nth term of special series, Sum to n terms and Infinite number of terms Questions in Gujarati

(A) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_n = \frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$ છે.
આપણે $T_n = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right)$ લખી શકીએ.
$n=16$ માટે,છેલ્લું પદ $\frac{1}{(3(16)-1)(3(16)+2)} = \frac{1}{47 \cdot 50}$ છે.
સરવાળો $S_{16} = \sum_{n=1}^{16} \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right)$.
$S_{16} = \frac{1}{3} \left[ (\frac{1}{2} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{8}) + \ldots + (\frac{1}{47} - \frac{1}{50}) \right]$.
$S_{16} = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{2} - \frac{1}{50} \right] = \frac{1}{3} \left[ \frac{25-1}{50} \right] = \frac{1}{3} \left[ \frac{24}{50} \right] = \frac{8}{50} = \frac{4}{25}$.

(B) $S_n = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \ldots + (-1)^{n-1} n^2$ \\ $S_{77} = (1^2 - 2^2) + (3^2 - 4^2) + \ldots + (75^2 - 76^2) + 77^2$ \\ નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,દરેક જોડી $(k^2 - (k+1)^2) = (k - k - 1)(k + k + 1) = -(2k+1)$ \\ $S_{77} = -(3 + 7 + 11 + \ldots + 151) + 77^2$ \\ કૌંસમાં રહેલો સરવાળો એ સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $n = 38$ પદો,પ્રથમ પદ $a = 3$ અને અંતિમ પદ $l = 151$ છે \\ સરવાળો $= \frac{38}{2}(3 + 151) = 19 \times 154 = 2926$ \\ $S_{77} = -2926 + 5929 = 3003$

(C) આપેલ શ્રેણી $S_n = 4^3 + 8^3 + 12^3 + \ldots + (4n)^3$ છે.
આને $S_n = \sum_{r=1}^{n} (4r)^3$ તરીકે લખી શકાય.
$S_n = \sum_{r=1}^{n} 64r^3 = 64 \sum_{r=1}^{n} r^3$.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ઘનનો સરવાળો કરવાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{r=1}^{n} r^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$.
આ કિંમત $S_n$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$S_n = 64 \times \frac{n^2(n+1)^2}{4} = 16n^2(n+1)^2$.
આને આપેલ સ્વરૂપ $k n^2(n+1)^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 16$ મળે છે.

(D) ધારો કે $S_n = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}}$.
કોઈપણ $k \geq 1$ માટે,આપણી પાસે $\sqrt{k} \leq \sqrt{n}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{\sqrt{k}} \geq \frac{1}{\sqrt{n}}$.
આ અસમતાનો $k=1$ થી $n$ સુધી સરવાળો કરતા:
$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} \geq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n}}$.
$S_n \geq n \times \frac{1}{\sqrt{n}} = \sqrt{n}$.
આમ,બધા $n \in N$ માટે $S_n \geq \sqrt{n}$ થાય છે.

(D) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = n(n+1)(n+2)$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$T_n = n(n^2 + 3n + 2) = n^3 + 3n^2 + 2n$ મળે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n (k^3 + 3k^2 + 2k)$ છે.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{k=1}^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$,$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,અને $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$S_n = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$
$S_n = \frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{n(n+1)}{2} + (2n+1) + 2 \right]$
$S_n = \frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{n^2+n+4n+2+4}{2} \right] = \frac{n(n+1)(n^2+5n+6)}{4}$
કારણ કે $n^2+5n+6 = (n+2)(n+3)$,તેથી $S_n = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$.

(C) આપણે સરવાળો $S = \sum_{k=1}^n k(k+2)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
સરવાળાની અંદરના પદને વિસ્તૃત કરતા,આપણને $k^2 + 2k$ મળે છે.
તેથી,$S = \sum_{k=1}^n (k^2 + 2k) = \sum_{k=1}^n k^2 + 2 \sum_{k=1}^n k$.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રો $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$.
$S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n(n+1)$.
$\frac{n(n+1)}{6}$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે:
$S = \frac{n(n+1)}{6} [ (2n+1) + 6 ]$.
$S = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રથમ $k$ ઘનનો સરવાળો $\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2$ છે અને પ્રથમ $k$ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો $k^2$ છે.
આ કિંમતોને પદમાં મૂકતા:
$\sum_{k=1}^5 \frac{\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2}{k^2} = \sum_{k=1}^5 \frac{k^2(k+1)^2}{4k^2} = \sum_{k=1}^5 \frac{(k+1)^2}{4}$
$k=1$ થી $5$ માટે સરવાળો કરતા:
$= \frac{1}{4} [2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2] = \frac{1}{4} [4 + 9 + 16 + 25 + 36] = \frac{90}{4} = 22.5$

(D) આપેલ શ્રેણી $S_n = 2^3 + 4^3 + 6^3 + \ldots + (2n)^3$ છે.
આને $S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k)^3$ તરીકે લખી શકાય.
$S_n = \sum_{k=1}^{n} 8k^3 = 8 \sum_{k=1}^{n} k^3$.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ઘનનો સરવાળો $\sum_{k=1}^{n} k^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2$ છે.
તેથી,$S_n = 8 \times [\frac{n(n+1)}{2}]^2 = 8 \times \frac{n^2(n+1)^2}{4} = 2n^2(n+1)^2$.
આપેલ પદ $h n^2(n+1)^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $h = 2$ મળે છે.

(A) ધારો કે $S_n = \sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2) \ldots(k+r-1)$.
આપણે ફોલિંગ ફેક્ટોરિયલના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $k(k+1) \ldots (k+r-1) = \frac{k(k+1) \ldots (k+r) - (k-1)k(k+1) \ldots (k+r-1)}{r+1}$.
ધારો કે $f(k) = k(k+1) \ldots (k+r-1)$. તો $f(k) = \frac{1}{r+1} [g(k) - g(k-1)]$,જ્યાં $g(k) = k(k+1) \ldots (k+r)$.
$k=1$ થી $n$ સુધીનો સરવાળો લેતા ટેલિસ્કોપિંગ સરવાળો મળે છે:
$S_n = \frac{1}{r+1} \sum_{k=1}^n [g(k) - g(k-1)] = \frac{1}{r+1} [g(n) - g(0)]$.
કારણ કે $g(0) = 0 \cdot 1 \ldots r = 0$,તેથી $S_n = \frac{g(n)}{r+1} = \frac{n(n+1)(n+2) \ldots(n+r)}{r+1}$.

(C) આપણે $\sum_{n=1}^5 (n^3 + n^2 + n)$ નો સરવાળો શોધવો પડશે.
$n=1$ માટે: $1(1^2+1+1) = 1(3) = 3$.
$n=2$ માટે: $2(2^2+2+1) = 2(7) = 14$.
$n=3$ માટે: $3(3^2+3+1) = 3(13) = 39$.
$n=4$ માટે: $4(4^2+4+1) = 4(21) = 84$.
$n=5$ માટે: $5(5^2+5+1) = 5(31) = 155$.
આ કિંમતોનો સરવાળો: $3 + 14 + 39 + 84 + 155 = 295$.

(D) આપેલ શ્રેણી એ અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a=1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r=\sin x$ છે.
સરવાળો $4+2 \sqrt{3}$ હોવાથી,$\frac{1}{1-\sin x} = 4+2 \sqrt{3}$ મળે.
વ્યસ્ત લેતા,$1-\sin x = \frac{1}{4+2 \sqrt{3}}$ મળે.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $1-\sin x = \frac{4-2 \sqrt{3}}{16-12} = \frac{4-2 \sqrt{3}}{4} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે.
$0 < x < \pi$ માટે,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ નું સમાધાન કરતા $x$ ના મૂલ્યો $x = \frac{\pi}{3}$ અને $x = \frac{2 \pi}{3}$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો $\sum_{r=0}^k \binom{k}{r} = 2^k$ થાય છે.
આ કિંમત આપેલ પદમાં મૂકતા:
$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^k} \sum_{r=0}^k \binom{k}{r} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^k} (2^k)$
$= \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^k$
આ એક અનંત ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 2/3$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 2/3$ છે.
અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$S = \frac{2/3}{1 - 2/3} = \frac{2/3}{1/3} = 2$.

(C) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $1, 2, 3, \ldots, n$ છે.
તેમના વર્ગો $1^2, 2^2, 3^2, \ldots, n^2$ છે.
$\text{મધ્યક} = \frac{\text{અવલોકનોનો સરવાળો}}{\text{અવલોકનોની કુલ સંખ્યા}}$.
$\text{મધ્યક} = \frac{1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2}{n}$.
સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\text{મધ્યક} = \frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{n} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}$.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{2n^2+n+2n+1}{6} = \frac{2n^2+3n+1}{6}$.

(A) આપેલ પુનરાવર્તિત સંબંધ $f(x)=f(x-2)+f(x-3)$ છે,જ્યાં પ્રારંભિક કિંમતો $f(0)=0, f(1)=1, f(2)=2$ છે.
આપણે ક્રમશઃ કિંમતોની ગણતરી કરીએ:
$f(3)=f(1)+f(0)=1+0=1$
$f(4)=f(2)+f(1)=2+1=3$
$f(5)=f(3)+f(2)=1+2=3$
$f(6)=f(4)+f(3)=3+1=4$
$f(7)=f(5)+f(4)=3+3=6$
$f(8)=f(6)+f(5)=4+3=7$
$f(9)=f(7)+f(6)=6+4=10$
$f(10)=f(8)+f(7)=7+6=13$

(A) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = (2n-1)(2n+1)(2n+3) = 8n^3 + 12n^2 - 2n - 3$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = 8 \sum k^3 + 12 \sum k^2 - 2 \sum k - 3 \sum 1$ છે.
$S_n = 8 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 + 12 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] - 2 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right] - 3n$.
$S_n = n(n+1) [2n^2 + 6n + 1] - 3n$.
$n(n+1)f(n) - 3n$ સાથે સરખાવતા,$f(n) = 2n^2 + 6n + 1$ મળે.
તેથી,$f(1) = 2(1)^2 + 6(1) + 1 = 9$.

(C) આપેલ છે કે,$1^4+2^4+3^4+\ldots+n^4 = f(n) \left(1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2\right)$.
$f(n) = \frac{1^4+2^4+3^4+\ldots+n^4}{1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2}$.
$n=4$ માટે,$f(4) = \frac{1^4+2^4+3^4+4^4}{1^2+2^2+3^2+4^2}$.
$f(4) = \frac{1+16+81+256}{1+4+9+16}$.
$f(4) = \frac{354}{30}$.
અંશ અને છેદને $6$ વડે ભાગતા,$f(4) = \frac{59}{5}$ મળે છે.

(A) શ્રેણીનું $n$-મું પદ પ્રથમ $n$ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો છે,જે $T_n = n^2$ છે.
આપણે પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો શોધવો છે: $S_{10} = \sum_{n=1}^{10} T_n = \sum_{n=1}^{10} n^2$.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળાનું સૂત્ર $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ છે.
$n=10$ મૂકતા: $S_{10} = \frac{10(10+1)(2 \times 10 + 1)}{6} = \frac{10 \times 11 \times 21}{6}$.
$S_{10} = \frac{2310}{6} = 385$.

(D) આપેલ શ્રેણી $S_n = 1 \cdot 3 \cdot 5 + 3 \cdot 5 \cdot 7 + 5 \cdot 7 \cdot 9 + \dots$ $n$ પદો સુધી છે.
$n=2$ માટે,સરવાળો $S_2 = (1 \cdot 3 \cdot 5) + (3 \cdot 5 \cdot 7) = 15 + 105 = 120$ થાય.
આપેલ સૂત્ર મુજબ,$S_n = n(n+1) f(n)$.
$n=2$ મૂકતા:
$S_2 = 2(2+1) f(2) = 2(3) f(2) = 6 f(2)$.
બંને કિંમતો સરખાવતા:
$6 f(2) = 120$.
$f(2) = \frac{120}{6} = 20$.

(D) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_r = r(n-r+1) = nr - r^2 + r$ છે.
$r=1$ થી $n$ સુધીનો સરવાળો લેતા:
$S_n = \sum_{r=1}^n (nr - r^2 + r) = (n+1) \sum_{r=1}^n r - \sum_{r=1}^n r^2$.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = (n+1) \frac{n(n+1)}{2} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
$\frac{n(n+1)}{2}$ સામાન્ય લેતા:
$S_n = \frac{n(n+1)}{2} [ (n+1) - \frac{2n+1}{3} ] = \frac{n(n+1)}{2} [ \frac{3n+3-2n-1}{3} ] = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$.
આને $\alpha n(n+1)(n+2)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = \frac{1}{6}$ મળે છે.

(A) આપેલ સંબંધ $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ છે,જ્યાં $a_0 = 0$ અને $a_1 = 1$.
લાક્ષણિક સમીકરણ $r^2 - r - 1 = 0$ છે.
તેના બીજ $r = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ છે.
ધારો કે $a_n = A\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n + B\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n$.
$a_0 = 0$ લેતા,$A + B = 0$,તેથી $B = -A$.
$a_1 = 1$ લેતા,$A\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) - A\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right) = 1$.
$A\sqrt{5} = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
તેથી $B = -\frac{1}{\sqrt{5}}$.
આમ,$a_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n$.

(C) શ્રેણી $1^2, 2(2^2), 3^2, 2(4^2), 5^2, 2(6^2), \ldots$ છે.
જ્યારે $n$ બેકી હોય,ત્યારે $n = 2m$ લો. સરવાળો $S_{2m}$ માં $m$ એકી પદો અને $m$ બેકી પદો છે.
$S_{2m} = (1^2 + 3^2 + 5^2 + \ldots + (2m-1)^2) + 2(2^2 + 4^2 + 6^2 + \ldots + (2m)^2)$
$= \sum_{k=1}^{m} (2k-1)^2 + 2 \sum_{k=1}^{m} (2k)^2$
$= \sum_{k=1}^{m} (4k^2 - 4k + 1) + 8 \sum_{k=1}^{m} k^2$
$= 12 \sum_{k=1}^{m} k^2 - 4 \sum_{k=1}^{m} k + \sum_{k=1}^{m} 1$
$= 12 \frac{m(m+1)(2m+1)}{6} - 4 \frac{m(m+1)}{2} + m$
$= 2m(m+1)(2m+1) - 2m(m+1) + m$
$= 2m(m+1)(2m+1-1) + m$
$= 2m(m+1)(2m) + m = 4m^2(m+1) + m = m(4m^2 + 4m + 1) = m(2m+1)^2$
$n = 2m$ હોવાથી,$m = n/2$ મળે.
$m = n/2$ મૂકતા:
$S_n = \frac{n}{2}(2(\frac{n}{2}) + 1)^2 = \frac{n}{2}(n+1)^2$.

(B) સરવાળો ધ્યાનમાં લો: $\sum_{k=1}^n k(k+2) = \sum_{k=1}^n (k^2 + 2k)$.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રો $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{k=1}^n k^2 + 2 \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$.
$\frac{n(n+1)}{6}$ સામાન્ય લેતા:
$= \frac{n(n+1)}{6} [ (2n+1) + 6 ]$.
$= \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$.

(C) આપેલ છે કે,$S_n = \sum_{k=1}^{n} k^3$ અને $T_n = \sum_{k=1}^{n} k$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $T_n = \frac{n(n+1)}{2}$ છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ઘનનો સરવાળો $S_n = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$ છે.
$S_n$ ના સૂત્રમાં $T_n$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $S_n = (T_n)^2$ મળે છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $S_n = T_n^2$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણી $S_n = 2^3 + 4^3 + 6^3 + \ldots + (2n)^3$ છે.
આને $S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k)^3$ તરીકે લખી શકાય.
$S_n = \sum_{k=1}^{n} 8k^3 = 8 \sum_{k=1}^{n} k^3$.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ઘનનો સરવાળો $\sum_{k=1}^{n} k^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2$ છે.
તેથી,$S_n = 8 \times [\frac{n(n+1)}{2}]^2 = 8 \times \frac{n^2(n+1)^2}{4} = 2n^2(n+1)^2$.
આને આપેલ પદ $h n^2(n+1)^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $h = 2$ મળે છે.

(A) સરવાળાની પેટર્નનું અવલોકન કરો:
$S_1 = 1^2 = 1$
$S_2 = 3^2 = 9$
$S_3 = 6^2 = 36$
$S_4 = 10^2 = 100$
$S_5 = 15^2 = 225$
વર્ગોના આધાર $1, 3, 6, 10, 15, \ldots$ છે.
આ ત્રિકોણીય સંખ્યાઓ છે,જેનું સૂત્ર $T_n = \frac{n(n+1)}{2}$ છે.
$n = 10$ માટે,આધાર $k$ એ $10$મી ત્રિકોણીય સંખ્યા છે:
$k = T_{10} = \frac{10(10+1)}{2} = \frac{10 \times 11}{2} = 55$.
આમ,$S_{10} = 55^2$,તેથી $k = 55$.

(B) આપેલ સરવાળો $S = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \dots - (2n)^2 + (2n+1)^2$ છે.
આપણે પદોને આ રીતે જૂથબદ્ધ કરી શકીએ:
$S = (1^2 - 2^2) + (3^2 - 4^2) + \dots + ((2n-1)^2 - (2n)^2) + (2n+1)^2$.
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,દરેક જોડી બને છે:
$(1-2)(1+2) + (3-4)(3+4) + \dots + ((2n-1)-2n)((2n-1)+2n) + (2n+1)^2$.
$S = -1(3) - 1(7) - 1(11) - \dots - 1(4n-1) + (2n+1)^2$.
$S = -(3 + 7 + 11 + \dots + (4n-1)) + (2n+1)^2$.
કૌંસમાં રહેલો સરવાળો એ $n$ પદો ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a=3$ અને અંતિમ પદ $l=4n-1$ છે.
સરવાળો $= \frac{n}{2}(3 + 4n - 1) = \frac{n}{2}(4n+2) = n(2n+1)$.
આમ,$S = -n(2n+1) + (2n+1)^2$.
$S = (2n+1)(-n + 2n + 1) = (2n+1)(n+1)$.

(B) આપેલ છે,$a_0=1$ અને $a_{n+1}=3n^2+n+a_n$.
આપણે પ્રથમ થોડા પદો શોધી શકીએ છીએ:
$a_1 = 3(0)^2 + 0 + a_0 = 1$.
$a_2 = 3(1)^2 + 1 + a_1 = 5$.
$a_3 = 3(2)^2 + 2 + a_2 = 19$.
હવે,વિકલ્પો તપાસો:
$n=0$ માટે: $a_0 = 0^3 - 0^2 + 1 = 1$.
$n=1$ માટે: $a_1 = 1^3 - 1^2 + 1 = 1$.
$n=2$ માટે: $a_2 = 2^3 - 2^2 + 1 = 5$.
$n=3$ માટે: $a_3 = 3^3 - 3^2 + 1 = 19$.
આમ,$a_n = n^3 - n^2 + 1$ એ સાચું પદ છે.

(D) આપેલ પદાવલિ $\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{r=0}^k \frac{1}{3^k} \binom{k}{r}$ છે.
નિત્યસમ $\sum_{r=0}^k \binom{k}{r} = 2^k$ નો ઉપયોગ કરતા,અંદરના સરવાળાને સરળ બનાવી શકાય:
$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^k} \left( \sum_{r=0}^k \binom{k}{r} \right) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{3^k} = \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{2}{3} \right)^k$.
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{2}{3}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{2}{3}$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$S = \frac{2/3}{1 - 2/3} = \frac{2/3}{1/3} = 2$ મળે છે.

(B) આપેલ શ્રેણી $S = 1 + \frac{\cos \theta}{2} + \frac{\cos 2 \theta}{4} + \frac{\cos 3 \theta}{8} + \ldots$ છે.
આ $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos(n\theta)}{2^n}$ સ્વરૂપની અનંત શ્રેણી છે.
$r = \frac{1}{2}$ સાથે $\sum_{n=0}^{\infty} r^n \cos(n\theta) = \frac{1-r \cos \theta}{1-2r \cos \theta + r^2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{1-\frac{1}{2} \cos \theta}{1-2(\frac{1}{2}) \cos \theta + (\frac{1}{2})^2} = \frac{1-\frac{1}{2} \cos \theta}{1-\cos \theta + \frac{1}{4}} = \frac{\frac{2-\cos \theta}{2}}{\frac{5-4 \cos \theta}{4}} = \frac{2(2-\cos \theta)}{5-4 \cos \theta} = \frac{4-2 \cos \theta}{5-4 \cos \theta}$.
આને $\frac{a-2 \cos \theta}{5+b \cos \theta}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 4$ અને $b = -4$ મળે છે.
તેથી,$(a-b)^2 = (4 - (-4))^2 = (8)^2 = 64$.

(C) આપેલ છે કે $f(1)=3$ અને $f(n+1)-f(n)=3(4^n-1)$.
આપણે આ પદાવલિને ટેલિસ્કોપિંગ સરવાળા તરીકે લખી શકીએ:
$f(n) = f(1) + \sum_{k=1}^{n-1} (f(k+1)-f(k))$
$f(n) = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} 3(4^k-1)$
$f(n) = 3 + 3 \left( \sum_{k=1}^{n-1} 4^k - \sum_{k=1}^{n-1} 1 \right)$
ભૌમિતિક શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n-1} 4^k = \frac{4(4^{n-1}-1)}{4-1} = \frac{4^n-4}{3}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(n) = 3 + 3 \left( \frac{4^n-4}{3} - (n-1) \right)$
$f(n) = 3 + (4^n-4) - 3(n-1)$
$f(n) = 3 + 4^n - 4 - 3n + 3$
$f(n) = 4^n - 3n + 2$

(C) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{n=1}^{\infty} (1+a+a^2+\dots+a^{n-1})x^{n-1}$ છે.
ભૌમિતિક શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ,$1+a+a^2+\dots+a^{n-1} = \frac{1-a^n}{1-a}$.
તેથી,$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1-a^n}{1-a} x^{n-1} = \frac{1}{1-a} \sum_{n=1}^{\infty} (x^{n-1} - a^n x^{n-1})$.
$S = \frac{1}{1-a} \left( \sum_{n=1}^{\infty} x^{n-1} - a \sum_{n=1}^{\infty} (ax)^{n-1} \right)$.
અનંત ભૌમિતિક શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{k=0}^{\infty} r^k = \frac{1}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{1}{1-a} \left( \frac{1}{1-x} - \frac{a}{1-ax} \right)$.
$S = \frac{1}{1-a} \left( \frac{(1-ax) - a(1-x)}{(1-x)(1-ax)} \right) = \frac{1}{1-a} \left( \frac{1-ax-a+ax}{(1-x)(1-ax)} \right)$.
$S = \frac{1}{1-a} \left( \frac{1-a}{(1-x)(1-ax)} \right) = \frac{1}{(1-x)(1-ax)}$.

(A) શ્રેણીનું $n$ મું પદ $T_{n} = (2n-1)^{3}$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$T_{n} = 8n^{3} - 12n^{2} + 6n - 1$ મળે છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} T_{k} = \sum_{k=1}^{n} (8k^{3} - 12k^{2} + 6k - 1)$ છે.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$S_{n} = 8 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^{2} - 12 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] + 6 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right] - n$.
$S_{n} = 2n^{2}(n+1)^{2} - 2n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1) - n$.
$S_{n} = 2n^{4} + 4n^{3} + 2n^{2} - 4n^{3} - 6n^{2} - 2n + 3n^{2} + 2n$.
$S_{n} = 2n^{4} - n^{2} = n^{2}(2n^{2}-1)$.

(B) આપણી પાસે $a_n = (\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})^n$ અને $b_n = n^n(n!)$ છે.
$n=1$ માટે,$a_1 = (1^2)^1 = 1$ અને $b_1 = 1^1(1!) = 1$,તેથી $a_1 = b_1$.
$n=2$ માટે,$a_2 = (1^2+2^2)^2 = 5^2 = 25$ અને $b_2 = 2^2(2!) = 4 \times 2 = 8$. આમ $a_2 > b_2$.
$n=3$ માટે,$a_3 = (1^2+2^2+3^2)^3 = 14^3 = 2744$ અને $b_3 = 3^3(3!) = 27 \times 6 = 162$. આમ $a_3 > b_3$.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,તે સાબિત કરી શકાય છે કે તમામ $n \geq 2$ માટે $a_n > b_n$ થાય છે.

(A) ધારો કે $a = \frac{4}{7}$ અને $b = \frac{1}{3}$.
દરેક પદ $\sum_{k=0}^{n} a^k b^{n-k} = \frac{a^{n+1} - b^{n+1}}{a - b}$ સ્વરૂપમાં છે.
શ્રેણી $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^{n+1} - b^{n+1}}{a - b} = \frac{1}{a - b} \left[ \sum_{n=1}^{\infty} a^{n+1} - \sum_{n=1}^{\infty} b^{n+1} \right]$ છે.
અહીં $a - b = \frac{4}{7} - \frac{1}{3} = \frac{5}{21}$.
સરવાળો $= \frac{21}{5} \left[ \frac{a^2}{1 - a} - \frac{b^2}{1 - b} \right] = \frac{21}{5} \left[ \frac{16/49}{3/7} - \frac{1/9}{2/3} \right] = \frac{21}{5} \left[ \frac{16}{21} - \frac{1}{6} \right] = \frac{5}{2}$.

(C) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n k^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળાનું સૂત્ર વાપરતા,$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
તેથી,$T_n = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{2n^2+3n+1}{6} = \frac{n^2}{3} + \frac{n}{2} + \frac{1}{6}$.
પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે $S_{10} = \sum_{n=1}^{10} T_n = \sum_{n=1}^{10} (\frac{n^2}{3} + \frac{n}{2} + \frac{1}{6})$ ની ગણતરી કરીએ.
$S_{10} = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^{10} n^2 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{10} n + \sum_{n=1}^{10} \frac{1}{6}$.
$S_{10} = \frac{1}{3} \left( \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{10 \cdot 11}{2} \right) + \frac{10}{6}$.
$S_{10} = \frac{1}{3} (385) + \frac{55}{2} + \frac{5}{3} = \frac{385+5}{3} + 27.5 = \frac{390}{3} + 27.5 = 130 + 27.5 = 157.5$.
કારણ કે $157.5 = \frac{315}{2}$,તેથી સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) સૌ પ્રથમ,અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S = \frac{a}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરીને $\alpha$ અને $\beta$ ના મૂલ્યો શોધો.
$\alpha$ માટે: $a = 1/4$,$r = 1/2$,તેથી $\alpha = \frac{1/4}{1-1/2} = 1/2$.
$\beta$ માટે: $a = 1/3$,$r = 1/3$,તેથી $\beta = \frac{1/3}{1-1/3} = 1/2$.
હવે,આ મૂલ્યોને પદાવલિમાં મૂકો: $(0.2)^{\log_{\sqrt{5}}(1/2)} + (0.04)^{\log_{5}(1/2)}$.
નોંધો કે $0.2 = 5^{-1}$ અને $0.04 = 5^{-2}$ છે.
પ્રથમ પદ માટે: $\log_{\sqrt{5}}(1/2) = \frac{\log_5(1/2)}{\log_5(5^{1/2})} = \frac{-\log_5(2)}{1/2} = -2 \log_5(2)$.
આમ,$(5^{-1})^{-2 \log_5(2)} = 5^{2 \log_5(2)} = 5^{\log_5(2^2)} = 2^2 = 4$.
બીજા પદ માટે: $(5^{-2})^{\log_5(1/2)} = (5^{\log_5(1/2)})^{-2} = (1/2)^{-2} = 2^2 = 4$.
પરિણામોનો સરવાળો: $4 + 4 = 8$.

(B) $n$-મું પદ $T_n = \frac{\sum_{i=1}^n i^3}{\sum_{i=1}^n (2i-1)}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{i=1}^n i^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$ અને $\sum_{i=1}^n (2i-1) = n^2$.
તેથી,$T_n = \frac{(\frac{n(n+1)}{2})^2}{n^2} = \frac{n^2(n+1)^2}{4n^2} = \frac{(n+1)^2}{4} = \frac{n^2+2n+1}{4}$.
$8$ પદોનો સરવાળો $S_8 = \sum_{n=1}^8 \frac{n^2+2n+1}{4} = \frac{1}{4} [ \sum_{n=1}^8 n^2 + 2\sum_{n=1}^8 n + \sum_{n=1}^8 1 ]$.
સૂત્રો $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum n = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_8 = \frac{1}{4} [ \frac{8(9)(17)}{6} + 2(\frac{8(9)}{2}) + 8 ] = \frac{1}{4} [ 204 + 72 + 8 ] = \frac{284}{4} = 71$.

(B) ધારો કે શ્રેણી $S = 1^3 - 2^3 + 3^3 - 4^3 + \dots + 15^3$ છે.
આપણે પદોને $S = (1^3 + 3^3 + \dots + 15^3) - (2^3 + 4^3 + \dots + 14^3)$ તરીકે જૂથબદ્ધ કરી શકીએ છીએ.
એકી ઘનનો સરવાળો $\sum_{k=1}^8 (2k-1)^3 = \sum_{k=1}^8 (8k^3 - 12k^2 + 6k - 1)$ છે.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{k=1}^8 k^3 = [8(9)/2]^2 = 36^2 = 1296$.
$\sum_{k=1}^8 k^2 = 8(9)(17)/6 = 204$.
$\sum_{k=1}^8 k = 8(9)/2 = 36$.
એકી ઘનનો સરવાળો $= 8(1296) - 12(204) + 6(36) - 8 = 10368 - 2448 + 216 - 8 = 8128$.
બેકી ઘનનો સરવાળો $\sum_{k=1}^7 (2k)^3 = 8 \sum_{k=1}^7 k^3 = 8 [7(8)/2]^2 = 8(28^2) = 8(784) = 6272$.
તેથી,$S = 8128 - 6272 = 1856$.

(A) આપેલ છે કે $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = 6n^3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n > 1$ માટે $a_n = S_n - S_{n-1}$ થાય.
$a_n = 6n^3 - 6(n-1)^3 = 6(n^3 - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1)) = 6(3n^2 - 3n + 1) = 18n^2 - 18n + 6$.
હવે,$a_{k+1} - a_k$ ની ગણતરી કરીએ:
$a_{k+1} - a_k = [18(k+1)^2 - 18(k+1) + 6] - [18k^2 - 18k + 6]$
$= 18(k^2 + 2k + 1 - k^2) - 18(k + 1 - k) = 18(2k + 1) - 18 = 36k$.
આ કિંમતને આપેલ પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sum_{k=1}^{6} \left(\frac{36k}{36}\right)^2 = \sum_{k=1}^{6} k^2$.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળાનું સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$n=6$ માટે,$\sum_{k=1}^{6} k^2 = \frac{6(6+1)(2 \cdot 6 + 1)}{6} = 7 \cdot 13 = 91$.