Cartesian Products of Sets Questions in Gujarati

(A) ગણનો કાર્તેઝિયન ગુણાકાર એ ગણના યોગગણ પર વિભાજનનો નિયમ ધરાવે છે.
યોગગણ પર કાર્તેઝિયન ગુણાકારના વિભાજનના ગુણધર્મ મુજબ:
$A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ ગણ $A = \{ 2, 4, 5 \}$ અને $B = \{ 7, 8, 9 \}$ છે.
ગણ $A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A) = 3$ છે.
ગણ $B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(B) = 3$ છે.
કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times B$ માં ઘટકોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $n(A \times B) = n(A) \times n(B)$ છે.
તેથી,$n(A \times B) = 3 \times 3 = 9$ થાય.

(C) બે ગણ $A$ અને $B$ નો કાર્તેઝિયન ગુણાકાર,જેને $A \times B$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે તમામ ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(a, b)$ નો ગણ છે જ્યાં $a \in A$ અને $b \in B$ હોય.
જો ગણ $A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A) = p$ હોય અને ગણ $B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(B) = q$ હોય,તો કાર્તેઝિયન ગુણાકાર $A \times B$ માં ઘટકોની સંખ્યા નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$n(A \times B) = n(A) \times n(B) = p \times q = pq$.

(C) આપેલ ગણ $A = \{a, b\}$,$B = \{c, d\}$,અને $C = \{d, e\}$ છે.
પ્રથમ,ગણ $B$ અને $C$ નો યોગગણ શોધો:
$B \cup C = \{c, d\} \cup \{d, e\} = \{c, d, e\}$.
હવે,કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times (B \cup C)$ શોધો:
$A \times (B \cup C) = \{a, b\} \times \{c, d, e\} = \{(a, c), (a, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e)\}$.
આમ,આપેલ ગણ $A \times (B \cup C)$ બરાબર છે.

(C) બે ગણ $A$ અને $B$ નો કાર્તેઝિયન ગુણાકાર $A \times B = \{(a, b) : a \in A, b \in B\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
સામાન્ય રીતે,$A \times B \neq B \times A$,સિવાય કે ગણ સમાન હોય અથવા તેમાંથી કોઈ એક ખાલી ગણ હોય.
ચોક્કસ રીતે,$A \times B = B \times A$ ત્યારે અને તો જ થાય જો $A = B$ હોય (ધારી લઈએ કે $A, B \neq \emptyset$).
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \{1, 2, 4\}, B = \{2, 4, 5\}, C = \{2, 5\}$.
પ્રથમ,$A - B$ ની ગણતરી કરો:
$A - B = \{x : x \in A \text{ અને } x \notin B\} = \{1\}$.
ત્યારબાદ,$B - C$ ની ગણતરી કરો:
$B - C = \{x : x \in B \text{ અને } x \notin C\} = \{4\}$.
અંતે,કાર્તેઝિયન ગુણાકાર $(A - B) \times (B - C)$ નીચે મુજબ છે:
$\{1\} \times \{4\} = \{(1, 4)\}$.

(A) આપેલ છે કે $(1, 3), (2, 5), (3, 3) \in A \times B$.
આ ક્રમયુક્ત જોડો પરથી,ગણ $A$ ના ઘટકો પ્રથમ ઘટકો છે: $A = \{1, 2, 3\}$.
ગણ $B$ ના ઘટકો બીજા ઘટકો છે: $B = \{3, 5\}$.
$A \times B$ માં કુલ ઘટકોની સંખ્યા $n(A) \times n(B) = 3 \times 2 = 6$ છે.
સંપૂર્ણ ગણ $A \times B = \{(1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (3, 3), (3, 5)\}$ છે.
આપણને ત્રણ ઘટકો આપેલા છે: $(1, 3), (2, 5), (3, 3)$.
બાકીના ઘટકો $\{(1, 5), (2, 3), (3, 5)\}$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \{1, 2, 3\}$ અને $B = \{3, 8\}$.
પ્રથમ,ગણ $A$ અને $B$ નો યોગગણ શોધો: $A \cup B = \{1, 2, 3, 8\}$.
ત્યારબાદ,ગણ $A$ અને $B$ નો છેદગણ શોધો: $A \cap B = \{3\}$.
હવે,કાર્તેઝીય ગુણાકાર $(A \cup B) \times (A \cap B)$ શોધો:
$(A \cup B) \times (A \cap B) = \{1, 2, 3, 8\} \times \{3\} = \{(1, 3), (2, 3), (3, 3), (8, 3)\}$.

(C) આપેલ ગણ $A = \{2, 3, 5\}$ અને $B = \{2, 5, 6\}$ છે.
પ્રથમ,તફાવત ગણ $(A - B)$ શોધો:
$A - B = \{x : x \in A \text{ અને } x \notin B\} = \{3\}$.
ત્યારબાદ,છેદગણ $(A \cap B)$ શોધો:
$A \cap B = \{x : x \in A \text{ અને } x \in B\} = \{2, 5\}$.
અંતે,કાર્તેઝીય ગુણાકાર $(A - B) \times (A \cap B)$ શોધો:
$(A - B) \times (A \cap B) = \{3\} \times \{2, 5\} = \{(3, 2), (3, 5)\}$.

(C) બે ગણ $A$ અને $B$ નો કાર્તેઝિયન ગુણાકાર,જેને $A \times B$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે તમામ ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(x, y)$ નો ગણ છે જ્યાં $x \in A$ અને $y \in B$ હોય.
આપેલ છે કે $A = \{1, 2, 3, 4\}$ અને $B = \{a, b\}$.
તેથી,$A \times B = \{(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b)\}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) $A \times B$ અને $B \times A$ માં સામાન્ય ઘટકોની સંખ્યા $n((A \times B) \cap (B \times A))$ દ્વારા મળે છે.
કાર્તેઝીય ગુણાકારના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A)$.
તેથી,$n((A \times B) \cap (B \times A)) = n((A \cap B) \times (A \cap B)) = n(A \cap B) \times n(A \cap B)$.
આપેલ છે કે $n(A \cap B) = 99$,તેથી $99 \times 99 = 99^2$.

(C) વ્યાખ્યા મુજબ,ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરનો સંબંધ $R$ એ કાર્તેઝિયન ગુણાકાર $A \times B$ નો ઉપગણ છે.
તેથી,$R \subseteq A \times B$.
આમ,$R$ એ $A \times B$ નો ઉપગણ છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $A \times B$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,ગણ $A$ ના ઘટકો શોધવા માટે સમીકરણ $x^2 - 5x + 6 = 0$ ઉકેલીએ.
$x^2 - 2x - 3x + 6 = 0 \implies x(x - 2) - 3(x - 2) = 0 \implies (x - 2)(x - 3) = 0$.
તેથી,$A = \{2, 3\}$.
આપેલ છે કે $B = \{2, 4\}$ અને $C = \{4, 5\}$,તેથી છેદગણ $B \cap C$ એ સામાન્ય ઘટકોનો ગણ છે.
$B \cap C = \{4\}$.
હવે,કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times (B \cap C) = \{2, 3\} \times \{4\}$ શોધીએ.
$A \times (B \cap C) = \{(2, 4), (3, 4)\}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) બે કાર્તેઝિયન ગુણાકારનો છેદગણ $(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ અને $B = \{2, 3, 6, 7\}$.
ગણનો છેદગણ $A \cap B = \{2, 3\}$ છે.
તેથી,$(A \cap B) \times (B \cap A) = \{2, 3\} \times \{2, 3\} = \{(2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)\}$.
આ ગણમાં ઘટકોની સંખ્યા $2 \times 2 = 4$ છે.

(B) ધારો કે $n(A) = 4$ અને $n(B) = 2$.
તો $A \times B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A \times B) = 4 \times 2 = 8$ છે.
$A \times B$ ના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^8 = 256$ છે.
આપણે ઓછામાં ઓછા $3$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા શોધવાની છે.
આ કુલ ઉપગણોમાંથી $0, 1,$ અથવા $2$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા બાદ કરવાથી મળે છે.
$0$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા = $\binom{8}{0} = 1$.
$1$ ઘટક ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા = $\binom{8}{1} = 8$.
$2$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા = $\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$.
$3$ થી ઓછા ઘટકો ધરાવતા કુલ ઉપગણોની સંખ્યા = $1 + 8 + 28 = 37$.
તેથી,ઓછામાં ઓછા $3$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા = $256 - 37 = 219$.

(B) ગણનો કાર્તેઝિયન ગુણાકાર એ ગણના છેદ પર વિભાજનનો ગુણધર્મ ધરાવે છે.
તેથી,$A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C).$
આને કાર્તેઝિયન ગુણાકારનો છેદ પર વિભાજનનો નિયમ કહેવામાં આવે છે.

(D) બે ગણ $A$ અને $B$ ના કાર્તેઝિયન ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,$A \times B = \{(a, b) : a \in A, b \in B\}$.
અહીં $A = \{0, 1\}$ અને $B = \{1, 0\}$ આપેલ છે.
$A$ ના દરેક ઘટકને $B$ ના દરેક ઘટક સાથે જોડતા:
$a = 0$ માટે: $(0, 1)$ અને $(0, 0)$.
$a = 1$ માટે: $(1, 1)$ અને $(1, 0)$.
તેથી,$A \times B = \{(0, 1), (0, 0), (1, 1), (1, 0)\}$.

(C) બે ગણ $A$ અને $B$ ના કાર્તેઝીય ગુણાકારમાં ઘટકોની સંખ્યા એ દરેક ગણમાં રહેલા ઘટકોના ગુણાકાર જેટલી હોય છે.
અહીં $n(A) = p$ અને $n(B) = q$ આપેલ છે.
તેથી,$n(A \times B) = n(A) \times n(B) = p \times q = pq$.

(C) આપેલ ગણ $A = \{a, b\}$,$B = \{c, d\}$,અને $C = \{d, e\}$ છે.
પ્રથમ,$B$ અને $C$ નો યોગગણ શોધો:
$B \cup C = \{c, d\} \cup \{d, e\} = \{c, d, e\}$.
હવે,$A$ અને $(B \cup C)$ નો કાર્તેઝીય ગુણાકાર શોધો:
$A \times (B \cup C) = \{a, b\} \times \{c, d, e\} = \{(a, c), (a, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e)\}$.
આમ,આપેલ ગણ $A \times (B \cup C)$ બરાબર છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \{x : x^2 - 5x + 6 = 0\}$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 5x + 6 = 0$ ઉકેલતા,આપણને $(x - 2)(x - 3) = 0$ મળે છે,તેથી $A = \{2, 3\}$.
આપેલ છે કે $B = \{2, 4\}$ અને $C = \{4, 5\}$.
છેદગણ $B \cap C$ એ સામાન્ય ઘટકોનો ગણ છે,તેથી $B \cap C = \{4\}$.
હવે,કાર્તેઝિયન ગુણાકાર $A \times (B \cap C) = \{2, 3\} \times \{4\}$.
આનાથી ક્રમયુક્ત જોડીઓનો ગણ $\{(2, 4), (3, 4)\}$ મળે છે.

(A) આપેલ ગણ $A = \{2, 3, 5\}$ અને $B = \{2, 5, 6\}$ છે.
પ્રથમ,તફાવત ગણ $(A - B)$ શોધો:
$A - B$ માં એવા ઘટકો છે જે $A$ માં છે પણ $B$ માં નથી.
$A - B = \{3\}$.
ત્યારબાદ,છેદ ગણ $(A \cap B)$ શોધો:
$A \cap B$ માં $A$ અને $B$ બંનેમાં સામાન્ય ઘટકો છે.
$A \cap B = \{2, 5\}$.
છેલ્લે,કાર્તેઝિયન ગુણાકાર $(A - B) \times (A \cap B)$ ગણો:
$(A - B) \times (A \cap B) = \{3\} \times \{2, 5\} = \{(3, 2), (3, 5)\}$.

(C) વ્યાખ્યા મુજબ,ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરનો સંબંધ $R$ એ કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times B$ નો ઉપગણ છે.
અહીં $A = \{a, b, c\}$ અને $B = \{1, 2\}$ હોવાથી,કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times B$ એ તમામ ક્રમયુક્ત જોડ $(x, y)$ નો ગણ છે જ્યાં $x \in A$ અને $y \in B$ થાય.
તેથી,$A \times B = \{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\}$.
ગણ $A$ થી $B$ પરનો કોઈપણ સંબંધ $R$ એ $R \subseteq A \times B$ ની શરતનું પાલન કરે છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ગણ $A, B, C$ માટે,કાર્તેઝિયન ગુણાકારનો છેદ નીચે મુજબ મળે છે: $(A \times B) \cap (B \times C) = (A \cap B) \times (B \cap C)$.
આપેલ છે કે $n(A \cap B) = 2$ અને $n(B \cap C) = 2$.
તેથી,છેદમાં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા $n((A \cap B) \times (B \cap C)) = n(A \cap B) \times n(B \cap C)$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,આપણને $2 \times 2 = 4$ મળે છે.
આમ,$n((A \times B) \cap (B \times C)) = 4$.

(C) આપેલ છે કે $n(A) = 3$ અને $n(B) = 3$,તેથી કાર્તેઝિયન ગુણાકાર $A \times B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A \times B) = n(A) \times n(B) = 3 \times 3 = 9$ થાય.
$m$ ઘટકો ધરાવતા ગણના એકી સંખ્યામાં ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા $\sum_{k \text{ is odd}} \binom{m}{k} = \binom{m}{1} + \binom{m}{3} + \dots + \binom{m}{m}$ દ્વારા મળે છે.
$m = 9$ માટે,આ સરવાળો $\binom{9}{1} + \binom{9}{3} + \binom{9}{5} + \binom{9}{7} + \binom{9}{9}$ થાય.
નિત્યસમ $\sum_{k \text{ is odd}} \binom{m}{k} = 2^{m-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $2^{9-1} = 2^8 = 256$ મળે છે.

(C) ગણ $A$ માં $1$ થી $100$ સુધીના ઘટકો છે,તેથી $n(A) = 100$.
ગણ $B$ માં $51$ થી $180$ સુધીના ઘટકો છે,તેથી $n(B) = 180 - 51 + 1 = 130$.
છેદગણ $A \cap B$ માં $51$ થી $100$ સુધીના ઘટકો છે,તેથી $n(A \cap B) = 100 - 51 + 1 = 50$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A)$.
તેથી,ઘટકોની સંખ્યા $n((A \cap B) \times (B \cap A)) = n(A \cap B) \times n(B \cap A)$ થશે.
$n(A \cap B) = 50$ હોવાથી,$50 \times 50 = 2500$ મળે.

(A) આપેલ ક્રમયુક્ત જોડ સમાન હોવાથી,તેમના અનુરૂપ ઘટકો સમાન થાય.
તેથી,આપણને મળે:
$x + 1 = 3 \implies x = 3 - 1 = 2$
અને,
$y - 2 = 1 \implies y = 1 + 2 = 3$
આમ,$x = 2$ અને $y = 3$ મળે છે.

(B) કાર્તેઝીય ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ:
$P \times Q = \{(a, r), (b, r), (c, r)\}$
$Q \times P = \{(r, a), (r, b), (r, c)\}$
ક્રમયુક્ત જોડની સમાનતાની વ્યાખ્યા મુજબ,જોડ $(a, r)$ એ જોડ $(r, a)$ ને સમાન નથી,તેથી આપણે કહી શકીએ કે $P \times Q \neq Q \times P$.
જોકે,દરેક ગણમાં ઘટકોની સંખ્યા સમાન છે.

(A) સૌ પ્રથમ,ગણ $B$ અને $C$ નો છેદગણ શોધો:
$B \cap C = \{3, 4\} \cap \{4, 5, 6\} = \{4\}$.
હવે,ગણ $A$ અને મળેલા ગણ $\{4\}$ નો કાર્તેઝિયન ગુણાકાર શોધો:
$A \times (B \cap C) = \{1, 2, 3\} \times \{4\} = \{(1, 4), (2, 4), (3, 4)\}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $(A \times B) \cap (A \times C) = A \times (B \cap C)$.
પ્રથમ,ગણ $B$ અને $C$ નો છેદગણ શોધો:
$B \cap C = \{3, 4\} \cap \{4, 5, 6\} = \{4\}$.
હવે,કાર્તેઝિયન ગુણાકાર $A \times (B \cap C)$ શોધો:
$A \times \{4\} = \{(1, 4), (2, 4), (3, 4)\}$.
આમ,$(A \times B) \cap (A \times C) = \{(1, 4), (2, 4), (3, 4)\}$.

(A) સૌ પ્રથમ,ગણ $B$ અને $C$ નો યોગગણ શોધો:
$(B \cup C) = \{3, 4\} \cup \{4, 5, 6\} = \{3, 4, 5, 6\}$.
હવે,કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times (B \cup C)$ શોધો:
$A \times (B \cup C) = \{1, 2, 3\} \times \{3, 4, 5, 6\} = \{(1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)\}$.

(D) પ્રથમ,આપણે કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times B$ અને $A \times C$ શોધીએ:
$A \times B = \{(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)\}$
$A \times C = \{(1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6)\}$
હવે,બંને ગણમાંથી તમામ અનન્ય ક્રમયુક્ત જોડીઓને જોડીને આપણે યોગગણ $(A \times B) \cup (A \times C)$ શોધીએ:
$(A \times B) \cup (A \times C) = \{(1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)\}$

(N/A) આપેલ છે કે $P = \{1, 2\}$.
$P \times P \times P$ કાર્તેઝીય ગુણાકાર શોધવા માટે,આપણે તમામ શક્ય ક્રમિત ત્રિપુટીઓ $(a, b, c)$ શોધીએ છીએ જ્યાં $a, b, c \in P$.
$P \times P \times P = \{(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)\}$.

(B) કાર્તેઝિયન ગુણાકાર $R \times R$ ને $R \times R = \{(x, y) : x, y \in R \}$ ગણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ ગણ દ્વિ-પરિમાણીય સમતલના તમામ બિંદુઓના યામ દર્શાવે છે.
કાર્તેઝિયન ગુણાકાર $R \times R \times R$ ને $R \times R \times R = \{(x, y, z) : x, y, z \in R \}$ ગણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ ગણ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશના તમામ બિંદુઓના યામ દર્શાવે છે.

(A) કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times B$ એ તમામ ક્રમયુક્ત જોડો $(a, b)$ નો ગણ છે જ્યાં $a \in A$ અને $b \in B$ હોય.
આપેલ છે કે $A \times B = \{(p, q), (p, r), (m, q), (m, r)\}$.
$A$ એ $A \times B$ માં રહેલી ક્રમયુક્ત જોડોના પ્રથમ ઘટકોનો ગણ છે.
તેથી,$A = \{p, m\}$.
$B$ એ $A \times B$ માં રહેલી ક્રમયુક્ત જોડોના બીજા ઘટકોનો ગણ છે.
તેથી,$B = \{q, r\}$.

(A) આપેલ છે કે $\left(\frac{x}{3}+1, y-\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{5}{3}, \frac{1}{3}\right)$.
ક્રમયુક્ત જોડીઓ સમાન હોવાથી,તેમના અનુરૂપ ઘટકો પણ સમાન હશે.
પ્રથમ ઘટકોને સરખાવતા: $\frac{x}{3}+1=\frac{5}{3}$
$\Rightarrow \frac{x}{3}=\frac{5}{3}-1$
$\Rightarrow \frac{x}{3}=\frac{2}{3}$
$\Rightarrow x=2$
બીજા ઘટકોને સરખાવતા: $y-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$
$\Rightarrow y=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}$
$\Rightarrow y=\frac{3}{3}$
$\Rightarrow y=1$
તેથી,$x=2$ અને $y=1$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે ગણ $A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A) = 3$ છે.
ગણ $B = \{3, 4, 5\}$ આપેલ છે,તેથી ગણ $B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(B) = 3$ છે.
કાર્તેઝીય ગુણાકાર $(A \times B)$ માં ઘટકોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $n(A \times B) = n(A) \times n(B)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $n(A \times B) = 3 \times 3 = 9$ મળે છે.
આમ,$(A \times B)$ માં ઘટકોની સંખ્યા $9$ છે.

(A) આપેલ છે કે $G = \{7, 8\}$ અને $H = \{5, 4, 2\}$.
બે અરિક્ત ગણો $P$ અને $Q$ નો કાર્તેઝીય ગુણાકાર $P \times Q$ એ તમામ ક્રમયુક્ત જોડો $(p, q)$ નો ગણ છે જ્યાં $p \in P$ અને $q \in Q$.
તેથી,$G \times H = \{(7, 5), (7, 4), (7, 2), (8, 5), (8, 4), (8, 2)\}$.
તે જ રીતે,$H \times G = \{(5, 7), (5, 8), (4, 7), (4, 8), (2, 7), (2, 8)\}$.

(N/A) અસત્ય.
કાર્તેઝીય ગુણાકાર $P \times Q$ એ તમામ ક્રમયુક્ત જોડો $(p, q)$ નો ગણ છે જ્યાં $p \in P$ અને $q \in Q$ હોય.
આપેલ $P = \{m, n\}$ અને $Q = \{n, m\}$ માટે,કાર્તેઝીય ગુણાકાર નીચે મુજબ છે:
$P \times Q = \{(m, n), (m, m), (n, n), (n, m)\}$.

(A) આ વિધાન સત્ય છે.
બે ગણ $A$ અને $B$ ના કાર્તેઝીય ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,$A \times B = \{(x, y) : x \in A \text{ અને } y \in B\}$. જો $A$ અને $B$ અરિક્ત હોય,તો ઓછામાં ઓછો એક ઘટક $a \in A$ અને $b \in B$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,જેનો અર્થ છે કે $(a, b) \in A \times B$. આમ,$A \times B$ એ અરિક્ત ગણ છે.

(B) આ વિધાન અસત્ય છે.
પગલું $1$: છેદગણ $B \cap \varnothing$ ની કિંમત શોધો. કોઈપણ ગણનો ખાલી ગણ સાથેનો છેદગણ ખાલી ગણ જ હોય,તેથી $B \cap \varnothing = \varnothing$.
પગલું $2$: આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $A \times \{B \cap \varnothing\} = A \times \{\varnothing\}$.
પગલું $3$: કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times \{\varnothing\}$ એ તમામ ક્રમયુક્ત જોડ $(a, b)$ નો ગણ છે જ્યાં $a \in A$ અને $b \in \{\varnothing\}$. આથી પરિણામ $\{(1, \varnothing), (2, \varnothing)\}$ મળે.
સુધારેલું વિધાન: જો $A = \{1, 2\}$ અને $B = \{3, 4\}$ હોય,તો $A \times \{B \cap \varnothing\} = \{(1, \varnothing), (2, \varnothing)\}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ અરિક્ત ગણ $A$ માટે,કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times A \times A$ એ $(a, b, c)$ સ્વરૂપની તમામ ક્રમયુક્ત ત્રિપુટીઓનો ગણ છે જ્યાં $a, b, c \in A$.
અહીં $A = \{-1, 1\}$ આપેલ છે.
તેથી,$A \times A \times A = \{(a, b, c) : a, b, c \in \{-1, 1\} \}$.
$A$ ના ઘટકોના તમામ શક્ય સંયોજનો લેતા,આપણને મળે છે:
$A \times A \times A = \{(-1, -1, -1), (-1, -1, 1), (-1, 1, -1), (-1, 1, 1), (1, -1, -1), (1, -1, 1), (1, 1, -1), (1, 1, 1)\}$.

(A) આપેલ છે કે $A \times B = \{(a, x), (a, y), (b, x), (b, y)\}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બે અરિક્ત ગણો $A$ અને $B$ નો કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times B = \{(p, q) : p \in A, q \in B\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
તેથી,$A$ એ $A \times B$ માંના ક્રમયુક્ત જોડના તમામ પ્રથમ ઘટકોનો ગણ છે અને $B$ એ તમામ બીજા ઘટકોનો ગણ છે.
આમ,$A = \{a, b\}$ અને $B = \{x, y\}$.

(N/A) ચકાસવા માટે: $A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$.
પ્રથમ,ગણ $B$ અને $C$ નો છેદગણ શોધો:
$B \cap C = \{1, 2, 3, 4\} \cap \{5, 6\} = \varnothing$.
હવે,ડાબી બાજુ $(L.H.S.)$ ની ગણતરી કરો:
$L.H.S. = A \times (B \cap C) = \{1, 2\} \times \varnothing = \varnothing$.
ત્યારબાદ,જમણી બાજુ $(R.H.S.)$ ની ગણતરી કરો:
$A \times B = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)\}$.
$A \times C = \{(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)\}$.
$R.H.S. = (A \times B) \cap (A \times C) = \varnothing$.
આમ,$L.H.S. = R.H.S. = \varnothing$ હોવાથી,નિત્યસમ $A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$ સાબિત થાય છે.

(N/A) ચકાસણી: $A \times C$ એ $B \times D$ નો ઉપગણ છે.
પ્રથમ,કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times C$ શોધો:
$A \times C = \{(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)\}$.
ત્યારબાદ,કાર્તેઝીય ગુણાકાર $B \times D$ શોધો:
$B \times D = \{(1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)\}$.
આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $A \times C$ ના દરેક ઘટક $B \times D$ માં હાજર છે.
તેથી,$A \times C \subset B \times D$ સાબિત થાય છે.

આપેલ છે કે $A = \{1, 2\}$ અને $B = \{3, 4\}$.
$A \times B = \{(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)\}$.
$A \times B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A \times B) = 4$ છે.
$m$ ઘટકો ધરાવતા ગણના ઉપગણોની સંખ્યા $2^m$ હોય છે.
તેથી,$A \times B$ ના ઉપગણોની સંખ્યા $2^4 = 16$ છે.
આ ઉપગણો નીચે મુજબ છે:
$\varnothing, \{(1, 3)\}, \{(1, 4)\}, \{(2, 3)\}, \{(2, 4)\}, \{(1, 3), (1, 4)\}, \{(1, 3), (2, 3)\}, \{(1, 3), (2, 4)\}, \{(1, 4), (2, 3)\}, \{(1, 4), (2, 4)\}, \{(2, 3), (2, 4)\}, \{(1, 3), (1, 4), (2, 3)\}, \{(1, 3), (1, 4), (2, 4)\}, \{(1, 3), (2, 3), (2, 4)\}, \{(1, 4), (2, 3), (2, 4)\}, \{(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)\}$.

(A) આપેલ છે કે $n(A) = 3$ અને $n(B) = 2$.
કારણ કે $(x, 1), (y, 2), (z, 1) \in A \times B$,આ ક્રમયુક્ત જોડીઓના પ્રથમ ઘટકો ગણ $A$ માં અને બીજા ઘટકો ગણ $B$ માં હોવા જોઈએ.
આમ,$A = \{x, y, z\}$ અને $B = \{1, 2\}$.
$n(A) = 3$ અને $n(B) = 2$ હોવાથી,આ ગણ આપેલી શરતોનું પાલન કરે છે.
તેથી,$A = \{x, y, z\}$ અને $B = \{1, 2\}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે જો $n(A) = p$ હોય,તો $n(A \times A) = p^2$ થાય.
આપેલ છે કે $n(A \times A) = 9,$ તેથી $p^2 = 9,$ જેનો અર્થ છે કે $n(A) = 3.$
$A \times A$ ના ઘટકો $(a, b)$ સ્વરૂપના છે જ્યાં $a, b \in A.$
કારણ કે $(-1, 0) \in A \times A,$ તેથી $-1 \in A$ અને $0 \in A.$
કારણ કે $(0, 1) \in A \times A,$ તેથી $0 \in A$ અને $1 \in A.$
આમ,ગણ $A = \{-1, 0, 1\}.$
ગણ $A \times A$ માં $3 \times 3 = 9$ ઘટકો છે:
$A \times A = \{(-1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (1, -1), (1, 0), (1, 1)\}.$
આપેલ ઘટકો $(-1, 0)$ અને $(0, 1)$ છે.
બાકીના ઘટકો $(-1, -1), (-1, 1), (0, -1), (0, 0), (1, -1), (1, 0), (1, 1)$ છે.

(C) આપેલ છે કે $n(A)=4$ અને $n(B)=2$.
કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A \times B) = n(A) \times n(B) = 4 \times 2 = 8$ છે.
આપણે $A \times B$ ના ઓછામાં ઓછા $3$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા શોધવાની છે.
$8$ ઘટકો ધરાવતા ગણના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^8 = 256$ છે.
$0, 1,$ અથવા $2$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા $\binom{8}{0} + \binom{8}{1} + \binom{8}{2}$ દ્વારા મળે છે.
$\binom{8}{0} = 1$,$\binom{8}{1} = 8$,અને $\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$.
આ ઉપગણોનો સરવાળો $= 1 + 8 + 28 = 37$.
ઓછામાં ઓછા $3$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા $= 2^8 - (\binom{8}{0} + \binom{8}{1} + \binom{8}{2}) = 256 - 37 = 219$.

(C) $A \cap B = \{4\}$
$A \cup B = \{2, 3, 4, 5\}$
તેથી,કાર્તેઝિયન ગુણાકાર:
$(A \cap B) \times (A \cup B) = \{4\} \times \{2, 3, 4, 5\}$
$= \{(4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5)\}$

(A) આપેલ છે,$n(A)=p, n(B)=q$ અને $n(A \times B)=7$.
કારણ કે,$n(A \times B)=n(A) \times n(B)$,તેથી $p \times q = 7$.
$p$ અને $q$ એ ગણના ઘટકોની સંખ્યા હોવાથી,તે ધન પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ. $7$ ના અવયવો $1$ અને $7$ છે.
આમ,$(p, q)$ માટે શક્ય કિંમતો $(7, 1)$ અથવા $(1, 7)$ છે.
બંને કિસ્સામાં,$p^2+q^2 = 7^2 + 1^2 = 49 + 1 = 50$.