Mean Deviation Questions in Hindi

(B) माध्य विचलन को एक केंद्रीय मान से निरपेक्ष विचलनों के योग को अवलोकनों की संख्या से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
यह एक ज्ञात गणितीय गुण है कि निरपेक्ष विचलनों का योग $\sum |x_i - A|$ तब न्यूनतम होता है जब $A$ डेटा सेट की माध्यिका होती है।
इसलिए,माध्यिका से माध्य विचलन किसी अन्य मान से मापे गए माध्य विचलन की तुलना में न्यूनतम होता है।

(B) सबसे पहले,अंकगणितीय माध्य $(\bar{x})$ की गणना करें:
$\bar{x} = \frac{3 + 4 + 5 + 6 + 7}{5} = \frac{25}{5} = 5$
इसके बाद,माध्य विचलन के सूत्र का उपयोग करके गणना करें:
$\text{माध्य विचलन} = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n}$
मान रखने पर:
$= \frac{|3 - 5| + |4 - 5| + |5 - 5| + |6 - 5| + |7 - 5|}{5}$
$= \frac{|-2| + |-1| + |0| + |1| + |2|}{5}$
$= \frac{2 + 1 + 0 + 1 + 2}{5} = \frac{6}{5} = 1.2$

(C) आवृत्ति वितरण के लिए माध्य से माध्य विचलन का सूत्र $M.D.(\bar{x}) = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i |x_i - \bar{x}|}{\sum_{i=1}^{n} f_i}$ है।
यहाँ,$d_i = x_i - \bar{x}$ माध्य $\bar{x}$ से $i$-वें अवलोकन का विचलन दर्शाता है।
अतः,सूत्र को $M.D. = \frac{\sum f|d|}{\sum f}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(B) चरण $1$: अवलोकनों का माध्य ज्ञात कीजिए।
माध्य $(\bar{x}) = \frac{-1 + 0 + 4}{3} = \frac{3}{3} = 1$.
चरण $2$: माध्य से माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
$M.D. = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n} = \frac{|-1 - 1| + |0 - 1| + |4 - 1|}{3}$.
$M.D. = \frac{|-2| + |-1| + |3|}{3} = \frac{2 + 1 + 3}{3} = \frac{6}{3} = 2$.

(A) सबसे पहले,दिए गए आंकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें:
$34, 38, 42, 44, 46, 48, 54, 55, 63, 70$
यहाँ प्रेक्षणों की संख्या $n = 10$ (सम) है,इसलिए माध्यिका $M$,$5$ वें और $6$ वें पद का औसत है:
$M = \frac{46 + 48}{2} = 47$
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन = $\frac{1}{n} \sum |x_i - M|$ है।
प्रत्येक पद के लिए $|x_i - 47|$ की गणना:
$|34-47| = 13, |38-47| = 9, |42-47| = 5, |44-47| = 3, |46-47| = 1, |48-47| = 1, |54-47| = 7, |55-47| = 8, |63-47| = 16, |70-47| = 23$
निरपेक्ष विचलनों का योग = $13 + 9 + 5 + 3 + 1 + 1 + 7 + 8 + 16 + 23 = 86$
माध्य विचलन = $\frac{86}{10} = 8.6$.

(A) दी गई संख्याएँ: $3, 4, 5, 6, 7$.
सबसे पहले,माध्य $(\bar{x})$ ज्ञात करें:
$\bar{x} = \frac{3 + 4 + 5 + 6 + 7}{5} = \frac{25}{5} = 5$.
अब,माध्य विचलन के सूत्र का उपयोग करें: $\text{माध्य विचलन} = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n}$.
$\text{माध्य विचलन} = \frac{1}{5} [|3 - 5| + |4 - 5| + |5 - 5| + |6 - 5| + |7 - 5|]$.
$= \frac{1}{5} [|-2| + |-1| + |0| + |1| + |2|]$.
$= \frac{1}{5} [2 + 1 + 0 + 1 + 2] = \frac{6}{5} = 1.2$.

(C) सबसे पहले,अवलोकनों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: $150, 210, 240, 300, 310, 320, 340$.
अवलोकनों की संख्या $n = 7$ है,जो एक विषम संख्या है।
माध्यिका मध्य पद है,जो $4^{th}$ पद है: $\text{Median} = 300$.
अब,माध्यिका से माध्य विचलन $\frac{1}{n} \sum |x_i - \text{Median}|$ सूत्र का उपयोग करके गणना करें:

$x_i$	$|x_i - 300|$
$150$	$|150 - 300| = 150$
$210$	$|210 - 300| = 90$
$240$	$|240 - 300| = 60$
$300$	$|300 - 300| = 0$
$310$	$|310 - 300| = 10$
$320$	$|320 - 300| = 20$
$340$	$|340 - 300| = 40$
Total	$\sum |x_i - 300| = 370$

माध्यिका से माध्य विचलन $= \frac{370}{7} \approx 52.857 \approx 52.86$.

(B) दी गई संख्याओं का समूह $1, 2, 3, 4, 5$ है।
सबसे पहले,माध्य $(\overline{x})$ की गणना करें:
$\overline{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = \frac{15}{5} = 3$.
अब,माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन के सूत्र $\frac{\sum |x_i - \overline{x}|}{N}$ का उपयोग करें:
$|1 - 3| = 2$
$|2 - 3| = 1$
$|3 - 3| = 0$
$|4 - 3| = 1$
$|5 - 3| = 2$
निरपेक्ष विचलनों का योग $= 2 + 1 + 0 + 1 + 2 = 6$.
माध्य विचलन $= \frac{6}{5} = 1.2$.

(D) बारंबारता वितरण का माध्य विचलन,केंद्रीय मान (माध्य या माध्यिका) से अवलोकनों के निरपेक्ष विचलनों का अंकगणितीय माध्य होता है।
बारंबारता $f_i$ और निरपेक्ष विचलन $|d_i|$ वाले बारंबारता वितरण के लिए,सूत्र इस प्रकार है:
$\text{माध्य विचलन} = \frac{\sum f_i |d_i|}{\sum f_i}$

(B) माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन का गुणांक ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{माध्य विचलन का गुणांक} = \frac{\text{माध्य विचलन}}{\text{माध्य}}$.
यहाँ,$\text{माध्य विचलन} = 1.2$ और $\text{माध्य} = 3$ दिया गया है।
अतः,$\text{माध्य विचलन का गुणांक} = \frac{1.2}{3} = 0.4$.

(B) सबसे पहले,माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ की गणना करें।

$x_i$	$f_i$	$f_i x_i$	$|x_i - \bar{x}|$	$f_i |x_i - \bar{x}|$
$3$	$8$	$24$	$|3 - 15| = 12$	$96$
$9$	$10$	$90$	$|9 - 15| = 6$	$60$
$17$	$12$	$204$	$|17 - 15| = 2$	$24$
$23$	$9$	$207$	$|23 - 15| = 8$	$72$
$27$	$5$	$135$	$|27 - 15| = 12$	$60$
कुल	$N = 44$	$\sum f_i x_i = 660$	-	$\sum f_i |x_i - \bar{x}| = 312$

माध्य $\bar{x} = \frac{660}{44} = 15$.
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $= \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{N} = \frac{312}{44} \approx 7.09$.

(C) दिए गए अवलोकन $x_i = -1, 0, 4$ हैं।
सबसे पहले,माध्य $(\bar{x})$ की गणना करें:
$\bar{x} = \frac{-1 + 0 + 4}{3} = \frac{3}{3} = 1$.
इसके बाद,माध्य से निरपेक्ष विचलन $|x_i - \bar{x}|$ की गणना करें:
$|-1 - 1| = |-2| = 2$
$|0 - 1| = |-1| = 1$
$|4 - 1| = |3| = 3$
निरपेक्ष विचलनों का योग = $2 + 1 + 3 = 6$.
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन = $\frac{1}{n} \sum |x_i - \bar{x}| = \frac{6}{3} = 2$.

(B) दी गई श्रेणी एक समांतर श्रेणी है: $5, 10, 15, \dots, 85$।
यहाँ,प्रथम पद $a = 5$,सार्व अंतर $d = 5$,और अंतिम पद $l = 85$ है।
पदों की संख्या $n$ इस प्रकार है: $85 = 5 + (n - 1)5$,जिसका अर्थ है $n = 17$।
माध्य $\bar{x} = \frac{5 + 85}{2} = 45$ है।
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन का सूत्र $M.D. = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|$ है।
जब $n$ विषम हो,तो समांतर श्रेणी के लिए माध्य विचलन $M.D. = \frac{d(n^2 - 1)}{4n}$ होता है।
यहाँ $n = 17$ (विषम) और $d = 5$ है।
$M.D. = \frac{5(17^2 - 1)}{4 \times 17} = \frac{5(289 - 1)}{68} = \frac{5 \times 288}{68} = \frac{1440}{68} \approx 21.176$।

(B) सबसे पहले हम अवलोकनों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करते हैं:
$34, 38, 42, 44, 46, 48, 54, 55, 63, 70$
यहाँ $n = 10$ (सम).
माध्यिका $(M) = \frac{(\frac{n}{2})\text{वां पद} + (\frac{n}{2} + 1)\text{वां पद}}{2} = \frac{46 + 48}{2} = 47$.
अब,माध्यिका से निरपेक्ष विचलनों का योग:
$\Sigma |x_i - M| = |34-47| + |38-47| + |42-47| + |44-47| + |46-47| + |48-47| + |54-47| + |55-47| + |63-47| + |70-47|$
$= 13 + 9 + 5 + 3 + 1 + 1 + 7 + 8 + 16 + 23 = 86$.
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $= \frac{\Sigma |x_i - M|}{n} = \frac{86}{10} = 8.6$.

(A) दी गई संख्याएँ समांतर श्रेणी में हैं: $1, 1+d, 1+2d, \dots, 1+100d$।
यहाँ,पदों की संख्या $N = 101$ है।
इन पदों का माध्य $\bar{x} = 1 + 50d$ है।
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $M.D. = \frac{|d|}{101} \sum_{i=0}^{100} |i-50|$ होता है।
योग की गणना करने पर: $\sum_{i=0}^{100} |i-50| = 2550$।
अतः,$M.D. = \frac{|d|}{101} \times 2550 = 255$।
$|d| = \frac{255 \times 101}{2550} = 10.1$।

(A) दी गई संख्याएँ $a, 2a, 3a, \dots, 50a$ हैं। पदों की संख्या $n = 50$ है।
चूँकि $n$ सम है,माध्यिका $M$,$25$ वें और $26$ वें पद का औसत है:
$M = \frac{25a + 26a}{2} = 25.5a$.
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $M.D. = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - M|$ द्वारा दिया जाता है।
$M.D. = \frac{1}{50} \sum_{i=1}^{50} |ia - 25.5a| = \frac{|a|}{50} \sum_{i=1}^{50} |i - 25.5|$.
योग का विस्तार करने पर: $\sum_{i=1}^{50} |i - 25.5| = |1 - 25.5| + |2 - 25.5| + \dots + |50 - 25.5|$.
$= 24.5 + 23.5 + \dots + 0.5 + 0.5 + \dots + 23.5 + 24.5$.
$= 2 \times (0.5 + 1.5 + \dots + 24.5)$.
यह $25$ पदों की एक समांतर श्रेणी है जहाँ प्रथम पद $a_1 = 0.5$ और अंतिम पद $l = 24.5$ है।
योग $= 2 \times \left[ \frac{25}{2} (0.5 + 24.5) \right] = 25 \times 25 = 625$.
दिया गया है $M.D. = 50$,इसलिए $\frac{|a|}{50} \times 625 = 50$.
$|a| \times 12.5 = 50 \Rightarrow |a| = \frac{50}{12.5} = 4$.

(B) अवलोकनों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर: $40, 54, 62, 68, 76, 90$.
पदों की संख्या $(n) = 6$ (सम).
माध्यिका $(M) = \frac{(\frac{n}{2}) \text{ वां पद} + (\frac{n}{2} + 1) \text{ वां पद}}{2} = \frac{62 + 68}{2} = 65$.
$\Sigma |x_i - M| = |40-65| + |54-65| + |62-65| + |68-65| + |76-65| + |90-65| = 25 + 11 + 3 + 3 + 11 + 25 = 78$.
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $= \frac{\Sigma |x_i - M|}{n} = \frac{78}{6} = 13$.
माध्य विचलन का गुणांक $= \frac{\text{माध्य विचलन}}{\text{माध्यिका}} = \frac{13}{65} = 0.2$.

(D) दिए गए अवलोकन $4, 7, 2, 8, 6, a$ हैं। अवलोकनों की संख्या $n = 6$ है।
माध्य $7$ दिया गया है।
$\frac{4 + 7 + 2 + 8 + 6 + a}{6} = 7$
$\frac{27 + a}{6} = 7$
$27 + a = 42$
$a = 15$.
अवलोकन $4, 7, 2, 8, 6, 15$ हैं।
आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर: $2, 4, 6, 7, 8, 15$।
चूंकि $n = 6$ (सम संख्या) है,माध्यिका $M = \frac{(n/2)^{th} \text{ पद} + (n/2 + 1)^{th} \text{ पद}}{2} = \frac{6 + 7}{2} = 6.5$।
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $= \frac{\sum |x_i - M|}{n}$।

$x_i$	$|x_i - 6.5|$
$2$	$4.5$
$4$	$2.5$
$6$	$0.5$
$7$	$0.5$
$8$	$1.5$
$15$	$8.5$

विचलन का योग $= 4.5 + 2.5 + 0.5 + 0.5 + 1.5 + 8.5 = 18$।
माध्य विचलन $= \frac{18}{6} = 3$।

(B) श्रेणी में पदों की संख्या $N = 2n + 1$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{a + (a + d) + (a + 2d) + \dots + (a + 2nd)}{2n + 1}$ है।
समांतर श्रेणी के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\bar{x} = \frac{1}{2n + 1} \left[ \frac{2n + 1}{2} (a + a + 2nd) \right] = a + nd$ है।
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $MD = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} |x_i - \bar{x}|$ है।
$\sum |x_i - \bar{x}| = |-nd| + |(1 - n)d| + \dots + |0| + \dots + |nd| = 2|d| [n + (n - 1) + \dots + 1] = 2|d| \frac{n(n + 1)}{2} = n(n + 1)|d|$ है।
अतः,$MD = \frac{n(n + 1)|d|}{2n + 1}$ है।

(B) डेटा सेट का माध्य विचलन एक केंद्रीय मान $M$ से अवलोकनों के निरपेक्ष विचलनों के औसत के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$M$ के सापेक्ष माध्य विचलन $MD(M) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - M|$ द्वारा दिया जाता है।
यह एक सुस्थापित सांख्यिकीय गुण है कि निरपेक्ष विचलनों का योग $\sum |x_i - M|$ तब न्यूनतम होता है जब $M$ डेटा सेट की माध्यिका होती है।
इसलिए,माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन किसी भी अन्य केंद्रीय मान की तुलना में न्यूनतम माध्य विचलन होता है।

(B) दी गई श्रेणी $1, 1+d, 1+2d, \dots, 1+100d$ एक $n = 101$ पदों वाली समांतर श्रेणी $(A.P.)$ है।
इस श्रेणी का माध्य $\bar{x} = \frac{\sum_{r=0}^{100} (1+rd)}{101} = \frac{101 + d \frac{100 \times 101}{2}}{101} = 1 + 50d$ है।
माध्य से माध्य विचलन $\frac{1}{101} \sum_{r=0}^{100} |(1+rd) - (1+50d)| = \frac{1}{101} \sum_{r=0}^{100} |(r-50)d|$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए $d > 0$,तो यह $\frac{d}{101} [\sum_{r=0}^{50} (50-r) + \sum_{r=51}^{100} (r-50)]$ हो जाता है।
$= \frac{d}{101} [ (50+49+\dots+0) + (1+2+\dots+50) ] = \frac{d}{101} [ 2 \times \frac{50 \times 51}{2} ] = \frac{50 \times 51 \times d}{101}$.
दिया गया है कि माध्य विचलन $255$ है,इसलिए $\frac{50 \times 51 \times d}{101} = 255$.
$d = \frac{255 \times 101}{50 \times 51} = \frac{5 \times 101}{50} = \frac{101}{10} = 10.1$.

(B) दी गई संख्याएँ $a, 2a, 3a, \dots, 50a$ हैं। पदों की कुल संख्या $n = 50$ है।
चूंकि $n$ सम है,माध्यिका $25$ वें और $26$ वें पद का औसत है:
$\text{माध्यिका} = \frac{25a + 26a}{2} = 25.5a$.
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \text{माध्यिका}| = 50$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{1}{50} \sum_{i=1}^{50} |ia - 25.5a| = 50$.
$|a| (|25.5 - 1| + |25.5 - 2| + \dots + |25.5 - 50|) = 2500$.
$|a| (24.5 + 23.5 + \dots + 0.5 + 0.5 + \dots + 24.5) = 2500$.
$|a| \times 2 \times (0.5 + 1.5 + \dots + 24.5) = 2500$.
$|a| \times 25 \times 25 = 2500$.
$|a| = 4$.

(C) कुल अवलोकनों की संख्या $3n$ है।
$n$ अवलोकन $a$ हैं और $2n$ अवलोकन $-2a$ हैं।
माध्य $(\bar{X}) = \frac{n(a) + 2n(-2a)}{3n} = \frac{na - 4na}{3n} = -a$.
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $= \frac{1}{3n} \sum_{i=1}^{3n} |x_i - \bar{X}|$.
मान रखने पर:
माध्य विचलन $= \frac{n|a - (-a)| + 2n|-2a - (-a)|}{3n} = \frac{n|2a| + 2n|-a|}{3n} = \frac{2na + 2na}{3n} = \frac{4a}{3}$.

(A) दिए गए प्रेक्षण $x, 2x, 3x, 4x, 5x, 6x, 7x, 8x, 9x, 10x$ हैं। यहाँ $n = 10$ है,इसलिए माध्यिका $= \frac{5x + 6x}{2} = 5.5|x|$.
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{10} |x_i - \text{माध्यिका}| = 30$.
मान रखने पर: $\frac{1}{10} (|x - 5.5x| + |2x - 5.5x| + |3x - 5.5x| + |4x - 5.5x| + |5x - 5.5x| + |6x - 5.5x| + |7x - 5.5x| + |8x - 5.5x| + |9x - 5.5x| + |10x - 5.5x|) = 30$.
इसे सरल करने पर: $\frac{2}{10} (4.5 + 3.5 + 2.5 + 1.5 + 0.5) |x| = 30$.
$\frac{2}{10} (12.5) |x| = 30$.
$2.5 |x| = 30$.
$|x| = 12$.

(B) अवलोकनों $x_1, x_2, ..., x_n$ के समूह के लिए $a$ के सापेक्ष माध्य विचलन को $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - a|$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह एक सुप्रसिद्ध गणितीय गुण है कि निरपेक्ष विचलनों का योग $\sum |x_i - a|$ तब न्यूनतम होता है जब $a$ डेटा सेट की माध्यिका (Median) हो।
इसलिए,माध्य विचलन तब न्यूनतम होता है जब इसकी गणना माध्यिका के सापेक्ष की जाती है।

(A) दी गई संख्याएँ $1, 1+d, 1+2d, \dots, 1+100d$ हैं। यह $n = 101$ पदों वाली एक समांतर श्रेणी है।
माध्य $\bar{x} = \frac{1}{101} \sum_{k=0}^{100} (1 + kd) = 1 + 50d$ है।
माध्य से माध्य विचलन:
$MD = \frac{|d|}{101} \sum_{k=0}^{100} |k - 50| = \frac{|d|}{101} \times 2550 = 255$.
अतः,$|d| = \frac{255 \times 101}{2550} = 10.1$.

(C) दिया गया है $n = 5$,माध्य $\bar{x} = 5$,और प्रसरण $\sigma^2 = 124$.
माना प्रेक्षण $x_1=1, x_2=2, x_3=6, x_4, x_5$ हैं।
चूँकि $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{5} = 5$,इसलिए $1+2+6+x_4+x_5 = 25$,जिससे $x_4+x_5 = 16$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = 124$.
$\frac{1^2+2^2+6^2+x_4^2+x_5^2}{5} - 5^2 = 124$ $\Rightarrow \frac{1+4+36+x_4^2+x_5^2}{5} = 149$ $\Rightarrow x_4^2+x_5^2 = 704$.
माध्य विचलन $M$.$D$. $= \frac{1}{5} \sum |x_i - 5| = \frac{1}{5} (|1-5| + |2-5| + |6-5| + |x_4-5| + |x_5-5|)$.
$|x_4-5| + |x_5-5| = |x_4+x_5-10| = |16-10| = 6$.
$M$.$D$. $= \frac{4+3+1+6}{5} = \frac{14}{5} = 2.8$.

(D) दिए गए प्रेक्षण $4, 7, 2, 8, 6, a$ हैं और माध्य $7$ है।
हम जानते हैं कि माध्य $= \frac{4 + 7 + 2 + 8 + 6 + a}{6}$.
$7 = \frac{27 + a}{6}$ $\Rightarrow 42 = 27 + a$ $\Rightarrow a = 15$.
अब,आरोही क्रम में प्रेक्षण $2, 4, 6, 7, 8, 15$ हैं।
चूंकि प्रेक्षणों की संख्या $n = 6$ (सम) है,माध्यिका $3^{rd}$ और $4^{th}$ प्रेक्षणों का औसत है।
माध्यिका $= \frac{6 + 7}{2} = 6.5$.
माध्यिका से माध्य विचलन $= \frac{\sum |x_i - 6.5|}{6}$.
$= \frac{|2 - 6.5| + |4 - 6.5| + |6 - 6.5| + |7 - 6.5| + |8 - 6.5| + |15 - 6.5|}{6}$.
$= \frac{4.5 + 2.5 + 0.5 + 0.5 + 1.5 + 8.5}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

(A) चरण $1$: दिए गए आंकड़ों का माध्य ज्ञात कीजिए:
$\bar{x} = \frac{6+7+10+12+13+4+8+12}{8} = \frac{72}{8} = 9$
चरण $2$: माध्य से प्रेक्षणों के निरपेक्ष विचलन $|x_i - \bar{x}|$ ज्ञात कीजिए:
$|6-9| = 3, |7-9| = 2, |10-9| = 1, |12-9| = 3, |13-9| = 4, |4-9| = 5, |8-9| = 1, |12-9| = 3$
चरण $3$: माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए:
$M.D.(\bar{x}) = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n} = \frac{3+2+1+3+4+5+1+3}{8} = \frac{22}{8} = 2.75$

(A) सबसे पहले,हम दिए गए डेटा का माध्य $(\bar{x})$ ज्ञात करते हैं:
$\bar{x} = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} x_i = \frac{201}{20} = 10.05$.
इसके बाद,हम निरपेक्ष विचलन $|x_i - \bar{x}|$ ज्ञात करते हैं:
सभी निरपेक्ष विचलनों का योग $\sum |x_i - \bar{x}| = 124$ है।
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन:
$M.D.(\bar{x}) = \frac{124}{20} = 6.2$.

(A) प्रेक्षणों की संख्या $n = 11$ है,जो विषम है।
आंकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर: $3, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 18, 19, 21$।
माध्यिका $(M) = \left(\frac{n+1}{2}\right)^{\text{th}}$ प्रेक्षण $= 6^{\text{th}}$ प्रेक्षण $= 9$।
माध्यिका से निरपेक्ष विचलन $|x_i - M|$ हैं:
$|3-9|=6, |3-9|=6, |4-9|=5, |5-9|=4, |7-9|=2, |9-9|=0, |10-9|=1, |12-9|=3, |18-9|=9, |19-9|=10, |21-9|=12$।
निरपेक्ष विचलनों का योग $\sum |x_i - M| = 6 + 6 + 5 + 4 + 2 + 0 + 1 + 3 + 9 + 10 + 12 = 58$।
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $= \frac{1}{n} \sum |x_i - M| = \frac{58}{11} \approx 5.27$।

(A) सबसे पहले,हम दिए गए डेटा का माध्य $\bar{x}$ ज्ञात करते हैं:
$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{(2 \times 2) + (5 \times 8) + (6 \times 10) + (8 \times 7) + (10 \times 8) + (12 \times 5)}{2 + 8 + 10 + 7 + 8 + 5} = \frac{4 + 40 + 60 + 56 + 80 + 60}{40} = \frac{300}{40} = 7.5$
इसके बाद,हम माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन के सूत्र $M.D.(\bar{x}) = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{N}$ का उपयोग करके गणना करते हैं:
(तालिका ऊपर दी गई है)
$M.D.(\bar{x}) = \frac{92}{40} = 2.3$

दिए गए अवलोकन पहले से ही आरोही क्रम में हैं। दिए गए डेटा में संचयी आवृत्ति $(c.f.)$ के लिए एक पंक्ति जोड़ने पर:

$x_i$	$3$	$6$	$9$	$12$	$13$	$15$	$21$	$22$
$f_i$	$3$	$4$	$5$	$2$	$4$	$5$	$4$	$3$
$c.f.$	$3$	$7$	$12$	$14$	$18$	$23$	$27$	$30$

यहाँ,$N = 30$,जो एक सम संख्या है।
माध्यिका $15$ वें और $16$ वें अवलोकन का माध्य है। ये दोनों अवलोकन संचयी आवृत्ति $18$ में स्थित हैं,जिसके लिए संबंधित अवलोकन $13$ है।
इसलिए,माध्यिका $M = \frac{15\text{वां अवलोकन} + 16\text{वां अवलोकन}}{2} = \frac{13+13}{2} = 13$.
अब,माध्यिका से विचलन के निरपेक्ष मान,$|x_i - M|$,की गणना करने पर:

$|x_i - M|$	$10$	$7$	$4$	$1$	$0$	$2$	$8$	$9$
$f_i$	$3$	$4$	$5$	$2$	$4$	$5$	$4$	$3$
$f_i|x_i - M|$	$30$	$28$	$20$	$2$	$0$	$10$	$32$	$27$

हम जानते हैं कि $\sum f_i = 30$ और $\sum f_i|x_i - M| = 149$ है।
इसलिए,$M.D.(M) = \frac{1}{N} \sum f_i|x_i - M| = \frac{149}{30} = 4.97$.

(D) दिए गए डेटा से हम निम्नलिखित तालिका बनाते हैं:

प्राप्त अंक	छात्रों की संख्या $(f_i)$	मध्य-बिंदु $(x_i)$	$f_i x_i$	$|x_i - \bar{x}|$	$f_i |x_i - \bar{x}|$
$10-20$	$2$	$15$	$30$	$30$	$60$
$20-30$	$3$	$25$	$75$	$20$	$60$
$30-40$	$8$	$35$	$280$	$10$	$80$
$40-50$	$14$	$45$	$630$	$0$	$0$
$50-60$	$8$	$55$	$440$	$10$	$80$
$60-70$	$3$	$65$	$195$	$20$	$60$
$70-80$	$2$	$75$	$150$	$30$	$60$
कुल	$N=40$	-	$1800$	-	$400$

यहाँ,$N = \sum f_i = 40$ और $\sum f_i x_i = 1800$.
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{1800}{40} = 45$.
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $M.D.(\bar{x}) = \frac{1}{N} \sum f_i |x_i - \bar{x}|$ द्वारा दिया जाता है।
$M.D.(\bar{x}) = \frac{400}{40} = 10$.

(10.16) माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन की गणना करने के लिए,हम पहले आवृत्ति वितरण तालिका बनाते हैं:

वर्ग	आवृत्ति $(f_i)$	$c.f.$	मध्य-बिंदु $(x_i)$	$|x_i - M|$	$f_i |x_i - M|$
$0-10$	$6$	$6$	$5$	$23$	$138$
$10-20$	$7$	$13$	$15$	$13$	$91$
$20-30$	$15$	$28$	$25$	$3$	$45$
$30-40$	$16$	$44$	$35$	$7$	$112$
$40-50$	$4$	$48$	$45$	$17$	$68$
$50-60$	$2$	$50$	$55$	$27$	$54$
कुल	$N=50$	-	-	-	$508$

यहाँ,$N = 50$,इसलिए $\frac{N}{2} = 25$। $25$ से ठीक बड़ी संचयी आवृत्ति $28$ है,जो $20-30$ वर्ग के अनुरूप है।
अतः,माध्यिका वर्ग $20-30$ है।
माध्यिका के सूत्र का उपयोग करते हुए: $M = l + \frac{\frac{N}{2} - C}{f} \times h$
जहाँ $l = 20, C = 13, f = 15, h = 10$।
$M = 20 + \frac{25 - 13}{15} \times 10 = 20 + \frac{120}{15} = 20 + 8 = 28$।
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $= \frac{1}{N} \sum f_i |x_i - M| = \frac{508}{50} = 10.16$।

(B) दिए गए आंकड़े $4, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 17$ हैं।
आंकड़ों का माध्य,$\bar{x} = \frac{4+7+8+9+10+12+13+17}{8} = \frac{80}{8} = 10$.
माध्य $\bar{x}$ से प्रेक्षणों के विचलन के निरपेक्ष मान,अर्थात $|x_{i} - \bar{x}|$,इस प्रकार हैं:
$|4-10| = 6, |7-10| = 3, |8-10| = 2, |9-10| = 1, |10-10| = 0, |12-10| = 2, |13-10| = 3, |17-10| = 7$.
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन है:
$M.D.(\bar{x}) = \frac{\sum_{i=1}^{8} |x_{i} - \bar{x}|}{8} = \frac{6 + 3 + 2 + 1 + 0 + 2 + 3 + 7}{8} = \frac{24}{8} = 3$.

(A) दिए गए आंकड़े $38, 70, 48, 40, 42, 55, 63, 46, 54, 44$ हैं।
सबसे पहले,माध्य $(\bar{x})$ की गणना करें:
$\bar{x} = \frac{38+70+48+40+42+55+63+46+54+44}{10} = \frac{500}{10} = 50$.
अब,प्रत्येक प्रेक्षण के लिए निरपेक्ष विचलन $|x_i - \bar{x}|$ ज्ञात करें:
$|38-50| = 12, |70-50| = 20, |48-50| = 2, |40-50| = 10, |42-50| = 8, |55-50| = 5, |63-50| = 13, |46-50| = 4, |54-50| = 4, |44-50| = 6$.
निरपेक्ष विचलनों का योग $12 + 20 + 2 + 10 + 8 + 5 + 13 + 4 + 4 + 6 = 84$ है।
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $\frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n} = \frac{84}{10} = 8.4$ है।

(A) दिए गए आंकड़े $13, 17, 16, 14, 11, 13, 10, 16, 11, 18, 12, 17$ हैं।
यहाँ,प्रेक्षणों की संख्या $n = 12$ है,जो एक सम संख्या है।
आंकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर:
$10, 11, 11, 12, 13, 13, 14, 16, 16, 17, 17, 18$.
माध्यिका $M = \frac{(\frac{n}{2}) \text{ वां प्रेक्षण} + (\frac{n}{2} + 1) \text{ वां प्रेक्षण}}{2} = \frac{6 \text{ वां प्रेक्षण} + 7 \text{ वां प्रेक्षण}}{2} = \frac{13 + 14}{2} = 13.5$.
निरपेक्ष विचलन $|x_i - M|$:
$|10 - 13.5| = 3.5, |11 - 13.5| = 2.5, |11 - 13.5| = 2.5, |12 - 13.5| = 1.5, |13 - 13.5| = 0.5, |13 - 13.5| = 0.5, |14 - 13.5| = 0.5, |16 - 13.5| = 2.5, |16 - 13.5| = 2.5, |17 - 13.5| = 3.5, |17 - 13.5| = 3.5, |18 - 13.5| = 4.5$.
निरपेक्ष विचलनों का योग = $28$.
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन = $\frac{\sum |x_i - M|}{n} = \frac{28}{12} \approx 2.33$.

(A) दिए गए आंकड़े $36, 72, 46, 42, 60, 45, 53, 46, 51, 49$ हैं।
यहाँ,प्रेक्षणों की संख्या $n = 10$ है,जो एक सम संख्या है।
आंकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर:
$36, 42, 45, 46, 46, 49, 51, 53, 60, 72$.
माध्यिका $M = \frac{(\frac{n}{2})\text{वाँ प्रेक्षण} + (\frac{n}{2} + 1)\text{वाँ प्रेक्षण}}{2}$.
$M = \frac{5\text{वाँ प्रेक्षण} + 6\text{वाँ प्रेक्षण}}{2} = \frac{46 + 49}{2} = \frac{95}{2} = 47.5$.
निरपेक्ष विचलन $|x_i - M|$ इस प्रकार हैं:
$|36 - 47.5| = 11.5, |42 - 47.5| = 5.5, |45 - 47.5| = 2.5, |46 - 47.5| = 1.5, |46 - 47.5| = 1.5, |49 - 47.5| = 1.5, |51 - 47.5| = 3.5, |53 - 47.5| = 5.5, |60 - 47.5| = 12.5, |72 - 47.5| = 24.5$.
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $\frac{\sum |x_i - M|}{n} = \frac{70}{10} = 7.0$ है।

सबसे पहले,माध्य $\bar{x}$ की गणना करें:
$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{350}{25} = 14$
अब,माध्य से माध्य विचलन ज्ञात करें:
$M.D.(\bar{x}) = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{N} = \frac{158}{25} = 6.32$

(A) सबसे पहले,माध्य $\bar{x}$ की गणना करें:
$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{(10 \times 4) + (30 \times 24) + (50 \times 28) + (70 \times 16) + (90 \times 8)}{4 + 24 + 28 + 16 + 8} = \frac{40 + 720 + 1400 + 1120 + 720}{80} = \frac{4000}{80} = 50$.
अब,माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $M.D.(\bar{x}) = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{\sum f_i}$ की गणना करें:

$x_i$	$f_i$	$|x_i - 50|$	$f_i |x_i - 50|$
$10$	$4$	$40$	$160$
$30$	$24$	$20$	$480$
$50$	$28$	$0$	$0$
$70$	$16$	$20$	$320$
$90$	$8$	$40$	$320$
कुल	$80$	-	$1280$

$M.D.(\bar{x}) = \frac{1280}{80} = 16$.

(A) दिए गए अवलोकन पहले से ही आरोही क्रम में हैं। संचयी बारंबारता $(c.f.)$ का कॉलम जोड़ने पर,हमें निम्नलिखित तालिका प्राप्त होती है:

${x_i}$	${f_i}$	$c.f.$
$5$	$8$	$8$
$7$	$6$	$14$
$9$	$2$	$16$
$10$	$2$	$18$
$12$	$2$	$20$
$15$	$6$	$26$

यहाँ,$N = 26,$ जो एक सम संख्या है।
माध्यिका $13^{th}$ और $14^{th}$ अवलोकनों का माध्य है। ये दोनों अवलोकन संचयी बारंबारता $14$ में आते हैं,जिसके लिए संबंधित अवलोकन $7$ है।
$\therefore \text{माध्यिका} (M) = \frac{7 + 7}{2} = 7.$
माध्यिका से विचलन के निरपेक्ष मान $|x_i - M|$ इस प्रकार हैं:

$x_i$	$|x_i - M|$	$f_i$	$f_i|x_i - M|$
$5$	$2$	$8$	$16$
$7$	$0$	$6$	$0$
$9$	$2$	$2$	$4$
$10$	$3$	$2$	$6$
$12$	$5$	$2$	$10$
$15$	$8$	$6$	$48$

$\sum f_i |x_i - M| = 16 + 0 + 4 + 6 + 10 + 48 = 84.$
$\text{माध्य विचलन} (M) = \frac{1}{N} \sum f_i |x_i - M| = \frac{84}{26} \approx 3.23.$

(A) दिए गए अवलोकन पहले से ही आरोही क्रम में हैं।
संचयी आवृत्ति $(c.f.)$ के लिए एक कॉलम जोड़ने पर:

$x_i$	$f_i$	$c.f.$
$15$	$3$	$3$
$21$	$5$	$8$
$27$	$6$	$14$
$30$	$7$	$21$
$35$	$8$	$29$

यहाँ,$N = \sum f_i = 29$,जो एक विषम संख्या है।
माध्यिका $= \left(\frac{N+1}{2}\right)^{th}$ अवलोकन $= \left(\frac{29+1}{2}\right)^{th} = 15^{th}$ अवलोकन।
यह अवलोकन संचयी आवृत्ति $21$ में स्थित है,जिसके लिए संबंधित मान $x_i = 30$ है।
अतः,माध्यिका $(M) = 30$।
$|x_i - M|$ और $f_i|x_i - M|$ की गणना करने पर:

$x_i$	$f_i$	$|x_i - 30|$	$f_i|x_i - 30|$
$15$	$3$	$15$	$45$
$21$	$5$	$9$	$45$
$27$	$6$	$3$	$18$
$30$	$7$	$0$	$0$
$35$	$8$	$5$	$40$

योग $\sum f_i|x_i - M| = 45 + 45 + 18 + 0 + 40 = 148$।
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $= \frac{1}{N} \sum f_i|x_i - M| = \frac{148}{29} \approx 5.10$।

(A) माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन की गणना इस प्रकार की जाती है:

आय	$f_i$	$x_i$	$f_ix_i$	$|x_i - \bar{x}|$	$f_i|x_i - \bar{x}|$
$0-100$	$4$	$50$	$200$	$308$	$1232$
$100-200$	$8$	$150$	$1200$	$208$	$1664$
$200-300$	$9$	$250$	$2250$	$108$	$972$
$300-400$	$10$	$350$	$3500$	$8$	$80$
$400-500$	$7$	$450$	$3150$	$92$	$644$
$500-600$	$5$	$550$	$2750$	$192$	$960$
$600-700$	$4$	$650$	$2600$	$292$	$1168$
$700-800$	$3$	$750$	$2250$	$392$	$1176$
कुल	$50$	-	$17900$	-	$7896$

$N = \sum f_i = 50$
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_ix_i}{N} = \frac{17900}{50} = 358$
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $= \frac{\sum f_i|x_i - \bar{x}|}{N} = \frac{7896}{50} = 157.92$

(A) माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन की गणना इस प्रकार की जाती है:

ऊंचाई $(cm)$	$f_i$	$x_i$	$f_i x_i$	$|x_i - \bar{x}|$	$f_i |x_i - \bar{x}|$
$95-105$	$9$	$100$	$900$	$25.3$	$227.7$
$105-115$	$13$	$110$	$1430$	$15.3$	$198.9$
$115-125$	$26$	$120$	$3120$	$5.3$	$137.8$
$125-135$	$30$	$130$	$3900$	$4.7$	$141.0$
$135-145$	$12$	$140$	$1680$	$14.7$	$176.4$
$145-155$	$10$	$150$	$1500$	$24.7$	$247.0$
कुल	$N=100$	-	$12530$	-	$1128.8$

$\text{माध्य } \bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{12530}{100} = 125.3$
$\text{माध्य विचलन } (M.D.) = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{N} = \frac{1128.8}{100} = 11.28$

(N/A) माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात करने के लिए,हम पहले माध्यिका की गणना करते हैं।

अंक	$f_{i}$	$C_{f}$	$x_{i}$	$|x_{i}-M|$	$f_{i}|x_{i}-M|$
$0-10$	$6$	$6$	$5$	$22.86$	$137.16$
$10-20$	$8$	$14$	$15$	$12.86$	$102.88$
$20-30$	$14$	$28$	$25$	$2.86$	$40.04$
$30-40$	$16$	$44$	$35$	$7.14$	$114.24$
$40-50$	$4$	$48$	$45$	$17.14$	$68.56$
$50-60$	$2$	$50$	$55$	$27.14$	$54.28$
कुल	$N=50$	-	-	-	$517.16$

यहाँ,$N=50$,इसलिए $\frac{N}{2} = 25$।
$25$ से ठीक बड़ी संचयी आवृत्ति $28$ है,इसलिए माध्यिका वर्ग $20-30$ है।
माध्यिका $M = l + \frac{\frac{N}{2} - C_{f-1}}{f_{m}} \times h = 20 + \frac{25 - 14}{14} \times 10 = 20 + \frac{110}{14} = 20 + 7.86 = 27.86$।
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $= \frac{\sum f_{i}|x_{i}-M|}{N} = \frac{517.16}{50} = 10.3432 \approx 10.34$।

(A) दी गई जानकारी सतत नहीं है। हम प्रत्येक वर्ग अंतराल की निचली सीमा से $0.5$ घटाकर और ऊपरी सीमा में $0.5$ जोड़कर इसे सतत आवृत्ति वितरण में बदलते हैं।
माध्यिका $= 38$ प्राप्त होती है।
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $= \frac{1}{N} \sum f_i |x_i - \text{Median}| = \frac{735}{100} = 7.35$.

सबसे पहले,माध्य $\bar{x}$ की गणना करें:
$\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{433}{20} = 21.65$
इसके बाद,माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात करें:
$\text{माध्य विचलन} = \frac{\Sigma f_i |x_i - \bar{x}|}{\Sigma f_i} = \frac{25}{20} = 1.25$

(C) सबसे पहले,हम संचयी आवृत्ति $(cf)$ और माध्यिका $(M_e)$ ज्ञात करते हैं।
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{अंक} (x_i) & f_i & cf & |x_i - M_e| & f_i |x_i - M_e| \\ \hline 10 & 2 & 2 & |10-12|=2 & 4 \\ \hline 11 & 3 & 5 & |11-12|=1 & 3 \\ \hline 12 & 8 & 13 & |12-12|=0 & 0 \\ \hline 14 & 3 & 16 & |14-12|=2 & 6 \\ \hline 15 & 4 & 20 & |15-12|=3 & 12 \\ \hline \text{कुल} & \Sigma f_i = 20 & & & \Sigma f_i |x_i - M_e| = 25 \\ \hline \end{array} $
अवलोकनों की कुल संख्या $N = \Sigma f_i = 20$ है।
चूंकि $N$ सम है,माध्यिका $M_e$ $10$ वें और $11$ वें अवलोकन का औसत है। $cf$ कॉलम को देखने पर,$10$ वां और $11$ वां दोनों अवलोकन $12$ मान में आते हैं।
अतः,$M_e = 12$.
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन:
$MD(M_e) = \frac{\Sigma f_i |x_i - M_e|}{\Sigma f_i} = \frac{25}{20} = 1.25$.