Mean Deviation Questions in Hindi

(D) हमारे पास निम्नलिखित डेटा है।
सबसे पहले,माध्य $\bar{x}$ की गणना करें:
$\bar{x} = \frac{\sum x_i f_i}{\sum f_i} = \frac{(2 \times 2) + (4 \times 4) + (5 \times 10) + (7 \times 8) + (9 \times 6)}{2 + 4 + 10 + 8 + 6}$
$\bar{x} = \frac{4 + 16 + 50 + 56 + 54}{30} = \frac{180}{30} = 6$
अब,सूत्र $\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{\sum f_i}$ का उपयोग करके माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन की गणना करें:
$\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{2|2-6| + 4|4-6| + 10|5-6| + 8|7-6| + 6|9-6|}{30}$
$\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{2(4) + 4(2) + 10(1) + 8(1) + 6(3)}{30}$
$\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{8 + 8 + 10 + 8 + 18}{30} = \frac{52}{30} = 1.733$

(D) सबसे पहले,हम माध्य $(\bar{x})$ की गणना करते हैं:
$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{(2 \times 1) + (4 \times 2) + (6 \times 3) + (8 \times 2) + (10 \times 1)}{1 + 2 + 3 + 2 + 1} = \frac{54}{9} = 6$.
अब,माध्य से माध्य विचलन $(MD_{\bar{x}})$ की गणना करें:
$MD_{\bar{x}} = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{\sum f_i} = \frac{1|2-6| + 2|4-6| + 3|6-6| + 2|8-6| + 1|10-6|}{9} = \frac{16}{9}$.
अगला,माध्यिका $(M)$ ज्ञात करें:
कुल आवृत्ति $N = 9$ है। माध्यिका $\frac{N+1}{2}$-वां अवलोकन है,जो $5$-वां अवलोकन है। संचयी आवृत्तियों $(1, 3, 6, 8, 9)$ को देखने पर,$5$-वां अवलोकन उस समूह में आता है जहाँ $x_i = 6$ है। अतः,$M = 6$.
माध्यिका से माध्य विचलन $(MD_M)$ की गणना करें:
$MD_M = \frac{\sum f_i |x_i - M|}{\sum f_i} = \frac{1|2-6| + 2|4-6| + 3|6-6| + 2|8-6| + 1|10-6|}{9} = \frac{16}{9}$.
माध्य से माध्य विचलन और माध्यिका से माध्य विचलन का योग है:
$\frac{16}{9} + \frac{16}{9} = \frac{32}{9}$.

(A) दिया गया है,माध्य $(\bar{x}) = 10$ और प्रेक्षणों की संख्या $n = 8$ है।
प्रेक्षणों का योग $6 + 7 + 11 + 12 + 13 + \alpha + 12 + 16 = 77 + \alpha$ है।
चूंकि $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$,इसलिए $10 = \frac{77 + \alpha}{8}$।
$80 = 77 + \alpha \Rightarrow \alpha = 3$।
डेटा सेट $6, 7, 11, 12, 13, 3, 12, 16$ है।
माध्य से माध्य विचलन $\frac{1}{n} \sum |x_i - \bar{x}|$ है।
$\text{MD}(\bar{x}) = \frac{|6-10| + |7-10| + |11-10| + |12-10| + |13-10| + |3-10| + |12-10| + |16-10|}{8}$।
$\text{MD}(\bar{x}) = \frac{4 + 3 + 1 + 2 + 3 + 7 + 2 + 6}{8} = \frac{28}{8} = 3.5$।

(D) सबसे पहले,हम वर्ग चिह्नों $(x_i)$ और माध्य $(\bar{x})$ की गणना करते हैं:

वर्ग अंतराल	$x_i$	$f_i$	$f_i x_i$	$|x_i - \bar{x}|$	$f_i |x_i - \bar{x}|$
$0-2$	$1$	$1$	$1$	$4$	$4$
$2-4$	$3$	$3$	$9$	$2$	$6$
$4-6$	$5$	$5$	$25$	$0$	$0$
$6-8$	$7$	$3$	$21$	$2$	$6$
$8-10$	$9$	$1$	$9$	$4$	$4$
कुल		$13$	$65$		$20$

माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{65}{13} = 5$ है।
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $\frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{\sum f_i} = \frac{20}{13}$ है।

(D) दिए गए आंकड़े $44, 5, 27, 20, 8, 54, 9, 14, 35$ हैं। अवलोकनों की संख्या $N = 9$ है।
सबसे पहले,माध्य $\bar{x} = \frac{44+5+27+20+8+54+9+14+35}{9} = \frac{216}{9} = 24$ की गणना करें।
माध्य से माध्य विचलन $M_1 = \frac{1}{N} \sum |x_i - \bar{x}|$ है।
$|44-24| + |5-24| + |27-24| + |20-24| + |8-24| + |54-24| + |9-24| + |14-24| + |35-24| = 20 + 19 + 3 + 4 + 16 + 30 + 15 + 10 + 11 = 128$.
अतः,$M_1 = \frac{128}{9}$.
अब,आंकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: $5, 8, 9, 14, 20, 27, 35, 44, 54$.
माध्यिका $M$ $\left(\frac{9+1}{2}\right)^{\text{th}} = 5^{\text{th}}$ पद है,जो $20$ है।
माध्यिका से माध्य विचलन $M_2 = \frac{1}{N} \sum |x_i - M|$ है।
$|5-20| + |8-20| + |9-20| + |14-20| + |20-20| + |27-20| + |35-20| + |44-20| + |54-20| = 15 + 12 + 11 + 6 + 0 + 7 + 15 + 24 + 34 = 124$.
अतः,$M_2 = \frac{124}{9}$.
इसलिए,$M_1 - M_2 = \frac{128}{9} - \frac{124}{9} = \frac{4}{9}$.

(D) प्रेक्षणों $x_1, x_2, \ldots, x_n$ के उनके माध्य $\bar{x}$ से निरपेक्ष विचलनों के माध्य को माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन कहा जाता है।
गणितीय रूप से,यह इस प्रकार है:
$\text{माध्य विचलन} = \frac{\sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|}{n}$
जहाँ $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$.

(D) दिए गए अवलोकन $1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23$ हैं।
सबसे पहले,हम माध्य $(\bar{x})$ की गणना करते हैं:
$\bar{x} = \frac{1+3+5+7+11+13+17+19+23}{9} = \frac{99}{9} = 11$.
माध्य से माध्य विचलन $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|$ द्वारा दिया जाता है।
माध्य विचलन $= \frac{1}{9} [|1-11| + |3-11| + |5-11| + |7-11| + |11-11| + |13-11| + |17-11| + |19-11| + |23-11|]$.
माध्य विचलन $= \frac{1}{9} [10 + 8 + 6 + 4 + 0 + 2 + 6 + 8 + 12]$.
माध्य विचलन $= \frac{56}{9} = 6 \frac{2}{9}$.

(B) दिए गए अवलोकन $2, 7, 5, 6, 4, 3, 11, 17, 8$ हैं।
सबसे पहले,समांतर माध्य $(\bar{x})$ की गणना करें:
$\bar{x} = \frac{2 + 7 + 5 + 6 + 4 + 3 + 11 + 17 + 8}{9} = \frac{63}{9} = 7$.
अब,प्रत्येक अवलोकन के लिए निरपेक्ष विचलन $d_i = |x_i - \bar{x}|$ की गणना करें:
$|2 - 7| = 5, |7 - 7| = 0, |5 - 7| = 2, |6 - 7| = 1, |4 - 7| = 3, |3 - 7| = 4, |11 - 7| = 4, |17 - 7| = 10, |8 - 7| = 1$.
विचलन का योग $\Sigma d_i = 5 + 0 + 2 + 1 + 3 + 4 + 4 + 10 + 1 = 30$.
माध्य विचलन ($M$.$D$.) = $\frac{\Sigma d_i}{N} = \frac{30}{9} = \frac{10}{3}$.

(B) सबसे पहले,हम संचयी आवृत्ति $(cf)$ और कुल आवृत्ति $(N)$ की गणना करते हैं:

$x_i$	$f_i$	$cf$
$6$	$4$	$4$
$12$	$7$	$11$
$18$	$9$	$20$
$24$	$18$	$38$
$30$	$15$	$53$
$36$	$10$	$63$
$42$	$5$	$68$

यहाँ,$N = 68$,जो एक सम संख्या है। माध्यिका $(\frac{N}{2})^{th}$ और $(\frac{N}{2} + 1)^{th}$ प्रेक्षणों का औसत है,अर्थात $34^{th}$ और $35^{th}$ प्रेक्षण।
संचयी आवृत्ति को देखने पर,$34^{th}$ और $35^{th}$ दोनों प्रेक्षण $x_i = 24$ वाले वर्ग में आते हैं।
अतः,$\text{Median} = 24$।
अब,हम माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन की गणना सूत्र $\text{MD}(\text{Median}) = \frac{\sum f_i |x_i - \text{Median}|}{N}$ का उपयोग करके करते हैं:
$\sum f_i |x_i - 24| = 4|6-24| + 7|12-24| + 9|18-24| + 18|24-24| + 15|30-24| + 10|36-24| + 5|42-24|$
$= 4(18) + 7(12) + 9(6) + 18(0) + 15(6) + 10(12) + 5(18)$
$= 72 + 84 + 54 + 0 + 90 + 120 + 90 = 510$
$\text{MD}(\text{Median}) = \frac{510}{68} = 7.5$.

(C) दी गई संख्याएँ $3x, 6x, 9x, \ldots, 81x$ हैं। यह $n = 27$ पदों वाली एक समांतर श्रेणी है।
चूँकि $n = 27$ विषम है,माध्यिका $\frac{n+1}{2}$-वाँ पद है,जो कि $14$-वाँ पद है।
$14$-वाँ पद $3x \times 14 = 42x$ है।
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \text{Median}|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\text{MD} = \frac{1}{27} \sum_{k=1}^{27} |3kx - 42x| = \frac{3|x|}{27} \sum_{k=1}^{27} |k - 14| = \frac{|x|}{9} [\sum_{k=1}^{13} (14-k) + \sum_{k=15}^{27} (k-14)]$.
योग की गणना करने पर: $\sum_{k=1}^{13} (14-k) = 13+12+\ldots+1 = 91$.
इसी प्रकार,$\sum_{k=15}^{27} (k-14) = 1+2+\ldots+13 = 91$.
अतः,$\text{MD} = \frac{|x|}{9} (91 + 91) = \frac{|x|}{9} \times 182 = 91$.
इस प्रकार,$\frac{|x|}{9} \times 2 = 1 \implies |x| = \frac{9}{2}$.

(A) आवृत्ति वितरण $f_i = 2i$ है,जहाँ $x_i = i$ और $i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।

$x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$f_i$	$2$	$4$	$6$	$8$	$10$	$12$

कुल आवृत्ति $N = \sum f_i = 2(1+2+3+4+5+6) = 2(21) = 42$.
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{2(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2)}{42} = \frac{2(91)}{42} = \frac{182}{42} = \frac{13}{3}$.
माध्य से माध्य विचलन $MD = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{N}$.
$MD = \frac{2|1-\frac{13}{3}| + 4|2-\frac{13}{3}| + 6|3-\frac{13}{3}| + 8|4-\frac{13}{3}| + 10|5-\frac{13}{3}| + 12|6-\frac{13}{3}|}{42}$.
$MD = \frac{2(\frac{10}{3}) + 4(\frac{7}{3}) + 6(\frac{4}{3}) + 8(\frac{1}{3}) + 10(\frac{2}{3}) + 12(\frac{5}{3})}{42}$.
$MD = \frac{20 + 28 + 24 + 8 + 20 + 60}{3 \times 42} = \frac{160}{126} = \frac{80}{63}$.

(A) माना दो लुप्त प्रेक्षण $a$ और $b$ हैं। $10$ प्रेक्षणों का योग $10 \times 9 = 90$ है।
दिए गए $8$ प्रेक्षणों का योग $= 2+3+5+10+11+13+15+21 = 80$ है।
अतः,$a+b = 90 - 80 = 10$ है।
दिया गया प्रसरण $\sigma^2 = 34.2$ है। प्रसरण का सूत्र $\frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = 34.2$ है।
$\frac{2^2+3^2+5^2+10^2+11^2+13^2+15^2+21^2+a^2+b^2}{10} - 9^2 = 34.2$ है।
$1094 + a^2 + b^2 = 1152 \Rightarrow a^2 + b^2 = 58$ है।
$a+b=10$ और $a^2+b^2=58$ को हल करने पर $a=3$ और $b=7$ प्राप्त होता है।
$10$ प्रेक्षण $2, 3, 3, 5, 7, 10, 11, 13, 15, 21$ हैं।
माध्यिका $= \frac{7+10}{2} = 8.5$ है।
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $= \frac{\Sigma |x_i - 8.5|}{10} = \frac{6.5 + 5.5 + 5.5 + 3.5 + 1.5 + 1.5 + 2.5 + 4.5 + 6.5 + 12.5}{10} = \frac{50}{10} = 5$ है।

(B) दी गई संख्याएँ $k, 2k, 3k, \dots, 1000k$ हैं। यहाँ $n = 1000$ (सम संख्या)।
माध्यिका $X_M = \frac{(\frac{n}{2})k + (\frac{n}{2} + 1)k}{2} = \frac{500k + 501k}{2} = 500.5k$.
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - X_M| = \frac{1}{1000} \sum_{i=1}^{1000} |ik - 500.5k| = \frac{k}{1000} \sum_{i=1}^{1000} |i - 500.5|$.
यह योग $2 \times (0.5 + 1.5 + 2.5 + \dots + 499.5) = 2 \times \frac{500}{2} (0.5 + 499.5) = 500 \times 500 = 250000$ है।
माध्य विचलन $= \frac{k \times 250000}{1000} = 250k$.
दिया गया है $250k = 500$,अतः $k = 2$.
इसलिए,$k^{2} = 2^{2} = 4$.

(C) सबसे पहले,कुल आवृत्ति $N = \sum f_i = 8 + 6 + 2 + 2 + 2 + 6 = 26$ की गणना करें।
इसके बाद,गुणनफलों का योग $\sum f_i x_i = (5 \times 8) + (7 \times 6) + (9 \times 2) + (10 \times 2) + (12 \times 2) + (15 \times 6) = 40 + 42 + 18 + 20 + 24 + 90 = 234$ प्राप्त करें।
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{234}{26} = 9$ है।
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $MD = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{N}$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$MD = \frac{8|5-9| + 6|7-9| + 2|9-9| + 2|10-9| + 2|12-9| + 6|15-9|}{26}$.
$MD = \frac{8(4) + 6(2) + 2(0) + 2(1) + 2(3) + 6(6)}{26} = \frac{32 + 12 + 0 + 2 + 6 + 36}{26} = \frac{88}{26} = \frac{44}{13}$.