Complement of a Set Questions in Hindi

(D) डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$ होता है।
इसलिए,$A \cap (A \cap B)^c = A \cap (A^c \cup B^c)$।
वितरण नियम लागू करने पर,हमें $(A \cap A^c) \cup (A \cap B^c)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A \cap A^c = \phi$,इसलिए व्यंजक $\phi \cup (A \cap B^c) = A \cap B^c$ बन जाता है।

(C) डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $(A \cup B)' = A' \cap B'$.
इसलिए,$A \cap (A \cup B)' = A \cap (A' \cap B')$.
समुच्चयों के साहचर्य नियम (associative law) द्वारा,इसे $(A \cap A') \cap B'$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $A \cap A' = \phi$,इसलिए $\phi \cap B' = \phi$ होता है।
अतः,$A \cap (A \cup B)' = \phi$।

(B) समुच्चय के पूरक की परिभाषा के अनुसार,$A'$ में सार्वत्रिक समुच्चय $U$ के वे सभी अवयव होते हैं जो $A$ में नहीं हैं।
अतः,समुच्चय $A$ और उसके पूरक $A'$ का संघ $A$ के सभी अवयवों और $U$ के उन सभी अवयवों को शामिल करता है जो $A$ में नहीं हैं,जिससे परिणामी समुच्चय सार्वत्रिक समुच्चय $U$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$A \cup A' = U$।

(C) वेन आरेख से,समुच्चय $\{ (A - B) \cup (B - C) \cup (C - A) \}$ उन अवयवों को दर्शाता है जो समुच्चय $A, B,$ या $C$ में से केवल एक में हैं,या जो केवल दो समुच्चयों में हैं।
विशेष रूप से,क्षेत्र $\{ (A - B) \cup (B - C) \cup (C - A) \}$ संघ $A \cup B \cup C$ के सभी भागों को कवर करता है,सिवाय केंद्रीय प्रतिच्छेदन क्षेत्र $A \cap B \cap C$ के।
इसलिए,सार्वत्रिक समुच्चय $U = A \cup B \cup C$ में इस समुच्चय का पूरक स्वयं केंद्रीय क्षेत्र है।
अतः,$\{ (A - B) \cup (B - C) \cup (C - A) \}' = A \cap B \cap C$.

(B) डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,दो समुच्चयों के सर्वनिष्ठ का पूरक उनके पूरकों के संघ के बराबर होता है।
अतः,$(A \cap B)' = A' \cup B'$.

(D) सबसे पहले,हम सूत्र का उपयोग करके समुच्चय $A$ और $B$ के संघ (union) में अवयवों की संख्या ज्ञात करते हैं:
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
$n(A \cup B) = 12 + 9 - 4 = 17$
अब,हम सार्वत्रिक समुच्चय $U$ का उपयोग करके $(A \cup B)$ के पूरक (complement) में अवयवों की संख्या ज्ञात करते हैं:
$n((A \cup B)^C) = n(U) - n(A \cup B)$
$n((A \cup B)^C) = 20 - 17 = 3$
अतः,सही विकल्प $D$ है.

(B) घटना $A$ के न होने की प्रायिकता पूरक नियम द्वारा दी जाती है:
$P(\text{not } A) = P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
दिया गया है $P(A) = 0.38$,
अतः $P(\bar{A}) = 1 - 0.38 = 0.62$.

(B) हम जानते हैं कि किसी भी घटना $E$ के लिए,$P(\bar{E}) = 1 - P(E)$ होता है।
दिया गया है $P(A) = 0.65$,इसलिए $P(\bar{A}) = 1 - 0.65 = 0.35$।
दिया गया है $P(B) = 0.15$,इसलिए $P(\bar{B}) = 1 - 0.15 = 0.85$।
अतः,$P(\bar{A}) + P(\bar{B}) = 0.35 + 0.85 = 1.2$।

(D) हम जानते हैं कि $P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B)$.
दिया गया है $P(A) = 0.25$ और $P(A \cap B) = 0.14$.
मान रखने पर,हमें $P(A \cap \bar{B}) = 0.25 - 0.14 = 0.11$ प्राप्त होता है।
चूंकि $0.11$ विकल्पों $A, B,$ या $C$ में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) हम जानते हैं कि $P(A \cap \overline{B})$ घटना $A$ के घटित होने और घटना $B$ के घटित न होने की प्रायिकता को दर्शाता है।
इसे $P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
दिया गया है $P(A) = 0.25$ और $P(A \cap B) = 0.14$।
मान रखने पर: $P(A \cap \overline{B}) = 0.25 - 0.14 = 0.11$।

(D) दिया गया है कि $A$,$B$ का उपसमुच्चय नहीं है $(A \not\subseteq B)$।
इसका अर्थ है कि कम से कम एक अवयव $x$ ऐसा है कि $x \in A$ और $x \notin B$।
चूँकि $x \notin B$,इसलिए $x \in B^c$ (जहाँ $B^c$,$X$ में $B$ का पूरक है)।
अतः,$x \in A \cap B^c$।
चूँकि $A$ और $B^c$ के सर्वनिष्ठ में कम से कम एक अवयव है,इसलिए $A$ और $B^c$ असंयुक्त नहीं हैं।

(D) डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$।
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$A \cap (A^c \cup B^c)$
वितरण नियम लागू करने पर:
$(A \cap A^c) \cup (A \cap B^c)$
चूंकि $A \cap A^c = \phi$:
$\phi \cup (A \cap B^c) = A \cap B^c$।

(B) समुच्चय अंतर की परिभाषा के अनुसार,समुच्चय $A - B$ में वे सभी अवयव होते हैं जो $A$ में हैं लेकिन $B$ में नहीं हैं।
यह $A$ और $B$ के पूरक समुच्चय के सर्वनिष्ठ (intersection) के बराबर है।
अतः,$A - B = A \cap \bar{B}$.

(B) दिया गया है कि $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ और $B = \{6, 7\}$।
$B'$ का अर्थ है $U$ के वे अवयव जो $B$ में नहीं हैं।
अतः $B' = U - B = \{1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10\}$।
अब हमें $A \cap B'$ ज्ञात करना है,जहाँ $A = \{1, 2, 5\}$।
$A \cap B' = \{1, 2, 5\} \cap \{1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10\} = \{1, 2, 5\}$।
चूँकि $\{1, 2, 5\} = A$,इसलिए $A \cap B' = A$।

(B) समुच्चय सिद्धांत में डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,दो समुच्चयों के सर्वनिष्ठ (intersection) का पूरक (complement),उनके पूरकों के संघ (union) के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,इसे $(A \cap B)' = A' \cup B'$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) समुच्चय अंतर $A - B$ उन अवयवों का समुच्चय है जो $A$ में हैं लेकिन $B$ में नहीं हैं।
$1$. $A - B = A \cap B'$ एक मानक सर्वसमिका है।
$2$. $A - (A \cap B) = A \cap (A \cap B)' = A \cap (A' \cup B') = (A \cap A') \cup (A \cap B') = \emptyset \cup (A \cap B') = A \cap B'$. अतः,$A - B = A - (A \cap B)$ सत्य है।
$3$. $(A \cup B) - B = (A \cup B) \cap B' = (A \cap B') \cup (B \cap B') = (A \cap B') \cup \emptyset = A \cap B'$. अतः,$A - B = (A \cup B) - B$ सत्य है।
$4$. $A - B'$ उन अवयवों का समुच्चय है जो $A$ में हैं लेकिन $B'$ में नहीं हैं,जिसका अर्थ है $A$ के वे अवयव जो $B$ में हैं। अतः,$A - B' = A \cap B$.
चूँकि सामान्यतः $A \cap B \neq A \cap B'$,इसलिए कथन $A - B = A - B'$ असत्य है।

(C) पासा फेंकने का प्रतिदर्श समष्टि $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
घटना $A$ 'एक अभाज्य संख्या प्राप्त करना' है,इसलिए $A = \{2, 3, 5\}$ है।
घटना 'not $A$' समुच्चय $A$ का पूरक है,जिसे $A^c$ या $A'$ के रूप में दर्शाया जाता है।
$A^c = S - A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} - \{2, 3, 5\} = \{1, 4, 6\}$.

(B) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ में $36$ परिणाम होते हैं:
$S = \{(x, y) : x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \}$.
घटना $A$ को पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त करने के रूप में परिभाषित किया गया है:
$A = \{(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) \}$.
पूरक घटना $A^{\prime}$ में $S$ के वे सभी परिणाम शामिल हैं जो $A$ में नहीं हैं। इसका मतलब है कि पहले पासे पर एक विषम संख्या होनी चाहिए:
$A^{\prime} = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6) \}$.
घटना $B$ (पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त करना) की परिभाषा के साथ इसकी तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि $A^{\prime} = B$.

(A) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ में $36$ परिणाम होते हैं:
$S = \{(x, y) : x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\}$.
घटना $B$ को पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त करने के रूप में परिभाषित किया गया है:
$B = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)\}$.
घटना $\text{not } B$ (जिसे $B'$ के रूप में दर्शाया गया है) में प्रतिदर्श समष्टि $S$ के वे सभी परिणाम शामिल हैं जो $B$ में नहीं हैं।
चूंकि $B$ में वे सभी परिणाम हैं जहाँ पहला पासा विषम है,इसलिए $B'$ में वे सभी परिणाम हैं जहाँ पहला पासा सम है।
अतः,$B' = \{(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$.
यह घटना $A$ के समान है।

(A) एक सार्वत्रिक समुच्चय $U$ के सापेक्ष समुच्चय $A$ का पूरक,जिसे $A^{\prime}$ द्वारा दर्शाया जाता है,उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो $U$ में हैं लेकिन $A$ में नहीं हैं।
दिया गया है $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ और $A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$।
हम $U$ के उन अवयवों की पहचान करते हैं जो $A$ में मौजूद नहीं हैं:
$A^{\prime} = U \setminus A = \{x : x \in U \text{ और } x \notin A\}$।
$U$ से $A$ के अवयवों को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A^{\prime} = \{2, 4, 6, 8, 10\}$।

(N/A) सार्वत्रिक समुच्चय $U$ में कक्षा $XI$ के सभी छात्र शामिल हैं,जिसमें लड़के और लड़कियाँ दोनों शामिल हैं।
$A$ कक्षा $XI$ की सभी लड़कियों का समुच्चय है।
परिभाषा के अनुसार,एक समुच्चय $A$ का पूरक,जिसे $A'$ द्वारा दर्शाया जाता है,$U$ के उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो $A$ में नहीं हैं।
इसलिए,$A' = U - A$ कक्षा $XI$ के उन सभी छात्रों के समुच्चय को दर्शाता है जो लड़कियाँ नहीं हैं,जिसका अर्थ है कि $A'$ कक्षा $XI$ के सभी लड़कों का समुच्चय है।

(A) दिया गया है $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$,$A = \{2, 3\}$ और $B = \{3, 4, 5\}$।
$A' = U - A = \{1, 4, 5, 6\}$।
$B' = U - B = \{1, 2, 6\}$।
$A' \cap B' = \{1, 4, 5, 6\} \cap \{1, 2, 6\} = \{1, 6\}$।
$A \cup B = \{2, 3, 4, 5\}$।
$(A \cup B)' = U - (A \cup B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} - \{2, 3, 4, 5\} = \{1, 6\}$।
चूंकि $(A \cup B)' = \{1, 6\}$ और $A' \cap B' = \{1, 6\}$ है,इसलिए $(A \cup B)' = A' \cap B'$ सिद्ध होता है।
यह डी मॉर्गन के नियम को सत्यापित करता है।

(A) एक समुच्चय $A$ का पूरक,जिसे $A^{\prime}$ द्वारा दर्शाया जाता है,उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो सार्वत्रिक समुच्चय $U$ में हैं लेकिन $A$ में नहीं हैं।
दिया गया है $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ और $A = \{1, 2, 3, 4\}$।
$A^{\prime} = U - A = \{x : x \in U \text{ और } x \notin A\}$।
$U$ से $A$ के अवयवों को हटाने पर,हमें $A^{\prime} = \{5, 6, 7, 8, 9\}$ प्राप्त होता है।

(A) एक समुच्चय $B$ का पूरक,जिसे $B^{\prime}$ द्वारा दर्शाया जाता है,उन सभी तत्वों का समुच्चय है जो सार्वत्रिक समुच्चय $U$ में हैं लेकिन $B$ में नहीं हैं।
दिया गया है $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ और $B = \{2, 4, 6, 8\}$।
$B^{\prime} = U - B = \{x : x \in U \text{ और } x \notin B\}$।
$U$ से $B$ के तत्वों को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$B^{\prime} = \{1, 3, 5, 7, 9\}$।

(A) दिए गए समुच्चय $A = \{1, 2, 3, 4\}$ और $C = \{3, 4, 5, 6\}$ हैं।
सबसे पहले,समुच्चय $A$ और $C$ का संघ (union) ज्ञात कीजिए:
$A \cup C = \{1, 2, 3, 4\} \cup \{3, 4, 5, 6\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
पूरक समुच्चय $(A \cup C)'$ को $U \setminus (A \cup C)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ है।
$(A \cup C)' = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \setminus \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = \{7, 8, 9\}$.

(A) दिए गए समुच्चय $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$,$A = \{1, 2, 3, 4\}$,और $B = \{2, 4, 6, 8\}$ हैं।
सबसे पहले,समुच्चय $A$ और $B$ का संघ (union) ज्ञात करें:
$A \cup B = \{1, 2, 3, 4\} \cup \{2, 4, 6, 8\} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8\}$.
अब,$(A \cup B)$ का पूरक (complement) ज्ञात करें,जो $(A \cup B)' = U \setminus (A \cup B)$ है:
$(A \cup B)' = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \setminus \{1, 2, 3, 4, 6, 8\} = \{5, 7, 9\}$.

(C) एक समुच्चय $A$ का पूरक,जिसे $A'$ द्वारा दर्शाया जाता है,सार्वत्रिक समुच्चय $U$ के उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो $A$ में नहीं हैं।
दिया गया है $A = \{1, 2, 3, 4\}$ और $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$,इसलिए $A' = U \setminus A = \{5, 6, 7, 8, 9\}$ है।
समुच्चय $A$ का द्विक पूरक गुणधर्म $(A')' = A$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$(A')' = \{1, 2, 3, 4\}$।

(A) दिए गए समुच्चय $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$,$B = \{2, 4, 6, 8\}$ और $C = \{3, 4, 5, 6\}$ हैं।
सबसे पहले,अंतर $B - C$ ज्ञात करें,जिसमें वे अवयव होते हैं जो $B$ में हैं लेकिन $C$ में नहीं हैं।
$B - C = \{2, 8\}$.
पूरक समुच्चय $(B - C)'$ को $U \setminus (B - C)$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसमें $\{2, 8\}$ को छोड़कर $U$ के सभी अवयव शामिल हैं।
$(B - C)' = \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$.

(A) सार्वत्रिक समुच्चय $U = \{a, b, c, d, e, f, g, h\}$ दिया गया है।
समुच्चय $A = \{a, b, c\}$ दिया गया है।
समुच्चय $A$ का पूरक,जिसे $A'$ द्वारा दर्शाया जाता है,उन सभी तत्वों का समुच्चय है जो $U$ में हैं लेकिन $A$ में नहीं हैं।
$A' = U - A = \{x : x \in U \text{ और } x \notin A\}$.
$U$ से $A$ के तत्वों को हटाने पर,हमें $A' = \{d, e, f, g, h\}$ प्राप्त होता है।

(A) सार्वत्रिक समुच्चय $U = \{a, b, c, d, e, f, g, h\}$ है।
दिया गया समुच्चय $B = \{d, e, f, g\}$ है।
समुच्चय $B$ का पूरक,जिसे $B'$ के रूप में दर्शाया जाता है,उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो $U$ में हैं लेकिन $B$ में नहीं हैं।
$B' = U - B = \{x : x \in U \text{ और } x \notin B\}$.
$U$ से $B$ के अवयवों को हटाने पर,हमें $B' = \{a, b, c, h\}$ प्राप्त होता है।

(A) सार्वत्रिक समुच्चय $U = \{a, b, c, d, e, f, g, h\}$ है।
दिया गया समुच्चय $C = \{a, c, e, g\}$ है।
समुच्चय $C$ का पूरक,जिसे $C'$ द्वारा दर्शाया जाता है,उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो $U$ में हैं लेकिन $C$ में नहीं हैं।
$C' = U - C = \{x : x \in U \text{ और } x \notin C\}$.
$U$ से $C$ के अवयवों को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$C' = \{b, d, f, h\}$.

(A) सार्वत्रिक समुच्चय $U = \{a, b, c, d, e, f, g, h\}$ दिया गया है।
समुच्चय $D = \{f, g, h, a\}$ दिया गया है।
समुच्चय $D$ का पूरक,जिसे $D'$ द्वारा दर्शाया जाता है,उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो $U$ में हैं लेकिन $D$ में नहीं हैं।
$D' = U \setminus D = \{x : x \in U \text{ और } x \notin D\}$.
$U$ से $D$ के अवयवों को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$D' = \{b, c, d, e\}$.

(N/A) माना $U = N$ प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है।
दिया गया समुच्चय $A = \{ x : x \text{ एक सम प्राकृत संख्या है} \}$।
समुच्चय $A$ के पूरक को $A^\prime$ या $A^c$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$A^\prime = U - A = \{ x : x \in N \text{ और } x \notin A \}$।
चूंकि $N$ सभी प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है,इसलिए इसमें से सम प्राकृत संख्याओं को हटाने पर केवल विषम प्राकृत संख्याएँ शेष रहती हैं।
अतः,$A^\prime = \{ x : x \text{ एक विषम प्राकृत संख्या है} \}$।

(N/A) माना $U = \mathbb{N}$ प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है।
एक समुच्चय $A$ का पूरक,जिसे $A^\prime$ द्वारा दर्शाया जाता है,$A^\prime = U - A$ के रूप में परिभाषित है।
दिया गया है $A = \{ x : x \text{ एक विषम प्राकृत संख्या है} \}$।
अतः,$A^\prime = \{ x : x \in \mathbb{N} \text{ और } x \text{ एक विषम प्राकृत संख्या नहीं है} \}$।
चूंकि एक प्राकृत संख्या या तो विषम होती है या सम,इसलिए विषम प्राकृत संख्याओं के समुच्चय का पूरक सम प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है।
अतः,$A^\prime = \{ x : x \text{ एक सम प्राकृत संख्या है} \}$।

(N/A) माना $U = N$ प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है।
एक समुच्चय $A$ का पूरक,जिसे $A'$ द्वारा दर्शाया जाता है,$A' = \{ x : x \in U \text{ और } x \notin A \}$ के रूप में परिभाषित है।
दिया गया है $A = \{ x : x, 3 \text{ का एक धन गुणज है } \}$।
अतः,पूरक समुच्चय $A' = \{ x : x \in N \text{ और } x, 3 \text{ का गुणज नहीं है } \}$।

(B) माना $U = N = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, \dots \}$ प्राकृत संख्याओं का सार्वत्रिक समुच्चय है।
माना $A = \{ x : x \text{ एक अभाज्य संख्या है} \} = \{ 2, 3, 5, 7, 11, \dots \}$।
समुच्चय $A$ का पूरक,जिसे $A^\prime$ द्वारा दर्शाया जाता है,$A^\prime = U - A$ के रूप में परिभाषित है।
$A^\prime = \{ x : x \in N \text{ और } x \text{ एक अभाज्य संख्या नहीं है} \}$।
चूंकि $1$ न तो अभाज्य है और न ही भाज्य,और अन्य सभी प्राकृत संख्याएं या तो अभाज्य हैं या भाज्य,इसलिए अभाज्य न होने वाली प्राकृत संख्याओं के समुच्चय में $1$ और सभी भाज्य संख्याएं शामिल हैं।
अतः,$A^\prime = \{ x : x \text{ एक भाज्य संख्या है या } x = 1 \}$।

(N/A) माना $U = N$ प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है।
दिया गया समुच्चय $A = \{ x : x, 3 \text{ और } 5 \text{ से विभाज्य एक प्राकृत संख्या है } \}$ है।
चूंकि $3$ और $5$ दोनों से विभाज्य संख्या उनके लघुत्तम समापवर्त्य यानी $15$ से विभाज्य होती है,इसलिए हम $A = \{ x : x, 15 \text{ से विभाज्य एक प्राकृत संख्या है } \}$ लिख सकते हैं।
समुच्चय $A$ का पूरक,जिसे $A'$ द्वारा दर्शाया जाता है,$U$ के उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो $A$ में नहीं हैं।
अतः,$A' = \{ x : x \in N \text{ और } x, 15 \text{ से विभाज्य नहीं है } \}$.

(N/A) माना $U = \mathbb{N}$ प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है।
समुच्चय $A$ के पूरक को $A^\prime$ या $A^c$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$A^\prime = U - A = \{ x : x \in \mathbb{N} \text{ और } x \notin A \}$.
अतः,$A^\prime = \{ x : x \in \mathbb{N} \text{ और } x \text{ एक पूर्ण वर्ग नहीं है} \}$.

(A) माना $U = N$ प्राकृत संख्याओं का सार्वत्रिक समुच्चय है।
समुच्चय $A$ का पूरक समुच्चय $A' = \{ x : x \in U \text{ और } x \notin A \}$ के रूप में परिभाषित होता है।
दिया गया है $A = \{ x : x \text{ एक पूर्ण घन है} \}$।
अतः,पूरक समुच्चय $A'$ उन सभी प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है जो पूर्ण घन नहीं हैं।
$A' = \{ x : x \in N \text{ और } x \text{ एक पूर्ण घन नहीं है} \}$।

(N/A) माना सार्वत्रिक समुच्चय $U = N$,जहाँ $N$ प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है।
माना $A = \{x: x+5=8\}$।
समीकरण $x+5=8$ को हल करने पर,हमें $x=3$ प्राप्त होता है।
अतः,$A = \{3\}$।
समुच्चय $A$ के पूरक को $A^\prime$ या $A^c$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$A^\prime = U - A = \{x: x \in N \text{ और } x \neq 3\}$।

(N/A) दिया गया सार्वत्रिक समुच्चय $U = N$ (प्राकृत संख्याओं का समुच्चय) है।
माना समुच्चय $A = \{x: 2x + 5 = 9\}$ है।
समीकरण को हल करने पर: $2x + 5 = 9 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.
अतः,$A = \{2\}$.
समुच्चय $A$ का पूरक समुच्चय $A' = U - A = \{x: x \in N \text{ और } x \neq 2\}$ होगा।

(N/A) माना सार्वत्रिक समुच्चय $U = N$ है,जहाँ $N$ सभी प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है।
दिया गया समुच्चय $A = \{ x: x \in N \text{ और } x \ge 7 \}$ है।
समुच्चय $A$ का पूरक,जिसे $A^\prime$ द्वारा दर्शाया जाता है,$A^\prime = \{ x: x \in U \text{ और } x \notin A \}$ के रूप में परिभाषित है।
चूँकि $A$ में $7$ या उससे बड़ी सभी प्राकृत संख्याएँ शामिल हैं,इसलिए इसके पूरक $A^\prime$ में $7$ से छोटी सभी प्राकृत संख्याएँ शामिल होंगी।
अतः,$A^\prime = \{ x: x \in N \text{ और } x < 7 \}$.

सार्वत्रिक समुच्चय $U = N = \{1, 2, 3, 4, 5, \dots \}$ है।
दिया गया समुच्चय $A = \{ x : x \in N \text{ और } 2x + 1 > 10 \}$ है।
असमिका को हल करने पर: $2x > 9 \implies x > 4.5$।
चूंकि $x \in N$,इसलिए समुच्चय $A = \{5, 6, 7, 8, \dots \}$ है।
$A$ का पूरक समुच्चय $A' = U - A$ है।
$A' = \{ x : x \in N \text{ और } x \le 4.5 \}$।
चूंकि $x \in N$,इसलिए $A' = \{1, 2, 3, 4 \}$ है।

दिया गया है $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$,$A = \{2, 4, 6, 8\}$ और $B = \{2, 3, 5, 7\}$।
सबसे पहले,$A \cap B = \{2\}$ ज्ञात करें।
अतः,$(A \cap B)^{\prime} = U \setminus \{2\} = \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$।
आगे,$A^{\prime} = U \setminus A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ ज्ञात करें।
$B^{\prime} = U \setminus B = \{1, 4, 6, 8, 9\}$ ज्ञात करें।
अतः,$A^{\prime} \cup B^{\prime} = \{1, 3, 5, 7, 9\} \cup \{1, 4, 6, 8, 9\} = \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$।
चूँकि $(A \cap B)^{\prime} = \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ और $A^{\prime} \cup B^{\prime} = \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ है,इसलिए यह सत्यापित होता है कि $(A \cap B)^{\prime} = A^{\prime} \cup B^{\prime}$।

(N/A) $(A \cup B)'$ के लिए वेन आरेख बनाने के लिए,निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
$1$. सार्वत्रिक समुच्चय $U$ को दर्शाने के लिए एक आयत बनाइए।
$2$. समुच्चय $A$ और $B$ को दर्शाने के लिए आयत के अंदर दो प्रतिच्छेदी वृत्त बनाइए।
$3$. क्षेत्र $A \cup B$ समुच्चय $A$ और $B$ के संघ को दर्शाता है,जिसमें $A$ में,$B$ में,या दोनों में स्थित सभी अवयव शामिल होते हैं।
$4$. पूरक समुच्चय $(A \cup B)'$ सार्वत्रिक समुच्चय $U$ के उन सभी अवयवों को दर्शाता है जो $A \cup B$ में नहीं हैं।
$5$. इसलिए,आयत $U$ के अंदर के उस पूरे क्षेत्र को छायांकित करें जो दोनों वृत्तों $A$ और $B$ के बाहर स्थित है।

(N/A) $(A \cap B)^{\prime}$ के लिए वेन आरेख बनाने के लिए,निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
$1$. सार्वत्रिक समुच्चय $U$ को दर्शाने के लिए एक आयत बनाइए।
$2$. समुच्चय $A$ और $B$ को दर्शाने के लिए आयत के अंदर दो प्रतिच्छेदी वृत्त बनाइए।
$3$. सर्वनिष्ठ समुच्चय $A \cap B$ वह क्षेत्र है जो दोनों वृत्तों में उभयनिष्ठ है।
$4$. पूरक समुच्चय $(A \cap B)^{\prime}$ सार्वत्रिक समुच्चय $U$ के उन सभी अवयवों को दर्शाता है जो सर्वनिष्ठ $A \cap B$ में नहीं हैं।
$5$. इसलिए,दो वृत्तों के उभयनिष्ठ भाग (सर्वनिष्ठ) को छोड़कर आयत के अंदर के पूरे क्षेत्र को छायांकित करें।

(A) सार्वत्रिक समुच्चय $U$ में एक समतल के सभी त्रिभुज शामिल हैं।
समुच्चय $A$ में वे सभी त्रिभुज हैं जिनमें कम से कम एक कोण $60^{\circ}$ के बराबर नहीं है।
पूरक समुच्चय $A^{\prime}$ में $U$ के वे सभी त्रिभुज हैं जो $A$ में नहीं हैं।
इसका अर्थ है कि $A^{\prime}$ में वे सभी त्रिभुज हैं जिनमें प्रत्येक कोण $60^{\circ}$ है।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,यदि प्रत्येक कोण $60^{\circ}$ है,तो त्रिभुज समबाहु होना चाहिए।
अतः,$A^{\prime}$ सभी समबाहु त्रिभुजों का समुच्चय है।

(A) समुच्चय के पूरक की परिभाषा के अनुसार,$A^{\prime}$ में सार्वत्रिक समुच्चय $U$ के वे सभी अवयव होते हैं जो $A$ में नहीं हैं।
अतः,समुच्चय $A$ और उसके पूरक $A^{\prime}$ का संघ (union) $A$ के सभी अवयवों और $U$ के उन अवयवों को शामिल करता है जो $A$ में नहीं हैं,जिससे सार्वत्रिक समुच्चय $U$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$A \cup A^{\prime} = U$.

(A) हम जानते हैं कि रिक्त समुच्चय $\varnothing$ का पूरक समुच्चय सार्वत्रिक समुच्चय $U$ होता है,अर्थात $\varnothing^{\prime} = U$।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\varnothing^{\prime} \cap A = U \cap A$।
चूंकि $A$,सार्वत्रिक समुच्चय $U$ का एक उपसमुच्चय है,इसलिए $U$ और $A$ का सर्वनिष्ठ $A$ होता है।
अतः,$\varnothing^{\prime} \cap A = A$।