Venn Diagram and Operation on Sets Questions in Hindi

(B) माना $A = \{1, 2, 3, 4\}$ है।
माना $B = \{x : x \text{ एक प्राकृत संख्या है और } 4 \le x \le 6\} = \{4, 5, 6\}$ है।
यह जाँचने के लिए कि क्या समुच्चय असंयुक्त हैं,हम उनका सर्वनिष्ठ (intersection) ज्ञात करते हैं: $A \cap B = \{1, 2, 3, 4\} \cap \{4, 5, 6\} = \{4\}$।
चूँकि $A \cap B \neq \emptyset$,इसलिए समुच्चयों का यह युग्म असंयुक्त नहीं है।

(B) दो समुच्चय असंयुक्त होते हैं यदि उनका सर्वनिष्ठ (intersection) रिक्त समुच्चय हो,अर्थात $A \cap B = \emptyset$।
दिए गए समुच्चय: $A = \{a, e, i, o, u\}$ और $B = \{c, d, e, f\}$।
उनका सर्वनिष्ठ $A \cap B = \{a, e, i, o, u\} \cap \{c, d, e, f\} = \{e\}$ है।
चूंकि $A \cap B \neq \emptyset$,इसलिए ये समुच्चय असंयुक्त नहीं हैं।

(A) दो समुच्चयों $A$ और $B$ का अंतर,जिसे $A - B$ द्वारा दर्शाया जाता है,उन अवयवों का समुच्चय है जो $A$ में हैं लेकिन $B$ में नहीं हैं।
दिया गया है $A = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21\}$ और $B = \{4, 8, 12, 16, 20\}$।
$A$ और $B$ के बीच उभयनिष्ठ अवयव $\{12\}$ है।
समुच्चय $A$ से अवयव $12$ को हटाने पर,हमें $A - B = \{3, 6, 9, 15, 18, 21\}$ प्राप्त होता है।

(A) समुच्चय $A-C$ में वे अवयव होते हैं जो $A$ में हैं लेकिन $C$ में नहीं हैं।
दिया गया है $A = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21\}$ और $C = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\}$।
दोनों समुच्चयों की तुलना करने पर,उभयनिष्ठ अवयव $\{6, 12\}$ हैं।
समुच्चय $A$ से इन उभयनिष्ठ अवयवों को हटाने पर,हमें $A-C = \{3, 9, 15, 18, 21\}$ प्राप्त होता है।

(A) समुच्चय अंतर $A-D$ में वे अवयव होते हैं जो $A$ में हैं लेकिन $D$ में नहीं हैं।
दिया गया है $A = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21\}$ और $D = \{5, 10, 15, 20\}$।
हम $D$ के उन अवयवों को हटाते हैं जो $A$ में मौजूद हैं।
केवल उभयनिष्ठ अवयव $15$ है।
इसलिए,$A-D = \{3, 6, 9, 12, 18, 21\}$।

(A) दो समुच्चयों का अंतर $B - A$ उन अवयवों का समुच्चय है जो $B$ में हैं लेकिन $A$ में नहीं हैं।
दिया गया है $A = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21\}$ और $B = \{4, 8, 12, 16, 20\}$।
हम $B$ में मौजूद उन अवयवों की पहचान करते हैं जो $A$ में भी हैं। उभयनिष्ठ अवयव केवल $12$ है।
समुच्चय $B$ से $12$ को हटाने पर,हमें $B - A = \{4, 8, 16, 20\}$ प्राप्त होता है।

(A) दो समुच्चयों का अंतर $C - A$ उन अवयवों का समुच्चय है जो $C$ में हैं लेकिन $A$ में नहीं हैं।
दिया गया है $C = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\}$ और $A = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21\}$।
$C$ और $A$ के बीच उभयनिष्ठ अवयव $\{6, 12\}$ हैं।
इन अवयवों को $C$ से हटाने पर,हमें $C - A = \{2, 4, 8, 10, 14, 16\}$ प्राप्त होता है।

(A) दो समुच्चयों का अंतर $D - A$ उन अवयवों का समुच्चय है जो $D$ में हैं लेकिन $A$ में नहीं हैं।
दिया गया है $D = \{5, 10, 15, 20\}$ और $A = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21\}$।
हम $D$ के उन अवयवों की पहचान करते हैं जो $A$ में भी मौजूद हैं। अवयव $15$ दोनों समुच्चयों में उभयनिष्ठ है।
$D$ से $15$ को हटाने पर,हमें $D - A = \{5, 10, 20\}$ प्राप्त होता है।

(B) दो समुच्चयों $B$ और $C$ का अंतर,जिसे $B - C$ द्वारा दर्शाया जाता है,उन अवयवों का समुच्चय है जो $B$ में हैं लेकिन $C$ में नहीं हैं।
दिया गया है $B = \{4, 8, 12, 16, 20\}$ और $C = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\}$।
$B$ के वे अवयव जो $C$ में भी हैं,वे $\{4, 8, 12, 16\}$ हैं।
इन अवयवों को $B$ से हटाने पर,हमें $B - C = \{20\}$ प्राप्त होता है।

(A) दो समुच्चयों $B$ और $D$ का अंतर,जिसे $B - D$ द्वारा दर्शाया जाता है,उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो $B$ में हैं लेकिन $D$ में नहीं हैं।
दिया गया है $B = \{4, 8, 12, 16, 20\}$ और $D = \{5, 10, 15, 20\}$।
हम $B$ से $D$ के अवयवों को हटाते हैं।
अवयव $20$ $B$ और $D$ दोनों में मौजूद है।
अतः,$B - D = \{4, 8, 12, 16\}$।

(A) दो समुच्चयों $C$ और $B$ का अंतर,जिसे $C - B$ द्वारा दर्शाया जाता है,उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो $C$ में हैं लेकिन $B$ में नहीं हैं।
दिया गया है $C = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\}$ और $B = \{4, 8, 12, 16, 20\}$।
$C$ से $B$ के अवयवों को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$C - B = \{2, 6, 10, 14\}$।

(A) दो समुच्चयों $D$ और $B$ का अंतर,जिसे $D - B$ द्वारा दर्शाया जाता है,उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो $D$ में हैं लेकिन $B$ में नहीं हैं।
दिया गया है $D = \{5, 10, 15, 20\}$ और $B = \{4, 8, 12, 16, 20\}$।
हम $D$ से $B$ के अवयवों को हटाते हैं।
अवयव $20$ दोनों समुच्चयों में उभयनिष्ठ है।
अतः,$D - B = \{5, 10, 15, 20\} - \{4, 8, 12, 16, 20\} = \{5, 10, 15\}$।

(A) दो समुच्चयों $C$ और $D$ का अंतर,जिसे $C - D$ द्वारा दर्शाया जाता है,उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो $C$ में हैं लेकिन $D$ में नहीं हैं।
दिया गया है $C = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\}$ और $D = \{5, 10, 15, 20\}$।
हम $D$ के उन अवयवों को हटाते हैं जो $C$ में मौजूद हैं।
$C$ और $D$ के बीच उभयनिष्ठ अवयव $\{10\}$ है।
अतः,$C - D = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\} - \{5, 10, 15, 20\} = \{2, 4, 6, 8, 12, 14, 16\}$।

(B) दो समुच्चयों $D$ और $C$ का अंतर,जिसे $D - C$ द्वारा दर्शाया जाता है,उन अवयवों का समुच्चय है जो $D$ में हैं लेकिन $C$ में नहीं हैं।
दिया गया है $D = \{5, 10, 15, 20\}$ और $C = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\}$।
हम $D$ के उन अवयवों की पहचान करते हैं जो $C$ में भी हैं: अवयव $10$ दोनों समुच्चयों में मौजूद है।
$D$ से $10$ को हटाने पर,हमें $D - C = \{5, 15, 20\}$ प्राप्त होता है।

(A) दो समुच्चयों का अंतर $Y - X$ उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो $Y$ में हैं लेकिन $X$ में नहीं हैं।
दिया गया है $X = \{a, b, c, d\}$ और $Y = \{f, b, d, g\}$।
$Y$ में उपस्थित अवयव $f, b, d, g$ हैं।
$Y$ के वे अवयव जो $X$ में भी हैं,वे $b$ और $d$ हैं।
अतः,$Y - X = \{f, g\}$।

(B) दो समुच्चयों $X$ और $Y$ का सर्वनिष्ठ (intersection),जिसे $X \cap Y$ द्वारा दर्शाया जाता है,में वे सभी अवयव शामिल होते हैं जो $X$ और $Y$ दोनों में उभयनिष्ठ (common) हैं।
दिया गया है $X = \{a, b, c, d\}$ और $Y = \{f, b, d, g\}$।
दोनों समुच्चयों में उभयनिष्ठ अवयव $b$ और $d$ हैं।
अतः,$X \cap Y = \{b, d\}$।

(B) असत्य।
दो समुच्चय असंयुक्त होते हैं यदि उनका सर्वनिष्ठ (intersection) रिक्त समुच्चय हो,अर्थात $A \cap B = \emptyset$.
दिए गए समुच्चय $A = \{2, 3, 4, 5\}$ और $B = \{3, 6\}$ हैं।
चूंकि $3 \in A$ और $3 \in B$,इसलिए उनका सर्वनिष्ठ $A \cap B = \{3\}$ है।
चूंकि $A \cap B \neq \emptyset$,इसलिए ये समुच्चय असंयुक्त नहीं हैं।

(B) असत्य।
दो समुच्चय असंयुक्त होते हैं यदि उनका सर्वनिष्ठ (intersection) रिक्त समुच्चय हो,अर्थात $A \cap B = \emptyset$।
यहाँ,मान लीजिए $A = \{a, e, i, o, u\}$ और $B = \{a, b, c, d\}$।
चूँकि $a \in A$ और $a \in B$,इसलिए $A \cap B = \{a\}$।
चूँकि $A \cap B \neq \emptyset$,इसलिए ये समुच्चय असंयुक्त नहीं हैं।

(A) यह कथन $True$ (सत्य) है।
दो समुच्चयों को असंयुक्त कहा जाता है यदि उनका सर्वनिष्ठ (intersection) एक रिक्त समुच्चय हो,जिसे $\varnothing$ द्वारा दर्शाया जाता है।
मान लीजिए $A = \{2, 6, 10, 14\}$ और $B = \{3, 7, 11, 15\}$ हैं।
$A$ और $B$ का सर्वनिष्ठ $A \cap B = \{2, 6, 10, 14\} \cap \{3, 7, 11, 15\} = \varnothing$ है।
चूंकि सर्वनिष्ठ रिक्त है,इसलिए ये समुच्चय असंयुक्त हैं।

दिया गया है $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$,$A = \{2, 4, 6, 8\}$ और $B = \{2, 3, 5, 7\}$।
सबसे पहले,$A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ ज्ञात करें।
तब,$(A \cup B)^{\prime} = U \setminus (A \cup B) = \{1, 9\}$।
अब,$A^{\prime} = U \setminus A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ और $B^{\prime} = U \setminus B = \{1, 4, 6, 8, 9\}$ ज्ञात करें।
अतः,$A^{\prime} \cap B^{\prime} = \{1, 3, 5, 7, 9\} \cap \{1, 4, 6, 8, 9\} = \{1, 9\}$।
चूँकि $(A \cup B)^{\prime} = \{1, 9\}$ और $A^{\prime} \cap B^{\prime} = \{1, 9\}$,अतः यह सत्यापित होता है कि $(A \cup B)^{\prime} = A^{\prime} \cap B^{\prime}$।

(N/A) डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$A^{\prime} \cap B^{\prime} = (A \cup B)^{\prime}$.
यह सार्वत्रिक समुच्चय $U$ में उस क्षेत्र को दर्शाता है जो समुच्चय $A$ और $B$ दोनों के बाहर है।
वेन आरेख में,यह पूरे आयत को कवर करने वाला छायांकित क्षेत्र है,जिसमें वृत्त $A$ और $B$ शामिल नहीं हैं।

(N/A) डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,हम जानते हैं कि $A^{\prime} \cup B^{\prime} = (A \cap B)^{\prime}$ होता है।
यह सार्वत्रिक समुच्चय $U$ में उस क्षेत्र को दर्शाता है जो समुच्चय $A$ और $B$ के सर्वनिष्ठ (intersection) के बाहर है।
इसलिए,वेन आरेख में समुच्चय $A$ और $B$ के सर्वनिष्ठ भाग को छोड़कर संपूर्ण सार्वत्रिक समुच्चय $U$ शामिल है।

(A) यह दिया गया है कि:
$n(X \cup Y) = 18, n(X) = 8, n(Y) = 15$
हम जानते हैं कि:
$n(X \cup Y) = n(X) + n(Y) - n(X \cap Y)$
मान रखने पर:
$18 = 8 + 15 - n(X \cap Y)$
$18 = 23 - n(X \cap Y)$
$n(X \cap Y)$ के लिए हल करने पर:
$n(X \cap Y) = 23 - 18$
$n(X \cap Y) = 5$
अतः,$X \cap Y$ में $5$ अवयव हैं.

(C) मान लीजिए कि तीन खेल खेलने वाले छात्रों के तीन समुच्चय $A$,$B$,और $C$ हैं।
समस्या के अनुसार,कुछ छात्र दो खेल खेलते हैं,जिसका अर्थ है कि किन्हीं दो समुच्चयों का प्रतिच्छेदन रिक्त नहीं है (अर्थात,$A \cap B \neq \emptyset$,$B \cap C \neq \emptyset$,$A \cap C \neq \emptyset$).
हालाँकि,कोई भी छात्र तीनों खेल नहीं खेलता है,जिसका अर्थ है कि तीनों समुच्चयों का प्रतिच्छेदन रिक्त होना चाहिए (अर्थात,$A \cap B \cap C = \emptyset$).
आरेख $P$ में,केवल दो समुच्चय हैं,इसलिए यह तीन खेलों का प्रतिनिधित्व नहीं करता है।
आरेख $Q$ में,तीन वृत्त इस तरह व्यवस्थित हैं कि एक केंद्रीय क्षेत्र है जहाँ तीनों ओवरलैप होते हैं,जिसका अर्थ है $A \cap B \cap C \neq \emptyset$.
आरेख $R$ में,तीन वृत्त इस तरह व्यवस्थित हैं कि तीनों द्वारा साझा किया गया कोई सामान्य क्षेत्र नहीं है,जिसका अर्थ है $A \cap B \cap C = \emptyset$,जबकि वृत्तों के जोड़े अभी भी ओवरलैप होते हैं।
इसलिए,केवल आरेख $R$ कथन को सही ठहराता है। विकल्प $C$ सही है।

(N/A) सिद्ध करने के लिए: $A = (A \cap B) \cup (A - B)$
माना $x \in A.$
हम जानते हैं कि $x$ या तो $B$ में होगा या $B$ में नहीं होगा।
स्थिति $I$: यदि $x \in B$ है,तो $x \in A \cap B$,अतः $x \in (A \cap B) \cup (A - B).$
स्थिति $II$: यदि $x \notin B$ है,तो $x \in A - B$,अतः $x \in (A \cap B) \cup (A - B).$
अतः,$A \subseteq (A \cap B) \cup (A - B).$ ..........$(1)$
चूंकि $(A \cap B) \subseteq A$ और $(A - B) \subseteq A$,इसलिए उनका संघ भी $A$ का उपसमुच्चय होगा।
अतः,$(A \cap B) \cup (A - B) \subseteq A.$ ..........$(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,$A = (A \cap B) \cup (A - B).$
सिद्ध करने के लिए: $A \cup (B - A) = A \cup B$
माना $x \in A \cup (B - A).$
इसका अर्थ है $x \in A$ या $(x \in B$ और $x \notin A).$
वितरण नियम के अनुसार,यह $(x \in A$ या $x \in B)$ और $(x \in A$ या $x \notin A)$ है।
चूंकि $(x \in A$ या $x \notin A)$ हमेशा सत्य है,इसलिए हमें $x \in A \cup B$ प्राप्त होता है।
अतः,$A \cup (B - A) \subseteq A \cup B.$ ..........$(3)$
इसके विपरीत,माना $y \in A \cup B.$
इसका अर्थ है $y \in A$ या $y \in B.$
यदि $y \in A$ है,तो $y \in A \cup (B - A).$
यदि $y \notin A$ और $y \in B$ है,तो $y \in B - A$,इसलिए $y \in A \cup (B - A).$
अतः,$A \cup B \subseteq A \cup (B - A).$ ..........$(4)$
$(3)$ और $(4)$ से,$A \cup (B - A) = A \cup B.$

(A) सिद्ध करना है: $A \cup (A \cap B) = A$
हम जानते हैं कि किन्हीं समुच्चयों $A$ और $B$ के लिए,सर्वनिष्ठ $A \cap B$,$A$ का उपसमुच्चय होता है,अर्थात $(A \cap B) \subset A$।
साथ ही,$A \subset A$।
अतः,इन दो समुच्चयों का संघ $A \cup (A \cap B) \subset A$ होगा ........... $(1)$
इसके विपरीत,किसी भी अवयव $x \in A$ के लिए,संघ की परिभाषा के अनुसार $x \in A \cup (A \cap B)$ होता है,इसलिए $A \subset A \cup (A \cap B)$ ........... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,समुच्चय समानता की परिभाषा के अनुसार,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $A \cup (A \cap B) = A$।

(A) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ में $36$ परिणाम होते हैं।
$A = \{(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
$B = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)\}$
चूंकि $B$ उन सभी परिणामों का समुच्चय है जहाँ पहला पासा विषम है,इसलिए $B^{\prime} = A$ है।
$C = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1)\}$
हमें $A \cap B^{\prime} \cap C^{\prime} = A \cap A \cap C^{\prime} = A \cap C^{\prime}$ ज्ञात करना है।
$A \cap C^{\prime}$ उन परिणामों के समुच्चय को दर्शाता है जो $A$ में हैं लेकिन $C$ में नहीं हैं।
$A \cap C^{\prime} = \{(2,4), (2,5), (2,6), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$

(B) फलन $f(x, A)$ समुच्चय $A$ का सूचक फलन (indicator function) है,जिसे $\chi_A(x)$ के रूप में दर्शाया जाता है।
परिभाषा के अनुसार,यदि $x \in A \cup B$ है तो $f(x, A \cup B) = 1$,और अन्यथा $0$ है।
हम जानते हैं कि $x \in A \cup B$ तभी होता है जब $x \in A$ या $x \in B$ हो।
सूचक फलनों के गुणों का उपयोग करते हुए:
$f(x, A \cup B) = \max(f(x, A), f(x, B))$.
वैकल्पिक रूप से,सूचक फलनों के लिए समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत (inclusion-exclusion principle) का उपयोग करते हुए:
$f(x, A \cup B) = f(x, A) + f(x, B) - f(x, A \cap B)$.
चूंकि $f(x, A \cap B) = f(x, A) \cdot f(x, B)$,इसलिए हमें $f(x, A \cup B) = f(x, A) + f(x, B) - f(x, A)f(x, B)$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: $P(E) = \frac{1}{8}, P(F) = \frac{1}{6}, P(G) = \frac{1}{4}, P(E \cap F \cap G) = \frac{1}{10}$.
$(A)$ हम जानते हैं कि $P(E) = P(E \cap F \cap G) + P(E \cap F \cap G^C) + P(E \cap F^C \cap G) + P(E \cap F^C \cap G^C)$.
अतः,$P(E \cap F \cap G^C) \leq P(E) - P(E \cap F \cap G) = \frac{1}{8} - \frac{1}{10} = \frac{5-4}{40} = \frac{1}{40}$. इसलिए,$(A)$ $TRUE$ है।
$(B)$ इसी प्रकार,$P(E^C \cap F \cap G) \leq P(F) - P(E \cap F \cap G) = \frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{5-3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$. इसलिए,$(B)$ $TRUE$ है।
$(C)$ $P(E \cup F \cup G) = P(E) + P(F) + P(G) - [P(E \cap F) + P(F \cap G) + P(G \cap E)] + P(E \cap F \cap G)$.
चूंकि $P(E \cap F), P(F \cap G), P(G \cap E) \geq P(E \cap F \cap G) = \frac{1}{10}$,इसलिए $P(E \cup F \cup G) \leq \frac{1}{8} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4} - 3(\frac{1}{10}) + \frac{1}{10} = \frac{3+4+6}{24} - \frac{2}{10} = \frac{13}{24} - \frac{1}{5} = \frac{65-24}{120} = \frac{41}{120} \leq \frac{13}{24}$. इसलिए,$(C)$ $TRUE$ है।
$(D)$ $P(E^C \cap F^C \cap G^C) = 1 - P(E \cup F \cup G)$. चूंकि $P(E \cup F \cup G) \geq P(E \cap F \cap G) = \frac{1}{10}$,इसलिए $P(E^C \cap F^C \cap G^C) \leq 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} = 0.9$. कथन $P(E^C \cap F^C \cap G^C) \leq \frac{5}{12} \approx 0.416$ हमेशा सत्य नहीं है। इसलिए,$(D)$ $FALSE$ है।
अतः,सही विकल्प $A, B, C$ हैं।

(B) दिया गया समुच्चय $A = \{x \mid x \in N, x \text{ एक अभाज्य संख्या है जो } 12 \text{ से कम है}\}$.
चूंकि $12$ से कम अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5, 7, 11$ हैं,इसलिए $A = \{2, 3, 5, 7, 11\}$ है।
दिया गया समुच्चय $B = \{x \mid x \in N, x \text{ संख्या } 10 \text{ का एक गुणनखंड है}\}$.
चूंकि $10$ के गुणनखंड $1, 2, 5, 10$ हैं,इसलिए $B = \{1, 2, 5, 10\}$ है।
सर्वनिष्ठ समुच्चय $A \cap B$ में वे अवयव होते हैं जो समुच्चय $A$ और $B$ दोनों में उभयनिष्ठ हैं।
$A \cap B = \{2, 3, 5, 7, 11\} \cap \{1, 2, 5, 10\} = \{2, 5\}$.

(A) दिया गया है $X = \{4^n - 3n - 1 : n \in N\}$ और $Y = \{9(n - 1) : n \in N\}$।
द्विपद विस्तार के अनुसार,$4^n = (1 + 3)^n = 1 + n(3) + \frac{n(n-1)}{2!} (3^2) + \dots + 3^n$।
अतः,$4^n - 3n - 1 = 1 + 3n + \frac{9n(n-1)}{2} + \dots - 3n - 1 = \frac{9n(n-1)}{2} + \dots = 9 \left[ \frac{n(n-1)}{2} + \dots \right]$।
यह दर्शाता है कि $X$ का प्रत्येक अवयव $9$ का गुणज है,और चूंकि $n(n-1)$ हमेशा सम होता है,$\frac{n(n-1)}{2}$ एक पूर्णांक है।
इस प्रकार,$X \subseteq Y$।
वैकल्पिक रूप से,मान रखने पर:
$n=1$ के लिए,$X = \{4^1 - 3(1) - 1\} = \{0\}$।
$n=2$ के लिए,$X = \{4^2 - 3(2) - 1\} = \{16 - 6 - 1\} = \{9\}$।
$n=3$ के लिए,$X = \{4^3 - 3(3) - 1\} = \{64 - 9 - 1\} = \{54\}$।
$X = \{0, 9, 54, \dots\}$।
$Y = \{0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, \dots\}$।
चूंकि $X$ के सभी अवयव $Y$ में हैं,इसलिए $X \cap Y = X$।

(A) सबसे पहले,हम प्रत्येक समुच्चय के अवयव निर्धारित करते हैं:
$A = \{ x : x \text{ एक पूर्णांक है और } x^2 - 9 = 0 \} = \{ -3, 3 \}$.
$B = \{ x : x \text{ एक प्राकृतिक संख्या है और } 2 \leq x < 5 \} = \{ 2, 3, 4 \}$.
$C = \{ x : x \text{ एक अभाज्य संख्या } \leq 4 \} = \{ 2, 3 \}$.
अब,$(B - C)$ की गणना करते हैं:
$B - C = \{ 2, 3, 4 \} - \{ 2, 3 \} = \{ 4 \}$.
अंत में,$(B - C) \cup A$ की गणना करते हैं:
$(B - C) \cup A = \{ 4 \} \cup \{ -3, 3 \} = \{ -3, 3, 4 \}$.

(C) दिया गया है कि $A$,$B$ का उपसमुच्चय है,जिसे $A \subset B$ के रूप में दर्शाया जाता है।
उपसमुच्चय की परिभाषा के अनुसार,$A$ का प्रत्येक अवयव $B$ का भी अवयव है।
इसलिए,$A$ और $B$ का संघ (union) $B$ होता है,अर्थात $A \cup B = B$।
दोनों पक्षों में अवयवों की संख्या लेने पर,हमें $n(A \cup B) = n(B)$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$A$ और $B$ का सर्वनिष्ठ (intersection) $A$ होता है,अर्थात $A \cap B = A$,जिसका अर्थ है कि $n(A \cap B) = n(A)$।

(C) जब केवल घटना $A$ घटित होती है,तो इसे $(A \cap B^c)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
जब केवल घटना $B$ घटित होती है,तो इसे $(A^c \cap B)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,'घटनाओं $A$ और $B$ में से ठीक एक घटना घटित हो' को $(A \cap B^c) \cup (A^c \cap B)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) हम जानते हैं कि दो समुच्चयों का अंतर $A-B = A \cap B^c$ होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A-(A-B) = A-(A \cap B^c)$
गुणधर्म $X-Y = X \cap Y^c$ का उपयोग करते हुए:
$= A \cap (A \cap B^c)^c$
डी मॉर्गन के नियम $(A \cap B^c)^c = A^c \cup (B^c)^c = A^c \cup B$ को लागू करने पर:
$= A \cap (A^c \cup B)$
वितरण नियम का उपयोग करते हुए:
$= (A \cap A^c) \cup (A \cap B)$
चूंकि $A \cap A^c = \emptyset$ है:
$= \emptyset \cup (A \cap B) = A \cap B$
अतः,सही विकल्प $C$ है।