Maximum and minimum values of trigonometrical functions, Conditional trigonometrical identities Questions in Hindi

(C) माना $f(\theta) = 8 \sec^2 \theta + 2 \cos^2 \theta$.
धनात्मक पदों के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \ge GM)$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{8 \sec^2 \theta + 2 \cos^2 \theta}{2} \ge \sqrt{8 \sec^2 \theta \times 2 \cos^2 \theta}$
$\frac{8 \sec^2 \theta + 2 \cos^2 \theta}{2} \ge \sqrt{16 \sec^2 \theta \cos^2 \theta}$
चूँकि $\sec^2 \theta \cos^2 \theta = 1$,इसलिए:
$\frac{8 \sec^2 \theta + 2 \cos^2 \theta}{2} \ge \sqrt{16}$
$8 \sec^2 \theta + 2 \cos^2 \theta \ge 2 \times 4$
$8 \sec^2 \theta + 2 \cos^2 \theta \ge 8$.
अतः,न्यूनतम मान $8$ है।

(A) हम जानते हैं कि किन्हीं भी धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,समांतर माध्य,गुणोत्तर माध्य से बड़ा या उसके बराबर होता है,अर्थात् $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$.
माना $a = \sqrt{\frac{x}{y}}$ और $b = \sqrt{\frac{y}{x}}$.
तब $\frac{1}{2} \left( \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} \right) \ge \sqrt{\sqrt{\frac{x}{y}} \cdot \sqrt{\frac{y}{x}}} = \sqrt{1} = 1$.
चूंकि $\sin \theta = \frac{1}{2} \left( \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} \right)$ और हम जानते हैं कि सभी $\theta \in \mathbb{R}$ के लिए $\sin \theta \le 1$,इसलिए व्यंजक का एकमात्र संभावित मान $1$ है।
अतः,$\frac{1}{2} \left( \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} \right) = 1$.
इसका अर्थ है $\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = 2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 2 = 4$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2$ हो जाता है।
$xy$ से गुणा करने पर,हमें $x^2 + y^2 = 2xy$ प्राप्त होता है,या $(x-y)^2 = 0$.
अतः,$x = y$.

(C) दिया गया है $\alpha + \beta = \pi \implies \alpha = \pi - \beta \implies \tan \alpha = -\tan \beta$.
साथ ही,$\beta + \gamma = \alpha$.
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर: $\tan(\beta + \gamma) = \tan \alpha$.
$\frac{\tan \beta + \tan \gamma}{1 - \tan \beta \tan \gamma} = \tan \alpha$.
$\tan \beta = -\tan \alpha$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{-\tan \alpha + \tan \gamma}{1 - (-\tan \alpha) \tan \gamma} = \tan \alpha$.
$-\tan \alpha + \tan \gamma = \tan \alpha(1 + \tan \alpha \tan \gamma) = \tan \alpha + \tan^2 \alpha \tan \gamma$.
$\tan^2 \alpha \tan \gamma = -2 \tan \alpha + \tan \gamma$.
चूंकि $\tan \alpha = -\tan \beta$,इसलिए $\tan^2 \alpha \tan \gamma = 2 \tan \beta + \tan \gamma$.
$\tan^2 \alpha = \frac{2 \tan \beta + \tan \gamma}{\tan \gamma}$.
चूंकि $\alpha = \pi - \beta$ और $\beta, \gamma$ धनात्मक हैं,$\alpha$ दूसरे चतुर्थांश में है,इसलिए $\tan \alpha$ ऋणात्मक होगा।
अतः,$\tan \alpha = -\sqrt{\frac{2 \tan \beta + \tan \gamma}{\tan \gamma}}$.

(B) दिया गया है $E = \frac{25\sec^4 x - 50\sec^2 x + 74}{\tan^2 x}$.
सर्वसमिका $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ का उपयोग करते हुए:
$E = \frac{25(\sec^2 x - 1)^2 + 49}{\tan^2 x}$
चूंकि $\sec^2 x - 1 = \tan^2 x$,इसलिए:
$E = \frac{25(\tan^2 x)^2 + 49}{\tan^2 x}$
$E = 25\tan^2 x + \frac{49}{\tan^2 x}$
समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका $(AM \ge GM)$ का उपयोग करने पर:
$E \ge 2 \sqrt{25\tan^2 x \cdot \frac{49}{\tan^2 x}}$
$E \ge 2 \sqrt{25 \cdot 49}$
$E \ge 2 \cdot 5 \cdot 7 = 70$
अतः,न्यूनतम मान $70$ है.

(B) हम जानते हैं कि किन्हीं भी वास्तविक संख्याओं $x$ और $y$ के लिए,समांतर माध्य,गुणोत्तर माध्य से बड़ा या उसके बराबर होता है,अर्थात $\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{(x+y)^2}{4} \geq xy$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{4xy}{(x+y)^2} \leq 1$.
सभी वास्तविक $\theta$ के लिए $cosec^2 \theta \geq 1$ होता है,इसलिए समीकरण $cosec^2 \theta = \frac{4xy}{(x+y)^2}$ तभी सत्य हो सकता है जब दोनों पक्ष $1$ के बराबर हों।
यह तब होता है जब $\frac{4xy}{(x+y)^2} = 1$,जो $4xy = (x+y)^2$ या $(x-y)^2 = 0$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $x = y$.
इसके अतिरिक्त,$cosec^2 \theta$ को परिभाषित होने के लिए,$x$ और $y$ का शून्य नहीं होना आवश्यक है (चूंकि $x=y$,$x \neq 0$ का अर्थ है $y \neq 0$ और $x+y \neq 0$)।

(B) माना $E = \sin \theta + \cos \theta + \sin 2\theta$.
माना $t = \sin \theta + \cos \theta$. तब $t^2 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = 1 + \sin 2\theta$,अतः $\sin 2\theta = t^2 - 1$.
$t = \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$ का परिसर $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ है।
$t$ का मान व्यंजक में रखने पर,हमें $E = t + t^2 - 1 = t^2 + t - 1$ प्राप्त होता है।
यह $t$ में एक द्विघात समीकरण है जो ऊपर की ओर खुलता है। $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ अंतराल पर अधिकतम मान सीमा $t = \sqrt{2}$ पर प्राप्त होता है।
$E_{\max} = (\sqrt{2})^2 + \sqrt{2} - 1 = 2 + \sqrt{2} - 1 = 1 + \sqrt{2}$.
ध्यान दें कि $1 + \sqrt{2} = \tan(\frac{3\pi}{8})$।

(C) व्यंजक $99 \cos 2\theta - 20 \sin 2\theta$,$a \cos x + b \sin x$ के रूप में है,जो $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ के परिसर में स्थित होता है।
यहाँ,$a = 99$ और $b = -20$ है।
$\sqrt{99^2 + (-20)^2} = \sqrt{9801 + 400} = \sqrt{10201} = 101$ है।
अतः,$-101 \leq 99 \cos 2\theta - 20 \sin 2\theta \leq 101$ है।
समीकरण का हल होने के लिए,$-101 \leq 20p + 35 \leq 101$ होना चाहिए।
सभी पक्षों से $35$ घटाने पर: $-136 \leq 20p \leq 66$ प्राप्त होता है।
$20$ से विभाजित करने पर: $-6.8 \leq p \leq 3.3$ प्राप्त होता है।
$p$ के पूर्णांक मान $\{-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ हैं।
ऐसे पूर्णांक मानों की कुल संख्या $10$ है।

(B) दिया गया समीकरण $\frac{x^2 + 5}{2} = x - 2\cos(ax + b)$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$2\cos(ax + b) = x - \frac{x^2 + 5}{2}$ प्राप्त होता है।
$-\frac{1}{2}$ से गुणा करने पर,$-\cos(ax + b) = \frac{x^2 - 2x + 5}{4}$ प्राप्त होता है।
इसे $-\cos(ax + b) = \frac{(x - 1)^2}{4} + 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
हम जानते हैं कि $-\cos(ax + b) \in [-1, 1]$ होता है।
साथ ही,सभी वास्तविक $x$ के लिए $\frac{(x - 1)^2}{4} + 1 \geq 1$ होता है।
समीकरण का हल होने के लिए,दोनों पक्षों को $1$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$\frac{(x - 1)^2}{4} + 1 = 1 \Rightarrow x = 1$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ को $-\cos(ax + b) = 1$ में रखने पर,$\cos(ax + b) = -1$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $ax + b = (2k + 1)\pi$,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
$x = 1$ के लिए,$a + b = (2k + 1)\pi$ प्राप्त होता है।
$k = 0$ लेने पर,$a + b = \pi$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $y = \frac{7 + 6 \tan x - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$.
$1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ का उपयोग करने पर,$y = (7 + 6 \tan x - \tan^2 x) \cos^2 x$.
$y = 7 \cos^2 x + 6 \sin x \cos x - \sin^2 x$.
$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$,$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$,और $\sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$y = 7 \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right) + 3 \sin 2x - \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right)$.
$y = \frac{7 + 7 \cos 2x - 1 + \cos 2x}{2} + 3 \sin 2x = 4 \cos 2x + 3 \sin 2x + 3$.
$a \cos \theta + b \sin \theta$ का अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2}$ होता है।
यहाँ,अधिकतम मान $\sqrt{4^2 + 3^2} + 3 = 5 + 3 = 8$ है।
अतः,$\lambda = 8$.
हमें $\log_{\sqrt{2}}(8) = \log_{\sqrt{2}}((\sqrt{2})^6) = 6$ प्राप्त होता है।

(D) माना $p = \sin x + \cos x$. तब $p^2 = 1 + 2 \sin x \cos x$,जिसका अर्थ है $\sin x \cos x = \frac{p^2 - 1}{2}$.
हम जानते हैं कि $\tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{p^2 - 1}$.
साथ ही,$\sec x + \csc x = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x \cos x} = \frac{2p}{p^2 - 1}$.
फलन में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $f(x) = |p + \frac{2}{p^2 - 1} + \frac{2p}{p^2 - 1}| = |p + \frac{2(1 + p)}{(p - 1)(p + 1)}| = |p + \frac{2}{p - 1}|$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $f(x) = |(p - 1) + \frac{2}{p - 1} + 1|$.
$p - 1 > 0$ के लिए,$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$(p - 1) + \frac{2}{p - 1} \geq 2\sqrt{2}$.
अतः,$f(x) \geq 2\sqrt{2} + 1$.

(B) फलन $f(x) = \cos(\tan x)$ का परिसर $[-1, 1]$ है।
चूंकि साइन फलन $g(u) = \sin u$ अंतराल $[-1, 1]$ पर एक निरंतर वर्धमान फलन है,इसलिए संयुक्त फलन $\sin(\cos(\tan x))$ का अधिकतम मान तब प्राप्त होगा जब आंतरिक फलन $\cos(\tan x)$ का मान अधिकतम हो।
$\cos(\tan x)$ का अधिकतम मान $1$ है (जो $\tan x = 0$ होने पर प्राप्त होता है)।
अतः,$\sin(\cos(\tan x))$ का अधिकतम मान $\sin(1)$ है।

(D) माना $f(x) = \sin x$,जहाँ $x \in (0, \pi)$ है।
चूँकि $f''(x) = -\sin x < 0$,इसलिए $f(x)$ एक अवतल (concave down) फलन है।
जेन्सेन की असमिका (Jensen's Inequality) के अनुसार,$\frac{\sin A + \sin B + \sin(C - \frac{\pi}{2})}{3} \leq \sin\left(\frac{A + B + C - \frac{\pi}{2}}{3}\right)$ है।
चूँकि $A + B + C = \pi$,इसलिए $\frac{\sin A + \sin B - \cos C}{3} \leq \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$\sin A + \sin B - \cos C \leq \frac{3}{2}$ है।
अधिकतम मान $\frac{3}{2}$ है।

(A) माना $S = \cos 2\theta + \cos \theta$.
सर्वसमिका $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर:
$S = 2\cos^2 \theta - 1 + \cos \theta$.
$\cos \theta$ के पदों में पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$S = 2(\cos^2 \theta + \frac{1}{2}\cos \theta) - 1$.
$S = 2(\cos^2 \theta + \frac{1}{2}\cos \theta + \frac{1}{16} - \frac{1}{16}) - 1$.
$S = 2(\cos \theta + \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{8} - 1$.
$S = 2(\cos \theta + \frac{1}{4})^2 - \frac{9}{8}$.
चूंकि $(\cos \theta + \frac{1}{4})^2$ का न्यूनतम मान $0$ है (जो $\cos \theta = -1/4$ पर प्राप्त होता है,जो $\cos \theta$ के लिए एक मान्य मान है),इसलिए $S$ का न्यूनतम मान $-9/8$ है।

(A) माना $f(\theta) = 2\sin^2\theta - 3\sin\theta$. माना $x = \sin\theta$,जहाँ $x \in [-1, 1]$.
अतः व्यंजक $g(x) = 2x^2 - 3x$ हो जाता है।
इस परवलय का शीर्ष $x = -b/(2a) = 3/4$ पर है।
चूँकि $3/4 \in [-1, 1]$,न्यूनतम मान $x = 3/4$ पर प्राप्त होता है:
$g(3/4) = 2(9/16) - 9/4 = -9/8$.
अधिकतम मान अंतराल के अंतिम बिंदुओं $x = -1$ और $x = 1$ पर प्राप्त होता है।
$x = -1$ के लिए: $g(-1) = 2 + 3 = 5$.
$x = 1$ के लिए: $g(1) = 2 - 3 = -1$.
अतः,अधिकतम मान $5$ और न्यूनतम मान $-9/8$ है।

(A) हमें $0 < \theta < \pi$ के लिए $f(\theta) = 3 \sin \theta + \text{cosec}^3 \theta$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना है।
चार धनात्मक पदों $\sin \theta, \sin \theta, \sin \theta, \text{cosec}^3 \theta$ के लिए $A.M. \ge G.M.$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin \theta + \sin \theta + \sin \theta + \text{cosec}^3 \theta}{4} \ge \sqrt[4]{(\sin \theta \cdot \sin \theta \cdot \sin \theta \cdot \text{cosec}^3 \theta)}$
$\frac{3 \sin \theta + \text{cosec}^3 \theta}{4} \ge \sqrt[4]{(\sin^3 \theta \cdot \text{cosec}^3 \theta)}$
चूंकि $\sin \theta \cdot \text{cosec} \theta = 1$,इसलिए:
$\frac{3 \sin \theta + \text{cosec}^3 \theta}{4} \ge \sqrt[4]{1^3} = 1$
$3 \sin \theta + \text{cosec}^3 \theta \ge 4$
अतः,न्यूनतम मान $4$ है।

(A) दिया गया समीकरण $\sin^2 \theta = \frac{x^2 + y^2}{2xy}$ है।
चूंकि $\sin^2 \theta \leq 1$,इसलिए $\frac{x^2 + y^2}{2xy} \leq 1$ होना चाहिए।
साथ ही,$\sin^2 \theta$ के गैर-ऋणात्मक होने के लिए,$x$ और $y$ का चिह्न समान होना चाहिए,इसलिए $\frac{x^2 + y^2}{2xy} > 0$।
अंकगणितीय माध्य-ज्यामितीय माध्य असमानता के अनुसार,धनात्मक $x, y$ के लिए,$\frac{x^2 + y^2}{2} \geq \sqrt{x^2 y^2} = |xy|$।
अतः,जब $x, y$ का चिह्न समान हो तो $\frac{x^2 + y^2}{2xy} \geq 1$ होता है।
चूंकि हमें $\frac{x^2 + y^2}{2xy} \leq 1$ और $\frac{x^2 + y^2}{2xy} \geq 1$ दोनों शर्तों को पूरा करना है,इसलिए $\frac{x^2 + y^2}{2xy} = 1$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $x^2 + y^2 = 2xy$,जो सरल होकर $(x - y)^2 = 0$ बनता है,अतः $x = y$।

(A) हम जानते हैं कि $n \geq 1$ और $x \in \mathbb{R}$ के लिए,$0 \leq \sin^2 x \leq 1$ और $0 \leq \cos^2 x \leq 1$ होता है।
चूंकि $0 \leq \sin^2 x \leq 1$,इसलिए $0 \leq \sin^{2n} x \leq \sin^2 x$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$0 \leq \cos^{2n} x \leq \cos^2 x$ प्राप्त होता है।
इन असमिकाओं को जोड़ने पर,$0 \leq \sin^{2n} x + \cos^{2n} x \leq \sin^2 x + \cos^2 x$ मिलता है।
चूंकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,इसलिए $0 < \sin^{2n} x + \cos^{2n} x \leq 1$ होता है।
विशेष रूप से,न्यूनतम मान $1/2^{n-1}$ ($x = \pi/4$ पर) और अधिकतम मान $1$ ($x = 0$ या $x = \pi/2$ पर) है।

(D) दिया गया है कि $\sin \theta_1 + \sin \theta_2 + \sin \theta_3 = 3$ है।
चूंकि साइन फलन का अधिकतम मान $1$ होता है,इसलिए यह समीकरण तभी सत्य है जब $\sin \theta_1 = 1$,$\sin \theta_2 = 1$,और $\sin \theta_3 = 1$ हो।
इसका अर्थ है कि $\theta_1 = \theta_2 = \theta_3 = \frac{\pi}{2}$ है।
अब,कोसाइन का योग ज्ञात करने पर:
$\cos \theta_1 + \cos \theta_2 + \cos \theta_3 = \cos(\frac{\pi}{2}) + \cos(\frac{\pi}{2}) + \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 + 0 + 0 = 0$।

(B) माना $f(\theta) = 12 \sin \theta - 9 \sin^2 \theta$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,$x = \sin \theta$ लें,जहाँ $x \in [-1, 1]$.
तब $f(x) = 12x - 9x^2$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करें:
$f'(x) = 12 - 18x$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,$12 - 18x = 0$,जिससे $x = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$.
चूँकि $\frac{2}{3} \in [-1, 1]$,हम इस बिंदु पर फलन का मान ज्ञात करते हैं:
$f\left(\frac{2}{3}\right) = 12\left(\frac{2}{3}\right) - 9\left(\frac{2}{3}\right)^2 = 8 - 9\left(\frac{4}{9}\right) = 8 - 4 = 4$.
चूँकि $f''(x) = -18 < 0$,फलन का $x = \frac{2}{3}$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
अतः,अधिकतम मान $4$ है।

(C) हम जानते हैं कि $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$.
माना $a = \sin^2x$ और $b = \cos^2x$.
तब $K = (\sin^2x + \cos^2x)^3 - 3\sin^2x\cos^2x(\sin^2x + \cos^2x)$.
चूंकि $\sin^2x + \cos^2x = 1$,इसलिए $K = 1 - 3\sin^2x\cos^2x$.
$4$ से गुणा और भाग करने पर,हमें प्राप्त होता है $K = 1 - \frac{3}{4}(4\sin^2x\cos^2x) = 1 - \frac{3}{4}(\sin 2x)^2$.
चूंकि $0 \leq \sin^2 2x \leq 1$,इसलिए $0 \leq \frac{3}{4}\sin^2 2x \leq \frac{3}{4}$.
$-1$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $-\frac{3}{4} \leq -\frac{3}{4}\sin^2 2x \leq 0$.
सभी भागों में $1$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है $1 - \frac{3}{4} \leq 1 - \frac{3}{4}\sin^2 2x \leq 1 + 0$.
अतः,$\frac{1}{4} \leq K \leq 1$.
इसलिए,$K \in [\frac{1}{4}, 1]$.

(B) दिया गया व्यंजक: $f(\theta) = 5 \cos \theta + 3 \cos \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right) - 1$
सर्वसमिका $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$f(\theta) = 5 \cos \theta + 3 \left( \cos \theta \cdot \cos \frac{\pi}{3} - \sin \theta \cdot \sin \frac{\pi}{3} \right) - 1$
$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ और $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ रखने पर:
$f(\theta) = 5 \cos \theta + 3 \left( \frac{1}{2} \cos \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta \right) - 1$
$f(\theta) = \frac{13}{2} \cos \theta - \frac{3\sqrt{3}}{2} \sin \theta - 1$
यह व्यंजक $a \cos \theta + b \sin \theta + c$ के रूप में है,जिसका अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2} + c$ होता है:
$\text{अधिकतम मान} = \sqrt{\left( \frac{13}{2} \right)^2 + \left( -\frac{3\sqrt{3}}{2} \right)^2} - 1$
$\text{अधिकतम मान} = \sqrt{\frac{169}{4} + \frac{27}{4}} - 1 = \sqrt{49} - 1 = 6$

(C) दिया गया है कि $A + B + C = \frac{\pi}{2}$ है।
इसका अर्थ है $A + B = \frac{\pi}{2} - C$ है।
दोनों पक्षों में टैन (tangent) लेने पर,$\tan(A + B) = \tan(\frac{\pi}{2} - C)$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ और $\tan(\frac{\pi}{2} - C) = \cot C = \frac{1}{\tan C}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = \frac{1}{\tan C}$।
वज्र-गुणन करने पर:
$\tan C(\tan A + \tan B) = 1 - \tan A \tan B$।
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$\tan C \tan A + \tan B \tan C = 1 - \tan A \tan B$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A = 1$।

(A) माना $f(\theta) = 2 \sin^2 \theta + 8 \csc^2 \theta$.
यहाँ $x = \sin^2 \theta$ लेने पर,जहाँ $x \in (0, 1]$.
$f(x) = 2x + \frac{8}{x}$.
$f'(x) = 2 - \frac{8}{x^2}$.
चूँकि $f'(x) < 0$,फलन $x \in (0, 1]$ के लिए एक ह्रासमान फलन है।
अतः,न्यूनतम मान $x = 1$ पर प्राप्त होगा।
$f(1) = 2(1) + \frac{8}{1} = 10$.

(A) माना $f(x) = 4 + \frac{1}{2} \sin^2 2x - 2 \cos^4 x$.
$\sin^2 2x = 4 \cos^2 x (1 - \cos^2 x)$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = 4 + 2 \cos^2 x - 4 \cos^4 x$.
$t = \cos^2 x$ रखने पर,जहाँ $t \in [0, 1]$.
$g(t) = -4t^2 + 2t + 4$.
अधिकतम मान $M$ के लिए $t = \frac{1}{4}$ रखने पर,$M = \frac{17}{4}$.
न्यूनतम मान $m$ के लिए $t = 1$ रखने पर,$m = 2$.
$M - m = \frac{17}{4} - 2 = \frac{9}{4}$.

(A) दिया गया है $A + B = \frac{\pi}{6}$। मान लीजिए $y = \tan A + \tan B$ है।
सर्वसमिका $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{y}{1 - \tan A \tan B}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan A \tan B = 1 - \sqrt{3}y$।
चूंकि $A, B > 0$ और $A+B = \frac{\pi}{6}$ है,इसलिए $\tan A$ और $\tan B$ दोनों धनात्मक हैं,अतः $\tan A \tan B > 0$,जिसका अर्थ है $1 - \sqrt{3}y > 0$,या $y < \frac{1}{\sqrt{3}}$।
$AM \ge GM$ के अनुसार,$\frac{\tan A + \tan B}{2} \ge \sqrt{\tan A \tan B}$।
$y$ का मान रखने पर,$\frac{y}{2} \ge \sqrt{1 - \sqrt{3}y}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{y^2}{4} \ge 1 - \sqrt{3}y$,इसलिए $y^2 + 4\sqrt{3}y - 4 \ge 0$।
$y^2 + 4\sqrt{3}y - 4 = 0$ के मूल $y = \frac{-4\sqrt{3} \pm \sqrt{48 + 16}}{2} = -2\sqrt{3} \pm 4$ हैं।
चूंकि $y > 0$ है,इसलिए $y \ge 4 - 2\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(C) हमें व्यंजक $E = \frac{x^m y^n}{(1 + x^{2m})(1 + y^{2n})}$ दिया गया है।
हम इस व्यंजक को $E = \frac{x^m}{1 + x^{2m}} \times \frac{y^n}{1 + y^{2n}}$ के रूप में लिख सकते हैं।
प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को क्रमशः $x^m$ और $y^n$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E = \frac{1}{\left( \frac{1}{x^m} + x^m \right)} \times \frac{1}{\left( \frac{1}{y^n} + y^n \right)}$.
अंकगणितीय माध्य-ज्यामितीय माध्य ($AM$-$GM$) असमिका के अनुसार,किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या $a$ के लिए,$a + \frac{1}{a} \ge 2$,जहाँ समानता तब होती है जब $a = 1$ हो।
इसलिए,$x^m + \frac{1}{x^m} \ge 2$ और $y^n + \frac{1}{y^n} \ge 2$.
इसका अर्थ है कि $\frac{1}{x^m + \frac{1}{x^m}} \le \frac{1}{2}$ और $\frac{1}{y^n + \frac{1}{y^n}} \le \frac{1}{2}$.
इन असमिकाओं का गुणा करने पर,हमें $E$ का अधिकतम मान $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $f(\theta) = 3 \cos \theta + 5 \sin \left( \theta - \frac{\pi}{6} \right)$.
सर्वसमिका $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$f(\theta) = 3 \cos \theta + 5 \left( \sin \theta \cos \frac{\pi}{6} - \cos \theta \sin \frac{\pi}{6} \right)$
$f(\theta) = 3 \cos \theta + 5 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta - \frac{1}{2} \cos \theta \right)$
$f(\theta) = \frac{5\sqrt{3}}{2} \sin \theta + \frac{1}{2} \cos \theta$.
$a \sin \theta + b \cos \theta$ का अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2}$ होता है।
अधिकतम मान $= \sqrt{\left( \frac{5\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{75}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{76}{4}} = \sqrt{19}$.

(B) यह व्यंजक $y = a \sin x + b \cos x$ के रूप में है।
इस व्यंजक का अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = 3$ और $b = 4$ है।
अतः,अधिकतम मान $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ है।

(A) दिया गया फलन $h(x) = \sin(2x) + 5$ है।
हम जानते हैं कि साइन फलन का परिसर $[-1, 1]$ होता है,इसलिए $-1 \leq \sin(2x) \leq 1$।
असमिका के सभी भागों में $5$ जोड़ने पर:
$-1 + 5 \leq \sin(2x) + 5 \leq 1 + 5$।
$4 \leq \sin(2x) + 5 \leq 6$।
अतः,$h(x)$ का अधिकतम मान $6$ है और न्यूनतम मान $4$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = |\sin 4x + 3|$ है।
हम जानते हैं कि साइन फलन का परिसर $-1 \leq \sin \theta \leq 1$ होता है।
इसलिए,$-1 \leq \sin 4x \leq 1$.
असमिका के प्रत्येक भाग में $3$ जोड़ने पर:
$-1 + 3 \leq \sin 4x + 3 \leq 1 + 3$
$2 \leq \sin 4x + 3 \leq 4$.
चूंकि अंतराल $[2, 4]$ के सभी मान धनात्मक हैं,इसलिए मापांक फलन परिसर में कोई परिवर्तन नहीं करेगा:
$|2| \leq |\sin 4x + 3| \leq |4|$
$2 \leq f(x) \leq 4$.
अतः,अधिकतम मान $4$ है और न्यूनतम मान $2$ है।

(B) माना $f(x) = \sin x + \cos x$ है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम फलन को $f(x) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर,हमें $f(x) = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,इसलिए $f(x)$ का अधिकतम मान $\sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}$ होगा।

हमारे पास है $\text{L.H.S.} = \cos ^{2} x+\cos ^{2}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos ^{2}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\text{L.H.S.} = \frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos(2x + \frac{2\pi}{3})}{2} + \frac{1 + \cos(2x - \frac{2\pi}{3})}{2}$
$= \frac{1}{2} [3 + \cos 2x + \cos(2x + \frac{2\pi}{3}) + \cos(2x - \frac{2\pi}{3})]$
सूत्र $\cos(A+B) + \cos(A-B) = 2\cos A \cos B$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{2} [3 + \cos 2x + 2\cos 2x \cos \frac{2\pi}{3}]$
चूंकि $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$:
$= \frac{1}{2} [3 + \cos 2x + 2\cos 2x(-\frac{1}{2})]$
$= \frac{1}{2} [3 + \cos 2x - \cos 2x]$
$= \frac{3}{2} = \text{R.H.S.}$

(A) $AM \geq GM$ असमिका का उपयोग करते हुए:
$\frac{2^{\sin x} + 2^{\cos x}}{2} \geq \sqrt{2^{\sin x} \cdot 2^{\cos x}}$
$\Rightarrow 2^{\sin x} + 2^{\cos x} \geq 2 \cdot 2^{\frac{\sin x + \cos x}{2}}$
$\Rightarrow 2^{\sin x} + 2^{\cos x} \geq 2^{1 + \frac{\sin x + \cos x}{2}}$
हम जानते हैं कि $\sin x + \cos x$ का न्यूनतम मान $-\sqrt{2}$ है।
यह मान रखने पर:
$\min(2^{\sin x} + 2^{\cos x}) = 2^{1 + \frac{-\sqrt{2}}{2}} = 2^{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = 2^{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}$

(A) दिया गया समीकरण $3 \sin x + 4 \cos x = k + 1$ है।
हम जानते हैं कि फलन $f(x) = a \sin x + b \cos x$ का परिसर $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ होता है।
यहाँ,$a = 3$ और $b = 4$ है,इसलिए परिसर $[-5, 5]$ है।
समीकरण का हल होने के लिए,$k + 1$ का मान इस परिसर के भीतर होना चाहिए:
$-5 \le k + 1 \le 5$
सभी पक्षों से $1$ घटाने पर:
$-6 \le k \le 4$
$k$ के पूर्णांक मान $\{-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ हैं।
ऐसे पूर्णांक मानों की कुल संख्या $11$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = a^{a^{x}} + a^{1-a^{x}}$ है।
हम दूसरे पद को $a^{1-a^{x}} = \frac{a}{a^{a^{x}}}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$f(x) = a^{a^{x}} + \frac{a}{a^{a^{x}}}$.
चूँकि $a > 0$,इसलिए $a^{a^{x}}$ और $\frac{a}{a^{a^{x}}}$ दोनों धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं।
समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \geq GM)$ असमिका के अनुसार,किन्हीं दो धनात्मक संख्याओं $u$ और $v$ के लिए,$u + v \geq 2\sqrt{uv}$ होता है।
मान लीजिए $u = a^{a^{x}}$ और $v = \frac{a}{a^{a^{x}}}$.
तब $f(x) = u + v \geq 2\sqrt{u \cdot v} = 2\sqrt{a^{a^{x}} \cdot \frac{a}{a^{a^{x}}}} = 2\sqrt{a}$.
अतः,न्यूनतम मान $2\sqrt{a}$ है।

(B) दिया गया है $\alpha = \max \{8^{2 \sin 3x} \cdot 4^{4 \cos 3x}\}$ और $\beta = \min \{8^{2 \sin 3x} \cdot 4^{4 \cos 3x}\}$।
हम व्यंजक को $2^{6 \sin 3x} \cdot 2^{8 \cos 3x} = 2^{6 \sin 3x + 8 \cos 3x}$ के रूप में लिख सकते हैं।
$6 \sin 3x + 8 \cos 3x$ का परिसर $[-\sqrt{6^2 + 8^2}, \sqrt{6^2 + 8^2}] = [-10, 10]$ है।
अतः,$\alpha = 2^{10}$ और $\beta = 2^{-10}$।
तब $\alpha^{1/5} = (2^{10})^{1/5} = 2^2 = 4$ और $\beta^{1/5} = (2^{-10})^{1/5} = 2^{-2} = 1/4$।
$8x^2 + bx + c = 0$ के मूल $4$ और $1/4$ हैं।
मूलों का योग: $4 + 1/4 = 17/4 = -b/8 \Rightarrow b = -34$।
मूलों का गुणनफल: $4 \cdot 1/4 = 1 = c/8 \Rightarrow c = 8$।
इसलिए,$c - b = 8 - (-34) = 42$।

(C) दिया गया है $f(x) = \cos 5x + A \cos 4x + B \cos 3x + C \cos 2x + D \cos x + E$.
चूंकि $f(x) = f(2\pi - x)$,इसलिए $f\left(\frac{\pi}{5}\right) = f\left(\frac{9\pi}{5}\right)$,$f\left(\frac{2\pi}{5}\right) = f\left(\frac{8\pi}{5}\right)$,$f\left(\frac{3\pi}{5}\right) = f\left(\frac{7\pi}{5}\right)$,और $f\left(\frac{4\pi}{5}\right) = f\left(\frac{6\pi}{5}\right)$ है।
व्यंजक $T$ को $T = f(0) - 2f\left(\frac{\pi}{5}\right) + 2f\left(\frac{2\pi}{5}\right) - 2f\left(\frac{3\pi}{5}\right) + 2f\left(\frac{4\pi}{5}\right) - f(\pi)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इन बिंदुओं पर $f(x)$ के मान रखने पर,$\pi$ के चारों ओर कोसाइन फलन की समरूपता के कारण $A, C, E$ वाले पद कट जाते हैं।
विशेष रूप से,$f(0) - f(\pi) = 2(1 + B + D)$।
शेष पदों में भी केवल $B$ और $D$ गुणांक ही रहते हैं।
अतः,$T$ केवल $B$ और $D$ पर निर्भर करता है लेकिन $A, C, E$ से स्वतंत्र है।

(A) मान लीजिए $P = \sqrt{|x-y|} + \sqrt{|y-z|} + \sqrt{|z-x|}$ है।
बिना किसी व्यापकता को खोए,मान लीजिए $0 \leq x \leq y \leq z \leq 1$ है।
तब $P = \sqrt{y-x} + \sqrt{z-y} + \sqrt{z-x}$ होगा।
$P$ को अधिकतम करने के लिए,हम $x=0$ और $z=1$ लेते हैं,जिससे $P = \sqrt{y} + \sqrt{1-y} + 1$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $f(y) = \sqrt{y} + \sqrt{1-y} + 1$ जहाँ $y \in [0, 1]$ है।
$y = \sin^2 \theta$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,जहाँ $\theta \in [0, \pi/2]$ है,हमें $f(\theta) = \sin \theta + \cos \theta + 1$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + \pi/4)$ होता है,जिसका अधिकतम मान $\theta = \pi/4$ पर $\sqrt{2}$ होता है।
अतः,$P$ का अधिकतम मान $\sqrt{2} + 1$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\lambda = \cos ^2 2x - 2 \sin ^4 x - 2 \cos ^2 x$
सभी पदों को $\cos x$ में बदलें:
$\lambda = (2 \cos ^2 x - 1)^2 - 2(1 - \cos ^2 x)^2 - 2 \cos ^2 x$
पदों का विस्तार करने पर:
$\lambda = (4 \cos ^4 x - 4 \cos ^2 x + 1) - 2(1 - 2 \cos ^2 x + \cos ^4 x) - 2 \cos ^2 x$
सरल करने पर:
$\lambda = 2 \cos ^4 x - 2 \cos ^2 x - 1$
मान लीजिए $t = \cos ^2 x$,जहाँ $t \in [0, 1]$:
$f(t) = 2t^2 - 2t - 1$
$t \in [0, 1]$ के लिए $f(t)$ का परिसर ज्ञात करें:
$f'(t) = 4t - 2$. $f'(t) = 0$ रखने पर $t = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$f(0) = -1$
$f(1) = -1$
$f(\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2}$
अतः,$\lambda$ का परिसर $[-\frac{3}{2}, -1]$ है।

(B) माना $x = \cos^2 \theta$,जहाँ $x \in [0, 1]$.
तब $\sin^4 \theta = (1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2$.
$f(\theta) = \frac{(1 - 2x + x^2) + 3x}{(1 - 2x + x^2) + x} = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 - x + 1}$.
माना $y = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 - x + 1}$.
$y(x^2 - x + 1) = x^2 + x + 1 \implies x^2(y - 1) - x(y + 1) + (y - 1) = 0$.
$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D \ge 0$.
$D = (y + 1)^2 - 4(y - 1)^2 \ge 0$.
$(y + 1 - 2(y - 1))(y + 1 + 2(y - 1)) \ge 0$.
$(3 - y)(3y - 1) \ge 0 \implies (y - 3)(3y - 1) \le 0$.
अतः,$y \in [1/3, 3]$.
इस प्रकार,$\alpha = 1/3$ और $\beta = 3$.
सार्व अनुपात $r = \frac{\alpha}{\beta} = \frac{1/3}{3} = 1/9$.
अनंत $G.P.$ का योग $S = \frac{a}{1 - r} = \frac{64}{1 - 1/9} = \frac{64}{8/9} = 64 \times \frac{9}{8} = 72$.

(A) माना $f(\theta) = \sin^2 \theta + 3 \sin \theta \cos \theta + 5 \cos^2 \theta$ है।
$\frac{1}{f(\theta)}$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हमें $f(\theta)$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना होगा।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:
$f(\theta) = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} + \frac{3}{2} \sin 2\theta + 5 \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$
$f(\theta) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2\theta + \frac{3}{2} \sin 2\theta + \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cos 2\theta$
$f(\theta) = 3 + 2 \cos 2\theta + \frac{3}{2} \sin 2\theta$
व्यंजक $a \cos x + b \sin x$ का मान $-\sqrt{a^2 + b^2}$ और $\sqrt{a^2 + b^2}$ के बीच होता है।
यहाँ,$2 \cos 2\theta + \frac{3}{2} \sin 2\theta$ का मान $-\sqrt{2^2 + (\frac{3}{2})^2} = -\sqrt{4 + \frac{9}{4}} = -\sqrt{\frac{25}{4}} = -\frac{5}{2}$ और $\frac{5}{2}$ के बीच है।
अतः,$f(\theta)$ का न्यूनतम मान $3 - \frac{5}{2} = \frac{1}{2}$ है।
इस प्रकार,$\frac{1}{f(\theta)}$ का अधिकतम मान $\frac{1}{1/2} = 2$ है।

(A) दिया गया है $x+y=\frac{\pi}{2}$,अतः $y=\frac{\pi}{2}-x$ होगा।
इसे $\sin x \cdot \sin y$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sin x \cdot \sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \sin x \cdot \cos x$.
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$\frac{2 \sin x \cdot \cos x}{2} = \frac{\sin 2x}{2}$.
हम जानते हैं कि $\sin 2x$ का परिसर $[-1, 1]$ है।
अतः,$\frac{\sin 2x}{2}$ का परिसर $\left[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right]$ होगा।
इस प्रकार,अधिकतम मान $\frac{1}{2}$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = a^{2} \cos^{2} x + b^{2} \sin^{2} x$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos^{2} x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ और $\sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = a^{2} \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right) + b^{2} \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right)$
$f(x) = \frac{a^{2} + a^{2} \cos 2x + b^{2} - b^{2} \cos 2x}{2}$
$f(x) = \frac{a^{2} + b^{2}}{2} + \left( \frac{a^{2} - b^{2}}{2} \right) \cos 2x$.
चूंकि $-1 \leq \cos 2x \leq 1$,फलन $f(x)$ अपना न्यूनतम मान तब प्राप्त करता है जब $\cos 2x = -1$ हो (क्योंकि $a^{2} > b^{2}$ है,इसलिए $\frac{a^{2} - b^{2}}{2} > 0$)।
$\cos 2x = -1$ रखने पर:
$f_{\text{min}} = \frac{a^{2} + b^{2}}{2} + \left( \frac{a^{2} - b^{2}}{2} \right) (-1)$
$f_{\text{min}} = \frac{a^{2} + b^{2} - a^{2} + b^{2}}{2} = \frac{2b^{2}}{2} = b^{2}$.
अतः,न्यूनतम मान $b^{2}$ है।

(B) $a \cos x + b \sin x$ व्यंजक का परिसर $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ होता है।
समीकरण $7 \cos x + 5 \sin x = 2k + 1$ के लिए,बाएँ पक्ष का परिसर $[-\sqrt{7^2 + 5^2}, \sqrt{7^2 + 5^2}] = [-\sqrt{74}, \sqrt{74}]$ है।
चूँकि $\sqrt{74} \approx 8.602$,इसलिए $-8.602 \leq 2k + 1 \leq 8.602$ है।
सभी पक्षों से $1$ घटाने पर: $-9.602 \leq 2k \leq 7.602$ प्राप्त होता है।
$2$ से विभाजित करने पर: $-4.801 \leq k \leq 3.801$ प्राप्त होता है।
$k$ के पूर्णांक मान $\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ हैं।
इन मानों की कुल संख्या $8$ है।

(D) दिया गया है $\alpha+\beta+\gamma=\pi$,इसलिए $\gamma = \pi - (\alpha+\beta)$.
सर्वसमिका $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B)\sin(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta - \sin^2 \gamma = \sin^2 \alpha + \sin(\beta+\gamma)\sin(\beta-\gamma)$
चूंकि $\beta+\gamma = \pi - \alpha$,इसलिए $\sin(\beta+\gamma) = \sin(\pi-\alpha) = \sin \alpha$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर:
$= \sin^2 \alpha + \sin \alpha \sin(\beta-\gamma)$
$= \sin \alpha [\sin \alpha + \sin(\beta-\gamma)]$
$= \sin \alpha [\sin(\beta+\gamma) + \sin(\beta-\gamma)]$
योग-से-गुणन सूत्र $\sin(x+y) + \sin(x-y) = 2 \sin x \cos y$ का उपयोग करने पर:
$= \sin \alpha [2 \sin \beta \cos \gamma]$
$= 2 \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma$.

(C) दिया गया है,$\alpha = \beta + \gamma$.
चूंकि $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha$.
$\tan \gamma = \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$
$\tan \beta = \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$ प्रतिस्थापित करने पर,
$\tan \gamma = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha (\frac{1}{\tan \alpha})} = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{2}$.
अतः,$2 \tan \gamma = \tan \alpha - \tan \beta$,जिससे $\tan \alpha = \tan \beta + 2 \tan \gamma$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण $\cos^4 \theta + \sin^4 \theta + \lambda = 0$ है।
हम जानते हैं कि $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta + \lambda = 0$।
सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करते हुए,$\sin^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{\sin^2 2\theta}{4}$।
अतः,$1 - 2 \left(\frac{\sin^2 2\theta}{4}\right) + \lambda = 0$,जो सरल होकर $1 - \frac{\sin^2 2\theta}{2} + \lambda = 0$ हो जाता है।
इसलिए,$\lambda = \frac{\sin^2 2\theta}{2} - 1$।
चूंकि $0 \leq \sin^2 2\theta \leq 1$,इसलिए $0 \leq \frac{\sin^2 2\theta}{2} \leq \frac{1}{2}$।
सभी पदों में से $1$ घटाने पर,$-1 \leq \frac{\sin^2 2\theta}{2} - 1 \leq -\frac{1}{2}$।
अतः,$\lambda \in \left[-1, -\frac{1}{2}\right]$।