Complement of a Set Questions in Hindi

(A) समुच्चय $A$ का पूरक,जिसे $A^{\prime}$ द्वारा दर्शाया जाता है,में सार्वत्रिक समुच्चय $U$ के वे सभी अवयव शामिल होते हैं जो $A$ में नहीं हैं।
परिभाषा के अनुसार,$A$ और $A^{\prime}$ असंयुक्त समुच्चय हैं,जिसका अर्थ है कि उनमें कोई भी उभयनिष्ठ अवयव नहीं है।
इसलिए,एक समुच्चय और उसके पूरक का सर्वनिष्ठ (intersection) एक रिक्त समुच्चय होता है।
$A \cap A^{\prime} = \varnothing$

(A) हम जानते हैं कि सार्वत्रिक समुच्चय $U$ का पूरक समुच्चय एक रिक्त समुच्चय होता है,जिसे $\varnothing$ द्वारा दर्शाया जाता है।
अतः,$U^{\prime} = \varnothing$.
इसलिए,$U^{\prime} \cap A = \varnothing \cap A = \varnothing$.
अतः,$U^{\prime} \cap A = \varnothing$.

(A) घटना $A$ की प्रायिकता $P(A) = \frac{2}{11}$ दी गई है।
'not $A$' घटना की प्रायिकता,जिसे $P(\text{not } A)$ या $P(A')$ के रूप में दर्शाया जाता है,पूरक घटना के नियम का उपयोग करके ज्ञात की जाती है:
$P(\text{not } A) = 1 - P(A)$.
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$P(\text{not } A) = 1 - \frac{2}{11} = \frac{11 - 2}{11} = \frac{9}{11}$.

(A) दिया गया है कि $P(A) = 0.42$,$P(B) = 0.48$,और $P(A \cap B) = 0.16$ है।
हमें $P(\text{not } A)$ ज्ञात करना है,जो घटना $A$ की पूरक घटना है,जिसे $P(A^c)$ या $P(A')$ के रूप में दर्शाया जाता है।
घटना की पूरक घटना का सूत्र $P(A^c) = 1 - P(A)$ है।
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर: $P(A^c) = 1 - 0.42 = 0.58$।

(A) दिया गया है कि $P(B) = 0.48$ है।
घटना $B$ के पूरक की प्रायिकता,जिसे $P(\text{not } B)$ या $P(B^c)$ के रूप में दर्शाया जाता है,सूत्र द्वारा दी जाती है:
$P(B^c) = 1 - P(B)$।
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$P(\text{not } B) = 1 - 0.48 = 0.52$।

(C) माध्य मान प्रमेय का उपयोग करते हुए,$|\sin(\sqrt{n+1}) - \sin(\sqrt{n})| = |\cos(c) \cdot (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})|$ किसी $c \in (\sqrt{n}, \sqrt{n+1})$ के लिए।
चूंकि $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$,हमारे पास $|\sin(\sqrt{n+1}) - \sin(\sqrt{n})| = |\cos(c)| \cdot \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$ है।
जैसे $n \to \infty$,$\frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \to 0$।
चूंकि $|\cos(c)| \le 1$,व्यंजक $|\sin(\sqrt{n+1}) - \sin(\sqrt{n})|$ जैसे $n \to \infty$ होता है,$0$ की ओर अग्रसर होता है।
किसी भी $\lambda > 0$ के लिए,एक $N$ मौजूद है ताकि सभी $n > N$ के लिए,$|\sin(\sqrt{n+1}) - \sin(\sqrt{n})| < \lambda$ हो।
अतः,$A_\lambda$ में $N$ से बड़ी सभी प्राकृतिक संख्याएँ शामिल हैं,जो $A_\lambda$ को एक अनंत समुच्चय बनाती हैं।
परिणामस्वरूप,पूरक $A_\lambda^c$ में केवल परिमित संख्या में तत्व होते हैं (वे $n \le N$ जो असमिका को संतुष्ट नहीं करते हैं)।
इसलिए,$A_{1/2}^c, A_{1/3}^c, A_{2/5}^c$ सभी परिमित समुच्चय हैं।

(C) दिए गए समुच्चय $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^n$ है,जहाँ $n=9$ है।
कुल उपसमुच्चय $= 2^9 = 512$।
हमें उन उपसमुच्चयों की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें कम से कम एक विषम संख्या हो।
पूरक विधि का उपयोग करना आसान है: उन उपसमुच्चयों की संख्या जिनमें कोई भी विषम संख्या न हो।
एक उपसमुच्चय में कोई विषम संख्या नहीं होगी यदि और केवल यदि उसके सभी अवयव सम हों।
समुच्चय में सम संख्याएँ $\{2, 4, 6, 8\}$ हैं।
केवल इन सम संख्याओं का उपयोग करके बनने वाले उपसमुच्चयों की संख्या $2^4 = 16$ है।
इन $16$ उपसमुच्चयों में रिक्त समुच्चय $\emptyset$ भी शामिल है।
अतः,कम से कम एक विषम संख्या वाले उपसमुच्चयों की संख्या $=$ कुल उपसमुच्चय $-$ केवल सम संख्याओं वाले उपसमुच्चय।
अभीष्ट संख्या $= 512 - 16 = 496$।