Relations Questions in Gujarati

(A) ગણ $A$ માં $n(A) = 3$ ઘટકો છે.
કાર્તેઝિયન ગુણાકાર $A \times A$ માં $n(A \times A) = n(A) \times n(A) = 3 \times 3 = 9$ ઘટકો છે.
ગણ $A$ પરનો સંબંધ એ $A \times A$ નો કોઈપણ ઉપગણ છે.
$m$ ઘટકો ધરાવતા ગણના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^m$ છે.
તેથી,$A$ પરના કુલ ભિન્ન સંબંધોની સંખ્યા $2^9 = 512$ છે.

(D) $X$ થી $Y$ પરનો સંબંધ એ કાર્તેઝીય ગુણાકાર $X \times Y$ નો ઉપગણ છે. આનો અર્થ એ છે કે સંબંધની દરેક ક્રમયુક્ત જોડી $(x, y)$ માટે $x \in X$ અને $y \in Y$ હોવું જોઈએ.
$R_1$ માટે: $y = x + 2$. જો $x = 2$ હોય,તો $y = 4 \notin Y$. જો $x = 4$ હોય,તો $y = 6 \notin Y$. તેથી,$R_1$ એ $X$ થી $Y$ પરનો સંબંધ નથી.
$R_2$ માટે: બધી જોડીઓ $(1, 1), (2, 1), (3, 3), (4, 3), (5, 5)$ એ $x \in X$ અને $y \in Y$ ની શરતનું પાલન કરે છે. તેથી,$R_2$ એ સંબંધ છે.
$R_3$ માટે: બધી જોડીઓ $(1, 1), (1, 3), (3, 5), (3, 7), (5, 7)$ એ $x \in X$ અને $y \in Y$ ની શરતનું પાલન કરે છે. તેથી,$R_3$ એ સંબંધ છે.
તેથી,$R_2$ અને $R_3$ બંને $X$ થી $Y$ પરના સંબંધો છે.

(C) આપેલ છે કે $n(A) = 2$ અને $n(B) = 3$.
કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A \times B) = n(A) \times n(B) = 2 \times 3 = 6$ થાય.
ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરનો સંબંધ એ $A \times B$ નો કોઈપણ ઉપગણ છે.
$m$ ઘટકો ધરાવતા ગણના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^m$ છે.
તેથી,$A$ થી $B$ પરના સંબંધોની કુલ સંખ્યા $2^{n(A \times B)} = 2^6 = 64$ થાય.

(D) વ્યાખ્યા મુજબ,અરિક્ત ગણ $P$ થી અરિક્ત ગણ $Q$ પરનો સંબંધ $R$ એ કાર્તેઝીય ગુણાકાર $P \times Q$ નો ઉપગણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
તેથી,$R \subseteq P \times Q$.

(C) ગણ $A$ માં $n$ ઘટકો છે,તેથી $n(A) = n$.
કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times A$ માં $n \times n = n^2$ ઘટકો હોય છે.
ગણ $A$ પરનો સંબંધ એ $A \times A$ નો કોઈપણ ઉપગણ છે.
$m$ ઘટકો ધરાવતા ગણના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^m$ છે.
અહીં $A \times A$ માં $n^2$ ઘટકો હોવાથી,$A \times A$ ના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^{n^2}$ થાય.
તેથી,$A$ પરના તમામ સંબંધોની સંખ્યા $2^{n^2}$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) બે સંખ્યાઓ સાપેક્ષ અવિભાજ્ય કહેવાય જો તેમનો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(GCD)$ $1$ હોય.
આપણે દરેક ઘટક $x \in \{2, 3, 4, 5\}$ માટે તપાસીએ કે શું કોઈ એવો $y \in \{3, 6, 7, 10\}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\text{gcd}(x, y) = 1$ થાય:
- $x = 2$ માટે: $\text{gcd}(2, 3) = 1$,તેથી $(2, 3) \in R$.
- $x = 3$ માટે: $\text{gcd}(3, 7) = 1$,તેથી $(3, 7) \in R$.
- $x = 4$ માટે: $\text{gcd}(4, 3) = 1$,તેથી $(4, 3) \in R$.
- $x = 5$ માટે: $\text{gcd}(5, 3) = 1$,તેથી $(5, 3) \in R$.
આમ,ગણ $\{2, 3, 4, 5\}$ નો દરેક ઘટક ગણ $\{3, 6, 7, 10\}$ ના ઓછામાં ઓછા એક ઘટક સાથે સંબંધિત છે,તેથી $R$ નો પ્રદેશ $\{2, 3, 4, 5\}$ છે.

(C) સંબંધ $R$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણ $N$ પર સમીકરણ $x + 2y = 8$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે એવી જોડી $(x, y)$ શોધવાની છે કે જેથી $x, y \in N$ અને $x + 2y = 8$ થાય.
જો $y = 1$ હોય,તો $x + 2(1) = 8 \implies x = 6$.
જો $y = 2$ હોય,તો $x + 2(2) = 8 \implies x = 4$.
જો $y = 3$ હોય,તો $x + 2(3) = 8 \implies x = 2$.
જો $y = 4$ હોય,તો $x + 2(4) = 8 \implies x = 0$. કારણ કે $0 \notin N$,આ જોડી માન્ય નથી.
કોઈપણ $y > 3$ માટે,$x$ ઋણ હશે,જે $N$ માં નથી.
આમ,સંબંધ $R = \{(2, 3), (4, 2), (6, 1)\}$ છે.
$R$ નો પ્રદેશ એ $R$ માં રહેલી ક્રમયુક્ત જોડીઓના પ્રથમ ઘટકોનો ગણ છે.
તેથી,પ્રદેશ $\{2, 4, 6\}$ છે.

(A) આપેલ સંબંધ $R$ એ ગણ $A = \{11, 12, 13\}$ થી ગણ $B = \{8, 10, 12\}$ પરનો સંબંધ છે જે $y = x - 3$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે ગણ $A$ ના ઘટકો તપાસીએ કે કયા ઘટકો $y \in B$ માટે $y = x - 3$ નું પાલન કરે છે:
$x = 11$ માટે,$y = 11 - 3 = 8$. કારણ કે $8 \in B$,તેથી $(11, 8) \in R$.
$x = 12$ માટે,$y = 12 - 3 = 9$. કારણ કે $9 \notin B$,તેથી $(12, 9) \notin R$.
$x = 13$ માટે,$y = 13 - 3 = 10$. કારણ કે $10 \in B$,તેથી $(13, 10) \in R$.
આમ,$R = \{(11, 8), (13, 10)\}$.
વ્યસ્ત સંબંધ ${R^{-1}}$ એ $R$ માં રહેલી ક્રમયુક્ત જોડીઓના ઘટકોની અદલાબદલી કરીને મેળવવામાં આવે છે.
તેથી,${R^{-1}} = \{(8, 11), (10, 13)\}$.

(A) વ્યસ્ત સંબંધ ${R^{ - 1}}$ એ સંબંધ $R$ માં રહેલી ક્રમયુક્ત જોડીઓના ઘટકોને અદલાબદલી કરીને મેળવવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $R = \{(1, 3), (2, 5), (3, 3)\}$ છે.
$R$ માંની દરેક જોડી $(x, y)$ માટે તેને $(y, x)$ માં બદલતા:
$(1, 3) \rightarrow (3, 1)$
$(2, 5) \rightarrow (5, 2)$
$(3, 3) \rightarrow (3, 3)$
તેથી,${R^{ - 1}} = \{(3, 1), (5, 2), (3, 3)\}$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) પગલું $1$: ગણ $A$ ના ઘટકો ઓળખો. $8$ થી નાની બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $2, 4, 6$ છે. તેથી,$A = \{2, 4, 6\}$.
પગલું $2$: ગણ $B$ ના ઘટકો ઓળખો. $7$ થી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5$ છે. તેથી,$B = \{2, 3, 5\}$.
પગલું $3$: કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times B$ માં ઘટકોની સંખ્યા શોધો. ઘટકોની સંખ્યા $n(A) = 3$ અને $n(B) = 3$ છે. તેથી,$n(A \times B) = n(A) \times n(B) = 3 \times 3 = 9$.
પગલું $4$: $A$ થી $B$ પરના સંબંધોની સંખ્યા એ $A \times B$ ના ઉપગણોની સંખ્યા છે,જે $2^{n(A \times B)} = 2^9$ દ્વારા મળે છે.

(B) ગણ $X$ થી ગણ $Y$ પરનો સંબંધ એ કાર્તેઝિયન ગુણાકાર $X \times Y$ નો ઉપગણ છે.
$R_1$ માટે: જો $x=1, y=3 \in Y$; $x=2, y=4 \notin Y$; $x=3, y=5 \in Y$; $x=4, y=6 \notin Y$; $x=5, y=7 \in Y$. અહીં $4 \notin Y$ અને $6 \notin Y$ હોવાથી,$R_1$ એ $X$ થી $Y$ પરનો સંબંધ નથી.
$R_2$ માટે: બધા ઘટકો $(x, y)$ માટે $x \in X$ અને $y \in Y$ છે. તેથી,$R_2 \subseteq X \times Y$.
$R_3$ માટે: $(1, 1), (1, 3), (3, 5), (3, 7), (5, 7)$ બધા ઘટકો $x \in X$ અને $y \in Y$ શરતનું પાલન કરે છે. તેથી,$R_3 \subseteq X \times Y$.
$R_4$ માટે: $(7, 9) \notin X \times Y$ કારણ કે $7 \notin X$.

(C) અહીં $n(A) = 2$ અને $n(B) = 3$ આપેલ છે.
કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A \times B) = n(A) \times n(B) = 2 \times 3 = 6$ થાય.
ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરનો સંબંધ એ $A \times B$ નો કોઈપણ ઉપગણ છે.
$A$ થી $B$ પરના કુલ સંબંધોની સંખ્યા એ $A \times B$ ના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
$m$ ઘટકો ધરાવતા ગણના ઉપગણોની સંખ્યા $2^m$ છે.
તેથી,કુલ સંબંધોની સંખ્યા $2^{n(A \times B)} = 2^6 = 64$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(C) ધારો કે $S$ એ એક ઘાત ગણ છે. કોઈપણ ગણ $A \in S$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $A \subseteq A$. તેથી,સંબંધ '$\subseteq$' એ સ્વવાચક છે.
જો $A \subseteq B$ અને $B \subseteq C$ હોય,તો $A \subseteq C$ થાય. તેથી,સંબંધ '$\subseteq$' એ પરંપરિત (transitive) છે.
જોકે,જો $A \subseteq B$ હોય,તો તેનો અર્થ એ નથી કે $B \subseteq A$ (સિવાય કે $A = B$ હોય). તેથી,સંબંધ '$\subseteq$' એ સંમિત નથી.
આમ,આ સંબંધ સ્વવાચક અને પરંપરિત છે પરંતુ સંમિત નથી,તેથી તે સામ્ય સંબંધ નથી. તેથી,સાચો જવાબ છે કે તે સ્વવાચક છે.

(B) સંબંધ $R$ એ ગણોના પરિવાર $X$ પર એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત છે કે $A R B$ જો અને માત્ર જો $A \cap B = \emptyset$ હોય.
$1$. સ્વવાચકતા: $R$ સ્વવાચક હોવા માટે,તમામ $A \in X$ માટે $A R A$ સાચું હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ થાય કે $A \cap A = \emptyset$,જેનો અર્થ છે $A = \emptyset$. કારણ કે આ $X$ ના તમામ ગણો માટે સાચું નથી,તેથી $R$ સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિતતા: જો $A R B$ હોય,તો $A \cap B = \emptyset$. છેદગણ ક્રમનો નિયમ પાળે છે,તેથી $B \cap A = \emptyset$,જેનો અર્થ છે $B R A$. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: જો $A R B$ અને $B R C$ હોય,તો તે જરૂરી નથી કે $A R C$ હોય. ઉદાહરણ તરીકે,ધારો કે $A = \{1\}$,$B = \{2\}$,અને $C = \{1\}$. અહીં $A \cap B = \emptyset$ અને $B \cap C = \emptyset$ છે,પરંતુ $A \cap C = \{1\} \neq \emptyset$. તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.
આમ,સંબંધ $R$ એ સંમિત છે.

(D) વ્યાખ્યા મુજબ,અરિક્ત ગણ $P$ થી અરિક્ત ગણ $Q$ પરનો સંબંધ $R$ એ કાર્તેઝીય ગુણાકાર $P \times Q$ નો કોઈપણ ઉપગણ છે.
તેથી,$R \subseteq P \times Q$.

(C) વ્યાખ્યા મુજબ,ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરનો સંબંધ $R$ એ કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times B$ નો ઉપગણ છે.
તેથી,$R \subseteq A \times B$.

(C) ગણ $A$ પરનો સંબંધ એ કાર્તેઝિયન ગુણાકાર $A \times A$ નો ઉપગણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે કે $n(A) = n$,તેથી કાર્તેઝિયન ગુણાકાર $A \times A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A \times A) = n(A) \times n(A) = n \times n = n^2$ થાય.
$m$ ઘટકો ધરાવતા ગણના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^m$ છે.
તેથી,ગણ $A$ પરના સંબંધોની કુલ સંખ્યા એ $A \times A$ ના ઉપગણોની સંખ્યા છે,જે $2^{n(A \times A)} = 2^{n^2}$ થાય.

(A) ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરનો સંબંધ $R$ એ કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times B$ નો ઉપગણ છે.
અહીં ગણ $A$ માં $m$ ઘટકો છે અને ગણ $B$ માં $n$ ઘટકો છે,તેથી કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $|A \times B| = |A| \times |B| = m \times n = mn$ થાય.
$k$ ઘટકો ધરાવતા ગણના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^k$ હોય છે.
સંબંધ એ $A \times B$ નો કોઈપણ ઉપગણ હોવાથી,$A$ થી $B$ પરના સંબંધોની કુલ સંખ્યા એ $A \times B$ ના ઉપગણોની સંખ્યા જેટલી થાય.
તેથી,સંબંધોની કુલ સંખ્યા $2^{mn}$ છે.

(D) બે સંખ્યાઓ પરસ્પર અવિભાજ્ય કહેવાય જો તેમનો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(GCD)$ $1$ હોય.
આપણે $A$ ના દરેક ઘટક $x$ માટે તપાસીએ કે શું કોઈ $y \in B$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $\text{gcd}(x, y) = 1$:
$1$. $x = 2$ માટે: $\text{gcd}(2, 3) = 1$,તેથી $(2, 3) \in R$.
$2$. $x = 3$ માટે: $\text{gcd}(3, 7) = 1$,તેથી $(3, 7) \in R$.
$3$. $x = 4$ માટે: $\text{gcd}(4, 3) = 1$,તેથી $(4, 3) \in R$.
$4$. $x = 5$ માટે: $\text{gcd}(5, 3) = 1$,તેથી $(5, 3) \in R$.
આમ,$A$ ના દરેક ઘટક માટે $B$ માં ઓછામાં ઓછું એક પ્રતિબિંબ મળે છે,તેથી $R$ નો પ્રદેશ $A = \{2, 3, 4, 5\}$ છે.

(C) સંબંધ $R$ એ $A$ થી $B$ પર એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત છે કે $R = \{(x, y) : x \in A, y \in B, x > y\}$.
અહીં $A = \{1, 2, 3\}$ અને $B = \{1, 4, 6, 9\}$ આપેલ છે.
આપણે દરેક જોડ $(x, y)$ માટે $x > y$ ની શરત ચકાસીએ:
$x = 1$ માટે: $B$ માં કોઈ પણ $y$ એવો નથી કે જેથી $1 > y$ થાય.
$x = 2$ માટે: $2 > 1$ સત્ય છે,તેથી $(2, 1) \in R$.
$x = 3$ માટે: $3 > 1$ સત્ય છે,તેથી $(3, 1) \in R$.
આમ,$R = \{(2, 1), (3, 1)\}$.
$R$ નો વિસ્તાર એ $R$ માં રહેલી ક્રમયુક્ત જોડોના બીજા ઘટકોનો ગણ છે.
વિસ્તાર $= \{1\}$.

(A) આપેલ ગણ $A = \{11, 12, 13\}$ અને $B = \{8, 10, 12\}$ છે.
સંબંધ $R$ એ $y = x - 3$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $x \in A$ અને $y \in B$.
$x = 11$ માટે,$y = 11 - 3 = 8$. કારણ કે $8 \in B$,તેથી $(11, 8) \in R$.
$x = 12$ માટે,$y = 12 - 3 = 9$. કારણ કે $9 \notin B$,તેથી $(12, 9) \notin R$.
$x = 13$ માટે,$y = 13 - 3 = 10$. કારણ કે $10 \in B$,તેથી $(13, 10) \in R$.
આમ,$R = \{(11, 8), (13, 10)\}$.
વ્યસ્ત સંબંધ $R^{-1}$ એ $R$ માંની ક્રમયુક્ત જોડીઓના ઘટકોની અદલાબદલી કરીને મેળવવામાં આવે છે.
તેથી,$R^{-1} = \{(8, 11), (10, 13)\}$.

(C) સંગતતા $x \equiv 3 \pmod{7}$ નો અર્થ એ છે કે $x - 3$ એ $7$ વડે વિભાજ્ય છે.
આને કોઈ પૂર્ણાંક $p \in \mathbb{Z}$ માટે $x - 3 = 7p$ તરીકે લખી શકાય છે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $x = 7p + 3$ મળે છે.
આમ,આવા તમામ પૂર્ણાંકો $x$ નો ગણ $\{7p + 3 : p \in \mathbb{Z}\}$ છે.

(B) આપેલ ગણ $A = \{x : |x| < 3, x \in Z\}$ છે.
$|x| < 3$ અને $x$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$A$ ના ઘટકો $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ છે.
સંબંધ $R$ એ $R = \{(x, y) : y = |x|, x \neq -1\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$A$ ના દરેક $x$ માટે જ્યાં $x \neq -1$,આપણે અનુરૂપ $y = |x|$ શોધીએ:
જો $x = -2$,તો $y = |-2| = 2$. તેથી,$(-2, 2) \in R$.
જો $x = 0$,તો $y = |0| = 0$. તેથી,$(0, 0) \in R$.
જો $x = 1$,તો $y = |1| = 1$. તેથી,$(1, 1) \in R$.
જો $x = 2$,તો $y = |2| = 2$. તેથી,$(2, 2) \in R$.
આમ,$R = \{(-2, 2), (0, 0), (1, 1), (2, 2)\}$.
$R$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(R) = 4$ છે.
$R$ ના ઘાતગણમાં ઘટકોની સંખ્યા $2^{n(R)} = 2^4 = 16$ થાય.

(N/A) સંબંધની વ્યાખ્યા મુજબ,આપણી પાસે $R = \{(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)\}$ છે.
તેની અનુરૂપ તીર આકૃતિ નીચે મુજબ છે:
બે ગણ $A$ ને લંબગોળ આકારમાં દર્શાવવામાં આવ્યા છે. બંનેમાં ઘટકો $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ અંકિત કરેલા છે. પ્રથમ ગણના $x$ થી બીજા ગણના $y$ સુધી તીર દોરવામાં આવે છે જેથી $y = x + 1$ થાય. ખાસ કરીને,તીર $1 \to 2$,$2 \to 3$,$3 \to 4$,$4 \to 5$,અને $5 \to 6$ ને જોડે છે.

(N/A) સંબંધ $R$ એ $R = \{(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)\}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રદેશ એ $R$ માં રહેલી ક્રમયુક્ત જોડીઓના પ્રથમ ઘટકોનો ગણ છે,જે $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ છે.
વિસ્તાર એ $R$ માં રહેલી ક્રમયુક્ત જોડીઓના બીજા ઘટકોનો ગણ છે,જે $\{2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
સહપ્રદેશ એ ગણ $A$ પોતે છે,જે $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.

(N/A) આકૃતિ પરથી,આપણે નીચે મુજબના મેપિંગ જોઈએ છીએ:
$9$ $\rightarrow 3, 9$ $\rightarrow -3$
$4$ $\rightarrow 2, 4$ $\rightarrow -2$
$25$ $\rightarrow 5, 25$ $\rightarrow -5$
આ દર્શાવે છે કે ગણ $P$ નો દરેક ઘટક $x$,ગણ $Q$ ના અનુરૂપ ઘટક $y$ નો વર્ગ છે.
$1.$ ગુણધર્મની રીત:
$R = \{(x, y) : x = y^2, x \in P, y \in Q\}$
$2.$ પ્રદેશ (Domain):
$R$ માંની ક્રમયુક્ત જોડીઓના પ્રથમ ઘટકોનો ગણ $\{4, 9, 25\}$ છે.
$3.$ વિસ્તાર (Range):
$R$ માંની ક્રમયુક્ત જોડીઓના બીજા ઘટકોનો ગણ $\{-5, -3, -2, 2, 3, 5\}$ છે.

(N/A) આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે સંબંધ $R$ એ '$x$ એ $y$ નો વર્ગ છે' તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
યાદીની રીતે,સંબંધ $R = \{(9, 3), (9, -3), (4, 2), (4, -2), (25, 5), (25, -5)\}$ છે.
આ સંબંધનો પ્રદેશ એ ક્રમયુક્ત જોડીઓના તમામ પ્રથમ ઘટકોનો ગણ છે,જે $\{4, 9, 25\}$ છે.
આ સંબંધનો વિસ્તાર એ ક્રમયુક્ત જોડીઓના તમામ બીજા ઘટકોનો ગણ છે,જે $\{-5, -3, -2, 2, 3, 5\}$ છે.

(C) આપણી પાસે $A = \{1, 2\}$ અને $B = \{3, 4\}$ છે.
કાર્તેઝિયન ગુણાકાર $A \times B = \{(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)\}$ થાય.
$A \times B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A \times B) = 4$ છે.
$A$ થી $B$ પરનો સંબંધ એ $A \times B$ નો ઉપગણ છે.
$n$ ઘટકો ધરાવતા ગણના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^n$ છે.
તેથી,$A$ થી $B$ પરના સંબંધોની સંખ્યા $2^4 = 16$ થાય.

(N/A) થી $A$ પરનો સંબંધ $R = \{(x, y) : 3x - y = 0, \text{ જ્યાં } x, y \in A\}$ આપેલ છે.
આને $R = \{(x, y) : y = 3x, \text{ જ્યાં } x, y \in A\}$ તરીકે લખી શકાય.
$x = 1$ માટે,$y = 3 \in A$.
$x = 2$ માટે,$y = 6 \in A$.
$x = 3$ માટે,$y = 9 \in A$.
$x = 4$ માટે,$y = 12 \in A$.
$x = 5$ માટે,$y = 15 \notin A$.
તેથી,$R = \{(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12)\}$.
$R$ નો પ્રદેશ એ ક્રમયુક્ત જોડીઓના પ્રથમ ઘટકોનો ગણ છે,જે $\{1, 2, 3, 4\}$ છે.
સંબંધ $R$ નો સહપ્રદેશ એ ગણ $A = \{1, 2, 3, \ldots, 14\}$ છે.
$R$ નો વિસ્તાર એ ક્રમયુક્ત જોડીઓના બીજા ઘટકોનો ગણ છે,જે $\{3, 6, 9, 12\}$ છે.

(N/A) સંબંધ $R = \{(x, y) : y = x + 5, x \in \{1, 2, 3\}, x, y \in N\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$x$ એ $4$ થી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવાથી,$x$ ની શક્ય કિંમતો $1, 2,$ અને $3$ છે.
$x = 1$ માટે,$y = 1 + 5 = 6$.
$x = 2$ માટે,$y = 2 + 5 = 7$.
$x = 3$ માટે,$y = 3 + 5 = 8$.
આમ,યાદીની રીતમાં,$R = \{(1, 6), (2, 7), (3, 8)\}$.
પ્રદેશ એ ક્રમયુક્ત જોડીઓના પ્રથમ ઘટકોનો ગણ છે: $\text{Domain} = \{1, 2, 3\}$.
વિસ્તાર એ ક્રમયુક્ત જોડીઓના બીજા ઘટકોનો ગણ છે: $\text{Range} = \{6, 7, 8\}$.

(A) આપેલ ગણ $A = \{1, 2, 3, 5\}$ અને $B = \{4, 6, 9\}$ છે.
સંબંધ $R$ એ તમામ ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(x, y)$ નો ગણ છે જ્યાં $|x - y|$ એકી સંખ્યા હોય,જ્યાં $x \in A$ અને $y \in B$.
દરેક જોડી તપાસતા:
$x = 1$ માટે: $|1 - 4| = 3$ (એકી),$|1 - 6| = 5$ (એકી),$|1 - 9| = 8$ (બેકી). તેથી,$(1, 4)$ અને $(1, 6) \in R$.
$x = 2$ માટે: $|2 - 4| = 2$ (બેકી),$|2 - 6| = 4$ (બેકી),$|2 - 9| = 7$ (એકી). તેથી,$(2, 9) \in R$.
$x = 3$ માટે: $|3 - 4| = 1$ (એકી),$|3 - 6| = 3$ (એકી),$|3 - 9| = 6$ (બેકી). તેથી,$(3, 4)$ અને $(3, 6) \in R$.
$x = 5$ માટે: $|5 - 4| = 1$ (એકી),$|5 - 6| = 1$ (એકી),$|5 - 9| = 4$ (બેકી). તેથી,$(5, 4)$ અને $(5, 6) \in R$.
આમ,$R = \{(1, 4), (1, 6), (2, 9), (3, 4), (3, 6), (5, 4), (5, 6)\}$.

(N/A) આપેલી આકૃતિ પરથી,ગણ $P = \{5, 6, 7\}$ અને $Q = \{3, 4, 5\}$ છે.
$1$. ગુણધર્મની રીત:
સંબંધ $R$ ને $R = \{(x, y) : y = x - 2, x \in P\}$ તરીકે લખી શકાય.
$2$. પ્રદેશ (Domain):
પ્રદેશ એ સંબંધમાં રહેલી ક્રમયુક્ત જોડોના પ્રથમ ઘટકોનો ગણ છે,જે $\{5, 6, 7\}$ છે.
$3$. વિસ્તાર (Range):
વિસ્તાર એ સંબંધમાં રહેલી ક્રમયુક્ત જોડોના બીજા ઘટકોનો ગણ છે,જે $\{3, 4, 5\}$ છે.

(N/A) આપેલી આકૃતિ મુજબ,$P = \{5, 6, 7\}$ અને $Q = \{3, 4, 5\}$ છે.
યાદીની રીતે સંબંધ $R = \{(5, 3), (6, 4), (7, 5)\}$ છે.
$R$ નો પ્રદેશ એ ક્રમયુક્ત જોડીઓના તમામ પ્રથમ ઘટકોનો ગણ છે,તેથી $\text{Domain} = \{5, 6, 7\}$.
$R$ નો વિસ્તાર એ ક્રમયુક્ત જોડીઓના તમામ બીજા ઘટકોનો ગણ છે,તેથી $\text{Range} = \{3, 4, 5\}$.

ગણ $A = \{1, 2, 3, 4, 6\}$ છે.
$R$ એ ક્રમયુક્ત જોડ $(a, b)$ નો ગણ છે જ્યાં $b$ ને $a$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય છે.
દરેક ઘટક $a \in A$ માટે આપણે તેના ગુણકો $b \in A$ શોધીએ છીએ:
$a = 1$ માટે: $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6)$
$a = 2$ માટે: $(2, 2), (2, 4), (2, 6)$
$a = 3$ માટે: $(3, 3), (3, 6)$
$a = 4$ માટે: $(4, 4)$
$a = 6$ માટે: $(6, 6)$
આમ,યાદીની રીતે સંબંધ $R$ નીચે મુજબ છે:
$R = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (6, 6)\}$

(A) આપેલ સંબંધ $R = \{(x, x+5): x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\}$ છે.
$x$ ની દરેક કિંમતને $x+5$ માં મૂકતા:
$x=0$ માટે,$x+5=5$
$x=1$ માટે,$x+5=6$
$x=2$ માટે,$x+5=7$
$x=3$ માટે,$x+5=8$
$x=4$ માટે,$x+5=9$
$x=5$ માટે,$x+5=10$
તેથી,$R = \{(0, 5), (1, 6), (2, 7), (3, 8), (4, 9), (5, 10)\}$.
પ્રદેશ એ ક્રમયુક્ત જોડીના પ્રથમ ઘટકોનો ગણ છે: $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.
વિસ્તાર એ ક્રમયુક્ત જોડીના બીજા ઘટકોનો ગણ છે: $\{5, 6, 7, 8, 9, 10\}$.

(A) સંબંધ $R = \{ (x, x^3) : x \text{ એ } 10 \text{ થી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા છે } \}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$10$ થી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5$ અને $7$ છે.
$x = 2$ માટે,$x^3 = 2^3 = 8$.
$x = 3$ માટે,$x^3 = 3^3 = 27$.
$x = 5$ માટે,$x^3 = 5^3 = 125$.
$x = 7$ માટે,$x^3 = 7^3 = 343$.
તેથી,રોસ્ટર સ્વરૂપમાં સંબંધ $R = \{ (2, 8), (3, 27), (5, 125), (7, 343) \}$ છે.

(B) આપેલ ગણ $A = \{x, y, z\}$ અને $B = \{1, 2\}$ છે.
$A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A) = 3$ અને $B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(B) = 2$ છે.
કારતેઝીય ગુણાકાર $A \times B$ માં $n(A) \times n(B) = 3 \times 2 = 6$ ઘટકો હોય છે.
$A$ થી $B$ પરનો સંબંધ એ $A \times B$ નો ઉપગણ છે.
$n$ ઘટકો ધરાવતા ગણના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^{n}$ છે.
તેથી,$A$ થી $B$ પરના સંબંધોની સંખ્યા $2^{6} = 64$ છે.

(N/A) આપેલ સંબંધ $R = \{(1,3), (1,5), (2,5)\}$ છે.
વિધેય હોવા માટે,પ્રદેશના દરેક ઘટકનું સહ-પ્રદેશમાં અનન્ય પ્રતિબિંબ હોવું જોઈએ.
અહીં,પ્રદેશનો ઘટક $1$ એ બે અલગ-અલગ પ્રતિબિંબો $3$ અને $5$ સાથે જોડાયેલ છે.
કારણ કે એક જ પ્રથમ ઘટક $1$ એ બે અલગ-અલગ પ્રતિબિંબો સાથે સંકળાયેલ છે,તેથી આ સંબંધ વિધેય નથી.

(B) આપેલ છે $R = \{(a, b) : a, b \in N \text{ અને } a = b^2\}$.
શું $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$ તે ચકાસવા માટે,આપણે એક ઉદાહરણ લઈએ.
જોડી $(9, 3)$ ધ્યાનમાં લો. કારણ કે $9 = 3^2$ અને $9, 3 \in N$,તેથી $(9, 3) \in R$.
હવે,ચકાસો કે શું $(3, 9) \in R$. $(3, 9)$ ને $R$ માં હોવા માટે,તેણે $a = b^2$ નું પાલન કરવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $3 = 9^2 = 81$. કારણ કે $3 \neq 81$,તેથી $(3, 9) \notin R$.
તેથી,વિધાન $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$ અસત્ય છે.

(A) ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરનો સંબંધ એ કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times B$ નો ઉપગણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે કે $A = \{1, 2, 3, 4\}$ અને $B = \{1, 5, 9, 11, 15, 16\}$.
કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times B$ માં તમામ ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(a, b)$ નો સમાવેશ થાય છે જ્યાં $a \in A$ અને $b \in B$.
ગણ $f = \{(1, 5), (2, 9), (3, 1), (4, 5), (2, 11)\}$ ના દરેક ઘટક માટે,પ્રથમ ઘટક $A$ માં છે અને બીજો ઘટક $B$ માં છે,તેથી આપણે કહી શકીએ કે $f \subseteq A \times B$.
તેથી,$f$ એ $A$ થી $B$ પરનો સંબંધ છે.

(B) $R^{-1}$ નો પ્રદેશ એ સંબંધ $R$ નો વિસ્તાર છે. $R$ નો વિસ્તાર એવા તમામ શક્ય પૂર્ણાંક $y$ ના મૂલ્યોનો બનેલો છે જેના માટે ઓછામાં ઓછો એક પૂર્ણાંક $x$ એવો મળે કે જે $x^{2} + 3y^{2} \leq 8$ નું સમાધાન કરે.
અસમતા $3y^{2} \leq 8 - x^{2}$ આપેલ છે,કારણ કે $x^{2} \geq 0$,તેથી $3y^{2} \leq 8$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $y^{2} \leq \frac{8}{3} \approx 2.66$.
કારણ કે $y$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $y$ માટે શક્ય કિંમતો $y \in \{-1, 0, 1\}$ છે.
ચાલો આ કિંમતો ચકાસીએ:
જો $y = 0$ હોય,તો $x^{2} \leq 8 \Rightarrow x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$.
જો $y = 1$ હોય,તો $x^{2} + 3(1)^{2} \leq 8 \Rightarrow x^{2} \leq 5 \Rightarrow x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$.
જો $y = -1$ હોય,તો $x^{2} + 3(-1)^{2} \leq 8 \Rightarrow x^{2} \leq 5 \Rightarrow x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$.
આમ,$y$ માટેની તમામ શક્ય કિંમતોનો ગણ $\{-1, 0, 1\}$ છે.
તેથી,$R^{-1}$ નો પ્રદેશ $\{-1, 0, 1\}$ છે.

(D) ધારો કે $x = a - b$. શરત $2x^2 + 3x \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ છે.
કિસ્સો $1$: $2x^2 + 3x = 0 \Rightarrow x(2x + 3) = 0$. $a, b \in \{1, \ldots, 10\}$ હોવાથી,$x$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ. તેથી,$x = 0$.
જો $x = 0$ હોય,તો $a - b = 0 \Rightarrow a = b$. આવી $10$ જોડ મળે: $(1,1), (2,2), \ldots, (10,10)$.
કિસ્સો $2$: $2x^2 + 3x = 1 \Rightarrow 2x^2 + 3x - 1 = 0$. $x$ માટે કોઈ પૂર્ણાંક ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $3$: $2x^2 + 3x = 2 \Rightarrow 2x^2 + 3x - 2 = 0 \Rightarrow (2x - 1)(x + 2) = 0$. પૂર્ણાંક ઉકેલ $x = -2$ મળે.
જો $x = -2$ હોય,તો $a - b = -2 \Rightarrow b = a + 2$. શક્ય જોડ: $(1,3), (2,4), (3,5), (4,6), (5,7), (6,8), (7,9), (8,10)$. આવી $8$ જોડ મળે.
કિસ્સો $4$: $2x^2 + 3x = 3 \Rightarrow 2x^2 + 3x - 3 = 0$. કોઈ પૂર્ણાંક ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $5$: $2x^2 + 3x = 4 \Rightarrow 2x^2 + 3x - 4 = 0$. કોઈ પૂર્ણાંક ઉકેલ નથી.
કુલ ઘટકોની સંખ્યા $= 10 + 8 = 18$.

(C) સંબંધ $R = \{(a, b) : a = 2b + 1\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે જ્યાં $a, b \in \{1, 2, \ldots, 10\}$.
$R$ ના ઘટકો: $R = \{(3, 1), (5, 2), (7, 3), (9, 4)\}$.
આપણે $k$ ક્રમયુક્ત જોડીઓની શ્રેણી શોધી રહ્યા છીએ $(x_1, x_2), (x_2, x_3), \ldots, (x_k, x_{k+1})$ જેથી દરેક જોડી $R$ માં હોય.
સંબંધ $a_i = 2a_{i+1} + 1$ પરથી.
છેલ્લી જોડી $(a_k, a_{k+1})$ થી શરૂ કરીને:
જો $a_{k+1} = 1$,તો $a_k = 2(1) + 1 = 3$.
જો $a_k = 3$,તો $a_{k-1} = 2(3) + 1 = 7$.
જો $a_{k-1} = 7$,તો $a_{k-2} = 2(7) + 1 = 15$,જે $A$ માં નથી.
તેથી,શ્રેણી $(7, 3), (3, 1)$ હોઈ શકે છે,જેમાં $k = 2$ જોડીઓ છે.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $3$ છે.

(B) આપેલ સંબંધ $R = \{(a, b) : b = a - 1, a \in \mathbb{Z}, 5 < a < 9\}$ છે.
અહીં $a$ એ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે જ્યાં $5 < a < 9$,તેથી $a$ ની શક્ય કિંમતો $a \in \{6, 7, 8\}$ છે.
જ્યારે $a = 6$,ત્યારે $b = 6 - 1 = 5$.
જ્યારે $a = 7$,ત્યારે $b = 7 - 1 = 6$.
જ્યારે $a = 8$,ત્યારે $b = 8 - 1 = 7$.
આમ,સંબંધ $R = \{(6, 5), (7, 6), (8, 7)\}$ મળે છે.
$R$ નો વિસ્તાર એ ક્રમયુક્ત જોડીના બીજા ઘટકોનો ગણ છે,જે $\{5, 6, 7\}$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) સંબંધ $R$ એ $A$ થી $B$ પર $R = \{(x, y) : x \in A, y \in B, x > y\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
દરેક $x \in A$ માટે $y \in B$ તપાસતા જ્યાં $x > y$:
$x = 2$ માટે,$y = 1$ $(2 > 1)$,તેથી $(2, 1) \in R$.
$x = 3$ માટે,$y = 1$ $(3 > 1)$,તેથી $(3, 1) \in R$.
$x = 4$ માટે,$y = 1$ $(4 > 1)$,તેથી $(4, 1) \in R$.
$x = 5$ માટે,$y = 1$ $(5 > 1)$ અને $y = 4$ $(5 > 4)$,તેથી $(5, 1) \in R$ અને $(5, 4) \in R$.
$R$ માંના તમામ ક્રમયુક્ત જોડીઓનો ગણ $\{(2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (5, 4)\}$ છે.
વિસ્તાર એ $R$ ની ક્રમયુક્ત જોડીઓના બીજા ઘટકોનો ગણ છે.
વિસ્તાર $R = \{1, 4\}$.

(A) આપેલ ગણ $A = \{x, y, z\}$ અને $B = \{1, 2\}$ છે.
ગણ $A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A) = 3$ છે.
ગણ $B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(B) = 2$ છે.
કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times B$ માં $n(A) \times n(B) = 3 \times 2 = 6$ ઘટકો હોય છે.
$A$ થી $B$ પરનો સંબંધ એ $A \times B$ નો ઉપગણ છે.
$n$ ઘટકો ધરાવતા ગણના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^n$ છે.
તેથી,$A$ થી $B$ પરના સંબંધોની કુલ સંખ્યા $2^6 = 64$ થાય.

(D) સંબંધ $R = \{(a, b) : a = b - 2, b > 6\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
દરેક વિકલ્પ તપાસીએ:
$A$: $(2, 4)$ માટે,$b = 4$. $4 > 6$ સત્ય નથી,તેથી $(2, 4) \notin R$.
$B$: $(8, 7)$ માટે,$a = 8$ અને $b = 7$. અહીં $a = b - 2$ એટલે $8 = 7 - 2$,જે $8 = 5$ થાય (ખોટું).
$C$: $(3, 8)$ માટે,$a = 3$ અને $b = 8$. અહીં $a = b - 2$ એટલે $3 = 8 - 2$,જે $3 = 6$ થાય (ખોટું).
$D$: $(6, 8)$ માટે,$a = 6$ અને $b = 8$. અહીં $b > 6$ એટલે $8 > 6$ (સાચું),અને $a = b - 2$ એટલે $6 = 8 - 2$,જે $6 = 6$ થાય (સાચું).
આમ,$(6, 8) \in R$ છે.

(D) આપેલ છે કે $n(A) = 2$. ધારો કે $n(B) = m$.
ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરના સંબંધોની કુલ સંખ્યા $2^{n(A) \times n(B)}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
રકમ મુજબ,$2^{2 \times m} = 1024$.
કારણ કે $1024 = 2^{10}$,તેથી $2^{2m} = 2^{10}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા,$2m = 10$,જેનું સાદું રૂપ $m = 5$ મળે છે.
તેથી,$n(B) = 5$.

(D) આપેલ સંબંધ $R = \{(x, y) : 4x + 3y = 20\}$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણ $\mathbb{N}$ પર છે.
$(x, y) \in R$ માટે,$x$ અને $y$ બંને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ હોવી જોઈએ (એટલે કે $x, y \in \{1, 2, 3, \dots\}$).
ચાલો વિકલ્પો તપાસીએ:
$(a)$ $(-4, 12)$: $-4 \notin \mathbb{N}$.
$(b)$ $(5, 0)$: $0 \notin \mathbb{N}$.
$(c)$ $(3, 4)$: $4(3) + 3(4) = 12 + 12 = 24 \neq 20$.
$(d)$ $(2, 4)$: $4(2) + 3(4) = 8 + 12 = 20$. અહીં $2 \in \mathbb{N}$ અને $4 \in \mathbb{N}$ હોવાથી,$(2, 4) \in R$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(D) આપેલ સંબંધ $3 a+2 b=27$ છે જ્યાં $a, b \in N$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ).
$2 b = 27 - 3 a$
$b = \frac{3(9 - a)}{2}$
$b$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવી જોઈએ,તેથી $3(9 - a)$ એ બેકી અને ધન હોવી જોઈએ.
$a = 1$ માટે,$b = 12$.
$a = 3$ માટે,$b = 9$.
$a = 5$ માટે,$b = 6$.
$a = 7$ માટે,$b = 3$.
$a = 9$ માટે,$b = 0$ (જે પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી).
આમ,$R = \{(1, 12), (3, 9), (5, 6), (7, 3)\}$.