અ Gujarati
Defination of Function Questions in Gujarati
Class 11 Mathematics · Relations and Functions · Defination of Function
28+
Questions
Gujarati
Language
100%
With Solutions
Showing 27 of 28 questions in Gujarati
1
MediumMCQ
નીચેનામાંથી કયું વિધેય ($NOT$ a function) નથી?
A
B
C
D
Solution
(D) જો દરેક ઇનપુટ $x$ માટે બરાબર એક આઉટપુટ $y$ હોય,તો સંબંધ એ વિધેય છે. આ માટે વર્ટિકલ લાઇન ટેસ્ટનો ઉપયોગ થાય છે. જો કોઈ શિરોલંબ રેખા આલેખને એક કરતા વધુ બિંદુઓ પર છેદે,તો તે વિધેય નથી.
$A$: પરવલય એ વિધેય છે.
$B$: સ્ટેપ ફંક્શન એ વિધેય છે.
$C$: ઘન વિધેય એ વિધેય છે.
$D$: ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા $x = 0$ સંબંધ દર્શાવે છે. $x = 0$ માટે,$y$ ની અનંત કિંમતો મળે છે. તેથી,તે વર્ટિકલ લાઇન ટેસ્ટમાં નિષ્ફળ જાય છે અને તે વિધેય નથી.
$A$: પરવલય એ વિધેય છે.
$B$: સ્ટેપ ફંક્શન એ વિધેય છે.
$C$: ઘન વિધેય એ વિધેય છે.
$D$: ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા $x = 0$ સંબંધ દર્શાવે છે. $x = 0$ માટે,$y$ ની અનંત કિંમતો મળે છે. તેથી,તે વર્ટિકલ લાઇન ટેસ્ટમાં નિષ્ફળ જાય છે અને તે વિધેય નથી.
0 likes
View Solution2
AdvancedMCQ
નીચેનામાંથી કયું વિધેય (function) દર્શાવે છે?
A
$y = \sqrt{x} - |x|; \, x \in R$
B
$y = \sqrt{x} - |x|; \, x \ge 1$
C
$x = y^2$
D
આમાંથી કોઈ નહીં
Solution
(B) સંબંધ $f: A \to B$ એ વિધેય છે જો પ્રદેશ $A$ ના દરેક ઘટક માટે સહ-પ્રદેશ $B$ માં અનન્ય પ્રતિબિંબ હોય.
$1$. વિકલ્પ $A$ માટે: $y = \sqrt{x} - |x|$. જો $x < 0$ હોય,તો $\sqrt{x}$ એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $R$ માં વ્યાખ્યાયિત નથી. તેથી,તે $R$ પર વિધેય નથી.
$2$. વિકલ્પ $B$ માટે: $y = \sqrt{x} - |x|$,જ્યાં $x \ge 1$. પ્રદેશ $[1, \infty)$ માં દરેક $x$ માટે,$y$ નું એક અનન્ય વાસ્તવિક મૂલ્ય મળે છે. તેથી,આ એક વિધેય દર્શાવે છે.
$3$. વિકલ્પ $C$ માટે: $x = y^2$. આનો અર્થ એ થાય કે $y = \pm \sqrt{x}$. $x > 0$ ના એક મૂલ્ય માટે,$y$ ના બે મૂલ્યો મળે છે. તેથી,તે વિધેય નથી.
નિષ્કર્ષ: વિકલ્પ $B$ એ વિધેયનું સાચું નિરૂપણ છે.
$1$. વિકલ્પ $A$ માટે: $y = \sqrt{x} - |x|$. જો $x < 0$ હોય,તો $\sqrt{x}$ એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $R$ માં વ્યાખ્યાયિત નથી. તેથી,તે $R$ પર વિધેય નથી.
$2$. વિકલ્પ $B$ માટે: $y = \sqrt{x} - |x|$,જ્યાં $x \ge 1$. પ્રદેશ $[1, \infty)$ માં દરેક $x$ માટે,$y$ નું એક અનન્ય વાસ્તવિક મૂલ્ય મળે છે. તેથી,આ એક વિધેય દર્શાવે છે.
$3$. વિકલ્પ $C$ માટે: $x = y^2$. આનો અર્થ એ થાય કે $y = \pm \sqrt{x}$. $x > 0$ ના એક મૂલ્ય માટે,$y$ ના બે મૂલ્યો મળે છે. તેથી,તે વિધેય નથી.
નિષ્કર્ષ: વિકલ્પ $B$ એ વિધેયનું સાચું નિરૂપણ છે.
0 likes
View Solution3
DifficultMCQ
વિધાન $1$ : જો $A$ અને $B$ બે ગણ હોય જેમાં અનુક્રમે $p$ અને $q$ ઘટકો હોય,જ્યાં $q > p$. તો ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરના કુલ વિધેયોની સંખ્યા $q^p$ છે.
વિધાન $2$ : $q$ વસ્તુઓમાંથી $p$ ભિન્ન વસ્તુઓની પસંદગી કરવાની કુલ રીતો ${}^qC_p$ છે.
વિધાન $2$ : $q$ વસ્તુઓમાંથી $p$ ભિન્ન વસ્તુઓની પસંદગી કરવાની કુલ રીતો ${}^qC_p$ છે.
A
વિધાન $1$ સાચું છે,વિધાન $2$ ખોટું છે.
B
વિધાન $1$ સાચું છે,વિધાન $2$ સાચું છે,વિધાન $2$ એ વિધાન $1$ ની સાચી સમજૂતી નથી.
C
વિધાન $1$ ખોટું છે,વિધાન $2$ સાચું છે.
D
વિધાન $1$ સાચું છે,વિધાન $2$ સાચું છે,વિધાન $2$ એ વિધાન $1$ ની સાચી સમજૂતી છે.
Solution
(B) વિધાન-$1$: ગણ $A$ જેમાં $n(A) = p$ ઘટકો છે અને ગણ $B$ જેમાં $n(B) = q$ ઘટકો છે,તે માટે $A$ થી $B$ પરના વિધેયોની કુલ સંખ્યા $q^p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ ગણ સિદ્ધાંતનું પ્રમાણિત પરિણામ છે. તેથી,વિધાન-$1$ સાચું છે.
વિધાન-$2$: $q$ ભિન્ન વસ્તુઓમાંથી $p$ વસ્તુઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર ${}^qC_p = \frac{q!}{p!(q-p)!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ એક સાચું વિધાન છે.
જોકે,વિધાન-$2$ એ સંચયની સંખ્યા દર્શાવે છે,જે ગણતરીનો મૂળભૂત સિદ્ધાંત છે,પરંતુ તે એ સમજાવતું નથી કે $A$ થી $B$ પરના વિધેયોની સંખ્યા $q^p$ કેમ છે. વિધેયોની સંખ્યા એ હકીકત પરથી તારવવામાં આવે છે કે $A$ ના દરેક $p$ ઘટકો માટે $B$ માં $q$ વિકલ્પો છે. તેથી,વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી નથી.
વિધાન-$2$: $q$ ભિન્ન વસ્તુઓમાંથી $p$ વસ્તુઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર ${}^qC_p = \frac{q!}{p!(q-p)!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ એક સાચું વિધાન છે.
જોકે,વિધાન-$2$ એ સંચયની સંખ્યા દર્શાવે છે,જે ગણતરીનો મૂળભૂત સિદ્ધાંત છે,પરંતુ તે એ સમજાવતું નથી કે $A$ થી $B$ પરના વિધેયોની સંખ્યા $q^p$ કેમ છે. વિધેયોની સંખ્યા એ હકીકત પરથી તારવવામાં આવે છે કે $A$ ના દરેક $p$ ઘટકો માટે $B$ માં $q$ વિકલ્પો છે. તેથી,વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી નથી.
0 likes
View Solution4
Easy
ધારો કે $N$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે અને સંબંધ $R$ એ $N$ પર એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત છે કે $R = \{(x, y) : y = 2x, x, y \in N \}$. $R$ નો પ્રદેશ,સહપ્રદેશ અને વિસ્તાર શું છે? શું આ સંબંધ વિધેય છે?
Solution
(N/A) $R$ નો પ્રદેશ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ $N$ છે.
$R$ નો સહપ્રદેશ પણ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ $N$ છે.
$R$ નો વિસ્તાર એ બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે,એટલે કે $\{2, 4, 6, \dots \}$.
દરેક ઘટક $x \in N$ માટે $N$ માં એક અનન્ય પ્રતિબિંબ $y = 2x$ હોવાથી,આ સંબંધ એક વિધેય છે.
$R$ નો સહપ્રદેશ પણ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ $N$ છે.
$R$ નો વિસ્તાર એ બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે,એટલે કે $\{2, 4, 6, \dots \}$.
દરેક ઘટક $x \in N$ માટે $N$ માં એક અનન્ય પ્રતિબિંબ $y = 2x$ હોવાથી,આ સંબંધ એક વિધેય છે.
0 likes
View Solution5
EasyMCQ
નીચે આપેલ સંબંધ તપાસો અને કારણ આપીને જણાવો કે તે વિધેય છે કે નહીં?
$R = \{(2, 1), (3, 1), (4, 2)\}$
$R = \{(2, 1), (3, 1), (4, 2)\}$
A
તે વિધેય છે કારણ કે પ્રદેશના દરેક ઘટકનું અનન્ય પ્રતિબિંબ છે.
B
તે વિધેય નથી કારણ કે વિસ્તારમાં ઘટક $1$ પુનરાવર્તિત થાય છે.
C
તે વિધેય નથી કારણ કે પ્રદેશમાં ઘટક $2$ પુનરાવર્તિત થાય છે.
D
તે વિધેય નથી કારણ કે સંબંધ એક-એક નથી.
Solution
(A) ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરનો સંબંધ $R$ વિધેય કહેવાય જો $A$ ના દરેક ઘટકનું $B$ માં એક અને માત્ર એક જ પ્રતિબિંબ હોય.
આપેલ સંબંધ $R = \{(2, 1), (3, 1), (4, 2)\}$ માં,પ્રદેશ $\{2, 3, 4\}$ છે.
પ્રદેશના દરેક ઘટક માટે:
- $2$ નું પ્રતિબિંબ $1$ છે.
- $3$ નું પ્રતિબિંબ $1$ છે.
- $4$ નું પ્રતિબિંબ $2$ છે.
પ્રદેશના દરેક ઘટકનું સહ-પ્રદેશમાં અનન્ય પ્રતિબિંબ હોવાથી,સંબંધ $R$ એ વિધેય છે.
આપેલ સંબંધ $R = \{(2, 1), (3, 1), (4, 2)\}$ માં,પ્રદેશ $\{2, 3, 4\}$ છે.
પ્રદેશના દરેક ઘટક માટે:
- $2$ નું પ્રતિબિંબ $1$ છે.
- $3$ નું પ્રતિબિંબ $1$ છે.
- $4$ નું પ્રતિબિંબ $2$ છે.
પ્રદેશના દરેક ઘટકનું સહ-પ્રદેશમાં અનન્ય પ્રતિબિંબ હોવાથી,સંબંધ $R$ એ વિધેય છે.
0 likes
View Solution6
EasyMCQ
નીચે આપેલા સંબંધને તપાસો અને કારણ આપીને જણાવો કે તે વિધેય છે કે નહીં: $R = \{(2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)\}$
A
હા,તે વિધેય છે.
B
ના,તે વિધેય નથી.
C
તે એક એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેય છે.
D
તે અચળ વિધેય છે.
Solution
(B) ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરનો સંબંધ $R$ વિધેય ત્યારે જ કહેવાય જો $A$ ના દરેક ઘટકને $B$ માં એક અને માત્ર એક જ પ્રતિબિંબ હોય.
આપેલ સંબંધ $R = \{(2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)\}$ માં,ઘટક $2$ એ બે અલગ-અલગ પ્રતિબિંબો $2$ અને $4$ સાથે જોડાયેલ છે.
કારણ કે સમાન પ્રથમ ઘટક $2$ એ બે અલગ-અલગ પ્રતિબિંબો સાથે સંકળાયેલ છે,તેથી આ સંબંધ વિધેય નથી.
આપેલ સંબંધ $R = \{(2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)\}$ માં,ઘટક $2$ એ બે અલગ-અલગ પ્રતિબિંબો $2$ અને $4$ સાથે જોડાયેલ છે.
કારણ કે સમાન પ્રથમ ઘટક $2$ એ બે અલગ-અલગ પ્રતિબિંબો સાથે સંકળાયેલ છે,તેથી આ સંબંધ વિધેય નથી.
0 likes
View Solution7
EasyMCQ
નીચે આપેલા સંબંધને તપાસો અને કારણ આપીને જણાવો કે તે વિધેય છે કે નહીં?
$R = \{(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7)\}$
$R = \{(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7)\}$
A
તે વિધેય છે કારણ કે પ્રદેશના દરેક ઘટકનું સહ-પ્રદેશમાં અનન્ય પ્રતિબિંબ છે.
B
તે વિધેય નથી કારણ કે પ્રદેશના ઘટકો અલગ નથી.
C
તે વિધેય છે કારણ કે વિસ્તારના ઘટકો અલગ છે.
D
તે વિધેય નથી કારણ કે સંબંધ સંમિત નથી.
Solution
(A) ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરનો સંબંધ $R$ વિધેય કહેવાય જો $A$ ના દરેક ઘટકનું $B$ માં એક અને માત્ર એક જ પ્રતિબિંબ હોય.
આપેલ સંબંધ $R = \{(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7)\}$ માં,પ્રદેશ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ નો દરેક ઘટક વિસ્તાર $\{2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ ના એક અનન્ય ઘટક સાથે જોડાયેલ છે.
કોઈપણ બે ક્રમયુક્ત જોડનો પ્રથમ ઘટક સમાન ન હોવાથી,દરેક ઇનપુટ માટે બરાબર એક આઉટપુટ છે.
તેથી,આ સંબંધ એક વિધેય છે.
આપેલ સંબંધ $R = \{(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7)\}$ માં,પ્રદેશ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ નો દરેક ઘટક વિસ્તાર $\{2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ ના એક અનન્ય ઘટક સાથે જોડાયેલ છે.
કોઈપણ બે ક્રમયુક્ત જોડનો પ્રથમ ઘટક સમાન ન હોવાથી,દરેક ઇનપુટ માટે બરાબર એક આઉટપુટ છે.
તેથી,આ સંબંધ એક વિધેય છે.
0 likes
View Solution8
Easy
ધારો કે $N$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. એક વિધેય $f: N \rightarrow N$ ને $f(x) = 2x + 1$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો. આ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને નીચે આપેલ કોષ્ટક પૂર્ણ કરો.
| $x$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ |
| $y$ | $f(1) = \dots$ | $f(2) = \dots$ | $f(3) = \dots$ | $f(4) = \dots$ | $f(5) = \dots$ | $f(6) = \dots$ | $f(7) = \dots$ |
Solution
(N/A) કોષ્ટક પૂર્ણ કરવા માટે,આપણે $x$ ની દરેક કિંમતને વિધેય $f(x) = 2x + 1$ માં મૂકીએ છીએ:
| $x$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ |
| $y$ | $f(1) = 3$ | $f(2) = 5$ | $f(3) = 7$ | $f(4) = 9$ | $f(5) = 11$ | $f(6) = 13$ | $f(7) = 15$ |
0 likes
View Solution9
Medium
નીચેનામાંથી કયો સંબંધ વિધેય છે? કારણ આપો. જો તે વિધેય હોય,તો તેનો પ્રદેશ અને વિસ્તાર શોધો.
$\{(2,1), (5,1), (8,1), (11,1), (14,1), (17,1)\}$
$\{(2,1), (5,1), (8,1), (11,1), (14,1), (17,1)\}$
Solution
(N/A) આપેલ સંબંધ $R = \{(2,1), (5,1), (8,1), (11,1), (14,1), (17,1)\}$ છે.
પ્રદેશ $\{2, 5, 8, 11, 14, 17\}$ ના દરેક ઘટકનું સહપ્રદેશમાં અનન્ય પ્રતિબિંબ હોવાથી,આ સંબંધ એક વિધેય છે.
પ્રદેશ $= \{2, 5, 8, 11, 14, 17\}$
વિસ્તાર $= \{1\}$
પ્રદેશ $\{2, 5, 8, 11, 14, 17\}$ ના દરેક ઘટકનું સહપ્રદેશમાં અનન્ય પ્રતિબિંબ હોવાથી,આ સંબંધ એક વિધેય છે.
પ્રદેશ $= \{2, 5, 8, 11, 14, 17\}$
વિસ્તાર $= \{1\}$
0 likes
View Solution10
Medium
નીચેનામાંથી કયા સંબંધો વિધેય છે? કારણ આપો. જો તે વિધેય હોય,તો તેનો પ્રદેશ અને વિસ્તાર નક્કી કરો.
$\{(2,1), (4,2), (6,3), (8,4), (10,5), (12,6), (14,7)\}$
$\{(2,1), (4,2), (6,3), (8,4), (10,5), (12,6), (14,7)\}$
Solution
(N/A) આપેલ સંબંધ $R = \{(2,1), (4,2), (6,3), (8,4), (10,5), (12,6), (14,7)\}$ છે.
જો પ્રદેશના દરેક ઘટકનું સહ-પ્રદેશમાં અનન્ય પ્રતિબિંબ હોય,તો તે સંબંધ વિધેય છે.
આ સંબંધમાં,દરેક પ્રથમ ઘટક $(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14)$ એ ફક્ત એક જ અનન્ય બીજા ઘટક ($1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ અનુક્રમે) સાથે જોડાયેલ છે.
તેથી,આપેલ સંબંધ એક વિધેય છે.
પ્રદેશ એ તમામ પ્રથમ ઘટકોનો ગણ છે: $\text{Domain} = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\}$.
વિસ્તાર એ તમામ બીજા ઘટકોનો ગણ છે: $\text{Range} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.
જો પ્રદેશના દરેક ઘટકનું સહ-પ્રદેશમાં અનન્ય પ્રતિબિંબ હોય,તો તે સંબંધ વિધેય છે.
આ સંબંધમાં,દરેક પ્રથમ ઘટક $(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14)$ એ ફક્ત એક જ અનન્ય બીજા ઘટક ($1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ અનુક્રમે) સાથે જોડાયેલ છે.
તેથી,આપેલ સંબંધ એક વિધેય છે.
પ્રદેશ એ તમામ પ્રથમ ઘટકોનો ગણ છે: $\text{Domain} = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\}$.
વિસ્તાર એ તમામ બીજા ઘટકોનો ગણ છે: $\text{Range} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.
0 likes
View Solution11
EasyMCQ
એક વિધેય $f$ એ $f(x) = 2x - 5$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. $f(0)$,$f(7)$,અને $f(-3)$ ની કિંમતો શોધો.
A
$f(0) = -5, f(7) = 9, f(-3) = -11$
B
$f(0) = -5, f(7) = 14, f(-3) = -6$
C
$f(0) = 5, f(7) = 9, f(-3) = -11$
D
$f(0) = -5, f(7) = 9, f(-3) = -111$
Solution
(A) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x - 5$ છે.
$f(0)$ શોધવા માટે,$x = 0$ મૂકતા:
$f(0) = 2(0) - 5 = 0 - 5 = -5$.
$f(7)$ શોધવા માટે,$x = 7$ મૂકતા:
$f(7) = 2(7) - 5 = 14 - 5 = 9$.
$f(-3)$ શોધવા માટે,$x = -3$ મૂકતા:
$f(-3) = 2(-3) - 5 = -6 - 5 = -11$.
$f(0)$ શોધવા માટે,$x = 0$ મૂકતા:
$f(0) = 2(0) - 5 = 0 - 5 = -5$.
$f(7)$ શોધવા માટે,$x = 7$ મૂકતા:
$f(7) = 2(7) - 5 = 14 - 5 = 9$.
$f(-3)$ શોધવા માટે,$x = -3$ મૂકતા:
$f(-3) = 2(-3) - 5 = -6 - 5 = -11$.
0 likes
View Solution12
EasyMCQ
એક વિધેય $f$ એ $f(x) = 2x - 5$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. $f(7)$ ની કિંમત શોધો.
A
$9$
B
$10$
C
$11$
D
$12$
Solution
(A) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x - 5$ છે.
$f(7)$ શોધવા માટે,વિધેયમાં $x = 7$ મૂકો:
$f(7) = 2(7) - 5$
$f(7) = 14 - 5$
$f(7) = 9$
$f(7)$ શોધવા માટે,વિધેયમાં $x = 7$ મૂકો:
$f(7) = 2(7) - 5$
$f(7) = 14 - 5$
$f(7) = 9$
0 likes
View Solution13
EasyMCQ
એક વિધેય $f$ એ $f(x) = 2x - 5$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. $f(-3)$ ની કિંમત શોધો.
A
$-11$
B
$-1$
C
$1$
D
$11$
Solution
(A) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x - 5$ છે.
$f(-3)$ શોધવા માટે,વિધેયમાં $x = -3$ મૂકો:
$f(-3) = 2(-3) - 5$
$f(-3) = -6 - 5$
$f(-3) = -11$
$f(-3)$ શોધવા માટે,વિધેયમાં $x = -3$ મૂકો:
$f(-3) = 2(-3) - 5$
$f(-3) = -6 - 5$
$f(-3) = -11$
0 likes
View Solution14
EasyMCQ
વિધેય $t$ જે સેલ્સિયસમાં તાપમાનને ફેરનહીટમાં તાપમાનમાં રૂપાંતરિત કરે છે,તે $t(C) = \frac{9C}{5} + 32$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. $t(0)$ શોધો.
A
$32$
B
$0$
C
$9/5$
D
$160/9$
Solution
(A) આપેલ વિધેય $t(C) = \frac{9C}{5} + 32$ છે.
$t(0)$ શોધવા માટે,વિધેયમાં $C = 0$ મૂકો:
$t(0) = \frac{9(0)}{5} + 32$
$t(0) = 0 + 32$
$t(0) = 32$
$t(0)$ શોધવા માટે,વિધેયમાં $C = 0$ મૂકો:
$t(0) = \frac{9(0)}{5} + 32$
$t(0) = 0 + 32$
$t(0) = 32$
0 likes
View Solution15
EasyMCQ
વિધેય $t$ જે સેલ્સિયસમાં તાપમાનને ફેરનહીટમાં તાપમાનમાં દર્શાવે છે,તે $t(C) = \frac{9C}{5} + 32$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. $t(-10)$ શોધો.
A
$14$
B
$16$
C
$18$
D
$20$
Solution
(A) આપેલ વિધેય $t(C) = \frac{9C}{5} + 32$ છે.
$t(-10)$ શોધવા માટે,વિધેયમાં $C = -10$ મૂકો:
$t(-10) = \frac{9 \times (-10)}{5} + 32$
$t(-10) = 9 \times (-2) + 32$
$t(-10) = -18 + 32$
$t(-10) = 14$
$t(-10)$ શોધવા માટે,વિધેયમાં $C = -10$ મૂકો:
$t(-10) = \frac{9 \times (-10)}{5} + 32$
$t(-10) = 9 \times (-2) + 32$
$t(-10) = -18 + 32$
$t(-10) = 14$
0 likes
View Solution16
EasyMCQ
વિધેય $t$,જે સેલ્સિયસમાં તાપમાનને ફેરનહીટમાં તાપમાનમાં રૂપાંતરિત કરે છે,તે $t(C) = \frac{9C}{5} + 32$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. જ્યારે $t(C) = 212$ હોય ત્યારે $C$ ની કિંમત શોધો.
A
$100$
B
$90$
C
$80$
D
$110$
Solution
(A) આપેલ વિધેય $t(C) = \frac{9C}{5} + 32$ છે.
આપેલ છે કે $t(C) = 212$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$212 = \frac{9C}{5} + 32$
બંને બાજુથી $32$ બાદ કરતા:
$212 - 32 = \frac{9C}{5}$
$180 = \frac{9C}{5}$
બંને બાજુ $5$ વડે ગુણતા:
$180 \times 5 = 9C$
$900 = 9C$
$9$ વડે ભાગતા:
$C = \frac{900}{9} = 100$
આમ,જ્યારે $t(C) = 212$ હોય ત્યારે $C$ ની કિંમત $100$ છે.
આપેલ છે કે $t(C) = 212$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$212 = \frac{9C}{5} + 32$
બંને બાજુથી $32$ બાદ કરતા:
$212 - 32 = \frac{9C}{5}$
$180 = \frac{9C}{5}$
બંને બાજુ $5$ વડે ગુણતા:
$180 \times 5 = 9C$
$900 = 9C$
$9$ વડે ભાગતા:
$C = \frac{900}{9} = 100$
આમ,જ્યારે $t(C) = 212$ હોય ત્યારે $C$ ની કિંમત $100$ છે.
0 likes
View Solution17
Medium
સંબંધ $f$ એ $f(x) = \begin{cases} x^2, & 0 \le x \le 3 \\ 3x, & 3 \le x \le 10 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. સંબંધ $g$ એ $g(x) = \begin{cases} x^2, & 0 \le x \le 2 \\ 3x, & 2 \le x \le 10 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. સાબિત કરો કે $f$ એ વિધેય છે અને $g$ એ વિધેય નથી.
Solution
(N/A) વિધેય હોવા માટે,પ્રદેશના દરેક ઘટકનું પ્રતિબિંબ અનન્ય હોવું જોઈએ.
$f(x)$ માટે:
$x = 3$ આગળ,પ્રથમ ભાગ $f(3) = 3^2 = 9$ આપે છે.
બીજો ભાગ $f(3) = 3 \times 3 = 9$ આપે છે.
$x = 3$ આગળ બંને ભાગ સમાન કિંમત $9$ આપે છે,તેથી $f(x)$ એ વિધેય છે.
$g(x)$ માટે:
$x = 2$ આગળ,પ્રથમ ભાગ $g(2) = 2^2 = 4$ આપે છે.
બીજો ભાગ $g(2) = 3 \times 2 = 6$ આપે છે.
$x = 2$ ના બે અલગ પ્રતિબિંબ ($4$ અને $6$) હોવાથી,$g(x)$ એ વિધેય નથી.
$f(x)$ માટે:
$x = 3$ આગળ,પ્રથમ ભાગ $f(3) = 3^2 = 9$ આપે છે.
બીજો ભાગ $f(3) = 3 \times 3 = 9$ આપે છે.
$x = 3$ આગળ બંને ભાગ સમાન કિંમત $9$ આપે છે,તેથી $f(x)$ એ વિધેય છે.
$g(x)$ માટે:
$x = 2$ આગળ,પ્રથમ ભાગ $g(2) = 2^2 = 4$ આપે છે.
બીજો ભાગ $g(2) = 3 \times 2 = 6$ આપે છે.
$x = 2$ ના બે અલગ પ્રતિબિંબ ($4$ અને $6$) હોવાથી,$g(x)$ એ વિધેય નથી.
0 likes
View Solution18
Medium
ધારો કે $A = \{1, 2, 3, 4\}$,$B = \{1, 5, 9, 11, 15, 16\}$ અને $f = \{(1, 5), (2, 9), (3, 1), (4, 5), (2, 11)\}$ છે. શું $f$ એ $A$ થી $B$ પરનું વિધેય છે? તમારા જવાબનું સમર્થન કરો.
Solution
(B) ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરનો સંબંધ $f$ એ વિધેય ત્યારે જ કહેવાય જો $A$ ના દરેક ઘટકને $B$ માં એક અને માત્ર એક જ પ્રતિબિંબ હોય.
આપેલ છે કે $f = \{(1, 5), (2, 9), (3, 1), (4, 5), (2, 11)\}$.
અહીં,ઘટક $2 \in A$ એ $B$ માં બે અલગ-અલગ પ્રતિબિંબો સાથે જોડાયેલ છે,જે $9$ અને $11$ છે (એટલે કે $f(2) = 9$ અને $f(2) = 11$).
પ્રદેશનો કોઈ ઘટક સહ-પ્રદેશમાં એકથી વધુ પ્રતિબિંબ ધરાવી શકતો નથી,તેથી $f$ એ વિધેય નથી.
આપેલ છે કે $f = \{(1, 5), (2, 9), (3, 1), (4, 5), (2, 11)\}$.
અહીં,ઘટક $2 \in A$ એ $B$ માં બે અલગ-અલગ પ્રતિબિંબો સાથે જોડાયેલ છે,જે $9$ અને $11$ છે (એટલે કે $f(2) = 9$ અને $f(2) = 11$).
પ્રદેશનો કોઈ ઘટક સહ-પ્રદેશમાં એકથી વધુ પ્રતિબિંબ ધરાવી શકતો નથી,તેથી $f$ એ વિધેય નથી.
0 likes
View Solution19
Medium
ધારો કે $f$ એ $Z \times Z$ નો ઉપગણ છે જે $f = \{(ab, a+b) : a, b \in Z\}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. શું $f$ એ $Z$ થી $Z$ પરનું વિધેય છે? તમારા જવાબનું સમર્થન કરો.
Solution
(N/A) સંબંધ $f$ એ $f = \{(ab, a+b) : a, b \in Z\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરનો સંબંધ $f$ એ વિધેય કહેવાય જો $A$ ના દરેક ઘટકને $B$ માં અનન્ય પ્રતિબિંબ હોય.
$Z$ માં ઘટકો $a=2, b=6$ અને $a=-2, b=-6$ લો.
$a=2, b=6$ માટે,$(ab, a+b) = (2 \times 6, 2+6) = (12, 8) \in f$.
$a=-2, b=-6$ માટે,$(ab, a+b) = (-2 \times -6, -2-6) = (12, -8) \in f$.
અહીં પ્રથમ ઘટક $12$ એ બે અલગ-અલગ પ્રતિબિંબો $8$ અને $-8$ સાથે સંકળાયેલ છે,તેથી સંબંધ $f$ એ વિધેય નથી.
ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરનો સંબંધ $f$ એ વિધેય કહેવાય જો $A$ ના દરેક ઘટકને $B$ માં અનન્ય પ્રતિબિંબ હોય.
$Z$ માં ઘટકો $a=2, b=6$ અને $a=-2, b=-6$ લો.
$a=2, b=6$ માટે,$(ab, a+b) = (2 \times 6, 2+6) = (12, 8) \in f$.
$a=-2, b=-6$ માટે,$(ab, a+b) = (-2 \times -6, -2-6) = (12, -8) \in f$.
અહીં પ્રથમ ઘટક $12$ એ બે અલગ-અલગ પ્રતિબિંબો $8$ અને $-8$ સાથે સંકળાયેલ છે,તેથી સંબંધ $f$ એ વિધેય નથી.
0 likes
View Solution20
DifficultMCQ
ધારો કે $f(x)$ એ પૂર્ણાંક સહગુણકો ધરાવતી બહુપદી છે જે $f(1)=5$ અને $f(2)=7$ નું સમાધાન કરે છે. $f(12)$ ની શક્ય ન્યૂનતમ ધન કિંમત છે
A
$5$
B
$7$
C
$27$
D
$15$
Solution
(C) પૂર્ણાંક સહગુણકો ધરાવતી કોઈપણ બહુપદી $f(x)$ માટે,કોઈપણ ભિન્ન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે $(a-b)$ એ $(f(a)-f(b))$ ને ભાગે છે.
આપેલ છે કે $f(1)=5$ અને $f(2)=7$,તેથી $(2-1)$ એ $(f(2)-f(1))$ ને ભાગે છે,એટલે કે $1$ એ $(7-5)=2$ ને ભાગે છે. આ હંમેશા સાચું છે.
$f(12)$ માટે,$(12-1)$ એ $(f(12)-f(1))$ ને ભાગે છે $\implies 11$ એ $(f(12)-5)$ ને ભાગે છે.
તેમજ,$(12-2)$ એ $(f(12)-f(2))$ ને ભાગે છે $\implies 10$ એ $(f(12)-7)$ ને ભાગે છે.
ધારો કે $f(12) = k$. તો $k \equiv 5 \pmod{11}$ અને $k \equiv 7 \pmod{10}$.
$k \equiv 7 \pmod{10}$ પરથી,$k$ ની કિંમતો $7, 17, 27, 37, \dots$ હોઈ શકે.
આ કિંમતોને $k \equiv 5 \pmod{11}$ માટે ચકાસતા:
$7 \equiv 7 \pmod{11}$
$17 \equiv 6 \pmod{11}$
$27 \equiv 5 \pmod{11}$.
આમ,સૌથી નાની ધન કિંમત $27$ છે.
આપેલ છે કે $f(1)=5$ અને $f(2)=7$,તેથી $(2-1)$ એ $(f(2)-f(1))$ ને ભાગે છે,એટલે કે $1$ એ $(7-5)=2$ ને ભાગે છે. આ હંમેશા સાચું છે.
$f(12)$ માટે,$(12-1)$ એ $(f(12)-f(1))$ ને ભાગે છે $\implies 11$ એ $(f(12)-5)$ ને ભાગે છે.
તેમજ,$(12-2)$ એ $(f(12)-f(2))$ ને ભાગે છે $\implies 10$ એ $(f(12)-7)$ ને ભાગે છે.
ધારો કે $f(12) = k$. તો $k \equiv 5 \pmod{11}$ અને $k \equiv 7 \pmod{10}$.
$k \equiv 7 \pmod{10}$ પરથી,$k$ ની કિંમતો $7, 17, 27, 37, \dots$ હોઈ શકે.
આ કિંમતોને $k \equiv 5 \pmod{11}$ માટે ચકાસતા:
$7 \equiv 7 \pmod{11}$
$17 \equiv 6 \pmod{11}$
$27 \equiv 5 \pmod{11}$.
આમ,સૌથી નાની ધન કિંમત $27$ છે.
0 likes
View Solution21
AdvancedMCQ
$m$-ઘટક ધરાવતા ગણ $A$ થી $n$-ઘટક ધરાવતા ગણ $B$ પરના સંબંધો $R$ ની સંખ્યા શોધો જે શરત $(a, b_1) \in R, (a, b_2) \in R \Rightarrow b_1 = b_2$ નું પાલન કરે છે,જ્યાં $a \in A, b_1, b_2 \in B$.
A
$n^m$
B
$2^{m+n}-2^m-2^n$
C
$mn$
D
$(n+1)^m$
Solution
(A) આપેલ શરત $(a, b_1) \in R$ અને $(a, b_2) \in R \Rightarrow b_1 = b_2$ એ ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરના વિધેયની વ્યાખ્યા છે.
વિધેયમાં,ગણ $A$ ના દરેક ઘટક $a$ ને ગણ $B$ ના માત્ર એક જ ઘટક $b$ સાથે જોડવામાં આવે છે.
ગણ $A$ માં $m$ ઘટકો છે અને દરેક ઘટક માટે ગણ $B$ માં $n$ વિકલ્પો છે,તેથી આવા સંબંધો (જે વિધેય છે) ની કુલ સંખ્યા $n \times n \times \dots \times n$ ($m$ વખત) થાય.
તેથી,આવા સંબંધોની કુલ સંખ્યા $n^m$ છે.
વિધેયમાં,ગણ $A$ ના દરેક ઘટક $a$ ને ગણ $B$ ના માત્ર એક જ ઘટક $b$ સાથે જોડવામાં આવે છે.
ગણ $A$ માં $m$ ઘટકો છે અને દરેક ઘટક માટે ગણ $B$ માં $n$ વિકલ્પો છે,તેથી આવા સંબંધો (જે વિધેય છે) ની કુલ સંખ્યા $n \times n \times \dots \times n$ ($m$ વખત) થાય.
તેથી,આવા સંબંધોની કુલ સંખ્યા $n^m$ છે.
0 likes
View Solution22
EasyMCQ
ધારો કે $A = \{a, b, c, d\}$ અને $B = \{1, 2, 3\}$ છે. સંબંધો $R_1, R_2, R_3, R_4$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$R_1 = \{(a, 1), (b, 2), (c, 1), (d, 2)\}$
$R_2 = \{(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)\}$
$R_3 = \{(a, 2), (b, 3), (c, 2), (d, 2)\}$
$R_4 = \{(a, 1), (b, 2), (a, 2), (d, 3)\}$
તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$R_1 = \{(a, 1), (b, 2), (c, 1), (d, 2)\}$
$R_2 = \{(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)\}$
$R_3 = \{(a, 2), (b, 3), (c, 2), (d, 2)\}$
$R_4 = \{(a, 1), (b, 2), (a, 2), (d, 3)\}$
તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
A
માત્ર $R_3$ અને $R_4$ વિધેય નથી
B
માત્ર $R_1$ અને $R_2$ વિધેય નથી
C
માત્ર $R_3$ વિધેય નથી
D
માત્ર $R_4$ વિધેય નથી
Solution
(D) ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરનો સંબંધ $f$ વિધેય ત્યારે જ કહેવાય જો $A$ ના દરેક ઘટકનું $B$ માં અનન્ય પ્રતિબિંબ હોય.
$R_1$ માટે: $A$ ના દરેક ઘટકનું $B$ માં એક જ પ્રતિબિંબ છે. તેથી,$R_1$ વિધેય છે.
$R_2$ માટે: $A$ ના દરેક ઘટકનું $B$ માં એક જ પ્રતિબિંબ છે. તેથી,$R_2$ વિધેય છે.
$R_3$ માટે: $A$ ના દરેક ઘટકનું $B$ માં એક જ પ્રતિબિંબ છે. તેથી,$R_3$ વિધેય છે.
$R_4$ માટે: ઘટક $a \in A$ બે અલગ અલગ કિંમતો $1$ અને $2$ સાથે જોડાયેલ છે (એટલે કે $(a, 1) \in R_4$ અને $(a, 2) \in R_4$).
એક ઘટકને બે અલગ પ્રતિબિંબ ન હોઈ શકે,તેથી $R_4$ વિધેય નથી.
તેથી,માત્ર $R_4$ વિધેય નથી.
$R_1$ માટે: $A$ ના દરેક ઘટકનું $B$ માં એક જ પ્રતિબિંબ છે. તેથી,$R_1$ વિધેય છે.
$R_2$ માટે: $A$ ના દરેક ઘટકનું $B$ માં એક જ પ્રતિબિંબ છે. તેથી,$R_2$ વિધેય છે.
$R_3$ માટે: $A$ ના દરેક ઘટકનું $B$ માં એક જ પ્રતિબિંબ છે. તેથી,$R_3$ વિધેય છે.
$R_4$ માટે: ઘટક $a \in A$ બે અલગ અલગ કિંમતો $1$ અને $2$ સાથે જોડાયેલ છે (એટલે કે $(a, 1) \in R_4$ અને $(a, 2) \in R_4$).
એક ઘટકને બે અલગ પ્રતિબિંબ ન હોઈ શકે,તેથી $R_4$ વિધેય નથી.
તેથી,માત્ર $R_4$ વિધેય નથી.
0 likes
View Solution23
EasyMCQ
ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x)=x^2+1$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તો,$17$ અને $-3$ ના પૂર્વ-પ્રતિબિંબો અનુક્રમે શું છે?
A
$\phi, \{4, -4\}$
B
$\{3, -3\}, \phi$
C
$\{4, -4\}, \phi$
D
$\{4, -4\}, \{2, -2\}$
Solution
(C) $17$ નું પૂર્વ-પ્રતિબિંબ શોધવા માટે,આપણે $f(x) = 17$ લઈએ:
$x^2 + 1 = 17$
$x^2 = 16$
$x = \pm 4$
તેથી,$17$ નું પૂર્વ-પ્રતિબિંબ $\{4, -4\}$ છે.
$-3$ નું પૂર્વ-પ્રતિબિંબ શોધવા માટે,આપણે $f(x) = -3$ લઈએ:
$x^2 + 1 = -3$
$x^2 = -4$
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી $x$ ની એવી કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી કે જેના માટે $f(x) = -3$ થાય.
આમ,$-3$ નું પૂર્વ-પ્રતિબિંબ $\phi$ (ખાલી ગણ) છે.
તેથી,પૂર્વ-પ્રતિબિંબો $\{4, -4\}$ અને $\phi$ છે.
$x^2 + 1 = 17$
$x^2 = 16$
$x = \pm 4$
તેથી,$17$ નું પૂર્વ-પ્રતિબિંબ $\{4, -4\}$ છે.
$-3$ નું પૂર્વ-પ્રતિબિંબ શોધવા માટે,આપણે $f(x) = -3$ લઈએ:
$x^2 + 1 = -3$
$x^2 = -4$
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી $x$ ની એવી કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી કે જેના માટે $f(x) = -3$ થાય.
આમ,$-3$ નું પૂર્વ-પ્રતિબિંબ $\phi$ (ખાલી ગણ) છે.
તેથી,પૂર્વ-પ્રતિબિંબો $\{4, -4\}$ અને $\phi$ છે.
0 likes
View Solution24
MediumMCQ
જો $f(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - ax + b$ ને $(x - 1)$ અને $(x + 1)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ અનુક્રમે $5$ અને $19$ મળે છે. જો $f(x)$ ને $(x - 2)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ કેટલી મળે?
A
$8$
B
$5$
C
$10$
D
$12$
Solution
(C) આપેલ છે $f(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - ax + b$.
શેષ પ્રમેય મુજબ,$f(1) = 5$ અને $f(-1) = 19$.
$f(1) = 5$ માટે:
$1 - 2 + 3 - a + b = 5 \implies 2 - a + b = 5 \implies b - a = 3$ (સમીકરણ $i$).
$f(-1) = 19$ માટે:
$1 + 2 + 3 + a + b = 19 \implies 6 + a + b = 19 \implies a + b = 13$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $i$ અને $ii$ નો સરવાળો કરતા:
$(b - a) + (a + b) = 3 + 13 \implies 2b = 16 \implies b = 8$.
$b = 8$ ને સમીકરણ $ii$ માં મૂકતા:
$a + 8 = 13 \implies a = 5$.
આમ,$f(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 5x + 8$.
$f(x)$ ને $(x - 2)$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવા માટે $f(2)$ ની કિંમત શોધીએ:
$f(2) = (2)^4 - 2(2)^3 + 3(2)^2 - 5(2) + 8$
$f(2) = 16 - 16 + 12 - 10 + 8 = 10$.
તેથી,શેષ $10$ છે.
શેષ પ્રમેય મુજબ,$f(1) = 5$ અને $f(-1) = 19$.
$f(1) = 5$ માટે:
$1 - 2 + 3 - a + b = 5 \implies 2 - a + b = 5 \implies b - a = 3$ (સમીકરણ $i$).
$f(-1) = 19$ માટે:
$1 + 2 + 3 + a + b = 19 \implies 6 + a + b = 19 \implies a + b = 13$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $i$ અને $ii$ નો સરવાળો કરતા:
$(b - a) + (a + b) = 3 + 13 \implies 2b = 16 \implies b = 8$.
$b = 8$ ને સમીકરણ $ii$ માં મૂકતા:
$a + 8 = 13 \implies a = 5$.
આમ,$f(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 5x + 8$.
$f(x)$ ને $(x - 2)$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવા માટે $f(2)$ ની કિંમત શોધીએ:
$f(2) = (2)^4 - 2(2)^3 + 3(2)^2 - 5(2) + 8$
$f(2) = 16 - 16 + 12 - 10 + 8 = 10$.
તેથી,શેષ $10$ છે.
0 likes
View Solution25
EasyMCQ
જો $f$ એ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણથી ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ પરનો સંબંધ હોય,જે $f(x) = 3x^2 - 2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તો $f$ એ
A
એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી
B
વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી
C
બાયજેક્શન (એક-એક અને વ્યાપ્ત) છે
D
વિધેય નથી
Solution
(D) આપેલ સંબંધ $f: R_{+} \rightarrow R_{+}$ છે,જે $f(x) = 3x^2 - 2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
$f$ વિધેય હોવા માટે,પ્રદેશ $R_{+}$ ના દરેક ઘટક $x$ માટે સહ-પ્રદેશ $R_{+}$ માં અનન્ય પ્રતિબિંબ $f(x)$ હોવું જોઈએ.
$x \in (0, \infty)$ હોવાથી,$x^2 > 0$ થાય,તેથી $3x^2 > 0$ થાય.
આમ,$f(x) = 3x^2 - 2 > -2$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $f$ નો વિસ્તાર $(-2, \infty)$ છે.
અહીં સહ-પ્રદેશ $R_{+} = (0, \infty)$ આપેલ છે,અને વિસ્તાર $(-2, \infty)$ એ સહ-પ્રદેશ $(0, \infty)$ નો ઉપગણ નથી (ઉદાહરણ તરીકે,જો $x=0.5$ લઈએ,તો $f(0.5) = 3(0.25) - 2 = 0.75 - 2 = -1.25$,જે $R_{+}$ માં નથી),તેથી સંબંધ $f$ પ્રદેશના દરેક ઘટકને સહ-પ્રદેશના ઘટક સાથે સાંકળતું નથી.
તેથી,$f$ એ વિધેય નથી.
$f$ વિધેય હોવા માટે,પ્રદેશ $R_{+}$ ના દરેક ઘટક $x$ માટે સહ-પ્રદેશ $R_{+}$ માં અનન્ય પ્રતિબિંબ $f(x)$ હોવું જોઈએ.
$x \in (0, \infty)$ હોવાથી,$x^2 > 0$ થાય,તેથી $3x^2 > 0$ થાય.
આમ,$f(x) = 3x^2 - 2 > -2$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $f$ નો વિસ્તાર $(-2, \infty)$ છે.
અહીં સહ-પ્રદેશ $R_{+} = (0, \infty)$ આપેલ છે,અને વિસ્તાર $(-2, \infty)$ એ સહ-પ્રદેશ $(0, \infty)$ નો ઉપગણ નથી (ઉદાહરણ તરીકે,જો $x=0.5$ લઈએ,તો $f(0.5) = 3(0.25) - 2 = 0.75 - 2 = -1.25$,જે $R_{+}$ માં નથી),તેથી સંબંધ $f$ પ્રદેશના દરેક ઘટકને સહ-પ્રદેશના ઘટક સાથે સાંકળતું નથી.
તેથી,$f$ એ વિધેય નથી.
0 likes
View Solution26
EasyMCQ
ધારો કે $f: X \rightarrow Y$ એક વિધેય છે અને $y \in Y$ માટે $A_y = f^{-1}(\{y\})$ છે. તો $A_i \cap A_j = \phi$ $(i \neq j)$ તમામ $i, j \in Y$ માટે અને $\bigcup_{y \in Y} A_y = X$,જો
A
$f$ માત્ર વ્યાપ્ત વિધેય હોય
B
$f$ માત્ર એક-એક વિધેય હોય
C
$f$ કોઈપણ વિધેય હોય
D
$X$ અને $Y$ માત્ર શાંત ગણો હોય
Solution
(C) આપેલ છે કે $f: X \rightarrow Y$ એક વિધેય છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$A_y = f^{-1}(\{y\}) = \{x \in X : f(x) = y\}$.
આ ગણ $A_y$ એ વિધેય $f$ હેઠળ ઘટક $y$ નું પૂર્વ-પ્રતિબિંબ દર્શાવે છે.
કોઈપણ બે ભિન્ન ઘટકો $i, j \in Y$ જ્યાં $i \neq j$ માટે,ગણ $A_i$ અને $A_j$ પરસ્પર અલગ (disjoint) છે કારણ કે વિધેય પ્રદેશના દરેક ઘટકને સહ-પ્રદેશના માત્ર એક જ ઘટક સાથે જોડે છે. તેથી,$A_i \cap A_j = \phi$.
વધુમાં,તમામ $y \in Y$ માટે તમામ પૂર્વ-પ્રતિબિંબો $A_y$ નો યોગગણ આખા પ્રદેશ $X$ ને આવરી લે છે,એટલે કે $\bigcup_{y \in Y} A_y = X$.
આ ગુણધર્મો કોઈપણ વિધેય $f: X \rightarrow Y$ માટે સાચા છે.
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$A_y = f^{-1}(\{y\}) = \{x \in X : f(x) = y\}$.
આ ગણ $A_y$ એ વિધેય $f$ હેઠળ ઘટક $y$ નું પૂર્વ-પ્રતિબિંબ દર્શાવે છે.
કોઈપણ બે ભિન્ન ઘટકો $i, j \in Y$ જ્યાં $i \neq j$ માટે,ગણ $A_i$ અને $A_j$ પરસ્પર અલગ (disjoint) છે કારણ કે વિધેય પ્રદેશના દરેક ઘટકને સહ-પ્રદેશના માત્ર એક જ ઘટક સાથે જોડે છે. તેથી,$A_i \cap A_j = \phi$.
વધુમાં,તમામ $y \in Y$ માટે તમામ પૂર્વ-પ્રતિબિંબો $A_y$ નો યોગગણ આખા પ્રદેશ $X$ ને આવરી લે છે,એટલે કે $\bigcup_{y \in Y} A_y = X$.
આ ગુણધર્મો કોઈપણ વિધેય $f: X \rightarrow Y$ માટે સાચા છે.
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.
0 likes
View Solution27
MediumMCQ
જો $Q$ એ તમામ સંમેય સંખ્યાઓનો ગણ દર્શાવે અને કોઈપણ $\frac{p}{q} \in Q$ માટે $f\left(\frac{p}{q}\right)=\sqrt{p^2-q^2}$ હોય,તો નીચેના વિધાનોનું અવલોકન કરો.
$I$. દરેક $\frac{p}{q} \in Q$ માટે $f\left(\frac{p}{q}\right)$ વાસ્તવિક છે.
$II$. દરેક $\frac{p}{q} \in Q$ માટે $f\left(\frac{p}{q}\right)$ સંકર સંખ્યા છે.
નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
$I$. દરેક $\frac{p}{q} \in Q$ માટે $f\left(\frac{p}{q}\right)$ વાસ્તવિક છે.
$II$. દરેક $\frac{p}{q} \in Q$ માટે $f\left(\frac{p}{q}\right)$ સંકર સંખ્યા છે.
નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
A
$I$ અને $II$ બંને સાચા છે
B
$I$ સાચું છે,$II$ ખોટું છે
C
$I$ ખોટું છે,$II$ સાચું છે
D
$I$ અને $II$ બંને ખોટા છે
Solution
(C) આપેલ છે કે,$f\left(\frac{p}{q}\right)=\sqrt{p^2-q^2}$,જ્યાં $\frac{p}{q} \in Q$.
જો $p < q$ હોય,તો $p^2 - q^2 < 0$ થાય.
ઋણ સંખ્યાનું વર્ગમૂળ વાસ્તવિક સંખ્યા ન હોવાથી,વિધાન $I$ ખોટું છે.
જોકે,ઋણ સંખ્યાનું વર્ગમૂળ એ સંકર સંખ્યા (કાલ્પનિક સંખ્યા) છે,તેથી વિધાન $II$ સાચું છે.
તેથી,$I$ ખોટું છે અને $II$ સાચું છે.
જો $p < q$ હોય,તો $p^2 - q^2 < 0$ થાય.
ઋણ સંખ્યાનું વર્ગમૂળ વાસ્તવિક સંખ્યા ન હોવાથી,વિધાન $I$ ખોટું છે.
જોકે,ઋણ સંખ્યાનું વર્ગમૂળ એ સંકર સંખ્યા (કાલ્પનિક સંખ્યા) છે,તેથી વિધાન $II$ સાચું છે.
તેથી,$I$ ખોટું છે અને $II$ સાચું છે.
0 likes
View SolutionRelations and Functions — Defination of Function · Frequently Asked Questions
1Are these Relations and Functions questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D papers from this chapter in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFor Teachers & Institutes
Generate a Relations and Functions Exam Paper in 2 Minutes
Select subtopic & difficulty — Sets A, B, C, D auto-generated with No Repeat logic.
First 3 chapters of every subject are free — no payment required.