Mean Deviation Questions in Hindi

प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याएँ $1, 2, 3, \ldots, n$ हैं।
माध्य $\bar{x} = \frac{1+2+3+\cdots+n}{n} = \frac{n(n+1)}{2n} = \frac{n+1}{2}$.
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $MD = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|$ द्वारा दिया जाता है।
$MD = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |i - \frac{n+1}{2}|$.
चूँकि $n$ विषम है,$n = 2k+1$ लें। पद माध्य $\frac{n+1}{2}$ के परितः सममित हैं।
$MD = \frac{2}{n} \left[ \sum_{i=1}^{(n-1)/2} (\frac{n+1}{2} - i) \right] = \frac{2}{n} \left[ \frac{n^2-1}{4n} \right] = \frac{n^2-1}{4n}$.

प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं पर विचार करें,जहाँ $n$ सम है,अर्थात $1, 2, 3, \dots, n$.
$\therefore \quad \text{माध्य } \bar{x} = \frac{1+2+3+\dots+n}{n} = \frac{n(n+1)}{2n} = \frac{n+1}{2}$.
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $MD = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|$ द्वारा दिया जाता है।
$MD = \frac{1}{n} \left[ \left| 1 - \frac{n+1}{2} \right| + \left| 2 - \frac{n+1}{2} \right| + \dots + \left| n - \frac{n+1}{2} \right| \right]$.
चूँकि $n$ सम है,पद माध्य के चारों ओर सममित हैं। निरपेक्ष विचलनों का योग $2 \times \left( \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \dots + \frac{n-1}{2} \right)$ है।
योग में ऐसे $\frac{n}{2}$ पद हैं।
$MD = \frac{1}{n} \times 2 \times \left( \frac{1+3+\dots+(n-1)}{2} \right) = \frac{1}{n} \times \left( \frac{n}{2} \right)^2 = \frac{n^2}{4n} = \frac{n}{4}$.

सबसे पहले,प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए मध्य-बिंदु $(x_i)$ ज्ञात करें और माध्य $(\bar{x})$ की गणना करें:

वर्ग अंतराल	$f_i$	$x_i$	$f_i x_i$	$|x_i - \bar{x}|$	$f_i |x_i - \bar{x}|$
$0-4$	$4$	$2$	$8$	$|2 - 9.2| = 7.2$	$28.8$
$4-8$	$6$	$6$	$36$	$|6 - 9.2| = 3.2$	$19.2$
$8-12$	$8$	$10$	$80$	$|10 - 9.2| = 0.8$	$6.4$
$12-16$	$5$	$14$	$70$	$|14 - 9.2| = 4.8$	$24.0$
$16-20$	$2$	$18$	$36$	$|18 - 9.2| = 8.8$	$17.6$
कुल	$\Sigma f_i = 25$		$\Sigma f_i x_i = 230$		$\Sigma f_i d_i = 96$

$\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{230}{25} = 9.2$
$\text{माध्य विचलन} = \frac{\Sigma f_i |x_i - \bar{x}|}{\Sigma f_i} = \frac{96}{25} = 3.84$

(7) चरण $1$: संचयी बारंबारता $(cf)$ और कुल बारंबारता $(N)$ ज्ञात करें।
चरण $2$: माध्यिका वर्ग ज्ञात करें।
यहाँ $N = 20$ है,इसलिए $\frac{N}{2} = 10$। $10$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $12$ है,अतः माध्यिका वर्ग $12-18$ है।
चरण $3$: माध्यिका $(M_d)$ की गणना करें।
$M_d = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - C}{f} \right) \times h = 12 + \left( \frac{10 - 9}{3} \right) \times 6 = 12 + 2 = 14$.
चरण $4$: माध्य विचलन $(MD)$ की गणना करें।
$MD = \frac{\sum f_i |x_i - M_d|}{N} = \frac{4|3-14| + 5|9-14| + 3|15-14| + 6|21-14| + 2|27-14|}{20} = \frac{140}{20} = 7$.

(D) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का माध्य $\bar{x} = \frac{n+1}{2}$ है।
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|$ द्वारा दिया जाता है।
विषम $n$ के लिए,प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $\frac{n^2-1}{4n}$ होता है।
दिया गया है कि माध्य विचलन $\frac{5(n+1)}{n}$ है,इसलिए:
$\frac{n^2-1}{4n} = \frac{5(n+1)}{n}$.
चूंकि $n^2-1 = (n-1)(n+1)$,इसलिए:
$\frac{(n-1)(n+1)}{4n} = \frac{5(n+1)}{n}$.
दोनों पक्षों को $\frac{n+1}{n}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{n-1}{4} = 5$.
$n-1 = 20$.
$n = 21$.

(D) दी गई संख्याएँ $3, 5, 7, 2k, 12, 16, 21, 24$ हैं। प्रेक्षणों की संख्या $n = 8$ है।
चूंकि $n$ सम है,माध्यिका $M = \frac{2k + 12}{2} = k + 6$ होगी।
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $= \frac{1}{n} \sum |x_i - M| = 6$ है।
मान रखने पर: $\frac{|3-(k+6)| + |5-(k+6)| + |7-(k+6)| + |2k-(k+6)| + |12-(k+6)| + |16-(k+6)| + |21-(k+6)| + |24-(k+6)|}{8} = 6$.
इसे सरल करने पर: $\frac{58 - 2k}{8} = 6 \implies 58 - 2k = 48 \implies 2k = 10 \implies k = 5$.
अतः,माध्यिका $M = k + 6 = 5 + 6 = 11$।

(C) मान लीजिए $100$ क्रमागत धनात्मक पूर्णांक $a_1, a_1+1, a_1+2, \ldots, a_1+99$ हैं।
माध्य $\bar{x} = a_1 + 49.5$ प्राप्त होता है।
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $= \frac{1}{100} \sum_{i=0}^{99} |i - 49.5| = 25$ होता है।
यह मान $a_1$ से स्वतंत्र है,इसलिए यह सभी प्राकृतिक संख्याओं $a_1 \in \mathbb{N}$ के लिए सत्य है।
अतः,$S = \mathbb{N}$.

(D) दिए गए प्रेक्षण $1, 2, 4, 5, x, y$ हैं। माध्य $\overline{x} = 5$ है।
$\frac{1+2+4+5+x+y}{6} = 5 \implies 12+x+y = 30 \implies x+y = 18$ $(i)$.
प्रसरण $\sigma^2 = 10 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\overline{x})^2$.
$10 = \frac{1^2+2^2+4^2+5^2+x^2+y^2}{6} - 25$.
$35 = \frac{1+4+16+25+x^2+y^2}{6} \implies 210 = 46 + x^2+y^2 \implies x^2+y^2 = 164$ (ii).
$(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$ से,$18^2 = 164 + 2xy \implies 324 - 164 = 2xy \implies 2xy = 160 \implies xy = 80$.
$x+y=18$ और $xy=80$ को हल करने पर,$x=8, y=10$ प्राप्त होता है।
प्रेक्षण $1, 2, 4, 5, 8, 10$ हैं।
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $\text{M.D.}(\overline{x}) = \frac{\sum |x_i - 5|}{6}$.
$\text{M.D.} = \frac{|1-5| + |2-5| + |4-5| + |5-5| + |8-5| + |10-5|}{6}$.
$\text{M.D.} = \frac{4+3+1+0+3+5}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$.

(B) कुल छात्रों की संख्या $N = 40$ है,इसलिए $5 + 8 + 5 + 12 + X + Y = 40 \Rightarrow X + Y = 10 \dots (1)$.
संचयी आवृत्तियाँ हैं: $5, 13, 18, 30, 30+X, 30+X+Y$.
चूँकि $N=40$,माध्यिका $20$ वें और $21$ वें अवलोकनों का औसत है। संचयी आवृत्तियों को देखने पर,$20$ वाँ और $21$ वाँ अवलोकन $18$ आयु वर्ग में आता है। अतः,$\text{माध्यिका} (M) = 18$.
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $\text{M.D.} = \frac{\sum f_i |x_i - M|}{N}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\text{M.D.} = 1.25$,इसलिए $1.25 = \frac{5|15-18| + 8|16-18| + 5|17-18| + 12|18-18| + X|19-18| + Y|20-18|}{40}$.
$1.25 = \frac{5(3) + 8(2) + 5(1) + 12(0) + X(1) + Y(2)}{40}$.
$50 = 15 + 16 + 5 + 0 + X + 2Y$.
$50 = 36 + X + 2Y \Rightarrow X + 2Y = 14 \dots (2)$.
$(2)$ में से $(1)$ को घटाने पर:
$(X + 2Y) - (X + Y) = 14 - 10 \Rightarrow Y = 4$.
$(1)$ में $Y=4$ रखने पर,$X + 4 = 10 \Rightarrow X = 6$.
अतः,$4X + 5Y = 4(6) + 5(4) = 24 + 20 = 44$.

(A) दिए गए प्रेक्षण: $2, 3, 3, 4, 5, 7, a, b$। कुल प्रेक्षण $n = 8$ हैं।
माध्य $\bar{x} = \frac{2+3+3+4+5+7+a+b}{8} = 4 \implies 24 + a + b = 32 \implies a + b = 8$।
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{2} \implies \sigma^2 = 2$।
विचरण का सूत्र: $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$।
$2 = \frac{4+9+9+16+25+49+a^2+b^2}{8} - 16$।
$18 = \frac{112 + a^2 + b^2}{8} \implies a^2 + b^2 = 32$।
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \implies 64 = 32 + 2ab \implies ab = 16$।
अतः $a=4, b=4$।
प्रेक्षण $2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 7$ हैं। बहुलक $4$ है।
बहुलक के सापेक्ष माध्य विचलन $= \frac{|2-4| + |3-4| + |3-4| + |4-4| + |4-4| + |4-4| + |5-4| + |7-4|}{8} = \frac{8}{8} = 1$।

(B) चरण $1$: आंकड़ों का माध्य $(\mu)$ ज्ञात कीजिए।
$\mu = \frac{4+7+8+9+10+12+13+17}{8} = \frac{80}{8} = 10$.
चरण $2$: माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन के सूत्र $\frac{1}{N} \sum |x_i - \mu|$ का उपयोग कीजिए।
$|4-10| = 6, |7-10| = 3, |8-10| = 2, |9-10| = 1, |10-10| = 0, |12-10| = 2, |13-10| = 3, |17-10| = 7$.
निरपेक्ष विचलनों का योग $= 6+3+2+1+0+2+3+7 = 24$.
माध्य विचलन $= \frac{24}{8} = 3$.

(D) चरण $ 1 $: दिए गए आंकड़ों का माध्य $ \bar{x} $ ज्ञात कीजिए।
$ \bar{x} = \frac{3 + 10 + 10 + 4 + 7 + 10 + 5}{7} = \frac{49}{7} = 7 $.
चरण $ 2 $: माध्य से निरपेक्ष विचलन $ |x_i - \bar{x}| $ ज्ञात कीजिए।
$ |3 - 7| = 4 $
$ |10 - 7| = 3 $
$ |10 - 7| = 3 $
$ |4 - 7| = 3 $
$ |7 - 7| = 0 $
$ |10 - 7| = 3 $
$ |5 - 7| = 2 $
चरण $ 3 $: इन निरपेक्ष विचलनों का माध्य ज्ञात कीजिए।
$ \text{माध्य विचलन} = \frac{4 + 3 + 3 + 3 + 0 + 3 + 2}{7} = \frac{18}{7} \approx 2.57 $.

(C) सबसे पहले,$x_i$ को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और संचयी आवृत्ति की गणना करें:

$x_i$	$f_i$	संचयी आवृत्ति	$|x_i - M|$	$f_i |x_i - M|$
$3$	$3$	$3$	$10$	$30$
$6$	$4$	$7$	$7$	$28$
$9$	$5$	$12$	$4$	$20$
$12$	$2$	$14$	$1$	$2$
$13$	$4$	$18$	$0$	$0$
$15$	$5$	$23$	$2$	$10$
$21$	$4$	$27$	$8$	$32$
$22$	$3$	$30$	$9$	$27$

यहाँ,$N = \Sigma f_i = 30$.
माध्यिका वह मान है जो $\frac{N}{2} = 15$ से ठीक बड़ी संचयी आवृत्ति के अनुरूप है।
संचयी आवृत्ति $18$ का मान $x_i = 13$ है। अतः,माध्यिका $(M) = 13$.
योग $\Sigma f_i |x_i - 13| = 30 + 28 + 20 + 2 + 0 + 10 + 32 + 27 = 149$.
माध्यिका से माध्य विचलन $= \frac{\Sigma f_i |x_i - M|}{N} = \frac{149}{30} \approx 4.97$.

(C) आवृत्तियों का योग: $\sum f_i = (\alpha+2) + (\alpha-1)^2 + 4 + (\alpha-1) + 2 + \alpha = 20$.
सरल करने पर: $\alpha^2 + \alpha - 12 = 0 \implies \alpha = 3$.
आवृत्तियाँ: $5, 4, 4, 2, 2, 3$.
माध्य $\bar{x} = 6$.
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $MD = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{N} = \frac{54}{20} = 2.7$.

(B) चरण $1$: प्रत्येक वर्ग अंतराल के मध्य-बिंदु $(x_i)$ ज्ञात कीजिए: $1, 3, 5, 7, 9$.
चरण $2$: माध्य $(\bar{x})$ की गणना कीजिए:
$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{(1 \times 1) + (3 \times 3) + (4 \times 5) + (1 \times 7) + (2 \times 9)}{1+3+4+1+2} = \frac{1+9+20+7+18}{11} = \frac{55}{11} = 5$.
चरण $3$: माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $(M.D.(\bar{x}))$ की गणना कीजिए:
$M.D.(\bar{x}) = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{\sum f_i} = \frac{1|1-5| + 3|3-5| + 4|5-5| + 1|7-5| + 2|9-5|}{11} = \frac{1(4) + 3(2) + 4(0) + 1(2) + 2(4)}{11} = \frac{4+6+0+2+8}{11} = \frac{20}{11}$.

(C) सबसे पहले,हम डेटा को आरोही क्रम में व्यवस्थित करते हैं और संचयी आवृत्ति $(cf)$ की गणना करते हैं:
$x_i: 2, 3, 5, 7, 9$
$f_i: 8, 6, 4, 2, 1$
$cf: 8, 14, 18, 20, 21$
कुल आवृत्ति $N = \sum f_i = 21$ है।
माध्यिका $(\frac{N+1}{2})$-वां प्रेक्षण है,जो $11$-वां प्रेक्षण है। $cf$ तालिका से,$11$-वां प्रेक्षण $3$ है। अतः,$\text{माध्यिका} (M) = 3$।
अब,माध्यिका से माध्य विचलन की गणना करें:
$\text{M.D.}(M) = \frac{\sum f_i |x_i - M|}{N}$
$|x_i - 3|: |2-3|=1, |3-3|=0, |5-3|=2, |7-3|=4, |9-3|=6$
$f_i |x_i - 3|: 8(1)=8, 6(0)=0, 4(2)=8, 2(4)=8, 1(6)=6$
$\sum f_i |x_i - 3| = 8 + 0 + 8 + 8 + 6 = 30$
$\text{M.D.}(M) = \frac{30}{21} = \frac{10}{7}$।

(A) दिया गया डेटा $20, 5, 15, 2, 7, 3, 11$ है। अवलोकनों की संख्या $n = 7$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{63}{7} = 9$.
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $m = \frac{38}{7}$.
आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर: $2, 3, 5, 7, 11, 15, 20$. माध्यिका $= 7$.
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $M = \frac{36}{7}$.
$m$ और $M$ का माध्य $\bar{x}^{\prime} = \frac{37}{7}$.
$m$ और $M$ का माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $= \frac{1}{2} (|\frac{38}{7} - \frac{37}{7}| + |\frac{36}{7} - \frac{37}{7}|) = \frac{1}{7}$.

(A) चरण $1$: आंकड़ों का माध्य ज्ञात करें। $\text{Mean} = \frac{6+7+10+12+13+4+12+16}{8} = \frac{80}{8} = 10$.
चरण $2$: $\frac{1}{n} \sum |x_i - \bar{x}|$ सूत्र का उपयोग करके माध्य से माध्य विचलन ज्ञात करें।
$\text{Mean Deviation} = \frac{|6-10| + |7-10| + |10-10| + |12-10| + |13-10| + |4-10| + |12-10| + |16-10|}{8}$
$= \frac{4 + 3 + 0 + 2 + 3 + 6 + 2 + 6}{8} = \frac{26}{8} = 3.25$.

(B) चरण $1$: माध्य $(\bar{x})$ की गणना करें:
$\bar{x} = \frac{5+6+7+8+6+9+13+12+15}{9} = \frac{81}{9} = 9$
चरण $2$: सूत्र $\frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{N}$ का उपयोग करके माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन की गणना करें:
$|5-9| + |6-9| + |7-9| + |8-9| + |6-9| + |9-9| + |13-9| + |12-9| + |15-9|$
$= 4 + 3 + 2 + 1 + 3 + 0 + 4 + 3 + 6 = 26$
चरण $3$: कुल अवलोकनों की संख्या $(N=9)$ से विभाजित करें:
$\text{माध्य विचलन} = \frac{26}{9} \approx 2.88$

(B) आँकड़ों $p, 6, 6, 7, 8, 11, 15, 16$ का माध्य $\bar{x} = \frac{p + 6 + 6 + 7 + 8 + 11 + 15 + 16}{8} = \frac{p + 69}{8}$ है।
दिया गया है कि माध्य $3p$ है,इसलिए $\frac{p + 69}{8} = 3p$.
$p + 69 = 24p$ $\Rightarrow 23p = 69$ $\Rightarrow p = 3$.
अतः,आँकड़े $3, 6, 6, 7, 8, 11, 15, 16$ हैं और माध्य $\bar{x} = 3 \times 3 = 9$ है।
माध्य से माध्य विचलन $M.D. = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n |x_i - \bar{x}|$ द्वारा दिया जाता है।
$M.D. = \frac{|3-9| + |6-9| + |6-9| + |7-9| + |8-9| + |11-9| + |15-9| + |16-9|}{8}$.
$M.D. = \frac{6 + 3 + 3 + 2 + 1 + 2 + 6 + 7}{8} = \frac{30}{8} = 3.75$.

(D) सबसे पहले,प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए मध्य-मान $(x_i)$ ज्ञात करें:
$0-20: 10$
$20-40: 30$
$40-60: 50$
$60-80: 70$
$80-100: 90$
माध्य $(\bar{x})$ की गणना करें:
$\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{(10 \times 10) + (8 \times 30) + (12 \times 50) + (9 \times 70) + (11 \times 90)}{10+8+12+9+11} = \frac{100+240+600+630+990}{50} = \frac{2560}{50} = 51.2$
अब,सूत्र का उपयोग करके माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन की गणना करें: $\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{\Sigma f_i |x_i - \bar{x}|}{\Sigma f_i}$
$\Sigma f_i |x_i - 51.2| = 10|10-51.2| + 8|30-51.2| + 12|50-51.2| + 9|70-51.2| + 11|90-51.2|$
$= 10(41.2) + 8(21.2) + 12(1.2) + 9(18.8) + 11(38.8)$
$= 412 + 169.6 + 14.4 + 169.2 + 426.8 = 1192$
$\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{1192}{50} = 23.84$

(B) दिया गया डेटा $6, 3, 4, 9, 2, 7, 11$ है।
सबसे पहले,डेटा को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: $2, 3, 4, 6, 7, 9, 11$।
यहाँ कुल $n = 7$ अवलोकन हैं,जो विषम है।
माध्यिका $M$,$\left(\frac{n+1}{2}\right)^{th}$ अवलोकन है,जो $4^{th}$ अवलोकन है।
अतः,$M = 6$।
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - M|$ द्वारा दिया जाता है।
माध्य विचलन $= \frac{1}{7} [|2-6| + |3-6| + |4-6| + |6-6| + |7-6| + |9-6| + |11-6|]$।
माध्य विचलन $= \frac{1}{7} [|-4| + |-3| + |-2| + 0 + |1| + |3| + |5|]$।
माध्य विचलन $= \frac{1}{7} [4 + 3 + 2 + 0 + 1 + 3 + 5] = \frac{18}{7} \approx 2.57$।

(A) सबसे पहले,हम संचयी आवृत्ति $(cf)$ और माध्यिका $(M)$ की गणना करते हैं:

$x_i$	$f_i$	$cf$	$|x_i - M|$	$f_i|x_i - M|$
$10$	$6$	$6$	$|10-12|=2$	$12$
$11$	$12$	$18$	$|11-12|=1$	$12$
$12$	$18$	$36$	$|12-12|=0$	$0$
$13$	$12$	$48$	$|13-12|=1$	$12$

कुल आवृत्ति $N = \sum f_i = 6 + 12 + 18 + 12 = 48$.
माध्यिका वह मान है जो $\frac{N}{2} = \frac{48}{2} = 24$ वें अवलोकन के अनुरूप है। $cf$ कॉलम को देखने पर,$24$ वां अवलोकन उस वर्ग में आता है जहाँ $x = 12$ है। अतः,$M = 12$.
माध्यिका से माध्य विचलन इस प्रकार है:
$MD = \frac{\sum f_i|x_i - M|}{N} = \frac{12 + 12 + 0 + 12}{48} = \frac{36}{48} = 0.75$.

(D) सबसे पहले,अवलोकनों का माध्य $(\bar{x})$ ज्ञात करें:
$\bar{x} = \frac{-1 + 0 + 4}{3} = \frac{3}{3} = 1$
अब,माध्य से माध्य विचलन के सूत्र का उपयोग करें:
$MD = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n}$
$MD = \frac{|-1 - 1| + |0 - 1| + |4 - 1|}{3}$
$MD = \frac{|-2| + |-1| + |3|}{3}$
$MD = \frac{2 + 1 + 3}{3} = \frac{6}{3} = 2$

(D) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का माध्य $\bar{x} = \frac{1+2+\ldots+n}{n} = \frac{n(n+1)}{2n} = \frac{n+1}{2}$ है।
दिया गया है कि $n$ एक सम संख्या है,माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन की गणना इस प्रकार की जाती है:
$M.D.(\bar{x}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}| = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |i - \frac{n+1}{2}|$.
चूंकि $n$ सम है,योग दो समान भागों में विभाजित हो जाता है:
$M.D.(\bar{x}) = \frac{1}{n} \left[ \sum_{i=1}^{n/2} (\frac{n+1}{2} - i) + \sum_{i=n/2+1}^{n} (i - \frac{n+1}{2}) \right]$.
इस योग की गणना करने पर,हमें $M.D.(\bar{x}) = \frac{n^2-1}{4n}$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई $12$ पदों की समांतर श्रेणी का माध्य $\bar{x} = \frac{a_0 + a_{11}}{2}$ है।
चूंकि $a_n = a_0 + nd$,इसलिए $a_{11} = a_0 + 11d$,अतः $\bar{x} = a_0 + \frac{11}{2}d$ है।
पद $a_0, a_0+d, \ldots, a_0+11d$ हैं।
माध्य से विचलन $|a_k - \bar{x}| = |a_0 + kd - (a_0 + 5.5d)| = |k - 5.5||d|$ है।
$k = 0, 1, \ldots, 11$ के लिए,$|k - 5.5|$ के मान $5.5, 4.5, 3.5, 2.5, 1.5, 0.5, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5$ हैं।
इन विचलनों का योग $2 \times (5.5 + 4.5 + 3.5 + 2.5 + 1.5 + 0.5)|d| = 2 \times 18|d| = 36|d|$ है।
माध्य विचलन $\frac{36|d|}{12} = 3|d|$ है।

(D) सबसे पहले,हम दिए गए डेटा का माध्य $(\bar{x})$ ज्ञात करते हैं।
अंतरालों के मध्य बिंदु $(x_i)$ $5, 15, 25, 35, 45$ हैं।
बारंबारता $(f_i)$ $6, 8, 10, 4, 2$ हैं।
कुल बारंबारता $N = \sum f_i = 30$ है।
गुणनफलों का योग $\sum f_i x_i = 630$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{630}{30} = 21$ है।
अब,माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन के सूत्र $\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{1}{N} \sum f_i |x_i - \bar{x}|$ का उपयोग करके:
$\sum f_i |x_i - 21| = 288$ है।
माध्य विचलन $= \frac{288}{30} = 9.6$ है।

(C) सबसे पहले,माध्य $(\bar{x})$ की गणना करें:
$\sum f_i = 8 + 48 + 56 + 32 + 16 = 160$
$\sum f_i x_i = (5 \times 8) + (15 \times 48) + (25 \times 56) + (35 \times 32) + (45 \times 16) = 40 + 720 + 1400 + 1120 + 720 = 4000$
$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{4000}{160} = 25$
अब,माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ($M$.$D$.$(\bar{x})$) की गणना करें:
$M$.$D$.$(\bar{x})$ = $\frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{\sum f_i}$
$|x_i - 25|$ के मान हैं: $|5-25|=20, |15-25|=10, |25-25|=0, |35-25|=10, |45-25|=20$
$\sum f_i |x_i - \bar{x}| = (8 \times 20) + (48 \times 10) + (56 \times 0) + (32 \times 10) + (16 \times 20) = 160 + 480 + 0 + 320 + 320 = 1280$
$M$.$D$.$(\bar{x})$ = $\frac{1280}{160} = 8$

(D) दी गई संख्याएँ $a, a+d, a+2d, \ldots, a+2nd$ हैं। यह $N = 2n+1$ पदों वाली एक समांतर श्रेणी है।
माध्य $\bar{x}$ मध्य पद है: $\bar{x} = a + nd$।
माध्य से माध्य विचलन $MD = \frac{1}{N} \sum_{i=0}^{2n} |x_i - \bar{x}|$ द्वारा दिया जाता है।
$MD = \frac{1}{2n+1} \sum_{k=0}^{2n} |(a+kd) - (a+nd)| = \frac{1}{2n+1} \sum_{k=0}^{2n} |k-n||d|$।
मान लीजिए $j = k-n$। जैसे-जैसे $k$,$0$ से $2n$ तक जाता है,$j$,$-n$ से $n$ तक जाता है।
$MD = \frac{|d|}{2n+1} \sum_{j=-n}^{n} |j| = \frac{|d|}{2n+1} \left( 2 \sum_{j=1}^{n} j \right) = \frac{|d|}{2n+1} \cdot 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)|d|}{2n+1}$।

(B) प्रेक्षण $x_K = 1 + K\alpha$ हैं,जहाँ $K = 0, 1, 2, \ldots, 100$ है।
कुल $n = 101$ प्रेक्षण हैं।
माध्य $\bar{x} = \frac{1}{101} \sum_{K=0}^{100} (1 + K\alpha) = 1 + 50\alpha$ है।
माध्य से माध्य विचलन $\frac{1}{101} \sum_{K=0}^{100} |K - 50| \alpha = 255$ है।
यहाँ $\sum_{K=0}^{100} |K - 50| = 2550$ है।
अतः,$\frac{\alpha \times 2550}{101} = 255$ है।
इस प्रकार,$\alpha = \frac{255 \times 101}{2550} = 10.1$ है।

(A) दिए गए प्रेक्षण $\{k \alpha\}$ हैं,जहाँ $k=1, 2, \ldots, 50$ है।
ये $\{\alpha, 2 \alpha, 3 \alpha, \ldots, 50 \alpha\}$ हैं।
चूँकि प्रेक्षणों की संख्या $n=50$ सम है,माध्यिका $M$,$25$ वें और $26$ वें पद का औसत होगी:
$M = \frac{25 \alpha + 26 \alpha}{2} = 25.5 \alpha$.
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{50} |k \alpha - M| = 50$ है।
$M = 25.5 \alpha$ रखने पर:
$\frac{1}{50} \sum_{k=1}^{50} |k \alpha - 25.5 \alpha| = 50$.
$|\alpha| \sum_{k=1}^{50} |k - 25.5| = 2500$.
योग $\sum_{k=1}^{50} |k - 25.5| = |1-25.5| + |2-25.5| + \ldots + |50-25.5|$ है।
यह $2 \times (24.5 + 23.5 + \ldots + 0.5) = 2 \times \frac{25}{2} (24.5 + 0.5) = 25 \times 25 = 625$ है।
अतः,$|\alpha| \times 625 = 2500$.
$|\alpha| = \frac{2500}{625} = 4$.

(D) सबसे पहले,दी गई संख्याओं को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: $2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 20$।
चूंकि अवलोकनों की संख्या $n = 10$ (जो सम है),माध्यिका $5$ वें और $6$ वें अवलोकनों का औसत होगी।
माध्यिका $M = \frac{9 + 11}{2} = \frac{20}{2} = 10$।
अब,माध्यिका से निरपेक्ष विचलन $|x_i - M|$ की गणना करें:
$|2 - 10| = 8, |3 - 10| = 7, |5 - 10| = 5, |7 - 10| = 3, |9 - 10| = 1, |11 - 10| = 1, |13 - 10| = 3, |15 - 10| = 5, |17 - 10| = 7, |20 - 10| = 10$।
इन निरपेक्ष विचलनों का योग $8 + 7 + 5 + 3 + 1 + 1 + 3 + 5 + 7 + 10 = 50$ है।
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $\frac{1}{n} \sum |x_i - M| = \frac{50}{10} = 5$ है।

(B) चरण $1$: वर्ग मध्य बिंदु $(x_i)$ ज्ञात कीजिए:
वर्ग अंतराल का मध्य बिंदु इस प्रकार निकाला जाता है: $x_i = \frac{\text{निम्न सीमा} + \text{उच्च सीमा}}{2}$
- $x_1 = 3, x_2 = 9, x_3 = 15, x_4 = 21, x_5 = 27$
चरण $2$: माध्य $(\bar{x})$ की गणना करें:
- $\sum f_i = 9$
- $\sum f_i x_i = 135$
- $\bar{x} = \frac{135}{9} = 15$
चरण $3$: $|x_i - \bar{x}|$ और $f_i |x_i - \bar{x}|$ ज्ञात करें:
- गणना करने पर योग $\sum f_i |x_i - \bar{x}| = 48$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन की गणना करें:
- $\text{माध्य विचलन} = \frac{48}{9} = \frac{16}{3}$

(A) दी गई जानकारी $n = 101$ पदों वाली एक समांतर श्रेणी है,जहाँ प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अंतर $d$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{1}{101} \sum_{i=0}^{100} (1 + id) = 1 + \frac{d}{101} \times \frac{100 \times 101}{2} = 1 + 50d$.
माध्य से माध्य विचलन $MD = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{100} |x_i - \bar{x}|$ द्वारा दिया जाता है।
$MD = \frac{1}{101} \sum_{i=0}^{100} |(1 + id) - (1 + 50d)| = \frac{d}{101} \sum_{i=0}^{100} |i - 50|$.
योग $\sum_{i=0}^{100} |i - 50| = 50 + 49 + \ldots + 0 + \ldots + 50 = 2550$.
चूँकि $MD = 255$ दिया गया है,इसलिए $255 = \frac{d}{101} \times 2550$.
$d = \frac{255 \times 101}{2550} = 10.1$.

(B) माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात करने के लिए,हम पहले माध्य $\bar{X}$ की गणना करते हैं।
वर्गों के मध्य बिंदु $(x_i)$ $5, 15, 25, 35, 45, 55, 65$ हैं।
बारंबारताओं का योग $N = \Sigma f_i = 4+6+16+28+16+6+4 = 80$ है।
योग $\Sigma f_i x_i = (4 \times 5) + (6 \times 15) + (16 \times 25) + (28 \times 35) + (16 \times 45) + (6 \times 55) + (4 \times 65) = 20 + 90 + 400 + 980 + 720 + 330 + 260 = 2800$ है।
माध्य $\bar{X} = \frac{\Sigma f_i x_i}{N} = \frac{2800}{80} = 35$ है।
अब,$\Sigma f_i |x_i - \bar{X}| = \Sigma f_i |x_i - 35|$ की गणना करें:
$4|5-35| + 6|15-35| + 16|25-35| + 28|35-35| + 16|45-35| + 6|55-35| + 4|65-35|$
$= 4(30) + 6(20) + 16(10) + 28(0) + 16(10) + 6(20) + 4(30)$
$= 120 + 120 + 160 + 0 + 160 + 120 + 120 = 800$ है।
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन = $\frac{1}{N} \Sigma f_i |x_i - \bar{X}| = \frac{800}{80} = 10$ है।

(B) दी गई श्रेणी $2n+1$ पदों वाली एक समांतर श्रेणी है: $a, a+d, a+2d, \ldots, a+2nd$।
श्रेणी का माध्य $m$ मध्य पद है: $m = a + nd$।
माध्य से माध्य विचलन $\frac{1}{2n+1} \sum_{i=0}^{2n} |x_i - m|$ द्वारा दिया जाता है।
पदों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\text{माध्य विचलन} = \frac{1}{2n+1} \sum_{k=0}^{2n} |(a+kd) - (a+nd)| = \frac{1}{2n+1} \sum_{k=0}^{2n} |(k-n)d|$।
यह योग $\frac{d}{2n+1} [| -n | + | -(n-1) | + \ldots + | 0 | + \ldots + | n |]$ है।
कोष्ठक के अंदर का योग $2 \times (1 + 2 + \ldots + n) = 2 \times \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$ है।
अतः,माध्य विचलन $\frac{n(n+1)d}{2n+1}$ है।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(B) चरण $1$: माध्य $(\bar{x})$ की गणना करें।
$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{(10 \times 2) + (15 \times 4) + (20 \times 6) + (25 \times 8) + (30 \times 5)}{2 + 4 + 6 + 8 + 5} = \frac{550}{25} = 22$.
चरण $2$: माध्य से माध्य विचलन $(\text{M.D.}(\bar{x}))$ ज्ञात करें।
$\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{\sum f_i} = \frac{(2 \times 12) + (4 \times 7) + (6 \times 2) + (8 \times 3) + (5 \times 8)}{25} = \frac{128}{25} = 5.12$.

(A) चरण $1$: डेटा को $x_i$ के आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: $x_i: 2, 3, 5, 7, 8, 9$ और $f_i: 5, 6, 6, 1, 1, 3$.
चरण $2$: संचयी आवृत्ति $(cf)$ की गणना करें: $5, 11, 17, 18, 19, 22$. कुल $N = 22$.
चरण $3$: माध्यिका $(\frac{N}{2})^{th}$ और $(\frac{N}{2} + 1)^{th}$ प्रेक्षण का मान है,जो $11$वां और $12$वां प्रेक्षण है। $11$वां प्रेक्षण $3$ है और $12$वां प्रेक्षण $5$ है। माध्यिका $M = \frac{3+5}{2} = 4$.
चरण $4$: $|x_i - M|$ की गणना करें: $|2-4|=2, |3-4|=1, |5-4|=1, |7-4|=3, |8-4|=4, |9-4|=5$.
चरण $5$: $\sum f_i |x_i - M| = (5 \times 2) + (6 \times 1) + (6 \times 1) + (1 \times 3) + (1 \times 4) + (3 \times 5) = 10 + 6 + 6 + 3 + 4 + 15 = 44$.
चरण $6$: माध्यिका से माध्य विचलन = $\frac{\sum f_i |x_i - M|}{N} = \frac{44}{22} = 2$.

(D) चरण $1$: डेटा का माध्य $(\bar{x})$ ज्ञात करें।
$\bar{x} = \frac{2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 22}{9} = \frac{99}{9} = 11$.
चरण $2$: माध्य से निरपेक्ष विचलन $|x_i - \bar{x}|$ की गणना करें।
$|2 - 11| = 9, |3 - 11| = 8, |5 - 11| = 6, |7 - 11| = 4, |11 - 11| = 0, |13 - 11| = 2, |17 - 11| = 6, |19 - 11| = 8, |22 - 11| = 11$.
चरण $3$: इन निरपेक्ष विचलनों का माध्य ज्ञात करें।
$\text{माध्य विचलन} = \frac{9 + 8 + 6 + 4 + 0 + 2 + 6 + 8 + 11}{9} = \frac{54}{9} = 6$.

(C) अवलोकनों का माध्य,अवलोकनों के योग और अवलोकनों की संख्या का अनुपात होता है।
योग $= 1 + 3 + 4 + 7 + 11 + 18 + 29 + 47 + 78 = 198$.
माध्य $(\bar{x}) = \frac{198}{9} = 22$.
अब,माध्य से माध्य विचलन $M.D. = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n}$ सूत्र द्वारा प्राप्त किया जाता है।
$M.D. = \frac{|1-22| + |3-22| + |4-22| + |7-22| + |11-22| + |18-22| + |29-22| + |47-22| + |78-22|}{9}$.
$M.D. = \frac{21 + 19 + 18 + 15 + 11 + 4 + 7 + 25 + 56}{9}$.
$M.D. = \frac{176}{9}$.

(C) माना प्रेक्षणों $x_1, x_2, \ldots, x_n$ का माध्य $\bar{x}$ है।
दिया गया है कि $x_i$ का माध्य विचलन ($M$.$D$.) $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}| = 10$ है।
माना नए प्रेक्षण $y_i = \frac{2x_i + 5}{3}$ हैं।
नए प्रेक्षणों का माध्य $\bar{y} = \frac{2\bar{x} + 5}{3}$ है।
नए प्रेक्षणों का माध्य विचलन इस प्रकार है:
$\text{नया M.D.} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |y_i - \bar{y}|$
$= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |\frac{2x_i + 5}{3} - \frac{2\bar{x} + 5}{3}|$
$= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |\frac{2(x_i - \bar{x})}{3}|$
$= \frac{2}{3} \times (\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|)$
$= \frac{2}{3} \times 10 = \frac{20}{3}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) $10$ अवलोकनों का माध्य $\bar{x} = 10$ दिया गया है:
$\frac{2+3+5+18+17+15+13+x+9+7}{10} = 10$
$\Rightarrow 89 + x = 100$
$\Rightarrow x = 11$
आंकड़ों का समूह ${2, 3, 5, 18, 17, 15, 13, 11, 9, 7}$ है।
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $\frac{1}{n} \sum |x_i - \bar{x}|$ के रूप में गणना की जाती है:

$x_i$	$|x_i - 10|$
$2$	$8$
$3$	$7$
$5$	$5$
$18$	$8$
$17$	$7$
$15$	$5$
$13$	$3$
$11$	$1$
$9$	$1$
$7$	$3$

निरपेक्ष विचलनों का योग $= 8+7+5+8+7+5+3+1+1+3 = 48$।
माध्य विचलन $= \frac{48}{10} = 4.8$।

(B) प्रथम पाँच विषम प्राकृतिक संख्याएँ $1, 3, 5, 7, 9$ हैं। उनका माध्य $\bar{x} = \frac{1+3+5+7+9}{5} = \frac{25}{5} = 5$ है।
माध्य विचलन $O = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{5} = \frac{|1-5| + |3-5| + |5-5| + |7-5| + |9-5|}{5} = \frac{4+2+0+2+4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4$ है।
प्रथम पाँच अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5, 7, 11$ हैं। उनका माध्य $\bar{y} = \frac{2+3+5+7+11}{5} = \frac{28}{5} = 5.6$ है।
माध्य विचलन $P = \frac{\sum |y_i - \bar{y}|}{5} = \frac{|2-5.6| + |3-5.6| + |5-5.6| + |7-5.6| + |11-5.6|}{5} = \frac{3.6 + 2.6 + 0.6 + 1.4 + 5.4}{5} = \frac{13.6}{5} = 2.72$ है।
अतः,$P - O = 2.72 - 2.4 = 0.32$।

(B) प्रथम $15$ सम पूर्णांक $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30$ हैं।
माध्य $\bar{x} = \frac{2+4+6+\dots+30}{15} = 16$.
माध्यिका $\tilde{x} = \left(\frac{15+1}{2}\right)^{\text{वां}}$ पद $= 8^{\text{वां}}$ पद $= 16$.
$M_1 = \text{माध्य से माध्य विचलन} = \frac{\sum_{i=1}^{15} |x_i - \bar{x}|}{15} = \frac{112}{15}$.
चूंकि माध्य और माध्यिका समान हैं,$M_2 = \text{माध्यिका से माध्य विचलन} = M_1 = \frac{112}{15}$.
अतः,$M_1 + M_2 = \frac{112}{15} + \frac{112}{15} = \frac{224}{15}$.

(A) दिए गए डेटा को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर: $4, 4, 7, 12, 14, 15, 15, 23$।
यहाँ,पदों की संख्या $n = 8$ है,जो कि सम है।
अतः,माध्यिका $4$ थे और $5$ वें पद का औसत होगी।
माध्यिका $= \frac{12 + 14}{2} = \frac{26}{2} = 13$।
अब,हम सूत्र $\frac{\sum |x_i - \text{Median}|}{n}$ का उपयोग करके माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन की गणना करते हैं।

$x_i$	$|x_i - 13|$
$4$	$9$
$4$	$9$
$7$	$6$
$12$	$1$
$14$	$1$
$15$	$2$
$15$	$2$
$23$	$10$

निरपेक्ष विचलनों का योग $\sum |d_i| = 9 + 9 + 6 + 1 + 1 + 2 + 2 + 10 = 40$।
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $= \frac{40}{8} = 5$।

(C) सबसे पहले,हम प्रत्येक वर्ग अंतराल के मध्य-बिंदु $(x_i)$ ज्ञात करते हैं और माध्य $(\bar{x})$ की गणना करते हैं:
माध्य $(\bar{x})$ = $\frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{60}{10} = 6$
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन = $\frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{N} = \frac{32}{10} = 3.2$

(D) सबसे पहले,हम दिए गए डेटा का माध्य $(\bar{x})$ ज्ञात करते हैं:
$\bar{x} = \frac{\Sigma f x}{\Sigma f} = \frac{336}{42} = 8$
अब,माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन के सूत्र का उपयोग करते हैं: $\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{\Sigma f|x - \bar{x}|}{N}$
$\Sigma f|x - \bar{x}| = (3 \times 7) + (3 \times 5) + (4 \times 3) + (14 \times 1) + (7 \times 1) + (4 \times 3) + (3 \times 5) + (4 \times 7) = 124$
$\therefore \text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{124}{42} \approx 2.95$

(D) सबसे पहले,हम वर्ग अंतराल के मध्य-बिंदु $(y_i)$ ज्ञात करते हैं:

$y_i$	$1$	$3$	$5$	$7$	$9$
$f_i$	$1$	$2$	$3$	$2$	$1$

माध्य $\bar{y}$ की गणना इस प्रकार है:
$\bar{y} = \frac{\sum f_i y_i}{\sum f_i} = \frac{(1 \times 1) + (2 \times 3) + (3 \times 5) + (2 \times 7) + (1 \times 9)}{1+2+3+2+1} = \frac{1+6+15+14+9}{9} = \frac{45}{9} = 5$
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन इस प्रकार है:
$\text{माध्य विचलन} = \frac{\sum f_i |y_i - \bar{y}|}{\sum f_i} = \frac{1|1-5| + 2|3-5| + 3|5-5| + 2|7-5| + 1|9-5|}{9}$
$= \frac{1(4) + 2(2) + 3(0) + 2(2) + 1(4)}{9} = \frac{4+4+0+4+4}{9} = \frac{16}{9} \approx 1.78$

(C) दिए गए आंकड़े: $16, 22, 3, 14, 5, 10, 8, 6, 11, 4$।
आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर: $3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 14, 16, 22$।
प्रेक्षणों की संख्या $n = 10$ है।
चूंकि $n$ सम है,माध्यिका $5^{\text{th}}$ और $6^{\text{th}}$ प्रेक्षणों का औसत है:
$\text{माध्यिका} = \frac{8 + 10}{2} = 9$।
माध्यिका से माध्य विचलन $\frac{1}{n} \sum |x_i - \text{माध्यिका}|$ द्वारा दिया जाता है:
$\text{माध्य विचलन} = \frac{|3-9| + |4-9| + |5-9| + |6-9| + |8-9| + |10-9| + |11-9| + |14-9| + |16-9| + |22-9|}{10}$
$= \frac{6 + 5 + 4 + 3 + 1 + 1 + 2 + 5 + 7 + 13}{10}$
$= \frac{47}{10} = 4.7$।

(A) माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात करने के लिए,हम पहले संचयी आवृत्ति $(c.f.)$ की गणना करते हैं:

$x$	$f$	$c.f.$	$|x_i - \text{Median}|$	$f_i |x_i - \text{Median}|$
$6$	$4$	$4$	$18$	$72$
$12$	$7$	$11$	$12$	$84$
$18$	$9$	$20$	$6$	$54$
$24$	$18$	$38$	$0$	$0$
$30$	$15$	$53$	$6$	$90$
$36$	$10$	$63$	$12$	$120$
$42$	$5$	$68$	$18$	$90$

कुल आवृत्ति $N = \Sigma f_i = 68$.
माध्यिका $(\frac{N}{2})^{th} = 34^{th}$ प्रेक्षण के संगत मान है। $c.f.$ कॉलम से,$34^{th}$ प्रेक्षण उस वर्ग में आता है जहाँ $x = 24$ है।
अतः,$\text{Median} = 24$.
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन इस प्रकार है:
$\text{M.D.}(\text{Median}) = \frac{\Sigma f_i |x_i - \text{Median}|}{\Sigma f_i} = \frac{72 + 84 + 54 + 0 + 90 + 120 + 90}{68} = \frac{510}{68} = 7.5$.