयोग करने पर,$\Delta \theta \approx 0.48 \, ^\circ C$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,सही उत्तर $0.49 \, ^\circ C$ है।

(C) गोली की गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ है।
यहाँ $m = 10\, g = 0.01\, kg$ और $v = 300\, m/s$ दिया गया है।
$K.E. = \frac{1}{2} \times 0.01 \times (300)^2 = 0.005 \times 90000 = 450\, J$.
इस ऊर्जा का $50\%$ भाग गोली द्वारा ऊष्मा के रूप में अवशोषित किया जाता है: $Q = 0.5 \times 450 = 225\, J$.
अवशोषित ऊष्मा का सूत्र $Q = mc\Delta\theta$ है,जहाँ $c = 150\, J/kg\cdot K$ है।
$225 = 0.01 \times 150 \times \Delta\theta$.
$225 = 1.5 \times \Delta\theta$.
$\Delta\theta = \frac{225}{1.5} = 150^\circ C$.

(D) किसी द्रव का क्वथनांक वह तापमान है जिस पर उसका वाष्प दाब द्रव की सतह पर लगने वाले बाहरी दाब के बराबर हो जाता है। जब यह स्थिति प्राप्त हो जाती है,तो द्रव अपने पूरे आयतन में द्रव अवस्था से गैसीय अवस्था में बदलना शुरू कर देता है।

(C) किसी द्रव का क्वथनांक वह तापमान होता है जिस पर उसका वाष्प दाब बाहरी वायुमंडलीय दबाव के बराबर हो जाता है।
जब पानी की सतह पर बाहरी दबाव बढ़ाया जाता है,तो पानी के वाष्प दाब को नए,उच्च बाहरी दबाव तक पहुँचने के लिए अधिक ऊष्मीय ऊर्जा की आवश्यकता होती है।
इसलिए,जैसे-जैसे दबाव बढ़ता है,पानी का क्वथनांक भी बढ़ता है।
अतः,क्वथनांक तापमान $100^{\circ}C$ से अधिक होगा।

(A) क्लॉसियस-क्लैपेरॉन समीकरण के अनुसार,दाब के साथ हिमांक में परिवर्तन $\frac{dT}{dP} = \frac{T(V_2 - V_1)}{L}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ तापमान है,$V_2$ और $V_1$ क्रमशः ठोस और द्रव अवस्थाओं के आयतन हैं,और $L$ गलन की गुप्त ऊष्मा है।
यदि दाब बढ़ाने पर हिमांक कम हो जाता है,तो $\frac{dT}{dP} < 0$ होगा।
चूंकि $T$ और $L$ धनात्मक हैं,इसका अर्थ है कि $(V_2 - V_1) < 0$,जिसका अर्थ है $V_2 < V_1$।
यह दर्शाता है कि ठोस का आयतन द्रव के आयतन से कम है,अर्थात पदार्थ जमते समय सिकुड़ता है।
हालाँकि,पानी जैसे पदार्थों के लिए,जो जमते समय फैलते हैं $(V_{solid} > V_{liquid})$,दाब बढ़ाने पर हिमांक कम हो जाता है।
अतः,सही स्थिति यह है कि द्रव जमते समय फैलता है।

(A) हथौड़े की गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2} M v^2 = \frac{1}{2} \times 1 \times (50)^2 = 1250 \, J$ है।
चूंकि इस ऊर्जा का आधा हिस्सा ऊष्मा में परिवर्तित हो जाता है,इसलिए उत्पन्न ऊष्मा $Q = \frac{1}{2} \times 1250 = 625 \, J$ है।
इसे कैलोरी में बदलने के लिए,ऊष्मा के यांत्रिक तुल्यांक $J = 4.2 \, J/cal$ का उपयोग करते हुए,$Q_{cal} = \frac{625}{4.2} \approx 148.81 \, cal$ प्राप्त होता है।
कील द्वारा अवशोषित ऊष्मा $Q = m c \Delta \theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m = 200 \, g$,$c = 0.105 \, cal/g^{\circ}C$ और $\Delta \theta$ तापमान में वृद्धि है।
मान रखने पर: $148.81 = 200 \times 0.105 \times \Delta \theta$.
$148.81 = 21 \times \Delta \theta$.
$\Delta \theta = \frac{148.81}{21} \approx 7.086^{\circ}C \approx 7.1^{\circ}C$.

(B) टकराव के समय वस्तु की स्थितिज ऊर्जा ऊष्मीय ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए: $W = H$
$Mgh = mL$
जहाँ $M = 3.5\, kg$,$g = 10\, m/s^2$,$h = 2000\, m$,और $L = 3.5 \times 10^5\, J/kg$ है।
मान रखने पर:
$3.5 \times 10 \times 2000 = m \times 3.5 \times 10^5$
$70000 = m \times 3.5 \times 10^5$
$m = \frac{70000}{3.5 \times 10^5} = \frac{7 \times 10^4}{3.5 \times 10^5} = \frac{2}{10} = 0.2\, kg$
ग्राम में बदलने पर: $0.2\, kg = 200\, g$।
अतः,$200\, g$ बर्फ पिघलेगी।

(C) $0^{\circ}C$ पर बर्फ को $100^{\circ}C$ पर भाप में बदलने की प्रक्रिया तीन चरणों में होती है:
चरण $1$: $0^{\circ}C$ पर बर्फ का $0^{\circ}C$ पर पानी में पिघलना।
$Q_1 = m \cdot L_f = 5 \times 80 = 400\,cal$
चरण $2$: पानी को $0^{\circ}C$ से $100^{\circ}C$ तक गर्म करना।
$Q_2 = m \cdot c_w \cdot \Delta T = 5 \times 1 \times (100 - 0) = 500\,cal$
चरण $3$: $100^{\circ}C$ पर पानी का $100^{\circ}C$ पर भाप में वाष्पीकरण।
$Q_3 = m \cdot L_v = 5 \times 540 = 2700\,cal$
कुल आवश्यक ऊष्मा $Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 400 + 500 + 2700 = 3600\,cal$.

(C) दाब-तापमान $(P-T)$ चरण आरेख पर त्रिक बिंदु (Triple point) को उस अद्वितीय अवस्था के रूप में परिभाषित किया जाता है जहाँ किसी पदार्थ की ठोस,द्रव और गैसीय अवस्थाएँ एक साथ ऊष्मागतिक संतुलन (thermodynamic equilibrium) में मौजूद होती हैं।
अतः,सही उत्तर त्रिक बिंदु है।

(D) शुष्क बर्फ ठोस कार्बन डाइऑक्साइड $(CO_2)$ का सामान्य नाम है।
इसे 'शुष्क' इसलिए कहा जाता है क्योंकि यह उर्ध्वपातन (sublimation) की प्रक्रिया से गुजरता है,जिसका अर्थ है कि यह वायुमंडलीय दबाव पर तरल अवस्था में आए बिना सीधे ठोस से गैसीय अवस्था में परिवर्तित हो जाता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) किसी तरल में डूबी वस्तु का आभासी भार $W_{app} = W_{real} - F_B$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F_B$ उत्प्लावन बल है।
$F_B = V_{submerged} \cdot \rho_{liquid} \cdot g$.
चूंकि धातु का आयतन प्रसार गुणांक अल्कोहल से कम है,हम मान सकते हैं कि तापमान बढ़ने पर धातु की गेंद का आयतन $V$ लगभग स्थिर रहता है।
$0^{\circ}C$ पर,$W_1 = W_0 - V \rho_0 g$,जहाँ $\rho_0$ $0^{\circ}C$ पर अल्कोहल का घनत्व है।
$59^{\circ}C$ पर,$W_2 = W_0 - V \rho_{59} g$,जहाँ $\rho_{59}$ $59^{\circ}C$ पर अल्कोहल का घनत्व है।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,अल्कोहल का घनत्व कम हो जाता है,इसलिए $\rho_{59} < \rho_0$.
चूंकि $\rho_{59} < \rho_0$,इसलिए $V \rho_{59} g < V \rho_0 g$ होगा।
अतः,$W_0 - V \rho_{59} g > W_0 - V \rho_0 g$,जिसका अर्थ है कि $W_2 > W_1$ या $W_1 < W_2$।

(B) पदार्थों को जमने के दौरान उनके आयतन में परिवर्तन के आधार पर सामान्यतः दो श्रेणियों में वर्गीकृत किया जाता है:
$(i)$ पानी जैसे पदार्थ,जो जमने पर फैलते हैं। इन पदार्थों के लिए,दबाव बढ़ने पर गलनांक घट जाता है।
$(ii)$ मोम,घी आदि जैसे पदार्थ,जो जमने पर सिकुड़ते हैं। इन पदार्थों के लिए,दबाव बढ़ने पर गलनांक बढ़ जाता है।
जब पिघले हुए मोम को एक बड़े बर्तन में ठंडा किया जाता है,तो तरल स्तंभ के वजन के कारण तल पर दबाव शीर्ष की तुलना में अधिक होता है। चूंकि मोम का गलनांक दबाव के साथ बढ़ता है,इसलिए जैसे-जैसे तापमान गिरता है,तल पर मौजूद मोम सबसे पहले अपने जमने के तापमान तक पहुँच जाता है। इसलिए,जमने की प्रक्रिया नीचे से शुरू होती है और ऊपर की ओर बढ़ती है।

(A) माना गोली का द्रव्यमान $m \, g$ है। गोली को उसके गलनांक तक पहुँचने और पिघलने के लिए आवश्यक कुल ऊष्मा $Q_1 = mc\Delta\theta + mL$ है।
मान रखने पर: $Q_1 = m \times 0.03 \times (327 - 27) + m \times 6 = m \times 0.03 \times 300 + 6m = 9m + 6m = 15m \, cal$.
इसे जूल में बदलने पर: $Q_1 = 15m \times 4.2 = 63m \, J$.
गोली की गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2} M v^2$ है,जहाँ $M$ किलोग्राम में द्रव्यमान है $(M = m \times 10^{-3} \, kg)$।
चूंकि $25\%$ ऊष्मा बाधा द्वारा अवशोषित की जाती है,इसलिए गोली को पिघलाने के लिए गतिज ऊर्जा का $75\%$ भाग उपयोग किया जाता है।
अतः,$0.75 \times (\frac{1}{2} \times m \times 10^{-3} \times v^2) = 63m$.
सरल करने पर: $\frac{0.75}{2} \times 10^{-3} \times v^2 = 63$.
$0.375 \times 10^{-3} \times v^2 = 63$.
$v^2 = \frac{63}{0.375 \times 10^{-3}} = \frac{63000}{0.375} = 168000$.
$v = \sqrt{168000} \approx 409.87 \, m/s \approx 410 \, m/s$.

(C) टक्कर के समय गेंद की गतिज ऊर्जा ऊष्मा ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
मान लीजिए $m$ गेंद का द्रव्यमान है,$v$ वेग है,$c$ धातु की विशिष्ट ऊष्मा धारिता है,और $\Delta \theta$ तापमान में वृद्धि है।
उत्पन्न ऊष्मा ऊर्जा $Q = \frac{1}{2}mv^2$ है।
इस ऊष्मा ऊर्जा का उपयोग तापमान बढ़ाने के लिए किया जाता है: $Q = mc\Delta \theta$।
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{1}{2}mv^2 = mc\Delta \theta$।
$\Delta \theta$ के लिए सरल करने पर: $\Delta \theta = \frac{v^2}{2c}$।
चूंकि वेग $v$ और विशिष्ट ऊष्मा धारिता $c$ दोनों गेंदों के लिए समान हैं,इसलिए तापमान में वृद्धि $\Delta \theta$ द्रव्यमान $m$ पर निर्भर नहीं करती है।
अतः,दोनों गेंदों के लिए तापमान में वृद्धि समान होगी।

(A) पानी का घनत्व असामान्य व्यवहार प्रदर्शित करता है। जब पानी को $0^{\circ}C$ से $4^{\circ}C$ तक गर्म किया जाता है,तो उसका आयतन कम हो जाता है,जिससे उसका घनत्व बढ़ जाता है। $4^{\circ}C$ पर,पानी का घनत्व अपने अधिकतम मान तक पहुँच जाता है। जब तापमान $4^{\circ}C$ से अधिक बढ़ता है,तो पानी का विस्तार होता है,जिससे उसका घनत्व कम हो जाता है। इसलिए,घनत्व बनाम तापमान का ग्राफ $4^{\circ}C$ पर एक शिखर (peak) दर्शाता है।

(C) दिया गया है: मोम का द्रव्यमान $m = 50 \, g$,विशिष्ट ऊष्मा $c = 0.6 \, cal/g \cdot ^\circ C$ है।
ग्राफ से,पहली मिनट में ($t = 0$ से $t = 1 \, min$),मोम का तापमान $0^\circ C$ से बढ़कर $50^\circ C$ हो जाता है।
ऊष्मा के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए: $Q = mc\Delta T$.
$Q = 50 \, g \times 0.6 \, cal/g \cdot ^\circ C \times (50^\circ C - 0^\circ C)$.
$Q = 50 \times 0.6 \times 50 = 1500 \, cal$.
अतः,प्रति मिनट दी गई ऊष्मा $1500 \, cal$ है।
ग्राफ से,$t = 6 \, min$ और $t = 8 \, min$ के बीच तापमान $200^\circ C$ पर स्थिर रहता है,जो मोम की अवस्था परिवर्तन (उबलना) को दर्शाता है।
इसलिए,मोम का क्वथनांक $200^\circ C$ है।
सही विकल्प $C$ है।

(C) किसी पदार्थ का त्रिक बिंदु (Triple point) वह विशिष्ट तापमान और दबाव है जिस पर उस पदार्थ की तीनों अवस्थाएँ (ठोस,द्रव और गैस) ऊष्मागतिक संतुलन में एक साथ मौजूद होती हैं।
उदाहरण के लिए,शुद्ध जल का त्रिक बिंदु $273.16 \; K$ तापमान और $611.2 \; Pa$ दबाव पर होता है।
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(C) संतृप्त जल वाष्प अपनी द्रव अवस्था के साथ साम्यावस्था में होती है।
संतृप्त वाष्प के गुणों के अनुसार,संतृप्त वाष्प का दाब केवल उसके तापमान पर निर्भर करता है,न कि उसके आयतन पर।
जब पात्र के आयतन को समतापीय रूप से (स्थिर तापमान पर) कम किया जाता है,तो संतृप्त दाब को बनाए रखने के लिए वाष्प का कुछ हिस्सा द्रव में संघनित हो जाता है।
इसलिए,जब तक तापमान स्थिर रहता है,तब तक आयतन में परिवर्तन के बावजूद दाब स्थिर रहता है।
अतः,अंतिम दाब $P$ होगा।

(A) नियत दाब पर निकाय द्वारा किया गया कार्य $W = P \Delta V = P(V_f - V_i)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
दाब $P = 1 \times 10^5\, N/m^2$.
$0^{\circ}C$ पर $1\, g$ जल का प्रारंभिक आयतन $V_i = 1\, cm^3 = 1 \times 10^{-6}\, m^3$.
बर्फ का अंतिम आयतन $V_f = 1.091\, cm^3 = 1.091 \times 10^{-6}\, m^3$.
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V_f - V_i = (1.091 - 1) \times 10^{-6}\, m^3 = 0.091 \times 10^{-6}\, m^3$.
किया गया कार्य $W = 1 \times 10^5 \times 0.091 \times 10^{-6} = 0.091 \times 10^{-1} = 0.0091\, J$.

(D) शीतलन की दर ऊष्मा के ह्रास की दर है,जिसे $\frac{dQ}{dt} = (m_l c_l + m_c c_c) \frac{d\theta}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$m_l = 0.5 \ kg$,$c_l = 2400 \ J/kg \cdot K$,$m_c = 0.2 \ kg$,$c_c = 900 \ J/kg \cdot K$ है।
तापमान में परिवर्तन $\Delta \theta = 60^{\circ}C - 55^{\circ}C = 5^{\circ}C$ और समय अंतराल $\Delta t = 1 \ minute = 60 \ seconds$ है।
मान रखने पर:
$\frac{dQ}{dt} = (0.5 \times 2400 + 0.2 \times 900) \times \frac{5}{60}$
$\frac{dQ}{dt} = (1200 + 180) \times \frac{5}{60}$
$\frac{dQ}{dt} = 1380 \times \frac{1}{12} = 115 \ J/s$.

(D) न्यूट्रल तापमान पर,एक थर्मोइलेक्ट्रिक सर्किट में $e.m.f.$ $(E)$ अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $E$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन (differentiation) करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dE}{dt} = 0$
दिया गया है $E = At - Bt^2$,इसलिए $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dt}(At - Bt^2) = 0$
$A - 2Bt = 0$
$t$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$t = \frac{A}{2B}$
अतः,न्यूट्रल तापमान $\frac{A}{2B}$ है।

(B) उदासीन तापमान पर,थर्मल $emf$ $(e)$ अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $emf$ समीकरण का तापमान $(t)$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{de}{dt} = \frac{d}{dt}(at + \frac{1}{2}bt^2) = a + bt$
अधिकतम स्थिति के लिए अवकलज को शून्य रखने पर:
$a + bt_n = 0$
उदासीन तापमान $(t_n)$ के लिए हल करने पर:
$t_n = -a/b$
अतः,उदासीन तापमान $-a/b$ है।

(A) थर्मोकपल में थर्मो $e.m.f.$ $E$ को $E = \alpha\theta + \frac{1}{2}\beta\theta^2$ संबंध द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ गर्म जंक्शन का तापमान $^{\circ}C$ में है और ठंडा जंक्शन $0\,^{\circ}C$ पर है।
दिए गए समीकरण $E = 14\theta - 0.02\theta^2$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $\alpha = 14$ और $\frac{1}{2}\beta = -0.02$ प्राप्त होता है।
अतः,$\beta = -0.04$ है।
उदासीन तापमान $\theta_n$ वह तापमान है जिस पर थर्मो $e.m.f.$ अधिकतम होता है,जो तब होता है जब $\frac{dE}{d\theta} = 0$ हो।
$\frac{dE}{d\theta} = 14 - 0.04\theta = 0$ है।
$\theta$ के लिए हल करने पर,हमें $\theta_n = \frac{14}{0.04} = 350\,^{\circ}C$ प्राप्त होता है।

(D) थर्मो $e.m.f.$ का समीकरण $E = a\theta + b\theta^2$ है।
उदासीन तापमान $\theta_n$ वह तापमान है जहाँ थर्मो $e.m.f.$ अधिकतम होता है,अर्थात $\frac{dE}{d\theta} = 0$।
$\frac{dE}{d\theta} = a + 2b\theta = 0$।
$\theta_n = -\frac{a}{2b}$।
दिया गया है कि $\frac{a}{b} = 700\,^{\circ}C$,इसलिए:
$\theta_n = -\frac{1}{2} \times (700\,^{\circ}C) = -350\,^{\circ}C$।
चूंकि एक मानक थर्मोकपल के लिए उदासीन तापमान कोल्ड जंक्शन के तापमान $(0\,^{\circ}C)$ से अधिक होना चाहिए,इसलिए ऋणात्मक मान यह दर्शाता है कि इस विशिष्ट थर्मोकपल के लिए कोई भी उदासीन तापमान भौतिक रूप से संभव नहीं है।

(A) पानी का द्रव्यमान $m = \text{घनत्व} \times \text{आयतन} = 1\, kg/L \times 2\, L = 2\, kg$ है।
तापमान बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q = mc\Delta T$ है।
$Q = 2\, kg \times 4.2 \times 10^3\, J/(kg \cdot K) \times (77 - 27)\, K = 2 \times 4200 \times 50 = 420,000\, J$ है।
पानी को दी गई शुद्ध शक्ति $P_{\text{net}} = P_{\text{coil}} - P_{\text{loss}} = 1000\, W - 160\, W = 840\, W$ है।
आवश्यक समय $t = Q / P_{\text{net}} = 420,000 / 840 = 500\, s$ है।
मिनटों में रूपांतरण: $500\, s = 8\, \min\, 20\, s$।

(A) थर्मोकपल में थर्मोइलेक्ट्रिक इलेक्ट्रोमोटिव फोर्स $E$ को संबंध $E = \alpha \theta + \frac{1}{2} \beta \theta^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ गर्म और ठंडे जंक्शनों के बीच का तापमान अंतर है।
थर्मोइलेक्ट्रिक पावर $P$ को तापमान अंतर के सापेक्ष थर्मोइलेक्ट्रिक इलेक्ट्रोमोटिव फोर्स के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है,अर्थात $P = \frac{dE}{d\theta}$।
$E$ के व्यंजक का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P = \frac{d}{d\theta} (\alpha \theta + \frac{1}{2} \beta \theta^2) = \alpha + \beta \theta$।
यहाँ,$\alpha$ और $\beta$ थर्मोकपल सामग्री के लिए विशिष्ट स्थिरांक हैं। चूंकि थर्मोकपल के लिए $\beta$ आमतौर पर ऋणात्मक होता है,इसलिए समीकरण $P = \alpha + \beta \theta$ एक ऋणात्मक ढलान के साथ रैखिक संबंध का प्रतिनिधित्व करता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = P$,$x = \theta$,$m = \beta$,और $c = \alpha$,हम देख सकते हैं कि थर्मोइलेक्ट्रिक पावर बनाम तापमान अंतर का ग्राफ एक ऋणात्मक ढलान वाली सीधी रेखा है।
इसलिए,विकल्प $A$ में दिया गया ग्राफ इस रैखिक परिवर्तन का सही प्रतिनिधित्व करता है।

(A) आइसक्रीम को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊर्जा $Q = m \times L$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $m = 20 \, g$ और $L = 80 \, cal/g$ है।
$Q = 20 \, g \times 80 \, cal/g = 1600 \, cal$.
इस ऊर्जा को जूल में बदलने पर: $Q = 1600 \times 4.2 \, J = 6720 \, J$.
लिया गया समय $t = 5 \, \text{मिनट} = 5 \times 60 \, s = 300 \, s$ है।
शक्ति $P = \frac{W}{t} = \frac{6720 \, J}{300 \, s} = 22.4 \, W$.
शक्ति को हॉर्स पावर $(HP)$ में बदलने के लिए, हम $1 \, HP = 746 \, W$ का उपयोग करते हैं।
$P = \frac{22.4}{746} \, HP \approx 0.03 \, HP$.

(C) तापमान बढ़ने पर ठोस,तरल और गैसों में ऊष्मीय प्रसार होता है।
सूत्र $\text{घनत्व} = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{आयतन}}$ के अनुसार,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,पदार्थ का आयतन बढ़ता है जबकि द्रव्यमान स्थिर रहता है।
इसलिए,पदार्थ का घनत्व कम हो जाता है।

(A) $h$ ऊँचाई पर बर्फ के टुकड़े की स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में और प्रभाव के बाद ऊष्मा में परिवर्तित हो जाती है।
मान लीजिए बर्फ का द्रव्यमान $m$ है और पिघलने वाले बर्फ का अंश $k$ है।
स्थितिज ऊर्जा $PE = mgh$ है।
बर्फ के $k$ अंश को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q = k \cdot m \cdot L$ है।
ऊर्जा संरक्षण के अनुसार: $mgh = kmL$।
इसलिए,$k = \frac{gh}{L}$।
यहाँ $g = 10 \ m/s^{2}$,$h = 1000 \ m$,और $L = 3.36 \times 10^{5} \ J/kg$ दिया गया है।
$k = \frac{10 \times 1000}{3.36 \times 10^{5}} = \frac{10000}{336000} = \frac{1}{33.6} \approx \frac{1}{33}$।

(C) पानी का घनत्व $4 \text{ } ^\circ C$ पर अधिकतम होता है।
$4 \text{ } ^\circ C$ से अधिक तापमान पर,ऊष्मीय प्रसार के कारण पानी का आयतन बढ़ता है।
$4 \text{ } ^\circ C$ से कम तापमान पर,पानी के असामान्य प्रसार (anomalous expansion) के कारण भी पानी का आयतन बढ़ता है।
चूंकि दोनों स्थितियों में (गर्म करने या ठंडा करने पर) पानी का आयतन बढ़ता है,इसलिए पानी बीकर से बाहर छलक जाएगा।

(B) तापमान में वृद्धि के कारण छड़ की लंबाई में परिवर्तन $\Delta l = \alpha l \Delta \theta$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,लंबाई में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta l}{l} = \alpha \Delta \theta$ है।
सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ होता है।
इसका अर्थ है कि $T \propto l^{1/2}$।
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta l}{l}$ प्राप्त होता है।
$\frac{\Delta l}{l}$ के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\alpha = 2 \times 10^{-6} {\circ}C^{-1}$ और $\Delta \theta = 10^{\circ}C$ दिया गया है,
इसलिए $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-6}) \times 10 = 10^{-5}$।
प्रतिशत परिवर्तन ज्ञात करने के लिए,$100$ से गुणा करें:
$\frac{\Delta T}{T} \times 100 = 10^{-5} \times 100 = 10^{-3} \%$.
अतः,आवर्तकाल में प्रतिशत परिवर्तन $1 \times 10^{-3} \%$ है।

(C) जब गोली प्रस्थान बिंदु पर वापस आती है तो उसकी गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ होती है।
यहाँ $m = 50 \ g = 0.05 \ kg$ और $v = 840 \ m/s$ है।
$K = \frac{1}{2} \times 0.05 \times (840)^2 = 17640 \ J$.
इस ऊर्जा को कैलोरी में बदलने पर $(1 \ cal = 4.2 \ J)$: $Q_1 = \frac{17640}{4.2} = 4200 \ cal$.
इसके अतिरिक्त,गोली $30^{\circ}C$ से $0^{\circ}C$ तक ठंडी होती है,जो ऊष्मा $Q_2 = mc\Delta T$ मुक्त करती है।
$Q_2 = 50 \times 0.02 \times (30 - 0) = 30 \ cal$.
कुल उपलब्ध ऊष्मा $Q = Q_1 + Q_2 = 4200 + 30 = 4230 \ cal$.
$Q = mL_f$ सूत्र का उपयोग करते हुए,जहाँ $L_f = 80 \ cal/g$:
$m_{ice} = \frac{4230}{80} = 52.875 \ g$.

(B) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,ऊष्मा हानि की दर तापमान के अंतर के समानुपाती होती है। समान तापमान सीमा के लिए,कुल ऊष्मा हानि प्रणाली की ऊष्मा धारिता के समानुपाती होती है।
सूत्र: $\frac{W + m_1 s_1}{t_1} = \frac{W + m_2 s_2}{t_2}$
यहाँ,$W = 5 \times 10^{-3} \ kg$ (जल तुल्यांक),
$m_1 = 25 \times 10^{-3} \ kg$ (पानी का द्रव्यमान),$s_1 = 1 \ cal/g^{\circ}C$ (पानी की विशिष्ट ऊष्मा),
$m_2 = 25 \times 10^{-3} \ kg$ (तारपीन के तेल का द्रव्यमान),$s_2 = ?$ (तारपीन के तेल की विशिष्ट ऊष्मा),
$t_1 = 3 \ min$,$t_2 = 2 \ min$.
मान रखने पर:
$\frac{5 \times 10^{-3} + 25 \times 10^{-3} \times 1}{3} = \frac{5 \times 10^{-3} + 25 \times 10^{-3} \times s_2}{2}$
$\frac{30 \times 10^{-3}}{3} = \frac{5 \times 10^{-3} (1 + 5s_2)}{2}$
$10 \times 10^{-3} = 2.5 \times 10^{-3} (1 + 5s_2)$
$4 = 1 + 5s_2$
$3 = 5s_2 \implies s_2 = 0.6 \ cal/g^{\circ}C$.

(C) पानी का घनत्व $4^{\circ}C$ पर अधिकतम होता है,जिसका अर्थ है कि पानी के एक निश्चित द्रव्यमान का आयतन $4^{\circ}C$ पर न्यूनतम होता है।
जब पानी को $4^{\circ}C$ से ऊपर गर्म किया जाता है,तो थर्मल विस्तार के कारण इसका आयतन बढ़ जाता है।
जब पानी को $4^{\circ}C$ से नीचे ठंडा किया जाता है,तो पानी के असामान्य विस्तार के कारण भी इसका आयतन बढ़ जाता है।
चूंकि बीकर $4^{\circ}C$ पर पहले से ही भरा हुआ है,इसलिए किसी भी स्थिति में आयतन में वृद्धि होने पर पानी ओवरफ्लो हो जाएगा।
अतः,यदि पानी को $4^{\circ}C$ से ऊपर गर्म किया जाए या $4^{\circ}C$ से नीचे ठंडा किया जाए,तो पानी ओवरफ्लो हो जाएगा।

(A) $0^{\circ}C$ पर $5 \, g$ बर्फ को $100^{\circ}C$ पर पानी में बदलने के लिए आवश्यक ऊष्मा:
$Q_1 = m_i L_f + m_i c_w \Delta T$
$Q_1 = (5 \times 80) + (5 \times 1 \times 100) = 400 + 500 = 900 \, cal$.
$100^{\circ}C$ पर $5 \, g$ भाप द्वारा $100^{\circ}C$ पर पानी में संघनित होने पर मुक्त ऊष्मा:
$Q_2 = m_s L_v = 5 \times 540 = 2700 \, cal$.
चूंकि $Q_2 > Q_1$,भाप के पास बर्फ को पिघलाने और उसके तापमान को $100^{\circ}C$ तक बढ़ाने के लिए पर्याप्त ऊष्मा है।
इसलिए,मिश्रण का अंतिम तापमान $100^{\circ}C$ होगा।

(A) बर्फ का द्रव्यमान $m = 40 \; g = 0.04 \; kg$.
चरण $1$: बर्फ का तापमान $-20^{\circ} C$ से $0^{\circ} C$ तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा:
$Q_1 = m \cdot c_{\text{ice}} \cdot \Delta T = 0.04 \times 2100 \times 20 = 1680 \; J$.
चरण $2$: $0^{\circ} C$ पर बर्फ को $0^{\circ} C$ पर पानी में पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा:
$Q_2 = m \cdot L_{\text{ice}} = 0.04 \times 0.336 \times 10^6 = 13440 \; J$.
चरण $3$: पानी का तापमान $0^{\circ} C$ से $20^{\circ} C$ तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा:
$Q_3 = m \cdot c_{\text{water}} \cdot \Delta T = 0.04 \times 4200 \times 20 = 3360 \; J$.
कुल आवश्यक ऊष्मा $Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 1680 + 13440 + 3360 = 18480 \; J$.