$\sin^2 5^\circ + \sin^2 10^\circ + \sin^2 15^\circ + \dots + \sin^2 85^\circ + \sin^2 90^\circ$ का मान ज्ञात कीजिए।

समीकरण $2 \cos ^{2} \left( \frac{x}{2} \right) \sin ^{2} x = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ के लिए $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ का

यदि $x = \sec \phi - \tan \phi$ और $y = \csc \phi + \cot \phi$ है,तो:

किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$S_n: (0, \infty) \rightarrow R$ को $S_n(x) = \sum_{k=1}^n \cot^{-1}\left(\frac{1+k(k+1)x^2}{x}\right)$ द्वारा परिभाषित किया गया है,जहाँ किसी भी $x \in R$ के लिए,$\cot^{-1} x \in (0, \pi)$ और $\tan^{-1} x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है?
$(A)$ $S_{10}(x) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}\left(\frac{1+11x^2}{10x}\right)$,सभी $x > 0$ के लिए
$(B)$ $\lim_{n \rightarrow \infty} \cot(S_n(x)) = x$,सभी $x > 0$ के लिए
$(C)$ समीकरण $S_3(x) = \frac{\pi}{4}$ का $(0, \infty)$ में एक मूल है
$(D)$ $\tan(S_n(x)) \leq \frac{1}{2}$,सभी $n \geq 1$ और $x > 0$ के लिए

$\tan 9^\circ - \tan 27^\circ - \tan 63^\circ + \tan 81^\circ = $

$4 \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{\pi}{5} \cos \frac{2 \pi}{7} \cos \frac{2 \pi}{5} \cos \frac{4 \pi}{7} = $