Maximum and minimum values of trigonometrical functions, Conditional trigonometrical identities Questions in Hindi

(A) माना $f(A) = \cos A \sin \left( A - \frac{\pi}{6} \right)$.
सर्वसमिका $2 \sin x \cos y = \sin(x+y) + \sin(x-y)$ का उपयोग करने पर:
$f(A) = \frac{1}{2} \left[ \sin \left( 2A - \frac{\pi}{6} \right) + \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) \right]$
$f(A) = \frac{1}{2} \sin \left( 2A - \frac{\pi}{6} \right) + \frac{1}{4}$.
$f(A)$ के अधिकतम होने के लिए,$\sin \left( 2A - \frac{\pi}{6} \right)$ का मान अधिकतम यानी $1$ होना चाहिए।
अतः,$2A - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.
$2A = \frac{2\pi}{3} \Rightarrow A = \frac{\pi}{3}$.

(A) $A.M.-G.M.$ असमिका के अनुसार,$\frac{2^{\sin x} + 2^{\cos x}}{2} \ge \sqrt{2^{\sin x} \cdot 2^{\cos x}}$.
यह $2^{\sin x} + 2^{\cos x} \ge 2 \cdot 2^{\frac{\sin x + \cos x}{2}} = 2^{1 + \frac{\sin x + \cos x}{2}}$ में सरल हो जाता है।
हम जानते हैं कि $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$,जिसका न्यूनतम मान $-\sqrt{2}$ है।
अतः,व्यंजक $2^{\sin x} + 2^{\cos x}$ का न्यूनतम मान $2^{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = 2^{1 - (1/\sqrt{2})}$ है।
असमिका $2^{\sin x} + 2^{\cos x} > 2^{1 - (1/\sqrt{2})}$ उन सभी $x$ के लिए सत्य है जहाँ $\sin x + \cos x \neq -\sqrt{2}$ है।
$\sin x + \cos x = -\sqrt{2}$ तब होता है जब $\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -1$,जिसका अर्थ है $x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$,इसलिए $x = \frac{5\pi}{4}$।

(C) दिया गया है $A + B + C = 180^{\circ}$,अतः $A + B = 180^{\circ} - C$.
दोनों पक्षों में टेंजेंट लेने पर: $\tan(A + B) = \tan(180^{\circ} - C)$.
सूत्र $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ और $\tan(180^{\circ} - C) = -\tan C$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = -\tan C$.
दोनों पक्षों को $(1 - \tan A \tan B)$ से गुणा करने पर:
$\tan A + \tan B = -\tan C(1 - \tan A \tan B)$.
$\tan A + \tan B = -\tan C + \tan A \tan B \tan C$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$.

(D) दिया गया फलन $f(x) = a \cos(bx + c) + d$ है।
हम जानते हैं कि कोसाइन फलन का परिसर $[-1, 1]$ होता है,अर्थात $-1 \le \cos(bx + c) \le 1$।
$a$ से गुणा करने पर (मान लें $a > 0$),हमें $-a \le a \cos(bx + c) \le a$ प्राप्त होता है।
सभी भागों में $d$ जोड़ने पर,हमें $d - a \le a \cos(bx + c) + d \le d + a$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x)$ का परिसर $[d - a, d + a]$ है।

(D) हम जानते हैं कि $f(x) = a \cos x + b \sin x$ के रूप के किसी भी फलन को $f(x) = \sqrt{a^2 + b^2} \cos(x + \alpha)$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $\tan \alpha = \frac{b}{a}$ है।
यहाँ,$a = 1$ और $b = -1$ है।
अतः,$f(x) = \sqrt{1^2 + (-1)^2} \cos(x + \alpha) = \sqrt{2} \cos(x + \alpha)$।
चूँकि $\cos(x + \alpha)$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $f(x)$ का परिसर $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = \cos 2x - \sin 2x$.
हम इसे $f(x) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2x \right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर,$f(x) = \sqrt{2} \cos\left( 2x + \frac{\pi}{4} \right)$ प्राप्त होता है।
$\cos\theta$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $f(x)$ का परिसर $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ है।
चूंकि $\sqrt{2} \approx 1.414$,अंतराल $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ लगभग $[-1.414, 1.414]$ है।
अतः,समुच्चय $[-1, 1]$,$[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ का उपसमुच्चय है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया है $f(\theta) = \sec^2 \theta + \cos^2 \theta$.
अंकगणितीय माध्य-ज्यामितीय माध्य ($AM$-$GM$) असमिका का उपयोग करते हुए,$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$.
यहाँ,$f(\theta) = \sec^2 \theta + \cos^2 \theta \ge 2 \sqrt{\sec^2 \theta \cdot \cos^2 \theta} = 2 \sqrt{1} = 2$.
चूंकि $\theta > \frac{\pi}{3}$,$\sec \theta > \sec(\frac{\pi}{3}) = 2$,इसलिए $\sec^2 \theta > 4$.
जैसे-जैसे $\theta$ बढ़ता है,$\sec^2 \theta$ अनंत $(\infty)$ की ओर बढ़ता है और $\cos^2 \theta$ अंतराल $[0, 1)$ में रहता है।
अतः,न्यूनतम मान $2$ है और फलन $\infty$ तक कोई भी मान ले सकता है।
इसलिए,अंतराल $[2, \infty)$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = |\sin 4x + 3|$ है।
हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक $x$ के लिए,$\sin 4x$ का परिसर $[-1, 1]$ होता है।
$f(x)$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $\sin 4x$ का न्यूनतम मान $-1$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$f_{\text{min}} = |-1 + 3| = |2| = 2$.
$f(x)$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $\sin 4x$ का अधिकतम मान $1$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$f_{\text{max}} = |1 + 3| = |4| = 4$.
अतः,अधिकतम और न्यूनतम मान क्रमशः $4$ और $2$ हैं।

(D) माना $f(x) = 2\cos 2x - \cos 4x$ है।
सर्वसमिका $\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1$ का उपयोग करते हुए,हम फलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = 2\cos 2x - (2\cos^2 2x - 1) = -2\cos^2 2x + 2\cos 2x + 1$।
माना $t = \cos 2x$ है। चूँकि $0 \le x \le \pi$,इसलिए $2x$ का परिसर $0 \le 2x \le 2\pi$ है,अतः $t = \cos 2x$ का परिसर $[-1, 1]$ है।
अब,हमारे पास $t \in [-1, 1]$ के लिए द्विघात फलन $g(t) = -2t^2 + 2t + 1$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अंतराल $[-1, 1]$ के अंत बिंदुओं की जाँच करते हैं क्योंकि परवलय नीचे की ओर खुलता है।
$t = 1$ के लिए: $g(1) = -2(1)^2 + 2(1) + 1 = -2 + 2 + 1 = 1$।
$t = -1$ के लिए: $g(-1) = -2(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -2 - 2 + 1 = -3$।
इन मानों की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $-3$ प्राप्त होता है।

(A) माना $f(A) = \cos A \cos B = \cos A \cos \left( \frac{\pi}{2} - A \right) = \cos A \sin A = \frac{1}{2} \sin 2A.$
चूंकि $\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,इसलिए $\frac{1}{2} \sin 2A$ का अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $\sin 2A = 1$ हो।
अतः,अधिकतम मान $\frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$ है।
वैकल्पिक रूप से,अवकलन का उपयोग करते हुए: $f'(A) = \cos 2A.$
$f'(A) = 0$ रखने पर $2A = \frac{\pi}{2},$ अर्थात $A = \frac{\pi}{4}.$
चूंकि $f''(A) = -2 \sin 2A,$ इसलिए $A = \frac{\pi}{4}$ पर $f''(\frac{\pi}{4}) = -2 \sin \frac{\pi}{2} = -2 < 0$ प्राप्त होता है,जो अधिकतम मान की पुष्टि करता है।
अतः,अधिकतम मान $\cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$ है।

(C) माना $f(x) = 2 + \sqrt{3} \cos x + \sin x$.
$e^{f(x)}$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हमें $f(x)$ का अधिकतम मान ज्ञात करना होगा।
हम जानते हैं कि व्यंजक $a \cos x + b \sin x$ का मान $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ अंतराल में होता है।
यहाँ,$a = \sqrt{3}$ और $b = 1$ है।
अतः,$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
इस प्रकार,$\sqrt{3} \cos x + \sin x$ का अधिकतम मान $2$ है।
इसलिए,$f(x) = 2 + (\sqrt{3} \cos x + \sin x)$ का अधिकतम मान $2 + 2 = 4$ है।
अतः,$e^{f(x)}$ का अधिकतम मान $e^{4}$ है।

(B) हमें व्यंजक $P = \prod_{i=1}^{n} (1 + a_i + a_i^2)$ दिया गया है,जहाँ $\prod_{i=1}^{n} a_i = 1$ और $a_i > 0$ है।
समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य ($AM$-$GM$) असमिका के अनुसार,प्रत्येक पद $(1 + a_i + a_i^2)$ के लिए:
$\frac{1 + a_i + a_i^2}{3} \ge \sqrt[3]{1 \cdot a_i \cdot a_i^2} = \sqrt[3]{a_i^3} = a_i$.
अतः,$1 + a_i + a_i^2 \ge 3a_i$.
इन असमिकाओं का $i = 1$ से $n$ तक गुणा करने पर:
$P = \prod_{i=1}^{n} (1 + a_i + a_i^2) \ge \prod_{i=1}^{n} (3a_i) = 3^n \prod_{i=1}^{n} a_i$.
चूंकि $\prod_{i=1}^{n} a_i = 1$,इसलिए $P \ge 3^n \cdot 1 = 3^n$.
समानता तब प्राप्त होती है जब $1 = a_i = a_i^2$,जिसका अर्थ है कि प्रत्येक $i$ के लिए $a_i = 1$ है।
अतः,न्यूनतम मान $3^n$ है।

(D) दिया गया है कि $p^2 + q^2 = 1$ जहाँ $p, q > 0$ है।
समांतर माध्य और वर्ग माध्य के बीच असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{p + q}{2} \leq \sqrt{\frac{p^2 + q^2}{2}}$
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{p + q}{2} \leq \sqrt{\frac{1}{2}}$
$\frac{p + q}{2} \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$
$p + q \leq \frac{2}{\sqrt{2}}$
$p + q \leq \sqrt{2}$
अतः,$p + q$ का अधिकतम मान $\sqrt{2}$ है।

(C) माना $y = a \sec x + b \csc x$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = a \sec x \tan x - b \csc x \cot x$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर:
$a \sec x \tan x = b \csc x \cot x$.
साइन और कोसाइन में बदलने पर:
$\frac{a \sin x}{\cos^2 x} = \frac{b \cos x}{\sin^2 x} \implies a \sin^3 x = b \cos^3 x \implies \tan^3 x = \frac{b}{a}$.
अतः,$\tan x = (b/a)^{1/3}$.
सर्वसमिका $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ और $\csc^2 x = 1 + \cot^2 x$ का उपयोग करने पर:
$\sec x = \sqrt{1 + (b/a)^{2/3}} = \frac{\sqrt{a^{2/3} + b^{2/3}}}{a^{1/3}}$ और $\csc x = \sqrt{1 + (a/b)^{2/3}} = \frac{\sqrt{a^{2/3} + b^{2/3}}}{b^{1/3}}$.
इन मानों को $y$ के समीकरण में रखने पर:
$y = a \left( \frac{\sqrt{a^{2/3} + b^{2/3}}}{a^{1/3}} \right) + b \left( \frac{\sqrt{a^{2/3} + b^{2/3}}}{b^{1/3}} \right)$.
$y = a^{2/3} \sqrt{a^{2/3} + b^{2/3}} + b^{2/3} \sqrt{a^{2/3} + b^{2/3}}$.
$y = (a^{2/3} + b^{2/3}) \sqrt{a^{2/3} + b^{2/3}} = (a^{2/3} + b^{2/3})^{3/2}$.

(C) माना $f(x) = \sin x + \cos 2x$.
सर्वसमिका $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \sin x + 1 - 2\sin^2 x$.
माना $t = \sin x$,जहाँ $t \in [-1, 1]$.
तब $f(t) = -2t^2 + t + 1$.
यह नीचे की ओर खुलने वाला एक परवलय है। इसका शीर्ष $t = -b/(2a) = -1/(2 \times -2) = 1/4$ पर स्थित है।
चूँकि $1/4 \in [-1, 1]$,अधिकतम मान $f(1/4) = -2(1/4)^2 + (1/4) + 1$ होगा।
$f(1/4) = -2(1/16) + 1/4 + 1 = -1/8 + 2/8 + 8/8 = 9/8$.

(A) दिया गया है कि $A + B = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $B = \frac{\pi}{2} - A$ है।
माना $f(A) = \cos A \cos B = \cos A \cos(\frac{\pi}{2} - A) = \cos A \sin A$ है।
हम इसे $f(A) = \frac{1}{2} \sin(2A)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम जानते हैं कि $\sin(2A)$ का अधिकतम मान $1$ होता है।
अतः,$f(A)$ का अधिकतम मान $= \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$ है।

(A) दिया गया व्यंजक $f(x) = 27^{\cos 2x} 81^{\sin 2x}$ है।
हम इसे $f(x) = (3^3)^{\cos 2x} (3^4)^{\sin 2x} = 3^{3 \cos 2x + 4 \sin 2x}$ के रूप में लिख सकते हैं।
$f(x)$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हमें घातांक $g(x) = 3 \cos 2x + 4 \sin 2x$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना होगा।
फलन $a \cos \theta + b \sin \theta$ का परिसर $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ होता है।
यहाँ,$a = 3$ और $b = 4$ है,इसलिए $g(x)$ का न्यूनतम मान $= -\sqrt{3^2 + 4^2} = -\sqrt{9 + 16} = -\sqrt{25} = -5$ है।
अतः,$f(x)$ का न्यूनतम मान $= 3^{-5} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = 3^{x+1} + 3^{-(x+1)}$ है।
हम इसे $f(x) = 3^{x+1} + \frac{1}{3^{x+1}}$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $3^{x+1} > 0$ है,हम समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \geq GM)$ असमिका का उपयोग कर सकते हैं।
किन्हीं भी दो धनात्मक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$,जिसका अर्थ है $a+b \geq 2\sqrt{ab}$।
मान लीजिए $a = 3^{x+1}$ और $b = \frac{1}{3^{x+1}}$।
तब $f(x) = a + b \geq 2\sqrt{a \cdot b}$।
$f(x) \geq 2\sqrt{3^{x+1} \cdot \frac{1}{3^{x+1}}}$।
$f(x) \geq 2\sqrt{1}$।
$f(x) \geq 2$।
अतः,फलन का न्यूनतम मान $2$ है।

(C) माना $f(x) = a \sin x + b \cos x$ है। इस व्यंजक का अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = 3$ और $b = 4$ है।
अधिकतम मान $= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
वैकल्पिक रूप से,अवकलज का उपयोग करने पर: $f'(x) = 3 \cos x - 4 \sin x$.
$f'(x) = 0$ रखने पर $\tan x = 3/4$ प्राप्त होता है।
$\tan x = 3/4$ के लिए,$\sin x = 3/5$ और $\cos x = 4/5$ होता है (प्रथम चतुर्थांश में)।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$f(x) = 3(3/5) + 4(4/5) = 9/5 + 16/5 = 25/5 = 5$.

(D) दिया गया है $u = \sqrt{a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta} + \sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$u^2 = (a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta) + (a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta) + 2\sqrt{(a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta)(a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta)}$.
$u^2 = a^2 + b^2 + 2\sqrt{a^4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta + a^2 b^2 \cos^4 \theta + a^2 b^2 \sin^4 \theta + b^4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta}$.
$\sin^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{\sin^2 2\theta}{4}$ और $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = 1 - \frac{\sin^2 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$u^2 = a^2 + b^2 + 2\sqrt{a^2 b^2 (1 - \frac{\sin^2 2\theta}{2}) + (a^4 + b^4) \frac{\sin^2 2\theta}{4}}$.
$u^2 = a^2 + b^2 + \sqrt{4a^2 b^2 + (a^2 - b^2)^2 \sin^2 2\theta}$.
अधिकतम मान के लिए,$\sin^2 2\theta = 1$: $u^2_{\max} = a^2 + b^2 + \sqrt{(a^2 + b^2)^2} = 2(a^2 + b^2)$.
न्यूनतम मान के लिए,$\sin^2 2\theta = 0$: $u^2_{\min} = a^2 + b^2 + 2ab = (a + b)^2$.
अंतर $u^2_{\max} - u^2_{\min} = 2a^2 + 2b^2 - (a^2 + b^2 + 2ab) = (a - b)^2$.

(C) यह व्यंजक $a \sin x + b \cos x$ के रूप में है,जहाँ $a = 5$ और $b = 12$ है।
व्यंजक $a \sin x + b \cos x$ का अधिकतम मान ज्ञात करने का सूत्र $\sqrt{a^2 + b^2}$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
अधिकतम मान $= \sqrt{5^2 + 12^2}$
$= \sqrt{25 + 144}$
$= \sqrt{169}$
$= 13$.
अतः,अधिकतम मान $13$ है।

(C) व्यंजक $2^{((x^2 - 3)^3 + 27)}$ अपना न्यूनतम मान तब प्राप्त करता है जब घातांक $((x^2 - 3)^3 + 27)$ न्यूनतम हो।
मान लीजिए $f(x) = (x^2 - 3)^3 + 27$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $(x^2 - 3)^3$ के व्यवहार का विश्लेषण करते हैं।
पद $(x^2 - 3)^3$ कोई भी वास्तविक मान ले सकता है क्योंकि $x^2 - 3$ का परिसर $[-3, \infty)$ है,और घन फलन (cube function) निरंतर वर्धमान फलन है।
यदि हम $x$ का प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ लेते हैं,तो जैसे-जैसे $x^2$ का मान $0$ के करीब जाता है,$(x^2 - 3)^3$ का मान $(-3)^3 = -27$ तक पहुँच सकता है।
अतः,$(x^2 - 3)^3 + 27$ का न्यूनतम मान $(-27) + 27 = 0$ है।
इसलिए,व्यंजक का न्यूनतम मान $2^0 = 1$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = 2(\cos 3x + \cos \sqrt{3} x)$ है।
योग-से-गुणनफल सूत्र $\cos A + \cos B = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = 4 \cos(\frac{3 + \sqrt{3}}{2} x) \cos(\frac{3 - \sqrt{3}}{2} x)$ प्राप्त होता है।
$\cos \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है।
$f(x) = 4$ होने के लिए,$\cos(\frac{3 + \sqrt{3}}{2} x)$ और $\cos(\frac{3 - \sqrt{3}}{2} x)$ दोनों को $1$ होना चाहिए या दोनों को $-1$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: $\cos(\frac{3 + \sqrt{3}}{2} x) = 1$ और $\cos(\frac{3 - \sqrt{3}}{2} x) = 1$।
इसका अर्थ है $\frac{3 + \sqrt{3}}{2} x = 2n\pi$ और $\frac{3 - \sqrt{3}}{2} x = 2m\pi$,जहाँ $n, m$ पूर्णांक हैं।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = \frac{n}{m}$।
हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{(3 + \sqrt{3})^2}{9 - 3} = 2 + \sqrt{3}$।
चूंकि $2 + \sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है,इसलिए कोई भी गैर-शून्य पूर्णांक $n, m$ इसे संतुष्ट नहीं करते हैं। अतः,$n=0, m=0$ ही एकमात्र समाधान है,जिससे $x=0$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: दोनों $-1$ हों। यह भी समान विरोधाभास की ओर ले जाता है।
अतः,$x$ का एकमात्र मान $x=0$ है जिसके लिए फलन अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है। इस प्रकार,मानों की संख्या $1$ है।

(A) माना $y = 27^{\cos 2x} \cdot 81^{\sin 2x}$ है।
$y = (3^3)^{\cos 2x} \cdot (3^4)^{\sin 2x} = 3^{3 \cos 2x + 4 \sin 2x}$।
$y$ के न्यूनतम होने के लिए,घातांक $z = 3 \cos 2x + 4 \sin 2x$ का न्यूनतम होना आवश्यक है।
व्यंजक $a \cos \theta + b \sin \theta$ का मान $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ अंतराल में होता है।
यहाँ,$a = 3$ और $b = 4$ है,इसलिए $z$ का परिसर $[-5, 5]$ है।
$z$ का न्यूनतम मान $-5$ है।
अतः,$y$ का न्यूनतम मान $3^{-5} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}$ होगा।

(A) दिया गया है $p = \sin^2 \theta + \cos^4 \theta$।
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$p = \sin^2 \theta + (1 - \sin^2 \theta)^2$
$p = \sin^2 \theta + 1 + \sin^4 \theta - 2 \sin^2 \theta$
$p = \sin^4 \theta - \sin^2 \theta + 1$।
माना $x = \sin^2 \theta$। चूंकि $\theta$ वास्तविक है,इसलिए $0 \le x \le 1$ होगा।
अतः $p = f(x) = x^2 - x + 1$।
यह ऊपर की ओर खुलने वाला एक परवलय है जिसका शीर्ष $x = -b/(2a) = -(-1)/(2 \times 1) = 1/2$ पर है।
चूंकि $1/2$ अंतराल $[0, 1]$ में स्थित है,इसलिए न्यूनतम मान $f(1/2) = (1/2)^2 - (1/2) + 1 = 1/4 - 1/2 + 1 = 3/4$ होगा।
अधिकतम मान अंतराल $[0, 1]$ के अंतिम बिंदुओं पर प्राप्त होता है।
$f(0) = 0^2 - 0 + 1 = 1$।
$f(1) = 1^2 - 1 + 1 = 1$।
अतः,$p$ का परिसर $\frac{3}{4} \le p \le 1$ है।

(C) माना $f(x) = \sin x + \sqrt{3} \cos x$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक को $f(x) = 2 \left( \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
$f(x) = 2 \left( \sin x \cos 60^\circ + \cos x \sin 60^\circ \right) = 2 \sin(x + 60^\circ)$.
फलन $\sin(x + 60^\circ)$ तब अधिकतम होता है जब कोण $90^\circ$ हो।
$x + 60^\circ = 90^\circ \Rightarrow x = 30^\circ$.
वैकल्पिक रूप से,अवकलन का उपयोग करते हुए:
$f'(x) = \cos x - \sqrt{3} \sin x = 0 \Rightarrow \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow x = 30^\circ$.
$x = 30^\circ$ पर,$f''(x) = -\sin x - \sqrt{3} \cos x = -\sin 30^\circ - \sqrt{3} \cos 30^\circ = -\frac{1}{2} - \sqrt{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -2 < 0$.
चूंकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए फलन $x = 30^\circ$ पर अधिकतम है।

(A) दिया गया है कि $A + B = \pi / 2$,इसलिए $B = \pi / 2 - A$ है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,$\cos A \cos B = \cos A \cos(\pi / 2 - A) = \cos A \sin A$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा और भाग करने पर,$\frac{1}{2} (2 \sin A \cos A) = \frac{1}{2} \sin(2A)$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $f(A) = \frac{1}{2} \sin(2A)$ है।
ज्या फलन (sine function) $\sin(2A)$ का अधिकतम मान $1$ होता है।
अतः,$f(A)$ का अधिकतम मान $\frac{1}{2} (1) = 1/2$ है।

(C) दिया गया है $A = \sin^2 x + \cos^4 x$.
माना $t = \sin^2 x$,तो $0 \le t \le 1$. चूँकि $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - t$,इसलिए $\cos^4 x = (1 - t)^2$.
इन मानों को $A$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$A = t + (1 - t)^2 = t + 1 - 2t + t^2 = t^2 - t + 1$.
यह $t$ में एक द्विघात व्यंजक है जहाँ $t \in [0, 1]$.
परवलय $f(t) = t^2 - t + 1$ का शीर्ष $t = 1/2$ पर है।
चूँकि $1/2$ अंतराल $[0, 1]$ के भीतर है,न्यूनतम मान $f(1/2) = 3/4$ है।
अधिकतम मान सीमाओं $t=0$ या $t=1$ पर प्राप्त होता है:
$f(0) = 1$ और $f(1) = 1$.
अतः,$A$ का परिसर $\frac{3}{4} \le A \le 1$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $(\cos x + \sin x)^2 + k \sin x \cos x - 1 = 0, \forall x$
वर्ग का विस्तार करने पर: $(\cos^2 x + \sin^2 x + 2 \sin x \cos x) + k \sin x \cos x - 1 = 0, \forall x$
सर्वसमिका $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ का उपयोग करने पर: $1 + 2 \sin x \cos x + k \sin x \cos x - 1 = 0, \forall x$
समीकरण को सरल करने पर: $(2 + k) \sin x \cos x = 0, \forall x$
इसे एक सर्वसमिका (सभी $x$ के लिए सत्य) होने के लिए,गुणांक शून्य होना चाहिए:
$2 + k = 0$
$k = -2$

(A) दिया गया है: $\frac{\sin^4 A}{a} + \frac{\cos^4 A}{b} = \frac{1}{a + b}$
$\sin^2 A = \frac{1 - \cos 2A}{2}$ और $\cos^2 A = \frac{1 + \cos 2A}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{(1 - \cos 2A)^2}{4a} + \frac{(1 + \cos 2A)^2}{4b} = \frac{1}{a + b}$
सरल करने पर:
$((a + b) \cos 2A + (a - b))^2 = 0$
अतः,$\cos 2A = \frac{b - a}{a + b}$
अब,$\sin^2 A = \frac{a}{a + b}$ और $\cos^2 A = \frac{b}{a + b}$
इसलिए,$\frac{\sin^8 A}{a^3} + \frac{\cos^8 A}{b^3} = \frac{(\frac{a}{a + b})^4}{a^3} + \frac{(\frac{b}{a + b})^4}{b^3} = \frac{a + b}{(a + b)^4} = \frac{1}{(a + b)^3}$

(A) माना $y = \sqrt{x^2 + x} + \frac{\tan^2 \alpha}{\sqrt{x^2 + x}}$.
चूंकि $\alpha \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$,इसलिए $\tan^2 \alpha > 0$ है।
समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका $(AM \ge GM)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\sqrt{x^2 + x} + \frac{\tan^2 \alpha}{\sqrt{x^2 + x}}}{2} \ge \sqrt{\sqrt{x^2 + x} \cdot \frac{\tan^2 \alpha}{\sqrt{x^2 + x}}}$
$\frac{\sqrt{x^2 + x} + \frac{\tan^2 \alpha}{\sqrt{x^2 + x}}}{2} \ge \sqrt{\tan^2 \alpha}$
$\sqrt{x^2 + x} + \frac{\tan^2 \alpha}{\sqrt{x^2 + x}} \ge 2 \tan \alpha$.

(A) दिया गया है कि $\cot \alpha_1 \cdot \cot \alpha_2 \cdots \cot \alpha_n = 1$.
इसका अर्थ है कि $\cos \alpha_1 \cdot \cos \alpha_2 \cdots \cos \alpha_n = \sin \alpha_1 \cdot \sin \alpha_2 \cdots \sin \alpha_n$.
मान लीजिए $P = \cos \alpha_1 \cdot \cos \alpha_2 \cdots \cos \alpha_n$.
तब $P^2 = (\cos \alpha_1 \cdot \cos \alpha_2 \cdots \cos \alpha_n) \cdot (\sin \alpha_1 \cdot \sin \alpha_2 \cdots \sin \alpha_n)$.
$\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर,हमें $P^2 = \frac{1}{2^n} \sin 2\alpha_1 \cdot \sin 2\alpha_2 \cdots \sin 2\alpha_n$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रत्येक $i$ के लिए $\sin 2\alpha_i \le 1$,इसलिए $P^2 \le \frac{1}{2^n}$ है।
वर्गमूल लेने पर,$P \le \sqrt{\frac{1}{2^n}} = \frac{1}{2^{n/2}}$.
अधिकतम मान $\frac{1}{2^{n/2}}$ है।

(B) दिया गया है $A = \sin^8\theta + \cos^{14}\theta$.
चूंकि $0 \le \sin^2\theta \le 1$ और $0 \le \cos^2\theta \le 1$,इसलिए $\sin^8\theta \le \sin^2\theta$ और $\cos^{14}\theta \le \cos^2\theta$ होता है।
इन असमिकाओं को जोड़ने पर,$A = \sin^8\theta + \cos^{14}\theta \le \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ प्राप्त होता है।
साथ ही,चूंकि $\sin^2\theta$ और $\cos^2\theta$ एक साथ शून्य नहीं हो सकते,इसलिए $A > 0$ है।
अतः,$0 < A \le 1$।

(A) माना $f(\theta) = a \sin^2 \theta + b \sin \theta \cos \theta + c \cos^2 \theta - \frac{1}{2}(a + c)$.
सर्वसमिकाओं $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ और $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$f(\theta) = \frac{1}{2} [b \sin 2\theta - (a - c) \cos 2\theta]$
हम जानते हैं कि $A \sin x + B \cos x$ के रूप के व्यंजक का परिसर $[-\sqrt{A^2 + B^2}, \sqrt{A^2 + B^2}]$ होता है।
अतः,$|b \sin 2\theta - (a - c) \cos 2\theta| \le \sqrt{b^2 + (a - c)^2}$.
इसलिए,$|f(\theta)| \le \frac{1}{2} \sqrt{b^2 + (a - c)^2}$.
दी गई असमिका के साथ तुलना करने पर,$k = \sqrt{b^2 + (a - c)^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$k^2 = b^2 + (a - c)^2$.

(A) दिया गया है $u = \sqrt {{a^2}{{\cos }^2}\theta + {b^2}{{\sin }^2}\theta } + \sqrt {{a^2}{{\sin }^2}\theta + {b^2}{{\cos }^2}\theta } $.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
${u^2} = ({a^2}{{\cos }^2}\theta + {b^2}{{\sin }^2}\theta ) + ({a^2}{{\sin }^2}\theta + {b^2}{{\cos }^2}\theta ) + 2\sqrt {({a^2}{{\cos }^2}\theta + {b^2}{{\sin }^2}\theta )({a^2}{{\sin }^2}\theta + {b^2}{{\cos }^2}\theta )} $
${u^2} = {a^2} + {b^2} + 2\sqrt {({a^2}{{\cos }^2}\theta + {b^2}{{\sin }^2}\theta )({a^2}{{\sin }^2}\theta + {b^2}{{\cos }^2}\theta )} $
माना $t = {a^2}{{\cos }^2}\theta + {b^2}{{\sin }^2}\theta $. तब ${a^2}{{\sin }^2}\theta + {b^2}{{\cos }^2}\theta = {a^2} + {b^2} - t$.
अतः,${u^2} = {a^2} + {b^2} + 2\sqrt {t({a^2} + {b^2} - t)} = {a^2} + {b^2} + 2\sqrt { - {t^2} + ({a^2} + {b^2})t} $.
माना $f(t) = - {t^2} + ({a^2} + {b^2})t$. $f(t)$ का अधिकतम मान $t = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}$ पर प्राप्त होता है,जो $f\left( \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \right) = \frac{{{({a^2} + {b^2})^2}}}{4}$ है।
इस प्रकार,${({u^2})_{\max }} = {a^2} + {b^2} + 2\sqrt {\frac{{{({a^2} + {b^2})^2}}}{4}} = {a^2} + {b^2} + ({a^2} + {b^2}) = 2({a^2} + {b^2})$.
$f(t)$ का न्यूनतम मान $t$ की सीमाओं पर प्राप्त होता है,अर्थात $t = {a^2}$ या $t = {b^2}$.
$t = {a^2}$ पर,$f({a^2}) = - {a^4} + ({a^2} + {b^2}){a^2} = {a^2}{b^2}$.
इस प्रकार,${({u^2})_{\min }} = {a^2} + {b^2} + 2\sqrt {{a^2}{b^2}} = {a^2} + {b^2} + 2ab = {(a + b)^2}$.
अंतर ${({u^2})_{\max }} - {({u^2})_{\min }} = 2{a^2} + 2{b^2} - ({a^2} + {b^2} + 2ab) = {a^2} + {b^2} - 2ab = {(a - b)^2}$.

(B) दिया गया समीकरण $a^2 + 2a + \csc^2 \left( \frac{\pi}{2}(a + x) \right) = 0$ है।
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर,$(a + 1)^2 + \csc^2 \left( \frac{\pi}{2}(a + x) \right) = 1$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$(a + 1)^2 + \cot^2 \left( \frac{\pi}{2}(a + x) \right) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों पद वास्तविक संख्याओं के वर्ग हैं,उनका योग शून्य तभी हो सकता है जब प्रत्येक पद शून्य हो।
अतः,$(a + 1)^2 = 0 \Rightarrow a = -1$.
$a = -1$ रखने पर,$\cot^2 \left( \frac{\pi}{2}(x - 1) \right) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि विकल्प $B$ के अनुसार $\frac{x}{2} \in I$ सत्य है।

(D) हम बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = \frac{1}{2}(x + y + z)[(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2]$.
$x = \sin A$,$y = \sin B$,और $z = \sin C$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin^3 A + \sin^3 B + \sin^3 C - 3 \sin A \sin B \sin C = \frac{1}{2}(\sin A + \sin B + \sin C)[(\sin A - \sin B)^2 + (\sin B - \sin C)^2 + (\sin C - \sin A)^2]$.
चूंकि दिया गया समीकरण $\sin^3 A + \sin^3 B + \sin^3 C = 3 \sin A \sin B \sin C$ है,इसलिए व्यंजक $0$ के बराबर है।
इसका अर्थ है कि या तो $\sin A + \sin B + \sin C = 0$ (जो त्रिभुज के लिए संभव नहीं है) या $(\sin A - \sin B)^2 + (\sin B - \sin C)^2 + (\sin C - \sin A)^2 = 0$ है।
यह केवल तभी होता है जब $\sin A = \sin B = \sin C$,जिसका अर्थ है $A = B = C = 60^\circ$।
अतः,$\Delta ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है।

(A) दिया गया है $\sin \left( A + \frac{C}{2} \right) = k \sin \frac{C}{2}$.
योगानुपात और अंतरानुपात (Componendo and Dividendo) लगाने पर:
$\frac{\sin (A + C/2) + \sin (C/2)}{\sin (A + C/2) - \sin (C/2)} = \frac{k + 1}{k - 1}$.
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\frac{2 \sin \frac{A+C}{2} \cos \frac{A}{2}}{2 \cos \frac{A+C}{2} \sin \frac{A}{2}} = \frac{k + 1}{k - 1}$.
$\tan \left( \frac{A+C}{2} \right) \cot \frac{A}{2} = \frac{k + 1}{k - 1}$.
चूंकि $A + B + C = \pi$,इसलिए $\frac{A+C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{B}{2}$.
अतः,$\cot \frac{B}{2} \cot \frac{A}{2} = \frac{k + 1}{k - 1}$.
इस प्रकार,$\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} = \frac{k - 1}{k + 1}$.

(A) माना $x = \tan \frac{A}{2}$,$y = \tan \frac{B}{2}$,$z = \tan \frac{C}{2}$ है।
किसी भी $\Delta ABC$ में,हम जानते हैं कि $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2} \tan \frac{A}{2} = 1$ होता है।
दिया गया व्यंजक $E = \frac{\frac{1}{x^2 y^2} + \frac{1}{y^2 z^2} + \frac{1}{z^2 x^2}}{\frac{1}{x^2 y^2 z^2}} = x^2 + y^2 + z^2$ है।
हम जानते हैं कि $x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx$ होता है।
चूंकि $xy + yz + zx = 1$,इसलिए $x^2 + y^2 + z^2 \ge 1$ है।
समानता तब प्राप्त होती है जब $x = y = z = \frac{1}{\sqrt{3}}$,जो एक समबाहु त्रिभुज को दर्शाता है।
अतः,न्यूनतम मान $1$ है।

(C) माना $y = (7 \cos\theta + 24 \sin\theta)(7 \sin\theta - 24 \cos\theta)$ है।
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y = r^2 \cos(\theta - \phi) \sin(\theta - \phi)$,जहाँ $r = 25$ है।
$y = \frac{r^2}{2} \sin(2(\theta - \phi)) = \frac{625}{2} \sin(2(\theta - \phi))$ है।
अतः,अधिकतम मान $\frac{625}{2}$ है।

(A) दिया गया है कि $A$ और $B$ पूरक कोण हैं,इसलिए $A + B = 90^{\circ}$ या $A + B = \frac{\pi}{2}$.
अतः,$\frac{A}{2} + \frac{B}{2} = \frac{\pi}{4}$.
दोनों पक्षों में टैनजेंट लेने पर: $\tan(\frac{A}{2} + \frac{B}{2}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
सूत्र $\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\tan(A/2) + \tan(B/2)}{1 - \tan(A/2)\tan(B/2)} = 1$.
$\tan(A/2) + \tan(B/2) = 1 - \tan(A/2)\tan(B/2)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $1 + \tan(A/2) + \tan(B/2) + \tan(A/2)\tan(B/2) = 2$.
गुणनखंड करने पर: $(1 + \tan(A/2))(1 + \tan(B/2)) = 2$.
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(C) माना $y = 8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x$.
यहाँ $t = \cos^2 x$ लेने पर,जहाँ $t \in (0, 1]$,हमें $y = 8t + \frac{18}{t}$ प्राप्त होता है।
फलन $f(t) = 8t + \frac{18}{t}$ का अवकलन $f'(t) = 8 - \frac{18}{t^2}$ है।
$t \in (0, 1]$ के लिए $f'(t) < 0$ है,अतः फलन एक ह्रासमान फलन है।
इसलिए,न्यूनतम मान $t = 1$ पर प्राप्त होता है।
$y_{min} = 8(1) + \frac{18}{1} = 26$.

(D) प्रत्येक फलन का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $f(x) = sin^2 x - cos^2 x = -cos 2x$ के लिए,परिसर $[-1, 1]$ है। अधिकतम मान $1$ है।
$2$. $f(x) = \frac{\sin 2x - \cos 2x}{\sqrt{2}}$ के लिए,इसे $\sin(2x - \frac{\pi}{4})$ के रूप में लिखा जा सकता है। परिसर $[-1, 1]$ है। अधिकतम मान $1$ है।
$3$. $f(x) = -\frac{\sin 2x - \cos 2x}{\sqrt{2}}$ के लिए,इसे $-\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4} - 2x)$ के रूप में लिखा जा सकता है। परिसर $[-1, 1]$ है। अधिकतम मान $1$ है।
चूंकि सभी फलनों का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) माना $E = 1 + 4 \sin \theta + 3 \cos \theta$ है।
हम जानते हैं कि व्यंजक $a \sin \theta + b \cos \theta$ का मान $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ अंतराल में होता है।
यहाँ,$a = 4$ और $b = 3$ है,इसलिए $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ है।
अतः,$4 \sin \theta + 3 \cos \theta$ का मान $-5$ से $5$ के बीच होता है।
पूरे व्यंजक में $1$ जोड़ने पर,$1 + (-5) \leq E \leq 1 + 5$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$-4 \leq E \leq 6$ है।
अतः,चरम मान $-4$ और $6$ हैं।

(D) माना $y = \frac{\tan(x + \frac{\pi}{6})}{\tan x}$.
सूत्र $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = \frac{\tan x + \tan(\frac{\pi}{6})}{\tan x (1 - \tan x \tan(\frac{\pi}{6}))} = \frac{\tan x + \frac{1}{\sqrt{3}}}{\tan x (1 - \frac{\tan x}{\sqrt{3}})} = \frac{\sqrt{3} \tan x + 1}{\tan x (\sqrt{3} - \tan x)}$.
वैकल्पिक रूप से,साइन और कोसाइन का उपयोग करने पर:
$y = \frac{\sin(x + \frac{\pi}{6}) \cos x}{\cos(x + \frac{\pi}{6}) \sin x} = \frac{2 \sin(x + \frac{\pi}{6}) \cos x}{2 \sin x \cos(x + \frac{\pi}{6})} = \frac{\sin(2x + \frac{\pi}{6}) + \sin(\frac{\pi}{6})}{\sin(2x + \frac{\pi}{6}) - \sin(\frac{\pi}{6})} = \frac{\sin(2x + \frac{\pi}{6}) + 1/2}{\sin(2x + \frac{\pi}{6}) - 1/2}$.
माना $u = \sin(2x + \frac{\pi}{6})$. तब $y = \frac{u + 1/2}{u - 1/2} = 1 + \frac{1}{u - 1/2}$.
ग्राफ से यह स्पष्ट है कि स्थानीय न्यूनतम मान $3$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \frac{1}{\sin x + 4} - \frac{1}{\cos x - 4}$ है।
अवकलन करके और $f'(x) = 0$ रखकर चरम बिंदु प्राप्त करने पर,हमें $x = n\pi + \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
जब $x = 2n\pi + \frac{3\pi}{4}$ होता है,तब $\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$f(x) = \frac{1}{4 + 1/\sqrt{2}} - \frac{1}{-1/\sqrt{2} - 4} = \frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{2} + 1} + \frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{2} + 1} = \frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2} + 1}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $(C)$ है।

(A) माना $f(x) = \frac{\cos x}{\sin^2 x(\cos x - \sin x)}$.
$t = \tan x$ रखने पर,जहाँ $t \in (0, 1)$,व्यंजक $\frac{1}{t^2(1-t)}$ हो जाता है।
$h(t) = t^2 - t^3$ का अधिकतम मान $t = 2/3$ पर $4/27$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक का न्यूनतम मान $27/4 = 6.75$ है।
इस प्रकार,व्यंजक $6.75$ से बड़ा कोई भी मान ले सकता है।

(B) दिया गया व्यंजक $\left(\frac{a^{4}+a^{2}+1}{a^{2}}\right)\left(\frac{b^{4}+7 b^{2}+1}{b^{2}}\right)\left(\frac{c^{4}+11 c^{2}+1}{c^{2}}\right)$ है।
इसे $\left(a^{2}+\frac{1}{a^{2}}+1\right)\left(b^{2}+\frac{1}{b^{2}}+7\right)\left(c^{2}+\frac{1}{c^{2}}+11\right)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सर्वसमिका $x^2 + \frac{1}{x^2} = (x - \frac{1}{x})^2 + 2$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left[(a-\frac{1}{a})^{2}+3\right]\left[(b-\frac{1}{b})^{2}+9\right]\left[(c-\frac{1}{c})^{2}+13\right]$.
$(x - \frac{1}{x})^2$ का न्यूनतम मान $0$ है,जो $x^2 = 1$ होने पर प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक का न्यूनतम मान $3 \times 9 \times 13 = 351$ है।

(D) दिया गया व्यंजक: $\sin A \cos B \cos C + \sin B \cos C \cos A + \sin C \cos A \cos B$
व्यंजक से $\cos A \cos B \cos C$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$= \cos A \cos B \cos C (\frac{\sin A}{\cos A} + \frac{\sin B}{\cos B} + \frac{\sin C}{\cos C})$
$= \cos A \cos B \cos C (\tan A + \tan B + \tan C)$
किसी भी $\Delta ABC$ में,हम जानते हैं कि $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$ होता है।
इस सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$= \cos A \cos B \cos C (\tan A \tan B \tan C)$
$= \cos A \cos B \cos C (\frac{\sin A}{\cos A} \cdot \frac{\sin B}{\cos B} \cdot \frac{\sin C}{\cos C})$
$= \sin A \sin B \sin C$