Different types of Function Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \cos([\pi^2]x) + \cos([- \pi^2]x)$.
$\pi^2 \approx 9.86$ હોવાથી,$[\pi^2] = 9$ અને $[-\pi^2] = [-9.86] = -10$ થાય.
તેથી,$f(x) = \cos(9x) + \cos(-10x) = \cos(9x) + \cos(10x)$.
સૂત્ર $\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,$f(x) = 2\cos\left(\frac{19x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)$ મળે.
વિકલ્પ $D$ માટે,$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\cos\left(\frac{19\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$.
$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \times \cos\left(4\pi + \frac{3\pi}{4}\right) \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \times \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$.

(C) સ્ટેપ વિધેય એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ પરનું એવું વિધેય છે જેને અંતરાલોના સૂચક વિધેયોના શાંત રેખીય સંયોજન તરીકે લખી શકાય છે.
આપેલ વિધેય $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & \text{જો } 0 \le x \le \frac{1}{2} \\ \frac{1}{3}, & \text{જો } \frac{1}{2} < x \le 1 \end{cases}$ માટે,આ વિધેયનો આલેખ પ્રદેશના વિવિધ અંતરાલો પર અલગ-અલગ ઊંચાઈએ આડા રેખાખંડો ધરાવે છે.
આ સ્ટેપ વિધેયનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) વિધેય $f(x)$ યુગ્મ છે જો $f(-x) = f(x)$ થાય અને અયુગ્મ છે જો $f(-x) = -f(x)$ થાય.
વિકલ્પ $(A)$ માટે: $f(-x) = \frac{a^{-x} + 1}{a^{-x} - 1} = \frac{\frac{1}{a^x} + 1}{\frac{1}{a^x} - 1} = \frac{1 + a^x}{1 - a^x} = -\frac{a^x + 1}{a^x - 1} = -f(x)$. તેથી,તે અયુગ્મ વિધેય છે.
વિકલ્પ $(B)$ માટે: $f(-x) = (-x) \left( \frac{a^{-x} - 1}{a^{-x} + 1} \right) = (-x) \left( \frac{\frac{1}{a^x} - 1}{\frac{1}{a^x} + 1} \right) = (-x) \left( \frac{1 - a^x}{1 + a^x} \right) = x \left( \frac{a^x - 1}{a^x + 1} \right) = f(x)$. તેથી,તે યુગ્મ વિધેય છે.
વિકલ્પ $(C)$ માટે: $f(-x) = \frac{a^{-x} - a^x}{a^{-x} + a^x} = -\frac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}} = -f(x)$. તેથી,તે અયુગ્મ વિધેય છે.
વિકલ્પ $(D)$ માટે: $f(-x) = \sin(-x) = -\sin x = -f(x)$. તેથી,તે અયુગ્મ વિધેય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \log \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right)$.
વિધેય યુગ્મ છે કે અયુગ્મ તે તપાસવા માટે,આપણે $f(-x)$ ની કિંમત શોધીએ:
$f(-x) = \log \left( \frac{1 + (-x)}{1 - (-x)} \right) = \log \left( \frac{1 - x}{1 + x} \right)$.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log(a^{-1}) = -\log(a)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ:
$f(-x) = \log \left( \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right)^{-1} \right) = -\log \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right)$.
અહીં $f(-x) = -f(x)$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.

(D) ધારો કે $f(x) = |x| + |x + \frac{1}{2}| + |x - 3| + |x - \frac{5}{2}|$.
આ નિરપેક્ષ મૂલ્ય વિધેયોનો સરવાળો છે. $\sum |x - a_i|$ સ્વરૂપના સરવાળાની ન્યૂનતમ કિંમત ત્યારે મળે છે જ્યારે $x$ એ $a_i$ મૂલ્યોનો મધ્યસ્થ (median) હોય.
અહીં,નિર્ણાયક બિંદુઓ $0, -\frac{1}{2}, 3, \frac{5}{2}$ છે.
તેમને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતા: $-\frac{1}{2}, 0, \frac{5}{2}, 3$.
મધ્યસ્થ $[0, \frac{5}{2}]$ અંતરાલમાં આવે છે.
અંતરાલ $[0, \frac{5}{2}]$ માં કોઈપણ $x$ માટે,$f(x)$ ની ગણતરી કરીએ:
$f(x) = x + (x + \frac{1}{2}) + (3 - x) + (\frac{5}{2} - x) = x + x + \frac{1}{2} + 3 - x + \frac{5}{2} - x = \frac{1}{2} + 3 + \frac{5}{2} = 6$.
આમ,$[0, \frac{5}{2}]$ માં કોઈપણ $x$ માટે,વિધેયની કિંમત અચળ અને $6$ જેટલી રહે છે.
તેથી,ન્યૂનતમ કિંમત $6$ છે.

(C) આપેલ છે કે $g(u) = 2 \tan^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}$.
વિધેય અયુગ્મ છે કે યુગ્મ તે તપાસવા માટે,$g(-u) = 2 \tan^{-1}(e^{-u}) - \frac{\pi}{2}$ લો.
$e^{-u} = \frac{1}{e^u}$ હોવાથી,$g(-u) = 2 \tan^{-1}\left(\frac{1}{e^u}\right) - \frac{\pi}{2}$ મળે.
નિત્યસમ $\tan^{-1}(x) + \cot^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $x > 0$ માટે $\tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) = \cot^{-1}(x)$ થાય.
તેથી,$g(-u) = 2 \cot^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}$.
હવે,$g(u) + g(-u) = 2(\tan^{-1}(e^u) + \cot^{-1}(e^u)) - \pi = 2(\frac{\pi}{2}) - \pi = 0$.
$g(-u) = -g(u)$ હોવાથી,વિધેય અયુગ્મ છે.
વિધેય વધતું કે ઘટતું તે તપાસવા માટે,વિકલન કરતા $g'(u) = 2 \cdot \frac{1}{1 + (e^u)^2} \cdot e^u = \frac{2e^u}{1 + e^{2u}}$ મળે.
બધા $u \in \mathbb{R}$ માટે $e^u > 0$ હોવાથી,$g'(u) > 0$ થાય.
તેથી,$g(u)$ એ $(-\infty, \infty)$ પર ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.

(C) વિધેય $g(x) = 2 \tan^{-1}(e^x) - \frac{\pi}{2}$ માટે,તેનું વિકલન કરતા:
$g'(x) = 2 \cdot \frac{1}{1 + (e^x)^2} \cdot e^x = \frac{2e^x}{1 + e^{2x}}$.
કારણ કે $e^x > 0$ તમામ $x \in (-\infty, \infty)$ માટે છે,તેથી $g'(x) > 0$ મળે છે. આમ,$g(x)$ એ $(-\infty, \infty)$ પર ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
હવે,યુગ્મ કે અયુગ્મ ચકાસવા માટે: $g(-x) = 2 \tan^{-1}(e^{-x}) - \frac{\pi}{2} = 2 \tan^{-1}(\frac{1}{e^x}) - \frac{\pi}{2}$.
નિત્યસમ $\tan^{-1}(\frac{1}{u}) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(u)$ (જ્યારે $u > 0$) નો ઉપયોગ કરતા:
$g(-x) = 2(\frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(e^x)) - \frac{\pi}{2} = \pi - 2 \tan^{-1}(e^x) - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1}(e^x) = -g(x)$.
આમ,$g(-x) = -g(x)$ હોવાથી,$g(x)$ એ એક અયુગ્મ વિધેય છે.

(A) $x-$અંતઃખંડો શોધવા માટે,આપણે $f(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$||x - 2| - \alpha| - 5 = 0$
$||x - 2| - \alpha| = 5$
આનો અર્થ એ થાય કે $|x - 2| - \alpha = 5$ અથવા $|x - 2| - \alpha = -5$.
$|x - 2| = \alpha + 5$ અથવા $|x - 2| = \alpha - 5$.
સમીકરણ $|x - 2| = k$ ને બે ભિન્ન ઉકેલો મળે તે માટે,આપણી પાસે $k > 0$ હોવું જોઈએ.
જો $\alpha - 5 > 0$ હોય,તો $|x - 2| = \alpha - 5$ બે ઉકેલો આપે છે,અને $|x - 2| = \alpha + 5$ પણ બે ઉકેલો આપે છે (કારણ કે $\alpha + 5 > \alpha - 5 > 0$).
આમ,આપણને $\alpha - 5 > 0$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha > 5$.
આપણે $\alpha$ નું ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક મૂલ્ય શોધી રહ્યા છીએ,અને $\alpha > 5$ હોવાથી,સૌથી નાનો પૂર્ણાંક $\alpha = 6$ છે.

(D) વિધેય $f(t) = 2^t + t$ ધ્યાનમાં લો.
કારણ કે $f'(t) = 2^t \ln 2 + 1 > 0$ તમામ $t$ માટે,$f(t)$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
આપેલ સમીકરણ $f(x) = f(\sin x)$ છે.
$f$ ચુસ્ત વધતું હોવાથી,$f(x) = f(\sin x)$ નો અર્થ $x = \sin x$ થાય છે.
અંતરાલ $[0, 10\pi]$ માં,સમીકરણ $x = \sin x$ માત્ર $x = 0$ માટે જ શક્ય છે.
આમ,આપેલ અંતરાલમાં માત્ર $1$ ઉકેલ છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = (\{x\} - \frac{1}{2})^2$ છે.
$1$. સાતત્ય: અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય $\{x\}$ એ તમામ પૂર્ણાંકો $n \in \mathbb{Z}$ પર અસતત છે. તેથી,$f(x)$ એ તમામ પૂર્ણાંકો $n \in \mathbb{Z}$ પર અસતત છે. આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$2$. વિકલનીયતા: $f(x)$ પૂર્ણાંકો પર અસતત હોવાથી,તે પૂર્ણાંકો પર વિકલનીય નથી. તેથી,વિકલ્પ $B$ ખોટો છે.
$3$. આવર્તમાન: અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય $\{x\}$ એ $1$ આવર્તમાન ધરાવતું આવર્તી વિધેય છે. તેથી,$f(x) = (\{x\} - \frac{1}{2})^2$ પણ $1$ આવર્તમાન ધરાવે છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ ખોટો છે.
$4$. યુગ્મ/અયુગ્મ: વિધેય યુગ્મ હોવા માટે,$f(-x) = f(x)$ હોવું જોઈએ. અહીં,$f(-x) = (\{-x\} - \frac{1}{2})^2$. જો $x$ પૂર્ણાંક ન હોય,તો $\{-x\} = 1 - \{x\}$. તેથી $f(-x) = (1 - \{x\} - \frac{1}{2})^2 = (\frac{1}{2} - \{x\})^2 = (\{x\} - \frac{1}{2})^2 = f(x)$. જો $x$ પૂર્ણાંક હોય,તો $f(-x) = (0 - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ અને $f(x) = (0 - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. આમ,$f(x)$ એ યુગ્મ વિધેય છે. વિકલ્પ $D$ પણ સાચો છે.

(A) ધારો કે $f(x) = |x + |2x - 1|| - |x - |2x - 1||$.
આ વિધેયનું વિશ્લેષણ કરતા,તે $x < 1/3$ માટે $2x$,$1/3 \le x \le 1$ માટે $4x-2$ અને $x > 1$ માટે $2x$ છે.
આ વિધેય સતત વધતું વિધેય છે,તેથી કોઈપણ $K$ માટે તે વધુમાં વધુ એક જ ઉકેલ ધરાવી શકે છે.
તેથી,ત્રણ ઉકેલો મળે તેવું કોઈ $K$ નું મૂલ્ય શક્ય નથી. જવાબ $0$ છે.

(D) વિધાન $-1$ એ યુગ્મ વિધેયની પ્રમાણિત વ્યાખ્યા છે,જે સાચી છે.
વિધાન $-2$ માટે,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \left[ \frac{x^2 + x + 1}{4} \right]$ નો પ્રદેશ $1 - x^2 > 0$ દ્વારા નક્કી થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $x \in (-1, 1)$.
અંતરાલ $x \in (-1, 1)$ માં,પદ $g(x) = \frac{x^2 + x + 1}{4}$ ની કિંમત $\frac{(-1)^2 + (-1) + 1}{4} = 0.25$ થી $\frac{1^2 + 1 + 1}{4} = 0.75$ ની વચ્ચે રહે છે.
કારણ કે બધા $x \in (-1, 1)$ માટે $0 \le g(x) < 1$ છે,તેથી મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[g(x)] = 0$ થાય.
આમ,$x \in (-1, 1)$ માટે,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + 0 = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.
કારણ કે $f(-x) = \frac{1}{\sqrt{1 - (-x)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = f(x)$,તેથી આ વિધેય યુગ્મ છે.
બંને વિધાનો સાચા છે,અને વિધાન $-1$ એ વિધાન $-2$ ને ચકાસવા માટે વપરાતી વ્યાખ્યા પૂરી પાડે છે.

(C) આપેલ છે $g(u) = 2 \tan^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}$.
અયુગ્મ/યુગ્મ ચકાસવા માટે,આપણે $g(-u)$ ની ગણતરી કરીએ:
$g(-u) = 2 \tan^{-1}(e^{-u}) - \frac{\pi}{2}$
$= 2 \tan^{-1}\left(\frac{1}{e^u}\right) - \frac{\pi}{2}$
નિત્યસમ $\tan^{-1}(x) + \cot^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\tan^{-1}\left(\frac{1}{e^u}\right) = \cot^{-1}(e^u) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(e^u)$.
આ કિંમત પાછી મૂકતા:
$g(-u) = 2 \left[ \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(e^u) \right] - \frac{\pi}{2}$
$= \pi - 2 \tan^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}$
$= \frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1}(e^u)$
$= - \left( 2 \tan^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2} \right) = -g(u)$.
તેથી $g(-u) = -g(u)$,વિધેય અયુગ્મ છે.
હવે,વિકલિત શોધીને એકવિધતા ચકાસીએ:
$g'(u) = 2 \cdot \frac{1}{1 + (e^u)^2} \cdot e^u = \frac{2e^u}{1 + e^{2u}}$.
બધા $u \in (-\infty, \infty)$ માટે $e^u > 0$ હોવાથી,$g'(u) > 0$.
આમ,$g(u)$ એ $(-\infty, \infty)$ માં ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.

(D) ધારો કે $f(x) = (x-\alpha_1)(x-\alpha_3)(x-\alpha_5) + 3(x-\alpha_2)(x-\alpha_4)(x-\alpha_6)$.
આપેલા બિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત તપાસતા:
$f(\alpha_1) = 0 + 3(\alpha_1-\alpha_2)(\alpha_1-\alpha_4)(\alpha_1-\alpha_6) = 3(-)(-)(-) < 0$.
$f(\alpha_2) = (\alpha_2-\alpha_1)(\alpha_2-\alpha_3)(\alpha_2-\alpha_5) + 0 = (+)(-)(-) > 0$.
$f(\alpha_3) = 0 + 3(\alpha_3-\alpha_2)(\alpha_3-\alpha_4)(\alpha_3-\alpha_6) = 3(+)(-)(-) > 0$.
$f(\alpha_4) = (\alpha_4-\alpha_1)(\alpha_4-\alpha_3)(\alpha_4-\alpha_5) + 0 = (+)(+)(-) < 0$.
$f(\alpha_5) = 0 + 3(\alpha_5-\alpha_2)(\alpha_5-\alpha_4)(\alpha_5-\alpha_6) = 3(+)(+)(-) < 0$.
$f(\alpha_6) = (\alpha_6-\alpha_1)(\alpha_6-\alpha_3)(\alpha_6-\alpha_5) + 0 = (+)(+)(+) > 0$.
$f(\alpha_1) < 0$ અને $f(\alpha_2) > 0$ હોવાથી,$(\alpha_1, \alpha_2)$ માં એક ઉકેલ છે.
$f(\alpha_3) > 0$ અને $f(\alpha_4) < 0$ હોવાથી,$(\alpha_3, \alpha_4)$ માં એક ઉકેલ છે.
$f(\alpha_5) < 0$ અને $f(\alpha_6) > 0$ હોવાથી,$(\alpha_5, \alpha_6)$ માં એક ઉકેલ છે.
જ્યારે $x \to -\infty$,ત્યારે $f(x) \to -\infty$. $f(\alpha_1) < 0$ હોવાથી,$(-\infty, \alpha_1)$ માં કોઈ ઉકેલ હોવાની ખાતરી નથી.

(C) આપેલ છે કે $f$ એ અયુગ્મ વિધેય છે,તેથી $f(-x) = -f(x)$ થાય.
$x \geq 0$ માટે,$f(x) = 3 \sin x + 4 \cos x$.
આપણે $f\left(-\frac{11\pi}{6}\right)$ શોધવાનું છે.
$f$ અયુગ્મ હોવાથી,$f\left(-\frac{11\pi}{6}\right) = -f\left(\frac{11\pi}{6}\right)$ થાય.
પ્રથમ $f\left(\frac{11\pi}{6}\right)$ ની ગણતરી કરીએ:
$f\left(\frac{11\pi}{6}\right) = 3 \sin\left(\frac{11\pi}{6}\right) + 4 \cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)$
$f\left(\frac{11\pi}{6}\right) = 3 \sin\left(2\pi - \frac{\pi}{6}\right) + 4 \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{6}\right)$
$f\left(\frac{11\pi}{6}\right) = 3(-\sin\frac{\pi}{6}) + 4(\cos\frac{\pi}{6})$
$f\left(\frac{11\pi}{6}\right) = 3(-\frac{1}{2}) + 4(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3}{2} + 2\sqrt{3}$.
તેથી,$f\left(-\frac{11\pi}{6}\right) = -f\left(\frac{11\pi}{6}\right) = -(-\frac{3}{2} + 2\sqrt{3}) = \frac{3}{2} - 2\sqrt{3}$.

(N/A) અમારી પાસે વિધેય $f(x) = x^{3}$ છે.
આલેખ દોરવા માટે,આપણે વિધેયની કેટલીક કિંમતોની ગણતરી કરીએ છીએ:
$f(0) = 0^{3} = 0$
$f(1) = 1^{3} = 1$
$f(-1) = (-1)^{3} = -1$
$f(2) = 2^{3} = 8$
$f(-2) = (-2)^{3} = -8$
આ બિંદુઓ $(0, 0), (1, 1), (-1, -1), (2, 8), (-2, -8)$ ને કાર્તેઝિયન સમતલ પર દર્શાવીને અને તેમને એક સરળ વક્ર દ્વારા જોડવાથી ઘન વિધેય $f(x) = x^{3}$ નો આલેખ મળે છે.

(B) ગણમાં ઘટકોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સમીકરણ $(|x|-3)|x+4|=6$ ઉકેલીએ છીએ.
ધારો કે $f(x) = |x|-3$ અને $g(x) = \frac{6}{|x+4|}$.
આપણે $y = |x|-3$ અને $y = \frac{6}{|x+4|}$ ના આલેખના છેદબિંદુઓની સંખ્યા શોધીએ છીએ.
$y = |x|-3$ નો આલેખ $(0, -3)$ પર શિરોબિંદુ અને $x = 3$ તથા $x = -3$ પર $x$-અંત:ખંડ ધરાવતો $V$-આકારનો વક્ર છે.
$y = \frac{6}{|x+4|}$ નો આલેખ $x = -4$ પર શિરોલંબ અનંતસ્પર્શક ધરાવતો વક્ર છે અને તે હંમેશા ધન હોય છે.
આલેખનું અવલોકન કરતા,વક્ર $y = |x|-3$ એ $y = \frac{6}{|x+4|}$ ને બે ભિન્ન બિંદુઓ પર છેદે છે: એક $(3, \infty)$ અંતરાલમાં અને બીજું $(-\infty, -4)$ અંતરાલમાં.
તેથી,ગણમાં ઘટકોની સંખ્યા $2$ છે.

(N/A) વિધેય $f(x) = x + 10$ નો આલેખ દોરવા માટે,આપણે રેખા પરના કેટલાક બિંદુઓ શોધીએ:
$x = 0$ માટે,$f(0) = 0 + 10 = 10$. તેથી,બિંદુ $(0, 10)$ છે.
$x = -10$ માટે,$f(-10) = -10 + 10 = 0$. તેથી,બિંદુ $(-10, 0)$ છે.
$f(x)$ એ સુરેખ વિધેય હોવાથી,તેનો આલેખ એ બિંદુઓ $(0, 10)$ અને $(-10, 0)$ માંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે.

(A) કારણ કે $f$ એ સુરેખ વિધેય છે,તેને $f(x) = mx + c$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
આપેલ બિંદુઓ $(1, 1)$ અને $(0, -1)$ વિધેય $f$ માં છે,તેથી:
$f(0) = m(0) + c = -1 \implies c = -1$.
$f(1) = m(1) + c = 1 \implies m - 1 = 1 \implies m = 2$.
$m = 2$ અને $c = -1$ ને સુરેખ સ્વરૂપમાં મૂકતા,આપણને $f(x) = 2x - 1$ મળે છે.

વિધેય $f(x)$ ત્રણ ભાગમાં વ્યાખ્યાયિત છે:
$1$. $x < 0$ માટે,$f(x) = 1 - x$. આ એક સીધી રેખા છે. ઉદાહરણ તરીકે,$f(-1) = 2$,$f(-2) = 3$,$f(-3) = 4$.
$2$. $x = 0$ માટે,$f(0) = 1$. આ એક બિંદુ $(0, 1)$ છે.
$3$. $x > 0$ માટે,$f(x) = x + 1$. આ એક સીધી રેખા છે. ઉદાહરણ તરીકે,$f(1) = 2$,$f(2) = 3$,$f(3) = 4$.
આ બધાને જોડતા,આલેખમાં $(0, 1)$ થી શરૂ થતા બે કિરણો મળે છે જે અનુક્રમે બીજા અને પ્રથમ ચરણમાં વિસ્તરે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $[x]^{2}+2[x+2]-7=0$
ગુણધર્મ $[x+n] = [x]+n$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n$ પૂર્ણાંક છે,આપણને મળે $[x+2] = [x]+2$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $[x]^{2}+2([x]+2)-7=0$
$[x]^{2}+2[x]+4-7=0$
$[x]^{2}+2[x]-3=0$
ધારો કે $y = [x]$,તો $y^{2}+2y-3=0$
$(y+3)(y-1)=0$
તેથી,$[x] = 1$ અથવા $[x] = -3$
જો $[x] = 1$,તો $x \in [1, 2)$
જો $[x] = -3$,તો $x \in [-3, -2)$
આમ,ઉકેલ ગણ $x \in [-3, -2) \cup [1, 2)$ છે,જેમાં અનંત વાસ્તવિક કિંમતો છે.

(A) આપેલ છે $f(n) = 2n^{2} - n - 1$. આપણે $S = \{n \in \mathbb{Z} : |2n^{2} - n - 1| \leq 800\}$ શોધવાનું છે.
આનો અર્થ એ છે કે $-800 \leq 2n^{2} - n - 1 \leq 800$.
$2n^{2} - n - 1 \leq 800 \implies 2n^{2} - n - 801 \leq 0$ ઉકેલતા,$2n^{2} - n - 801 = 0$ ના બીજ $n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 6408}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{6409}}{4}$ મળે છે. $\sqrt{6409} \approx 80.05$ હોવાથી,બીજ $\approx -19.76$ અને $\approx 20.26$ છે.
તેથી,$n \in \{-19, -18, \dots, 20\}$.
વળી,$2n^{2} - n - 1 \geq -800 \implies 2n^{2} - n + 799 \geq 0$. વિવેચક $D = 1 - 4(2)(799) = 1 - 6392 < 0$ હોવાથી,આ તમામ $n \in \mathbb{Z}$ માટે સત્ય છે.
તેથી,$S = \{-19, -18, \dots, 20\}$.
આપણે $\sum_{n=-19}^{20} (2n^{2} - n - 1) = 2 \sum_{n=-19}^{20} n^{2} - \sum_{n=-19}^{20} n - \sum_{n=-19}^{20} 1$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$\sum_{n=-19}^{20} n^{2} = (19^{2} + 18^{2} + \dots + 1^{2}) + 0^{2} + (1^{2} + 2^{2} + \dots + 20^{2}) = 2 \sum_{k=1}^{19} k^{2} + 20^{2} = 2 \frac{19(20)(39)}{6} + 400 = 2(4940) + 400 = 10280$.
$\sum_{n=-19}^{20} n = 20$.
$\sum_{n=-19}^{20} 1 = 40$.
સરવાળો $= 2(10280) - 20 - 40 = 20560 - 60 = 10620$.

(D) સાચો જવાબ $(d)$ છે.
$(a)$ $[x+y] \leq [x] + [y]$: ધારો કે $x = 0.6, y = 0.5$. તો $[0.6+0.5] = [1.1] = 1$,જ્યારે $[0.6] + [0.5] = 0 + 0 = 0$. $1 \not\leq 0$ હોવાથી,આ ખોટું છે.
$(b)$ $[xy] \leq [x][y]$: ધારો કે $x = 1.5, y = 1.6$. તો $[1.5 \times 1.6] = [2.4] = 2$,જ્યારે $[1.5][1.6] = 1 \times 1 = 1$. $2 \not\leq 1$ હોવાથી,આ ખોટું છે.
$(c)$ $[2^x] \leq 2^{[x]}$: ધારો કે $x = 2.5$. તો $[2^{2.5}] = [4\sqrt{2}] \approx [5.65] = 5$,જ્યારે $2^{[2.5]} = 2^2 = 4$. $5 \not\leq 4$ હોવાથી,આ ખોટું છે.
$(d)$ $[x/y] \leq [x]/[y]$: $x, y \geq 1$ માટે,જો $x < y$ હોય,તો $[x/y] = 0$,અને $[x] \geq 1$ અને $[y] \geq 1$ હોવાથી,$[x]/[y] \geq 0$,તેથી $0 \leq [x]/[y]$ સાચું છે. જો $x \geq y$ હોય,તો $x, y \geq 1$ માટે $[x/y] \leq [x]/[y]$ ગુણધર્મ સાચો રહે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $[x]\{x\} = 5$ છે,જ્યાં $x \in [0, 2015]$.
ધારો કે $n = [x]$ અને $f = \{x\}$,જ્યાં $n$ પૂર્ણાંક છે અને $0 \leq f < 1$.
સમીકરણ $n \cdot f = 5$ બને છે,જેનો અર્થ છે $f = \frac{5}{n}$.
$0 \leq f < 1$ હોવાથી,$0 \leq \frac{5}{n} < 1$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $n > 5$.
વળી,$x = n + f = n + \frac{5}{n}$.
$x \leq 2015$ હોવાથી,$n + \frac{5}{n} \leq 2015$.
$n$ પૂર્ણાંક છે અને $n > 5$ હોવાથી,$n$ ની શક્ય કિંમતો $6, 7, \dots, 2014$ છે.
દરેક $n$ માટે,$x = n + \frac{5}{n}$ એ ઉકેલ છે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $2014 - 6 + 1 = 2009$ છે.

(A) આપણને સમીકરણ $x^3-3|x|+2=0$ આપેલ છે. આપણે ધન વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાની છે.
કિસ્સો $I$: $x > 0$
$x > 0$ હોવાથી,$|x| = x$ થાય. સમીકરણ આ મુજબ બને છે:
$x^3 - 3x + 2 = 0$
નિરીક્ષણ દ્વારા,$x = 1$ એક બીજ છે. અવયવ પાડતા:
$(x - 1)^2(x + 2) = 0$
તેથી બીજ $x = 1$ અને $x = -2$ મળે છે.
આપણે $x > 0$ ધાર્યું હોવાથી,માત્ર $x = 1$ એ માન્ય ધન ઉકેલ છે.
કિસ્સો $II$: $x < 0$
$x < 0$ હોવાથી,$|x| = -x$ થાય. સમીકરણ આ મુજબ બને છે:
$x^3 + 3x + 2 = 0$
ધારો કે $f(x) = x^3 + 3x + 2$. $f'(x) = 3x^2 + 3 > 0$ હોવાથી,આ વિધેય સતત વધતું વિધેય છે અને તેનો માત્ર એક જ વાસ્તવિક ઉકેલ છે જે $(-1, 0)$ ની વચ્ચે આવે છે. આ ઉકેલ ઋણ છે.
આમ,સમીકરણનું સમાધાન કરતી માત્ર એક જ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા $x = 1$ છે.

(A) આપેલ છે કે,$f(x) = ax + b$,જ્યાં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંક છે.
આપણને $f(-1) = -5$ અને $f(4) = 3$ આપેલ છે.
વિધેયમાં $x = -1$ મૂકતા:
$f(-1) = a(-1) + b = -5$
$-a + b = -5$ (સમીકરણ $i$)
વિધેયમાં $x = 4$ મૂકતા:
$f(4) = a(4) + b = 3$
$4a + b = 3$ (સમીકરણ $ii$)
જો આપણે $f(3)=3$ લઈએ તો:
$3a + b = 3$ (સમીકરણ $ii$)
સમીકરણ $ii$ માંથી સમીકરણ $i$ બાદ કરતા:
$(3a + b) - (-a + b) = 3 - (-5)$
$4a = 8 \implies a = 2$
$a = 2$ ને સમીકરણ $i$ માં મૂકતા:
$-2 + b = -5 \implies b = -3$
આમ,$a = 2$ અને $b = -3$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $[x]^2-5[x]+6=0$ છે.
ધારો કે $[x] = y$,તો સમીકરણ $y^2-5y+6=0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(y-3)(y-2)=0$.
તેથી,$[x]=2$ અથવા $[x]=3$.
જો $[x]=2$ હોય,તો $2 \le x < 3$,જેનો અર્થ છે $x \in [2, 3)$.
જો $[x]=3$ હોય,તો $3 \le x < 4$,જેનો અર્થ છે $x \in [3, 4)$.
આ બંને અંતરાલોને જોડતા,આપણને $x \in [2, 3) \cup [3, 4) = [2, 4)$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) વિધેય $f(x)$ અયુગ્મ છે જો $f(-x) = -f(x)$ થાય.
$I. f(x) = x \left( \frac{e^x-1}{e^x+1} \right)$
$f(-x) = (-x) \left( \frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1} \right) = (-x) \left( \frac{\frac{1}{e^x}-1}{\frac{1}{e^x}+1} \right) = (-x) \left( \frac{1-e^x}{1+e^x} \right) = x \left( \frac{e^x-1}{e^x+1} \right) = f(x)$.
તેથી $f(-x) = f(x)$,એટલે કે $I$ યુગ્મ વિધેય છે.
$II. f(x) = k^x + k^{-x} + \cos x$
$f(-x) = k^{-x} + k^x + \cos(-x) = k^{-x} + k^x + \cos x = f(x)$.
તેથી $f(-x) = f(x)$,એટલે કે $II$ યુગ્મ વિધેય છે.
$III. f(x) = \log \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$
$f(-x) = \log \left(-x+\sqrt{(-x)^2+1}\right) = \log \left(\sqrt{x^2+1}-x\right)$
અંશ અને છેદને $\sqrt{x^2+1}+x$ વડે ગુણતા:
$f(-x) = \log \left( \frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x} \right) = \log \left( \frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x} \right) = \log \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} \right)$
$f(-x) = \log \left( (x+\sqrt{x^2+1})^{-1} \right) = -\log \left( x+\sqrt{x^2+1} \right) = -f(x)$.
તેથી $f(-x) = -f(x)$,એટલે કે $III$ અયુગ્મ વિધેય છે.
આમ,માત્ર $III$ અયુગ્મ વિધેય છે.

(C) વિધેય $f(x) = \sin x - \cos x$ યુગ્મ છે કે અયુગ્મ તે નક્કી કરવા માટે,આપણે $f(-x)$ ની કિંમત શોધીએ:
$f(-x) = \sin(-x) - \cos(-x)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(-x) = -\sin x$ અને $\cos(-x) = \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(-x) = -\sin x - \cos x$
$f(-x) = -(\sin x + \cos x)$
અહીં $f(-x) \neq f(x)$ અને $f(-x) \neq -f(x)$ હોવાથી,આ વિધેય યુગ્મ પણ નથી અને અયુગ્મ પણ નથી.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) વિધાન $(A)$: $\coth x = \frac{1-k}{1+k}$
$\Rightarrow \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} = \frac{1-k}{1+k}$
યોગ-વિયોગ પ્રમાણ (Componendo and Dividendo) લેતા:
$\frac{(e^x + e^{-x}) + (e^x - e^{-x})}{(e^x + e^{-x}) - (e^x - e^{-x})} = \frac{(1-k) + (1+k)}{(1-k) - (1+k)}$
$\Rightarrow \frac{2e^x}{2e^{-x}} = \frac{2}{-2k}$
$\Rightarrow e^{2x} = -\frac{1}{k}$
$e^{2x} > 0$ હોવાથી અને $0 < k < 2$ માટે $-\frac{1}{k} < 0$ હોવાથી,આ સમીકરણનો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી. તેથી,વિધાન ખોટું છે.
કારણ $(R)$: વિધેય $y = \tanh x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ છે. જેમ $x \to \infty$,$y \to 1$ અને જેમ $x \to -\infty$,$y \to -1$. આલેખ $y = -1$ અને $y = 1$ ની વચ્ચે રહે છે. તેથી,કારણ સાચું છે.

(C) આપેલ છે કે,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+2 \sqrt{2x-4}}} + \frac{1}{\sqrt{x-2 \sqrt{2x-4}}}$
$x = 11$ મુકતા:
$f(11) = \frac{1}{\sqrt{11+2 \sqrt{18}}} + \frac{1}{\sqrt{11-2 \sqrt{18}}}$
$f(11) = \frac{1}{\sqrt{11+6 \sqrt{2}}} + \frac{1}{\sqrt{11-6 \sqrt{2}}}$
અહીં $11+6 \sqrt{2} = (3+\sqrt{2})^2$ અને $11-6 \sqrt{2} = (3-\sqrt{2})^2$ થાય છે,
તેથી $f(11) = \frac{1}{3+\sqrt{2}} + \frac{1}{3-\sqrt{2}}$
$f(11) = \frac{3-\sqrt{2} + 3+\sqrt{2}}{9-2} = \frac{6}{7}$

(C) વિધેયને $f(x) = \frac{|x-a|}{x-a}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું છે.
માનાંક વિધેયની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$f(x) = \begin{cases} 1, & \text{જો } x > a \\ -1, & \text{જો } x < a \end{cases}$
$x = a$ આગળ વિધેય અવ્યાખ્યાયિત છે કારણ કે છેદ શૂન્ય થઈ જાય છે.
ડાબી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to a^-} f(x) = -1$ અને જમણી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to a^+} f(x) = 1$ સમાન ન હોવાથી,$x = a$ આગળ લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી.
જ્યારે $x > a$ હોય,ત્યારે $f(x) = 1$,જે એક અચળ વિધેય છે.
આમ,સાચું વિધાન એ છે કે જ્યારે $x > a$ હોય ત્યારે તે અચળ વિધેય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $6^{x}+8^{x}=10^{x}$
બંને બાજુ $10^{x}$ વડે ભાગતા:
$\left(\frac{6}{10}\right)^{x}+\left(\frac{8}{10}\right)^{x}=1$
$\left(\frac{3}{5}\right)^{x}+\left(\frac{4}{5}\right)^{x}=1$
ધારો કે $f(x) = \left(\frac{3}{5}\right)^{x}+\left(\frac{4}{5}\right)^{x}$.
અહીં $\frac{3}{5} < 1$ અને $\frac{4}{5} < 1$ હોવાથી,બંને વિધેયો $\left(\frac{3}{5}\right)^{x}$ અને $\left(\frac{4}{5}\right)^{x}$ એ ચુસ્ત ઘટતા વિધેયો છે.
તેથી,તેમનો સરવાળો $f(x)$ પણ એક ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે.
ચુસ્ત ઘટતું વિધેય વધુમાં વધુ એક વાર $1$ કિંમત ધારણ કરી શકે.
અવલોકન કરતા,$x=2$ માટે,$\left(\frac{3}{5}\right)^{2}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2} = \frac{9}{25}+\frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1$.
આમ,$x=2$ એ અનન્ય ઉકેલ છે.
તેથી,સમીકરણને બરાબર એક વાસ્તવિક ઉકેલ છે.

(B) તફાવત $g(n) - f(n) = 1 + (n+1)2^n - 2^{n+1}$ ધ્યાનમાં લો.
$2^{n+1} = 2 \cdot 2^n$ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$g(n) - f(n) = 1 + (n+1)2^n - 2 \cdot 2^n$
$g(n) - f(n) = 1 + (n+1-2)2^n$
$g(n) - f(n) = 1 + (n-1)2^n$.
બધા $n \in N$ માટે,$n \geq 1$,જેનો અર્થ છે કે $(n-1) \geq 0$.
$2^n > 0$ હોવાથી,પદ $(n-1)2^n \geq 0$ છે.
તેથી,$1 + (n-1)2^n > 0$,જેનો અર્થ છે કે $g(n) - f(n) > 0$ અથવા $g(n) > f(n)$.

(A) ધારો કે $f(x) = x^{2}-1$ અને $g(x) = \cos x$.
આપણે $x^{2}-1 = \cos x$ સમીકરણના ઉકેલોની સંખ્યા શોધી રહ્યા છીએ.
બંને વિધેયોનું અવલોકન કરો:
$1$. વિધેય $f(x) = x^{2}-1$ એ ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય છે જેનું શિરોબિંદુ $(0, -1)$ પર છે.
$2$. વિધેય $g(x) = \cos x$ એ $-1$ અને $1$ ની વચ્ચે દોલન કરતું આવર્તક તરંગ છે.
$x = 0$ પર,$f(0) = -1$ અને $g(0) = 1$.
આલેખનું અવલોકન કરતા,પરવલય $x^{2}-1$ એ $\cos x$ ના વક્રને ચોક્કસ બે બિંદુઓ પર છેદે છે.

(C) વિધેય $f(x)$ યુગ્મ છે જો $f(-x) = f(x)$ થાય.
ચાલો વિકલ્પ $C$ તપાસીએ: $f(x) = x \cdot \frac{a^x - 1}{a^x + 1}$.
$f(-x) = (-x) \cdot \frac{a^{-x} - 1}{a^{-x} + 1}$
$f(-x) = (-x) \cdot \frac{\frac{1}{a^x} - 1}{\frac{1}{a^x} + 1}$
$f(-x) = (-x) \cdot \frac{\frac{1 - a^x}{a^x}}{\frac{1 + a^x}{a^x}}$
$f(-x) = (-x) \cdot \frac{-(a^x - 1)}{a^x + 1}$
$f(-x) = x \cdot \frac{a^x - 1}{a^x + 1} = f(x)$.
આમ,$f(-x) = f(x)$ હોવાથી,વિકલ્પ $C$ માં આપેલ વિધેય યુગ્મ વિધેય છે.