$a > b > c > 0$ के लिए,$(1,1)$ और रेखाओं $ax + by + c = 0$ तथा $bx + ay + c = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु के बीच की दूरी $2\sqrt{2}$ से कम है। तो:

समतल में $y=x+r$ और $y=-x+r$ द्वारा दी गई चौदह रेखाओं पर विचार करें,जहाँ $r \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है। इन रेखाओं द्वारा निर्मित वर्गों की संख्या,जिनकी भुजाओं की लंबाई $\sqrt{2}$ है,है:

मान लीजिए कि एक सीधी रेखा $L : x + by + c = 0$ द्वारा निर्देशांक अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $48$ वर्ग इकाई है। यदि मूल बिंदु से रेखा $L$ पर खींचा गया लंब धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है,तो $b^2 + c^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

बिंदु $A=(-5,-4)$ से गुजरने वाली और $\tan \theta$ ढाल वाली एक सीधी रेखा $L \equiv 0$,रेखाओं $x+3y+2=0$ और $2x+y+4=0$ को क्रमशः $B$ और $C$ बिंदुओं पर मिलती है। यदि $\frac{100}{AC^2}-\frac{225}{AB^2}=4 \cos 2\theta+\sin 2\theta$ है,तो रेखा $L \equiv 0$ की ढाल ज्ञात कीजिए।

यदि $L_1$ बिंदु $P(4, -3)$ से गुजरने वाली और रेखा $3x - 4y + k = 0$ के लंबवत एक रेखा है,तो रेखा $L_1$ के अनुदिश $P$ की रेखा $5x - 3y - 2 = 0$ से दूरी क्या है?

यदि $\alpha$ मूल बिंदु से रेखा $3x - 4y + 5 = 0$ पर खींचे गए लंब द्वारा धनात्मक $X$-अक्ष के साथ धनात्मक दिशा में बनाया गया कोण है,और $ax + by = 1$ बिंदु $(1, -1)$ से गुजरने वाली और $\tan \alpha$ ढाल वाली एक रेखा का समीकरण है,तो $a + ab + b =$